Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
OTPORNOST MATERIJALA 2
Osnovne akademske studije, III semestar
Prof dr Stanko Br£i¢email: [email protected]
Departman za Tehni£ke nauke
Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru
2015/16
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Sadrºaj
1 Sloºeno naprezanje gredeNaponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
2 Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda silaKanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Sadrºaj
1 Sloºeno naprezanje gredeNaponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
2 Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda silaKanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Sloºeno naprezanje grede
Naprezanja grednog nosa£a
Naprezanja grednog nosa£a mogu da se svrstaju u dve grupe1 osnovna naprezanja2 sloºena naprezanja
U osnovna naprezanja grednog nosa£a spadaju- aksijalno naprezanje- £isto pravo savijanje- torzija- savijanje grede silama
Ako je gredni nosa£ izloºen istovremenom dejstvu dva ili vi²eosnovnih slu£ajeva naprezanja, onda je takvo naprezanjekombinovano ili sloºeno
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Sloºeno naprezanje grede
Naprezanja grednog nosa£a
Sve jedna£ine kojima se opisuju osnovni slu£ajevi naprezanja sulinearne
Prema tome, naponi i deformacije pri kombinovanomnaprezanju dobijaju se primenom zakona superpozicije
Na primer, £isto koso savijanje je kombinacija dva £ista pravasavijanja
Tako�e, ekscentri£no naprezanje pretstavlja kombinacijuaksijalnog naprezanja i jednog ili oba £ista prava savijanja
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Primer sloºenog naprezanja
Ose y i z su glavne centralne ose inercije popre£nog preseka
Pravo savijanje silama u dve ravni (to je koso savijanje silama)
Aksijalno naprezanje
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Sloºeno naprezanje grede
Komponentalni naponi pri sloºenom naprezanju grede
Posmatra se ²tap punog popre£nog preseka
Usvaja se da je osa ²tapa ozna£ena sa x, dok sy y i z glavnecentralne ose inercije popre£nog preseka
�tap je izloºen proizvoljnom prostornom optere¢enju, tako dase u popre£nim presecima javlja svih ²et sila u preseku:
N,Ty, Tz,Mt,My,Mz
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Sloºeno naprezanje grede
Komponentalni naponi pri sloºenom naprezanju grede
Imaju¢i u vidu osnovna naprezanja, dobijaju se slede¢ikomponentalni naponi:
σx =N
A− Mz
Jzy +
My
Jyz
τxy =Ty S
∗z
Jz c(y)+Mt
Jt
∂Φ′
∂z
τxz =Tz S
∗y
Jy b(z)− Mt
Jt
∂Φ′
∂y
(1)
gde je Jt torziona konstanta popre£nog preseka, a Φ′ jeredukovana funkcija napona pri torziji
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Sloºeno naprezanje grede
Komponentalni naponi pri sloºenom naprezanju grede
Kao ²to se uo£ava, pri najop²tijem slu£aju sloºenog(kombinovanog) naprezanja grednog nosa£a, javljaju se samodve komponente napona:
- normalni napon σx- smi£u¢i napon τ u ravni popre£nog preseka
Smi£u¢i napon τ je rezultuju¢i napon komponentalnih naponaτxy i τxzPrema tome, stanje napona je ravansko, pa se glavni naponiodre�uju prema izrazima:
σ1,2 =1
2
(σx ±
√σ2x + 4τ2
)tan 2α1 = −2τ
σx(2)
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Primer sloºenog naprezanja: naponi u ta£ki
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Sloºeno naprezanje grede
Komponentalni naponi pri sloºenom naprezanju grede
Od posebnog je interesa, pre svega za dimenzionisanje nosa£a,da se prvo odredi najopasniji (t.j. kriti£ni) popre£ni presek, azatim da se na�e kriti£na ta£ka u popre£nom preseku
Kriti£na ta£ka u popre£nom preseku je ona u kojoj se o£ekujuekstremne vrednosti odre�enih komponenti napona
