Les matemàtiques de la física

7/24/2019 Les matemtiques de la fsica

1/79

Les matemtiques de la msica Treball de recerca

1

LES MATEMTIQUESLES MATEMTIQUESLES MATEMTIQUESLES MATEMTIQUES

DE LA MSICADE LA MSICADE LA MSICADE LA MSICA

ELS NOMBRES OCULTS DARRERE EL

PENTAGRAMA

Fet per

Narcs Coll FolliaNarcs Coll FolliaNarcs Coll FolliaNarcs Coll Follia

alumne de 2n de Batxillerat del collegi

Maristes GiroaMaristes GiroaMaristes GiroaMaristes Giroa

el

!" #e #ese$%re #e &"!'!" #e #ese$%re #e &"!'!" #e #ese$%re #e &"!'!" #e #ese$%re #e &"!'


2/79


2

NDEX

0. INTRODUCCI.................................................................................................................. 3

1. LA MSICA I ELS SEUS ORGENS ............................................................................... 4

1.1 El concepte de msica ................................................................................................... 4

1.2 Teories sobre lorigen de la msica ............................................................................... 4

2. GLOSSARI DE CONCEPTES MUSICALS .................................................................... 6

3. INTRODUCCI A LA NOTACI MUSICAL ............................................................. 10

3.1 Notes de lescala ......................................................................................................... 10

3.2 alors r!tmics ............................................................................................................... 10

4. PITGORES I LA MSICA ........................................................................................... 13

4.1 "itgores de #amos ..................................................................................................... 13

4.2 La msica "itag$rica .................................................................................................... 13

4.3 Les proporcions de lescala musical ............................................................................ 14

4.4 La msica de les es%eres .............................................................................................. 1&

5. Matemtiques en el so. ONES I ACSTICA .................................................................. 18

&.1 La ona sonora .............................................................................................................. 1'

&.2 (cstica ....................................................................................................................... 22

6. MATEMTIQUES A LA PARTITURA ........................................................................ 23

).1 Estructures matemtiques de les obres ...................................................................... 23

).2 Trans%ormacions geom*triques de la melodia ............................................................ 24

7. ANLISI DEXEMPLES HISTRICS DE OBRES AMB CONTINGUTMATEMTIC ........................................................................................................................... 30

+.1 ,o-art i el oc de /aus ................................................................................................ 30

+.2 "acelbel i el cnon en e ,aor ................................................................................ 33

+.3 El nombre dor i la successi de ibonacci .................................................................. 3+

+.4 56la 5art7 i les 8bres d8r ........................................................................................ 40

8. COMPOSICI .................................................................................................................. 43

'.1 (nlisi de la composici .............................................................................................. 49

9. CONCLUSIONS................................................................................................................ 53

10. AGRAMENTS ................................................................................................................. 55

11. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................... 56ANNEXOS ................................................................................................................................. 57


3/79


3

0.INTRODUCCILa msica s laritmtica dels sons, com la ptica s la geometria de la

llum

Claude Debussy (compositor francs)

He escollit el tema de les matemtiques de la msica ja que relaciona dues

de les matries que ms magraden i que sem donen bastant b !a msica

s una cosa que mapassiona i la porto estudiant des de que tinc cinc anys i

des de fa cinc any que estic estudiant al Conser"atori de msica de #irona

!a me"a especialitat s la trompeta i$ darrerament tamb el bai% elctric

!a "eritat s que ara$ abans de comen&ar el treball$ no s massa quinarelaci' i a entre aquestes dues matries ra b$ ja de ben petit a"ia

sentit de professors o alumnes ms grans que parla"en de una relaci'

e%istent$ cosa que ja des de fa temps a"ia despertat la me"a curiositat

i%* doncs crec que aquest treball de recerca s la oportunitat perfecte per

mi per descobrir els misteris que samaguen darrere cada nota i cada

nombre

i%* doncs me plantejat tot una srie dobjectius +n primer lloc "ullestablir la relaci' que i a entre les matemtiques i la msica i ai%*

descobrir des de quan "an juntes ,amb "ull fer un estudi del so- saber el

produei% i perqu .elacionat amb aquest$ magradaria saber quines s'n les

condicions /ambientals que afa"orei%en el so i quines les perjudiquen

0inalment "ull acabar de trobar tots els aspectes de la msica on i trobem

caracter*stiques matemtiques

1n cop tingui tots aquests conei%ements "ull analit2ar obres i can&ons dediferents poques que continguin aquests aspectes matemtics i finalment

utilit2ar tots els aspectes matemtics apresos per compondre la me"a

pr3pia pe&a musical

4er fer aquest treball tinc pensat buscar informaci' a tra"s de diferents

fonts (llibres$ 5nternet$ etc)$ parlar amb entesos de msica als quals tinc

accs (professors del Conser"atori de #irona)$ analit2ar peces musicals i

compondre la me"a pr3pia pe&a utilit2ant els conei%ements adquirits i lame"a e%perincia com a msic


4/79


4

1.LA MSICA I ELS SEUS ORGENSDes de que lhome existeix hi ha hagut msica. Per tam els animals, els

!toms i les estrelles "an msica

6arlein2 7toc8ausen (compositor alemany)

1.1El concepte de m!c"

