Resumao de Integrais Multiplas Do Responde Ai

7/24/2019 Resumao de Integrais Multiplas Do Responde Ai

1/12

- RESUMO -INTEGRAIS MLTIPLAS

(Clculo)Formulrio, Dicas e Macetes para a Prova

www.respondeai.com.br
https://www.respondeai.com.br/?utm_source=resumoes&utm_medium=pdf&utm_campaign=resumoes_integraismultiplashttps://www.respondeai.com.br/?utm_source=resumoes&utm_medium=pdf&utm_campaign=resumoes_integraismultiplashttps://www.respondeai.com.br/?utm_source=resumoes&utm_medium=pdf&utm_campaign=resumoes_integraismultiplas


2/12

1

Integrais Duplas

Da mesma forma que, nas integrais simples, somamos os valores de uma funo

()em comprimentos

, nas integrais duplas, fazemos o mesmo para funes

(, )em uma rea: =.O intervalo de integrao passa a ser uma regio (rea) de integrao. Aqui, usamos o

Teorema de Fubini. Sendo a regio de integrao um retngulo = [, ] [,]: (, ) = (, ) = (, )

Assim, calculamos separadamente as integrais em e . Se liga!! Comeamos sempreresolvendo a integral de dentro!

O teorema no serve s para regies retangulares, podemos us-lo para uma regio qualquer. A os limites de integrao de dentro vo ser funes e os de fora, nmeros.Para facilitar, separamos as regies em dois tipos: I ou II, vamos ver como elas so.

Regies do Tipo I Regies do Tipo II

Limitadas em por funes (em cima eembaixo temos curvas)

Limitades em por por nmeros (naesquerda e na direita temos retas verticais) Limitadas em por funes (na esquerda e

na direita temos curvas)

Limitades em por por nmeros (em cima eembaixo temos retas horizontais)

Temos () 2()e , na integral: (, ) ()()

Temos () 2()e , na integral: (, ) ()()


3/12

2

Percebeu que a primeira tinha e a segunda , n? Aqui vai o bizu...

Ok, mas e se a regio no se encaixa em nenhum desses dois tipos? A voc chora.

Mentira! Nesse caso, voc provavelmente vai ter que dividir sua regio em duas

partes! Como assim? D uma olhada na regio abaixo:

No d para escrever como tipo I nem II, n? Mas se a gente dividir a regio em duas

(em = ), podemos escrever cada uma das partes como tipo I: para 0 e0 ()e para 2 < e 0 2(). Beleza?

Hora do Bizu

O intervalo que funo sempre fica dentro e os

diferenciais devem estar na ordem dos intervalos!

Passo a passo

Mudana na ordem de integrao

1.

Ver que no d para integrar em , mas em fica mais fcil(ou vice-versa);2. Fazer um esboo da regio de integrao;3. Trocar o jeito de escrever a regio (tipo I vira II e vice-versa);

4. Reescrever a integral com os diferenciais invertidos e com os

novos intervalos;

5. Integrar!


4/12

3

Mudana de Variveis

Muitas vezes, a sada de uma questo de integral dupla mudar as variveis das

integrais, procurando deix-las mais fceis de calcular.

Para fazer uma mudana de variveis em integrais duplas, usamos essa frmula aqui:

(, ) =(,)|| Para isso, temos que calcular o Jacobiano da mudana, que vai ser

=(,)(,) =

=

Repare que o termo que acrescentamos integral o mdulo do Jacobiano,portanto, ||. Perceba tambm que, alm de reescrevermos a funo a ser integradanas novas variveis, tambm temos que achar a nova regio de integrao.

=

rea

Calculamos a rea de uma regio assim:

Hora do Biz

Fazemos mudana de variveis quando encontramos:

Termos repetidos na funo a ser integrada

Termos repetidos nas funes que limitam a regio de integrao

Termos complicados dentro de senos, cossenos, razes, etc.


5/12

4

Coordenadas Polares

Para escrever um ponto em coordenadas polares precisamos de duas informaes: sua

distncia at a origem, que chamamos de , e o ngulo que o segmento faz com oeixo . No desenho fica mais fcil entender:

A mudana que fazemos e o seu respectivo Jacobiano so: = =

|| =

Passo a passo

Mudana de variveis

1.

