Embed Size (px)
Citation preview
TRABAJO DE METODOSTRABAJO DE METODOSNUMERICOS GRUPO 8NUMERICOS GRUPO 8CHARLY CALDERONCHARLY CALDERONJEANJEANWILMER GOMEZWILMER GOMEZ
MATRIZMATRIZ
Definición.-Definición.-Se llama Se llama matriz matriz de orden "mde orden "m × × n" n" a un conjunto a un conjunto rectangular de rectangular de elementos aelementos a ijij dispuestos en m filas dispuestos en m filas en n columnas.en n columnas.
El orden de una matriz El orden de una matriz tam- bién se tam- bién se denomina denomina dimensióndimensión o tamaño, siendo m y n o tamaño, siendo m y n nú- nú- meros naturales. meros naturales.Las matrices se denotan Las matrices se denotan con letras mayúsculas: con letras mayúsculas: A, B, C, ... A, B, C, ... y los elementos de las y los elementos de las mis- mas con mis- mas con letras minúsculas y letras minúsculas y subíndices que indican el subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ...lugar ocupado: a, b, c, ...
Un elemento genérico Un elemento genérico que ocupe la fila que ocupe la fila ii y la y la columna columna jj se escribe se escribe aa ijij . .
Si el elemento genérico Si el elemento genérico aparece entre paréntesis aparece entre paréntesis también representa a también representa a toda la matriz : A = (toda la matriz : A = ( aa ijij))
MATRICES IGUALES MATRICES IGUALES Dos matrices A= (Dos matrices A= (aa ijij))mm××nn y y B = ( B = (bb ijij))pp××qq son iguales, son iguales, sí y solo si, tienen en los sí y solo si, tienen en los mismo lugares elementos mismo lugares elementos iguales, es decir : iguales, es decir :
CLASES DE MATRICES CLASES DE MATRICES 1)Matriz fila.-1)Matriz fila.-Aquella Aquella matriz que tiene una sola matriz que tiene una sola fila, siendo su orden fila, siendo su orden 1×n.1×n.Ejemplo.-Ejemplo.-
2)Matriz columna.-2)Matriz columna.-Aquella matriz que tiene Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo una sola columna, siendo su orden su orden m×1.m×1.
Ejemplo:Ejemplo:
3)Matriz nula.-Si todos 3)Matriz nula.-Si todos sus elementos son cero. sus elementos son cero. También se denomina También se denomina matriz cero y se denota matriz cero y se denota por 0m×n.por 0m×n.Ejemplo.-Ejemplo.-
4)Matriz transpuesta.-4)Matriz transpuesta.-Dada una matriz Dada una matriz AA, se , se llama traspuesta de llama traspuesta de AA a a la matriz que se obtiene la matriz que se obtiene cambiando cambiando ordenadamente las filas ordenadamente las filas por las columnas.por las columnas.Se representa por Se representa por AA tt ó ó AATT
Propiedades Propiedades Si A y B son matrices y Si A y B son matrices y AA tt y yBB tt son las transpuestas, son las transpuestas, se verifica :se verifica :a) (Aa) (A tt ) ) tt = A = Ab) (Ab) (A + B )+ B ) tt = A = A tt + B + B tt c) (Ac) (A - B )- B ) tt = A = A tt - B - B t t
d) (cAd) (cA tt ) = cA ) = cA tt c c єє R R e) (A B)e) (A B) tt = B = B tt A A tt
5)Matriz cuadrada.-5)Matriz cuadrada.- Aquella matriz que tiene Aquella matriz que tiene igual número de filas que igual número de filas que de columnas, m = n, de columnas, m = n, diciendose que la matriz diciendose que la matriz es de es de orden norden n ..Diagonal principalDiagonal principal : : son son los elementos alos elementos a 1111 , , aa 2222 , ..., a , ..., a nnnn Diagonal secundariaDiagonal secundaria : : son los elementos ason los elementos a ij ij con con i+j = n+1 i+j = n+1
Diagonal principal : Diagonal principal :
Diagonal secundaria : Diagonal secundaria :
6)Matriz simétrica.- 6)Matriz simétrica.- Es Es una matriz cuadrada que una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.es igual a su traspuesta.A = AA = A tt , , aa ij ij = = aa ji ji Ejemplo:Ejemplo:
7)Matriz antisimétrica.-7)Matriz antisimétrica.- Es una matriz cuadrada Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta que es igual a la opuesta de su traspuesta.de su traspuesta.A = -AA = -A tt , , aa ij ij = = -a-a ji ji Necesariamente aNecesariamente a iiii = = 00 Ejemplo:Ejemplo:
8)Matriz diagonal.-8)Matriz diagonal.- Es Es una matriz cuadrada que una matriz cuadrada que tiene todos sus tiene todos sus elementos nulos excepto elementos nulos excepto los de la diagonal los de la diagonal principal. principal. Ejemplo:Ejemplo:
9)Matriz escalar.- Es una 9)Matriz escalar.- Es una matriz cuadrada que matriz cuadrada que tiene todos sus tiene todos sus elementos nulos excepto elementos nulos excepto los de la diagonal los de la diagonal principal que son principal que son iguales.iguales.Ejemplo.- Ejemplo.-
10)Matriz identidad o 10)Matriz identidad o unidad.-unidad.- Es una matriz cuadrada Es una matriz cuadrada que tiene todos sus que tiene todos sus elementos nulos excepto elementos nulos excepto los de la diagonal los de la diagonal principal que son iguales principal que son iguales a 1. Tambien se a 1. Tambien se denomina matriz unidad. denomina matriz unidad.