7egons la segona edici' del diccionari de la llengua catalana de l5nstitut

d+studis Catalans$ la msica (del grec mousi#$ /lart de les muses9) s

lart que se%pressa mitjan&ant la combinaci' de sons$ dacord amb les lleis

de la melodia$ larmonia i el ritme

4er3 en tot cas em de distingir el que s pr3piament msica dun simple

so Dit duna manera simple fer msica s utilit2ar els sons de manera

organit2ada perqu /sonin b9 ,ot i que sembla una definici' molt relati"a

no o s tant perqu si per e%emple utilit2es un acord de segona (ms

enda"ant se%plicar el que s) obtindrs un so molt dissonant en can"i si

utilit2es un acord tr*ada major ser molt ms agradable

1.#Teo$!e o%$e l&o$!'en de l" m!c"

4arlar dun origen concret de la msica s una cosa impossible ja que tot i

que san trobat poques restes materials dantics instruments$ la msica

preist3rica es "a originar simplement utilit2ant la pr3pia "eu umana (amb

gran importncia del %iular) i en alguns casos la percussi' corporal ,ot i

ai%3 i an moltes ip3tesis (que no necessriament s'n contradict3ries)

sobre els or*gens de la msica

lgunes ip3tesis afirmen que la msica "a sorgir simplement com a

mtode dentreteniment i que possiblement intenta"a imitar sons de la

natura 4er3 la majoria de les ip3tesis "euen lorigen de la msica com una

cosa prctica- com per e%emple un mtode de comunicaci' abans de

le%istncia del llenguatge en si mitjan&ant una tonalitat i ritme que es

repetei% seguint uns patrons


5/79


&

ltres ip3tesis com la de Carles Dar:in diuen que la msica est

directament relacionada amb la se%ualitat dels ssers umans$ com a

mtode daparellament amb el se%e oposat

0inalment cal destacar la ip3tesi que marca com a motiu de laparici' de lamsica el fet religi's !a utilit2aci' de la msica com a mitj de comunicaci'

amb els dus questa ltima ip3tesi la "eiem aplicada sobre tot a lantiga

#rcia que fins i tot tenien una di"initat de la msica (Hermes)

+n el que coincidei%en a grans trets la majoria de ip3tesis s que la msica

t un origen preist3ric i que el ritme "a apari%er al 4aleol*tic i

posteriorment la melodia al ;eol*tic i que es "a anar desen"olupant fins a

esde"enir el que nosaltres conei%em com lactual can&'


6/79


)

2.GLOSSARI DE CONCE(TES MUSICALSLa msica comen%a all! on sacaa el llenguatge

madeus Hoffman (escriptor$ pintor i msic alemany)

quest apartat a estat confeccionat a fi que el lector pugui entendre

di"erses paraules espec*fiques del llenguatge musical que podr trobar mes

enda"ant al treball 4er cada definici' si escau i aur una e%emplificaci'

grfica de la paraula

Nota:7igne de la notaci' musical que representa un so indicant


7/79


+

Comps: unitat de mesura del temps nascuda de locurrncia regular dels

accents$ la posici' dels quals s marcada en el pentagrama per ratlles

"erticals posades immediatament da"ant dells +l "alor de cada comps s

marcat pels dos nmeros del principi del pentagrama

Clau: signe colBlocat al comen&ament dun fragment que ens indica quina

ratlla del pentagrama correspon a una nota determinada$ i per conseg>ent

les ratlles i els espais en qu cal escriure les altres notes de lescala

musical Hi a tres tipus de claus musicalsla clau de 7ol$ la clau de 0a i la

clau de Do

Tempo: s la "elocitat a la qual cal interpretar o a la que "eritablement

s?interpreta una composici' musical s una paraula italiana que literalment

significa ?temps? +s mesura en pulsacions per minut (ppm)$ abre"iat

actualment ms so"int com a bpm (?beats per minute? en angls) +n funci'

del tempo$ una matei%a obra musical t una durada ms o menys llarga

semblantment$ cada figura musical (una negra o una blanca) no t una

durada especifica i fi%a en segons$ sin' que depn del tempo

Alteraci: 7igne de lescriptura musical que indica la modificaci' de laltura

del so duna o ms notes 4oden ser sostinguts (que pugen mig to a la

nota)$ bemolls (que bai%en mig to a la nota) o becaires (que sutilit2en

desprs de a"er utilit2at una de les anteriors alteracions per retornar la

nota a la se"a altura original)

:lau de /o:lau de a:lau de #ol


8/79


'

Tonalitat: Conjunt de relacions mel3diques i arm3niques organit2ades

respecte a una nota anomenada t3nica 4er representar


9/79


9

integren aquesta polifonia interpreten la matei%a melodia per3 comen&ant

en moments diferents

Moviments (o espai) entre notes: 4er determinar lespai que i a entre

una nota i altre direm el nombre de notes que les separen contant tambelles matei%es 4er e%emple entre Do i .e com que "an seguides direm que

es un mo"iment de segona$ o entre Do i 7ol com que i a tres notes ms

entre mig (.e$ Ei$ 0a) direm que s un mo"iment de quinta


10/79


10

3.INTRODUCCI A LA NOTACI MUSICALLa msica s una cosa !mplia, sense l&mits, sense "ronteres, sense

anderes

!e'n #ieco (cantautor argent*)

Com diu al t*tol en aquest cap*tol e%plicar uns conceptes musicals bsics

per entendre correctament el treball- "eurem els noms de les notes i els

"alors dels ritmes ms bsics de la msica

).1

Note de l&ec"l"

!es notes de lescala musical s'n les seg>ents- Do$ .e$ Ei$ 0a$ 7ol$ !a$ 7i

depn de quina escala estiguem parlant es comen&ar per una o altra nota$

alguna daquestes notes estar alterada o alguna fins i tot potser no i ser

+n tot cas sempre seguiran lordre "ist a dalt

Com que sorganit2en per octa"es$ la seg>ent nota desprs de la sptima

(en aquest cas la nota 7i) tornaria a ser la primera per3 una octa"a amunt

(Do a una octa"a amunt)