To se (obi£no) vr²i probanjem, analiziraju¢i stanje napona unekoliko karakteristi£nih popre£nih preseka i ta£aka u njima
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Sadrºaj
1 Sloºeno naprezanje gredeNaponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
2 Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda silaKanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Deformacioni rad izraºen preko napona
Speci�£na energija deformacije
Ukupna energija deformacije koja se akumulira u grednomnosa£u pri proizvoljno optere¢enju data je sa:
U =
∫VU0 dV (3)
gde je U0 speci�£na energija deformacije, ili elasti£ni potencijal
Za linearno elasti£no izotropno telo U0 je dat u obliku:
U0 = U∗0 =1
2E
[σ2x + σ2y + σ2z − 2ν (σx σy + σy σz + σz σx)
]+
1
2G
(τ2xy + τ2yz + τ2zx
)Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Deformacioni rad izraºen preko napona
Speci�£na energija deformacije
U zavisnosti od na£ina naprezanja posmatrane grede (odn.posmatranog grednog nosa£a), u izraz za speci�£nu energijudeformacije unose se odgovaraju¢i komponentalni naponi
U slu£aju najop²tijeg kombinovanog naprezanja grede, samo sukomponente σx, τxy i τxz razli£ite od nule, tako da speci�£naenergija deformacije ima oblik
U0 =1
2
(σ2xE
+τ2xyG
+τ2xzG
)(4)
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Deformacioni rad izraºen preko napona
Speci�£na energija deformacije
Imaju¢i u vidu izraze (3) i (4), integracija po zapremini svodise na integraciju unutar popre£nog preseka A i integraciju poduºini grede `:
U =1
2
∫ `
0
[∫A
(σ2xE
+τ2xyG
+τ2xzG
)dA
]dx (5)
U izraz (5) unose se izrazi (1) za komponentalne napone
Ose y i z su glavne centralne ose inercije popre£nog preseka,pa se, posle sre�ivanja, dobija kona£an izraz za energijudeformacije, za proizvoljno sloºeno optere¢enje grede
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Deformacioni rad izraºen preko napona
Speci�£na energija deformacije
Energija deformacije je data u obliku:
U =1
2
∫ `
0
(N2
E A+
T 2y
GAy+
T 2z
GAz
+M2
t
GJt+
M2y
E Jy+
M2z
E Jz
)dx
(6)
gde su sa Ay i Az ozna£ene povr²ine smicanja popre£nogpreseka grede za y i za z pravac
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Deformacioni rad izraºen preko napona
Speci�£na energija deformacije
Povr²ine smicanja date su izrazima:
Ay =J2z∫
A
(S∗zc
)2dA
Az =J2y∫
A
(S∗y
b
)2dA
(7)
Veli£ine GAy i GAz nazivaju se krutost grede na smicanje upravcu ose y, odn. z
Vidi se da bilo koja sila u preseku vr²i rad samo napomeranjima usled te iste sile
Drugim re£ima, rad bilo koje sile u preseku na pomeranjimausled ostalih sila u preseku jednak je nuli
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Deformacioni rad izraºen preko napona
Speci�£na energija deformacije
Deo energije deformacije usled normalne sile i tansverzalnihsila obi£no je manji od dela energije deformacije usledmomenta torzije i momenata savijanja
Imaju¢i to u vidu, taj deo se £esto zanemaruje, pa izraz (6)ima oblik:
U =1
2
∫ `
0
(M2
t
GJt+
M2y
E Jy+
M2z
E Jz
)dx (8)
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Deformacioni rad izraºen preko napona
Speci�£na energija deformacije
Izraz (6) je prikazan posmatraju¢i samo jedan ²tap
To moºe da se generali²e i za slu£aj sistema ²tapova, odn. nanosa£ sloºenije strukture
Dobija se izraz
U =1
2
∫s
(N2
E A+
T 2y
GAy+
T 2z
GAz
+M2
t
GJt+
M2y
E Jy+
M2z
E Jz
)ds
(9)
gde se integral∫s . . . ds odnosi na sve ²tapove sistema
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Deformacioni rad izraºen preko napona
Speci�£na energija deformacije
Ako su popre£ni preseci promenljivi duº ²tapova, onda sugeometrijske karakteristike promenljive i ulaze u podintegralniizraz