Ejemplo.-Ejemplo.-
11)Matriz triangular 11)Matriz triangular superior.- superior.- Es una matriz cuadrada Es una matriz cuadrada que tiene todos los que tiene todos los elementos por debajo de elementos por debajo de la diagonal principal la diagonal principal nulos.nulos.
12) Matriz triangular 12) Matriz triangular inferior.- inferior.- Es una matriz cuadrada Es una matriz cuadrada que tiene todos los que tiene todos los elementos por encima de elementos por encima de la diagonal principal la diagonal principal nulos.nulos.
Ejemplo.-Ejemplo.-
Algebra de matrices Algebra de matrices
1)Adición o suma de1)Adición o suma de matrices.- La suma de matrices.- La suma de dos matrices A = dos matrices A = (a(a ijij))mm××nn y B = (b y B = (b ijij))pp××q q de la misma dimen- de la misma dimen- sión sión (equidimensionales) : m (equidimensionales) : m = p y n = q es otra = p y n = q es otra matriz matriz C = A+B = C = A+B = (c(c ijij))mm××n =n = (a (a ijij+b+b ijij))
PROPIEDADES : PROPIEDADES :
· · AsociativaAsociativa : A+(B+C) = : A+(B+C) = (A+B)+C(A+B)+C· · ConmutativaConmutativa : A+B = : A+B = B+AB+A· · Elem. neutroElem. neutro : ( matriz : ( matriz cero 0cero 0m×nm×n ) , 0+A = A+0 = ) , 0+A = A+0 = AA· · Elem. simétricoElem. simétrico : : ( matriz opuesta -A ) , A ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0+ (-A) = (-A) + A = 0
2)Producto de un número 2)Producto de un número real por una matriz.real por una matriz.
Para multiplicar un Para multiplicar un escalar por una matriz se escalar por una matriz se multiplica el escalar por multiplica el escalar por todos los elementos de todos los elementos de la matriz, obteniéndose la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo otra matriz del mismo orden.orden.
Propiedades:Propiedades:
3)Multiplicación de 3)Multiplicación de matrices.matrices. Dadas dos matrices Dadas dos matrices AA y y BB, tales que el número , tales que el número de co- de co- lumnas de la matriz lumnas de la matriz AA es es igual al número de igual al número de filas de la matriz filas de la matriz BB; es ; es decir:decir:
la multiplicación de la multiplicación de AA por por BB, que se denota , que se denota A·BA·B, , A×BA×B o simplemente o simplemente ABAB, , está definida como:está definida como:
donde cada elemento donde cada elemento cc i,ji,j está definido por:está definido por:
Gráficamente, siGráficamente, si y y
ll
Propiedades: Propiedades: a)a)Propiedad asociativaPropiedad asociativa : : (AB)C = A(BC). (AB)C = A(BC). b)b)Propiedad distributiva Propiedad distributiva por la derechapor la derecha : : (A+B)C=AC + BC. (A+B)C=AC + BC. C)C)Propiedad distributiva Propiedad distributiva por la izquierdapor la izquierda : : C(A+B)=CA+CB. C(A+B)=CA+CB. d)El producto de dos d)El producto de dos matri- ces matri- ces generalmente no es con- generalmente no es con- mutativo, es decir , mutativo, es decir , AB≠ BA. AB≠ BA.
INVERSA DE UNA INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA MATRIZ CUADRADA Se llama matriz inversa Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada de una matriz cuadrada An y la representamos An y la representamos por Apor A -1-1 , a la matriz que , a la matriz que verifica la siguiente verifica la siguiente propiedad : propiedad :
A A -1-1 ·A = A·A·A = A·A -1-1 = I = I
Decimos que una matriz Decimos que una matriz cuadrada es cuadrada es "regular""regular" si su determinante es si su determinante es distinto de cero, y es distinto de cero, y es "singular""singular" si su si su determinante es igual a determinante es igual a cero .Es decir:cero .Es decir:
Propiedades:Propiedades:
MÉTODOS PARA HALLAR MÉTODOS PARA HALLAR LA MATRIZ INVERSA : LA MATRIZ INVERSA :
a)Aplicando la definición a)Aplicando la definición
b)Por el método de b)Por el método de Gauss Gauss c)Por determinantes c)Por determinantes
Método por Método por determinantes. determinantes. Ejemplo.- Ejemplo.- Hallar la Hallar la inversa de la matriz inversa de la matriz
primero calculamos el primero calculamos el determimante :determimante :
Ahora calculamos cada Ahora calculamos cada uno de los adjuntos:uno de los adjuntos:
METODO DE GAUSS-METODO DE GAUSS-JORDAN PARA EL JORDAN PARA EL CÁLCULO DE LA CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA INVERSA DE UNA MATRIZ.MATRIZ. Este método consiste en Este método consiste en ir efectuando ir efectuando transformacio- transformacio- nes nes ELEMENTALES PELEMENTALES P 11 ,P,P 22 ,..., ,..., P P rr entre las entre las FILAS de la ma- triz FILAS de la ma- triz inicial A para conseguir inicial A para conseguir transformarla en la transformarla en la matriz identidad. matriz identidad.
Las Las TRANSFORMACIONES TRANSFORMACIONES ELEMENTALES que se ELEMENTALES que se podrán realizar con las podrán realizar con las FILAS de la matriz A FILAS de la matriz A serán: serán: a) intercambiar filas. a) intercambiar filas. b) multiplicar una fila b) multiplicar una fila por un escalar. por un escalar. c) sumar a una fila una c) sumar a una fila una combinación lineal de combinación lineal de las restantes.las restantes.
La idea consiste en ir La idea consiste en ir aplicando a la matriz A aplicando a la matriz A una serie de una serie de transformaciones transformaciones encaminadas a conseguir encaminadas a conseguir obtener la matriz obtener la matriz identidad, es decir: identidad, es decir:
