FIM702: lecture 8

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Fondations

CAPM

Extensions

Black-Litterman

Modelisation de strategies en finance demarche

Seance 13 : Modele de Black & Litterman

Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, [email protected]

Ecole de gestionUniversite de Sherbrooke

Le 12 avril 2017


finance de marche

Alexander Surkov

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Table de matiere

Fondations theoriques du modele de MarkowitzModele d’evaluation des actifs financiers

Extensions du modele de MarkowitzModele de Black & Litterman


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Table de matiere




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Probleme de consommateur (1)

I Supposons que le consommateur ne vive que lors2 periodes : aujourd’hui et demain .

I L’utilite de sa consommation demain est decrite parla fonction suivante :

u(c) = 1− exp (−αc)

(noter la decroissance de l’utilite marginale)

I Le consommateur possede aujourd’hui le capital V0

a investir dans les actifs risques et sans risque.

I Son probleme d’optimisation

E u(c)→ maxω0, ω

c = V0

(1 + ω0Rf + ωTR

), ω0 + ωT

1 = 1


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I Supposons que R ∼ N (µ,Σ).

I La consommation demain est donc distribuee selonla loi normale.

E [1− exp (−αc)] = 1− exp

(−αE c +

α2

2V c

)I Le probleme d’optimisation

−αV0

(1 + ω0Rf + ωTµ

)+α2

2V 2

0 ωTΣω → min

ω0, ω

ω0 + ωT1 = 1

I α est l’aversion absolue au risque.


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δ

2ωTΣω −

(ω0Rf + ωTµ

)→ min

ω0, ω

ω0 + ωT1 = 1

I δ = αV0 est l’aversion relative au risque.

I En substituant la contrainte,

δ

2ωTΣω − ωT (µ− Rf 1)→ min

ω

δΣω∗ − (µ− Rf 1) = 0

ω∗ =1

δΣ−1 (µ− Rf 1)


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Exemple : probleme de consommateur, δ = 10

0 0.02 0.04 0.060

0.005

0.01

0.015

0.02

σπ, σc/V0

µπ,µc/V0−1

SPXTSX

FTSE

DAX

CAC

Nkk

Bonds


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Black-Litterman

Exemple : probleme de consommateur, δ = 20

0 0.02 0.04 0.060

0.005

0.01

0.015

0.02

σπ, σc/V0

µπ,µc/V0−1

SPXTSX

FTSE

DAX

CAC

Nkk

Bonds


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Black-Litterman

Exemple : δ = 10, pas de vente a decouvert

0 0.02 0.04 0.060

0.005

0.01

0.015

0.02

σπ, σc/V0

µπ,µc/V0−1

SPXTSX

FTSE

DAX

CAC

Nkk

Bonds


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CAPM

Extensions

Black-Litterman

Exemple : δ = 20, pas de vente a decouvert

0 0.02 0.04 0.060

0.005

0.01

0.015

0.02

σπ, σc/V0

µπ,µc/V0−1

SPXTSX

FTSE

DAX

CAC

Nkk

Bonds


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CAPM

I Nous sommes interesses par l’evaluation d’actifs : quelest le rendement moyen µi equilibre ?

I Le consommateur investit dans son portefeuille optimal :

µ− Rf = δΣω∗, µi − Rf = δ (Σω∗)i

I Pour n’importe quel portefeuille optimal ωπ,

cov(R(i),Rπ

)= cov

(R(i), ωT

π R)

= (Σωπ)i

µi − Rf = δ cov(R(i),Rπ

)I Le meme est vrai pour le portefeuille de marche :

µi − Rf = δ cov(R(i),RM

)µM − Rf = δ σ2

M

µi − Rf =cov

(R(i),RM

)σ2M

(µM − Rf )


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Table de matiere




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Problemes de l’approche de Markowitz

I Les resultats de l’approche de Markowitz sont souventpeu intuitifs :

I Positions importantes a decouvert (si la vente adecouvert est permise),

I Poids nuls des nombreux actifs (si la vente a decouvertest interdite),

I Poids importants des actifs avec une petitecapitalisation.

I Les raisons :I Les rendements moyens sont tres difficiles a estimer et

l’investisseur ne peut couvrir que quelques marches dansson analyse.

I Le modele exige cependant l’opinion sur le rendementde tous les actifs.

I Le resultat est tres sensible aux rendements estimes.


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Modele de Black & Litterman

I Le modele de Black & Litterman est une approcheBayesienne, les rendements moyens etant inconnus etaleatoires.

I Le point de depart est l’equilibre de marche.

I Pour preciser la distribution des rendements moyens,des opinions (partielles ou completes) de l’investisseursont integrees dans l’analyse.

I On va considerer l’optimisation sans contraintes sur lavente a decouvert. Cependant, notre analyse est tresfacile a generaliser : il faut tout simplement utiliserl’optimisation numerique avec la contraintecorrespondant.


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Hypotheses

I Les rendement sont normaux : R ∼ N (µ,Σ)

I Dans l’equilibre, tous les investisseurs detiennent leportefeuille de marche ωM .

I Les rendements equilibres

µeq = Rf + δΣωM

I Supposons que les rendements moyens sont aleatoires :

µ = µeq + ε, ε ∼ N (0, τΣ)

I ε et R sont supposes independants.

I τ reflete l’incertitude dans l’estimation des rendementmoyens.


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Les parametres du modele

I La matrice de covariance des actifs Σ peut etre estimeea partir des donnees historiques. Dans le modele elle estpresumee connue.

I Les poids du portefeuille de marche refletent lescapitalisations.

I δ provient des donnees historiques ou de l’experience.Disons, δ = 3.

I τ doit etre choisi. Disons, τ = 1/T , ou T est le nombred’observations.


