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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Modelisation de strategies en finance demarche
Seance 12 : Extensions du modele de Markowitz
Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, [email protected]
Ecole de gestionUniversite de Sherbrooke
Le 5 avril 2017
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Table de matiere
Modele de MarkowitzFrontiere efficiente de Markowitz revisitee
Extensions du modele de MarkowitzLimitations du modele de MarkowitzFrontiere efficiente re-echantillonnee
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Table de matiere
Modele de MarkowitzFrontiere efficiente de Markowitz revisitee
Extensions du modele de MarkowitzLimitations du modele de MarkowitzFrontiere efficiente re-echantillonnee
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Probleme d’optimisation sans vente a decouvert
I La vente a decouvert d’actifs risques est souventinterdite ou compliquee.
I Le probleme d’optimisation sous contraintes
σ2π = ωTΣω → min
ω
ωTµ = µπ, ωT1 = 1, ω ≥ 0
I La methode des multiplicateurs de Lagrange ne permetque des egalites dans les contraintes, elle ne fonctionnedonc plus.
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Exemple : des titres de propriete et de dette
0 0.02 0.04 0.062
4
6
8
10x 10
−3
σπ
µπ
SPX
TSX
FTSE
DAX
CAC
Nkk
LTB
STB
ITB
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
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Limitations
Michaud
Fonction quadprog de Matlab
x = quadprog( H, f, A, b, Aeq, beq, lb, ub );
I La fonction quadprog permet de trouver la solutiond’un probleme quadratique d’optimisation
1
2xT · H · x + f T · x → min
x
A · x ≤ b, Aeq · x = beq, lb ≤ x ≤ ub
I Pour plus de details, voir
www.mathworks.com/help/optim/ug/quadprog.html
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Solution numerique en Matlab (1)
mu = nanmean( r, 1 )’;
N = length( mu );
sigma = nancov( r );
% Minimum global de la variance
mu_mgv = mgv( mu, sigma );
Nprtf = 25;
% Rendements de la frontiere
MU = linspace( mu_mgv, max( mu ), Nprtf )’;
% Ecarts type de la frontiere
Sf = optnum( mu, sigma, MU );
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Solution numerique en Matlab (2)
function [ S, W ] = optnum( mu, sigma, MU )
N = length( mu );
Nprtf = length( MU );
W = NaN( N, Nprtf );
S = NaN( Nprtf, 1 );
for i = 1:Nprtf
[ W(:, i), S(i) ] = quadprog( sigma, ...
[], [], [], [ mu’; ones(1, N) ], ...
[ MU(i); 1 ], zeros( N, 1 ) );
end
S = sqrt( 2 * S );
end
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
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Limitations
Michaud
Solution numerique en Matlab (3)
function [ mu_mgv, S, W ] = mgv( mu, sigma )
N = length( mu );
[ W, S ] = quadprog( sigma, ...
[], [], [], ones( 1, N ), ...
1, zeros( N, 1 ) );
S = sqrt( 2 * S );
mu_mgv = W’ * mu;
end
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Exemple : frontiere efficiente
0 0.02 0.04 0.062
4
6
8
10x 10
−3
σπ
µπ
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Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Exemple : frontieres efficientes
0 0.02 0.04 0.062
4
6
8
10x 10
−3
σπ
µπ
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
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Limitations
Michaud
Probleme d’optimisation avec l’actif sans risque
I L’actif sans risque peut habituellement etre prete.
I Le probleme d’optimisation sous contraintes
σ2π = ωTΣω → min
ω, ω0
ωTµ+ ω0Rf = µπ, ωT1 + ω0 = 1, ω ≥ 0
I Si on exclu ω0 = 1− ωT1,
σ2π = ωTΣω → min
ω
ωT(µ− Rf 1) = µπ − Rf , ω ≥ 0
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Modele deMarkowitz
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Limitations
Michaud
Exemple : des titres de propriete et de dette
0 0.02 0.04 0.06
2
4
6
8
10x 10
−3
σπ
µπ
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Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Actif sans risque en Matlab (1)
mu = nanmean( r, 1 )’;
N = length( mu );
sigma = nancov( r );
Nprtf = 25;
% Rendements de la frontiere
MU = linspace( Rf, 0.01, Nprtf )’;
% Ecarts type de la frontiere
Sf = optnumrf( mu - Rf, sigma, MU - Rf );
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finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Actif sans risque en Matlab (2)
function [ S, W ] = optnumrf( mu, sigma, MU )
N = length( mu );
Nprtf = length( MU );
W = NaN( N, Nprtf );
S = NaN( Nprtf, 1 );
for i = 1:Nprtf
[ W(:, i), S(i) ] = quadprog( sigma, ...
[], [], [], mu’, MU(i), ...
zeros( N, 1 ) );
end
S = sqrt( 2 * S );
end
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Exemple : des titres de propriete et de dette
0 0.02 0.04 0.06
2
4
6
8
10x 10
−3
σπ
µπ
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Portefeuille de marche
I Le probleme d’optimisation pour le portefeuille demarche est non-lineaire
σπµπ − Rf
=
√ωTΣω
ωTµ− Rf→ min
ω
ωT1 = 1, ω ≥ 0
I En Matlab, la fonction fmincon permet de trouver unesolution a partir de certaines valeurs initiales.