1tilit2ant la clau de sol (la que sempre sutilit2ar en aquest treball)quedaria ai%* (ara no ens fi%arem amb el ritme$ nomes les notes)-

4er ordre les notes serien- Do$ .e$ Ei$ 0a$ 7ol$ !a$ 7i i ara una octa"a

amunt- Do$ .e$ Ei$ 0a$ 7ol$ !a$ 7i i encara una octa"a ms amunt- Do

Hi a ms octa"es per sobre i per sota aquesta$ per3 per aquest treball

noms utilit2arem notes dins aquest registre

).#*"lo$ $+tm!c

Cada nota de una partitura t un "alor r*tmic$ o sigui una durada ra

"eurem una imatge on se%pliquen aquests "alors

Cada figura t un equi"alent amb silenci$ o sigui$ un silenci que dura igual

que aquesta figura per3 que e"identment on no sona cap nota


11/79


11

Illustraci 3.1 Representaci dels valors de les figures i els seus respectius silencis

,ot i que i a figures amb "alor ms petit que la semicor%era$ en aquest

treball no els utilit2arem i tampoc s'n massa abituals a les peces musicals

+l nmero a on posa /"alor9 s'n els temps que dura la figura$ i cada temps

ser ms rpid o ms lent segons el tempo de la pe&a que com em

e%plicat a lapartat anterior sens indica al principi de la pe&a$ amb un nom

(largo$ adagio$ andante$ moderato$ allegro$ presto) o tamb amb un

nmero que ens indica quants de temps (pulsacions) i a a cada minut

4er fer un petit resum dels ritmes$ a la imatge seg>ent "eurem les

equi"alncies de cada figura-

Illustraci 3.2- Equivalencies de les figures

Cada fila de figures diferents$ si sumes els "alors de totes les figures "aldr

quatre 4er e%emple una rodona equi"aldr a set2e semicor%eres


12/79


12

,ot i que ara les "eiem ai%*$ les cor%eres solen agruparent forma-


13/79


13

4.(IT,GORES I LA MSICA'scolta, ser!s sa(i) el comen%ament de la sa(iesa s el silenci.

4itgores (fil3sof i matemtic grec)

Dedico un dels primers cap*tols daquest treball per parlar de la primera

persona que "a relacionar la msica amb les matemtiques i e%plicar com

o "a fer

-.1

(!t'o$e de S"mo

4itgores de 7amos (ca F@G a C < ca IF a C)

"a ser un fil3sof i matemtic grec considerat el

primer matemtic pur Ja contribuir de manera

significati"a en l?a"an& de la matemtica elBlnica$

la geometria i l?aritmtica$ deri"ades

particularment de les relacions numriques$ i

aplicades per e%emple a la teoria de pesos i

mesures$ a la teoria de la msica o l?astronomia

s el fundador de la #ermandat 4itag3rica$ una societat que$ si b era de

naturalesa predominantment religiosa$ s?interessa"a tamb en medicina$

cosmologia$ filosofia$ tica i pol*tica$ entre d?altres disciplines +l pitagorisme

formular principis que "an influir tant en 4lat' com en rist3til i$ de manera

ms general$ en el posterior desen"olupament de la matemtica i en la

filosofia racional a Kccident

-.#

L" m!c" (!t"'/$!c"

4itgores estudi$ segurament per primera "egada a la ist3ria$ les lleis

quantitati"es de lacstica i fou el primer en trobar una correlaci' entre els

sons consonants o arm3nics (s a dir$ aquells la manifestaci' simultnia

dels quals origina una sensaci' agradable per a loLda- el to$ locta"a$ la

quinta i la quarta) i els nmeros$ inaugurant una teoria matemtica de la

Illustraci 4.1 Pitgores de

!a"os


14/79


14

msica Msicament$ 4itgores pos de manifest de forma e%perimental dos

fets-

N +l so produLt per la pulsaci' duna corda depn de la longitud de la

matei%a

N +ls sons arm3nics soriginen per cordes igualment tenses les longituds de

les quals es disposen segons certes raons entre nombres enters

-.)Le p$opo$c!on de l&ec"l" m0!c"l

,ot i que no se sap si es certa o no$ per e%plicar com 4itgores "a trobar les

proporcions dins lescala musical$ se%plica la seg>ent ist3ria que es pot

trobar$ entre altres llocs$ a el llibre 'l ltimo cat*n de Eatlide sensi-

Dacord amb la tradici'$ 4itgores pass un dia$ per q>esti' dat2ar$ da"ant

duna ferreteria on uns ferrers colpeja"en lenclusa .est imm3bil escoltant

el so cadenci's dels martells$ obser"ant que el to melodi's de tres dells era

alterat per la dissonncia dun quart 7orprs da"ant aquest fenomen$

deman els martells en prstec per a realit2ar una e%perincia cient*fica$ la

primera de la que sen te constncia 4es cuidadosament els martells i els

penj de quatre cordes de manera que en quedar tirants tinguessin la

matei%a longitud 0ent "ibrar les cordes apreci que els sons que emetien

eren els matei%os que els dels martells en colpejar lenclusa fegint un tros

de fang al martell que produLa la dissonncia$ pos la nota emesa per la

corda corresponent en armonia amb les altres Com conei%ia els pesos dels

martells (que eren proporcionals a OP$ I$ @ i Q) "a deduir la llei aritmtica

que regei% els inter"als musicals- el martell el pes del qual era OP produLa elto$ el de pes I la quarta$ el de pes @ la quinta$ i el de pes Q locta"a$