Chamar os termos complicados e/ou que se repetem de e ;2. Calcular o Jabobiano da mudana;3. Encontrar a nova regio de integrao no plano , fazendo amudana nas funes do plano ;

4. Reescrever a integral com os intervalos da nova regionoesquecer o Jacobiano;

5. Integrar!


6/12

5

Temos duas formas especiais de coordenadas polares que usamos de vez em quando:

Passo a passo

Coordenadas polares

1. Ver que a boa fazer a mudana polar;

2. Fazer um esboo da regio e encontrar os intervalos de e (sepreciso, substituir a mudana polar nas equaes que limitam a regio);

3.

Reescrever a integral, fazendo a mudana polar na funo a serintegrada, trazendo os intervalos de e e trocando por ;4. Integrar!

Hora do Biz

Pense em coordenadas polares quandoa regio de

integrao tiver circunferncias/elipses e quando a

funo a ser integrada tiver termos

2e

2.

22 + 22 = 12

2 + 2

2

= cos =

|| =

Coordenadas elpticasUsamos quando:

A regio tem uma elipse do tipo

A funo integrada tem um termo

A mudana a seguinte:

( )2 + ( )2 =2

= c o s +

= + | | =

Coordenadas polares deslocadasUsamos quando:

A regio tem uma circunferncia com

centro (,)do tipoA mudana a seguinte:

Cuidado que isso nem sempre facilita a questo,

faz com calma e qualquer coisa usa a coordenada

polar normal mesmo!


7/12

6

Integrais Triplas

Da mesma forma que temos integrais simples (para funes do tipo ()) e integraisduplas (para funes

(, )), temos as integrais triplas, para funes

(, , ).

Aqui, no temos mais um intervalo de integrao ou uma regio plana, como vimos

nas integrais simples e duplas, mas sim um volume. Ou seja, integramos a funo em

um volumes =.O Teorema de Fubinicontinua valendo! Sendo um paraleleppedo [, ] [, ] [,]:

(,,)

=

( , ,)

Da mesma forma que fizemos nas integrais duplas, sempre resolvemos as triplas

comeando pelas integrais de dentro!

E, novamente, esse teorema vale para regies quaisquer, em que os intervalos das

integrais de dentro so funes em vez de nmeros.

Podemos dividir as regies de integrao em trs tipos.

Regies do Tipo I Regies do Tipo II Regies do Tipo III

Limitadas em por superfcies eno plano por uma rea . Limitadas em por superfcies eno plano por uma rea . Limitadas em por superfciese no plano por uma rea .

Temos (, ) 2(, )e(, ) , a integral fica: (, , )(,)(,)

Temos (, ) 2(, )e(, ) , a integral fica: (, , )(,))(,)

Temos (, ) 2(, )e(, ) , a integral fica: (, , )(,)(,)


8/12

7

Para resolver essas integrais, escrevemos uma integral simples em uma varivel e uma

integral dupla no plano das variveis que sobrarem. A, resolvemos essa integral dupla

da forma que j sabemos!

Nas questes de integrais triplas, voc pode precisar usar isso aqui:

Passo a passoIntegrais triplas

1. Fazer um esboo da regio;

2. Ver se a boa escrever como tipo I, II, ou III e escrever uma das variveis

entre duas superfcies, chamando a projeo no plano tal de ;3. Montar a integral tripla como uma dupla em , mais uma simples na varivel

que sobrou;

4. Resolver a integral simples;

5.

Descobrir quem e achar os intervalos da integral dupla;6. Resolver a integral dupla.

V = d x d y d z Volume

O volume de uma regio W dado por:

M = (x,y,z)dxdydz

Massa

Sendo sua densidade, a massa de W dada por:


9/12

8

Coordenadas Cilndricas

Para escrever um ponto em coordenadas cilndricas, escrevemos sua projeo no plano

em coordenadas polares (

e

so os mesmos que voc j conhece) e sua

coordenada continua a mesma:

Em resumo, isso aqui:

= c o s

= s e n

= || = Importante: se for uma funo de e (por exemplo, = + ) fazendo amudana cilndrica, temos = (cos + ).

