الباب السابع: الباب السابع: التوزيع الطبيعيالتوزيع الطبيعي

Chapter 7:Chapter 7: The Normal Distribution The Normal Distribution

http://stat.kau.edu.sa

:: 77 - - 11مقدمـــةمقدمـــة

يعتبر التوزيع الطبيعي ) أو المعتدل ( من اهم و اشهر التوزيعاتاالحتمالية النه يصف معظم الظواهر الطبيعية مثل : درجة الحرارة ,

مستوى الذكاء , الوزن , الطول , درجات الطلبة , ...

http://stat.kau.edu.sa

الطبيعي: 77 – – 11 – – 11 التوزيع الطبيعي: دالة التوزيع دالةالعشوائي ُي المتغير أن ً يتبع X قال طبيعيا ً و بالمعلمتين توزيعا

هي االحتمالية كثافته دالة كانت إذا

أن التوزيع متوسط هي حيثالتوزيع هي و هكذا ، تباين يكتب ما وغالبا

المركز أن نالحظ الدالة هذه منحنى قمته ولرسم يناظرمتماثل أن ايالوحيدة. الرأسي المنحنى المستقيم حول

من يتضح .كما التالي الشكل

2

2

1 ( )( ) exp ,22

xf x x

2

2

x

),(~ 2NX

خواص التوزيع خواص التوزيع 77 – – 11 – – 22: : الطبيعيالطبيعي

الطبيعي التوزيع الطبيعي منحنى التوزيع منحنى الواحد تساوي المنحنى تحت . الصحيح المساحة التوزيع الشكل ناقوسالطبيعي منحنى (Bell-Shaped )ي

اـنه بالنقطWة (Symmetric) متماـثل ـأي المار الرأسWي المحور حولمتوسWط عندهWا التوزيWع، وهWي المنحنWي تو تحWت المسWاحة قسWم

فهي بالتالي و متماثلين، نصفين . الوسيطإلى عWWعظمــي للتوزي النقطWWة نهايــة تكون عنWWد بالتالWWي و أيضاً،

. المنوال تناظر واحده قمة الطبيعي للتوزيع أن حيث المنوال العشوائي المتغير أن بأن X نستنتج يتميز الطبيعي التوزيع يتبع :الذي

الوسط = = = الوسيط μالمنوال

له الطبيعي الصفر التوزيع يساوي التواء معامل عند انقالب نقتطتي له الطبيعي التوزيع منحنى

X

X

X

التوزيع الطبيعي القياسي التوزيع الطبيعي القياسي 77 – – 11 – – 22: : )المعياري()المعياري(

المعياري ـصفر الذي المتغيWر ه متوـسطه وتبايـن واحد

ل القياسWية الصWورة الطWبيعي يمثWل اسWم لتوزيWع عليWه يطلWق والذيالقياسي ــو أ المعياري ــبيعي الط ــع القياسي التوزي ــو أ المعياري ــبيعي الط ــع Standard Standard )التوزي

Normal DistNormal Dist )هكذا يُكتب ما ً وغالبا

) صحيح ) واحد تساوي التوزيع منحنى تحت المساحة

مWع ىيسWالتوزي القياسWي هذا الطWبيعي القياسWي بالتوزيWع الطWبيعي توزيWع بالتوزيWع كWل ألWن نظراالتوزيWع هذا إلWي تحويلWه يمكWن الفعلي طبيعي المتغيWر بتحويWل وذلWك

X القياسي المتغير عن Zإلى التالية وذلك الصيغة طريق

عWالتوزي مWن خاصWة حالWة القياسWي الطWبيعي التوزيWع يكون وبذلWكالمعتدل الطبيعي

علي المعيارية z يطلق الدرجة Z-Scoreلفظ

XZ

~ 0,1Z N

XZ

012

أقل أقل من من

أكبر أكبر من من

االحتماالت أشكال

بين بين محصور محصورقيمتين قيمتين

إلى ( 1 المطلوب ننظر :اإلحتمال هو صورة أي على المسألة في

)( bZaP

)()()(

abbZaP

)(

)(a

aZP

)(1)(1

)(

aaZP

aZP

جدول( 3) من مباشرة قيمة ثم zنوجدرقم ) الخطوة في بقيمتها حسب( 2نعوض

المسألة في المطلوب

)(a

http://stat.kau.edu.sa

حساب المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي حساب المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي77 – – 33