establint la proporci' OPRIS@RQ


15/79


1&

Illustraci 4.2 Pitgores i la #istoria dels "artells i les cordes

Com a bon cient*fic e%perimental$ 4itgores "a repetir le%perincia

emprant$ en comptes de cordes digual longitud i peses diferents$ peses

iguals per a tensar cordes de diferent longitud$ i obser" que les que

dona"en el to$ la quarta$ la quinta i la octa"a$ tenien longituds proporcionals

a OP$ I$ @ i Q 5$ donat que les raons entre els nmeros OP$ I$ @ i Q$ s'n

iguals a les que e%istei%en entre O$ TR$PRT i ORP$ que s'n les ms sen2illes

que es poden formar amb els nmeros de la tetract+s (O$ P$ T i )$

4itgores dedu* que aquesta es /font de la naturalesa eterna9 Com en tants

altres aspectes pitag3rics$ els nmeros de la tetract+seren la pedra angular

de larmonia musical i%* doncs$ em de "eure a 4itgores com al

descobridor de lescala musical De fet$ en tota combinaci' arm3nica leslongituds relati"es de les cordes polsades es troben en una ra' de nombres

enters$ que es sintetit2a en lesquema seg>ent$ anomenat sistema de

4itgores-

Do .e Ei 0a 7ol !a 7i Do

O IR@ @ORQ RT TRP PUROQ PTROP@ P

$aula 4.1 Raons proporcionals de les cordes i les notes

-.-L" m!c" de le ee$e

Desprs d?a"er presentat els inter"als al seus companys$ aquests "an

pensar que les distancies entre planeta i planeta tenien les matei%es

proporcions que i a"ia en els sons de l?escala musical- cada planeta

1!a ,etra8tys s una figura triangular que consistei% en deu punts ordenats en quatre files$ amb un$

dos$ tres i quatre punts en cada fila Com a s*mbol m*stic$ "a ser molt important per als seguidors delspitag3rics


16/79


1)

corresponia a una esfera que al fer el seu mo"iment produLa un so similar al

que fa un projectil en l?aire Jan establir la relaci' de que el so de les

esferes ms llunyanes era agut$ mentre que les ms properes$ greu ,ot

aquest conjunt de sons formen la msica de les esferes

Illustraci 1.3 %iagra"a de la "&sica de les esferes

4.4.1

Comprovaci de la teoria

!a msica de les esferes a apassionat sempre als estudiosos de l1ni"ers

Des dels pitag3rics$ passant per 6epler$ +instein o ;e:ton (que es llan&aren

a la cerca dun principi arm3nic del cosmos) fins als nostres dies

,ant s ai%* que$ en aquesta l*nia din"estigaci' i cerca de larmonia

uni"ersal$ el OII@ la ;7 en"i un satlBlit a lespai$ el ,ransition .egion

and Coronal +%plorer (,.C+)$ lobjectiu del qual era estudiar la turbulenta

atmosfera superior del 7ol (o corona solar)$ en la que es desencadenen

di"erses tempestes i protuberncies

#rcies a aquesta eina cosmol3gica$ els cient*fics del 7out:est .esearc

5nstitute (7:.5) de 7an ntonio (,e%as)$ "an descobrir (segons un

comunicat de desembre de PGG adjunt a lnne% 5 pgina i


17/79


1+

i la tradici' cient*fica posterior$ degut a que est plena dultrasons en forma

dones

,al i com se%plica en el comunicat$ sembla ser que la tradicional msica de

les esferes consistei% en realitat en un ultras3 solar que interpreta unapartitura formada$ segons el satlBlit de la ;7$ per ones TGG "egades ms

profundes que el so de les ms profundes "ibracions audibles per a loLda

umana$ amb una freq>ncia de OGGGGG H2 en per*odes de OG segons

questes ones ultras3niques es produei%en o b pel %oc sobtat de flu%os

electromagnticament induLts en la superf*cie solar$ o b pel %oc de

determinades ones de bai%a freq>ncia sonora$ quan aquestes sai%equen

com les ones del mar des de la superf*cie solar

mbdues raons podrien e%plicar$ a ms del so de la msica de les esferes$

un altre misteri del nostre 7ol- la font de calor e%tra amb qu conta aquesta

estrella en la se"a superf*cie


18/79


1'

5.M"temt!20e en el o. ONES I ACSTICALa msica s la (oluptuositat de la imaginaci*.

+ugne Delacroi% (4intor francs)

+n aquest apartat "eurem una relaci' molt directe entre les matemtiques i

la f*sica amb el so musical

3.1

L" on" ono$"

