UFMTUniversidade Federal do Mato Grosso

Departamento de Matematica-CUR

Algebra de Clifford: Uma Estrutura Coerente

Apliacacao: Generalizacao da Partıcula Relativıstica

Professor: Rosevaldo de Oliveira

1

Conteudo

1 Um pouco de Historia 4

2 Estruturas Algebricas Basicas 6

2.1 Anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Espacos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 Algebra de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Algebras Geometricas do espaco euclidiano R3 12

4 Formalismo Lagrangiano da Partıcula Relativıstica comSpin 20

4.1 Algebra de Clifford no espaco Vn . . . . . . . . . . . . 20

2

4.2 Algebra Geometrica do Espaco de Minkowski R1,3 . . 25

4.3 Sistema Dinamico Classico com Spin numa VariedadeC4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.4 Partıcula Livre Relativıstica sem Spin . . . . . . . . . 32

5 Comentarios Finais e Pretensoes Futuras 36

5.1 Pesquisas em Andamento - (2010-2011) . . . . . . . . 39

Bibliografia 39

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1 Um pouco de Historia

1. 1843 Hamilton e a tentativa de generalizar os numeroscomplexos: quaternions. A algebra se desvinculou daAritmetica dos numeros reais.

2. 1844 Hermann Grassmann: generaliza os quaternions deHamilton, pois ele trata de uma algebra nao comutativa em Ndimensoes; tambem conhecida como algebra de extensao.

3. 1878 Clifford A verdadeira sıntese dos trabalhos de Hamiltone Grassmann foi obtida, a Algebra Geometrica queatualmente tambem e donominada Algebra de Clifford.

A Algebra de Clifford nao possui as incoerencias da Algebra deGibbs. Mais do isso, as corrige. E uma estrutura fechada, ondeo produto da algebra e unico, e nao dois produtos como no casode Gibbs. E os spinores aparecem naturalmente na Algebra de

4

Clifford, portanto pode-se dar uma interpretacao geometricapara os spinores.

4. 1886 Gibbs: tentou unificar os quaternions com a algebra deGrassmann, e encontrou o que hoje conhecemos como algebravetorial.

5. Anos 60, Hestenes: Hestenes generalizou o calculo, criando ocalculo multivetorial, onde ele mostra que o calculo de Gibbs eapenas um caso particular de uma estrutura maior. Tambemreformulou o formalismo Hamiltoniano para usandomultivetores, [?], [?],[?], [?], [?], [?], [?], [?] e [?].

6. 2005 Pavsic: definiu a acao da partıcula livre no espaco deClifford C4, e mostrou que esta acao e equilavente a teoria deStueckelberg.

Pavsic [?], [?] e [?] definiu a acao da partıcula livre no espacode Clifford C4, e mostrou que esta acao e equilavente a teoria

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de Stueckelberg.

2 Estruturas Algebricas Basicas

2.1 Anel

Um anel e uma estrutura algebrica (A,+, ·) satisfazendo

• (A,+) e um grupo abeliano, para a, b, c ∈ A tem-se que:

1. (a+ b) + c = a+ (b+ c) associativa

2. a+ b = b+ a comutativa

3. 0 + b = b e b+ 0 = b elemento neutro

4. a+ (−a) = (−a) + a = 0 elemento oposto

• A operacao (·) e associativa, (a.b).c = a.(b.c)

• A operacao (·) e distributiva a.(b+ c) = a.b+ a.c

6

2.2 Espacos vetoriais

Definicao Um espaco vetorial V sobre um corpo K e um conjuntode elementos chamados vetores dotados de uma operacao “ + ”:V × V → V denominada soma vetorial e tambem de um produtopor escalares K × V → V com as seguintes propriedades

