09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix

8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix

1/29

Hence Michael Wuaten

Metode Elemen Hingga

12

CHAPTER 3

3.1 Umum

Analisis struktur bukan merupakan tahapan akhir dalam sebuah proses perancangan, tetapi

merupakan alat yang digunakan untuk mendukung proses perancangan dari sebuah struktur. Tujuan

utama dari analisis struktur adalah untuk membantu dalam membuat keputusan-keputusan penting

dalam proses perancangan struktur. Pada umumnya hasil dari suatu proses analisis struktur pada

sebuah struktur yang menerima beban-beban yang bekerja, adalah berupa respon struktur tersebut yang

berbentuk perubahan posisi elemen atau bentuk konfigurasi struktur. Gaya-gaya internal yang terjadi

pada elemen-elemen struktur dapat berupa gaya aksial, gaya geser, momen lentur dan momen torsi.

Sedangkan secara umum, analisis struktur dapat dilakukan berdasarkan tiga hal berikut ini (Suhendro,

2000) :

1. Menentukan hubungan antara aksi (action) dan deformasi (deformation) yang terjadi pada

struktur yang dikenal dengan persamaan konstitutif (constitutive laws).

2. Pertimbangan secara kinematis dari struktur yang terdeformasi (compactibility).

3. Keseimbangan (equilibrium) antara gaya-gaya yang bekerja (applied forces) dan gaya-gaya

dalam (internal forces).

Dalam analsis struktur terdapat dua metode utama yang dikenal secara umum, yaitu metode

fleksibilitas dan metode kekakuan. Kedua metode tersebut mempunyai cara dan sistem tersendiri dalam

penyelesaiannya.

3.2 Transformasi Matrix

3.2.1 Tata Sumbu Lokal dan Global

Di dalam analisis struktur dengan metode matrix, sering dihadapi keadaan dimana suatu vektor

dan komponen-komponennya diketahui pada suatu tata sumbu dan ingin diketahui komponen-

komponennya pada suatu tata sumbu yang lain berdasarkan orentasi tertentu terhadap tata sumbu yang

pertama. Komponen-komponen di arah tata sumbu kedua, merupakan fungsi dari komponen-komponendi arah tata sumbu pertama dan arah tata sumbu yang kedua relatif terhadap arah tata sumbu yang

pertama.

Sebagai contoh, bahwa dalam pemodelan diskrit dari sebuah struktur sering kali diinginkan bahwa

masing-masing elemen mempunyai tata sumbu yang bersifat lokal, sehingga memberikan kemudahan

dalam penentuan matrix kekakuannya. Perhitungan matrix kekakuan elemen atau batang dapat

dilakukan dengan memasukan komponen panjang, inersia dan elastisitas dari elemen yang ditinjau ke

dalam bentuk matrix kekakuan elemen yang ada. Sedangkan, untuk dapat menyusun sebuah matrix

kekakuan struktur secara keseluruhan, dibutuhkan suatu tata sumbu yang bersifat global. Dimana, tata

sumbu global sangat tergantung dari geometri struktur dan masing-masing tata sumbu lokal yang

mempunyai orentasi tersendiri terhadap tata sumbu global (Hariandja, 1997).


2/29



13

CHAPTER 3

3.2.2 Perjanjian Tanda

Untuk kemudahan dan keseragaman, maka sebaiknya memperhatikan pemberian tanda dan arah

gaya sehingga dalam proses penyusunan dan perhitungan tidak terjadi kekeliruan, akibat inkonsistensi

dari perjanjian tanda dan arah gaya.

3.3 Metode Matrix Kekakuan

3.3.1 Definisi Metode Kekakuan

Metode kekakuan (stiffness method) atau dikenal juga dengan nama metode perpindahan

(displacement method), merupakan metode yang bertujuan untuk mencari besarnya displacement yang

terdiri dari translasi dan rotasi pada struktur sebagai variabel utama yang dicari terlebih dahulu, kemudian

dilanjutkan dengan mencari besarnya nilai-nilai gaya dalam (internal forces) dan reaksi perletakan yang

terjadi pada struktur. Secara berurutan persamaan-persamaan yang digunakan dalam metode ini,

merupakan formulasi dari persamaan aksi-deformasi, persamaan keseimbangan dan persamaan

kompaktibilitas (Suhendro, 2000).

Metode matrix kekakuan terdiri dari dua macam, yaitu matrix kekakuan relatif dan matrix kekakuan

langsung. Kedua metode ini, didasarkan pada metode perpindahan yang disusun dalam sebuah

formulasi matrix kekakuan. Dalam buku ini, hanya akan di bahas secara singkat mengenai metode

kekakuan langsung yang sangat popular penggunaannya. Sedangkan untuk mempelajari metode

kekakuan relatif dan metode fleksibilitas, maka dapat membaca buku-buku rujukan dalam daftar pustaka.

3.4 Metode Kekakuan Langsung

Metode ini didasarkan pada konsep kekakuan (stiffness) dan mempunyai prosedur perhitungan

sistematis yang harus dilakukan. Adapun prosedur perhitungan dengan metode kekakuan langsung

adalah sebagai berikut :

1. Semua kekakuan elemen dalam bentuk matrix kekakuan dan dievaluasi sesuai dengan

hubungan antara aksi dan deformasi dengan referensi koordinat local elemen tersebut.

2. Matrix kekakuan lokal di transformasikan ke dalam sistem koordinat global.

3. Matrix kekakuan elemen-elemen dalam koordinat global disuperposisikan dengan

mempertimbangkan syarat kompaktibilitas menjadi matrix kekakuan struktur.

4. Akibat beban yang bekerja pada struktur, maka dapat disusun vektor gaya dengan referensi

koordinat global.