1na ona sonora s una ona longitudinal que transmet el que s?associa amb

so 7i es propaga en un medi elstic i continu genera una "ariaci' local de

pressi' o densitat$ que es transmet en forma d?ona esfrica peri3dica

Eecnicament les ones sonores s'n un tipus d?ona elstica

!es "ariacions de pressi'$ umitat o temperatura del medi$ produei%en el

despla&ament de les molcules que el formen Cada molcula transmet la

"ibraci' a les que es trobin en el seu "oltant$ pro"ocant un mo"iment en

cadena questa propagaci' del mo"iment de les molcules del medi$

produei%en en l?oLda um una sensaci' descrita com so

5.1.1

Mode de propagaci

4er propagar necessiten un medi material (aire$ aigua$ cos s3lid) que

transmeti la pertorbaci' ("iatja molt rpid en els s3lids$ ms lent en els

l*quids$ encara ms lent en l?aire i en el buit no es propaga) s el propi

mitj el que produei% i propicia la propagaci' d?aquestes ones amb la se"a

compressi' i e%pansi' 4erqu pugui comprimir


19/79


19

Kn ps la pressi' en 4ascals$ el despla&ament de la ona en metres$ cla

"elocitat del so en metresRsegon i tel temps en segons

Illustraci '.1 %irecci de propagaci de una ona

5.1.2

La freqncia

!a freq>ncia s el nmero d?oscilBlacions que una ona efectua en

determinat inter"al de temps +l nombre de cicles per segon

s?anomena Hert2 (H2)$ i s la unitat amb la qual es mesura la freq>ncia

Des del punt de "ista musical$ la freq>ncia es relaciona amb l?altura o to de

la nota musical a qu correspon Com ms gran s la freq>ncia$ ms alt s

el to d?una nota musical +l so s ms agut

+ls umans som sensibles a les "ibracions amb freq>ncia compresa entre

OQ H2 i PGGGG H2 4er sota de OQ H2 s?anomenen infrasons i per sobre$

ultrasons +l marge auditiu de les persones "aria segons l?edat i d?altres

factors +ls animals tenen un marge auditiu diferent$ ai%*$ s ben conegut el

fet que els gossos poden sentir freq>ncies molt ms altes$ dins del marge

dels ultrasons

!es notes produLdes pel teclat d?un piano tenen un rang de freq>ncia de PU

a T@G H2$ distribuLts en U octa"es

cada nota musical$ li correspon una freq>ncia determinada !?afinaci'

actual dels instruments es fa a partir de la nota base !$ a la qual

correspon una freq>ncia de GGG H2


20/79

Les matemtiques de la msi

ra$ en el seg>ent qua

mitjan&ant un teclat c

freq>ncia de les notes

Nota C!re"#ncia($%)

PQOQT

i%* dons com em co

s la nota$ ms alta e%ponencial$ es a dir$

freq>ncia que les sepa

5.1.3L'amplitud

!?amplitud s el grau

questa correspon$ en

Com ms gran s l?a

molcules al timp i m

!?amplitud m*nima per

llindar d?audici' =ua

produei% molsties al ti

ca

re es "euen reflectits els resultats du

nnectat a un afinador estndard on

de la quarta octa"a de un teclat

D + 0 # PITQQ TPIQT TIPT TIPGG

$aula '.1 (req)*ncies de la quarta octava

entat abans podem compro"ar que c

s la freq>ncia i a ms a ms augmcom mes agudes son les notes$

ra

Illustraci '.2 (req)*ncia d+una ona

de mo"iment de les molcules d?air

termes musicals$ a all3 que anome

mplitud de l?ona$ ms intensament

s fort s el so percebut

u un so sigui percebut per una pers

n l?amplitud augmenta$ arriba un

p$ a ai%3 se l?anomena llindar del do

reball de recerca

20

a petita pro"a

es calcula la

MGGG IT@@

m ms aguda

nta de formas alta s la

en una ona

em intensitat

colpegen les

na s?anomena

moment que

lor


21/79


21

Illustraci '.3 ,"plitud d+una ona

5.1.4

La forma d'ona

!a forma d?ona s la caracter*stica que ens permetr distingir una nota de la

matei%a freq>ncia i intensitat produLda per instruments diferents !a forma

d?ona "e determinada pels arm3nics (+n el cas dels instruments de corda$

cada corda produei% arm3nics diferents)

;ormalment$ en fer "ibrar un cos$ no obtenim un so pur$ sin' un so

compost de sons de diferents freq>ncies ai%3 s?anomenen arm3nics !a

freq>ncia dels arm3nics$ sempre s un mltiple de la freq>ncia ms

bai%a anomenada freq>ncia fonamental o primer arm3nic mesura que

les freq>ncies s'n ms altes$ els segments en "ibraci' son ms curts i els

tons musicals estan ms pr3%ims els uns dels altres +ls arm3nics dons$

fan que els diferents sons siguin ms rics per la orella

Illustraci '.4 ar"nics de les quatre cordes d+un /ai0


22/79


22

+n conclusi'$ noms obser"ant el grfic duna ona sonora podem saber- de

quina nota es tracta i en quina octa"a es situa (obser"ant la freq>ncia)$ la

intensitat de aquesta nota (obser"ant la amplitud) i quin instrument es

tracta (obser"ant els arm3nics reflectits a la forma de la ona)

3.#Act!c"

s la branca f*sica que estudia la producci'$ la transmissi' i la recepcions

dels sons mb aquesta cincia podem quantificar l?energia$ la "ariaci' en el

temps$ la freq>ncia del so i la se"a localit2aci'

firmem que tot el que "ibra sona$ ja que tot all3 que "ibra pro"oca unaoscilBlaci' de pressi' en l?aire =uan aquestes "ibracions es troben "iatjant

per l?espai afecten a les molcules de l?aire i generen petites regions d?aire

on la pressi' s menoraquestes 2ones s?anomenen rarefaccions !es 2ones

on s major la pressi' reben el nom de compressions =uan el so troba un

obstacle$ com ara un timp$ aquest "ibra garantint les matei%es

caracter*stiques del patr' d?ona ems en un principi per la font que "a

emetre el so 1n cop el so s percebut per l?oLda el sistema auditiu

s?encarrega de processar


23/79


23

6.MATEM,TI4UES A LA (ARTITURA-o nhi ha prou en escoltar la msica) sha de (eure

5gor 7tra"ins8y (compositor i director dorquestra rus)

Va em analit2at la part matemtica que trobem a la msica al sentir


24/79


24

Illustraci .1 Estructura d+una sonata

5.#

T$"no$m"c!on 'eom6t$!20e de l" melod!"

