7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
1/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
1
LES MATEMTIQUESLES MATEMTIQUESLES MATEMTIQUESLES MATEMTIQUES
DE LA MSICADE LA MSICADE LA MSICADE LA MSICA
ELS NOMBRES OCULTS DARRERE EL
PENTAGRAMA
Fet per
Narcs Coll FolliaNarcs Coll FolliaNarcs Coll FolliaNarcs Coll Follia
alumne de 2n de Batxillerat del collegi
Maristes GiroaMaristes GiroaMaristes GiroaMaristes Giroa
el
!" #e #ese$%re #e &"!'!" #e #ese$%re #e &"!'!" #e #ese$%re #e &"!'!" #e #ese$%re #e &"!'
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
2/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
2
NDEX
0. INTRODUCCI.................................................................................................................. 3
1. LA MSICA I ELS SEUS ORGENS ............................................................................... 4
1.1 El concepte de msica ................................................................................................... 4
1.2 Teories sobre lorigen de la msica ............................................................................... 4
2. GLOSSARI DE CONCEPTES MUSICALS .................................................................... 6
3. INTRODUCCI A LA NOTACI MUSICAL ............................................................. 10
3.1 Notes de lescala ......................................................................................................... 10
3.2 alors r!tmics ............................................................................................................... 10
4. PITGORES I LA MSICA ........................................................................................... 13
4.1 "itgores de #amos ..................................................................................................... 13
4.2 La msica "itag$rica .................................................................................................... 13
4.3 Les proporcions de lescala musical ............................................................................ 14
4.4 La msica de les es%eres .............................................................................................. 1&
5. Matemtiques en el so. ONES I ACSTICA .................................................................. 18
&.1 La ona sonora .............................................................................................................. 1'
&.2 (cstica ....................................................................................................................... 22
6. MATEMTIQUES A LA PARTITURA ........................................................................ 23
).1 Estructures matemtiques de les obres ...................................................................... 23
).2 Trans%ormacions geom*triques de la melodia ............................................................ 24
7. ANLISI DEXEMPLES HISTRICS DE OBRES AMB CONTINGUTMATEMTIC ........................................................................................................................... 30
+.1 ,o-art i el oc de /aus ................................................................................................ 30
+.2 "acelbel i el cnon en e ,aor ................................................................................ 33
+.3 El nombre dor i la successi de ibonacci .................................................................. 3+
+.4 56la 5art7 i les 8bres d8r ........................................................................................ 40
8. COMPOSICI .................................................................................................................. 43
'.1 (nlisi de la composici .............................................................................................. 49
9. CONCLUSIONS................................................................................................................ 53
10. AGRAMENTS ................................................................................................................. 55
11. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................... 56ANNEXOS ................................................................................................................................. 57
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
3/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
3
0.INTRODUCCILa msica s laritmtica dels sons, com la ptica s la geometria de la
llum
Claude Debussy (compositor francs)
He escollit el tema de les matemtiques de la msica ja que relaciona dues
de les matries que ms magraden i que sem donen bastant b !a msica
s una cosa que mapassiona i la porto estudiant des de que tinc cinc anys i
des de fa cinc any que estic estudiant al Conser"atori de msica de #irona
!a me"a especialitat s la trompeta i$ darrerament tamb el bai% elctric
!a "eritat s que ara$ abans de comen&ar el treball$ no s massa quinarelaci' i a entre aquestes dues matries ra b$ ja de ben petit a"ia
sentit de professors o alumnes ms grans que parla"en de una relaci'
e%istent$ cosa que ja des de fa temps a"ia despertat la me"a curiositat
i%* doncs crec que aquest treball de recerca s la oportunitat perfecte per
mi per descobrir els misteris que samaguen darrere cada nota i cada
nombre
i%* doncs me plantejat tot una srie dobjectius +n primer lloc "ullestablir la relaci' que i a entre les matemtiques i la msica i ai%*