Ako se zanemari uticaj normalnih i transverzalnih sila kodposmatranog sloºenog nosa£a (kod sistema ²tapova), energijadeformacije data je u obliku
U =1
2
∫s
(M2
t
GJt+
M2y
E Jy+
M2z
E Jz
)ds (10)
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Sadrºaj
1 Sloºeno naprezanje gredeNaponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
2 Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda silaKanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Morov postupak
Ugibi i nagibi grede izloºene savijanju silama mogu da seodrede
- re²avanjem diferencijalne jedna£ine elasti£ne linije- primenom Mor-Maksvelove analogije
Generalisana pomeranja proizvoljne ta£ke linijskog nosa£amogu da se odrede preko energije deformacije sistema,primenom drugog Kastiljanovog stava
Generalisana pomeranja mogu da se odrede i primenomPrincipa virtuelnih sila
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Morov postupak
Posmatra se proizvoljan nosa£ u prostoru, optere¢en saproizvoljnim kombinovanim optere¢enjem
Nosa£ je od linearno elasti£nog materijala
Ose y i z su glavne centralne ose inercije
Potrebno je da se odredi generalisano pomeranje ξi proizvoljneta£ke i nosa£a u datom pravcu ~niGeneralisano pomeranje moºe da bude linijsko pomeranje udatom pravcu, ili obrtanje oko date ose
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanog pomeranja
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Morov postupak
Drugi Kastiljanov stav glasi:
Ako se energija deformacije linearno elasti£nog tela izrazipreko generalisanih sila, onda je parcijalni izvod energijedeformacije po nekoj od generalisanih sila jednakodgovaraju¢em generalisanom pomeranju
Dakle, primenom ovog stava mogu¢e je da se odredipomeranje samo u ta£kama u kojima deluju spolja²nje sile, pritome samo u pravcima delovanja tih sila
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Morov postupak
Naravno, potrebno je da se odredi generalisano pomeranje bilokoje ta£ke u bilo kom pravcu
Da bi odredili pomeranje ξi neke ta£ke i u datom pravcu ~ni, uta£ki i se dodaje �ktivna generalisana sila Pi koja ima datipravac ~niGeneralisana sila Pi moºe da bude sila ili spreg
Formira se izraz za energiju deformacije sistema usleddelovanja spolja²njeg optere¢enja i �ktivne sile Pi
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Morov postupak
Prema drugom Kastiljanovom stavu, diferenciranjem energijedeformacije po generalisanoj sili Pi, a zatim unose¢i da jePi = 0, jer je ta sila �ktivna, dobija se traºeno generalisanopomeranje
Dakle, polazi se od drugog Kastiljanovog stava:
∂U
∂Pi= ξi (11)
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Morov postupak
Bilo koja sila u preseku, ozna£ena sa S, moºe da se prikaºe uobliku
S∗ = S + S̄ Pi (12)
gde je- S∗ . . . ukupna sila u preseku- S . . . sila u preseku usled spolja²njeg optere¢enja- S̄ . . . sila u preseku usled jedini£ne generalisane sile Pi = 1
Oznaka S zamenjuje bilo koju silu u preseku: N,Ty, . . . ,Mz
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Morov postupak
Prema izrazu (9), izraz za energiju deformacije sastoji se odintegrala sa ²est £lanova oblika
U =1
2
∫s
S∗2
Bds =
1
2
∫s
(S + S̄ Pi)2
Bds
gde je B oznaka za bilo koji od imenioca u integralu (to suodgovaraju¢e krutosti: aksijalna, smi£u¢a, torziona ili nasavijanje)
Da bi se odredilo generalisano pomeranje, potrebno je da sediferencira izraz za energiju deformacije
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Morov postupak
Dobija se∂U
∂Pi=
∫s
(S + S̄ Pi)
B· S̄ ds
Unose¢i sada u dobijen izraz da je Pi = 0, jer je sila �ktivna,dobija se
∂U
∂Pi=
∫s
(S · S̄)
Bds
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Morov postupak
