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Trigonometria no ciclo trigonométrico

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

Os biólogos de uma reserva ecológica descobriram

que a população P de animais, de certa espécie

presente na reserva, variava, durante o ano,

segundo a fórmula

onde t é o tempo medido em meses e t=1

corresponde ao mês de janeiro.

Qual seria a população de animais dessa espécie na

reserva no mês de novembro (1)?

Ao analisarmos a situação-problema, percebemos

que a população depende do tempo,ou seja, está em

função do tempo.

Dessa forma, a resolução do problema se dá pela

substituição de t (tempo), por um determinado valor,

no caso t=11, uma vez que, necessitamos saber a

população no mês de novembro e, como foi colocado

em janeiro t=1, daí t=11 ser novembro.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

Portanto:

Ao substituirmos t=11, nos deparamos com outra

situação:

Como encontramos o cosseno de um ângulo cujo

valor é maior que 360°?

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

Para responder a essa questão,

precisamos fazer um estudo do seno e

do cosseno de um arco, baseado em

nossos conhecimentos de trigonometria

no triângulo retângulo

a = medida da hipotenusa

b e c = medidas dos

catetos

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

Imagem: Modificada por, Gustavb usando a original de Eukleides / GNU Free Documentation License.

Razões trigonométricas no triângulo

retângulo

Num triângulo retângulo, podemos estabelecer

razões entre as medidas dos seus lados:

catetos, que formam o ângulo reto, e hipotenusa,

que se opõe ao ângulo reto.

Consideremos o triângulo ABC retângulo em e

um ângulo agudo de medida .

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

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icense.

Razão 1 – Seno de um ângulo agudo

Razão 2 – Cosseno de um ângulo agudo

Razão 3 – Tangente de um ângulo agudo

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

Exemplo:

Consideremos o triângulo ABC, retângulo em A.

Então:

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

C A

B

16

12

20 β

α

A ideia de seno e cosseno

de um número real

Consideremos, no ciclo trigonométrico, o ponto M,

que é a imagem do número real x, conforme indica a

figura.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

v

M” M

M’

x

O A u

Consideremos, também, o arco AM, que corresponde

ao ângulo central de medida x. Seja OM o raio do

ciclo, e M’’ e M’ as projeções do ponto M nos eixos v

e u, respectivamente.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

v

M” M

M’

x

O A

u

Do triângulo retângulo OM’M, temos:

Definimos:

• Seno de x é a ordenada do ponto M.

• Cosseno de x é a abcissa do ponto M.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

O eixo v é o eixo dos senos e o eixo u é o eixo dos

cossenos.

Daí, se M é um ponto do ciclo trigonométrico, podemos

escrever: M (cos x, sen x).

Essa nova definição tem a vantagem de não ficar restrita

aos ângulos agudos. Agora podemos falar em seno e

cosseno de arcos (ou ângulos) de qualquer medida.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

v

M” M

M’

x

O A u

No segundo quadrante, o seno é positivo e o cosseno é

negativo.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

M” M

M’ O A

sen x

cos x

No terceiro quadrante, o seno é negativo e o cosseno é

negativo.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

M” M

M’

O A

sen x

cos x

No quarto quadrante, o seno é negativo e o cosseno é

positivo.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

M”

M’

M

cos x O

A

sen x

Valores importantes de sen x e cos x

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

Vamos destacar os valores do

seno e cosseno para os arcos

com extremidade nas

extremidades dos quadrantes e

aqueles de 1º quadrante já

calculados nos triângulos

retângulos.

z=180º

270º = 3 π / 2

2 π = 360º cos

sen 90º = π/ 2

60º = (π/ 3)

45º = (π/ 4)

30º = (π/ 6)

0º = 0

O 1 / 2

1 / 2

√2 / 2

√2/ 2

√3 / 2

√3/ 2

Valores importantes de sen x e cos x

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

ARCO 0º

(0)

30º

(π/6)

45º

(π/4)

60º

(π/3)

90º

(π/2)

180º

(π)

270º

(3π/2)

360º

(2π)

SEN 0 ½ √2/2 √3/2 1 0 -1 0

COS 1 √3/2 √2/2 ½ 0 -1 0 1

Simetria no estudo do seno e cosseno

Usando a simetria, podemos

relacionar o seno e cosseno de um

arco de qualquer quadrante com os

valores do primeiro quadrante.

Desse modo, estaremos fazendo

uma redução ao 1º quadrante.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

Redução do segundo quadrante para o primeiro

quadrante

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

sen

cos

180º - x

GRAU RADIANO

sen (180º - x) = sen x

cos (180º - x) = - cos x

sen (π - x) = sen x

cos (π - x) = - cos x

Note que falta x para 180º ou π.