descobrir des de quan "an juntes ,amb "ull fer un estudi del so- saber el
produei% i perqu .elacionat amb aquest$ magradaria saber quines s'n les
condicions /ambientals que afa"orei%en el so i quines les perjudiquen
0inalment "ull acabar de trobar tots els aspectes de la msica on i trobem
caracter*stiques matemtiques
1n cop tingui tots aquests conei%ements "ull analit2ar obres i can&ons dediferents poques que continguin aquests aspectes matemtics i finalment
utilit2ar tots els aspectes matemtics apresos per compondre la me"a
pr3pia pe&a musical
4er fer aquest treball tinc pensat buscar informaci' a tra"s de diferents
fonts (llibres$ 5nternet$ etc)$ parlar amb entesos de msica als quals tinc
accs (professors del Conser"atori de #irona)$ analit2ar peces musicals i
compondre la me"a pr3pia pe&a utilit2ant els conei%ements adquirits i lame"a e%perincia com a msic
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
4/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
4
1.LA MSICA I ELS SEUS ORGENSDes de que lhome existeix hi ha hagut msica. Per tam els animals, els
!toms i les estrelles "an msica
6arlein2 7toc8ausen (compositor alemany)
1.1El concepte de m!c"
7egons la segona edici' del diccionari de la llengua catalana de l5nstitut
d+studis Catalans$ la msica (del grec mousi#$ /lart de les muses9) s
lart que se%pressa mitjan&ant la combinaci' de sons$ dacord amb les lleis
de la melodia$ larmonia i el ritme
4er3 en tot cas em de distingir el que s pr3piament msica dun simple
so Dit duna manera simple fer msica s utilit2ar els sons de manera
organit2ada perqu /sonin b9 ,ot i que sembla una definici' molt relati"a
no o s tant perqu si per e%emple utilit2es un acord de segona (ms
enda"ant se%plicar el que s) obtindrs un so molt dissonant en can"i si
utilit2es un acord tr*ada major ser molt ms agradable
1.#Teo$!e o%$e l&o$!'en de l" m!c"
4arlar dun origen concret de la msica s una cosa impossible ja que tot i
que san trobat poques restes materials dantics instruments$ la msica
preist3rica es "a originar simplement utilit2ant la pr3pia "eu umana (amb
gran importncia del %iular) i en alguns casos la percussi' corporal ,ot i
ai%3 i an moltes ip3tesis (que no necessriament s'n contradict3ries)
sobre els or*gens de la msica
lgunes ip3tesis afirmen que la msica "a sorgir simplement com a
mtode dentreteniment i que possiblement intenta"a imitar sons de la
natura 4er3 la majoria de les ip3tesis "euen lorigen de la msica com una
cosa prctica- com per e%emple un mtode de comunicaci' abans de
le%istncia del llenguatge en si mitjan&ant una tonalitat i ritme que es
repetei% seguint uns patrons
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
5/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
&
ltres ip3tesis com la de Carles Dar:in diuen que la msica est
directament relacionada amb la se%ualitat dels ssers umans$ com a
mtode daparellament amb el se%e oposat
0inalment cal destacar la ip3tesi que marca com a motiu de laparici' de lamsica el fet religi's !a utilit2aci' de la msica com a mitj de comunicaci'
amb els dus questa ltima ip3tesi la "eiem aplicada sobre tot a lantiga
#rcia que fins i tot tenien una di"initat de la msica (Hermes)
+n el que coincidei%en a grans trets la majoria de ip3tesis s que la msica
t un origen preist3ric i que el ritme "a apari%er al 4aleol*tic i
posteriorment la melodia al ;eol*tic i que es "a anar desen"olupant fins a
esde"enir el que nosaltres conei%em com lactual can&'
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
6/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
)
2.GLOSSARI DE CONCE(TES MUSICALSLa msica comen%a all! on sacaa el llenguatge
madeus Hoffman (escriptor$ pintor i msic alemany)
quest apartat a estat confeccionat a fi que el lector pugui entendre
di"erses paraules espec*fiques del llenguatge musical que podr trobar mes
enda"ant al treball 4er cada definici' si escau i aur una e%emplificaci'
grfica de la paraula
Nota:7igne de la notaci' musical que representa un so indicant
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
7/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
+
Comps: unitat de mesura del temps nascuda de locurrncia regular dels
accents$ la posici' dels quals s marcada en el pentagrama per ratlles
"erticals posades immediatament da"ant dells +l "alor de cada comps s
marcat pels dos nmeros del principi del pentagrama
Clau: signe colBlocat al comen&ament dun fragment que ens indica quina
ratlla del pentagrama correspon a una nota determinada$ i per conseg>ent
les ratlles i els espais en qu cal escriure les altres notes de lescala
musical Hi a tres tipus de claus musicals- la clau de 7ol$ la clau de 0a i la
clau de Do
Tempo: s la "elocitat a la qual cal interpretar o a la que "eritablement
s?interpreta una composici' musical s una paraula italiana que literalment
significa ?temps? +s mesura en pulsacions per minut (ppm)$ abre"iat
actualment ms so"int com a bpm (?beats per minute? en angls) +n funci'
del tempo$ una matei%a obra musical t una durada ms o menys llarga
semblantment$ cada figura musical (una negra o una blanca) no t una
durada especifica i fi%a en segons$ sin' que depn del tempo
Alteraci: 7igne de lescriptura musical que indica la modificaci' de laltura
del so duna o ms notes 4oden ser sostinguts (que pugen mig to a la
nota)$ bemolls (que bai%en mig to a la nota) o becaires (que sutilit2en
desprs de a"er utilit2at una de les anteriors alteracions per retornar la
