01 Analisis de Vigas y Marcos

8/16/2019 01 Analisis de Vigas y Marcos

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INGª ANITA ALVA SARMIENTO

UNIDAD IV

METODO DE RIGIDEZ

ANALISIS DE VIGAS Y MARCOS


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ANALISIS ESTRUCTURAL Ingº ANITA ALVA SARMIENTO

Primero determinaremos cómo subdividir la estructura en sus

componentes de elementos finitos. En general, los nodos de

cada elemento se localizan en un soporte (apoyo), en una

esquina (nudo), en los que se aplica una fuerza externa o donde

va a determinarse el desplazamiento lineal o rotacional en un

punto (o nodo).

IDENTIFICACION DE MIEMBROS Y NODOS:


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MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN MIEMBRO DE UN MARCO

Determinamos el sistema de coordenadas locales de un elemento:


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Desplazamientos x’ :

Si el miembro sufre un desplazamiento dNX’ o dFX` , se generan

las fuerzas axiales en los extremos del miembro mostradas en

la siguientes figura:


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Desplazamientos y’ :

Las fuerzas cortantes y momentos flexionantes resultantes que se

generan cuando se impone un desplazamiento positivo dNY’

mientras todos los otros posibles desplazamientos están

impedidos, igualmente cuando se impone un desplazamiento dFY’

las fuerzas cortantes y momentos requeridos serán así:


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Rotaciones z’ :

Si se impone una rotación positiva dNZ’ mientras que todos los

otros posibles desplazamientos están impedidos, las fuerzascortantes y momentos requeridos para esta deformación son

como se muestra en la figura siguiente:


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Por superposición, si se suman los resultados anteriores

(desplazamiento x`, desplazamiento y` y rotación z`) las seis

relaciones carga – desplazamiento para el miembro pueden

expresarse en forma matricial como:


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[q] = [k’] [d]


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MATRIZ DE TRANSFORMACION DE

DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS

Como en el caso de las armaduras, debemos transformar las

cargas internas q de miembros así como las deformaciones d

de coordenadas locales x’ , y’ , z’ a coordenadas globales X, Y,

Z. Por eso se requieren matrices de transformación.


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Matriz de transformación de desplazamientos:

Considere el miembro de marco mostrado en la figura, aquí se

tiene un desplazamiento de coordenada global DNx generadesplazamientos de coordenadas locales.

dNx’ = DNx Cos θx dNy’ = - DNx Cos θy


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Igualmente, un desplazamiento de coordenada global DNy

genera los siguientes desplazamientos en coordenadas de

coordenadas locales:

dNx’ = DNy Cos θy dNy’ = DNy Cos θx


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Finalmente, como los ejes z y z’ coinciden, esto es que están

dirigidos hacia afuera, una rotación de DNz alrededor de z,

genera una correspondiente rotación dNz’ , alrededor de z`, asi

tenemos:

dNz’ = DNz


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De manera similar, si desplazamientos globales DFx en la

dirección x, DFy en la dirección y y una rotación DFz se imponen

sobre el extremo alejado del miembro, las ecuaciones detransformación resultantes son , respectivamente,

dFx’ = DFx Cos θx dFx’ = - DFx Cos Θy

dFx’ = DFy Cos θy dFy’ = DFy Cos Θy

dFz’ = DFz

Si hacemos C = Cos θx y S = Cos θy representan los cosenos

directores del miembro, quedando en forma matricial:


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Como vemos, T transforma los seis desplazamientos

globales D en x, y , z, en los seis desplazamientos locales d

x’, y`, z’ , por esos a T se le llama Matriz de Transformación

de Desplazamientos.

[ d ] = [ T ] [ D ]


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Matriz de transformación de fuerzas:

Si ahora aplicamos cada componente de carga al extremo

cercano del miembro, podemos determinar como transformar

las componentes de carga, de coordenadas locales a

globales.

Si aplicamos qNx` vemos que:

QNx = qNx’ Cos θx QNy = qNx’ Cos θy


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Si aplicamos qNy` sus componentes son entonces:

QNx = - qNy’ Cos θy

QNy = qNy’ Cos θx


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Finalmente, como qNz` , es colineal con: QNz` , tenemos:

QNz = qNz’

De manera similar, las cargas externas de qFx’ , qFy’ qFz’ darán

las siguientes componentes respectivas:

QFx’ = qFx’ Cos θx QFx’ = dFx Cos Θy

QFx’ = - qFy’ Cos θy QFy’ = QFy’ Cos Θy

QFz = qFz’


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Estas ecuaciones, agrupadas en forma matricial con C = Cos θx

y S = Cos θy , tenemos:

[Q] = [ TT ] [ q ]

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