5. Kondisi batas perpindahan (boundary condition of displacement) pada titik-titik nodal

perpindahan, maupun kondisi batas gaya pada titik-titik nodal bebas, diformulasikan dalam

bentuk vektor displacement dan vektor gaya. Selanjutnya dilakukan proses kondensasi statik

untuk mendapatkan matrix kekakuan dari struktur yang tereduksi.

6. Matrix kekakuan struktur yang tereduksi tersebut, kemudian menghasilkan persamaan

keseimbangan struktur yang apabila diperoleh solusinya, maka akan menghasilkan

displacement yang terjadi di setiap titik nodal dan selanjutnya besarnya reaksi perletakan di

setiap titik nodal dapat diperoleh.


3/29



14

CHAPTER 3

7. Tahapan terakhir adalah perhitungan terhadap besarnya gaya-gaya dalam dan tegangan-

tegangan dalam yang terjadi pada setiap elemen struktur yang dihitung.

Selain mengikuti langkah-langakah dalam proses perhitungan di atas, terdapat angapan-anggapan

dasar yang digunakan dalam metode matrix kekakuan langsung, yaitu :

1. Material struktur dianggap berperilaku elastis linier, sehingga prinsip hukum Hooke masihberlaku.

2. Displacement yang terjadi pada struktur dianggap relatif sangat kecil, apabila dibandingkan

dengan dimensi ataupun panjang bentang dari struktur yang dianalisis, sehingga persamaan

keseimbangan dapat ditentukan berdasarkan geometri struktur, sebelum struktur tersebut

mengalami deformasi.

3. Interaksi antara pengaruh gaya aksial dan lentur diabaikan.

4. Elemen-elemen struktur bersifat prismatis dan terbuat dari bahan yang homogen.

3.4.1 Matrix Kekakuan Elemen Rangka

Matrix kekakuan elemen dapat diberi notasi ]k[)e(

l . Matrix kekakuan elemen dapat didefinisikan

dengan mengenali sudut dari setiap elemen yang ditinjau, sehingga hubungan antara aksi dan

deformasi pada elemen-elemen tersebut dapat diformulasikan secara umum dalam koordinat lokalnya

sebagai berikut :

i j

vi, gi v j, g jui, f i u j, f j

x

y

L

A,E

Gambar 3.1 Matrix kekakuan elemen

Dari gambar di atas terlihat sebuah elemen dengan panjang (L), luas penampang elemen (A) dan

modulus elastisitas penampang (E). Pada elemen tersebut terdapat displacement aksial pada titik nodal i

dan j (ui, u j), displacement arah tegak lurus sumbu batang pada titik nodal i dan j (vi, v j), gaya aksial pada

titik nodal i dan j yang sesuai dengan ui, u j (f i, f j) serta gaya tegak lurus sumbu batang di titik nodal i dan j

yang sesuai dengan vi, v j (gi, g j). Dimana, masing-masing komponen tersebut dapat diuraikan menjadi :

f i = j jii v.ouL

AEv.ou

L

AE gi = j jii v.ou.ov.ou.o

f j = j jii v.ouL

AEv.ou

L

AE g j = j jii v.ou.ov.ou.o

Persamaan hubungan antara aksi dan deformasi elemen dalam sistem koordinat lokalnya tersebut,

diperoleh berdasarkan prinsip superposisi.


4/29



15

CHAPTER 3

Persamaan di atas, dapat ditulis ulang dalam bentuk matrix sebagai berikut :

j

j

i

i

g

f

g

f

=

0000

0L

AE0

L

AE0000

0L

AE0

L

AE

.

j

j

i

i

v

u

v

u

(3.1)

Persamaan keseimbangan elemen pada koordinat lokal adalah :

{ )e(f } = [)e(

lk ] . {)e(u } (3.2)

Dimana :

{ )e(f } = vektor gaya pada koordinat lokal.

[)e(

lk ] = matrix kekakuan elemen rangka pada koordinat lokal.

{ )e(u } = vektor displacement pada koordinat lokal.

(e) = subscript e menunjukan elemen yang ditinjau.Dalam bentuk yang lebih spesifik, matrix kekakuan elemen rangka pada koordinat lokal dapat

ditulis dalam bentuk :

[)e(

lk ] =L

AE.

0000

0101

0000

0101

(3.3)

3.4.2 Transformasi Koordinat Elemen Rangka

Apabila pada titik nodal i dari elemen mengalami perpindahan i’ dalam bidang x-y, maka vektor

displacement yang menghubungkan titik i ke i’ dapat diuraikan menjadi komponen dalam arah sumbu x

dan y lokal dan diberi notasi ui dan u j. Vektor displacement tersebut, juga dapat diuraikan menjadi

komponen dalam arah sumbu X dan Y global dan diberi notasi U i dan Vi. Hubungan antara komponen-

komponen tersebut dapat dituliskan dalam bentuk matrix sebagai berikut :

j

j

i

i

v

u

v

u

=

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

.

j

j

i

i

V

U

V

U

(3.4)

Atau dalam bentuk :

{ eu } = [ eT ] . { eU } (3.5)

Dimana :

{ eu } = vektor displacement pada koordinat lokal.

[ eT ] = matrix transformasi.

{ eU } = vektor displacement pada koordinat global.

Untuk vektor gaya, serupa dengan vektor displacement dan dapat dituliskan dalam bentuk :


5/29



16

CHAPTER 3

j

j

i

i

g

f

g

f

=

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

.

j

j

i

i

G

F

G

F

(3.6)

Atau dalam bentuk :

{ )e(f } = [ )e(T ] . { )e(F } (3.7)

Dimana :

{ )e(f } = vektor gaya pada koordinat lokal.

[ )e(T ] = matrix transformasi.

{ )e(F } = vektor gaya pada koordinat global.

Sebagai catatan, bahwa matrix [ eT ] dikenal dengan matrix transformasi dan memiliki sifat

ortogonal, yaitu transpose matrix tersebut sama dengan inversnya dan determinannya sama dengan

satu.