7'n donades quan una part de la melodia es repetei% per3 can"iant de

posici' o de forma 7'n molt i molt utilit2ades ja que crea melodies

repetiti"es per tant fcils descoltar i agradables per la nostra orella$ per3 a

ms a ms les can"ia lo suficient perqu les trobem interessants i no massa

repetiti"es

;i a de dos tipus- 5sometries o mo"iments i omotcies

.2.1

!"ometrie"

!a se"a funci' s despla&ar la melodia$ segons el tipus de isometria la

despla&ar de una manera o altre ;i a T tipus-


25/79


2&

4er e%emple-

Illustraci .2 - $ranslaci

Com "eiem en el grfic$ els dos "ectors representats tenen el matei%

m3dul$ la matei% direcci' i el matei% sentit !a diferncia est en que

el primer "ector comen&a en el punt (G$G) i el segon "ector en el punt

($O)

ra per aplicar


26/79


2)

transforma cada punt 4 en un altre punt 4? de manera que lei% de

simetria s la mediatriu del segment 44? Correspon a un gir de

SO@GY de cadascun dels punts que formen la figura

4er e%emple-

Illustraci .3 !i"etria a0ial o refle0i

Com podem "eure en el grfic$ el primer "ector a patit una refle%i'

ai%* que la y inicial del primer "ector passa a ser al y final del segon i

la y final del primer "ector passa a ser la y inicial del segon "ector

4er aplicar


27/79


2+

ms algunes "egades trobem una translaci' i una refle%i' a la

"egada tot i que s menys abitual

4er e%emple-

Com podem "eure al segon comps sa fet una refle%i' i una

translaci'$ ja que la melodia fa e%actament el matei% per3 de forma

descendent i a ms a estat traslladada una octa"a amunt


28/79


2'

+n msica seria e%actament el matei%- la primera part de la melodia

faria un gir sobre un centre imaginari per formar una segona part

questa isometria s la que pro"oca un can"i ms gran a la melodia

4er e%emple-

+l centre de gir seria el puntet "ermell que i a a la tercera l*nea del

pentagrama entre la primera part de la melodia (primeres tres notes)

i la segona (seg>ents tres notes) +st colBlocat daquesta maneraperqu s la meitat de la distncia entre la primera nota de la

primera part de la melodia i la primera nota de la segona part de la

melodia Com podem obser"ar la melodia a fet un gir i per tant a la

segona part$ on a la primera les notes esta"en situades de forma

crei%ent ara o estant en forma decrei%ent i "ice"ersa

.2.2

#omotcie"

7'n transformacions que conser"en la forma per3 no les dimensions +s

necessita una ra' per tal de fer lomotcia$ i un punt des del qual es fa

4er e%emple-

Illustraci .' - o"ot*cia


29/79


29

Com podem "eure en el grfic$ el segon "ector conser"a la forma respecte

el primer "ector respecte el punt C per3 el segon "ector s ms petit que el

primer

,raduintents) per3 el doble de rpid

perqu les cor%eres passen a ser semicor%eres


30/79


30

7.AN,LISI D&EXEM(LES 7IST8RICS DE

O9RES AM9 CONTINGUT MATEM,TIC

'ls msics s*n totalment irracionals. empre (olen que un sigui totalment

mut en el prec&s moment que un desit/a ser completament sord

Kscar Zilde (dramaturg i no"elBlista irlands)

:.1Mo;"$t ! el


31/79


31

+l joc comen&a llan&ant dos daus$ de manera que tenim OO nmeros

possibles (del P al OP) !es %ifres romanes sobre les columnes indiquen els

compassos del "als que com que tindr dos parts "a de O a @ dues "egades

4er cada tirada sa"an&a una columna

4er e%emple si estic per la columna nmero F de la primera part i el resultat

dels daus s un I$ el comps nmero cinc del meu "als aur de ser el

nmero OG dels compassos que "a escriure Eo2art

4er mostrar lefecti"itat daquest mtode jo matei% composar una pe&a

utilit2ant el mtode del joc de daus de Eo2art

la seg>ent taula i figuren els resultats de les me"es tirades-

Primera part (compassos O


32/79


32

questa obra de Eo2art permet compondre un total de OOOQ"alsos diferents

que si tenen una mitjana de durada de TG segons dons es tardarien uns UGG

anys per escoltar


33/79


33

:.#("c=el%el ! el cnon en Re M">o$

Voann Cristop 4acelbel (;uremberg$ 7acre 5mperi$ O de setembre OQFT

< 5b*dem$ T mar& OUGQ)$ "a ser un destacat compositor$ cla"ecinista i

organista alemany del per*ode barroc +s compta entre els ms importantsmsics de la generaci' anterior a Voann 7ebastian Mac ms de

compondre una gran quantitat d?obres sacres i seculars$ "a contribuir al

desen"olupament del preludi de coral i fuga$ el que li "a guanyar un lloc

entre els compositors ms importants de l?era barroca

$.2.1C(non en )e Ma*or

s la pe&a ms coneguda de 4acelbel i una de les ms famoses de

la msica barroca +scrita al OQ@G$ des de la se"a composici' se n?an fet

una gran "arietat d?arranjaments per a tot tipus d?instruments i agrupacions

musicals tot i que la se"a forma original s per a tres "iolins (que

interpreten la melodia) i un "ioloncel (que interpreta el bai% continu)

