Prof. Jose Jacobo Zubcoff 1
Introducción a la Inferencia Estadística
Dept. of Marine Science and Applied Biology Jose Jacobo Zubcoff
Modelos de Regresión Simple
• Que tipo de relación existe entre 2 variables • Predicción de valores a partir de una de ellas
• Variable Explicativa, Predictor o Independiente • Variable Dependiente
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Estudio conjunto de dos variables • Datos de dos variables de una muestra.
– En cada fila tenemos los datos de un individuo – Cada columna representa los valores que toma una
variable sobre los mismos. – Las individuos no se muestran en ningún orden
particular.
• Las observaciones pueden ser representadas en un diagrama de dispersión
• Nuestro objetivo será intentar reconocer a partir del mismo si hay relación entre las variables, de qué tipo, y si es posible predecir el valor de una de ellas en función de la otra.
Altura en cm.
Peso en Kg.
162 61
154 60
180 78
158 62
171 66
169 60
166 54
176 84
163 68
... ...
30
40
50
60
70
80
90
100
140 150 160 170 180 190 200
Diagramas de dispersión o nube de puntos
Mid
e 18
7 cm
.
Mide 161 cm.
Pesa 76 kg.
Pesa 50 kg.
Tenemos las alturas y los pesos de 30 individuos representados en un diagrama de dispersión.
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30
40
50
60
70
80
90
100
140 150 160 170 180 190 200
Relación entre variables Tenemos las alturas y los pesos de 30 individuos representados en un diagrama de dispersión.
Parece que el peso aumenta con la
altura
30
40
50
60
70
80
90
100
140 150 160 170 180 190 200
Predicción de una variable en función de la otra
Aparentemente el peso aumenta 10Kg por cada 10 cm de altura... o sea, el peso aumenta en una unidad por cada unidad de altura.
10 cm.
10 kg.
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30 80
130 180 230 280 330
140 150 160 170 180 190 200
Relación directa e inversa
30
40
50
60
70
80
90
100
140 150 160 170 180 190 200
0
10
20
30
40
50
60
70
80
140 150 160 170 180 190 200
Para valores de X por encima de la media tenemos valores de Y por encima y por debajo en proporciones similares. Incorrelación.
Para los valores de X mayores que la media le corresponden valores de Y menores. Esto es relación inversa o decreciente.
• Para los valores de X mayores que la media le corresponden valores de Y mayores también. • Para los valores de X menores que la media le corresponden valores de Y menores también. Esto se llama relación directa.
Incorrelación Fuerte relación Directa
Cierta relación Inversa
Ejemplos de correlaciones positivas
r=0,130
80
130
180
230
280
330
140 150 160 170 180 190 200
r=0,430405060708090100110120130
140 150 160 170 180 190 200
r=0,830
40
50
60
70
80
90
100
140 150 160 170 180 190 200
r=0,9930
40
50
60
70
80
90
100
140 150 160 170 180 190 200
r=0,1
r=0,4
r=0,8
r=0,99
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Ejemplos de correlaciones negativas
r=-0,50102030405060708090
140 150 160 170 180 190 200
r=-0,7010203040
50607080
140 150 160 170 180 190 200
r=-0,95010203040
50607080
140 150 160 170 180 190 200
r=-0,999010203040
50607080
140 150 160 170 180 190 200
r=0,1
r=0,7
r=0,95
r=0,99
Cuanto vale r ?
r=0,61
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Asociación entre variables continuas Se desea estudiar como se comporta la concentración de teofilina a lo largo de tiempo. Se miden en 5 tiempos distintos los valores de teofilina y resultan:
0 17
2 14
4 10
6 7.5
8 4
Calcular la covarianza
Coeficiente de correlación de Pearson
Asociación entre variables continuas
Dibujamos la nube de puntos
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Asociación entre variables continuas
Obtenemos el r2
coeficiente de correlación de Pearson (elevado al cuadrado) se muestran resultados de R
Asociación entre variables continuas
Con SPSS
coeficiente de correlación de Pearson
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Asociación entre variables continuas
Otros coeficientes (medidas) de correlación
Asociación entre variables continuas
H0: Independencia de x e y Ho: r = 0 H1: Dependencia de x e y H1: r # 0
El estadístico es un texpt
Siendo r:
025.02/ =α
Región de aceptación (No rechazo)
95.01 =−α
025.02/ =α
!t! /2 t! /2 texp t!texp t
p-valor/2 p-valor/2
t ! student
Como comprobar la dependencia entre dos variables
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Asociación entre variables continuas
Coeficiente de Correlación Lineal de Pearson [-1,1]
Covarianza: medida de variación conjunta
H0: Independencia de X e Y r = 0 H1: Dependecia de X e Y r # 0
Resumen:
Modelo de regresión lineal simple • En el modelo de regresión lineal simple, dado dos
variables – Y (dependiente) – X (independiente, explicativa, predictora)
• buscamos encontrar una función de X muy simple (lineal) que nos permita aproximar Y mediante – Ŷ = b0 + b1X
• b0 (ordenada en el origen, constante) • b1 (pendiente de la recta)
• Y e Ŷ rara vez coincidirán por muy bueno que sea el modelo de regresión. A la cantidad – e = (Y-Ŷ) se le denomina residuo o error residual.
