Modelos de Regresión Simple - rua.ua.es · Coeficiente de correlación de Pearson Asociación entre variables continuas Dibujamos la nube de puntos! Prof. Jose Jacobo Zubcoff 7 Asociación

Prof. Jose Jacobo Zubcoff 1

Introducción a la Inferencia Estadística

Dept. of Marine Science and Applied Biology Jose Jacobo Zubcoff

Modelos de Regresión Simple

•  Que tipo de relación existe entre 2 variables •  Predicción de valores a partir de una de ellas

•  Variable Explicativa, Predictor o Independiente •  Variable Dependiente


Estudio conjunto de dos variables •  Datos de dos variables de una muestra.

–  En cada fila tenemos los datos de un individuo –  Cada columna representa los valores que toma una

variable sobre los mismos. –  Las individuos no se muestran en ningún orden

particular.

•  Las observaciones pueden ser representadas en un diagrama de dispersión

•  Nuestro objetivo será intentar reconocer a partir del mismo si hay relación entre las variables, de qué tipo, y si es posible predecir el valor de una de ellas en función de la otra.

Altura en cm.

Peso en Kg.

162 61

154 60

180 78

158 62

171 66

169 60

166 54

176 84

163 68

... ...

30

40

50

60

70

80

90

100

140 150 160 170 180 190 200

Diagramas de dispersión o nube de puntos

Mid

e 18

7 cm

.

Mide 161 cm.

Pesa 76 kg.

Pesa 50 kg.

Tenemos las alturas y los pesos de 30 individuos representados en un diagrama de dispersión.


30

40

50

60

70

80

90

100

140 150 160 170 180 190 200

Relación entre variables Tenemos las alturas y los pesos de 30 individuos representados en un diagrama de dispersión.

Parece que el peso aumenta con la

altura

30

40

50

60

70

80

90

100

140 150 160 170 180 190 200

Predicción de una variable en función de la otra

Aparentemente el peso aumenta 10Kg por cada 10 cm de altura... o sea, el peso aumenta en una unidad por cada unidad de altura.

10 cm.

10 kg.


30 80

130 180 230 280 330

140 150 160 170 180 190 200

Relación directa e inversa

30

40

50

60

70

80

90

100

140 150 160 170 180 190 200

0

10

20

30

40

50

60

70

80

140 150 160 170 180 190 200

Para valores de X por encima de la media tenemos valores de Y por encima y por debajo en proporciones similares. Incorrelación.

Para los valores de X mayores que la media le corresponden valores de Y menores. Esto es relación inversa o decreciente.

• Para los valores de X mayores que la media le corresponden valores de Y mayores también. • Para los valores de X menores que la media le corresponden valores de Y menores también. Esto se llama relación directa.

Incorrelación Fuerte relación Directa

Cierta relación Inversa

Ejemplos de correlaciones positivas

r=0,130

80

130

180

230

280

330

140 150 160 170 180 190 200

r=0,430405060708090100110120130

140 150 160 170 180 190 200

r=0,830

40

50

60

70

80

90

100

140 150 160 170 180 190 200

r=0,9930

40

50

60

70

80

90

100

140 150 160 170 180 190 200

r=0,1

r=0,4

r=0,8

r=0,99


Ejemplos de correlaciones negativas

r=-0,50102030405060708090

140 150 160 170 180 190 200

r=-0,7010203040

50607080

140 150 160 170 180 190 200

r=-0,95010203040

50607080

140 150 160 170 180 190 200

r=-0,999010203040

50607080

140 150 160 170 180 190 200

r=0,1

r=0,7

r=0,95

r=0,99

Cuanto vale r ?

r=0,61


Asociación entre variables continuas Se desea estudiar como se comporta la concentración de teofilina a lo largo de tiempo. Se miden en 5 tiempos distintos los valores de teofilina y resultan:

0 17

2 14

4 10

6 7.5

8 4

Calcular la covarianza

Coeficiente de correlación de Pearson

Asociación entre variables continuas

Dibujamos la nube de puntos



Obtenemos el r2

coeficiente de correlación de Pearson (elevado al cuadrado) se muestran resultados de R


Con SPSS

coeficiente de correlación de Pearson



Otros coeficientes (medidas) de correlación


H0: Independencia de x e y Ho: r = 0 H1: Dependencia de x e y H1: r # 0

El estadístico es un texpt

Siendo r:

025.02/ =α

Región de aceptación (No rechazo)

