View
324
Download
20
Category
Preview:
Citation preview
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
1/36
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Fluida dan klasifikasinya
Fluida merupakan suatu zat/bahan yang dalam keadaan setimbang tak dapat
menahan gaya atau tegangan geser ( shear force). Dapat pula didefinisikan sebagai
zat yang dapat mengalir bila ada perbedaan tekanan dan atau tinggi. Suatu sifat
dasar fluida nyata, yaitu tahanan terhadap aliran yang diukur sebagai tegangan
geser yang terjadi pada bidang geser yang dikenai tegangan tersebut adalah
viskositas atau kekentalan/kerapatan zat fluida tersebut. [5].
Sehingga fluida terdiri dari cairan dan gas (atau fase uap). Perbedaan antara
keadaan fluida dan solid jelas jika anda membandingkan perilaku fluida dan solid.
Solid berdeformasi ketika tegangan geser diterapkan, tetapi deformasi yang tidak
terus meningkat dengan waktu. Berikut pembagian klasifikasi aliran secara umum
[5].
2.1.1 Fluida Statis dan Fluida Dinamis
Fluida statis atau sering disebut juga fluida diam,sedangkan fluida dinamis adalah
fluida yang bergerak. Fluida Statis misalnya air didalam wadah,fluida dinamis
misalnya pergerakan angin yang digerakkan kipas angin. Fluida statis biasanya
dipengaruhi oleh hukum kontinuitas yang dipengaruhi oleh luas penampang dan
juga Bernaouli’s law yang dipengaruhi oleh ketinggian dan tekanan dari fluida.
Kedua hukum hanya dapat diterapkan di fluida statis yang sama – sama memeliki
kecepatan alir dan massa jenis.
Fluida dinamis itu sendiri dipengaruhi oleh gaya Archimedes,misalnya gaya
angkat pada kapal laut. Hukum Pascal juga berpengaruh dalam fluida dinamis
ini,hukum Pascal secara singkat adalah tekanan terbagi banyak dan diteruskan
kesegala arah,misalnya pompa hidrolik dan dongkrak.
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
2/36
2.1.2 Aliran Viscous dan Inviscid
Aliran viskous atau aliran fluida nyata adalah aliran yang dipengaruhi oleh
viskositas. Adanya viskositas menyebabkan adanya tegangan geser dan
kehilangan energy. Pada aliran ini terjadi gesekan antarai fluida dengan
dasar/dinding saluran atau pipa. Gambar dibawah ini menampilkan percobaan
aliran viskous melalui sebuah pilar berbentuk tabung [3].
Gambar 2.1 Percobaan Viskositas
Sumber : (McDonough, 1987)
Aliran invisid atau aliran fluida ideal adalah aliran yang tidak dipengaruhi
viskositas/kekentalan sehingga aliran ini tidak memiliki tegangan geser dan
kehilangan energi. Dalam kenyataannya aliran fluida ideal tidak ada. Konsep ini
digunakan para peneliti terdahulu untuk membentuk persamaan aliran fluida dan
pengaplikasiannya di lapangan ditambahkan faktor penyesuaian sesuai kondisi
nyata[3].
Gambar 2.2 Aliran Invisid
Sumber : (McDonough, 1987)
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
3/36
2.1.3 Aliran Seperated and Unseperated
Aliran yang tidak terjadi separasi dapat terjadi pada aliran yang sangat lambat.
Penjelasan mengenai fenomena ini ditampilkan melalui sketsa pada Gambar 2.3,
mengilustrasikan sebuah percobaan sejumlah cairan sirup (viskositas tinggi)
dengan suhu rendah yang melampaui flume dengan beda tinggi dasar tertentu
dengan kecepatan sangat rendah. Saat mencapai pojok flume, cairan sirup tetap
megikuti dasar flume, turun vertical dan tetap ‘menempel’ hingga akhir.
Fenomena ini disebabkan momentum yang sangat kecil pada pojok dasar flume
yang diakibatkan kecepatan yang sangat rendah [10].
Gambar 2.4 Aliran Unseperated
Sumber : (McDonough, 1987)
Sedangkan aliran yang terjadi separasi ditampilkan sketsa pada Gambar 2.5.
Fluida dengan nilai viskositas kecil atau kecepatan tinggi menimbulkan
momentum yang tinggi, sehingga sulit bagi aliran untuk ‘menempel’ pada dasar
saluran. Pada Gambar 2.5 juga mengilustrasikan aliran rotasional [10].
Gambar 2.5 Aliran Seperated
Sumber : (McDonough, 1987)
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
4/36
Gambar 2.6 dibawah ini juga mengilustrasikan fenomena aliran pada klasifikasi
ini. Pada bagian Gambar (A) dan Gambar (B) juga mengilustrasikan fenomena
aliran viscous dan non-viskous di penjelasan sebelumnya. Gambar (C) aliran
vortex bebas, gamabr (D) aliran laminar dan gambar (E) aliran turbulen.
Gambar 2.6 Berbagai jenis aliran
Sumber : (McDonough, 1987)
2.1.4 Aliran Laminar dan Aliran Turbulen
Dengan teknologi sekarang,aliran laminar bisa diprediksi lebih baik dan akurat
dengan menggunakan teknologi di laboraturium,tetapi berbeda dengan aliran
turbulen,kecuali pada aliran sederhana sangat sulit menentukan detail dan permodelan dari aliran ini.
Misalnya pada pipa, pada sisi masuk bisa dikatakan molekul – molekul fluida
masi tersusun rapi dan tidak acak. Tetapi setelah melewati titik kritis,gerakan
fluida mulai acak. Daerah inilah disebut aliran turbulen.
Untuk aliran laminar kecepatan pada suatu titik akan tetap terhadap waktu.
Sedangkan aliran turbulen kecepatannya akan mengindikasikan suatu fluktuasi
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
5/36
yang acak. Dalam aliran turbulen, profil kecepatan pada suatu titik dihasilkan dari
gerak acak partikel fluida berdasarkan waktu dalam jarak dan arah.