1. A cada par u, v ∈ V de vetores e associado um elementou+ v ∈ V denominado soma de u e v

(a) A soma e comutativa: u+ v = v + u

(b) A soma e associativa: u+ (v + w) = (u+ v) + w

(c) A soma possui um elemento neutro: u+ 0 = u, e 0 + u = u

(d) A soma possui elemento inverso: u+ (−u) = 0

2. A cada par α ∈ K, e u ∈ V existe um vetor denotado porαu ∈ V

(a) αu = uα

7

(b) α(βu) = (αβ)u

(c) 1u = u

(d) α(u+ v) = αu+ βv

(e) (α+ β)u = αu+ βu

Exemplos

1. Seja (K,+, ·) um corpo, o produto cartesianoKn = {(k1, . . . , kn), kj ∈ K; j = 1, ..., n} e um espaco vetorialsobre K. Com operacao soma definida por(k1, . . . , kn) + (l1, . . . , ln) = (k1 + l1, . . . , kn + ln) e um produtopor escalares dado por α(k1, . . . , kn) = (αk1, . . . , αkn).

2. Exemplos sao: Rn, Cn e K = (Zp)n sao espacos vetoriais.

8

2.3 Algebras

Definicao: Uma algebra e um espaco vetorial V sobre um corpoK dotado de uma operacao binaria “ · ” dita produto da algebra, demodo que as seguintes propriedades sao satisfeitas para a, b, c ∈ V eα, β ∈ K1. O produto da algebra e distributivo em relacao a soma vetorial

a.(b+ c) = a.b+ a.c (1)

(a+ b).c = a.c+ b.c (2)

2. O produto por escalares comuta com o produto da algebra e edistributivo

α(a.b) = (αa).b = a.(αb) (3)

Uma algebra e dita ser comutativa ou algebra abeliana se

9

a.b = b.a. Uma algebra e associativa se a.(b.c) = (a.b).c.

2.3.1 Algebra de Lie

Uma algebra L sobre um corpo K e dita ser uma algebra de Liea seseu produto alem das propriedades basicas satisfaz

• Para todo a ∈ L vale [a, a] = 0.

• Para todo a, b, c ∈ L a identidade de Jacobi e valida

[a, [b, c]] + [c, [a, b]] + [b, [c, a]] = 0 (4)

Propriedades importantes desta algebra. Para todo a, b ∈ L devidoo fato que [a, a] = 0, entao [a+ b, a+ b] = 0 e devido aspropriedades basicas de uma algebra

aMarius Sophus Lie (1842-1899)

10

[a+ b, a+ b] = 0 (5)

= [a, b] + [b, a] (6)

E assim obtemos a importante propriedade da algebra[a, b] = −[b, a].

11

3 Algebras Geometricas do espaco

euclidiano R3

Escolhemos um vetor v ∈ R3. Se {e1, e2, e3} e uma base de

v = v1e1 + v2e2 + v3e3

.

Queremos que o teorema de Pitagoras seja valido

|v|2 = v21 + v2

2 + v23 (7)

O produto de um vetor por ele mesmo e dado por

12

P (v, v) = |v|2 = v21e

21 + v2

2e22 + v2

3e23 (8)

+ v1v2[e1e2 + e2e1]

+ v1v3[e1e3 + e3e1]

+ v2v3[e2e3 + e3e2]

Para que seja valido o teorema de Pitagoras o produto deve serdefinido por

e2i = 1 com i = 1, 2, 3 (9)

eiej + ejei = 0 i 6= j

Esta e a Escolha de Clifford.

Os ei definimos como sendo vetores, mas eiej o que e? vetor?escalar? Sabemos que um escalar α e um vetor u, e valido a

13

seguinte relacaoαu = uα

Vamos verificar esta propriedades dos escalares para (e1e2)

(e1e2)e1 = −e1e1e2 = −e2 (10)

e1(e1e2) = e2 (11)

Portanto a quantidade e1e2 nao pode ser considerada um escalar.Vamos verificar se esta quantidade e um vetor. Sabemos que oquadrado de um vetor e maior ou igual a zero |v|2 = v2 > 0, entao

(e1e2)2 = e1e2e1e2 = −e21e

22 = −1 < 0 (12)

Desta forma e1e2 tambem nao e um vetor! Entao o que e?

Por enquanto vamos limitar a definicao de que eiej e um 2-vetor ou

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bi-vetor e esta associado a um fragmento de plano.