95.01 =−α

025.02/ =α

!t! /2 t! /2 texp t!texp t

p-valor/2 p-valor/2

t ! student

Como comprobar la dependencia entre dos variables



Coeficiente de Correlación Lineal de Pearson [-1,1]

Covarianza: medida de variación conjunta

H0: Independencia de X e Y r = 0 H1: Dependecia de X e Y r # 0

Resumen:

Modelo de regresión lineal simple •  En el modelo de regresión lineal simple, dado dos

variables –  Y (dependiente) –  X (independiente, explicativa, predictora)

•  buscamos encontrar una función de X muy simple (lineal) que nos permita aproximar Y mediante –  Ŷ = b0 + b1X

•  b0 (ordenada en el origen, constante) •  b1 (pendiente de la recta)

•  Y e Ŷ rara vez coincidirán por muy bueno que sea el modelo de regresión. A la cantidad –  e = (Y-Ŷ) se le denomina residuo o error residual.


•  El modelo lineal de regresión se construye utilizando la técnica de estimación mínimo cuadrática: –  Buscar b0, b1 de tal manera que se minimice la cantidad

•  Σi ei2

•  Se comprueba que para lograr dicho resultado basta con elegir:

•  Se obtiene además otras ventajas –  El error residual medio es nulo –  La varianza del error residual es mínima para dicha estimación. –  Traducido: En término medio no nos equivocamos. Cualquier otra

estimación que no cometa error en término medio, si es de tipo lineal, será peor por presentar mayor variabilidad con respecto al error medio (que es cero).

Regresión lineal

¿Cuándo es bueno un modelo de regresión? •  Lo adecuado del modelo depende de

la relación entre: –  la dispersión marginal de Y –  La dispersión de Y condicionada a X

•  Es decir, fijando valores de X, vemos cómo se distribuye Y

–  La distribución de Y, para valores fijados de X, se denomina distribución condicionada.

–  La distribución de Y, independientemente del valor de X, se denomina distribución marginal.

•  Si la dispersión se reduce notablemente, el modelo de regresión será adecuado.

150 160 170 180 190

320

340

360

380

400

420

y

320

340

360

380

400

420

320

340

360

380

400

420

320

340

360

380

400

420

320

340

360

380

400

420

r= 0.415 r^2 = 0.172

150 160 170 180 190

350

360

370

380

390

y

350

360

370

380

390

350

360

370

380

390

350

360

370

380

390

350

360

370

380

390

r= 0.984 r^2 = 0.969


Interpretación de la variabilidad en Y

Y En primer lugar olvidemos que existe la variable X. Veamos cuál es la variabilidad en el eje Y.

La franja sombreada indica la zona donde varían los valores de Y. Proyección sobre el eje Y = olvidar X

Interpretación del residuo Y

Miremos ahora los errores de predicción (líneas verticales). Los proyectamos sobre el eje Y. Se observa que los errores de predicción, residuos, están menos dispersos que la variable Y original. Cuanto menos dispersos sean los residuos, mejor será la bondad del ajuste.


Modelos de Regresión Simple Modelo Lineal o Recta de Regresión

XY !" +=

Método de Mínimos Cuadrados

XXYE !" +=)(

2

11

2 ))(( XYn

ii

n

ii !"# +$=%%

==

Y

Valor esperado (por la recta) dado un X

Se trata de minimizar los errores, existe una recta que hace mínimos los residuales


XbYa !=

b =XiYi ! nXY

i=1

n

"

Xi2 ! nX 2

i=1

n

"

#

$

%%%%

&

'

((((

=(Xi ! X)(Yi !Y )

i=1

n

"

(Xi ! X)2

i=1

n

"=SXYSX2

Estimación de los parámetros de la recta por Mínimos Cuadrados

Varianza Residual de Y para cada valor de X

( )222

1

22.. 2

1))((21

XY

n

iiiXY SbS

nnbXaY

nS !

!

!=+!

!= "

=



!

2X

XY

SSb =

YX

XY

SSSr =

Medidas de Bondad de Ajuste

Estiman y por tanto !

Despejando la covarianza y reemplazando:

rSSbX

Y=

!""

#X

Y=

Para toda la población:


0 17

2 14

4 10

6 7.5

8 4

Calculamos los parámetros de la recta

Del problema de concentración de Teofilina, ahora calculamos la recta de regresión

y = a+ bx

b =XiYi ! nXY

i=1

n

"

Xi2 ! nX 2

i=1

n

"

#

$

%%%%

&

'

((((

=SXYSX2

XbYa !=



Obtenemos los parámetros de la recta se muestran resultados de R

Ejemplo Se han obtenido los siguientes datos referentes a X=Long. foliar e Y=Amplitud foliar en ejemplares de Rubia peregrina. Estudiar la relación lineal entre las variables mediante sus medidas de asociación, recta de regresión y varianza residual. ¿Qué amplitud debe tener una hoja con 22cm de longitud? ¿Y para 38cm de longitud? ¿Cuánto aumenta la amplitud foliar por cada cm de longitud? ¿Qué longitud tiene una hoja con 9cm de amplitud foliar?