3.4.3 Matrix Kekakuan Global Rangka

Matrix kekakuan global rangka atau diberi notasi ]k[)e(

g didapat dari hasil subtitusi persamaan

(3.5) dan persamaan (3.7) ke dalam persamaan (3.2) :

{ )e(f } = [)e(

lk ] {)e(u }

[ )e(T ] { )e(F } = [)e(

lk ] [)e(T ] { )e(U }

Dengan memprakalikan antara ruas kanan dan ruas kiri persamaan dengan [

)e(

T ]-1

:

[ )e(T ]-1 [ )e(T ] { )e(F } = [ )e(T ]-1 [)e(

lk ] [)e(T ] { )e(U }

Dan mengingat bahwa :

[ )e(T ]-1 [ )e(T ] = [I]

[ )e(T ]-1 = [ )e(T ]T

Maka :

{ )e(F } = ([ )e(T ]-1 [)e(

lk ] [)e(T ]) { )e(U } (3.8)

Atau :

{ )e(F } = [)e(

gk ] {)e(U } (3.9)

Persamaan di atas merupakan persamaan keseimbangan elemen dalam koordinat global,

sehingga matrix kekakuan elemen dalam koordinat global :

[)e(

gk ]= [)e(T ]T [

)e(lk ] [

)e(T ] (3.10)

Atau dalam bentuk lain :

[)e(

gk ]=

22

22

22

22

sincos.sinsincos.sin

cos.sincoscos.sincos

sincos.sinsincos.sin

cos.sincoscos.sincos


6/29



17

CHAPTER 3

3.4.4 Overall Stif fness Matr ix

Persamaan (4.9) mempunyai bentuk lain, yaitu :

j

j

i

i

G

F

G

F

=

44434241

34333231

24232121

14131211

kkkkkkkk

kkkk

kkkk

.

j

j

i

i

V

U

V

U

(3.11)

Dalam formulasi secara keseluruhan (overall simulation) persamaan (3.11) setelah disesuaikan

dengan urutannya dengan derajat kebebasan lain menjadi :

i21i2 j21 j2

... j2

...1 j2

....

....

...i2

...1i2

j

j

i

i

GF

.

.

G

F

=

44434241

34333231

24232221

14131211

kk..kk

kk..kk

......

......

kk..kk

kk..kk

.

j

j

i

i

VU

.

.

V

U

(3.12)

Setelah kontribusi semua elemen diperhitungkan, maka persamaan keseimbangan struktur dalam

koordinat global dapat dituliskan dalam bentuk :

{F} = [K] . {U} (3.13)

Dimana :

{F} = overall force vector dalam koordinat global dan berorde (2n x 1).

[K] = overall stiffness matrix dalam koordinat global dan berorde (2n x 2n).

{U} = overall displacement vector dalam koordinat global dan berorde (2n x 1).

n = jumlah titik nodal dalam struktur.

3.4.5 Kondisi Batas Displacement dan Gaya

Persamaan (3.13) setelah di tata ulang (rearrangement) sesuai dengan kondisi batasnya, maka

dapat ditulis ulang secara simbolis dalam bentuk :

r

e

F

F=

2221

1211

kk

kk.

k

u

U

U(3.14)

Dengan :

{Fe} = prescribed external force vector , sesuai kondisi batas gaya.

{Fr } = uknown reaction vector .

{Uu} = uknown displacement vector .

{Uk} = known displacement vector , sesuai kondisi batas gaya.

[kij] = sub matrix overall stiffness matrix (i = 12 ; j = 12).

3.4.6 Uknwon Displacement dan Reaksi Perletakan

Persamaan (3.14) dapat ditulis dalam bentuk :

{Fe} = [k11] . {Uu} + [k12] . {Uk} (3.15)

{Fr } = [k21] . {Uu} + [k22] . {Uk} (3.16)


7/29



18

CHAPTER 3

Dari persamaan (3.15), maka dapat diperoleh displacement yang tidak diketahui (the uknown

displacement ) dalam bentuk invers sebagai berikut :

{Uu} = [k11]-1 . ({Fe} – [ k12] . {Uk}) (3.17)

Persamaan di atas merupakan (the reduced equilibrium equations) dan dengan memasukan nilai-

nilai {Uu} ke dalam persamaan (3.16), maka dapat diperoleh vektor reaksi yang tidak diketahui (theuknown reaction) {Fr }. Pada umumnya, apabila semua tumpuan tidak mengalami perubahan tempat

akibat adanya penurunan (settlement), maka vektor {Uk} = {0}, sehingga masalahnya menjadi jauh lebih

sederhana yaitu :

{Fe} = [k11] . {Uu} (3.18)

{Fr } = [k21] . {Uu} (3.19)

{Uu} = [k11]-1 . ({Fe}) (3.20)

3.4.7 Gaya Batang (Memb er Forces)

Gaya-gaya dalam yang terjadi pada setiap elemen dapat diperoleh dengan cara memasukan

persamaan (3.9) ke dalam persamaan (3.7)

{ )e(f } = [ )e(T ] . { )e(F } (3.21)

{ )e(f } = [ )e(T ] [)e(

gk ] [)e(U ] (3.22)

Dengan :

{ )e(f } =

j

j

i

i

g

f

g

f

[ )e(U ] =

j

j

i

i

V

U

V

U

Sebagai catatan, karena { )e(f } yang diperoleh dari persamaan (3.22) merupakan vektor gaya dari

suatu elemen pada koordinat lokal, maka hasilnya termasuk tanda harus diinterpretasikan berdasarkan

sistem koordinat lokal dari elemen tersebut. Untuk lebih jelasnya lagi dapat melihat contoh di bawah ini.