Dois arcos suplementares (x e 180º -x) têm: senos iguais

cossenos simétricos

sen

cos

π - x x x

Redução do terceiro quadrante para o primeiro

quadrante

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

sen

cos

180º + x

GRAU RADIANO

sen (180º + x) = -sen x

cos (180º + x) = - cos x

sen (π + x) = -sen x

cos (π + x) = - -cos x

Os arcos x e 180º + x têm: senos simétricos

cossenos simétricos

π + x

x

sen

cos

x

Redução do quarto quadrante para o primeiro

quadrante

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

sen

cos

360º - x

GRAU RADIANO

sen (360º - x) = - sen x

cos (360º - x) = - cos x

sen (2π - x) = - sen x

cos (2π - x) = - cos x

Os arcos x e 360º - x têm: senos simétricos

cossenos iguais

2π - x

x

sen

cos

x

Vale observar que: 360° - x e –x são côngruos.

Das figuras também obtemos:

sen (360° - x) = sen (-x) = -sen x

cos (360° - x) = cos (-x) = cos x

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

A partir do que foi visto, podemos construir o

quadro abaixo, que nos dá os valores do seno e

cosseno de arcos importantes em nosso estudo.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

GRAUS 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º

RADIANOS 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π

SEN ϴ 0 ½ √2/3 √3/2 1 √3/2 √2/2 ½ 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 -√3/2 -√2/2 -1/2 0

COS ϴ 1 √3/2 √2/2 ½ 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 -√3/2 -√2/2 -1/2 0 -1/2 √2/2 √3/2 1

E, abaixo, o ciclo trigonométrico, com alguns

valores notáveis incluídos nos quatro quadrantes.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

(1/2, √3/2)

(√ 2/2, √2/2)

(√ 3/2, -1/2)

(1, 0)

(√ 3/2, -1/2)

(√ 2/2, √2/2)

(-1/2, √3/2)

(0,1)

(0,-1)

(-1, 0)

(-√ 2/2, √2/2)

(-√ 3/2, 1/2)

(1/2, -√3/2)

(-√ 3/2, -1/2)

(-√ 2/2, -√2/2)

(-1/2, -√3/2)

90º

270º

360º 2π x π

π/2

240º 4π/3

300º

315º

330º

60º

45º

30º

225º

210º

180º

150º

135º

120º

5π/4

7π/6

5π/3

7π/4

11π/6

5π/6

3π/4 2π/3

π/3

π/6

0º

Após esta análise e observação do

comportamento dos arcos simétricos aos arcos do

1º quadrante, verificamos que, para solucionar o

problema em questão, é necessário apenas

determinarmos o arco côngruo a .

Como vimos, consegue dar mais de duas

voltas completas e parar em um determinado

ponto da circunferência. É justamente neste ponto

que encontramos o arco côngruo a , que tem o

mesmo seno cosseno deste.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

Vejamos:

Assim: e são considerados arcos côngruos.

Então,

2 voltas

Extremidade do

arco côngruo a

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

Voltando a nossa situação-problema:

Portanto, no mês de novembro, a população era de

425 animais.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

Exercícios Complementares

1) Ache o valor da expressão:

2) Sendo e

, qual a relação de

ordem que podemos estabelecer entre A e B?

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

3) A profundidade da água de um porto pode ser

modelada por uma função trigonométrica, devido às

oscilações das marés oceânicas. Em um porto da

costa brasileira, a profundidade da água é dada pela

fórmula , onde D é a profundidade

da água em metros e t é a medida em horas, após a

primeira maré alta do dia. Um comandante deve

decidir o horário de atracar seu navio nesse porto,

optando entre atracar 7 ou 11 horas, após a primeira

maré do dia. Em qual desses dois horários ele teria a

maior profundidade da água (2)?

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

4) A quantidade de energia consumida por uma

cidade varia com as horas do dia, e os técnicos da

companhia de energia conseguiram aproximar essa

necessidade de energia pela função:

Em que t é a hora do dia e P a quantidade de

energia, em MW (3).

a) Em qual horário se consome mais energia nessa

cidade, às 6h00 ou às 15h00?

b) Determine a quantidade de energia, em MW,

consumida pela cidade ao meio dia.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

Gabarito

1)

2) A < B

3) 11 horas

4)

a) 15 horas

b) 54 MW

Tangente

Sinal

•marcada numa reta paralela ao eixo y

• varia de – até - tg

• sinal da tangente:

Sinais de seno cosseno e tangente

Exercícios

1- Converta em graus ou radianos as seguintes medidas:

a) 2

10rad=

b) 2

5rad =

c) 300° =

d) 120° =

2- Reduzir ao primeiro quadrante:

a) sen 120° b) cos 240° c) tg315° d) sen 225° e)cos 135°

3- Calcular, por redução ao primeiro quadrante:

a) sen 150° b) sen 225° c) sen 330° d) sen 3/4 e) cos 11/6 f) tg

5/3

g) cos 5/4 h) sen 11/6 i) cos 5/6 j) tg 35/4 k) tg 15/4