Analisis Estructural de Vigas Elasticas

“Año de la Promoción de la Industria Responsable y del Compromiso Climático”

FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIRIA CIVIL

ASESOR:

ING. Hugo Gonzalo Díaz

CURSO:

Análisis Estructural

AUTOR:

Rodríguez Pérez Mercedes Beatriz

TEMA:

Teoría de la Viga Elástica

CHIMBOTE – PERÚ

2014

“Teoría de Vigas Elásticas”

Ing. Hugo Gonzalo Díaz

DEDICATORIA

A Dios por brindarnos salud, ser manantial de vida y darnos lo necesario para seguir adelante día a día y lograr nuestros objetivos, además de su infinita bondad y amor.

A nuestros padres por los ejemplos de perseverancia y constancia que los caracterizan y que nos han infundado siempre.

A nuestra profesora por su gran apoyo y motivación para la culminación de nuestra monografía, por su apoyo ofrecido en este trabajo, por habernos transmitido los conocimientos obtenidos y habernos llevado pasó a paso en el aprendizaje.

ANALISIS ESTRUTURAL Página 2



INTRODUCCION

Las vigas generalmente son cuerpos sólidos de forma alargada y sección recta

constante, de gran interés en ingeniería y arquitectura, que normalmente se

utilizan en posición horizontal y siendo su longitud grande comparada con las

dimensiones de su sección recta.

Las vigas pueden estar sometidas a cargas concentradas, cargas distribuidas o

a pares (momentos concentrados) que actúen solos o en una combinación

cualquiera, siendo la flexión la principal deformación que sufren.

Puede definirse una viga como un sólido homogéneo e isótropo engendrado

por una sección transversal, que generalmente admite un plano de simetría y

cuyo centro de gravedad describe una curva o línea, denominada directriz,

siendo el plano que contiene a la sección transversal normal a dicha directriz.




OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Establecer las reacciones existentes entre las deformaciones de una

viga de un material homogéneo y elástico y los momentos flexionante de

una viga.

OBJETIVO ESPECIFICO

Aprender a calcular desplazamientos y giros en cualquier punto de la viga real utilizando una viga ficticia para ello.




TEORIA DE VIGAS ELASTICAS




TEORIA DE VIGAS ELASTICAS

1.1.-Marco Teórico:

Definición:

La viga es un elemento estructural de forma alargada y generalmente horizontal o inclinada que sirve para formar y cargar losas en los edificios y sostener cargas.

Su trabajo estructural es a flexión.

Existen vigas de concreto reforzado, acero y madera.

A la viga de concreto se le conoce también con el nombre de trabe.

1.2.-Teoria de vigas:

La curva elástica o elástica:

Es la deformada por flexión del eje longitudinal de una viga recta, la

cual se debe a la aplicación de cargas transversales en el plano x, y

sobre la viga.

Ecuación de la elástica.

La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga

de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica.

Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el

campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma

recta original a la forma curvada o flectada final. Para una viga de

material elástico lineal sometido a pequeñas deformaciones la ecuación

diferencial de la elástica viene dada por:




Pendiente y Deformaciones en Vigas:

Las fórmulas que se aplican para calcular pendientes y deformaciones

en vigas, o sea la flecha máxima y el giro en el apoyo para algunos

casos particulares de la curva elástica que se produce en vigas

sometidas a cargas.

Flexión Mecánica:

En ingeniería se denomina flexión al tipo de deformación que presenta

un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular a su

eje longitudinal. El término "alargado" se aplica cuando una dimensión

es dominante frente a las otras. Un caso típico son las vigas, las que

están diseñadas para trabajar, principalmente, por flexión. Igualmente,

el concepto de flexión se extiende a elementos estructurales

superficiales como placas o láminas.

El rasgo más destacado es que un objeto sometido a flexión presenta

una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo

largo de cualquier curva contenida en ella no varía con respecto al

valor antes de la deformación. El esfuerzo que provoca la flexión se

denomina momento flector.




Teorema de los tres Momentos:

El teorema de los tres momentos o teorema de Clapeyron es una

relación deducida de la teoría de flexión de vigas y usada en análisis

estructural para resolver ciertos problemas de flexión hiperestática,

fue demostrado por Émile Clapeyron a principios del siglo XIX.

Prisma Mecánico:Un prisma mecánico o pieza prismática es un modelo mecánico de

sólido deformable, usado para calcular elementos estructurales como

vigas y pilares. Geométricamente un prisma mecánico puede

generarse al mover una sección transversal plana a lo largo de una

curva, de tal manera que el centro de masa de la sección esté en todo

momento sobre la curva y el vector tangente a la curva sea

perpendicular a la sección transversal plana.

1.3.- ECUACIÓN MOMENTO-CURVATURA PARA UNA VIGA DE MATERIAL ELÁSTICO NO LINEAL:

Consideremos una viga de sección rectangular constante sometida a una

serie de cargas externas que la deforman. Si la barra está curvada

significa que el material de la parte interna de la curva está comprimido,

mientras que el material de la parte externa está estirado como se

muestra en la Fig. 1 (a). Existe una superficie que no está ni comprimida

ni estirada y que se conoce como superficie neutra.

