Trigonometria no ciclo trigonométrico · Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Os biólogos de uma reserva ecológica descobriram que a população P de animais, de certa

Trigonometria no ciclo trigonométrico

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano

Os biólogos de uma reserva ecológica descobriram

que a população P de animais, de certa espécie

presente na reserva, variava, durante o ano,

segundo a fórmula

onde t é o tempo medido em meses e t=1

corresponde ao mês de janeiro.

Qual seria a população de animais dessa espécie na

reserva no mês de novembro (1)?

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?f=3&t=13607



Ao analisarmos a situação-problema, percebemos

que a população depende do tempo,ou seja, está em

função do tempo.

Dessa forma, a resolução do problema se dá pela

substituição de t (tempo), por um determinado valor,

no caso t=11, uma vez que, necessitamos saber a

população no mês de novembro e, como foi colocado

em janeiro t=1, daí t=11 ser novembro.


Portanto:

Ao substituirmos t=11, nos deparamos com outra

situação:

Como encontramos o cosseno de um ângulo cujo

valor é maior que 360°?


Para responder a essa questão,

precisamos fazer um estudo do seno e

do cosseno de um arco, baseado em

nossos conhecimentos de trigonometria

no triângulo retângulo

a = medida da hipotenusa

b e c = medidas dos

catetos


Imagem: Modificada por, Gustavb usando a original de Eukleides / GNU Free Documentation License.

Razões trigonométricas no triângulo

retângulo

Num triângulo retângulo, podemos estabelecer

razões entre as medidas dos seus lados:

catetos, que formam o ângulo reto, e hipotenusa,

que se opõe ao ângulo reto.

Consideremos o triângulo ABC retângulo em e

um ângulo agudo de medida .


Imagem

: M

odific

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Gusta

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usando a

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GN

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tion L

icense.

Razão 1 – Seno de um ângulo agudo

Razão 2 – Cosseno de um ângulo agudo

Razão 3 – Tangente de um ângulo agudo


Exemplo:

Consideremos o triângulo ABC, retângulo em A.

Então:


C A

B

16

12

20 β

α

A ideia de seno e cosseno

de um número real

Consideremos, no ciclo trigonométrico, o ponto M,

que é a imagem do número real x, conforme indica a

figura.


v

M” M

M’

x

O A u

Consideremos, também, o arco AM, que corresponde

ao ângulo central de medida x. Seja OM o raio do

ciclo, e M’’ e M’ as projeções do ponto M nos eixos v

e u, respectivamente.


v

M” M

M’

x

O A

u

Do triângulo retângulo OM’M, temos:

Definimos:

• Seno de x é a ordenada do ponto M.

• Cosseno de x é a abcissa do ponto M.


O eixo v é o eixo dos senos e o eixo u é o eixo dos

cossenos.

Daí, se M é um ponto do ciclo trigonométrico, podemos

escrever: M (cos x, sen x).

Essa nova definição tem a vantagem de não ficar restrita

aos ângulos agudos. Agora podemos falar em seno e

cosseno de arcos (ou ângulos) de qualquer medida.


v

M” M

M’

x

O A u

No segundo quadrante, o seno é positivo e o cosseno é

negativo.


M” M

M’ O A

sen x

cos x

No terceiro quadrante, o seno é negativo e o cosseno é

negativo.


M” M

M’

O A

sen x

cos x

No quarto quadrante, o seno é negativo e o cosseno é

positivo.


M”

M’

M

cos x O

A

sen x

Valores importantes de sen x e cos x


Vamos destacar os valores do

seno e cosseno para os arcos

com extremidade nas

extremidades dos quadrantes e

aqueles de 1º quadrante já

calculados nos triângulos

retângulos.

z=180º

270º = 3 π / 2

2 π = 360º cos

sen 90º = π/ 2

60º = (π/ 3)

45º = (π/ 4)

30º = (π/ 6)

0º = 0

O 1 / 2

1 / 2

√2 / 2

√2/ 2

√3 / 2

√3/ 2

Valores importantes de sen x e cos x


ARCO 0º

(0)

30º

(π/6)

45º

(π/4)

60º

(π/3)

90º

(π/2)

180º

(π)

270º

(3π/2)

360º

(2π)

SEN 0 ½ √2/2 √3/2 1 0 -1 0

COS 1 √3/2 √2/2 ½ 0 -1 0 1

Simetria no estudo do seno e cosseno

Usando a simetria, podemos

relacionar o seno e cosseno de um

arco de qualquer quadrante com os

valores do primeiro quadrante.

Desse modo, estaremos fazendo

uma redução ao 1º quadrante.


Redução do segundo quadrante para o primeiro

quadrante


sen

cos

180º - x

GRAU RADIANO

sen (180º - x) = sen x

cos (180º - x) = - cos x

sen (π - x) = sen x

cos (π - x) = - cos x

Note que falta x para 180º ou π.