nota a la se"a altura original)
:lau de /o:lau de a:lau de #ol
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
8/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
'
Tonalitat: Conjunt de relacions mel3diques i arm3niques organit2ades
respecte a una nota anomenada t3nica 4er representar
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
9/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
9
integren aquesta polifonia interpreten la matei%a melodia per3 comen&ant
en moments diferents
Moviments (o espai) entre notes: 4er determinar lespai que i a entre
una nota i altre direm el nombre de notes que les separen contant tambelles matei%es 4er e%emple entre Do i .e com que "an seguides direm que
es un mo"iment de segona$ o entre Do i 7ol com que i a tres notes ms
entre mig (.e$ Ei$ 0a) direm que s un mo"iment de quinta
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
10/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
10
3.INTRODUCCI A LA NOTACI MUSICALLa msica s una cosa !mplia, sense l&mits, sense "ronteres, sense
anderes
!e'n #ieco (cantautor argent*)
Com diu al t*tol en aquest cap*tol e%plicar uns conceptes musicals bsics
per entendre correctament el treball- "eurem els noms de les notes i els
"alors dels ritmes ms bsics de la msica
).1
Note de l&ec"l"
!es notes de lescala musical s'n les seg>ents- Do$ .e$ Ei$ 0a$ 7ol$ !a$ 7i
depn de quina escala estiguem parlant es comen&ar per una o altra nota$
alguna daquestes notes estar alterada o alguna fins i tot potser no i ser
+n tot cas sempre seguiran lordre "ist a dalt
Com que sorganit2en per octa"es$ la seg>ent nota desprs de la sptima
(en aquest cas la nota 7i) tornaria a ser la primera per3 una octa"a amunt
(Do a una octa"a amunt)
1tilit2ant la clau de sol (la que sempre sutilit2ar en aquest treball)quedaria ai%* (ara no ens fi%arem amb el ritme$ nomes les notes)-
4er ordre les notes serien- Do$ .e$ Ei$ 0a$ 7ol$ !a$ 7i i ara una octa"a
amunt- Do$ .e$ Ei$ 0a$ 7ol$ !a$ 7i i encara una octa"a ms amunt- Do
Hi a ms octa"es per sobre i per sota aquesta$ per3 per aquest treball
noms utilit2arem notes dins aquest registre
).#*"lo$ $+tm!c
Cada nota de una partitura t un "alor r*tmic$ o sigui una durada ra
"eurem una imatge on se%pliquen aquests "alors
Cada figura t un equi"alent amb silenci$ o sigui$ un silenci que dura igual
que aquesta figura per3 que e"identment on no sona cap nota
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
11/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
11
Illustraci 3.1 Representaci dels valors de les figures i els seus respectius silencis
,ot i que i a figures amb "alor ms petit que la semicor%era$ en aquest
treball no els utilit2arem i tampoc s'n massa abituals a les peces musicals
+l nmero a on posa /"alor9 s'n els temps que dura la figura$ i cada temps
ser ms rpid o ms lent segons el tempo de la pe&a que com em
e%plicat a lapartat anterior sens indica al principi de la pe&a$ amb un nom
(largo$ adagio$ andante$ moderato$ allegro$ presto) o tamb amb un
nmero que ens indica quants de temps (pulsacions) i a a cada minut
4er fer un petit resum dels ritmes$ a la imatge seg>ent "eurem les
equi"alncies de cada figura-
Illustraci 3.2- Equivalencies de les figures
Cada fila de figures diferents$ si sumes els "alors de totes les figures "aldr
quatre 4er e%emple una rodona equi"aldr a set2e semicor%eres
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
12/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
12
,ot i que ara les "eiem ai%*$ les cor%eres solen agruparent forma-
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
13/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
13
4.(IT,GORES I LA MSICA'scolta, ser!s sa(i) el comen%ament de la sa(iesa s el silenci.
4itgores (fil3sof i matemtic grec)
Dedico un dels primers cap*tols daquest treball per parlar de la primera
persona que "a relacionar la msica amb les matemtiques i e%plicar com
o "a fer
-.1
(!t'o$e de S"mo
4itgores de 7amos (ca F@G a C < ca IF a C)
"a ser un fil3sof i matemtic grec considerat el
primer matemtic pur Ja contribuir de manera
significati"a en l?a"an& de la matemtica elBlnica$
la geometria i l?aritmtica$ deri"ades
particularment de les relacions numriques$ i
aplicades per e%emple a la teoria de pesos i
mesures$ a la teoria de la msica o l?astronomia
s el fundador de la #ermandat 4itag3rica$ una societat que$ si b era de
naturalesa predominantment religiosa$ s?interessa"a tamb en medicina$
cosmologia$ filosofia$ tica i pol*tica$ entre d?altres disciplines +l pitagorisme
formular principis que "an influir tant en 4lat' com en rist3til i$ de manera
ms general$ en el posterior desen"olupament de la matemtica i en la
filosofia racional a Kccident
-.#
L" m!c" (!t"'/$!c"
4itgores estudi$ segurament per primera "egada a la ist3ria$ les lleis
quantitati"es de lacstica i fou el primer en trobar una correlaci' entre els
sons consonants o arm3nics (s a dir$ aquells la manifestaci' simultnia
dels quals origina una sensaci' agradable per a loLda- el to$ locta"a$ la
quinta i la quarta) i els nmeros$ inaugurant una teoria matemtica de la
Illustraci 4.1 Pitgores de
!a"os
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
14/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
14
msica Msicament$ 4itgores pos de manifest de forma e%perimental dos
fets-
N +l so produLt per la pulsaci' duna corda depn de la longitud de la
matei%a
N +ls sons arm3nics soriginen per cordes igualment tenses les longituds de