Gambar 2.7 perpindahan aliran dari laminar ke turbulen
Sumber : (McDonough, 1987)Dari sudut pandang hidraulik, hal yang paling mudah untuk membedakannya
adalah gerak partikel/distribusi kecepatannya seragam, lurus, dan sejajar untuk
aliran laminer dan sebaliknya untuk aliran turbulen. Perubahan dari laminer
menuju turbulen atau zona transisi terjadi pada jarak tertentu dan zona transisi
akan berakhir hingga terjadi kondisi ‘ fully developed turbulence’ .
Bilangan Reynold adalah bilangan tanpa dimensi yang dapat digunkan untuk
membedakan aliran laminar dan turbulen yang merupan perbandingan gaya
inersia dan gaya viskositas.
..................................................................................................... (1)
Dimana : Re = Bilangan Reynold
U = Kecepatan Rata-Rata dari Fluida (m/s)
L = Jari jari penampung air ( m )
ρ = Massa Jenis ( kg/m3)
μ = Viskositas dinamik (kg/m.s)
Pada plat datar bilangan reynold nya adalah Re = 5 x 105 pada plat datar dan Re =
2 x 105 pada bola [1]..
2.1.5 Aliran Vortex
Pusaran (Vortex) bentuk dalam cairan bergerak, termasuk cairan, gas, dan plasma.
Beberapa contoh umum adalah asap cincin, whirlpool yang sering terlihat di
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
6/36
bangun perahu, dayung, dan angin angin topan, Tornado dan badai debu. Pusaran
membentuk di bangun dari pesawat dan yang menonjol fitur atmosfer Jupiter [9].
Dalam aliran fluida,aliran ini bisa berarti menunjukkan putaran ataupun alur yang
melingkar. Dalam defenisinya, aliran ratational kecepatan vektornya V ≠ 0, jika
irratational kecepatan vektornya V = 0. Aliran vortex ini sendiri termasuk dalam
perpaduan aliran irrotational [9].
Gambar 2.8 aliran vortex
Sumber : (Ng, Johnson, 2010)
Untuk membedakan aliran ratational dan irratational ,kecepatan aliran
sama disemua tempat,dan makin meningkat secara teratur jika mendekati pusat.
Gambar 2.9 aliran rotational
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
7/36
Jika,dijelaskan dalam persamaan:
................................................ (2)
Sedangkan aliran irratational,kecepatan total sama dengan nol,karena
tiap aliran kecepatannya berbeda -beda. Dalam pusaran irrotational , cairan
bergerak dengan kecepatan yang berbeda di berdekatan arus, jadi ada gesekan dan
karena itu kehilangan energi seluruh vortex, terutama di dekat inti. Untuk alasan
itu, irrotational pusaran juga disebut pusaran gratis.
Gambar 2.10 aliran irratational
................................................................ (3)
Aliran vortex ini adalah aliran turbulen. Dikatakan aliran turbulen karena
alirannya tidak teratur dan membentuk pusaran. Vorticity (kecepatan aliran
vortex) sangat tinggi di daerah inti disekitar sumbu dan tekanan menukik tajam ke
bawah menuju lubang buang,sehingga aliran vortex ini termasuk aliran rotational
[9].
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
8/36
Gambar 2.11 Aliran vortex kecepatan tinggi
Sumber : (Ng, Johnson, 2010)
Aliran vortex bisa terjadi secara alami ataupun secara paksa. Aliran vortex terjadi
walaupun tidak adanya gaya yang dilakukan pada fluida tersebut. Karateristik dari
vortex bebas adalah kecepatan tangensial dari partikel fluida yang berputar pada
jarak tertentu dari pusat vortex. Hubungan kecepatan partikel fluida v terhadap
jaraknya dari pusat putaran r dapat dilihat pada persamaan ini:
........................................................................................................ (4)
Dimana:
V = kecepatan tangensial fluida (m s-1)
r = jari-jari putaran partikel fluida dari titik pusat (m)
= gaya tangensial
Dalam vortex bebas, tidak ada perubahan energi melintas pada aliran lurus, jadi
persamaan di atas sama dengan nol. Apabila suatu gaya diberikan pada suatufluida dengan maksud membuat aliran fluida berputar. Hubungan kecepatan
partikel fluida v terhadap jaraknya dari pusat putaran x dapat dilihat pada
persamaan berikut:
...................................................................................................... (5)
.................................................................................... (6)
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
9/36
Sehingga :
...................................................................................................... (7)
Dimana : Fc = gaya sentrifugal pada aliran vortex
W = berat partikel vortex
V = kecepatan tangensial
2.2 Turbin Air
Tenaga air merupakan sumber daya energi yang penting setelah tenaga uap atau
panas. Hampir 30% dari seluruh kebutuhan tenaga di dunia dipenuhi oleh pusat –
pusat listrik tenaga air. Banyak Negara yang hampir seluruh kebutuhan energinya
berasal dari tenaga air. Penggunaan tenaga air sebagai sumber energi, terutama
untuk pembangkit tenaga listrik, memiliki kelebihan dibanding sumber energi lainnya.
Turbin air itu sendiri adalah turbin yang mengubah energi air menjadi energi
puntir,selanjutnya energi puntir ini diubah menjadi energi listrik melaluigenerator. Menurut Sejarahnya turbin-turbin air yang sekarang berasal dari kincir-
kincir air pada zaman abad pertengahan yang dipakai untuk memecah batubara
dan pabrik gandum. Salah satu kincir air tersebut dapat dilihat di Aungrabad,
India yang telah berumur 400-an tahun.
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
10/36
Gambar 2.13 Kincir air
Besarnya tenaga air tergantung terhadap debit air dan head. Dalam hubungan
dengan reservoir air head adalah beda ketinggian antara reservoir dengan
keluarnya air di turbin air. Total energi air di reservoir adalah energi potensial air
tersebut.