Hora do Bizu

Usamos essa mudana de variveis quando a regio envolve

cilindros, cones, paraboloides. Em geral, quando temos

simetria em relao ao eixo e a projeo fica bem escrita emcoordenadas polares.


10/12

9

Coordenadas Esfricas

Para escrever um ponto em coordenadas esfricas, precisamos de trs informaes:

sua distncia at a origem

, o ngulo

que a projeo de

no plano

faz com o

eixo e o ngulo que faz com a parte positiva do eixo .Na figura fica mais fcil de entender:

Para fazer a mudana para coordenadas esfricas, usamos as seguintes equaes:

= = = c o s

|| = 2

Se voc estiver na dvida entre mudana polar ou cilndrica, tenta a cilndrica primeiro!

Hora do Bizu

Fazemos essa mudana de variveis quando a regio deintegrao envolve esferas, cones, elipsoides. Em geral,

quando temos simetria em relao origem.


11/12

10

Vamos ver agora um caso especial de coordenadas esfricas:

Passo a passo

Mudana cilndrica/esfrica

1. Fazer um esboo da regio;

2. Ver qual mudana melhor e achar os intervalos de , e ou , e . Para isso, faa a mudana de variveis nasequaes das superfcies que limitam a regio;

3. Reescrever a integral com os novos intervalos (do passo

anterior), fazendo a mudana na funo a ser integrada etrocando por 2 ou (dependendo da mudana);

4. Resolver as trs integrais, comeando pela de dentro!

22 + 22 + 22 = 12

2 + 2

2 + 2

2

= =

= cos || = 2

Coordenadas elipsidicas

Usamos quando

A regio limitada por um elipsoide do tipo

A funo integrada tem um termo do tipo

A mudana a seguinte:


12/12

11

Relembrando as Principais Superfcies...

Bom, j deu pra perceber que temos que trabalhar com superfcies o tempo todo

resolvendo questes de integrais triplas. Por isso, fizemos aqui um resumo das

principais superfcies que aparecem nesse tipo de questo, para voc saber reconhecerquando vir:

Cones: 2 = 2 + 2; Cilindros: 2 + 2 = 1(cilindro elptico); = 2(cilindro de parbola); Paraboloides elpticos: = 2 + 2; Hiperboloides de uma folha: 2 + 2 2 = 1;

OBS:o eixo de simetria sempre aquela varivel que falta na equao ou aquelacom sinal diferente. Aqui, escrevemos essas superfcies com eixo de simetria

.

Esferas: 2 + 2 + 2 = 2(quando os coeficientes so diferentes de 1, temosum elipsoide);OBS:no nosso resumo, as superfcies esto centradas na origem, mas tambmpodemos encontrar algo do tipo:

( )2 + ( )2 + ( )2 = 2Isso uma esfera com centro deslocado (,,). O mesmo raciocnio vale para asoutras superfcies!

Planos: + + + = 0(todas as variveis so elevadas a "1").

Muita coisa para estudar em pouco tempo?

No Responde A, voc pode se aprofundar na matria com explicaes

simples e muito didticas. Alm disso, contamos com milhares de exercciosresolvidos passo a passo para voc praticar bastante e tirar todas as suas

dvidas.

Acesse j:www.respondeai.com.br e junte-se a outros milhares de alunos!

Excelentes notas nas provas, galera :)
https://www.respondeai.com.br/?utm_source=resumoes&utm_medium=pdf&utm_campaign=resumoes_integraismultiplashttps://www.respondeai.com.br/?utm_source=resumoes&utm_medium=pdf&utm_campaign=resumoes_integraismultiplashttps://www.respondeai.com.br/?utm_source=resumoes&utm_medium=pdf&utm_campaign=resumoes_integraismultiplashttps://www.respondeai.com.br/?utm_source=resumoes&utm_medium=pdf&utm_campaign=resumoes_integraismultiplashttps://www.respondeai.com.br/?utm_source=resumoes&utm_medium=pdf&utm_campaign=resumoes_integraismultiplashttps://www.respondeai.com.br/?utm_source=resumoes&utm_medium=pdf&utm_campaign=resumoes_integraismultiplas

Documents

Resumao de Integrais Multiplas Do Responde Ai