Contoh 4.1 :

Diketahui sebuah struktur rangka yang merupakan struktur papan panjat tebing seperti tergambar.

Apabila diketahui penampang batang seragam A = 50 cm2, maka hitunglah gaya-gaya batang yang

bekerja pada struktur tersebut ?


8/29



19

CHAPTER 3

Gambar 3.2 Struktur rangka dua dimensi

Penyelesaian :

Perhitungan panjang elemen :

L1 =22 3,20,6 = 6,4257 m

L4 =22 3,60,6 = 8,7000 m

L5 =22 0,40,6 = 7,2111 m

Gambar 3.3 Penomoran struktur rangka dua dimensi


9/29



20

CHAPTER 3

Perhitungan sudut belahan :

Gambar 3.4 Sudut belahan elemen

1 = 360 – sin-1

4257,6

3,2= 339,02640

4 = 90 – cos-1

7000,86 = 43,60280

5 = 90 – sin-1

2111,7

4= 56,30990

Tabel 3.1 Data struktur rangka

ElemenUjung Batang

α cos α sin αi j

1 2 3 339,02640 0,9337 -0,3579

2 4 2 00 1 0

3 4 3 900 0 1

4 4 1 43,60280 0,7241 0,6897

5 2 1 56,30990 0,5547 0,8321

6 3 1 00 1 0

Perhitungan matrix kekakuan elemen [)e(

lk ] :

[

)e(

lk ] = L

E. A

.

0000

0101

0000

0101

[)1(

lk ] =57,642

E.50.

0000

0101

0000

0101

=

0000

00778,000778,0

0000

00778,000778,0

E

[)2(

lk ] =00,230

E.50.

0000

0101

0000

0101

=

0000

02174,002174,0

0000

02174,002174,0

E


10/29



21

CHAPTER 3

[)3(

lk ] =00,600

E.50.

0000

0101

0000

0101

=

0000

00833,000833,0

0000

00833,000833,0

E

[)4(

lk ] =00,870

E.50.

0000

0101

00000101

=

0000

00575,000575,0

000000575,000575,0

E

[)5(

lk ] =11,721

E.50.

0000

0101

0000

0101

=

0000

00693,000693,0

0000

00693,000693,0

E

[ )6(lk ] =00,630E.50 .

0000

01010000

0101

=

0000

00794,000794,00000

00794,000794,0

E

Perhitungan matrix transformasi elemen [ )e(T ] :

]T[ )e( =

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

]T[ )1( =

9337,03579,000

3579,09337,000009337,03579,0

003579,09337,0

T)1( ]T[ =

9337,03579,000

3579,09337,000009337,03579,0

003579,09337,0

]T[ )2( =

1000

0100

0010

0001

T)2( ]T[ =

1000

0100

0010

0001

]T[ )3( =

01001000

0001

0010

T)3( ]T[ =

01001000

0001

0010

]T[ )4( =

7241,06897,000

6897,07241,000

007241,06897,0

006897,07241,0

T)4( ]T[ =

7241,06897,000

6897,07241,000

007241,06897,0

006897,07241,0

]T[ )5( =

5547,08321,000

8321,05547,000

005547,08321,0

008321,05547,0

T)5( ]T[ =

5547,08321,000

8321,05547,000

005547,08321,0

008321,05547,0


11/29



22

CHAPTER 3

]T[ )6( =

1000

0100

0010

0001

T)6( ]T[ =

1000

0100

0010

0001

Perhitungan matrix kekakuan global ]k[)e(

g :