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• El modelo lineal de regresión se construye utilizando la técnica de estimación mínimo cuadrática: – Buscar b0, b1 de tal manera que se minimice la cantidad
• Σi ei2
• Se comprueba que para lograr dicho resultado basta con elegir:
• Se obtiene además otras ventajas – El error residual medio es nulo – La varianza del error residual es mínima para dicha estimación. – Traducido: En término medio no nos equivocamos. Cualquier otra
estimación que no cometa error en término medio, si es de tipo lineal, será peor por presentar mayor variabilidad con respecto al error medio (que es cero).
Regresión lineal
¿Cuándo es bueno un modelo de regresión? • Lo adecuado del modelo depende de
la relación entre: – la dispersión marginal de Y – La dispersión de Y condicionada a X
• Es decir, fijando valores de X, vemos cómo se distribuye Y
– La distribución de Y, para valores fijados de X, se denomina distribución condicionada.
– La distribución de Y, independientemente del valor de X, se denomina distribución marginal.
• Si la dispersión se reduce notablemente, el modelo de regresión será adecuado.
150 160 170 180 190
320
340
360
380
400
420
y
320
340
360
380
400
420
320
340
360
380
400
420
320
340
360
380
400
420
320
340
360
380
400
420
r= 0.415 r^2 = 0.172
150 160 170 180 190
350
360
370
380
390
y
350
360
370
380
390
350
360
370
380
390
350
360
370
380
390
350
360
370
380
390
r= 0.984 r^2 = 0.969
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Interpretación de la variabilidad en Y
Y En primer lugar olvidemos que existe la variable X. Veamos cuál es la variabilidad en el eje Y.
La franja sombreada indica la zona donde varían los valores de Y. Proyección sobre el eje Y = olvidar X
Interpretación del residuo Y
Miremos ahora los errores de predicción (líneas verticales). Los proyectamos sobre el eje Y. Se observa que los errores de predicción, residuos, están menos dispersos que la variable Y original. Cuanto menos dispersos sean los residuos, mejor será la bondad del ajuste.
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Modelos de Regresión Simple Modelo Lineal o Recta de Regresión
XY !" +=
Método de Mínimos Cuadrados
XXYE !" +=)(
2
11
2 ))(( XYn
ii
n
ii !"# +$=%%
==
Y
Valor esperado (por la recta) dado un X
Se trata de minimizar los errores, existe una recta que hace mínimos los residuales
Modelos de Regresión Simple
XbYa !=
b =XiYi ! nXY
i=1
n
"
Xi2 ! nX 2
i=1
n
"
#
$
%%%%
&
'
((((
=(Xi ! X)(Yi !Y )
i=1
n
"
(Xi ! X)2
i=1
n
"=SXYSX2
Estimación de los parámetros de la recta por Mínimos Cuadrados
Varianza Residual de Y para cada valor de X
( )222
1
22.. 2
1))((21
XY
n
iiiXY SbS
nnbXaY
nS !
!
!=+!
!= "
=
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Modelos de Regresión Simple
!
2X
XY
SSb =
YX
XY
SSSr =
Medidas de Bondad de Ajuste
Estiman y por tanto !
Despejando la covarianza y reemplazando:
rSSbX
Y=
!""
#X
Y=
Para toda la población:
Asociación entre variables continuas
0 17
2 14
4 10
6 7.5
8 4
Calculamos los parámetros de la recta
Del problema de concentración de Teofilina, ahora calculamos la recta de regresión
y = a+ bx
b =XiYi ! nXY
i=1
n
"
Xi2 ! nX 2
i=1
n
"
#
$
%%%%
&
'
((((
=SXYSX2
XbYa !=
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Asociación entre variables continuas
Obtenemos los parámetros de la recta se muestran resultados de R
Ejemplo Se han obtenido los siguientes datos referentes a X=Long. foliar e Y=Amplitud foliar en ejemplares de Rubia peregrina. Estudiar la relación lineal entre las variables mediante sus medidas de asociación, recta de regresión y varianza residual. ¿Qué amplitud debe tener una hoja con 22cm de longitud? ¿Y para 38cm de longitud? ¿Cuánto aumenta la amplitud foliar por cada cm de longitud? ¿Qué longitud tiene una hoja con 9cm de amplitud foliar?
