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Anhanguera Educacional
Ciência da Computação
Matemática III
Relatórios 3
Aplicações de Integrais Deinidas
!"ME#$
Eurico %u&s Raimundo RA$ '())'*+*,,
-ean .illians %opes !ascimento RA$ /0'''3,)(1
.alter Caio Rocha da #il2a RA$ ))'''111,0
Andr %u&s #oares da #il2a RA$ '())*'*0(+
Cristian 4oeth 5erreira RA$ /,/)3*//1/
A!6A!47ERA ED7CACI"!A%
(*'1
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2
Anhanguera Educacional
Ciência da Computação
Matemática III
Relatórios 3
Aplicações de Integrais Deinidas
8ra9alho desen2ol2ido para adisciplina Matemática III: apresentado
; Anhanguera Educacional como
e<igência para a a2aliação: so9
orientação do =a> tutor =a> =Margarida>?
A!6A!47ERA ED7CACI"!A%
(*'1
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3
#umárioIntrodução......................................................................................................4
'? Integrais Deinidas.....................................................................................5
'?' Calculo de áreas de duas cur2as..............................................................5
'?( E<emplo com aplicação$.......................................................................6
(? Desaios...................................................................................................7
(?' Conclusão$.............................................................................................8
(?( Associação$............................................................................................8
(?3 Resolução do Desaio @ no sotare #Bm9ola9$........................................10
3? Aplicações de Cálculo de rea na Computação...........................................15
RE5ERE!CIA..............................................................................................17
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4
Introdução
" cálculo integral e dierencial uma parte importante da matemática: 2isto ue omesmo lida com o pro9lema de determinar uma unção a partir de inormações a
respeito de suas ta<as de 2ariações e acumula de uantidades como tal como aárea so9 uma cur2a ou o 2olume de um sólido?
" presente tra9alho a9ordará o cálculo de integrais e aplicações em área?8am9m a9orda aplicações em Ciência da Computação e<empliicando sotarecomo 4eoge9ra: 4raphmatica etc?
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5
1. Integrais Definidas
1.1 Calculo de áreas de duas curvas
%e2amos em conta ue e g são unções em um inter2alo a: 9F no ual$
f(x) >= g(x) para a<=x <=b
GodeHse encontrar a área A da região demarcada por B =<> e a9ai<o de B
g=<>: tam9m nas retas de <a e <9?
5igura '
5onte$ 6oard Anton Calculo I
Godemos resol2er tal uestão: aJendo uma su9di2isão de inter2alos entre a:
9? !esse caso a e 9 seria di2idido em n inter2alos? A largura a KHsima corresponde
a x!" logo a área da ai<a pode ser associada =apro<imada> a área do retLngulo
com largura e altura idênticas =<K> N g=<K>: onde <K corresponde a ualuer ponto
do KHsimo su9inter2alo?
5igura (
5onte$ 6oard Anton Calculo I
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6
" pró<imo passo e<ecutar a soma de Riemann para apro<imar a área de A
representado por$
#e consideramos o limite em ue n cresce e os su9inter2alos propender a *:
logo então teremos a seguinte órmula de área$
%ogo$
1.# $xe%&lo co% a&licação'
Encontre a área limitada acima por B <O, e a9ai<o por B <P e nas laterais
por <* e <(?
5igura 3
5onte$ 6oard Anton Calculo I
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7
!esse caso =<> <O, e g=<> <P?
%ogo$
x ²
2
[ ( x+6)− x2 ]dx [¿+6 x−
x3
3 ]=∫
0
2
34
3 −0=
34
3
A=∫0
2
¿
#. Desafios5igura 0
5onte$ Ciência da Computação H 0Q #rie H Matemática III
Resolução =<>$
B1=∫0
1
x dx= x ²
2 =
1
2
B2=∫1
21
x dx=ln x∨∫
1
2
¿ ln 2
B3=∫0
2 x
4 dx=
1
4∗ x
2
2 ∨∫
0
2
¿ 1
8∗4=
1
2
S 1=B=1
2+ ln2−
1
2= ln 2
Resolução g=<>$
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8
∫1
4
4
x dx=4 ln x∨∫
1
4
¿ 4 ( ln 4−ln1 )=4ln4
S 2=B=4∗4+4ln4=16+16 ln 4u . a
#.1 Conclusão'
5onte$ Ciência da Computação H 0Q #rie H Matemática III#.# ssociação'
5onte$ Ciência da Computação H 0Q #rie H Matemática III
5igura 1
Fonte$ Ciência da Computação H 0Q #rie H Matemática III
Resolução$
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9
B=2π ∫a
b
f ( x)√ 1+ f ´ ( x )¿2 dx
B=2π ∫1 /4
4
4 √ x∗√1+2 x−1
2 ¿ ²
B=2π ∫1 /4
4
4 √ x∗√1+(
2
1 x
2 )²dx
B=2π
∫14
4
4√ x∗
√
x+4
x dx
B=2π ∗4∫1
4
4
√ x+4dx
x+4¿1
2
¿
¿B=8 π ∫
1/4
4
¿
x+4¿1
5
¿¿
B=8 π ∗¿
5ormula$ 5=9>H5=a>
4+4 ¿1
5
¿1
4+4¿
1
5
¿
(¿ 1
5¿)
¿¿
B=8 π ¿
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10
B=8 π ( 8
1
5 )
1
5−(4,25
1
5 )
1
5
Resposta$ A = 8* 3,14 (15,08 – 5,84) = 232
5onte$ Ciência da Computação H 0Q #rie H Matemática III
#. esolução do Desafio * no soft+are ,-%bolab'
5igura ,
5onte$ ?sBm9ola9?com
5igura +
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11
5onte$ ?sBm9ola9?com
5igura /
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5onte$ ?sBm9ola9?com
5igura )
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5onte$ ?sBm9ola9?com
5igura '*
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5onte$ ?sBm9ola9?com
5igura ''
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5onte$ ?sBm9ola9?com
5igura '(
5onte$ ?sBm9ola9?com
. &licaçes de Cálculo de /rea na Co%&utação
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Godemos aplicar o cálculo de áreas por integrais na parte de sotare? Gor
e<emplo: podemos citar o 4eoge9ra ue oi um proeto desen2ol2ido MarKus
6ohenarter com intuito de se aJer o uso do mesmo em sala de aula? "utro
importante tam9m o .olram ue se trata de um mecanismo de conhecimento
computacional desen2ol2ido por #tephen .olram? #e trata de um ser2iço online no
ual atra2s de um mecanismo de 9usca: consegue se achar a resposta
diretamente? "utro de grande renome o 4raphmatica ue um gerador de
gráicos de unções de uma 2ariá2el em di2ersas ormas$ cartesiana: logar&tmica:
trigonomtrica e etc? Alm dos mais permite calcular deri2adas e integrais?
5igura '3 4eoge9ra
5onte?$?geoge9ra?org
5igura '0 .olram Alpha
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5onte$ ?olramalpha?com
$0$$CI
6746E#H6A%%E88: De9orah? Cálculo de uma Sariá2el? 3Q ed? Rio de -aneiro$ %8C H%i2ros 8cnicos e Cient&icos: (**0? A!8"!: 6oard? Cálculo$ 7m !o2o 6oriJonte? /Q ed? Gorto Alegre$ Artmed: (**+?
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?olram?com?sBm9ola9?com?geoge9ra?org