Imaju¢i u vidu ukupan izraz za energiju deformacije, dobija seizraz za traºeno generalisano pomeranje u obliku:
ξi =
∫s
(N N̄
E A+Ty T̄yGAy
+Tz T̄yGAz
+Mt M̄t
GJt+My M̄y
E Jy+Mz M̄z
E Jz
)ds
(13)
Ovaj integral se naziva Morov integral, a sam postupakodre�ivanja generalisanog pomeranja ξi naziva se Morovpostupak
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Morov postupak
Nadvu£ene oznake za sile u preseku pretstavljaju sile u presekuusled jedini£ne �ktivne generalisane sile Pi = 1
Izra£unavanje integrala koji �guri²u u izrazu za generalisanopomeranje ξi ne vr²i se (osim izuzetno!) formalnomintegracijom
Pri tome treba da se ima u vidu da su sile u preseku usled�ktivne jedini£ne generalisane sile Pi = 1 date kao linearnidijagrami
Imaju¢i to u vidu, izra£unavanje integrala u izrazu za ξi vr²i seprimenom postupka Vere²£agina
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Postupak Vere²£agina
Posmatra se pravolinijski segment duºine ` na kome jepotrebno da se odredi integral proizvoda dve funkcije f(x) ig(x):
J =
∫ `
0f(x) g(x) dx
Pri tome je funkcija f(x) proizvoljna, dok je funkcija g(x)linearna
Prema tome, funkcija g(x) moºe da se prikaºe kao
g(x) = a x+ b
gde su a i b odgovaraju¢e konstante
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Postupak Vere²£agina
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Postupak Vere²£agina
Uno²enjem linearne funkcije g(x) u integral, dobija se
J = a
∫ `
0x f(x) dx+ b
∫ `
0f(x) dx
Drugi integral pretstavlja povr²inu koja je ograni£ena krivomf(x), dok je prvi integral stati£ki momenat te povr²ine uodnosu na osu y:∫ `
0f(x) dx = Af
∫ `
0x f(x) dx = Sy = Af xT
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Postupak Vere²£agina
Prema tome, integral moºe da se prikaºe kao:
J = Af (a xT + b) = Af g(xT ) = Af gT
gde je g(xT ) vrednost fukcije g(x) na mestu teºi²ta povr²ineAf
Dakle, traºeni integral se odre�uje prema formuli:
J =
∫ `
0f(x) g(x) dx = Af gT
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Postupak Vere²£agina
Iskazano re£ima,
Vrednost integrala J dobija se kao proizvod povr²ine Af
koja je ograni£ena krivom f(x), i vrednosti funkcije g(x)na mestu teºi²ta povr²ine Af
Vrednosti integrala za nekoliko naj£e²¢ih oblika funkcija f(x) ig(x) date su u slede¢oj tabeli
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Postupak Vere²£agina: karakteristi£ni slu£ajevi
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede
Odrediti maksimalni ugib wmax proste grede raspona `,konstantne krutosti na savijanje EJ = const, kao i obrtanjeoslona£kog preseka α, optere¢ene ravnomernim raspodeljenimoptere¢enjem q = const
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede
Da bi odredili maksimalni ugib posmatrane grede, koji je, zbogsimetrije, u sredini preseka grede, posmatra se jedini£na�ktivna sila P = 1 koja deluje u sredini grede i upravno nagredu
Ako je dijagram momenata savijanja proste grede, usledzadatog optere¢enja q = const, ozna£en sa M , a dijagrammomenata savijanja usled jedini£ne sile P = 1 ozna£en sa M̄ ,onda je ugib u pravcu i smeru sile P dat sa
ξ =
∫ `
0
MM̄
EJdx
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede
Da bi odredili maksimalni ugib posmatrane grede, koji je, zbogsimetrije, u sredini preseka grede, posmatra se jedini£na�ktivna sila P = 1 koja deluje u sredini grede i upravno nagredu
Ako je dijagram momenata savijanja proste grede, usledzadatog optere¢enja q = const, ozna£en sa M , a dijagrammomenata savijanja usled jedini£ne sile P = 1 ozna£en sa M̄ ,onda je ugib u pravcu i smeru sile P dat sa
ξ =
∫ `
0
MM̄
EJdx
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede
Momenti savijanja (karakteristi£ne vrednosti):- Raspodeljeno optere¢enje:
f =q `2