[ rm, Srm ] = pdm( mu - Rf, sigma );
rm = rm + Rf;
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
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Limitations
Michaud
Portefeuille de marche en Matlab
function [ rm, S, W ] = pdm( mu, sigma )
N = length( mu );
f = @(x) sqrt( x’ * sigma * x ) / ( x’ * mu );
W = fmincon( f, ones( N,1 ) / N, ...
[],[], ones(1,N), 1, ...
zeros( N, 1 ) );
S = sqrt( W’ * sigma * W );
rm = W’ * mu;
end
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Exemple : portefeuille de marche
0 0.02 0.04 0.06
2
4
6
8
10x 10
−3
σπ
µπ
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Table de matiere
Modele de MarkowitzFrontiere efficiente de Markowitz revisitee
Extensions du modele de MarkowitzLimitations du modele de MarkowitzFrontiere efficiente re-echantillonnee
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Limitations et extensions du modele deMarkowitz
I Variance n’est pas une bonne mesure de risque : lesapproches � moyenne — semi-variance �, � moyenne— CVaR � etc.
I Le modele ne tient pas compte des passifs : l’approche� moyenne — tracking error � ou penalisation dans lafonction cible pour l’erreur de suivi
I Le correlations ne sont pas les memes dans une periodede tension : ajustement des correlations
I Les poids resultants sont souvent peu intuitifs.
I De plus, ils sont tres sensibles au rendement cible etaux erreurs d’estimation : l’approche des frontieressimulees de Michaud, modele de Black–Litterman
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finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Sensibilite aux intrants et l’erreurd’echantillonnage
I L’optimisation cause des poids positifs pour les actifsles plus avantageux (plus de rendement, moins derisque) et negatifs (si permis) pour les pires actifs.
I Ces extremites sont probablement les cas avec la pireerreur d’echantillonnage.
I L’algorithme a donc une tendance a amplifier deserreurs.
I L’erreur peut etre visualisee par un re-echantillonnage :I par l’entremise d’un tirage avec la remise de
l’echantillon des donnees observees,I ou bien par la simulation de type Monte-Carlo (tirage
de la distribution ajustee aux donnees observees).
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Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Exemple : sensibilite aux parametres estimes
0 0.02 0.04 0.06 0.08
0.005
0.01
0.015
0.02
σπ
µπ
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finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Sensibilite en Matlab
T = 241;
Nsim = 500;
Wsim = zeros( N, Nprtf, Nsim );
for j = 1:Nsim
Rsim = mvnrnd( mu, sigma, T );
mu_sim = mean( Rsim, 1 )’;
sigma_sim = cov( Rsim );
mu_mgv = mgv (mu_sim, sigma_sim );
MUsim = linspace( mu_mgv, max(mu_sim), Nprtf )’;
[ Ssim, Wsim(:,:,j) ] = optnum( ...
mu_sim’, sigma_sim, MUsim );
end
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Table de matiere
Modele de MarkowitzFrontiere efficiente de Markowitz revisitee
Extensions du modele de MarkowitzLimitations du modele de MarkowitzFrontiere efficiente re-echantillonnee
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Portefeuilles equivalents
I En faisant varier les parametres µ et Σ, pour chaque µπ,nous pourrions trouver plusieurs portefeuilles optimaux.
I Pour chacun de ces portefeuilles, le rendement et lavariance peuvent etre calcules selon les µ et Σ observes.
I Ces portefeuilles sont equivalent de point de vuestatistique au portefeuille correspondant sur la frontiereefficiente (α = 5% des portefeuilles avec les rendementsminimaux pourraient etre exclus).
I Dans la frontiere efficiente re-echantillonnee, les poidssont egaux aux moyennes des poids de tous lesportefeuilles equivalents.
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Exemple : portefeuilles equivalents
0 0.02 0.04 0.062
4
6
8
10x 10
−3
σπ
µπ
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Exemple : la frontiere re-echantillonnee
0 0.02 0.04 0.062
4
6
8
10x 10
−3
σπ
µπ
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Conclusion (1)
I Les portefeuilles de la frontiere re-echantillonnee sontplus diversifies (plus d’actifs sont presents dans lasolution).
I En raison de cela, les portefeuilles de la frontierere-echantillonnee ont une meilleure performance � horsechantillon � que ceux de Markowitz.
I De plus, leur composition varie plus graduellement si lerendement exige change.
I Cependant, l’approche de la frontiere re-echantillonneeest completement heuristique, il ne se base sur aucunprobleme d’optimisation.
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modele deMarkowitz
Frontiere efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Conclusion (2)
I La moyenne de frontieres efficientes ne represente pasles portefeuilles optimaux tenant compte de l’incertitudedans les intrants.
I La frontiere re-echantillonnee peut etre concave, ce quin’est pas possible pour une frontiere efficiente.
I Le rendements pour construire la frontierere-echantillonnee sont tires de la distribution dont lesparametres contient l’erreur.
I Cette methode est quand meme bonne pour estimationde precision de l’approche de Markowitz.