les quals es disposen segons certes raons entre nombres enters
-.)Le p$opo$c!on de l&ec"l" m0!c"l
,ot i que no se sap si es certa o no$ per e%plicar com 4itgores "a trobar les
proporcions dins lescala musical$ se%plica la seg>ent ist3ria que es pot
trobar$ entre altres llocs$ a el llibre 'l ltimo cat*n de Eatlide sensi-
Dacord amb la tradici'$ 4itgores pass un dia$ per q>esti' dat2ar$ da"ant
duna ferreteria on uns ferrers colpeja"en lenclusa .est imm3bil escoltant
el so cadenci's dels martells$ obser"ant que el to melodi's de tres dells era
alterat per la dissonncia dun quart 7orprs da"ant aquest fenomen$
deman els martells en prstec per a realit2ar una e%perincia cient*fica$ la
primera de la que sen te constncia 4es cuidadosament els martells i els
penj de quatre cordes de manera que en quedar tirants tinguessin la
matei%a longitud 0ent "ibrar les cordes apreci que els sons que emetien
eren els matei%os que els dels martells en colpejar lenclusa fegint un tros
de fang al martell que produLa la dissonncia$ pos la nota emesa per la
corda corresponent en armonia amb les altres Com conei%ia els pesos dels
martells (que eren proporcionals a OP$ I$ @ i Q) "a deduir la llei aritmtica
que regei% els inter"als musicals- el martell el pes del qual era OP produLa elto$ el de pes I la quarta$ el de pes @ la quinta$ i el de pes Q locta"a$
establint la proporci' OPRIS@RQ
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
15/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
1&
Illustraci 4.2 Pitgores i la #istoria dels "artells i les cordes
Com a bon cient*fic e%perimental$ 4itgores "a repetir le%perincia
emprant$ en comptes de cordes digual longitud i peses diferents$ peses
iguals per a tensar cordes de diferent longitud$ i obser" que les que
dona"en el to$ la quarta$ la quinta i la octa"a$ tenien longituds proporcionals
a OP$ I$ @ i Q 5$ donat que les raons entre els nmeros OP$ I$ @ i Q$ s'n
iguals a les que e%istei%en entre O$ TR$PRT i ORP$ que s'n les ms sen2illes
que es poden formar amb els nmeros de la tetract+s (O$ P$ T i )$
4itgores dedu* que aquesta es /font de la naturalesa eterna9 Com en tants
altres aspectes pitag3rics$ els nmeros de la tetract+seren la pedra angular
de larmonia musical i%* doncs$ em de "eure a 4itgores com al
descobridor de lescala musical De fet$ en tota combinaci' arm3nica leslongituds relati"es de les cordes polsades es troben en una ra' de nombres
enters$ que es sintetit2a en lesquema seg>ent$ anomenat sistema de
4itgores-
Do .e Ei 0a 7ol !a 7i Do
O IR@ @ORQ RT TRP PUROQ PTROP@ P
$aula 4.1 Raons proporcionals de les cordes i les notes
-.-L" m!c" de le ee$e
Desprs d?a"er presentat els inter"als al seus companys$ aquests "an
pensar que les distancies entre planeta i planeta tenien les matei%es
proporcions que i a"ia en els sons de l?escala musical- cada planeta
1!a ,etra8tys s una figura triangular que consistei% en deu punts ordenats en quatre files$ amb un$
dos$ tres i quatre punts en cada fila Com a s*mbol m*stic$ "a ser molt important per als seguidors delspitag3rics
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
16/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
1)
corresponia a una esfera que al fer el seu mo"iment produLa un so similar al
que fa un projectil en l?aire Jan establir la relaci' de que el so de les
esferes ms llunyanes era agut$ mentre que les ms properes$ greu ,ot
aquest conjunt de sons formen la msica de les esferes
Illustraci 1.3 %iagra"a de la "&sica de les esferes
4.4.1
Comprovaci de la teoria
!a msica de les esferes a apassionat sempre als estudiosos de l1ni"ers
Des dels pitag3rics$ passant per 6epler$ +instein o ;e:ton (que es llan&aren
a la cerca dun principi arm3nic del cosmos) fins als nostres dies
,ant s ai%* que$ en aquesta l*nia din"estigaci' i cerca de larmonia
uni"ersal$ el OII@ la ;7 en"i un satlBlit a lespai$ el ,ransition .egion
and Coronal +%plorer (,.C+)$ lobjectiu del qual era estudiar la turbulenta
atmosfera superior del 7ol (o corona solar)$ en la que es desencadenen
di"erses tempestes i protuberncies
#rcies a aquesta eina cosmol3gica$ els cient*fics del 7out:est .esearc
5nstitute (7:.5) de 7an ntonio (,e%as)$ "an descobrir (segons un
comunicat de desembre de PGG adjunt a lnne% 5 pgina i
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
17/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
1+
i la tradici' cient*fica posterior$ degut a que est plena dultrasons en forma
dones
,al i com se%plica en el comunicat$ sembla ser que la tradicional msica de
les esferes consistei% en realitat en un ultras3 solar que interpreta unapartitura formada$ segons el satlBlit de la ;7$ per ones TGG "egades ms
profundes que el so de les ms profundes "ibracions audibles per a loLda
umana$ amb una freq>ncia de OGGGGG H2 en per*odes de OG segons
questes ones ultras3niques es produei%en o b pel %oc sobtat de flu%os
electromagnticament induLts en la superf*cie solar$ o b pel %oc de
determinades ones de bai%a freq>ncia sonora$ quan aquestes sai%equen
com les ones del mar des de la superf*cie solar
mbdues raons podrien e%plicar$ a ms del so de la msica de les esferes$
un altre misteri del nostre 7ol- la font de calor e%tra amb qu conta aquesta
estrella en la se"a superf*cie
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
18/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
1'
5.M"temt!20e en el o. ONES I ACSTICALa msica s la (oluptuositat de la imaginaci*.