Da mesma forma o elemento e1e2e3 tambem nao e nem escalar nemvetor, e um 3-vetor ou tri-vetor.

Podemos provar que os 2-vetores formam um espaco vetorialdenotado por ∧2(R3). E os 3-vetores tambem formam um espacovetorial dado por ∧3(R3).

Vamos classificar os espacos vetorial gerado pelo produtogeometrico:

dimensao Espaco vetorial elementos

1 ∧0(R3) escalares

3 ∧1(R3) vetores

3 ∧2(R3) 2-vetores

1 ∧3(R3) tri-vetor

(13)

15

Seja A ∈ Cl3 um multivetor

A = A0 +A1 +A2 +A3,

onde Ak ∈ ∧k(R3) e um k-vetor.

1. PROJECAO: Definamos a relacao de projecao da seguinteforma

<>k: ∧(R3)→ ∧k(R3)

< A >k= Ak (14)

2. INVOLUCAO: esta operacao e definida por

Ak = (−1)kAk (15)

a graduacao de Ak e par se (−1)k = +1 e e ımpar se(−1)k = −1.

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3. REVERSAO: que e denotada por Ak = (−1)k(k−1)

2 Ak,portanto o multivetor A altera-se para

A = A0 +A1 −A2 −A3 (16)

4. CONJUGACAO=INVOLUCAO+REVERSAO A = ˜A

5. NORMA A norma de um multivetor e dada por

|A|2 =< AA >0 .

6. DUALIDADE Dado um k-vetor Ak definamos o seu dual por

∗Ak = AkI (17)

I = e1e2e3

A operacao dualidade transforma um k − vetor em um

17

3− k − vetor, devido ao fato de existir um isomorfismo entre∧k(R3) ∼ ∧3−k(R3).

Alguns exemplos desta operacao:

∗1 = I = e1e2e3

∗e1 = e2e3

∗e2 = e3e1

∗e3 = e1e2

∗(e1e2) = e3

∗(e3e1) = e2

∗(e2e3) = e1

∗I = 1 (18)

7. PRODUTO VETORIAL Na algebra de Clifford definimos o

18

produto vetorial entre dois vetores da seguinte forma

v × u = ∗(v ∧ u) = −(v ∧ u)I = −I(v ∧ u) (19)

19

4 Formalismo Lagrangiano da Partıcula

Relativıstica com Spin

4.1 Algebra de Clifford no espaco Vn

Considere um espaco Vn de dimensao arbitraria n. Para cada pontodo espaco Vn podemos associar n parametros xµ, ondeµ = 1, 2, 3, . . . , n, que sao conhecidas como sendo as coordenadasdeste ponto. Podemos entender os pontos como sendo as casas emuma cidade e as coordenadas sao os numeros das casas, elas podemser escolhidas de forma arbitraria, mas uma vez definidas naodevem ser alteradas.

O quadrado da distancia entre os pontos deste espaco e definidacomo

ds2 = gµνdxµdxν (20)

20

gµν e o tensor metrico do espaco Vn. O elemento ds2 e invariantepor uma transformacao geral de coordenadas xµ → x′µ = f(xµ).Lidar com a expressao quadratica leva a algumas complicacoes naolineares quando tentamos tirar a raiz. Portanto definimos oseguinte objeto

dx = dxµeµ (21)

que satisfaz o seguinte desenvolvimento

dx2 = eµeνdxµdxν =

12

(eµeν + eνeµ)dxµdxν = gµνdxµdxν(22)

gµν ≡ 12

(eµeν + eνeµ) (23)

Os objetos eµ sao vetores bases de uma algebra de Clifford, eportanto o objeto dx = dxµeµ e um vetor contido na estruturaalgebrica citada. Enquanto que a metrica e um elemento da algebraconstituıdo de bivetores.

21

Podemos definir a seguinte diferenciacao

dx

dτ=dxµ

dτeµ (24)

onde τ e um parametro arbitrario invariante por transformacaogeral de coordenadas.