Modelo de regresión lineal simple

1.  Medidas de asociación:

a) Cálculo de la covarianza: b) Cálculo de correlación muestral de Pearson:

[ ] 667.51536111.066.25105871110

1=⋅=⋅⋅−

−=xyS

598.0333.1106.7

667.5=

⋅=r



2. Recta de regresión: 3. Varianza residual:

Gráfico de dispersión de la A. foliar sobre L. foliar

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 15 20 25 30 35 40

Longitud foliarAp

litud

folia

r

== 21X

XY

SSb 1122.0

49.50667.5

=

=−= XbYb 10 127.36.251122.06 =⋅−

XY 1122.0127.3ˆ +=

Gráfico de dispersión de la A. foliar sobre L. foliar

y = 0.1122x + 3.1268

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 15 20 25 30 35 40

Longitud foliarAp

litud

folia

r

( )=−−−

= 221

22.. 2

1XYXY SbS

nnS

( ) 285.136.655126.0778.1210110

=⋅−−−

=


4. ¿Qué amplitud debe tener una hoja con 22cm de longitud? 5. ¿Y para 38cm? 6. ¿Cuánto aumenta la amplitud foliar por cada cm de longitud? 7. ¿Qué longitud tiene una hoja con 9cm de amplitud foliar?

cmY 595.5221122.0127.3 =⋅+=

XY 1122.0127.3ˆ +=

cmY 595.5221122.0127.3 =⋅+=cmY 707.5231122.0127.3 =⋅+=

cmY 39.7381122.0127.3 =⋅+=

cmAumento 112.0595.5707.5 =+=

X1122.0127.39 += cmX 35.521122.0127.39

=−

=


Regresion Lineal Problema


( )!"#

$%& +!

"#$

%&'=

''

' ...,12,2

1 .. btbInS

Sn X

XY(

()

2,2..

0 1)(!

"#<

##n

XY

X tS

nSb

Intervalo de confianza para el coeficiente β

Contraste de Hipótesis

Estadístico texpt

!"#

$

=

01

00

::

%%

%%

HH



( )!"#

$%& ++!

"#

$%& ++'+=

'

'

'

' ...,)1( 0)1()(1

..2,2

01

2

20

0bxaStbxaI

XSn

XxnXYny (

(

2

2

20

,2

)1()(1

..

00

)(

)(!

µ"

"

"<

+

"+n

SnXx

nXY

tS

bxa

X

Intervalo de predicción para un nuevo valor de y dado x0

!"#

$+

=+

01

00

::

µ%&

µ%&

XHXHContraste de Hipótesis

Estadístico texpt

Regresion Lineal Se desea saber si existe relación lineal entre el peso del recién nacido y el nivel de estriol en su madre.

7 2500 9 2500 9 2500 12 2700 14 2700 16 2700 16 2400 14 3000 16 3000 16 3100 17 3000 19 3100 21 3000 24 2800 15 3200 16 3200 17 3200 25 3200 27 3400 15 3400 15 3400 15 3500 16 3500 19 3400 18 3500 17 3600 18 3700 20 3800 22 4000 25 3900 24 4300


Regresión Simple

XbYa !=

2

1

2

1

1

22

1

)(

))((

X

XYn

ii

n

iii

n

ii

n

iii

SS

XX

YYXX

XnX

YXnYXb =

!

!!=

""""

#

$

%%%%

&

'

!

!=

(

(

(

(

=

=

=

=

Varianza Residual de Y (Error tipico de estimacion) para cada valor de X

( )222

1

22.. 2

1))((21

XY

n

iiiXY SbS

nnbXaY

nS !

!

!=+!

!= "

=

Con las expresiones de b y a calculamos los coeficientes y cte.

Regresion Lineal


Estadísticas y correlaciones


Modelo de Regresión lineal


ANOVA del modelo



Regresion Lineal


Regresion Lineal

Regresion Lineal


Regresion Lineal

Regresion Lineal


Regresion Lineal

Regresion Lineal


Regresion Lineal

Regresion Lineal


Interpretación del residuo

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