Dog˘rusal Esits¸ izlikler - Başkent...

Bolum 8Ders 08

Dogrusal Esitsizlikler

8.1 Alıstırmalar 08

Prof.Dr.Haydar Es

Prof.Dr.Timur Karaçay

131

132 BÖLÜM 8. DERS 08

1. Asagıdaki esitsizliklerin her birinin grafigini çiziniz.

a)

6x +4y < 24

Bakınız: Sekil 8.1

Sekil 8.1: 8-1a,b

Sekil 8.2: 8-1a

8.1. ALISTIRMALAR 08 133

b)

3x −2y > 6

Bakınız: Sekil 8.1

Sekil 8.3: 8-1b

134 BÖLÜM 8. DERS 08

c)

6x +4y ≤ 24

Bakınız: Sekil 8.4

Sekil 8.4: 8-1c,d,e

Sekil 8.5: 8-1c

8.1. ALISTIRMALAR 08 135

ç)

3x −2y < 6

Sekil 8.6: 8-1ç

136 BÖLÜM 8. DERS 08

d)

y > x −1

Sekil 8.7: 8-1d

8.1. ALISTIRMALAR 08 137

e)

5x <−2y

Sekil 8.8: 8-1e

138 BÖLÜM 8. DERS 08

f)

y < 5

Sekil 8.9: Soru8-1e,f

Sekil 8.10: Soru:8-1f

8.1. ALISTIRMALAR 08 139

g)

x > 5

Sekil 8.11: 8-1g

140 BÖLÜM 8. DERS 08

g)

−4 ≤ y < 4

Bakınız: Sekil 8.12

Sekil 8.12: Soru8-1g,g,h

Sekil 8.13: 8-1g

8.1. ALISTIRMALAR 08 141

h)

0 < x ≤ 6

Sekil 8.14: 8-1h

142 BÖLÜM 8. DERS 08

2. Asagıdaki dört esitsizlik sisteminden her birinin grafiginin [çözüm alanı-nın) Sekil 8.15’de verilen bölgelerden hangisi oldugunu belirleyiniz.

Sekil 8.15: Soru 8-2

a)

2x + y ≤ 8

2x −3y ≤ 0

b)

2x + y ≥ 8

2x −3y ≤ 0

c)

2x + y ≥ 8

2x −3y ≥ 0

ç)

2x + y ≤ 8

2x −3y ≥ 0

a)I I I b)IV

c)I ç)I I

8.1. ALISTIRMALAR 08 143

a)

2x + y ≤ 8

2x −3y ≤ 0

Bakınız Sekil 8.15

Sekil 8.16: 8-2a

b)

2x + y ≥ 8

2x −3y ≤ 0

Sekil 8.17: 8-2b

144 BÖLÜM 8. DERS 08

c)

2x + y ≥ 8

2x −3y ≥ 0

Sekil 8.18: 8-2c

ç)

2x + y ≤ 8

2x −3y ≥ 0

Sekil 8.19: 8-2ç

8.1. ALISTIRMALAR 08 145

3. Asagıdaki esitsizlik sistemlerinin çözüm alanlarını grafikle gösteriniz.

a)

x +3y ≥ 6

y ≤ 4

Sekil 8.20: Soru:8-3a

146 BÖLÜM 8. DERS 08

Sekil 8.21: Soru:8-3b,c

b)

x +2y ≥ 8

3x −2y ≥ 8

Sekil 8.22: Soru 8-3b

8.1. ALISTIRMALAR 08 147

c)

Sekil 8.23: Soru 8-3c

x −5y ≥ 8

2x +5y ≤ 20

148 BÖLÜM 8. DERS 08

4. Asagıdaki esitsizlik sistemlerinin çözüm alanlarım grafikle gösteriniz veher bir çözüm alanının sınırlı olup olmadıgını belirieyiniz. Her bir çözümalanının köse noktalarının koordinatlarını bulunuz. a)