+ugne Delacroi% (4intor francs)
+n aquest apartat "eurem una relaci' molt directe entre les matemtiques i
la f*sica amb el so musical
3.1
L" on" ono$"
1na ona sonora s una ona longitudinal que transmet el que s?associa amb
so 7i es propaga en un medi elstic i continu genera una "ariaci' local de
pressi' o densitat$ que es transmet en forma d?ona esfrica peri3dica
Eecnicament les ones sonores s'n un tipus d?ona elstica
!es "ariacions de pressi'$ umitat o temperatura del medi$ produei%en el
despla&ament de les molcules que el formen Cada molcula transmet la
"ibraci' a les que es trobin en el seu "oltant$ pro"ocant un mo"iment en
cadena questa propagaci' del mo"iment de les molcules del medi$
produei%en en l?oLda um una sensaci' descrita com so
5.1.1
Mode de propagaci
4er propagar necessiten un medi material (aire$ aigua$ cos s3lid) que
transmeti la pertorbaci' ("iatja molt rpid en els s3lids$ ms lent en els
l*quids$ encara ms lent en l?aire i en el buit no es propaga) s el propi
mitj el que produei% i propicia la propagaci' d?aquestes ones amb la se"a
compressi' i e%pansi' 4erqu pugui comprimir
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
19/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
19
Kn ps la pressi' en 4ascals$ el despla&ament de la ona en metres$ cla
"elocitat del so en metresRsegon i tel temps en segons
Illustraci '.1 %irecci de propagaci de una ona
5.1.2
La freqncia
!a freq>ncia s el nmero d?oscilBlacions que una ona efectua en
determinat inter"al de temps +l nombre de cicles per segon
s?anomena Hert2 (H2)$ i s la unitat amb la qual es mesura la freq>ncia
Des del punt de "ista musical$ la freq>ncia es relaciona amb l?altura o to de
la nota musical a qu correspon Com ms gran s la freq>ncia$ ms alt s
el to d?una nota musical +l so s ms agut
+ls umans som sensibles a les "ibracions amb freq>ncia compresa entre
OQ H2 i PGGGG H2 4er sota de OQ H2 s?anomenen infrasons i per sobre$
ultrasons +l marge auditiu de les persones "aria segons l?edat i d?altres
factors +ls animals tenen un marge auditiu diferent$ ai%*$ s ben conegut el
fet que els gossos poden sentir freq>ncies molt ms altes$ dins del marge
dels ultrasons
!es notes produLdes pel teclat d?un piano tenen un rang de freq>ncia de PU
a T@G H2$ distribuLts en U octa"es
cada nota musical$ li correspon una freq>ncia determinada !?afinaci'
actual dels instruments es fa a partir de la nota base !$ a la qual
correspon una freq>ncia de GGG H2
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
20/79
Les matemtiques de la msi
ra$ en el seg>ent qua
mitjan&ant un teclat c
freq>ncia de les notes
Nota C!re"#ncia($%)
PQOQT
i%* dons com em co
s la nota$ ms alta e%ponencial$ es a dir$
freq>ncia que les sepa
5.1.3L'amplitud
!?amplitud s el grau
questa correspon$ en
Com ms gran s l?a
molcules al timp i m
!?amplitud m*nima per
llindar d?audici' =ua
produei% molsties al ti
ca
re es "euen reflectits els resultats du
nnectat a un afinador estndard on
de la quarta octa"a de un teclat
D + 0 # PITQQ TPIQT TIPT TIPGG
$aula '.1 (req)*ncies de la quarta octava
entat abans podem compro"ar que c
s la freq>ncia i a ms a ms augmcom mes agudes son les notes$
ra
Illustraci '.2 (req)*ncia d+una ona
de mo"iment de les molcules d?air
termes musicals$ a all3 que anome
mplitud de l?ona$ ms intensament
s fort s el so percebut
u un so sigui percebut per una pers
n l?amplitud augmenta$ arriba un
p$ a ai%3 se l?anomena llindar del do
reball de recerca
20
a petita pro"a
es calcula la
MGGG IT@@
m ms aguda
nta de formas alta s la
en una ona
em intensitat
colpegen les
na s?anomena
moment que
lor
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
21/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
21
Illustraci '.3 ,"plitud d+una ona
5.1.4
La forma d'ona
!a forma d?ona s la caracter*stica que ens permetr distingir una nota de la
matei%a freq>ncia i intensitat produLda per instruments diferents !a forma
d?ona "e determinada pels arm3nics (+n el cas dels instruments de corda$
cada corda produei% arm3nics diferents)
;ormalment$ en fer "ibrar un cos$ no obtenim un so pur$ sin' un so
compost de sons de diferents freq>ncies ai%3 s?anomenen arm3nics !a
freq>ncia dels arm3nics$ sempre s un mltiple de la freq>ncia ms
bai%a anomenada freq>ncia fonamental o primer arm3nic mesura que
les freq>ncies s'n ms altes$ els segments en "ibraci' son ms curts i els
tons musicals estan ms pr3%ims els uns dels altres +ls arm3nics dons$
fan que els diferents sons siguin ms rics per la orella
Illustraci '.4 ar"nics de les quatre cordes d+un /ai0
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
22/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
22
+n conclusi'$ noms obser"ant el grfic duna ona sonora podem saber- de
quina nota es tracta i en quina octa"a es situa (obser"ant la freq>ncia)$ la
intensitat de aquesta nota (obser"ant la amplitud) i quin instrument es
tracta (obser"ant els arm3nics reflectits a la forma de la ona)
3.#Act!c"
s la branca f*sica que estudia la producci'$ la transmissi' i la recepcions
dels sons mb aquesta cincia podem quantificar l?energia$ la "ariaci' en el
temps$ la freq>ncia del so i la se"a localit2aci'
firmem que tot el que "ibra sona$ ja que tot all3 que "ibra pro"oca unaoscilBlaci' de pressi' en l?aire =uan aquestes "ibracions es troben "iatjant
per l?espai afecten a les molcules de l?aire i generen petites regions d?aire
on la pressi' s menoraquestes 2ones s?anomenen rarefaccions !es 2ones
on s major la pressi' reben el nom de compressions =uan el so troba un
obstacle$ com ara un timp$ aquest "ibra garantint les matei%es
caracter*stiques del patr' d?ona ems en un principi per la font que "a
emetre el so 1n cop el so s percebut per l?oLda el sistema auditiu
s?encarrega de processar
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
23/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
23
6.MATEM,TI4UES A LA (ARTITURA-o nhi ha prou en escoltar la msica) sha de (eure
5gor 7tra"ins8y (compositor i director dorquestra rus)
Va em analit2at la part matemtica que trobem a la msica al sentir
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
24/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
24
Illustraci .1 Estructura d+una sonata
5.#
T$"no$m"c!on 'eom6t$!20e de l" melod!"