4odeu trobar la partitura en q>esti' a lnne% 555$ pgina i


34/79


34

quests quatre compassos s'n el Tr$ t$ F i Q del primer "iol* Com

podem "eure clarament la melodia fa e%actament el matei% entre els

primers dos compassos i els dos seg>ents (amb la diferncia de la

ltima nota que can"ia per ajudar la continuLtat de la melodia) per3

amb una segona descendent de diferncia


35/79


3&

Com podem obser"ar en el seg>ent quadre-

P*MEE +

N,TE

M,-*MENT EG,NE +

N,TE

M,-*MENT

Oa(Do)


36/79


3)

questa simple f'rmula musical sobre la qual "a ser composada aquesta

pe&a musical a ser"it de motlle per crear moltes i moltes can&ons dels

ltims anys que utilit2en el matei% bai% i per tant la matei%a estructura

arm3nica o una estructura molt similar que deri"a daquesta matei%a

questa s una llista dalguns dels e%emples de can&ons actuals de grups i

cantants molt coneguts internacionalment que fan ser"ir aquesta estructura

o una de molt similar (per ferents can&ons que podeu trobar a lar%iu digitalit2at de lanne%)-


37/79


3+

pop


38/79


3'

en moltes de Eo2art) no "ol dir que el compositor tingui conei%ement de la

se"a e%istncia$ si no que arribar a ella o acostar


39/79


39

analit2ar la can&'0ust 1i(e 2e a 3eason de 4in8 (4odeu trobar la partitura

de la can&' a lnne% 5J$ pgina ients punts-


40/79


40

segons) multiplicat per G$QO@ S OFG$OU segons$ passat a minuts s'n

P$F minuts 7i busquem el cl*ma% de la can&' trobem que comen&a

als P PP per tant als P TG (P$F minuts) ja i esta completament

questa f'rmula es pot aplicar tamb a moltes altres can&ons

actuals

] !es reproduccions de totes les can&ons analit2ades es troben al directori anne%^mpT del cd

adjunt

:.-

9l" 9"$t?B ! le O%$e d&O$

Mla Mart'8 (Hongria O@@O < ;o"a or8$ OIF) "a ser un compositor$

pianista i in"estigador de msica fol8l3rica d?+uropa de l?+st Mart'8 "a ser

un dels fundadors del camp de l?etnomusicologia$ l?estudi de la msica

fol8l3rica i la msica de cultures no occidentals

bans em parlat de compositors (Meeto"en$ Eo2art$ Mac$ etc) que

a"ien utilit2at la proporci' [urea en les di"erses de les se"es peces$ per3

sens dubte cap no o "a fer amb tanta conscincia ni amb tan

aprofundiment com Mart'8 +"identment sa dobser"ar que Mart'8 smolt ms contemporani cosa que li dona molta a"antatge respecte els altres

compositors esmentats que "an ser molt anteriors a ell

Com e dit abans moltes obres de l?ongars tenen amagades relacions

amb la di"ina proporci' i amb 0ibonacci$ per aquesta ra' m?a semblat

oport dedicar


41/79


41

o sigui totes les tecles del piano) 4er e%plicar


42/79


42

$.4.2

Cercle tonal de art

Mart'8 "a crear un simple cercle que

permetia al compositor saber en tot

moment quina era la t3nica (Oa nota delescala)$ la dominant (Fa nota de

lescala) i la subdominant (a nota de

lescala) 4er fer


43/79


43

8.COM(OSICI4ompondre no s di"&cil, el que s complicat s deixar caure sota la taula

les notes supr"lues

Voannes Mrams (compositor alemany)

rribats a aquest punt del treball$ s la ora de intentar plasmar tots els

conei%ements apresos durant la realit2aci' daquest a una composici'

pr3pia

Degut a la me"a e%perincia com a trompetista i les nombroses "egades

que e tocat en conjunts de "ent metall (els instruments bsics de "ent

metall s'n- trompeta$ trompa$ tromb'$ bombard* i tuba)$ e decidit fer unapetita obra per a un trio de "ent metall compost per una trompeta en 7i

bemoll$ una trompa en 0a i un tromb' en Do (7i bemoll 0a i Do s'n els tons

en que estan afinats per defecte la trompeta la trompa i el tromb')

!a obra interpretada en el seu tempo original t una duraci' de dos minuts i

"int segons i aquest tempo s de negraSIQ (o sigui IQ pulsacions cada

minut) !a suma de el tempo de lobra amb la distribuci' arm3nica

daquesta donen una sensaci' de majestuositat s per ai%3 que li e donata la pe&a el nom de Parabellum 0ruit de le%pressi' llatina i (is pacem,

para ellum que significa /7i "ols la pau$ prepara la guerra9

+ls conceptes matemtics (e%plicats detalladament ms enda"ant) que i

e representat s'n-


44/79


44


45/79


4&


46/79


4)


47/79


4+


48/79


4'

] !a reproducci' daquesta pe&a es troba al directori anne%^mpT del cd adjunt


49/79


49

.1Anl!! de l" compo!c!?

i%* doncs$ analit2ar detalladament els aspectes esmentats anteriorment

4er tant$ en primer lloc comen&ar per estudiar el primer que e fet a lora

de composar la pe&a- el bai% i lestructura arm3nica

Com que "olia escollir una estructura 7armOnicano massa complicada i

agradable per la oLda$ e optat per agafar una de les estructures que

deri"en de lestructura del cnon de 4acelbel !a estructura s la seg>ent

5

de manera seguida al llarg de la pe&a e%cepte en algun lloc puntual que no

o far perqu passa a tenir una altra funci'

