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Instrumentação Industrial Dep. Eng. Electrotécnica


•Medição – conjunto de operações com o objectivo de estimar o valor de uma grandeza

•Método (de medição) – sequência de operações utilizadas na medição

•directo / indirecto / por comparação / zero / ...

•Sistema de medição – conjunto de instrumentos de medição

Measurement is the estimation of the magnitude of some attribute of an object


I

R

Efeito de carga (da medição, na medida)

?RV =

I

R RVoltim

I

R // RVoltim

I ≠V ≠

O valor lido é o verdadeiro ?


O acto de medir altera o que se mede !

Não existem instrumentos exactos

Não existem operadores perfeitos

Não existe medida perfeita

ERRO

INCERTEZA !


Valor exacto ?

“É, no entanto, razoável admitir que o valor exacto existe e, embora ele não seja conhecido,podemos estimar os limites do intervalo em que ele se encontra.”


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

10 1110 11

10 ? ou 10,1 ?

2,37 ? ou 2,38 ?


• Grosseiros

• Aleatórios

• Sistemáticos

Categorização dos erros

Grosseiros: cansaço, escala ilegível, desatenção (fios desligados num circuito), ...

Aleatórios: variações nas medidas por causas (nem sempre) identificáveis (radiação electromagnética, ...)

Sistemáticos: natureza diversa – afectam a medida sempre na mesma direcção (temperatura elevada, escala errada)

Valor exacto

Erro aleatório

Erro sistemático


Erro

Absoluto Relativo

R = 10 kΩ ± 500Ω R = 10 kΩ ± 5%

Representação do erro


Forma de medição

R

RV R I= ×R±x%

I

• Directa

• Indirecta


O ERRO pode ser minorado, mas nunca eliminado !

Solução ?


1 2 3 ... nx x x xx

n

+ + + +=

Erros Aleatórios

Valor exacto

Nº de valores amostrados

(n)

Valor mais provável

valo

r e

xact

o (

µ)

Ax Bx Cx


20,1 20,0 20,2 20,1 20,1

19,5 20,5 19,7 20,6 20,2

1 2 3 ... nx x x xx

n

+ + + +=

20,1x =

20,1x =??? Qual a diferença ?

19

19,2

19,4

19,6

19,8

20

20,2

20,4

20,6

20,8

21

0 2 4 6 8 10 12 14

DESVIO PADRÃO Quanto maior o desvio padrão,maior a probabilidade de um valor se encontrar afastado da média

Mas

, exi

ste

um p

robl

ema

!


2 2 21 2 ...

desvio padrão ( )1

nd d d

nσ + + +=

− d x x= −

(n-1) – nº amostras pequeno

(n) – nº amostras grande

20,1 20,0 20,2 20,1 20,1

19,5 20,5 19,7 20,6 20,2

20,1 0,07x σ= =

20,1 0, 48x σ= =


-3σ -2σ -1σ 0 +1σ +2σ +3σ

68,26 %

95,46 %

99,73 %

Utilização prática do desvio padrão

20,1 0,07x σ= =

20,1 0,07

20,1 0,14

20,1 0,21

x

x

x

= ±= ±= ±

(em 68,26% dos casos)


Algarismos significativos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

12,1 ? (ou 12,2 ?)

1211

Certeza do 1 e do 2 e dúvida no 1

Algarismos significativos = algarismos certos + 1º algarismo duvidoso

12,13 ??

Qual é o comprimento ?


Os zeros, à esquerda não são considerados algarismos significativos


73 V

nº a.s. ?

2

73,0 V

0,0031 A

380.000 Ω 6 ?3 ?2 ?

∈ [72; 74]

∈ [72,9; 73,1]

∈ [0,0030; 0,0032]

[379.999; 380.001]

[379.000; 381.000]

[370.000; 390.000] solução: (representar de forma diferente)

38x104 ou 3,8x105

(i.e. 2 a.s.)

3

2


Graus exactidão ≠’s resultado tão exacto quanto o menos exacto

R1 = 18,7 Ω (3 a.s.)

R1 R2

35,68 Ω

3,18 A

V = R x I = 35,68 x 3,18 = 113,4624 = 113 V

I – 3 a.s.R – 4 a.s.

45,4624 45

45,7294 46

abandonar

abandonar

Algarismos significativos - cálculos

Rtot = R1 + R2 = 22,324

R2 = 3,624 Ω (4 a.s.)

22,3 Ω


Os algarismos significativos (a.s.) são os algarismos dos quais temos a certeza de serem correctos,ao qual se “adiciona” mais um – o primeiro duvidoso.O nº de a.s. está directamente relacionado à precisão do valor – quanto mais preciso o valor tanto maior o nº de a.s.que o representam.

Regras:1. zeros, à esquerda do primeiro a.s., não são a.s. (32,5 cm e 0,325 m têm 3 a.s.)2. um zero, à direita de a.s., é a.s. (32,5 cm tem 3 a.s. e 32,50 [1] tem 4 a.s.)3. zeros, entre a.s., são a.s. (3,25 cm tem 3 a.s. e 3,025 cm tem 4 a.s.)

Embora matemáticamente 5 = 5,0 = 5,00 = 5,000, em termos de resultados de medidas eles são diferentes(pressupõem precisões diferentes)

[1] o que significa que consigo medir até às décimas de mm



Nas parcelas exactas, conserva-se mais uma casa decimal que aquelas que contêm a parcela menos precisa.O resultado arredonda-se para o mesmo nº de casas decimais da parcela menos precisa

2,640,91,520,73

5,79

2,6350,91,520,7345+

5,8

Soma

Subtracção

Arredonda-se, antes de subtrair, o operando mais preciso para o mesmo nº de casas decimais do operando menos preciso.O resultado deve conter o mesmo nº de casas decimais que o operando menos preciso

7,63450,031-

7,6340,0317,603

-

Produto / Quociente

Arredonda-se, os operandos mais precisos de forma que fiquem com mais um algarismo significativo que o menos preciso.O resultado arredonda-se para um nº de algarismos significativos, igual ao do operando menos preciso.

1,2 x 6,335 x 0,0072

3,14159

1,2 x 6,34 x 0,0072

3,14= 0,0174

0,017


99Total

2> 120

3110 – 120

5100 – 110

590 – 100

780 – 90

670 – 80

1060 – 70

850 – 60

940 – 50

1130 – 40

1320 – 30

1510 – 20

50 – 10

Nº vezesd [m]

99Total

2> 120

3110 – 120

5100 – 110

590 – 100

780 – 90

670 – 80

1060 – 70

850 – 60

940 – 50

1130 – 40

1320 – 30

1510 – 20

50 – 10

Nº vezesd [m]

xµ

Na prática ...

xmx

nº

de

ve

zes

distância

A medida é uma grandeza discreta !


Se o jogador fôr mau ...

nº

de

ve

zes

distância

nº

de

ve

zes

distância


Combinação de erros (medição indirecta)

I

R V

I

R V

VR

I=

ε

ε

ε (R) = ?

Somas Subtrações Produtos Quocientes

( ), ,y f a b c=

+ – x ÷


Combinação de erros - Estatística

Quando o nº de observações é elevado (>30) a solução é o tratamento estatístico

1 2 3

1

... 1 nn

ii

x x x xx x

n n =

+ + + += = ∑ 0 valor exactox −

0i ix x e= +ie

0x ix

( ) ( ) ( ) 00 1 0 2 0 1 1

0 0 0

...

n n

i in i i

nx e ex e x e x e

x x x en n n

= =

++ + + + + += = = + = +

∑ ∑

ke

0x kxjx

je⇒

0 ( )ie maior e<

Sendo x0 desconhecido ⇒ ei são tb desconhecidos ! ⇒ 0i i i ix x x x∆ = − → ∆ = −

0 ;x xx x x∈ − ∆ + ∆

0 xx x= ± ∆


Combinação de erros - Estatística

incerteza do resultado é função das incertezas dos vários valores medidos directamente

( ), ,y f a b c= i ix x= ± ∆

, ,a b c∆ ∆ ∆

...y y

y a ba b

∂ ∂∆ = ×∆ + ×∆ +∂ ∂


3,6 ± 0,2 cm

18,4 ± 0,9 cmVolume = ?

2r hπ × × 4,186,3 2 ××= πV

3 16,749 cmV =

V VV r h

r h

∂ ∂∆ = ×∆ + ×∆∂ ∂

22 2 3,14... 3,6 18, 4 416,20V

rh cmr

π∂ = = × × × =∂

2 23,14... 12,96 40,72V

r cmh

π∂ = = × =∂

3416, 20 0,2 40,72 0,9 119,9V cm∆ = × + × =

3749, 2 119,9V cm= ±

Combinação de erros - exemplo


. . .

. . .

x 1

x n

x n

Erro instrumento+

Erro amostragem

Erro instrumento

Sem erro(estatisticamente)

Amostragem

Education

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