Sekil 8.24: Soru 8-4a

2x +3y ≤ 6

x ≥ 0

y ≥ 0

Sekil 8.25: Soru 8-4a

8.1. ALISTIRMALAR 08 149

b)

x + y ≤ 6

x +2y ≤ 8

x ≥ 0

y ≥ 0

Sekil 8.26: Soru 8-4b

150 BÖLÜM 8. DERS 08

c)

x + y ≥ 6

x +2y ≤ 8

x ≥ 0

y ≥ 0

Sekil 8.27: Soru 8-4c

8.1. ALISTIRMALAR 08 151

ç)

x + y ≤ 6

x +2y ≥ 8

x ≥ 0

y ≥ 0

Sekil 8.28: Soru 8-4ç

152 BÖLÜM 8. DERS 08

Sekil 8.29: Soru 8-4d,f

8.1. ALISTIRMALAR 08 153

d)

3x + y ≤ 30

x +4y ≤ 32

4x +5y ≥ 40

y ≥ 0

Sekil 8.30: Soru 8-4d

154 BÖLÜM 8. DERS 08

e)

3x +4y ≤ 36

x +2y ≥ 14

x ≥ 40

Sekil 8.31: Soru 8-4e

8.1. ALISTIRMALAR 08 155

f)

3x − y ≥ 2

−x +5y ≥ 18

x + y ≤ 18

y ≤ 10

Sekil 8.32: Soru 8-4f

156 BÖLÜM 8. DERS 08

g)

3x − y ≥ 2

−x +5y ≥ 18

x + y ≥ 18

y ≤ 10

Sekil 8.33: Soru 8-4g

8.1. ALISTIRMALAR 08 157

5. Asagıdaki esitsizlik sistemlerinin çözüm alanlarını grafikle gösteriniz veher bir çözüm alanının sınırlı olup olmadıgını belırleyiniz. Her bir çözümalanının köse noktalarının koordinatlarını bulunuz. a)

x + y ≥ 7

2x + y ≤ 10

x +2y ≤ 14

Sekil 8.34: Soru 8-5a

158 BÖLÜM 8. DERS 08

Sekil 8.35: Bölgeler

b)

x + y ≥ 7

2x + y ≥ 10

x +2y ≤ 14

Sekil 8.36: Soru 8-5b

8.1. ALISTIRMALAR 08 159

c)

2x + y ≥ 16

x + y ≥ 12

x +2y ≥ 14

x ≥ 0

y ≥ 0

Sekil 8.37: Soru 8-5c

160 BÖLÜM 8. DERS 08

ç)

3x + y ≥ 18

x + y ≤ 12

x +3y ≥ 24

Sekil 8.38: Soru 8-5ç

8.1. ALISTIRMALAR 08 161

6. K (x, y) = 100x +20y fonksiyonunun asagıdaki esitsizlik sistemlerinin herbirinin çözüm alanı üzerinde maksimum ve minimum degerlerini aras-tırınız. a)

2x + y ≤ 120 min

8x +2y ≤ 400 max

x ≥ 20

y ≥ 4

Sekil 8.39: Soru 8-6a

K (20,4) = 200+80 = 2080

K (58,4) = 5800+80 = 5880

K (40,40) = 4000+800 = 4800

K (20,80) = 2000+1600 = 3600

162 BÖLÜM 8. DERS 08

b)

2x + y ≥ 50

x + y ≥ 30

x ≥ 10

y ≥ 4

Sekil 8.40: Soru 8-6b

8.1. ALISTIRMALAR 08 163

K (10,30) = 1000+600 = 1600

K (20,10) = 2000+200 = 2200

K (26,4) = 2600+80 = 2680

Bölge sınırsızdır. Max nokta: yoktur, min nokta: (10,30)

164 BÖLÜM 8. DERS 08

c)

3x + y ≤ 120

3x +2y ≤ 180

x + y ≥ 20

x ≥ 0, y ≥ 6

Sekil 8.41: Soru 8-6c

K (0,90) = 1800

K (0,20) = 0+400 = 400 min

K (14,6) = 1400+120 = 1520

K (38,6) = 3800+120 = max

K (20,60) = 2000+1200 = 3200

Min nokta: (0,20) max nokta (38,6).

8.1. ALISTIRMALAR 08 165

7. Asagıdaki fonksiyonlardan her birinin

2x + y ≤ 60

x +3y ≤ 90

x + y ≥ 12

x −2y ≤ 0

3x − y ≥O

esitsizlik sisteminin çözüm alanı üzerinde maksimum ve minimum de-gerlerini arastırınız.