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Capitalisations des marches

0 1 2 3 4

x 1013

US stocks

CA stocks

UK stocks

DE stocks

FR stocks

JP stocks

US bonds

Capitalisation en 2012, $

Selon les donnees de la Banque Mondiale et SIFMA


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Rendements equilibres

0 0.02 0.04 0.06

2

4

6

8

10

x 10−3

σi

µi

SPXTSX

FTSE

DAX

CAC

Nkk

Bonds

SPXTSX

FTSE

DAX

CAC

Nkk

Bonds


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Investisseur sans opinions

R ∼ N (µ,Σ) , µ = µeq + ε, ε ∼ N (0, τΣ)

I Etant donne que ε et R sont independants,

R ∼ N [µeq, (1 + τ)Σ]

ω∗ =Σ−1 (µeq − Rf 1)

δ(1 + τ)=

ωM

1 + τ, ω0 =

τ

1 + τ

I Une partie du capital est investie dans l’actif sans risqueen raison de l’incertitude supplementaire liee auxrendements moyens.


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τ = 0

0 0.02 0.04 0.060

1

2

3

4

5x 10

−3

σπ, σc/V0

µπ,µc/V0−1


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Black-Litterman

τ = 0.5

0 0.02 0.04 0.060

1

2

3

4

5x 10

−3

σπ, σc/V0

µπ,µc/V0−1


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Opinions

I L’investisseur suppose que k certains portefeuilles ontles rendements moyens q :

P︸︷︷︸k×N

µ = q︸︷︷︸k×1

+ε′, ε′ ∼ N (0,Ω)

I Ω est une matrice diagonale k × k , elle est connue etreflete l’incertitude de l’investisseur concernant sesopinions.

I ε′ et ε sont supposes independants.


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Inference bayesienne (1)

I Nous sommes interesses par la distribution de µ etantdonne les opinions de l’investisseur.

I Supposons que les opinions de l’investisseur son formeessuite aux observations.

I Par exemple, il observe les portefeuilles P et trouve queleurs rendements moyens µP ∼ N (q,Ω).

I On cherche

P (µ |µP ) =P (µP |µ)Pµ

PµP


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I La probabilite d’observer µ

Pµ ∝ exp

[−1

2(µ− µeq)T (τΣ)−1 (µ− µeq)

]I Etant donne les rendement des actifs µ, la probabilite

d’observer les rendements µP

P (µP |µ) ∝ exp

[−1

2(Pµ− q)T Ω−1 (Pµ− q)

]


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I Suite a certaines transformations...

P (µ |µP ) ∝ exp

[−1

2(µ− µeq)TH−1 (µ− µeq)

]I Les rendements moyens compte tenu des opinions :

µeq = H[(τΣ)−1 µeq + PTΩ−1q

]I La covariance des moyennes compte tenu des opinions :

H =[(τΣ)−1 + PTΩ−1P

]−1


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Portefeuille optimal

R ∼ N(µeq, Σ

)

µeq = H[(τΣ)−1 µeq + PTΩ−1q

]Σ = Σ + H = Σ +

[(τΣ)−1 + PTΩ−1P

]−1

ω∗ =1

δΣ−1 (µeq − Rf 1)


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Exemple 1

I Supposons queI le rendement moyen mensuel de DAX sera 0.5% plus

eleve que celui de CAC,I le rendement moyen mensuel de TSX sera 1%.

P =

(0 0 0 1 −1 0 00 1 0 0 0 0 0

), q =

(0.0050.01

)I L’incertitude dans notre opinion :

Ω =

(0.0012 0

0 0.0012

)I Supposons que δ = 3, τ = 0.01.


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Exemple 1 en Matlab (1)

Weq = caps / sum( caps );

delta = 3;

mu_eq = sigma * Weq * delta + Rf;

P = [0 0 0 1 -1 0 0; 0 1 0 0 0 0 0];

q = [0.005; 0.01];

Omega = [1e-6 0; 0 1e-6];

tau = 0.01;

H = inv( inv(tau * sigma) + P’ * inv(Omega) * P );

barmu_eq = H * ( inv( tau * sigma ) * mu_eq ...

+ P’ * inv( Omega ) * q );

barsigma = sigma + H;

W = 1 / delta * inv(barsigma) * ( barmu_eq - Rf );


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Exemple 1 en Matlab (2)

>> [mu_eq barmu_eq Weq W]

ans =

0.0048 0.0103 0.2775 0.2747

0.0042 0.0098 0.0300 0.8306

0.0041 0.0059 0.0449 0.0444

0.0045 0.0100 0.0221 2.3866

0.0046 0.0057 0.0271 -2.3379

0.0033 0.0044 0.0547 0.0542

0.0018 0.0015 0.5438 0.5384

>> sum(W)

ans =

1.7910


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Exemple 2

% Omega = [1e-6 0; 0 1e-4];


ans =

0.0048 0.0061 0.2775 0.2747

0.0042 0.0048 0.0300 0.2009

0.0041 0.0030 0.0449 0.0444

0.0045 0.0067 0.0221 2.3011

0.0046 0.0024 0.0271 -2.2524

0.0033 0.0029 0.0547 0.0542

0.0018 0.0016 0.5438 0.5384


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Exemple 3

% q = [0.005; 0];


ans =

0.0048 0.0043 0.2775 0.2747

0.0042 0.0028 0.0300 -0.0612

0.0041 0.0018 0.0449 0.0444

0.0045 0.0053 0.0221 2.2655

0.0046 0.0010 0.0271 -2.2168

0.0033 0.0023 0.0547 0.0542

0.0018 0.0016 0.5438 0.5384

>> sum(W)

ans =

0.8992

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