Consideraremos tres hipótesis relativas a la forma en que el esfuerzo

deforma al material de la viga. Para pequeñas flexiones de vigas simples

el eje longitudinal de la viga, es decir, la línea que une los centros de

gravedad de las secciones transversales de la viga, no experimenta

ningún cambio de longitud y se conoce como línea neutra. Es evidente

que la línea neutra pertenece a la superficie neutra de la viga. El momento

tiende a deformar la viga en forma tal que esta línea recta se vuelve una

línea curva.




La segunda hipótesis es que todas

las secciones transversales de la

viga permanecen planas y

perpendiculares al eje longitudinal

durante la deformación. La tercera

hipótesis es que cualquier

deformación de la sección

transversal dentro de su propio

plano será despreciada. En

particular, el eje contenido en el

plano de la sección transversal y

respecto al cual gira la sección se

llama eje neutro.

Si el comportamiento del material es lineal, la ley de Bernoulli-Euler indica

que el momento flector es inversamente proporcional al radio de

curvatura, sin embargo si el comportamiento del material no es lineal esto

se cumple. Para flexión pura, una rebanada delgada de la barra se

deforma. El material por debajo de la superficie neutra tiene una

deformación compresional, que veremos es proporcional a la distancia a

la superficie neutra,

mientras que el material

por encima está estirado,

también en proporción a la

distancia a la superficie

neutra. Es fácil ver que la

relación entre el

estiramiento longitudinal

Dl de una fibra de la viga,

la altura y longitud de la

fibra antes de la



Ing. Hugo Gonzalo Díazdeformación l y el radio de curvatura r, es 2q = Dl/y = l/r, de

donde:

1.4.- ELÁSTICA Y FLECHA PARA UNA VIGA EN VOLADIZO:

Para obtener la ecuación de la curva elástica z = z(x) es necesario

conocer el momento flector M. Como ejemplo consideremos una viga

empotrada en un extremo y libre en el otro, también conocida como viga

en voladizo o ménsula, sobre la que se aplica una fuerza concentrada F

en el extremo libre y una fuerza P uniformemente distribuida a lo largo de

la longitud de la viga (que puede ser, por ejemplo, el peso de la propia

viga). Viga en voladizo de longitud L, sección rectangular constante, peso

P uniformemente repartido a lo largo de su longitud y que soporta una

carga concentrada F en el extremo libre. El momento flector es una

función de la coordenada x ya que es el momento con respecto al eje

neutro de cualquier sección. Para la viga en voladizo considerada, el

momento flector MF debido a la carga puntual F aplicada en el extremo de

la viga respecto a la sección situada a una distancia x del empotramiento

puede calcularse fácilmente mediante la ecuación.




METODO DE INTEGRACION

DOBLE




METODO DE INTEGRACIÓN DOBLE

2.2.-MARCO TEORICO:

Definición:

Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para

resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en

vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.

Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas

de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las

ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo

integral.

El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la

deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de

máxima deflexión.




2.3.-METODO DE LA DOBLE INTEGRACION:



Ing. Hugo Gonzalo Díaz2.4.-CONDICIONES INICIALES EN DIFERENTES TIPOS DE VGAS:







CONCLUSIONES

Partiendo de la hipótesis de que el material del que está fabricada una

viga flexionada es elástico no lineal de tipo Ludwick, se ha obtenido la

ecuación diferencial de la elástica de la viga de forma análoga a como se

hace en el libro de Feynman.

Esta ecuación diferencial se ha simplificado considerando el caso de

pequeños desplazamientos de la directriz de la viga (pendientes

pequeñas) y se ha resuelto para el caso de una viga empotrada en un

extremo sometida a distintos tipos de cargas. Se han obtenido las

ecuaciones de la elástica y la flecha, comparándolas con las

correspondientes al caso de material elástico lineal.

Este estudio permite presentar a los estudiantes que el comportamiento

elástico de los materiales no es siempre lineal y que los resultados que se

obtienen son diferentes dependiendo de cómo sea este comportamiento.

Por último, en el desarrollo se han utilizado conceptos físicos de gran

interés en un curso de Mecánica (esfuerzo, momento flector, fuerza



Ing. Hugo Gonzalo Díazpuntual, fuerza distribuida, elástica, momento de inercia de una

sección plana, flexión, deformación, etc.), asícomo de cálculo infinitesimal

(derivada, integral, radio de curvatura de una curva, etc.).

BIBLIOGRAFIA

W. F. Riley y L. D. Sturges, Ingeniería Mecánica: Estática (Reverté,

Barcelona, 1995).

F. Belmar, A. Garmendía y J. Linares, Curso de Física Aplicada: Estática

(Universidad Politécnica de Valencia, 1987)

M. R. Ortega, Lecciones de Física: Mecánica 3 (Edita el autor, Córdoba,

1987).

A. Bedford y W. Fowler, Mecánica para Ingeniería: Estática (Addison-

Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1987)

L. Ortiz-Berrocal, Resistencia de Materiales (McGraw-Hill, Madrid, 1997).

R. C. Hibbeler, Mecánica de Materiales (Prentice Hall, México, 1998).

A. Beléndez, C. Neipp y T. Beléndez, "Estudio experimental de una viga en

voladizo'', Rev. Esp. Fis. 15 (3) 42-45 (2001).


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