]k[)1(

g =T)1( ]T[ . ]k[

)1(l . ]T[

)1(

]k[)1(

g =

9337,03579,000

3579,09337,000

00930,03579,0

003579,09337,0

0000

00778,000778,0

0000

00778,000778,0

E

9337,03579,0003579,09337,000

00930,03579,0

003579,09337,0

=

0100,00260,00100,00260,0

0260,00678,00260,00678,0

0100,00260,00100,00260,0

0260,00678,00260,00678,0

E

]k[)2(

g =T)2( ]T[ . ]k[

)2(l . ]T[

)2(

]k[)2(

g =

1000

0100

0010

0001

0000

02174,002174,0

0000

02174,002174,0

E

1000

0100

0010

0001

=

0000

02174,002174,0

0000

02174,002174,0

E

]k[)3(

g =T)3( ]T[ . ]k[

)3(l . ]T[

)3(

]k[)3(

g =

0100

1000

0001

0010

0000

00833,000833,0

0000

00833,000833,0

E

0100

1000

0001

0010

=

0833,000833,00

0000

0833,000833,00

0000

E


12/29



23

CHAPTER 3

]k[)4(

g =T)4( ]T[ . ]k[

)4(l . ]T[

)4(

]k[)4(

g =

7241,06897,000

6897,07241,000

007241,06897,0

006897,07241,0

0000

00575,000575,0

0000

00575,000575,0

E

7241,06897,000

6897,07241,000

007241,06897,0

006897,07241,0

=

0274,00287,00274,00287,0

0287,00301,00287,00301,0

0274,00287,00274,00287,0

0287,00301,00287,00301,0

E

]k[)5(

g =T)5( ]T[ . ]k[

)5(l . ]T[

)5(

]k[)5(

g =

5547,08321,000

8321,05547,000

005547,08321,0

008321,05547,0

0000

00693,000693,0

0000

00693,000693,0

E

5547,08321,000

8321,05547,000

005547,08321,0

008321,05547,0

=

0480,00320,00480,00320,0

0320,00213,00320,00213,0

0480,00320,00480,00320,0

0320,00213,00320,00213,0

E

]k[)6(

g =T)6( ]T[ . ]k[

)6(l . ]T[

)6(

]k[)6(

g =

1000

0100

0010

0001

0000

00794,000794,0

0000

00794,000794,0

E

1000

0100

0010

0001

=

0000

00794,000794,0

0000

00794,000794,0


13/29



24

CHAPTER 3

1 2 3 4

U1 V1 U2 V2 U3 V3 U4 V4

+0,0301

+0,0213

+0,0794

+0,0287

+0,0320

0

-0,0213 -0,0320 -0,0794 0 -0,0301 -0,0287 U1

1+0,0287

+0,0320

0

+0,0274

+0,0480

0

-0,0320 -0,0480 0 0 -0,0287 -0,0274 V1

-0,0213 -0,0320

+0,0678

+0,2174

+0,0213

-0,0260

0

+0,0320

-0,0678 +0,0260 -0,2174 0 U2

2

-0,0320 -0,0480

-0,0260

0

+0,0320

+0,0100

0

+0,0480

+0,0260 -0,0100 0 0 V2

-0,0794 0 -0,0678 +0,0260

+0,0678

0

+0,0794

-0,0260

0

0

0 0 U3

3

0 0 +0,0260 -0,0100

-0,0260

0

0

+0,0100

+0,0833

0

0 -0,0833 V3

-0,0301 -0,0287 -0,2174 0 0 0

+0,2174

0

+0,0301

0

0

+0,0287

U4

4

-0,0287 -0,0274 0 0 0 -0,0833

0

0

+0,0287

0

+0,0833

+0,0274

V4

Overall stiffness matrix :

4

4

3

3

2

2

1

1

G

F

G

F

G

F

G

F

=

1107,00287,00833,00000274,00287,0

0287,02174,00002174,00287,00301,0

0833,000933,00260,00100,00260,000

000260,01472,00260,00678,000794,0

000100,00260,00580,00060,00480,00320,0

02174,00260,00678,00060,03065,00320,00213,0

0274,00287,0000480,00320,00754,00607,0

0287,00301,000794,00320,00213,00607,01308,0

4

4

3

3

2

2

1

1

V

U

V

U

V

U

V

U


14/29



25

CHAPTER 3

Penataan ulang matrix (rearrangement) :

4

4

3

3

G

F

G

F

0

0

8000

0

=

1107,00287,00833,00000274,00287,0

0287,02174,00002174,00287,00301,0

0833,000933,00260,00100,00260,000

000260,01472,00260,00678,000794,0

000100,00260,00580,00060,00480,00320,0

02174,00260,00678,00060,03065,00320,00213,0

0274,00287,0000480,00320,00754,00607,0

0287,00301,000794,00320,00213,00607,01308,0

0

0

0

0

V

U

V

U

2

2

1

1

Kondisi batas displacement dan gaya :

r

e

F

F=

2221

1211

kk

kk.

k

u

U

U

4

4

3

3

2

2

1

1

G

F

G

F

G

FG

F

=

1107,00287,00833,00000274,00287,0

0287,02174,00002174,00287,00301,0

0833,000933,00260,00100,00260,000

000260,01472,00260,00678,000794,0

000100,00260,00580,00060,00480,00320,0

02174,00260,00678,00060,03065,00320,00213,00274,00287,0000480,00320,00754,00607,0

0287,00301,000794,00320,00213,00607,01308,0

4

4

3

3

2

2

1

1

V

U

V

U

V

UV

U

Uknown displacement :

{Uu} = [k11]-1 . ({Fe})

2

2

1

1

V

U

VU

=

1

0580,00060,00480,00320,0

0060,03065,00320,00213,0

0480,00320,00754,00607,00320,00213,00607,01308,0

.

2

2

1

1

G

F

GF

=

1

0580,00060,00480,00320,0

0060,03065,00320,00213,0

0480,00320,00754,00607,0

0320,00213,00607,01308,0

.

0

0

8000

0

=

9518,221820

0053,23965

4379,336289

2432,97890

Reaksi perletakan :

{Fr } = [k21] . {Uu}

4

4

3

3

G

F

G

F

=

000274,00287,0

02174,00287,00301,0

0100,00260,000

0260,00678,000794,0

2

2

1

1

V

U

V

U


15/29



26

CHAPTER 3

=

000274,00287,0

02174,00287,00301,0

0100,00260,000

0260,00678,000794,0

9518,221820

0053,23965

4379,336289

2432,97890

=

8806,6404

0027,11915

1194,15950027,11915

Kontrol :

V = F3 + F4

= 0

H = G3 + G4 – P

= 0

Perhitungan gaya batang :