7'n donades quan una part de la melodia es repetei% per3 can"iant de
posici' o de forma 7'n molt i molt utilit2ades ja que crea melodies
repetiti"es per tant fcils descoltar i agradables per la nostra orella$ per3 a
ms a ms les can"ia lo suficient perqu les trobem interessants i no massa
repetiti"es
;i a de dos tipus- 5sometries o mo"iments i omotcies
.2.1
!"ometrie"
!a se"a funci' s despla&ar la melodia$ segons el tipus de isometria la
despla&ar de una manera o altre ;i a T tipus-
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
25/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
2&
4er e%emple-
Illustraci .2 - $ranslaci
Com "eiem en el grfic$ els dos "ectors representats tenen el matei%
m3dul$ la matei% direcci' i el matei% sentit !a diferncia est en que
el primer "ector comen&a en el punt (G$G) i el segon "ector en el punt
($O)
ra per aplicar
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
26/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
2)
transforma cada punt 4 en un altre punt 4? de manera que lei% de
simetria s la mediatriu del segment 44? Correspon a un gir de
SO@GY de cadascun dels punts que formen la figura
4er e%emple-
Illustraci .3 !i"etria a0ial o refle0i
Com podem "eure en el grfic$ el primer "ector a patit una refle%i'
ai%* que la y inicial del primer "ector passa a ser al y final del segon i
la y final del primer "ector passa a ser la y inicial del segon "ector
4er aplicar
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
27/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
2+
ms algunes "egades trobem una translaci' i una refle%i' a la
"egada tot i que s menys abitual
4er e%emple-
Com podem "eure al segon comps sa fet una refle%i' i una
translaci'$ ja que la melodia fa e%actament el matei% per3 de forma
descendent i a ms a estat traslladada una octa"a amunt
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
28/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
2'
+n msica seria e%actament el matei%- la primera part de la melodia
faria un gir sobre un centre imaginari per formar una segona part
questa isometria s la que pro"oca un can"i ms gran a la melodia
4er e%emple-
+l centre de gir seria el puntet "ermell que i a a la tercera l*nea del
pentagrama entre la primera part de la melodia (primeres tres notes)
i la segona (seg>ents tres notes) +st colBlocat daquesta maneraperqu s la meitat de la distncia entre la primera nota de la
primera part de la melodia i la primera nota de la segona part de la
melodia Com podem obser"ar la melodia a fet un gir i per tant a la
segona part$ on a la primera les notes esta"en situades de forma
crei%ent ara o estant en forma decrei%ent i "ice"ersa
.2.2
#omotcie"
7'n transformacions que conser"en la forma per3 no les dimensions +s
necessita una ra' per tal de fer lomotcia$ i un punt des del qual es fa
4er e%emple-
Illustraci .' - o"ot*cia
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
29/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
29
Com podem "eure en el grfic$ el segon "ector conser"a la forma respecte
el primer "ector respecte el punt C per3 el segon "ector s ms petit que el
primer
,raduintents) per3 el doble de rpid
perqu les cor%eres passen a ser semicor%eres
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
30/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
30
7.AN,LISI D&EXEM(LES 7IST8RICS DE
O9RES AM9 CONTINGUT MATEM,TIC
'ls msics s*n totalment irracionals. empre (olen que un sigui totalment
mut en el prec&s moment que un desit/a ser completament sord
Kscar Zilde (dramaturg i no"elBlista irlands)
:.1Mo;"$t ! el
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
31/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
31
+l joc comen&a llan&ant dos daus$ de manera que tenim OO nmeros
possibles (del P al OP) !es %ifres romanes sobre les columnes indiquen els
compassos del "als que com que tindr dos parts "a de O a @ dues "egades
4er cada tirada sa"an&a una columna
4er e%emple si estic per la columna nmero F de la primera part i el resultat
dels daus s un I$ el comps nmero cinc del meu "als aur de ser el
nmero OG dels compassos que "a escriure Eo2art
4er mostrar lefecti"itat daquest mtode jo matei% composar una pe&a
utilit2ant el mtode del joc de daus de Eo2art
la seg>ent taula i figuren els resultats de les me"es tirades-
Primera part (compassos O
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
32/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
32
questa obra de Eo2art permet compondre un total de OOOQ"alsos diferents
que si tenen una mitjana de durada de TG segons dons es tardarien uns UGG
anys per escoltar
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
33/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
33
:.#("c=el%el ! el cnon en Re M">o$
Voann Cristop 4acelbel (;uremberg$ 7acre 5mperi$ O de setembre OQFT
< 5b*dem$ T mar& OUGQ)$ "a ser un destacat compositor$ cla"ecinista i
organista alemany del per*ode barroc +s compta entre els ms importantsmsics de la generaci' anterior a Voann 7ebastian Mac ms de
compondre una gran quantitat d?obres sacres i seculars$ "a contribuir al
desen"olupament del preludi de coral i fuga$ el que li "a guanyar un lloc
entre els compositors ms importants de l?era barroca
$.2.1C(non en )e Ma*or
s la pe&a ms coneguda de 4acelbel i una de les ms famoses de
la msica barroca +scrita al OQ@G$ des de la se"a composici' se n?an fet
una gran "arietat d?arranjaments per a tot tipus d?instruments i agrupacions
musicals tot i que la se"a forma original s per a tres "iolins (que
interpreten la melodia) i un "ioloncel (que interpreta el bai% continu)
4odeu trobar la partitura en q>esti' a lnne% 555$ pgina i
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