Facamos as seguintes denotacoes a = dxdτ e aµ = dxµ

dτ , com isto aequacao acima torna-se

a = aµeµ (25)

No caso de dois objetos semelhantes teremos o seguinte

(a+ b)2 = a2 + ab+ ba+ b2 (26)

e

a.b =12

(ab+ ba) =12

(eµeν + eνeµ)aµaν = gµνaµaν (27)

este e o produto interno da algebra de Clifford.

22

O produto externo e definido por

a ∧ b =12

(ab− ba) =12

(eµeν − eνeµ)aµaν (28)

E importante notar que a = aµeµ e um vetor, aµ sao suascomponentes e eµ sao suas bases. As componentes aµ e as bases eµsao alteradas devido uma transformacao geral de coordenadas,enquanto que a ou dx nao se altera (sao invariantes).

Importante:

• A raiz quadrada da distancia e um vetor

• Os vetores sao elementos da algebra de Clifford

• Os vetores sao objetos que sao invariantes sob transformacaogeral de coordenadas.

Consideremos agora o elemento mais geral possıvel desta algebra deClifford

23

A = α+ αµeµ +12αµνeµ ∧ eν +

13!αµνρeµ ∧ eν ∧ eρ ∧ eσ + . . . (29)

+1n!αµνρ...eµ ∧ eν ∧ eρ . . .

as componentes deste Polivetor sao escalares, vetores, bivetores,trivetores, quadrivetores, etc...

24

4.2 Algebra Geometrica do Espaco de

Minkowski R1,3

O espaco vetorial de Minkowsky (espaco-tempo) possui 4 vetoresbases linearmente independentes eµ, µ = 0, 1, 2, 3. Vamosconsiderar neste momento que o espaco-tempo seja plano, nestecaso as bases γµ obedecem a seguinte relacao

γµ · γν = ηµν (30)

onde ηµν e um tensor metrico diagonal com assinatura (+,−,−,−).

Um elemento geral deste espaco, isto e, um polivetor e dado por

D = d+ dµγν +12!dµνγµν +

13!dµνργµνρ +

14!dµνρσγµνρσ (31)

25

onde os coeficientes (d, dµ, dµν , dµνρ e dµνρσ) sao escalares, e

γµ vetor

γµν = γµ ∧ γν bivetor

γµνρ = γµ ∧ γν ∧ γρ trivetor

γµνρσ = γµ ∧ γν ∧ γρ ∧ γσ quadrivetor

(32)

O elemento de volume do espaco de Minkowski plano e umpseudoescalar dado por

γ5 = γ0 ∧ γ1 ∧ γ2 ∧ γ3 = γ0γ1γ2γ3 γ25 = −1 (33)

Usando as relacoes

γµνρσ = γ5εµνρσ (34)

γµνρ = γµνρσγσ (35)

onde εµνρσ e um tensor totalmente antisimetrico, introduzindo os

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novos coeficientes

S = d, V µ = dµ, Tµν =12dµν (36)

Cσ =13!dµνρεµνρσ, P =

14!dµνρσεµνρσ (37)

Usando as relacoes acima podemos escrever D como uma soma deescalar, vetor, pseudovetor e pseudoescalar

D = S + V µγµ + Tµνγµν + Cµγ5γµ + Pγ5 (38)

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4.3 Sistema Dinamico Classico com Spin numa

Variedade C4

Pavsic [?], [?] e [?] definiu a acao da partıcula livre no espaco deClifford C4, e mostrou que esta acao e equilavente a teoria deStueckelberg [?].

O que Pavsic propos foi escrever a acao numa variedade de Cliffordou em C4 (“C-space”) ao inves do espaco-tempo. O espaco-tempo eum sub-espaco da variedade de Clifford C4.

O conceito de velocidade e momento da partıcula sao generalizados.O momento e a velocidade sao definidos como polivetores, isto e

P = µ+ pµeµ + Sµνeµeν + πµe5eµ +me5 (39)

X = σ + xµeµ + αµνeµeν + ξµe5eµ + se5 (40)

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onde os termos Sµν = −Sνµ e αµν = −ανµ. E a seguinte relacao evalida

eµ · eν = ηµν (41)

onde ηµν e um tensor metrico diagonal com assinatura (+,−,−,−).