)(a

http://stat.kau.edu.sa

a=2.7zΦ(2.7)=0.9965

a= 0,05Φ(0.05)= 0.5199

a= 0.7Φ(0.7)= 0.7580

a = 2Φ(2)=0.9772

عند القيم التالية φ(a)وبأستخدام المثال السابق نوجد

http://stat.kau.edu.sa

http://stat.kau.edu.sa

http://stat.kau.edu.sa

: حساب المساحة تحت منحنى التوزيع : حساب المساحة تحت منحنى التوزيع 77 – – 33القياسيالقياسي الطبيعيالطبيعي

جدول إستخدام طريقة جدول لتوضيح إستخدام طريقة لتوضيحالقياسي الطبيعي القياسي التوزيع الطبيعي ::التوزيع

1.Φ)0( =2 .P)Z<1.5(=

3 .P)1<Z<2.4(=4 .P)Z>0.8(=5 .P)Z<-1.2(=

الطبيعي : 77 – – 33 التوزيع منحنى تحت المساحة الطبيعي : حساب التوزيع منحنى تحت المساحة حسابصفحة) صفحة) القياسي (.(.222222القياسي

الطبيعي ـالتوزيع جدول إستخدام طريقة الطبيعي لتوضيح ـالتوزيع جدول إستخدام طريقة لتوضيحصفحة) صفحة) القياسي ((223223القياسي ::

1. (0) ( 0) 0.50002. ( 1.5) (1.5) 0.93323. (1 2.4) (2.4) (1) 0.9918 0.8413 0.15054. ( 0.8) 1 (0.8) 1 0.7881 0.21195. ( 1.2) ( 1.2) 0.1151

P ZP ZP ZP ZP Z

P( Z < -0.4 ) = 0.3446P( Z < -0.27) = 0.3936P( Z > -0.27 ) =1-0.3936 = 0.6064

http://stat.kau.edu.sa

المعيارية ) المعيارية )الدرجة ( ( Z - ScoreZ - Scoreالدرجة

يساو الحسابي متوسطه توزيع في معيارية درجة هييساوي صفراً ) ( المعياري مقارنة ) 1 ( وانحرافه يمكن وبذلك

وذلك ، التوزيع لنفس تنتمي التي الدرجات من غيرها مع الدرجةالمعيارية الدرجة التفضيل بحساب يكون ثم ومن ، منها لكل

المعيارية الدرجة قيمة مقدار ضوء . فيبالرمز ويرمز المعيارية بالرمز للدرجة المعيارية الخام ZZللدرجة الخام وللدرجة وللدرجةتحويل XXبالرمز بالرمز بالتحويلة Zإلى Xويتم سابقا ذكرنا XZ :كما

المعيارية الدرجة علي المعيارية تطبيقات الدرجة علي تطبيقات: الطبيعي :والتوزيع الطبيعي والتوزيع

(:(:224224صفحة )صفحة )( ( 77--11 ) )مثال: مثال: إذا كان الوسط الحسابي لمجموعة من المفردات

فاوجدي:(10)واالنحراف المعياري (50)60-الدرجة المعيارية الناظرة للدرجة الخام 145-الدرجة المعيارية المناظرة للدرجة الخام 2 1.5-الدرجة الخام المناظرة للدرجة المعيارية 3

http://stat.kau.edu.sa

الحل:الحل:

الحسابي = الوسط المعطيات المعياري, 10حسب االنحراف=60

1-

2-

3-

XZ

110

5060

Z

5.010

5045

Z

65155010

505.1

XXX