34/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
34
quests quatre compassos s'n el Tr$ t$ F i Q del primer "iol* Com
podem "eure clarament la melodia fa e%actament el matei% entre els
primers dos compassos i els dos seg>ents (amb la diferncia de la
ltima nota que can"ia per ajudar la continuLtat de la melodia) per3
amb una segona descendent de diferncia
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
35/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
3&
Com podem obser"ar en el seg>ent quadre-
P*MEE +
N,TE
M,-*MENT EG,NE +
N,TE
M,-*MENT
Oa(Do)
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
36/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
3)
questa simple f'rmula musical sobre la qual "a ser composada aquesta
pe&a musical a ser"it de motlle per crear moltes i moltes can&ons dels
ltims anys que utilit2en el matei% bai% i per tant la matei%a estructura
arm3nica o una estructura molt similar que deri"a daquesta matei%a
questa s una llista dalguns dels e%emples de can&ons actuals de grups i
cantants molt coneguts internacionalment que fan ser"ir aquesta estructura
o una de molt similar (per ferents can&ons que podeu trobar a lar%iu digitalit2at de lanne%)-
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
37/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
3+
pop
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
38/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
3'
en moltes de Eo2art) no "ol dir que el compositor tingui conei%ement de la
se"a e%istncia$ si no que arribar a ella o acostar
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
39/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
39
analit2ar la can&'0ust 1i(e 2e a 3eason de 4in8 (4odeu trobar la partitura
de la can&' a lnne% 5J$ pgina ients punts-
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
40/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
40
segons) multiplicat per G$QO@ S OFG$OU segons$ passat a minuts s'n
P$F minuts 7i busquem el cl*ma% de la can&' trobem que comen&a
als P PP per tant als P TG (P$F minuts) ja i esta completament
questa f'rmula es pot aplicar tamb a moltes altres can&ons
actuals
] !es reproduccions de totes les can&ons analit2ades es troben al directori anne%^mpT del cd
adjunt
:.-
9l" 9"$t?B ! le O%$e d&O$
Mla Mart'8 (Hongria O@@O < ;o"a or8$ OIF) "a ser un compositor$
pianista i in"estigador de msica fol8l3rica d?+uropa de l?+st Mart'8 "a ser
un dels fundadors del camp de l?etnomusicologia$ l?estudi de la msica
fol8l3rica i la msica de cultures no occidentals
bans em parlat de compositors (Meeto"en$ Eo2art$ Mac$ etc) que
a"ien utilit2at la proporci' [urea en les di"erses de les se"es peces$ per3
sens dubte cap no o "a fer amb tanta conscincia ni amb tan
aprofundiment com Mart'8 +"identment sa dobser"ar que Mart'8 smolt ms contemporani cosa que li dona molta a"antatge respecte els altres
compositors esmentats que "an ser molt anteriors a ell
Com e dit abans moltes obres de l?ongars tenen amagades relacions
amb la di"ina proporci' i amb 0ibonacci$ per aquesta ra' m?a semblat
oport dedicar
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
41/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
41
o sigui totes les tecles del piano) 4er e%plicar
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
42/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
42
$.4.2
Cercle tonal de art
Mart'8 "a crear un simple cercle que
permetia al compositor saber en tot
moment quina era la t3nica (Oa nota delescala)$ la dominant (Fa nota de
lescala) i la subdominant (a nota de
lescala) 4er fer
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
43/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
43
8.COM(OSICI4ompondre no s di"&cil, el que s complicat s deixar caure sota la taula
les notes supr"lues
Voannes Mrams (compositor alemany)
rribats a aquest punt del treball$ s la ora de intentar plasmar tots els
conei%ements apresos durant la realit2aci' daquest a una composici'
pr3pia
Degut a la me"a e%perincia com a trompetista i les nombroses "egades
que e tocat en conjunts de "ent metall (els instruments bsics de "ent
metall s'n- trompeta$ trompa$ tromb'$ bombard* i tuba)$ e decidit fer unapetita obra per a un trio de "ent metall compost per una trompeta en 7i
bemoll$ una trompa en 0a i un tromb' en Do (7i bemoll 0a i Do s'n els tons
en que estan afinats per defecte la trompeta la trompa i el tromb')
!a obra interpretada en el seu tempo original t una duraci' de dos minuts i
"int segons i aquest tempo s de negraSIQ (o sigui IQ pulsacions cada
minut) !a suma de el tempo de lobra amb la distribuci' arm3nica
daquesta donen una sensaci' de majestuositat s per ai%3 que li e donata la pe&a el nom de Parabellum 0ruit de le%pressi' llatina i (is pacem,
para ellum que significa /7i "ols la pau$ prepara la guerra9
+ls conceptes matemtics (e%plicats detalladament ms enda"ant) que i
e representat s'n-
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
44/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
44
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
45/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
4&
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
46/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
4)
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
47/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
4+
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
48/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
4'
] !a reproducci' daquesta pe&a es troba al directori anne%^mpT del cd adjunt
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
49/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
49
.1Anl!! de l" compo!c!?