1n cop e tingut el bai% i la estructura arm3nica$ e pensat en fer una

estructura de la pe'aen que passin coses importants en el els nombresde comps de la srie de 0ibonacci que com a"*em "ist anteriorment$

molts artistes com 4in8 a la can&' de0ust gi(e me a reason(analit2ada en

el punt UTT) utilit2en perqu crea estructures c3modes i que no ens

semblen gents entranyes a lora descoltar


50/79


&0

els nombres de 0ibonacci tenen importncia com s el cas del comps OT i

PO que els dos s'n inici de frases importants de la pe&a 4er3 el lloc on

tenen ms importncia els nombres de 0ibonacci s al cl*ma% de lobra (lloc

on la pe&a t ms for&a que$ en aquest cas$ consta de tres compassos

introductoris seguits del cl*ma% en si) ja que comen&a al comps T

(nombre de 0ibonacci) ms$ com em "ist en el punt UTT$ el lloc ms

adequat per el cl*ma% s el resultat de multiplicar el nombre total de

compassos per el nombre pi (GQO@) 4er tant si fem FF % GQO@ ens d'na

un resultat de T ai%* que podem dir que el cl*ma% comen&a al lloc ms

adequat de la pe&a

Va tenint lestructura de la pe&a$ lestructura arm3nica i el bai%$ noms

queda anar completant$ seguint les normes de larmonia i la intenci' de

lautor (en aquest cas jo matei%)$ les dues "eus ms mel3diques (trompeta i

trompa) 4er3 com que el meu objectiu s introduir


51/79


&1

cl*ma%)$ i finalment ja al punt m%im del cl*ma% del comps TU al G$

podem "eure com les tres "eus realit2en aquesta escala repetidament a

lun*son portantents tres compassos

ja que la melodia fa la matei%a forma per3 passa per tons diferents

Desprs i a les releions o simetries aials$ per e%emple-

!a melodia comen&a en un do$ arriba al la passant per tots els tons i torna

al do passant per tots els tons

,amb trobem els girs$ per e%emple-

!es tres primeres notes fan el matei% mo"iment que les tres segones per3

in"ertit


52/79


&2

0inalment trobem les 7omotcies$ per e%emple-

+ls dos grups de quatre notes fan un mo"iment arm3nicament igual$ per3

el "alor r*tmic del primer grup s el doble que el del segon$ per tant si el

primer grup dura dues pulsacions el segon noms en dura una

1n cop ja tinc tots els elements que "ol*em introduir dins la partitura i

completada$ seguint les normes de larmonia e fet una cadncia final amb

els graus 5J


53/79


&3

9.CONCLUSIONSi no "os per la msica, hi hauria raons per tornar5se oig

4iotr 5llit% ,%ai8o"s8i (compositor rus)

Desprs de un any$ quan "aig comen&ar a realit2ar tots els apartats

daquest treball e arribat a les seg>ents conclusions-


54/79


&4

que no tinc massa abilitat per composar$ a resultat un gran esfor&

per3 tamb una gran recompensa

Comparant el treball ara amb com la"ia enfocat al principi amb els

objectius daquest$ podem "eure que i a objectius com el de identificarels aspectes matemtics que influei%en a la msica$ el de analit2ar obres

que contenen elements matemtics o el de composar una pe&a pr3pia$ que

s* que san mantingut de principi a fi i san con"ertit en la base daquest

treball ,ot i ai%* a mesura que ana"a a"an&ant en el treball "aig fer petits

can"is denfocament del treball i$ per ai%3$ i a altres objectius com el de

fer un estudi del so o analit2ar les condicions /ambientals9 que afa"orei%en

el so$ que e dei%at de banda Vo crec que a sigut la decisi' correcte

perqu grcies ai%3 me pogut centrar en elements mes espec*fics i amb

un sol sentit global

,ot i les dificultats que e trobat a lora de composar i analit2ar perqu s'n

coses que requerei%en molt de temps i concentraci'$ crec que el mes dif*cil

del treball a sigut un cop tenia les idees del que a"ia creat o analit2at$

saber


55/79


&&

10.AGRAMENTS+n primer lloc "ull donar les grcies a en Dani #allostra i Eontells$ professor

de trompeta del conser"atori de #irona i a en Eiquel 7unyer i Mo"er

professor i cap de departament de llenguatge musical$ armonia i

assignatures te3riques del conser"atori de #irona per lajuda que man

donat en alguns aspectes musicals concrets i per tots els conei%ements de

msica que man proporcionat

,amb "ull donar les grcies al meu tutor del treball Eanel Mec

primerament per ajudar


56/79


&)

11. 9I9LIOGRA@IA

!libres-

7+;75$ Eatilde 'l ltimo cat*n.+spanya- 4laneta4K;7+,h$ 1ltano6prendre a escriure msica am 7inale.71;+.$ Eiquel6n!lisi i "ormes 8 curs de grau pro"essional71;+.$ Eiquel 9armonia 8 curs de grau pro"esional.

Zebgrafia-ttp;


57/79


&+

ANNEXOS


58/79


iC1

+66%7 !


59/79


iC2


60/79


iC3


61/79


62/79


iC&


63/79


iC)


64/79


iC+


65/79


iC'


66/79


iC9


67/79


iC10


68/79


iC11

+66%7 !!!


69/79


iC12


70/79


iC13


71/79


iC14


72/79


iC1&


73/79


iC1)


74/79


iC1+


75/79


iC1'


76/79


iC19

+66%7 !8


77/79


iC20


78/79


iC21


79/79


Documents

Les matemàtiques de la física