}f { )e( = ]T[ )e( ]k[)e(

g ]U[)e(

}f { )1( = ]T[ )1( ]k[)1(

g ]U[)1(

3

3

2

2

g

f

g

f

=

9337,03579,000

3579,09337,000

009337,03579,0

003579,09337,0

0100,00260,00100,00260,0

0260,00678,00260,00678,0

0100,00260,00100,00260,0

0260,00678,00260,00678,0

E

3

3

2

2

V

U

V

U

=

9337,03579,000

3579,09337,000

009337,03579,0

003579,09337,0

0100,00260,00100,00260,0

0260,00678,00260,00678,0

0100,00260,00100,00260,0

0260,00678,00260,00678,0

E

0

0

9518,221820

0053,23965

=

7560,6

7617,4438

7560,6

7617,4438

E

}f { )2( = ]T[ )2( ]k[)2(

g ]U[)2(

2

2

4

4

g

f

g

f

=

1000

0100

0010

0001

0000

02174,002174,0

0000

02174,002174,0

E

2

2

4

4

V

U

V

U


16/29



27

CHAPTER 3

=

1000

0100

0010

0001

0000

02174,002174,0

0000

02174,002174,0

E

9518,221820

0053,23965

0

0

=

0

9922,5209

09922,5209

E

}f { )3( = ]T[ )3( ]k[)3(

g ]U[)3(

3

3

4

4

g

f

g

f

=

0100

1000

0001

0010

0833,000833,00

0000

0833,000833,00

0000

E

3

3

4

4

V

U

V

U

=

0100

1000

0001

0010

0833,000833,00

0000

0833,000833,00

0000

E

0

0

0

0

=

0

0

0

0

}f {

)4(

= ]T[

)4(

]k[

)4(

g ]U[

)4(

1

1

4

4

g

f

g

f

=

7241,06897,000

6897,07241,000

007241,06897,0

006897,07241,0

0274,00287,00274,00287,0

0287,00301,00287,00301,0

0274,00287,00274,00287,0

0287,00301,00287,00301,0

E

1

1

4

4

V

U

V

U

=

7241,06897,000

6897,07241,000

007241,06897,0

006897,07241,0

0274,00287,00274,00287,0

0287,00301,00287,00301,0

0274,00287,00274,00287,0

0287,00301,00287,00301,0

E

4379,336289

2432,97890

0

0

=

3283,13

5443,9272

3283,13

5443,9272

E


17/29



28

CHAPTER 3

}f { )5( = ]T[ )5( ]k[)5(

g ]U[)5(

1

1

2

2

g

f

g

f

=

5547,08321,000

8321,05547,000

005547,08321,0

008321,05547,0

0480,00320,00480,00320,0

0320,00213,00320,00213,0

0480,00320,00480,00320,0

0320,00213,00320,00213,0

E

1

1

2

2

V

U

V

U

=

5547,08321,000

8321,05547,000

005547,08321,0

008321,05547,0

0480,00320,00480,00320,0

0320,00213,00320,00213,0

0480,00320,00480,00320,0

0320,00213,00320,00213,0

E

4379,336289

2432,97890

9518,221820

0053,23965

=

4330,3

4271,1919

4330,3

4271,1919

E

}f { )6( = ]T[ )6( ]k[)6(

g ]U[)6(

1

1

3

3

g

f

g

f

=

1000

0100

0010

0001

0000

00794,000794,0

0000

00794,000794,0

E

1

1

3

3

V

U

V

U

=

1000

0100

0010

0001

0000

00794,000794,0

0000

00794,000794,0

E

4379,336289

2432,97890

0

0

=

0

4853,7772

0

4853,7772


18/29



29

CHAPTER 3

3.4.8 Matrix Kekakuan Elemen Portal

Pada struktur portal dua dimensi, matrix kekakuan elemen yang didapatkan berdasarkan prinsip

superposisi, dapat dituliskan dalam bentuk :

j

j

j

i

i

i

m

g

f

m

g

f

=

L

EI4

L

EI60

L

EI2

L

EI60

L

EI6

L

EI120

L

EI6

L

EI120

00L

AE00

L

AEL

EI2

L

EI60

L

EI4

L

EI60

L

EI6

L

EI120

L

EI6

L

EI120

00

L

AE00

L

AE

22

2323

22

2323

j

j

j

i

i

i

v

u

v

u

(3.23)

3.4.9 Transformasi Koordinat

Transformasi koordinat pada struktur portal dua dimensi dalam notasi matrix, dapat dituliskan

dengan bentuk :

j

j

j

i

i

i

v

u

v

u

=

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

j

j

j

i

i

i

V

U

V

U

(4.24)

}u{ )e( = ]T[ )e( ]U[ )e( (3.25)

Analog untuk vektor gaya :

}f { )e( = ]T[ )e( ]F[ )e( (3.26)

Matrix kekakuan elemen portal dua dimensi pada koordinat global :

]k[)e(

g =T)e( ]T[ ]k[

)e(l ]T[

)e( (3.27)

Sedangkan persamaan kesetimbangan elemen pada koordinat lokal, dalam bentuk :

}F{ )e( = ]k[)e(

g ]U[)e( (3.28)

Untuk prosedur perhitungan selanjutnya serupa dengan elemen rangka. Untuk lebih jelasnya,

dapat melihat contoh di bawah ini.

Contoh 3.2 :

Diketahui sebuah struktur portal sederhana yang menerima beban merata dan beban terpusat

seperti tergambar di bawah ini. Diminta, hitunglah gaya displacement dan gaya-gaya dalam pada struktur

tersebut, apabila diketahui penampang balok 20 x 30 cm2 dan penampang kolom 30 x 30 cm2 ?


19/29



30

CHAPTER 3

P2 = 4000 kg

P1 = 2000 kgq = 100 kg/m

1

6.00 m4.00 m

5.00 m

Gambar 3.5 Struktur portal dua dimensi

Gambar 3.6 Penomoran struktur portal dua dimensi

Tabel 3.2 Data struktur portal

ElemenUjung Batang

α cos α sin αA

(cm2)

I

(cm4)i j

1 1 2 00 1 0 600 45000

2 3 1 900 0 1 900 67500

3 4 2 900 0 1 900 67500

Perhitungan Inersia penampang :

IBalok = 1/12 . b . h3

= 1/12 . 20 . 303

= 45000 cm4

IKolom = 1/12 . b . h3

= 1/12 . 30 . 303

= 67500 cm4


20/29



31

CHAPTER 3

Tabel 3.3 Data elemen struktur portal

ElemenL

(cm)

A

(cm2)

I

(cm4) L

EA3L

EI122L

EI6

L

EI4

L

EI2

1 1000 600 45000 0,6000.E 0,0005.E 0,2700.E 180.E 90.E

2 500 900 67500 1,8000.E 0,0065.E 1,6200.E 540.E 270.E

3 500 900 67500 1,8000.E 0,0065.E 1,6200.E 540.E 270.E

Perhitungan matrix kekakuan elemen ]k[)e(

l :