Dois arcos suplementares (x e 180º -x) têm: senos iguais

cossenos simétricos

sen

cos

π - x x x

Redução do terceiro quadrante para o primeiro

quadrante


sen

cos

180º + x

GRAU RADIANO

sen (180º + x) = -sen x

cos (180º + x) = - cos x

sen (π + x) = -sen x

cos (π + x) = - -cos x

Os arcos x e 180º + x têm: senos simétricos

cossenos simétricos

π + x

x

sen

cos

x

Redução do quarto quadrante para o primeiro

quadrante


sen

cos

360º - x

GRAU RADIANO

sen (360º - x) = - sen x

cos (360º - x) = - cos x

sen (2π - x) = - sen x

cos (2π - x) = - cos x

Os arcos x e 360º - x têm: senos simétricos

cossenos iguais

2π - x

x

sen

cos

x

Vale observar que: 360° - x e –x são côngruos.

Das figuras também obtemos:

sen (360° - x) = sen (-x) = -sen x

cos (360° - x) = cos (-x) = cos x


A partir do que foi visto, podemos construir o

quadro abaixo, que nos dá os valores do seno e

cosseno de arcos importantes em nosso estudo.


GRAUS 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º

RADIANOS 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π

SEN ϴ 0 ½ √2/3 √3/2 1 √3/2 √2/2 ½ 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 -√3/2 -√2/2 -1/2 0

COS ϴ 1 √3/2 √2/2 ½ 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 -√3/2 -√2/2 -1/2 0 -1/2 √2/2 √3/2 1

E, abaixo, o ciclo trigonométrico, com alguns

valores notáveis incluídos nos quatro quadrantes.


(1/2, √3/2)

(√ 2/2, √2/2)

(√ 3/2, -1/2)

(1, 0)

(√ 3/2, -1/2)

(√ 2/2, √2/2)

(-1/2, √3/2)

(0,1)

(0,-1)

(-1, 0)

(-√ 2/2, √2/2)

(-√ 3/2, 1/2)

(1/2, -√3/2)

(-√ 3/2, -1/2)

(-√ 2/2, -√2/2)

(-1/2, -√3/2)

90º

270º

360º 2π x π

π/2

240º 4π/3

300º

315º

330º

60º

45º

30º

225º

210º

180º

150º

135º

120º

5π/4

7π/6

5π/3

7π/4

11π/6

5π/6

3π/4 2π/3

π/3

π/6

0º

Após esta análise e observação do

comportamento dos arcos simétricos aos arcos do

1º quadrante, verificamos que, para solucionar o

problema em questão, é necessário apenas

determinarmos o arco côngruo a .

Como vimos, consegue dar mais de duas

voltas completas e parar em um determinado

ponto da circunferência. É justamente neste ponto

que encontramos o arco côngruo a , que tem o

mesmo seno cosseno deste.


Vejamos:

Assim: e são considerados arcos côngruos.

Então,

2 voltas

Extremidade do

arco côngruo a


Voltando a nossa situação-problema:

Portanto, no mês de novembro, a população era de

425 animais.


Exercícios Complementares

1) Ache o valor da expressão:

2) Sendo e

, qual a relação de

ordem que podemos estabelecer entre A e B?


3) A profundidade da água de um porto pode ser

modelada por uma função trigonométrica, devido às

oscilações das marés oceânicas. Em um porto da

costa brasileira, a profundidade da água é dada pela

fórmula , onde D é a profundidade

da água em metros e t é a medida em horas, após a

primeira maré alta do dia. Um comandante deve

decidir o horário de atracar seu navio nesse porto,

optando entre atracar 7 ou 11 horas, após a primeira

maré do dia. Em qual desses dois horários ele teria a

maior profundidade da água (2)?


http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=109&t=638

4) A quantidade de energia consumida por uma

cidade varia com as horas do dia, e os técnicos da

companhia de energia conseguiram aproximar essa

necessidade de energia pela função:

Em que t é a hora do dia e P a quantidade de

energia, em MW (3).

a) Em qual horário se consome mais energia nessa

cidade, às 6h00 ou às 15h00?

b) Determine a quantidade de energia, em MW,

consumida pela cidade ao meio dia.




Gabarito

1)

2) A < B

3) 11 horas

4)

a) 15 horas

b) 54 MW

Tangente

Sinal

•marcada numa reta paralela ao eixo y

• varia de – até - tg

• sinal da tangente:

Sinais de seno cosseno e tangente

Exercícios

1- Converta em graus ou radianos as seguintes medidas:

a) 2

10rad=

b) 2

5rad =

c) 300° =

d) 120° =

2- Reduzir ao primeiro quadrante:

a) sen 120° b) cos 240° c) tg315° d) sen 225° e)cos 135°

3- Calcular, por redução ao primeiro quadrante:

a) sen 150° b) sen 225° c) sen 330° d) sen 3/4 e) cos 11/6 f) tg

5/3

g) cos 5/4 h) sen 11/6 i) cos 5/6 j) tg 35/4 k) tg 15/4

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