A acao e definida por

I[X,P, λ] =12

∫dτ[PX + XP − λ(P 2 −K2)

](42)

onde a “massa”generalizada e dada por

K2 = η2 + kµeµ +Kµνeµeν +Kµe5eµ + k2e5 (43)

onde η2 pode ser positivo, negativo ou zero.

29

Escreveremos as componentes da Lagrangiana de forma explıcita

L =12

[PX + XP − λ(P 2 −K2)

]=

4∑

k=0

< L >k (44)

Agora facamos a variacao em funcao do multiplicador de Lagrange

∂ < L >0

∂λ= 0 µ2 + pµpµ + πµπµ −m2 − 2SµνSµν − η2 = 0(45)

∂ < L >1

∂λ= 0 µπσ − Sµνπρεµνρσ − 1

2kσ = 0 (46)

∂ < L >2

∂λ= 0 (πµπν +mSµν)εµνρσ + 2µSρσ −Kρσ = 0(47)

∂ < L >3

∂λ= 0 µπσ + Sµνpρεµνρσ +

12ησ = 0 (48)

∂ < L >4

∂λ= 0 2µm+ SµνSρσεµνρσ − k2 = 0 (49)

30

Das equacoes (??) e (??) obtemos as seguintes relacoes

πσ − ησ2µ

= − 1µSµνpρεµνρσ (50)

pσ − kσ2µ

= − 1µSµνπρεµνρσ (51)

o pseudovetor πσ − ησ2µ comporta-se como o pseudovetor

Pauli-Lubanski.

Das relacoes acima podemos mostrar que

Sµν =µ

2pαpαεµνρσpρ

(πσ − ησ

2µ

)= − µ

2παπαεµνρσπρ

(pσ − kσ

2µ

)(52)

para obter a axpressao acima assumimos as seguintes relacoes

Sµνpν = 0 Sµνπν = 0 (53)

Para positivo pσpσ > 0, obtemos(πσ − ησ

2µ

)2

< 0 (sao componentesde um vetor tipo espaco. Da mesma forma, πσπσ < 0 isto resulta

31

(pσ − kσ

2µ

)2

> 0, entao estas sao as componentes de um vetor tipo

tempo. Inserindo (??) na (??) e levando em conta a (??) obtemos

2mµ− k2 = 0 (54)

4.4 Partıcula Livre Relativıstica sem Spin

Assumiremos que K2 = 0 e a condicao (??) seja mantida, dasequacoes dos vınculos (??)-(??) nos fornece que

Sµν = 0 , πµ = 0 e µ = 0 (55)

o unico vınculo que permanece e

pµpµ −m2 = 0 (56)

32

A acao (??) torna-se

I[X,P, λ] = I[s,m, xµ, pµ, λ] =∫dτ

[−ms+ pµx

µ − λ

2(pµpµ −m2)

](57)

onde a massa m e uma variavel dinamica associada ao momento s.

Temos que

P = pµeµ +me5 X = xµeµ + se5 (58)

As equacoes de movimento sao dadas por

δm : −s+ λm = 0 (59)

δs : m = 0 (60)

δpµ : xµ − λpµ = 0 (61)

δxµ : pµ = 0 (62)

δλ : pµpµ −m2 = 0 (63)

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Podemos mostrar que

pµ =xµ

λ= m

dxµ

ds(64)

s2 = λ2m2 = x2, i.e. ds2 = dxµdxµ (65)

usando a relacao (??) encontramos que

−ms+λ

2m2 = −ms

2= −1

2d

dτ(ms) (66)

Se escolhermos fixar λ = Λ(τ) obteremos a seguinte acao

I =∫dτ(pµxµ − Λ(τ)

2pµpµ) (67)

esta e justamente a acao de Stueckelberg. As equacoes demovimento derivada da acao (??) sao dadas por

xµ − Λpµ = 0 (68)

pµ = 0 (69)