8
- Koncentrisana sila P = 1 u sredini:
f̄ =P `
4=`
4
Ugib u pravcu sile P dat je sa
ξ =
∫ `
0
MM̄
EJdx
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede
Za silu P na proizvoljnom rastojanju α` od levog kraje, odn.β` od desnog kraja, ordinata momenta savijanja u preseku silejednaka je
Mmax = f = P`αβ
Moºe da se pokaºe da je integral momenata usledraspodeljenog optere¢enja i koncentrisane sile u proizvoljnompreseku α` dat sa:
EJ ξ =
∫ `
0MM̄ dx =
`
3f f̄ (1 + αβ)
gde su f i f̄ max ordinate momenata savijanja za raspodeljenooptere¢enje i za koncentrisanu silu
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede
Imaju¢i ovo u vidu, za ugib proste grede usled raspodeljenogoptere¢enja se dobija
EJ ξ =`
3· q`
2
8· `
4· (1 +
1
2
1
2) =
5
384q `4
Prema tome, maksimalan ugib proste grede optere¢eneravnomernim optere¢enjem q = const jednak je
ξ = wmax =5
384
q `4
EJ
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede
Obrtanje oslona£kog preseka dobija se kada se kao �ktivna silaupotrebi jedini£ni spreg M = 1 u preseku gde se traºi obrtanje:
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede
Moºe da se pokaºe da je integral momenata usledraspodeljenog optere¢enja i koncentrisane sile u proizvoljnompreseku α` dat sa:
EJ ξ = EJα =
∫ `
0MM̄ dx =
`
3f f̄
gde su f i f̄ max ordinate momenata savijanja za raspodeljenooptere¢enje i za koncentrisan spreg:
f =q`2
8f̄ = 1
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Naponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede
Prema tome, dobija se da je obrtanje oslona£kog presekajednako:
EJ α =`
3· q`
2
8· 1 =
q`3
48
odnosno,
α =q`3
48EJ
Zbog simetrije, obrtanje drugog preseka je isto, alipromenjenog znaka
β = −α = − q`3
48EJ
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Sadrºaj
1 Sloºeno naprezanje gredeNaponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
2 Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda silaKanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode sila
Nosa£ je stati£ki neodre�en kada je prisutno vi²e veza nego ²toje minimalno potrebno da bi nosa£ bio nepokretan sistem
Kada je nosa£ stati£ki neodre�en, prvo je neophdno da se re²istati£ka neodre�enostPostoje dve metode re²avanja stati£ki neodre�enih nosa£a:
1 Metoda sila2 Metoda deformacije
U Metodi sila potrebno je da se prvo odrede sve stati£kinepoznate veli£ine
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode sila
Stati£ki nepoznate veli£ine su izabrane sile veze Xi kojeodgovaraju usvojenom osnovnom sistemu posmatranog nosa£a
Osnovni sistem je izabrani stati£ki odre�en nosa£ koji se dobijaposle uklanjanja izabranih veza u stati£ki neodre�enom nosa£u
Postoji vi²e mogu¢nosti usvajanja razli£itih osnovnih sistema
Naravno, koji god osnovni sistem bio izabran, krajnji rezultatmora da bude uvek isti (postoji jednozna£no re²enje)
Za neke osnovne sisteme lak²e se odre�uju stati£ki nepoznateveli£ine nego ze neke druge osnovne sisteme
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode sila
Za usvojen osnovni sistem postavljaju se uslovne jedna£ine,£ijim re²avanjem se dobijaju stati£ki nepoznate veli£ine
Uslovne jedna£ine u Metodi sila pretstavljaju geometrijskeuslove, odn. uslove kompatibilnosti deformacija (uslovekompatibilnosti pomeranja)
Zna£enje uslovnih jedna£ina u metodi sila odgovara uklonjenimvezama (stati£ki nepoznatim veli£inama)
U najve¢em broju slu£ajeva, uslovne jedna£ine su iskazi da sugeneralisana pomeranja, na mestima uklonjenih veza, jednakanuli
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode sila
Zbog linearnosti svih jedna£ina i veza, vaºi principsuperpozicije
Prema tome, svaka veli£ina, stati£ka ili deformacijaska,ozna£ena sa S, moºe da se prikaºe u vidu superpozicije