i%* doncs$ analit2ar detalladament els aspectes esmentats anteriorment
4er tant$ en primer lloc comen&ar per estudiar el primer que e fet a lora
de composar la pe&a- el bai% i lestructura arm3nica
Com que "olia escollir una estructura 7armOnicano massa complicada i
agradable per la oLda$ e optat per agafar una de les estructures que
deri"en de lestructura del cnon de 4acelbel !a estructura s la seg>ent
5
de manera seguida al llarg de la pe&a e%cepte en algun lloc puntual que no
o far perqu passa a tenir una altra funci'
1n cop e tingut el bai% i la estructura arm3nica$ e pensat en fer una
estructura de la pe'aen que passin coses importants en el els nombresde comps de la srie de 0ibonacci que com a"*em "ist anteriorment$
molts artistes com 4in8 a la can&' de0ust gi(e me a reason(analit2ada en
el punt UTT) utilit2en perqu crea estructures c3modes i que no ens
semblen gents entranyes a lora descoltar
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
50/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
&0
els nombres de 0ibonacci tenen importncia com s el cas del comps OT i
PO que els dos s'n inici de frases importants de la pe&a 4er3 el lloc on
tenen ms importncia els nombres de 0ibonacci s al cl*ma% de lobra (lloc
on la pe&a t ms for&a que$ en aquest cas$ consta de tres compassos
introductoris seguits del cl*ma% en si) ja que comen&a al comps T
(nombre de 0ibonacci) ms$ com em "ist en el punt UTT$ el lloc ms
adequat per el cl*ma% s el resultat de multiplicar el nombre total de
compassos per el nombre pi (GQO@) 4er tant si fem FF % GQO@ ens d'na
un resultat de T ai%* que podem dir que el cl*ma% comen&a al lloc ms
adequat de la pe&a
Va tenint lestructura de la pe&a$ lestructura arm3nica i el bai%$ noms
queda anar completant$ seguint les normes de larmonia i la intenci' de
lautor (en aquest cas jo matei%)$ les dues "eus ms mel3diques (trompeta i
trompa) 4er3 com que el meu objectiu s introduir
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
51/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
&1
cl*ma%)$ i finalment ja al punt m%im del cl*ma% del comps TU al G$
podem "eure com les tres "eus realit2en aquesta escala repetidament a
lun*son portantents tres compassos
ja que la melodia fa la matei%a forma per3 passa per tons diferents
Desprs i a les releions o simetries aials$ per e%emple-
!a melodia comen&a en un do$ arriba al la passant per tots els tons i torna
al do passant per tots els tons
,amb trobem els girs$ per e%emple-
!es tres primeres notes fan el matei% mo"iment que les tres segones per3
in"ertit
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
52/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
&2
0inalment trobem les 7omotcies$ per e%emple-
+ls dos grups de quatre notes fan un mo"iment arm3nicament igual$ per3
el "alor r*tmic del primer grup s el doble que el del segon$ per tant si el
primer grup dura dues pulsacions el segon noms en dura una
1n cop ja tinc tots els elements que "ol*em introduir dins la partitura i
completada$ seguint les normes de larmonia e fet una cadncia final amb
els graus 5J
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
53/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
&3
9.CONCLUSIONSi no "os per la msica, hi hauria raons per tornar5se oig
4iotr 5llit% ,%ai8o"s8i (compositor rus)
Desprs de un any$ quan "aig comen&ar a realit2ar tots els apartats
daquest treball e arribat a les seg>ents conclusions-
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
54/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
&4
que no tinc massa abilitat per composar$ a resultat un gran esfor&
per3 tamb una gran recompensa
Comparant el treball ara amb com la"ia enfocat al principi amb els
objectius daquest$ podem "eure que i a objectius com el de identificarels aspectes matemtics que influei%en a la msica$ el de analit2ar obres
que contenen elements matemtics o el de composar una pe&a pr3pia$ que
s* que san mantingut de principi a fi i san con"ertit en la base daquest
treball ,ot i ai%* a mesura que ana"a a"an&ant en el treball "aig fer petits
can"is denfocament del treball i$ per ai%3$ i a altres objectius com el de
fer un estudi del so o analit2ar les condicions /ambientals9 que afa"orei%en
el so$ que e dei%at de banda Vo crec que a sigut la decisi' correcte
perqu grcies ai%3 me pogut centrar en elements mes espec*fics i amb
un sol sentit global
,ot i les dificultats que e trobat a lora de composar i analit2ar perqu s'n
coses que requerei%en molt de temps i concentraci'$ crec que el mes dif*cil
del treball a sigut un cop tenia les idees del que a"ia creat o analit2at$
saber
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
55/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
&&
10.AGRAMENTS+n primer lloc "ull donar les grcies a en Dani #allostra i Eontells$ professor
de trompeta del conser"atori de #irona i a en Eiquel 7unyer i Mo"er
professor i cap de departament de llenguatge musical$ armonia i
assignatures te3riques del conser"atori de #irona per lajuda que man
donat en alguns aspectes musicals concrets i per tots els conei%ements de
msica que man proporcionat
,amb "ull donar les grcies al meu tutor del treball Eanel Mec
primerament per ajudar
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
56/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
&)
11. 9I9LIOGRA@IA
!libres-
7+;75$ Eatilde 'l ltimo cat*n.+spanya- 4laneta4K;7+,h$ 1ltano6prendre a escriure msica am 7inale.71;+.$ Eiquel6n!lisi i "ormes 8 curs de grau pro"essional71;+.$ Eiquel 9armonia 8 curs de grau pro"esional.
Zebgrafia-ttp;
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
57/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
&+
ANNEXOS
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
58/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC1
+66%7 !
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
59/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC2
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
60/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC3
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
61/79
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
62/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC&
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
63/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC)
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
64/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC+
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
65/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC'
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
66/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC9
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
67/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC10
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
68/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC11
+66%7 !!!
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
69/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC12
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
70/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC13
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
71/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC14
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
72/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC1&
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
73/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC1)
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
74/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC1+
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
75/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC1'
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
76/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC19
+66%7 !8
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
77/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC20
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
78/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca
iC21
7/24/2019 Les matemtiques de la fsica
79/79
Les matemtiques de la msica Treball de recerca