34

a equacao (??) nos informa que o momento e uma constante demovimento, denotaremos que pµpµ = m2. Da equacao (??) obtemos

pµ = mxµ√xν xν

= mdxµ

ds(70)

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5 Comentarios Finais e Pretensoes

Futuras

O que foi feito na secao anterior foi muito diferente do que tem sidofeito na literatura ate o momento. E usual assumirmos que a fısicaacontece no espaco tempo e por isto o princıpio variacional eempregado sobre o espaco-tempo. O que a algebra de Clifford nossugere e que podemos encontrar a relatividade nao noespaco-tempo, mas em uma variedade de Clifford Cn, cujos pontossao as coordenadas dos polivetores

X =1r!

n∑r=0

Xµ1...µrγµ1 ∧ ... ∧ γµr ≡ XAEA (71)

onde XA sao as coordenadas e EA = (1, γµ, γµ ∧ γν , ...) sao osvetores bases do espaco Cn.

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A acao invariante por reparametrizacao da a partıcula livre e dadapor

I[XA] = κ

∫dτ(XAXA)

12 (72)

Se assumirmos que a dimensao do espaco-tempo e n = 4, entaoobteremos que

X ≡ XAEA = X = σ + xµeµ + αµνeµeν + ξµe5eµ + se5 (73)

Em um caso particular das condicoes iniciais teremos

I[XA] = κ

∫dτ(xµxµ − s) 1

2 (74)

Uma escolha natural do gauge e s = τ , a acao reduzida e dada por

I[XA] = κ

∫ds(xµxµ − 1)

12 (75)

37

e as equacoes de movimento sao

dpµ

ds= 0, pµ =

κxµ

(xν xν − 1)12

= constante (76)

Definindo que a constante de movimento sejapµpµ = M2 = κ2xµxµ

(xν xν−1)12

obteremos o seguinte resultado

pµ =Mxµ

(xν xν)12, M =

κ(xµxµ)1/2

(xν xν − 1)12

(77)

A diferenca neste formalismo e que a massa nao uma contantefixada na acao, mas uma constante de movimento.

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5.1 Pesquisas em Andamento - (2010-2011)

1. Encontrar a estrutura Hamiltoniana desta teoria e quantizacaovia integracao funcional.

2. Encontrar as transformacoes passivas e ativas da relatividadeespecial. (Projeto de Iniciacao cientıfica PIBIC em andamento)

3. Relacionar a Algebra de Clifford com as Teorias de QuebraEspontanea da Simetria de Lorentz.

4. Estudar a estrutura espinorial de forma geometrica.

5. Outros projetos.

Referencias

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39

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[6] D. Hestenes (1987), Curvature Calculations with SpaceTimeAlgebra, Int. J. Theo. Phys. 25, 581-588; Spinor Approach toGravitational Motion and Precession, IJTP 25, 589-598.

[7] D. Hestenes (1988), Universal Geometric Algebra, SimonStevin 62, 253-274.

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[8] Hestenes D., Mathematical viruses, in Clifford Algebras andtheir Applications in Mathematical Physics, A. Micali et al(eds.), Kluwer, Dordrecht, (1992), 3-16.

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[10] Stueckelberg, E.C.G. (1941) Un Nouveau modele de l’electronponctuel en theorie classique, Helvetica Physica Acta 14,51-55; Stueckelberg, E.C.G. (1941) Remarque a propos de lacreation de paires de particules en theorie de de relativite,Helvetica Physica Acta 14, 588 (1941); Stueckelberg, E.C.G.(1942) Helvetica Physica Acta 15, 23-37.

[11] Pavsic, M. Clifford algebra as a useful language for geometryand physics, in H.Gauster, H. Grosse and L. Pittner (eds.),

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[12] Pavsic, M. Clifford-algebra based polydimensional relativityand relativistic dynamics, Foundations of Physics 31,1185-1209 (2001).

[13] Pavsic, M. The Landscape of Theoretical Physics : A GlobalView, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (2001).

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