]k[

)e(

l =

L

EI4

L

EI60

L

EI2

L

EI60

L

EI6

L

EI120

L

EI6

L

EI120

00L

AE00L

AE

L

EI2

L

EI60

L

EI4

L

EI60

L

EI6

L

EI120

L

EI6

L

EI120

00L

AE00

L

AE

22

2323

22

2323

]k[)1(

l =

1802700,00902700,002700,00005,002700,00005,00

006000,0006000,0

902700,001802700,00

2700,00005,002700,00005,00

006000,0006000,0

E

]k[)2(

l =

5406200,102706200,10

6200,10065,006200,10065,00

008000,1008000,1

2706200,105406200,10

6200,10065,006200,10065,00

008000,1008000,1

E

]k[)3(

l =

5406200,102706200,10

6200,10065,006200,10065,00

008000,1008000,1

2706200,105406200,106200,10065,006200,10065,00

008000,1008000,1

E


21/29



32

CHAPTER 3

Perhitungan matrix transformasi elemen [ )e(T ] :

]T[ )e( =

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

]T[ )1( =

100000

010000

001000

000100

000010

000001

T)1( ]T[ =

100000

010000

001000

000100

000010

000001

]T[ )2( =

100000

001000

010000

000100

000001

000010

T)2( ]T[ =

100000

001000

010000

000100

000001

000010

]T[ )3( =

100000

001000

010000

000100

000001

000010

T)3( ]T[ =

100000

001000

010000

000100

000001

000010

Perhitungan matrix kekakuan global ]k[)e(

g :

]k[)1(

g =T)1( ]T[ . ]k[

)1(l . ]T[

)1(

]k[)1(

g =

100000

010000

001000

000100

000010

000001

1802700,00902700,00

2700,00005,002700,00005,00

006000,0006000,0

902700,001802700,00

2700,00005,002700,00005,00

006000,0006000,0

E

100000

010000

001000

000100

000010

000001


22/29



33

CHAPTER 3

=

1802700,00902700,00

2700,00005,002700,00005,00

006000,0006000,0

902700,001802700,00

2700,00005,002700,00005,00

006000,0006000,0

E

]k[)2(

g =T)2( ]T[ . ]k[

)2(l . ]T[

)2(

]k[)2(

g =

100000

001000

010000

000100

000001

000010

5406200,102706200,10

6200,10065,006200,10065,00

008000,1008000,1

2706200,105406200,10

6200,10065,006200,10065,00

008000,1008000,1

E

100000

001000

010000

000100

000001000010

=

54006200,127006200,1

08000,1008000,10

6200,100065,06200,100065,0

270016200,54006200,1

08000,1008000,10

6200,100065,06200,100065,0

E

]k[)3(

g =T)3( ]T[ . ]k[

)3(l . ]T[

)3(

]k[)3(

g =

100000

001000

010000

000100

000001

000010

5406200,102706200,10

6200,10065,006200,10065,00

008000,1008000,1

2706200,105406200,10

6200,10065,006200,10065,00

008000,1008000,1

E

100000

001000

010000

000100

000001

000010


23/29



34

CHAPTER 3

=

54006200,127006200,1

08000,1008000,10

6200,100065,06200,100065,0

27006200,154006200,1

08000,1008000,10

6200,100065,06200,100065,0

E

Perakitan matrix kekakuan struktur :

U1 V1 1 U2 V2 2 U3 V3 3 U4 V4 4

+0,6000

+0,0065

0

0

0

+1,6200-0,6000 0 0 -0,0065 0 +162 0 0 0 U1

0

0

+0,0005

+1,8000

+0,2700

00 -0,0005 +0,2700 0 -1,8000 0 0 0 0 V1

0

+1,6200

+0,2700

0

+180

+540

0 -0,2700 +90 -1,6200 0 +270 0 0 0 1

-0,6000 0 0+0,6000

+0,0065

0

0

0

+1,62000 0 0

-

0,00650 +1,6200 U2

0 -0,0005 -0,27000

0

+0,0005

+1,8000

-0,2700

00 0 0 0 -1,8000 0 V2

0 +0,2700 +900

+1,6200

-0,2700

0

+180

+5400 0 0

-

1,62000 +270 2

-0,0065 0 -1,6200 0 0 0 +0,0065 0-

1,62000 0 0 U3

0 -1,8000 0 0 0 0 0 +1,8000 0 0 0 0 V3

+1,6200 0 +270 0 0 0 -1,6200 0 +540 0 0 0 3

0 0 0 -0,0065 0 -1,6200 0 0 0 0 0 0 U4

0 0 0 0 -1,8000 0 0 0 0 0 0 0 V4

0 0 +1,6200 0 +270 0 0 0 0 0 0 4

Overall stiffness matrix :

00000027006200,1000

00000008000,10000

0000006200,100065,0000

00054006200,100027006200,1

00008000,1000008000,10

0006200,100065,00006200,100065,0

27006200,10007202700,06200,1902700,00

08000,100002700,08005,102700,00005,00

6200,100065,00006200,106065,0006000,0

00027006200,1902700,007202700,06200,1

00008000,102700,00005,002700,08005,10

0006200,100065,0006000,06200,106065,0


24/29



35

CHAPTER 3

Perhitungan momen primer :

M1-2 =2L

q )x.4/1Lx.3/1( 43

x

0

+ 22

L

b.a.P

=210

100 )x.4/1Lx.3/1( 43

4

0

+

2

2

10

6.4.P

=210

100 )]0.4/10.10.3/1()4.4/14.10.3/1[( 4343 +

2

2

10

6.4.4000

=210

100 [(213,3333 – 64) – (0)] + 5760

=210

100 149,3333 + 5760

= -5909,3333 kg.m

= -590933,33 kg.cm

M2-1 =2L

q)x.4/1Lx.3/1( 43

x

0

+ 22

L

b.a.P

=210

100)x.4/1Lx.3/1( 43

4

0

+ 22

10

6.4.P

=210

100)]4.4/14.10.3/1()10.4/110.10.3/1[( 4343 +

2

2

10

6.4.4000

=210

100)]3333,149()3333,833[( + 3840

=210

100684 + 3840

= 4524 kg.m

= 452400 kg.cm

P2 = 4000 kg

q = 100 kg/m

1

21

6.00 m4.00 m

Gambar 3.7 Momen primer pada balok


25/29



36

CHAPTER 3

Free body diagram :