S = S0 +
n∑i=0
SiXi (14)
gde je sa n je ozna£en broj stati£ke neodre�enosti
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode sila
U izrazu (14) uvedene su oznake:- S0 je posmatrana veli£ina u osnovnom (stati£ki odre�enom)sistemu usled zadatog optere¢enja, pri £emu su sve stati£kinepoznate jednake nuli Xi = 0
- Si je posmatrana veli£ina u osnovnom sistemu usled stanjaXi = 1
Stanje Xi = 1 pretstavlja jedini£nu vrednost stati£ki nepoznateveli£ine Xi, pri £emu su sve ostale stati£ki nepoznate jednakenuli
Uslovne jedna£ine metode sila pretstavljaju uslove da sugeneralisana pomeranja na mestima uklonjenih veza (stati£kinepoznatih veli£ina) jednaka nuli (eventualno jednaka nekojzadatoj vrednosti)
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode sila
Ako se sa δi ozna£i generalisano pomeranje koje odgovarauklonjenoj vezi Xi, uslovne jedna£ine mogu da se prikaºu kao
δi = 0 (i = 1, 2, . . . , n)
Prema relaciji (14), generalisano pomeranje δi moºe da seprikaºe kao
δi = δi0 +
n∑i=1
δij Xj (i = 1, 2, . . . , n) (15)
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode sila
U izrazu (15) uvedene su oznake:- δi0 . . . generalisano pomeranje δi u osnovnom sistemu usledspolja²njeg optere¢enja (pri £emu je Xi = 0)
- δij . . . generalisano pomeranje δi u osnovnom sistemu usledstanja Xj = 1
Prema tome, uslovne jedna£ine δi = 0 mogu da se napi²u uobliku:
δi = δi0 +
n∑i=1
δij Xj = 0 (i = 1, 2, . . . , n) (16)
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode sila
U razvijenom obliku uslovne jedna£ine (16) glase:
δ10 + δ11X1 + δ12X2 + · · · + δ1nXn = 0
δ20 + δ21X1 + δ22X2 + · · · + δ2nXn = 0
...
δn0 + δn1X1 + δn2X2 + · · · + δnnXn = 0
(17)
U matri£nom obliku jedna£ine (17) glase
δ0 + ∆X = 0 (18)
sa o£iglednim oznakama za vektore i matricu
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode sila
Jedna£ine (17) se nazivaju kanonske jedna£ine metode sila
Koe�cijenti δij uz stati£ki nepoznate Xi su Maksvelovi uticajnikooe�cijenti:
Uticajni koe�cijenti �eksibilnosti δij su generalisanapomeranja koja odgovaraju generalisanoj sili Xi, uosnovnom sistemu, usled delovanja jedini£ne generalisanesile Xj = 1
Pokazano je da su uticajni koe�cijenti δij simetri£ni:
δij = δji
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode sila
Koe�cijenti δi0 su slobodni £lanovi u uslovnim jedna£inamaMetode sila
Koe�cijenti δi0 pretstavljaju generalisana pomeranja kojaodgovaraju generalisanoj sili Xi, u osnovnom sistemu, usleddelovanja spolja²njeg optere¢enjaUvode se slede¢e oznake:
- M0 . . . dijagram momenata savijanja u osnovnom sistemuusled zadatog spolja²njeg optere¢enja
- Mi . . . dijagram momenata savijanja u osnovnom sistemu usledstanja Xi = 1 (jedini£na vrednost stati£ki nepoznate Xi, pri£emu su sve ostale stati£ki nepoznate Xj jednake nuli)
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode sila
Imaju¢i u vidu zna£enja koe�cijenata u uslovnim jedna£inamametode sila, koe�cijenti δij i δi0 dati su sa izrazima:
δij =
∫`
MiMj
E Jdx δi0 =
∫`
MiM0
E Jdx (19)
gde se podrazumeva integracija po svim ²tapovimaposmatranog nosa£a
U najve¢em broju slu£ajeva dominantan je uticaj momenatasavijanja, kao ²to je i prikazano u izrazima (19), posebno kodgrednih nosa£a (npr. kod kontinualnih nosa£a)
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode sila
Kod okvirnih nosa£a moºe da bude zna£ajan i uticaj normalnihsila, tako da bi u tom slu£aju bilo:
δij =
∫`
MiMj
E Jdx+
∫`
NiNj
E Adx
δi0 =
∫`
MiM0
E Jdx+
∫`
NiN0
E Adx
(20)
gde je Ni dijagram normalnih sila u osnovnom sistemu usledXi = 1, dok je N0 dijagram normalnih sila u osnovnomsistemu usled zadatog optere¢enja