Sekil 8.42: Soru 8-7

166 BÖLÜM 8. DERS 08

a) K (x, y) = 10x +20y

K (9,27) = 90+540 = 630

K (3,9) = 30+180 = 210

K (8,4) = 80+80 = 160

K (24,12) = 240+240 = 480

K (18,24) = 180+480 = 660

Min nokta: (8,4) max nokta (18,24).

b) K (x, y) = 10x +20y +40

K (9,27) = 90+540+40 = 670

K (3,9) = 30+180+40 = 250

K (8,4) = 80+8040 = 200

K (24,12) = 240+240+40 = 520

K (18,24) = 180+480+40 = 700

Min nokta: (8,4) max nokta (18,24).

c) K (x, y) = 20x +10y

K (9,27) = 180+270 = 450

K (3,9) = 60+90 = 150

K (8,4) = 160+40 = 200

K (24,12) = 480+120 = 600

K (18,24) = 360+240 = 600

Min nokta: (3,9) max nokta (18,24), (24,12).

ç) K (x, y) = 20x +10y +30

K (9,27) = 180+270+30 = 480

K (3,9) = 60+90+30 = 180

K (8,4) = 160+40+30 = 230

K (24,12) = 480+120+30 = 630

K (18,24) = 360+240+30 = 630

Min nokta: (3,9) max nokta (18,24), (24,12).

8.1. ALISTIRMALAR 08 167

d) K (x, y) = 10x +10y

K (9,27) = 90+270 = 360

K (3,9) = 30+90 = 120

K (8,4) = 80+40 = 120

K (24,12) = 240+120 = 360

K (18,24) = 180+240 = 420

Min nokta: (3,9), (8,4) max nokta (18,24).

e) K (x, y) = 10x +10y +20

K (9,27) = 90+270+20 = 380

K (3,9) = 30+90+20 = 140

K (8,4) = 80+40+20 = 140

K (24,12) = 240+120+20 = 380

K (18,24) = 180+240+20 = 440

Min nokta: (3,9), (8,4) max nokta (18,24).

168 BÖLÜM 8. DERS 08

8. Asagıdaki fonksiyonlardan her birinin

−2x + y ≤ 8

x −2y ≤ 0

2x + y ≥ 20

x − y ≤ 6

esitsizlik sisteminin çözüm alanı üzerinde maksimum ve minimum de-gerlerini arastırınız.

Sekil 8.43: Soru 8-8

a) K (x, y) = 10x +20y

K (3,14) = 30+280 = 310

K (8,4) = 80+80 = 160

K (12,6) = 120+120 = 240

Min nokta: (8,4) max nokta: yok.

8.1. ALISTIRMALAR 08 169

Sekil 8.44: z = 10x +20y

170 BÖLÜM 8. DERS 08

b) K (x, y) = 10x +20y +40

K (3,14) = 30+280+40 = 350

K (8,4) = 80+80+40 = 200

K (12,6) = 120+120+40 = 280

Min nokta: (8,4) max nokta: yok.

c) K (x, y) = 20x +10y

K (3,14) = 60+140 = 200

K (8,4) == 1200

K (12,6) = 120+120 = 240

Min nokta: (8,4), (3,14) max nokta: yok.

ç) K (x, y) = 20x +10y +30

K (3,14) = 230,K (8,4) = 230,K (12,6) = 330

Min: (3,14 ve (8,4)

Max nokta yoktu.

K (3,14) = 60+140+30 = 230

K (8,4) = 80+80+30 = 190

K (12,6) = 120+120+30 = 270

Min nokta: (8,4) max nokta: yok.

d) K (x, y) = 10x −20y

K (3,14) = 30−280 =−250

K (8,4) = 80−80 = 0

K (12,6) = 120−120 = 0

Min nokta: yok, max nokta yoktur.

e) K (x, y) = 20x −10y

K (3,14) = 60−140 =−80

K (8,4) = 160−40 = 120

K (12,6) = 240−60 = 180

Min nokta: (3,14), max nokta yoktur.

8.1. ALISTIRMALAR 08 171

Sekil 8.45: z = 10x +20y +40

172 BÖLÜM 8. DERS 08

Sekil 8.46: z = 20x +10y +30

8.1. ALISTIRMALAR 08 173

Sekil 8.47: z = 20x −10y +30

174 BÖLÜM 8. DERS 08

Sekil 8.48: z = 10x −20y

8.1. ALISTIRMALAR 08 175

Sekil 8.49: z = 20x −10y