.................................................................................................... (8)
E =massa air (kg)
G=gravitasi( m/s2)
H=head air(m)
2.2.1 Klasifikasi Turbin Air
Turbin air dapat dikelompokkan dengan berbagai cara. Menurut H. Grengg , jenis
turbin dapat digolongkan menjadi tiga sesuai dengan range dari head-nya, yaitu :
1. Turbin dengan head rendah.
2. Turbin dengan head medium.
3. Turbin dengan head tinggi.
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
11/36
Sedangkan menurut cara kerjanya, maka terdapat dua jenis turbin yaitu :
1. Turbin Impuls (aksi).
2. Turbin Reaksi.
Tabel 1.1 Klasifikasi Turbin
1. Turbin impuls
Yang dimaksud dengan turbin impuls adalah turbin air yang cara kerjanya dengan
merubah seluruh energi air (yang teridiri dari energi potensial-tekanan-kecepatan)yang tersedia menjadi energi kinetik untuk memutar turbin, sehingga
menghasilkan energi puntir dalam bentuk putaran poros. Atau dengan kata lain,
energi potensial air diubah menjadi energi kinetik pada nosel. Contoh turbin
impuls adalah turbin Pelton dan turbin crossflow [4].
Turbin impuls adalah turbin tekanan sama karena aliran air yang ke luar nosel
tekanannya adalah sama dengan tekanan atmosfer di sekitarnya. Semua energi
tinggi tempat, dan tekanan ketika masuk ke sudu jalan turbin diubah menjadi
energi kecepatan [4].
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
12/36
Gambar 2.14 Skema Turbin Pancar (Turbin Pelton), jalannya tekanan di dalam
pipa dan di dalam roda jalanSumber : (Sihombing, 2009)
Gambar 2.15 Dua 260MW Turbin Pelton di Austria
Salah satu jenis turbin impuls ini juga disebut Turbin Michell-Banki yang
merupakan penemunya. Turbin ini dapat dioperasikan pada debit 10 liter/sec–20
liter/sec dan heah antara 1-200 m. Turbin crossflow menggunakan nozle persegi
panjang yang lebarnya sesuai dengan lebar runner. Pancaran air masuk turbin dan
menegenai sudu sehingga terjasi konversi energi kinetik menjadi energi mekanis.
Air mengalir keluar membentur sudu dan memberikan energi kemudia
meninggalkan turbin. Runner turbin terbuat dari beberapa sudu yang dipasang
pada sepasang piringan paralel [4].
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
13/36
Gambar 2.16 Skema turbin crossflow
Gambar 2.17 Turbin crossflow di jerman
2. Turbin Reaksi
Turbin reaksi adalah turbin air yang cara bekerjanya dengan merubah seluruh
energi air yang tersedia menjadi energi puntir dalam bentuk putaran. Sudu pada
turbin reaksi mempunyai profil khusus yang menyebabkan terjadinya penurunan
tekanan air selama melalui sudu.
Turbin ini terdiri dari sudu pengarah dan sudu jalan dan kedua sudu tersebut
semuanya terendam di dalam air. Air dialirkan ke dalam sebuah terusan atau
dilewatkan ke dalam sebuah cincin yang berbentuk spiral (rumah keong).
Perubahan energi seluruhnya terjadi di dalam sudu gerak. Beberapa jenis turbin
reaksi adalah turbin francis,turbin kaplan dan turbin vortex.
Turbin francis merupakan salah satu turbin reaksi,turbin dipasang diantara sumber
air tekanan tinggi di bagian masuk dan air bertekanan rendah di bagian keluar.
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
14/36
Turbin francis menggunakan sudu pengarah yang mengarahkan air masuk secara
tangensial. Untuk penggunaan pada berbagai kondisi aliran air penggunaan sudu
pengarah diatur sesuai keadaan [4].
Gambar 2.18 turbin francis
2.2.2 Perbandingan Karakteristik Turbin Air
Kecepatan spesifik dari sebuah turbin juga dapat diartikan sebagai kecepatan
ideal, persamaan geometris turbin, yang menghasilkan satu satuan daya tiap satu
satuan head. Kecepatan spesifik tubin diberikan oleh perusahaan (dengan
penilaian yang lainnya) dan dan selalu dapat diartikan sebagai titik efisiensi
maksimum. Perhitungan tepat ini menghasilkan performa turbin dalam jangkauan
head dan debit tertentu.
Kecepatan spesifik (ns), menunjukkan bentuk dari turbin itu dan tidak
berhubungan dengan ukurannya. Hal ini menyebabkan desain turbin baru yang
diubah skalanya dari desain yang sudah ada dengan performa yang sudah
diketahui. Kecepatan spesifik merupakan kriteria utama yang menunjukkan
pemilihan jenis turbin yang tepat berdasarkan karakteristik sumber air.
Kecepatan spesifik dapat dihitung dengan menggunakan rumus : [6].
................................................................................................ (9)
Dimana: putaran turbin(rpm)
Q = kapasitas aliran ( m3/s)
H = head air jatuh (m)
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
15/36
Gambar 2.19 Perbandingan Karakteristik Turbin
Sumber :(Sihombing,2009)
Pada gambar terlihat turbin pelton adalah turbin yang beroperasi pada head yang
menengah hingga tinggi dengan kapasitas aliran air yang menengah, atau bahkan
beroperasi pada kapasitas yang sangat rendah.
Gambar 2.20 Daerah penggunaan dari beberapa jenis konstruksi turbin yang berbeda
Dalam pembuatan roda turbin, kebanyakan pertama sekali membuat modelnya,
setelah model tersebut diselidiki, diuji dan diubah-ubah sehingga menghasilkan
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
16/36
daya dan randemen turbin yang baik, kemudian baru dibuat roda turbin yang
besar/sesungguhnya menurut bentuk modelnya.
2.3 Turbin Vortex
Turbin vortex adalah turbin yang menggunakan aliran vortex ( gravitation water
vortex) sebagai penggerak utama dari sudu. Aliran vortex ini sendiri adalah aliran
melingkar mengerucut,dengan menggunakan sifat fisika dari air yang mengalir
dari tempat yang tinggi ke tempat yang rendah maka akan didapat vortex [11].
Gambar 2.21 skema aliran vortex
Sumber :( Zotloeterer,2007)
Gambar 2.22 Aliran vortexSumber :( Zotloeterer,2007)
Sehingga Turbin Vortex itu adalah turbin yang menggunakan aliran ini sebagai
penggerak. Aplikasi penggunaan vortex ini sendiri dikembangkan oleh Zotlöterer
enterprise in Obergrafendorf in Lower Austria yang mendapat paten pada tahun
2004. Pengunaan turbin vortex ini sendiri adalah memasang sudu penggerak yang
dihubungkan dengan generator sehingga dapat menghasilkan listrik.
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
17/36
Gambar 2.23 Generator yang dipasang pada sudu penggerak
Sumber :( Zotloeterer,2007)
Beberapa kelebihan dari turbin ini dibandingkan dengan beberapa tubin lain
diantaranya,
Biaya pemasangan relatif murah dan menggunakan konsep yang
sederhana.
Pada penggunaan di alirannya aman bagi ikan,mikroba dan lain –
lain,karena menggunakan tekanan yang rendah.
Baik dikembangkan di aliran air yang menggunakan debit yang besar
tetapi head yang rendah seperti sungai. Indonesia sendiri memiliki
sumber daya berupa sungai besar.
Efisiensi dari hasil pengujian dari Zotlöterer enterprise lebih baikdibandingkan beberapa jenis turbin yang lain.
Gravitation Water Vortex Power Plan (GWVPP) ini sendiri untuk head yang
rendah antara 0.7 m sampai dengan 2m. Flow rate atau debitnya antar 0,05 sampai
20 m/s3, dan tenaga digunakan antara 0.5 sampai 160kW [11].
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
18/36
Gambar 2.24 gravik perbandingan antara head vs flow rate.
Sumber :( Zotloeterer,2007)
Penyederhaan konsep ini adalah masuknya energi potensial air menuju tank-
vortex berupa energi kinetik. Energi kinetik ini sendiri memfokuskan sebagai
energi putaran yang mengerucut di pusat aliran vortex. Kemudian Turbin vortex
mengubah energi putaran yang disambungkan melalui sudu ke generator.
Beberapa jenis dari turbin vortex :
(a) (b)
Gambar 2.25 turbin vortex Zotlöterer
a.sudu 5, pengembangan pertama Zotlöterer enterprise tahun 2005
b.sudu banyak tahun 2009
Sumber :( Zotloeterer,2007)
SUDU 5 SUDU BANYAK
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
19/36
Head: 1,5m Head: 1,5m
Flow rate: 0,9m³/s Flow rate: 0,9m³/s
Efficiency of the old turbine design: 54% Efficiency of the Zotlöterer turbine
design: 80%Electrical power: 6,1kW (max. 7,5kW) Electrical power: 8,3kW (max.
10kW)
Annual working capacity: 44.000kWh Annual working
capacity: 60.000kWh
Dari perbandingan turbin diatas,dapat disimpulakn bahwa semakin banyak sudu
dengan debit yang kurang-lebih sama,maka daya yang dihasilkan akan semakin
besar.
(c) (d)
Gambar 2.26 turbin vortex Zotlöterer
c. turbin vortex di sungai kecil di austria tahun 2011
d. turbin vortex di nantes france 2012
Sumber :( Zotloeterer,2007)
Head: 0,9m Head: 1m
Flow rate: 2x 0,7m³/s Flow rate: 0,3m³/s
Electrical power: 2x 3,5kW Electrical power 1,7kW
Annual working capacity: 25.000kWh Annual working capacity:
8.500kWh
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
20/36
2.4 Performansi dan Efisiensi Turbin
Performansi pada turbin merupakan daya mekanik yang dihasilkan dari sebuah
turbin. Untuk mendapatkan nilai tersebut maka data yang diperlukan adalahkecepatan sudut ( ) dan torsi (τ) [8].
....................................................................................................... (10)
Dimana :
P = Daya turbin ( Watt )
T = Torsi ( Nm )
Untuk menghitung Torsi ( T ) adalah :
............................................................................................. (11)
F = m . g .................................................................................................. (12)
Dimana :
l = panjang lengan ( m )
m = massa/beban ( kg )
g = gravitasi
Untuk menghitung kecepatan sudut adalah :
ω = 2 ..................................................................................................... (13)
Dimana :
ω = kecepatan sudut (rad/s)
n = putaran turbin (rpm )
Untuk efisiensi turbin dapat dihitung dengan menggunakan rumus :
ɳ = x 100% ............................................................................. (14)
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
21/36
Dimana :
= Daya turbin ( Watt )
= Daya air ( Watt )
2.5 Perhitungan Dinamika Fluida (Computatational Fluid Dynamics)
Dinamika fluida adalah cabang dari ilmu mekanika fluida yang
mempelajari tentang pergerakan fluida. Dinamika fluida dipelajari melalui tiga
cara yaitu:
- Dinamika fluida eksperimental
- Dinamika fluida secara teori, dan
- Dinamika fluida secara numerik (CFD)
Computational Fluid Dynamics (CFD) merupakan suatu ilmu untuk memprediksi
aliran fluida, perpindahan panas, perpindahan massa, reaksi kimia, dan fenomena
yang berhubungan, dengan menyelesaikannya menggunakan persamaan-
persamaan matematika secara numerik [1].
2.5.1 Persamaan Pembentuk Aliran
Dinamika fluida terdiri dari tiga dasar yaitu konservasi massa, momentum danenergi. Pembahasan tentang hokum konservasi ketiga hal di atas merupakan dasar
persamaan pembentukan aliran yang akan dijelaskan di bawah ini.
1. Hukum Konservasi Massa
Misalkan sebuah elemen fluida dalam kasus tiga dimensi dengan dimensi dx, dy
dan dz seperti ditunjukkan pada gambar. Konsep dasar dari hukum konservasi
massa adalah bahwa jumlah pertambahan massa pada volume control adalah sama
dengan jumlah aliran massa yang masuk dan keluar elemen
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
22/36
Gambar 2.27 Konservasi massa pada elemen fluidaSumber : (Ambarita,2010)
...................................................... (15)
Atau menggunakan operator divergen dapat dituliskan sebagai
................................................................................... (16)
Persamaan di atas merupakan bentuk umum dari persamaan konservasi massa
yang biasa disebut juga dengan persamaan kontinuitas.
Persamaan (2.13) adalah unsteady, kekekalan massa atau persamaan kontinuitas
tiga dimensi pada sebuah titik dalam sebuah fluida kompresibel. Suku pertama
pada sisi sebelah kiri kelajuan perubahan dalam waktu dari densitas (massa per
satuan volume). Suku kedua menjelaskan neto aliran massa keluar dari elemen
melintasi boudarinya dan disebut suku konvektif.
Pada persamaan inkompresibel, dimana kerapatan spasial dan temporal diabaikan, persamaan ini dapat disederhanakan dengan menghilangkan dari
persamaan [1].
2. Hukum konservasi momentum
Hukum ini dikenal juga dengan hokum Newton II tentang gerak. Tingkat
kenaikan momentum partikel fluida sama dengan jumlah gaya gaya pada partikel
atau resultan gaya yang bekerja pada suatu objek sama dengan percepatan
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
23/36
dikalikan dengan massa objek tersebut. Suatu elemen kecil fluida dengan dimensi
dx, dy dan dz ditunjukkan pada gambar. Pada gambar tersebut hanya gaya searah x
yang ditampilkan. Sebagai catatan, untuk kasus ini, terdapat enam gaya normal
dan geser yang bekerja pada permukaan.
a) Gaya-gaya permukaan:
- Gaya tekanan
- Gaya viskos
b) Gaya-gaya badan:
- Gaya gravitasi
- Gaya sentrifugal
- Gaya coriolis
- Gaya elektromagnetik
Dalam menyoroti kontribusi yang disebabkan gaya-gaya permukaan sebagai
bagian tersendiri dalam persamaan momentum dan memasukkan gaya-gaya badan
sebagai suku source.
Keadaan tegangan dari sebuah elemen fluida didefinisikan dalam suku - suku
tekanan dan sembilan komponen tegangan viskos ditunjukkan dalam Gambar
2.28. Tekanan, sebuah tekanan normal, di tandai oleh . Tegangan-tegangan viskos
ditandai oleh . Notasi akhiran yang biasa digunakan untuk menandakan arah
tegangan viskos. akhiran i dan j dalam menandakan bahwa komponen tegangan
bekerja dalam arah j pada sebuah permukaan normal kearah [1].
Dengan mengacu kepada elemen fluida tersebut, maka persamaan konservasimomentum dapat dituliskan sebagai:
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
24/36
Gambar 2.28 Konservasi momentum pada elemen fluida
Sumber : (Ambarita,2010)
.......................................................................................................................... (17)
.......................................................................................................................... (18)
Atau dalam bentuk tensor dapat dituliskan sebagai:
........... (19)
Dimana i, j, k = 1, 2, 3 yang menyatakan x, y, z.
Persamaan di atas berlaku untuk kondisi steadi. Untuk kondisi tidak steadi, maka
persamaan dalam hubungannya terhadap waktu, , dihilangkan.
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
25/36
3. Hukum konservasi energi
Hukum konservasi energy mengatakan bahwa laju perubahan energy dalam dan E
pada suatu elemen sama dengan jumlah fluks panas yang masuk ke elemen itu dan
laju kerja yang bekerja pada elemen oleh gaya yang ada pada bodi dan
permukaannya. Hukum ini dapat dituliskan sebagai
................................................................................................... (20)
Hukum ini juga dikenal sebagai hokum pertama termodinamika. Gaya yang
bekerja adalah gaya karena medan tekanan, karena gaya normal dan gaya geser;
dan juga karena gaya bodi.
Gambar 2.29 Konservasi energi pada elemen fluida
Sumber : (Ambarita,2010)
Penyelesaian dari kesetimbangan energi pada gambar adalah suatu persamaankonservasi energi yang dituliskan sebagai:
.......................................................................................................................... (21)
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
26/36
Atau dapat dituliskan dalam tensor sebagai
.................................. (22)
Dimana i, j, k = 1, 2, 3 yang merupakan sumbu x, y, z
Jika beberapa asumsi dinyatakan, beberapa bagian dari persamaan energi dapat
dihilangkan. Sebagai contoh, jika kerapatan massa konstan atau fluida
inkompresibel, maka persamaan menjadi nol. Selanjutnya, jika disipasi
kekentalan diabaikan, maka dapat dihilangkandari persamaan. Dan juga jika
energi dalam yang timbul pada elemen sama dengan nol, dapat juga dihilangkandari persamaan.
Meskipun persamaan pembentuk aliran di atas terlihat sangat rumit, namun
persamaan tersebut berasal dari hokum konservasi yang sangat sedarhana yaitu
konservasi massa, momentum dan energi. Pada kasus tiga dimensi , humum ini
menjadi lima persamaan yang berbeda. Mereka merupakan system yang disatukan
dari persamaan diferensial parsial nonlinear. Sampai saat ini belum ada solusi
analitik dari persamaan-persamaan tersebut. Dalam hal ini, persamaan ini bukan
tidak memiliki solusi namun sampai saat ini belum ditemukan. Metode yang lain
yang digunakan untuk menyelesakan persamaan tersebut adalah dengan metode
numerik yang dikenal dengan Computational Fluid Dynamics (CFD). Dengan
metode ini, persamaan ini akan diselesaikan dengan iterasi untuk menemukan
solusi yang mungkin berdekatan dengan solusi sebenarnya[1].
2.6 Metode CFD Menggunakan Perangkat Lunak Fluent
CFD memungkinkan penyelesaian persamaan pembentuk aliran dengan
menggunaka suatu perhitungan numerik yang disebut dengan metode volume
hingga (finite volume methods). Untuk memudahkan perhitungan numerik, telah
tersedia banyak perangkat lunak computer. Salah satu perangkat lunak yang
terkenal dalam perhitungan dan simulasi CFD adalah Ansys Fluent.
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
27/36
2.6.1 FLUENT
FLUENT adalah program komputer yang memodelkan aliran fluida dan
perpindahan panas dalam geometri yang kompleks. FLUENT merupakan salah
satu jenis program CFD (Computational Fluid Dynamics) yang menggunakan
metode diskritisasi volume hingga. FLUENT memiliki fleksibilitas mesh,
sehingga kasus-kasus aliran fluida yang memiliki mesh tidak terstruktur akibat
geometri benda yang rumit dapat diselesikan dengan mudah. Selain itu, FLUENT
memungkinkan untuk penggenerasian mesh lebih halus atau lebih besar dari mesh
yang sudah ada berdasarkan pemilihan solusi aliran [2].
Fluent menggunakan teknik control volume untuk mengubah persamaan
pembentuk aliran menjadi persamaan algebra sehingga dapat diselesaikan secara
numeric. Teknik control volume ini mengandung pengintegralan setiap persamaan
pembentuk aliran pada tiap-tiap kontol volume, menghasislkan persamaan-
persamaan diskrit yang mengkonservasikan tiap jumlah yang ada pada control
volume.
Secara lengkap langkah-langkah FLUENT dalam menyelesaikan suatu simulasi
adalah sebagai berikut :
1. Membuat geometri dan mesh pada model.
2. Memilih solver yang tepat untuk model tersebut (2D atau 3D).
3. Mengimpor mesh model ( grid ).
4. Melakukan pemeriksaan pada mesh model.
5. Memilih formulasi solver .
6. Memilih persamaan dasar yang akan dipakai dalam analisa.
7. Menentukan sifat material yang akan dipakai.8. Menentukan kondisi batas.
9. Mengatur parameter kontrol solusi.
10. Initialize the flow field.
11. Melakukan perhitungan/iterasi.
12. Menyimpan hasil iterasi.
13. Jika diperlukan, memperhalus grid kemudian melakukan iterasi ulang
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
28/36
2.6.2 Skema Numerik
FLUENT memberikan dua pilihan metode numerik, yaitu metode segregated dan
coupled. Kedua metode tersebut dapat digunakan untuk memecahkan persamaan
integral kekekalan momentum, massa, dan energy ( governing integral equation),
serta besaran skalar lainnya seperti turbulensi. Dalam proses pemecahan masalah,
baik metode segregated dan coupled memiliki persamaan yaitu menggunakan
teknik kontrol volume. Teknik kontrol volume sendiri terdiri dari:
1. Pembagian daerah asal (domain) ke dalam kontrol volume diskrit dengan
menggunakan grid komputasi.
2. Integrasi persamaan umum kontrol volume untuk membuat persamaan
aljabar dari variabel tak-bebas yang berlainan (discrete dependent
variables) seperti kecepatan , tekanan, suhu, dan sebagainya
3. Linearisasi persamaan dan solusi diskritisasi dari resultan sistem
persamaan linear untuk menghasilkan nilai taksiran variabel tak-bebas.
Pada dasarnya metode segregated dan coupled memiliki persamaan dalam proses
diskritisasi yaitu volume berhingga ( finite volume), tetapi memiliki perbedaan
pada cara pendekatan yang digunakan untuk melinearisasi dan memecahkan suatu
permasalahan[2].
2.6.2.1 Metode Solusi Segregated
Metode ini menyelesaikan persamaan kekekalan massa, momentum, dan energi
secara bertahap atau terpisah satu sama lain. Karena persamaan kekekalan massa,
momentum, dan energi merupakan persamaan non-linear, beberapa iterasi harus
dilakukan secara berulang-ulang sebelum solusi yang konvergen diperoleh. Dalamiterasi terdiri dari beberapa langkah, yaitu:
1. Sifat-sifat fluida diperbarui berdasarkan solusi yang telah dilakukan.
Untuk perhitungan awal, sifat-sifat fluida diperbaharui berdasarkan solusi
awal (initialized solution).
2. Persamaan momentum u, v, dan w dipecahkan dengan menggunakan nilai-
nilai tekanan dan fluks massa permukaan, supaya medan kecepatan
diperbaharui.
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
29/36
3. Karena kecepatan yang diperoleh dalam tahap yang pertama tidak
mungkin memenuhi persamaan kontinuitas secara lokal, persamaan
“Poisson-type” untuk koreksi tekanan diturunkan dari persamaan
kontinuitas dan persamaan momentum linear. Persamaan koreksi tekanan
ini kemudian dipecahkan untuk memperoleh koreksi yang dibutuhkan
untuk medan tekanan dan kecepatan serta fluks massa permukaan sampai
kontinuitas dipenuhi.
4. Menyelesaikan persamaan-persamaan untuk besaran skalar seperti
turbulensi, energi, radiasi dengan menggunakan nilai-nilai variabel lain
yang telah diperbaharui.
5. Mengecek konvergensi persamaan.
2.6.2.2 Metode Solusi Coupled
Metode ini menyelesaikan persamaan kekekalan massa, momentum, dan energi
secara serempak atau bersamaan ( simultaneously). Karena persamaan kekekalan
massa, momentum, dan energi merupakan persamaan non-linear, beberapa iterasi
harus dilakukan secara berulang-ulang sebelum solusi yang konvergen diperoleh.
Dalam iterasi terdiri dari beberapa langkah, yaitu:
1. Sifat-sifat fluida diperbaharui berdasarkan solusi yang telah dilakukan.
Untuk perhitungan awal, sifat-sifat fluida diperbaharui berdasarkan solusi
awal (initialized solution).
2. Persamaan kontinuitas, momentum, dan energi jika ada serta besaran-
besaran tertentu lainnya dipecahkan secara serempak.
3. Jika ada, persamaan-persamaan skalar seperti turbulensi dan radiasi
dipecahkan dengan menggunakan nilai yang diperbaharui sebelumnya berdasarkan variable yang lain.
4. Mengecek konvergensi persamaan.
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
30/36
2.6.3 Diskritisasi ( Discretization)
FLUENT menggunakan suatu teknik berbasis volume kendali untuk mengubah
bentuk persamaan umum ( governing equation) ke bentuk persamaan aljabar
(algebraic equation) agar dapat dipecahkan secara numerik. Teknik kontrol
volume ini intinya adalah pengintegralan persamaan diferensial umum untuk
setiap volume kendali, sehingga menghasilkan suatu persamaan diskrit yang
menetapkan setiap besaran pada suatu basis volume kendali. Diskritisasi
persamaan umum dapat diilustrasikan dengan menyatakan persamaan kekekalan
kondisi-steady untuk transport suatu besaran skalar. Hal ini ditunjukkan dengan
Persamaan 3.1 yang ditulis dalam bentuk integral untuk volume kendalisembarang. Persamaan 3.1 diterapkan untuk tiap volume kendali atau sel dalam
daerah asal komputasi (domain). sebagai berikut [2].
...................................................... (23)
Dimana
= rapat massa
= vector kecepatan (=ui + vj +wk dalam 3D)
A = vector area permukaan
= koefisien difusi untuk
= gradient (=( dalam 3D)
= sumber tiap satuan volume
Persamaan (3.1) diterapkan untuk tiap volume kendali atau sel dalam daerah asal
komputasi (domain). Diskretisasi persamaan (3.1) pada sel tertentu diberikan pada
persamaan berikut :
...................................... (24)
= jumlah sisi
= nilai yang dikonversikan melalui sisi f
= fluks massa yang melalui sisi
= luas sisi f,
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
31/36
= jumlah yang tegak lurus terhadap f
V = volume sel
diskretisasi persamaan perpindahan scalar dengan teknik volume kendali
diilustrasikan pada Gambar 3.2
Gambar 2.30 Volume Kendali Digunakan Sebagai Ilustrasi Diskretisasi
Persamaan Transport Skalar
Sumber : (Ambarita,2010)
Untuk penggunaan model sel 2D quadrilateral ditunjukkan pada Gambar 2.23
yang merupakan suatu contoh volume kendali [2].
Gambar 2.31 Volume Kendali Digunakan Sebagai Ilustrasi Diskretisasi
Persamaan Transport Skalar pada model sel 2D quadrilateral.
Sumber : (Ambarita,2010)
FLUENT menyimpan nilai-nilai diskrit skalar pada pusat-pusat sel (c0 dan c1 pada
Gambar 2.23 dan Gambar 2.24). Meskipun demikian, nilai-nilai sisi diperlukan
untuk suku konveksi dalam Persamaan 2.22 dan harus diinterpolasi dari nilai-nilai
pusat sel. Hal ini diselesaikan dengan menggunakan skema upwind.Upwinding
berarti bahwa nilai sisi diturunkan dari besaran-besaran hulu atau “upwind ”, relatif
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
32/36
terhadap arah kecepatan tegak lurus , dalam Persamaan. Terdapat beberapa
metode dalam menyelesaikan persamaan-persamaan pembentuk aliran. Berikut ini
beberapa metode yang digunakan dalam FLUENT [2].
2.6.3.1 First-Order Upwind
Ketika menginginkan keakuratan (accuracy) orde-pertama, besaran-besaran sisi
sel ditentukan dengan cara mengasumsikan bahwa nilai-nilai pusat-sel pada
beberapa variabel medan menggambarkan nilai rata-rata-sel dan berlaku untuk
seluruh sel; besaran-besaran sisi identik dengan besaran-besaran sel. Oleh karena
itu, ketika first-order upwind dipilih, nilai sisi diatur sama dengan nilai-pusat pada
sel upstream [2].
2.6.3.2 Second-Order Upwind Scheme
Ketika menginginkan keakuratan (accuracy) orde-kedua, besaran-besaran pada
sisi sel ditentukan dengan menggunakan suatu pendekatan rekontruksi linear
multidimensi. Dalam pendekatan ini, keakuratan orde yang lebih tinggi diperoleh
pada sisi-sisi sel melalui ekspansi deret Taylor berdasarkan solusi pusat sel di
sekitar sentroid sel. Oleh karena itu, saat second-order upwinding dipilih, nilai sisi
dihitung dengan menggunakan persamaan sebagai berikut :
......................................... (25)
.......................................................................................... (26)
Dimana dan merupakan nilai pusat-sel dan gradiennya dalam sel upstream
dan adalah vektor perpindahan dari sentroid sel upstream ke sentroid sisi.
Formulasi ini membutuhkan penentuan gradient di setiap sel. Gradien ini
dihitung dengan menggunakan teorima divergensi,dan dalam bentuk diskret
ditulis sebagai:
.................................................................................... (27)
Oleh karena itu nilai face dihitung dengan merata-ratakan dari dua sel yang
berdekatan dengan sisi ( face) [2].
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
33/36
2.6.4 Bentuk Linearisasi Persamaan Diskrit
Persamaan transport skalar terdiskretisasi (Persamaan 3.2) mengandung variabel
skalar yang tidak diketahui pada pusat sel sebagaimana nilai-nilai yang tidak
diketahui dalam sel-sel tetangga yang ada disekelilingnya. Persamaan ini pada
umumnya akan menjadi tidak linear akibat adanya variabel-variabel ini. Bentuk
linear Persamaan 3.2 dapat ditulis sebagai berikut : [2].
.............................................................................. (28)
dimana subkrip nb menunjukkan sel tetangga, dan a p dan anb adalah koefisien-
koefisien linear untuk dan .
Ketidaklinearan persamaan yang dipecahkan oleh FLUENT dapat mengakibatkan
perubahan yang dihasilkan pada tiap iterasi menjadi tidak teratur. Tipikal dari
adanya under-relaxation adalah mengurangi perubahan yang dihasilkan dari
setiap iterasi. Dalam bentuk yang sederhana, nilai variable yang baru dalam
sebual sel tergantung kepada nilai sebelumnya, . Perubahan yang
dihitung, dan faktor under relaxation, , dirumuskan sebaqai berikut:
+ ........................................................................................... (29)
2.7 Diskritisasi Coupled Solver
Formulasi coupled solver pada FLUENT memecahkan persamaan kontinuitas,
momentum, energi (jika diperlukan) dan persamaan species transport secara
bersamaan sebagai sebuah set, atau vektor, dari persamaan-persamaan tersebut.
Persamaan-persamaan untuk besaran-besaran tambahan akan diselesaikan secara
bertahap (yaitu segregated dari satu yang lain dan dari set coupled).
2.8 Model Turbulen (Turbulence Modeling)
Aliran turbulen adalah suatu karakteristik yang terjadi karena adanya peningkatan
kecepatan aliran. Peningkatan ini mengakibatkan perubahan momentum, energi,
dan massa tentunya. Karena terlalu mahalnya untuk melakukan analisa secara
langsung dari aliran turbulen yang memiliki skala kecil dengan frekuensi yang
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
34/36
tinggi, maka diperlukan suatu manipulasi agar menjadi lebih mudah dan murah.
Salah satunya adalah dengan permodelan turbulen (turbulence model ). Meskipun
demikian, modifikasi persamaan yang meliputi penambahan variabel yang tidak
diketahui, dan permodelan turbulen perlu untuk menentukan variabel yang
diketahui [9]. FLUENT sendiri menyediakan beberapa permodelan, diantaranya
adalah k-ε dan k-ω [2].
2.8.1 Permodelan k-epsilon (k-ε )
2.8.1.1 Standard
Model ini merupakan model turbulensi semi empiris yang lengkap. Walaupun
masih sederhana, memungkinkan untuk dua persamaan yaitu kecepatan turbulen
(turbulent velocity) dan skala panjang (length scale) ditentukan secara bebas
independent ). Model ini dikembangkan oleh Jones dan Launder. Kestabilan,
ekonomis (dari segi komputansi), dan akurasi yang cukup memadai membuat
model ini sering digunakan dalam simulasi fluida dan perpindahan panas [2].
2.8.1.2 RNG
Model ini diturunkan dengan menggunakan metode statistik yang teliti (teori
renormalisasi kelompok). Model ini merupakan perbaikan dari metode k-epsilon
standard , jadi bentuk persamaan yang digunakan sama. Perbaikan yang dimaksud
meliputi:
- Model RNG memiliki besaran tambahan pada persamaan laju disipasi
(epsilon), sehingga mampu meningkatkan akurasi untuk aliran yang
terhalang secara tiba-tiba.
- Efek putaran pada turbulensi juga telah disediakan, sehinggameningkatkan akurasi untuk jenis aliran yang berputar ( swirl flow).
Menyediakan formulasi analitis untuk bilangan Prandtl turbulen, sementara model
k-epsilon standard menggunakan nilai bilangan Prandtl yang ditentukan pengguna
(kostan). Model RNG menyediakan formulasi untuk bilangan Reynold rendah,
sedang model standard merupakan model untuk Reynold tinggi [2].
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
35/36
2.8.1.3 Realizable
Merupakan model pengembangan yang relatif baru dan berbeda dengan model k-
epsilon standar dalam dua hal, yaitu:
- Terdapat formulasi baru untuk memodelkan viskositas turbulen.
- Sebuah persamaan untuk dissipasi, ε, telah diturunkan dari persamaan
yang digunakan untuk menghitung fluktuasi vortisitas rata-rata.
Istilah realizable memiliki arti bahwa model tersebut memenuhi beberapa batasan
matematis pada bilangan Reynold, konsisten dengan bentuk fisik aliran turbulen.
Kelebihannya adalah lebih akurat untuk memprediksi laju penyebaran fluida dari
pancaran jet/nosel. Model ini memberikan performa yang bagus untuk aliran yang
melibatkan putaran, lapisan batas yang memiliki gradien tekanan yang besar,
separasi, dan resirkulasi. Salah satu keterbatasan model realizable k-epsilon
adalah terbentuknya viskositas turbulen non-fisik pada kasus dimana domain
perhitungan mengandung zona fluida yang diam dan berputar ( multiple reference
frame, sliding mesh ). Oleh karena itu, penggunaan model ini pada kasus multiple
reference frame dan sliding mesh harus lebih hati-hati [2].
2.8.2 Permodelan k-omega (k-ω)
2.8.2.1 Standard
Model yang terdapat dalam FLUENT merupakan model berdasarkan Wilcox k-
omega yang memasukkan beberapa modifikasi untuk menghitung efek aliran pada
bilangan Rynold rendah, kompresibilitas, dan penyebaran aliran geser ( shear
flow). Selain itu, model ini juga mampu diaplikasikan untuk aliran dalam saluran
maupun aliran bebas geseran ( free shear flow).
2.8.2.2 SST
Model ini dikembangkan oleh Menter untuk memadukan formulasi model k-
omega standard yang stabil dan akurat pada daerah dekat ke dinding dengan
model k-epsilon yang memiliki kelebihan pada aliran free stream. Model ini mirip
dengan k-omega standard dengan memiliki beberapa perbaikan, yaitu:
Universitas Sumatera Utara
8/16/2019 Fluida Dinamis (Kipas Angin)
36/36
- Model k-omega standard dan k-epsilon yang telah diubah dikalikan
dengan suatu fungsi pencampuran dan kedua model digunakan bersama-
sama, sehingga lebih akurat untuk daerah dekat dinding maupun untuk
aliran yang jauh dari dinding dan free stream flow.
- Definisi viskositas turbulen dimodifikasi untuk menghitung perubahan
tegangan geser turbulen.
- Konstanta model berbeda dengan model k-omega standar.
- Melibatkan sebuah besaran dari penurunan damped cross diffusion pada
persamaan omega [2].
Recommended