UNIVERSIDAD TCNICA DE AMBATOF . I . S . E . IFACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS, ELECTRONICA E INDUSTRIAL

FACULTAD DE INGENIERA EN SISTEMAS, ELECTRNICA E INDUSTRIAL PERODO ACADMICO: ABRIL/2015 SEPTIEMBRE/2015

I. PORTADAUNIVERSIDAD TCNICA DE AMBATOFacultad de Ingeniera en Sistemas, Electrnica e IndustrialTtulo: Teoremas del algebra de BooleCarrera:Ingeniera Industrial rea Acadmica:ElectrnicaLnea de Investigacin:AutomatizacinCiclo Acadmico y Paralelo:5to A Alumnos participantes:Agreda Jaramillo Jos Andrs ..Mdulo: Electrnica Digital Docente:Ing. Collantes Santiago

II. INFORME DEL PROYECTO1. PP2. YY2.1 Ttulo

Teoremas del algebra de Boole

2.2 IntroduccinEn la electrnica digital muchos de los componentes electrnicos utilizados para la elaboracin de circuitos cono contactores y rels, presentan dos estados o toman dos estados que se pueden diferenciar claramente; como abierto o cerrado, si estos componentes toman uno de estos dos estados se los denomina componentes lgicos.Para estudiar el comportamiento de estos elementos, se utiliza smbolos (1 y 0) para su representacin (1 abierto, 0 cerrado). A su vez existen leyes o teoremas que se pueden utilizar para el estudio de los componentes lgicos, a estos teoremas se los conoce como algebra de Boole.

2.3 Materiales y Metodologa ALGEBRA DE BOOLE

El lgebra booleana es la teora matemtica que se aplica en la lgica combinatoria. Las variables booleanas son smbolos utilizados para representar magnitudes lgicas y pueden tener slo dos valores posibles:1(valor alto) 0(valor bajo). [1]

Operaciones Booleanas Las operaciones booleanas son posibles a travs de los operadores binarios negacin, suma y multiplicacin, es decir que estos combinan dos o ms variables para conformar funciones lgicas. Una compuerta es un circuito til para realizar las operaciones anteriormente mencionadas.

TEOREMAS

AbsorcinEl teorema de absorcin nos dice que:Para cada par de elementos a y b se verifica que:

Ejemplo:El teorema de absorcin nos dice que los dos circuitos son equivalentes:

Esto lo podemos comprobar dando valores a A y B, por ejemplo A ser 1(cerrado) y B 0(abierto).

Vemos que en ambos casos el foco se ha encendido.

Entonces lo que nos quiere decir el teorema de absorcin es que el circuito tomara el valor lgico que tome la variable A, en esta caso le dimos el valor de 1 (abierto o encendido), por tanto el foco se encendi, si diramos un valor de A de 0 (cerrado o apagado) el foco no se encender, B puede tomar cualquier valor (1 0)

Redundancia

Ejemplo:

Primera ley de redundancia

Segunda ley de redundancia

En la primera ley nos dicen que el circuito tomara el valor que adquiera a y si damos valores de a= cerrado y b= cerrado el circuito toma el valor de a (en esta caso encendido), b puede estar abierto o cerrado que el circuito se mantendr encendido.

La segunda ley nos die que el circuito tomara el valor de a*b, si damos valores de a= cerrado (1) a=abierto (0) y b= cerrado (1) vemos q se comprueba a*b = 1*1 = 1 el circuito tomara el valor de 1 sea encendido, y se comprueba la ley

Consenso

La ley del consenso nos dice que:Teorema del consenso

Teorema dual del consenso

x se lee x negada

Demostracin:

El teorema del consenso es de gran utilidad al momento de simplificar una expresin booleana, en la expresin x.y + x.z + y.z se demuestra que el termino y.z es redundante y puede ser simplificado o eliminado de la expresin original, quedando la expresin x.y + x.z.

En general, dados dos trminos en los que una variable aparece en un trmino y el complemento de la misma variable aparece en la otra, el trmino consenso est formado por el producto de los dos trminos en cuestin mediante la eliminacin de ellos la variable y su complemento.

Combinacin

Ejemplo:

El teorema de combinacin nos dice que los tres circuitos de la figura son equivalentes y esto se puede comprobar dando valores a X e Y.Para la demostracin damos valora a X= cerrado, Y=abierto, Y=cerrado.Dando estos valores se comprueba que los tres circuitos son equivalentes y los tres van a tomar el valor que tome la variable X.

MorganMorgan contiene 2 leyes fundamentales cuando se manejan 3 variables:

1ra ley.- El producto lgico negado de varias variables lgicas es igual a la suma lgica de cada una de dichas variables negadas. Ejemplo:Como ejemplo se utiliza compuertas lgicas:

Si nos fijamos las dos tablas de verdad generadas, son equivalentes tienen el mismo resultado, por lo que en un circuito da lo mismo utilizar la negacin de la multiplicacin de varias variables qu ocupar la suma de la negacin de varias variables.

2da ley.- La suma lgica negada de varias variables lgicas es igual al producto de cada una de dichas variables negadas.Ejemplo:Como ejemplo se utiliza compuertas lgicas:

Cuando manejamos 2 variables tenemos:

Ejemplo:La negacin del producto de dos variables puede ser reemplazada por la sumatoria de las variables negadas.

La negacin de la suma de dos variables puede reemplazarse por el producto de sus nageciones individuales

Expansin de Shannon

Cualquier funcin binaria puede expresarse en forma de suma de minterms o en forma de producto de maxterms. Estas expresiones, que son nicas, reciben el nombre de representaciones cannicas de la funcin. [2]

Ejemplo: Considerando la tabla de verdad siguiente:

Shannon demostr que la expresin lgica de la F por encima se puede obtener por la siguiente expansin:

En otras palabras, F (x2, x1, x0) se puede obtener por la suma de los productos de cada trmino mnimo y su valor F correspondiente (el valor F para la combinacin correspondiente de entradas para el trmino mnimo). Si simplificamos la expansin anterior, obtenemos

En conclusin el Teorema de expansin de Shannon demuestra que existe una relacin sencilla entre la Tabla de Verdad de una funcin de Boole y su representacin cannica: la funcin presentar un minterms para las combinaciones de entradas en las cuales la funcin vale 1 y presentar un maxterms para las combinaciones de entradas en las cuales la funcin es 0.

2.4 Conclusiones

Conocer de qu se trata las leyes que incluye el lgebra de Boole es de suma importancia para la elaboracin y anlisis de circuitos digitales. El teorema de redundancia y el teorema de absorcin tiene una ley en comn: a+(a*b) =a

2.5 Referencias bibliogrficas

[1] virtual, virtual, [En lnea]. Available: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2000477/lecciones/020101.htm. [ltimo acceso: 1 Junio 2015].[2] fic, fic, [En lnea]. Available: http://www.fic.udc.es/files/asignaturas/5TC/tc2.pdf.. [ltimo acceso: 1 Junio 2015].