P2 = 4000 kg

q = 100 kg/m1

21

6.00 m4.00 m

= 6,66674000

600

4000

400 = 10

100.600.300

1000 = 18000 = 42000

= 590,9333

590933,33

1000 = 590,9333

= 452,4000 452400

1000 = 452,4000

18145,2000 41871,4667

590933,33

1000

452400

1000

100.600.700

1000

Gambar 3.8 Free body diagram portal

Analisa beban :

Beban joint : Beban ekivalen : Beban kombinasi

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

m

g

f

mg

f

m

g

f

m

g

f

=

0

0

0

00

0

0

0

0

0

2000

0

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

m

g

f

mg

f

m

g

f

m

g

f

=

0

0

0

00

0

0000,452400

4667,41871

0

3300,590933

2000,18145

0

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

m

g

f

mg

f

m

g

f

m

g

f

=

0

0

0

00

0

0000,452400

4667,41871

0

3300,590933

2000,20145

0


26/29



37

CHAPTER 3

18145,2000 41871,4667

590933,33 452400

Beban ekivalen

20145,2000 41871,4667

590933,33 452400

2000

Beban joint Beban kombinasi

Gambar 3.9 Analisa beban

Uknown displacement :

00000027006200,1000

00000008000,10000

0000006200,100065,0000

00054006200,100027006200,1

00008000,1000008000,10

0006200,100065,00006200,100065,0

27006200,10007202700,06200,1902700,00

08000,100002700,08005,102700,00005,00

6200,100065,00006200,106065,0006000,0

00027006200,1902700,007202700,06200,100008000,102700,00005,002700,08005,10

0006200,100065,0006000,06200,106065,0

{Uu} = [k11]-1 . ({Fe})

4

4

4

3

3

3

V

U

V

U

=

1

7202700,06200,1902700,00

2700,08005,102700,00005,00

6200,106065,0006000,0

902700,007202700,06200,1

2700,00005,002700,08005,10

006000,06200,106065,0

2

2

2

1

1

1

m

g

f

m

g

f

=

1

7202700,06200,1902700,00

2700,08005,102700,00005,00

6200,106065,0006000,0

902700,007202700,06200,1

2700,00005,002700,08005,10

006000,06200,106065,0

0000,452400

466,41871

0

3300,590933

2000,20145

0

=

1227,23312

466,41871

1790,43395

5042,1009

5806,11141

5527,45626


27/29



38

CHAPTER 3

Reaksi perletakan :

4

4

4

3

3

3

m

g

f

m

g

f

=

27006200,1000

08000,10000

6200,100065,0000

00027006200,1

00008000,10

0006200,100065,0

4

4

4

3

3

3

V

U

V

U

=

27006200,1000

08000,10000

6200,100065,0000

00027006200,1

00008000,10

0006200,100065,0

1227,23312

466,41871

1790,43395

5042,1009

5806,11141

5527,45626

=

1186,246426

8209,41961

8242,1338

1226,198651

8451,20054

8242,1338

Kontrol :

H = 0 f 3 + f 4 = 0

V = 0 G3 + G4 – (20145,2 + 41871,4667) = 0

20145,2000 41871,4667

590933,33 452400

1338,8242 1338,8242

20054,8451 41961,8209

Gambar 3.10 Reaksi perletakan struktur portal


28/29



39

CHAPTER 3

Perhitungan gaya-gaya elemen :

}f { )e( = ]T[ )e( ]k[)e(

g ]U[)e(

}f { )1( = ]T[ )1( ]k[)1(

g ]U[)1(

2

2

2

1

1

1

m

g

f

m

gf

=

100000

010000

001000

000100

000010000001

1802700,00902700,00

2700,00005,002700,00005,00

006000,0006000,0

902700,001802700,00

2700,00005,002700,00005,00006000,0006000,0

E

1227,23312

466,41871

1790,43395

5042,1009

5806,11141

5527,45626

=

395,4278740

4743,6551

8242,1338

730,2271504

4743,6551

8242,1338

E

}f {

)2(

= ]T[

)2(

]k[

)2(

g ]U[

)2(

1

1

1

3

3

3

m

g

f

m

g

f

=

100000

001000

010000

000100

000001

000010

54006200,127006200,1

08000,1008000,10

6200,100065,06200,100065,0

270016200,54006200,1

08000,1008000,10

6200,100065,06200,100065,0

E

5042,1009

5806,11141

5527,456260

0

0

=

8451,20054

8242,1338

8451,20054

1186,198651

8242,1338

8451,20054

E


29/29

CHAPTER 3

}f { )3( = ]T[ )3( ]k[)3(

g ]U[)3(

2

2

2

4

4

4

m

g

f

m

g

f

=

100000

001000

010000

000100

000001

000010

54006200,127006200,1

08000,1008000,10

6200,100065,06200,100065,0

270016200,54006200,1

08000,1008000,10

6200,100065,06200,100065,0

E

1227,23312

466,41871

1790,43395

0

0

0

=

6388,75368

5701,37438

6388,75368

9390,6223972

5701,37438

6388,75368

E

20054,8451

20054,8451

1338,8442

1338,8442

198651,1186

20054,8451

1338,8442

6551,4743

2271504,730

1338,8442

6551,4743

4278740,395

75368,6388

37438,5701

6223972,9390

75368,6388

37438,5701

75368,6388

1

2 3

Gambar 3.11 Freebody diagram gaya dalam dan momen pada struktur portal

Documents

09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix