Instrumentação Industrial Dep. Eng. Electrotécnica
Instrumentação Industrial Dep. Eng. Electrotécnica
•Medição – conjunto de operações com o objectivo de estimar o valor de uma grandeza
•Método (de medição) – sequência de operações utilizadas na medição
•directo / indirecto / por comparação / zero / ...
•Sistema de medição – conjunto de instrumentos de medição
Measurement is the estimation of the magnitude of some attribute of an object
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I
R
Efeito de carga (da medição, na medida)
?RV =
I
R RVoltim
I
R // RVoltim
I ≠V ≠
O valor lido é o verdadeiro ?
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O acto de medir altera o que se mede !
Não existem instrumentos exactos
Não existem operadores perfeitos
Não existe medida perfeita
ERRO
INCERTEZA !
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Valor exacto ?
“É, no entanto, razoável admitir que o valor exacto existe e, embora ele não seja conhecido,podemos estimar os limites do intervalo em que ele se encontra.”
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
10 1110 11
10 ? ou 10,1 ?
2,37 ? ou 2,38 ?
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• Grosseiros
• Aleatórios
• Sistemáticos
Categorização dos erros
Grosseiros: cansaço, escala ilegível, desatenção (fios desligados num circuito), ...
Aleatórios: variações nas medidas por causas (nem sempre) identificáveis (radiação electromagnética, ...)
Sistemáticos: natureza diversa – afectam a medida sempre na mesma direcção (temperatura elevada, escala errada)
Valor exacto
Erro aleatório
Erro sistemático
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Erro
Absoluto Relativo
R = 10 kΩ ± 500Ω R = 10 kΩ ± 5%
Representação do erro
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Forma de medição
R
RV R I= ×R±x%
I
• Directa
• Indirecta
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O ERRO pode ser minorado, mas nunca eliminado !
Solução ?
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1 2 3 ... nx x x xx
n
+ + + +=
Erros Aleatórios
Valor exacto
Nº de valores amostrados
(n)
Valor mais provável
valo
r e
xact
o (
µ)
Ax Bx Cx
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20,1 20,0 20,2 20,1 20,1
19,5 20,5 19,7 20,6 20,2
1 2 3 ... nx x x xx
n
+ + + +=
20,1x =
20,1x =??? Qual a diferença ?
19
19,2
19,4
19,6
19,8
20
20,2
20,4
20,6
20,8
21
0 2 4 6 8 10 12 14
DESVIO PADRÃO Quanto maior o desvio padrão,maior a probabilidade de um valor se encontrar afastado da média
Mas
, exi
ste
um p
robl
ema
!
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2 2 21 2 ...
desvio padrão ( )1
nd d d
nσ + + +=
− d x x= −
(n-1) – nº amostras pequeno
(n) – nº amostras grande
20,1 20,0 20,2 20,1 20,1
19,5 20,5 19,7 20,6 20,2
20,1 0,07x σ= =
20,1 0, 48x σ= =
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-3σ -2σ -1σ 0 +1σ +2σ +3σ
68,26 %
95,46 %
99,73 %
Utilização prática do desvio padrão
20,1 0,07x σ= =
20,1 0,07
20,1 0,14
20,1 0,21
x
x
x
= ±= ±= ±
(em 68,26% dos casos)
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Algarismos significativos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
12,1 ? (ou 12,2 ?)
1211
Certeza do 1 e do 2 e dúvida no 1
Algarismos significativos = algarismos certos + 1º algarismo duvidoso
12,13 ??
Qual é o comprimento ?
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Os zeros, à esquerda não são considerados algarismos significativos
Algarismos significativos
73 V
nº a.s. ?
2
73,0 V
0,0031 A
380.000 Ω 6 ?3 ?2 ?
∈ [72; 74]
∈ [72,9; 73,1]
∈ [0,0030; 0,0032]
[379.999; 380.001]
[379.000; 381.000]
[370.000; 390.000] solução: (representar de forma diferente)
38x104 ou 3,8x105
(i.e. 2 a.s.)
3
2
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Graus exactidão ≠’s resultado tão exacto quanto o menos exacto
R1 = 18,7 Ω (3 a.s.)
R1 R2
35,68 Ω
3,18 A
V = R x I = 35,68 x 3,18 = 113,4624 = 113 V
I – 3 a.s.R – 4 a.s.
45,4624 45
45,7294 46
abandonar
abandonar
Algarismos significativos - cálculos
Rtot = R1 + R2 = 22,324
R2 = 3,624 Ω (4 a.s.)