Modelo de regresión lineal simple
1. Medidas de asociación:
a) Cálculo de la covarianza: b) Cálculo de correlación muestral de Pearson:
[ ] 667.51536111.066.25105871110
1=⋅=⋅⋅−
−=xyS
598.0333.1106.7
667.5=
⋅=r
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Modelo de regresión lineal simple
2. Recta de regresión: 3. Varianza residual:
Gráfico de dispersión de la A. foliar sobre L. foliar
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 15 20 25 30 35 40
Longitud foliarAp
litud
folia
r
== 21X
XY
SSb 1122.0
49.50667.5
=
=−= XbYb 10 127.36.251122.06 =⋅−
XY 1122.0127.3ˆ +=
Gráfico de dispersión de la A. foliar sobre L. foliar
y = 0.1122x + 3.1268
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 15 20 25 30 35 40
Longitud foliarAp
litud
folia
r
( )=−−−
= 221
22.. 2
1XYXY SbS
nnS
( ) 285.136.655126.0778.1210110
=⋅−−−
=
Modelo de regresión lineal simple
4. ¿Qué amplitud debe tener una hoja con 22cm de longitud? 5. ¿Y para 38cm? 6. ¿Cuánto aumenta la amplitud foliar por cada cm de longitud? 7. ¿Qué longitud tiene una hoja con 9cm de amplitud foliar?
cmY 595.5221122.0127.3 =⋅+=
XY 1122.0127.3ˆ +=
cmY 595.5221122.0127.3 =⋅+=cmY 707.5231122.0127.3 =⋅+=
cmY 39.7381122.0127.3 =⋅+=
cmAumento 112.0595.5707.5 =+=
X1122.0127.39 += cmX 35.521122.0127.39
=−
=
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Regresion Lineal Problema
Modelos de Regresión Simple
( )!"#
$%& +!
"#$
%&'=
''
' ...,12,2
1 .. btbInS
Sn X
XY(
()
2,2..
0 1)(!
"#<
##n
XY
X tS
nSb
Intervalo de confianza para el coeficiente β
Contraste de Hipótesis
Estadístico texpt
!"#
$
=
01
00
::
%%
%%
HH
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Modelos de Regresión Simple
( )!"#
$%& ++!
"#
$%& ++'+=
'
'
'
' ...,)1( 0)1()(1
..2,2
01
2
20
0bxaStbxaI
XSn
XxnXYny (
(
2
2
20
,2
)1()(1
..
00
)(
)(!
µ"
"
"<
+
"+n
SnXx
nXY
tS
bxa
X
Intervalo de predicción para un nuevo valor de y dado x0
!"#
$+
=+
01
00
::
µ%&
µ%&
XHXHContraste de Hipótesis
Estadístico texpt
Regresion Lineal Se desea saber si existe relación lineal entre el peso del recién nacido y el nivel de estriol en su madre.
7 2500 9 2500 9 2500 12 2700 14 2700 16 2700 16 2400 14 3000 16 3000 16 3100 17 3000 19 3100 21 3000 24 2800 15 3200 16 3200 17 3200 25 3200 27 3400 15 3400 15 3400 15 3500 16 3500 19 3400 18 3500 17 3600 18 3700 20 3800 22 4000 25 3900 24 4300
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Regresión Simple
XbYa !=
2
1
2
1
1
22
1
)(
))((
X
XYn
ii
n
iii
n
ii
n
iii
SS
XX
YYXX
XnX
YXnYXb =
!
!!=
""""
#
$
%%%%
&
'
!
!=
(
(
(
(
=
=
=
=
Varianza Residual de Y (Error tipico de estimacion) para cada valor de X
( )222
1
22.. 2
1))((21
XY
n
iiiXY SbS
nnbXaY
nS !
!
!=+!
!= "
=
Con las expresiones de b y a calculamos los coeficientes y cte.
Regresion Lineal
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Estadísticas y correlaciones
Modelo de regresión lineal simple
Modelo de Regresión lineal
Modelo de regresión lineal simple
ANOVA del modelo