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Sadrºaj
1 Sloºeno naprezanje gredeNaponi pri kombinovanom naprezanju gredeEnergija deformacije pri sloºenom naprezanjuOdre�ivanje pomeranja primenom 2. Kastiljanovog stava
2 Stati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda silaKanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 1: Obostrano uklje²tana greda
Odrediti dijagram momenata savijanja obostrano uklje²tenegrede raspona `, konstantne krutosti na savijanje EJ = const,optere¢ene ravnomerno raspodeljenim optere¢enjem q = const
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 1: Obostrano uklje²tana greda
Obostrano uklje²tena greda je tri puta stati£ki neodre�ena
Ukoliko ne postoji aksijalno optere¢enje, onda u gredi nepostoje normalne sile i greda je dva puta stati£ki neodre�ena
Osnovni sistem je prosta greda, a stati£ki nepoznate sumomenti uklje²tenja
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 1: Obostrano uklje²tana greda
Dijagrami momenata savijanja u osnovnom sistemu, usledoptere¢enja i stati£ki nepoznatih su, redom:
- kvadratna parabola sa ordinatom u sredini f = q`2/8- trougaoni dijagrami sa ordinatama 1.0 na krajevima
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 1: Obostrano uklje²tana greda
Koe�cijenti uslovnih jedna£ina dobijaju se "mnoºenjemmomentnih povr²ina", odn. izra£unavanjem integrala (19)
Imaju¢i u vidu da je krutost na savijanje konstantna,EJ = const, dobija se
EJ δ11 = EJ δ22 =`
3× 1.02
EJ δ12 = EJ δ21 =`
6× 1.02
EJ δ10 = EJ δ20 =`
3× 1.0 × f
gde je f = q`2/8
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 1: Obostrano uklje²tana greda
Uslovne jedna£ine, napisane u matri£nom obliku ∆X = −δ0,glase: [
`3
`6
`6
`3
]{X1
X2
}= −
{`3 f`3 f
}ili, posle skra¢ivanja sa `/3, u obliku:[
1 12
12 1
]{X1
X2
}= −
{ff
}Re²enje ovih jedna£ina je jednako:
X1 = X2 = −2
3f = −q`
2
12
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 2: Kontinualna greda
Odrediti dijagram momenata savijanja zadate kontinualnegrede sa dva raspona ` = 4.0m, konstantne krutosti nasavijanje EJ = const. Greda je optere¢ena koncentrisanomsilom u jednom rasponu i ravnomerno raspodeljenimoptere¢enjem q = const u drugom rasponu
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 2: Kontinualna greda
Posmatrana kontinualna greda je jednom stati£ki neodre�ena
Za osnovni sistem se usvajaju dve proste grede, odnosno,stati£ki nepoznata je momenat savijanja X iznad srednjegoslonca
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 2: Kontinualna greda
Dijagram momenata savijanja M1 za stanje X = 1 uosnovnom sistemu
Dijagram momenata M0 u osnovnom sistemu usled zadatogoptere¢enja
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 2: Kontinualna greda
Uslovna jedna£ina Metode sila je
δ11X1 + δ10 = 0
Koe�cijent uz nepoznatu iznosi (po trougao u svakoj gredi):
EJδ11 = 2 × 1
3× 4.0 × 1.02 =
8
3
Slobodan £lan δ10 na delu koncentrisane sile dobija se kao zbirproizvoda povr²ine dva trougla dijagrama M0 i trougla itrapeza dijagrama M1
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 2: Kontinualna greda
Koe�cijent δ10 je jednak:
EJδ10 =1
3× 2 × 2 × 0.5 =
8
3
+1
6× 2 × 2 × (2 × 0.5 + 1.0) =
4
3
+1
3× 4 × 1 × 2.0 =
8
3
Dobija se δ10 = 143 , tako da je stati£ki nepoznata jednaka
X = −δ10δ11
= −14383
= −14
3= −1.75 [kNm]
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 2: Kontinualna greda
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2
Sloºeno naprezanje gredeStati£ki neodre�eni nosa£i - Metoda sila
Kanonske jedna£ine Metode silaPrimeri primene Metode sila
Odre�ivanje generalisanih pomeranja
Primer 2: Kontinualna greda
Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2