22,3 Ω
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Os algarismos significativos (a.s.) são os algarismos dos quais temos a certeza de serem correctos,ao qual se “adiciona” mais um – o primeiro duvidoso.O nº de a.s. está directamente relacionado à precisão do valor – quanto mais preciso o valor tanto maior o nº de a.s.que o representam.
Regras:1. zeros, à esquerda do primeiro a.s., não são a.s. (32,5 cm e 0,325 m têm 3 a.s.)2. um zero, à direita de a.s., é a.s. (32,5 cm tem 3 a.s. e 32,50 [1] tem 4 a.s.)3. zeros, entre a.s., são a.s. (3,25 cm tem 3 a.s. e 3,025 cm tem 4 a.s.)
Embora matemáticamente 5 = 5,0 = 5,00 = 5,000, em termos de resultados de medidas eles são diferentes(pressupõem precisões diferentes)
[1] o que significa que consigo medir até às décimas de mm
Algarismos significativos
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Nas parcelas exactas, conserva-se mais uma casa decimal que aquelas que contêm a parcela menos precisa.O resultado arredonda-se para o mesmo nº de casas decimais da parcela menos precisa
2,640,91,520,73
5,79
2,6350,91,520,7345+
5,8
Soma
Subtracção
Arredonda-se, antes de subtrair, o operando mais preciso para o mesmo nº de casas decimais do operando menos preciso.O resultado deve conter o mesmo nº de casas decimais que o operando menos preciso
7,63450,031-
7,6340,0317,603
-
Produto / Quociente
Arredonda-se, os operandos mais precisos de forma que fiquem com mais um algarismo significativo que o menos preciso.O resultado arredonda-se para um nº de algarismos significativos, igual ao do operando menos preciso.
1,2 x 6,335 x 0,0072
3,14159
1,2 x 6,34 x 0,0072
3,14= 0,0174
0,017
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99Total
2> 120
3110 – 120
5100 – 110
590 – 100
780 – 90
670 – 80
1060 – 70
850 – 60
940 – 50
1130 – 40
1320 – 30
1510 – 20
50 – 10
Nº vezesd [m]
99Total
2> 120
3110 – 120
5100 – 110
590 – 100
780 – 90
670 – 80
1060 – 70
850 – 60
940 – 50
1130 – 40
1320 – 30
1510 – 20
50 – 10
Nº vezesd [m]
xµ
Na prática ...
xmx
nº
de
ve
zes
distância
A medida é uma grandeza discreta !
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Se o jogador fôr mau ...
nº
de
ve
zes
distância
nº
de
ve
zes
distância
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Combinação de erros (medição indirecta)
I
R V
I
R V
VR
I=
ε
ε
ε (R) = ?
Somas Subtrações Produtos Quocientes
( ), ,y f a b c=
+ – x ÷
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Combinação de erros - Estatística
Quando o nº de observações é elevado (>30) a solução é o tratamento estatístico
1 2 3
1
... 1 nn
ii
x x x xx x
n n =
+ + + += = ∑ 0 valor exactox −
0i ix x e= +ie
0x ix
( ) ( ) ( ) 00 1 0 2 0 1 1
0 0 0
...
n n
i in i i
nx e ex e x e x e
x x x en n n
= =
++ + + + + += = = + = +
∑ ∑
ke
0x kxjx
je⇒
0 ( )ie maior e<
Sendo x0 desconhecido ⇒ ei são tb desconhecidos ! ⇒ 0i i i ix x x x∆ = − → ∆ = −
0 ;x xx x x∈ − ∆ + ∆
0 xx x= ± ∆
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Combinação de erros - Estatística
incerteza do resultado é função das incertezas dos vários valores medidos directamente
( ), ,y f a b c= i ix x= ± ∆
, ,a b c∆ ∆ ∆
...y y
y a ba b
∂ ∂∆ = ×∆ + ×∆ +∂ ∂
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3,6 ± 0,2 cm
18,4 ± 0,9 cmVolume = ?
2r hπ × × 4,186,3 2 ××= πV
3 16,749 cmV =
V VV r h
r h
∂ ∂∆ = ×∆ + ×∆∂ ∂
22 2 3,14... 3,6 18, 4 416,20V
rh cmr
π∂ = = × × × =∂
2 23,14... 12,96 40,72V
r cmh
π∂ = = × =∂
3416, 20 0,2 40,72 0,9 119,9V cm∆ = × + × =
3749, 2 119,9V cm= ±
Combinação de erros - exemplo
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. . .
. . .
x 1
x n
x n
Erro instrumento+
Erro amostragem
Erro instrumento
Sem erro(estatisticamente)
Amostragem