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1
INTEGRALES DEFINIDAS. CALCULO DE PRIMITIVAS
1. Calcular ∫ +⋅3
0
2 dxx1x
Solución.
( ) ( ) ( ) ( ) =
+=
+=⋅+=+⋅ ∫∫
3
0
32
3
0
2323
02
123
0
2 x131
23x1
21dxx2x1
21dxx1x
( )37
31
3801
3131
31 32
32=−=
+−
+=
2. Calcular: ∫π
π−⋅dxxcos2
Solución.
( ) ( ) ( )=
π−
+π−−
π
+π=
+=⋅
+=⋅
π
π−
π
π−
π
π− ∫∫ 22sen
21
22sen
21
22xsen x
21dxx2cos1
21dxxcos2
π=π
+π
=22
3. Sea ∫π
⋅⋅=2/
02 dxxsenxa y ∫
π⋅⋅=
2/
02 dxxcosxb .
Calcular a + b y a − b y obtener los valores de a y b. Solución.
El problema se resuelve sencillamente si se tienen en cuenta las propiedades de las integrales definidas.
( ) ( )∫∫∫∫ππππ
=⋅+⋅=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+ 20
2220
2220
220
2 dxxcosxsenxdxxcosxxsenxdxxcosxdxxsenxba
( )82
022
2xdxxdx1x
222
2
0
22
02
0
π=−
π=
=⋅=⋅⋅=
ππ π
∫ ∫
( ) ( )∫∫∫∫ππππ
=⋅−⋅=⋅⋅−⋅=⋅⋅−⋅⋅=− 20
2220
2220
220
2 dxxcosxsenxdxxcosxxsenxdxxcosxdxxsenxba
( ) =⋅−−
−⋅=
−=→⋅−=
=→==⋅−⋅= ∫∫
πππ2
0
2
0
20
dx2
x2sen2
x2senx2
x2senvdxx2cosdvdxduxu
dxx2cosx
( ) ( )21
410
410
402cos
202sen0
422cos
222sen2
4x2cos
2x2senx 2
0=
−−
−
−=
⋅
−⋅⋅
−−
π−
π⋅π−=
−
⋅−=
π
Conocidos los valores de a + b y de a − b, se plantea un sistema de dos ecuaciones, que permite obtener a y b
−π
=
+π
= →
=−
π=+
41
16b
41
16a
21ba8
ba2
2
restandoy Sumando
2
2
Otra forma más complicada de resolver el problema seria calcular los valores de a y b por
separado, lo cual supondría resolver las integrales: ∫π
⋅⋅2/
02 dxxsenx , ∫
π⋅⋅
2/
02 dxxcosx . La integral
indefinida se resuelve mediante el método de parte, haciendo el cambio trigonométrico:
( )
( )x2cos121xcos
x2cos121xsen
2
2
+=
−=
necesario para calcular v.
( ) ( ) =
−=→⋅−=
=→==⋅
−⋅=⋅⋅ ∫∫
42xsen
2xvdxx2cos1
21dv
dxduxudxx2cos1
21xdxxsenx 2
C8
x2cos4
2x senx4
xC8
x2cos4
x4
2x senx2
xdx42x sen
2x
42x sen
2xx
222+−
⋅−=+
+−
⋅−=⋅
−−
−⋅= ∫
Tomando para la primitiva C = 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
41
168100
81
80
16
802cos
402sen 0
40
822cos
422sen 2
42
8x2cos
42xsen x
4xdxxsenxa
22
22
2
0
22/
02
+π
=
−−−
−−−
π=
=
⋅−
⋅⋅−−
π−
π⋅π−
π=
=
−
⋅−=⋅⋅=
ππ
∫
( ) ( ) =
+=→⋅+=
=→==⋅
+⋅=⋅⋅ ∫∫
42xsen
2xvdxx2cos1
21dv
dxduxudxx2cos1
21xdxxoscx 2
C8
x2cos4
2x senx4
xC8
x2cos4
x4
2x senx2
xdx42x sen
2x
42x sen
2xx
222++
⋅+=+
−−
⋅+=⋅
+−
+⋅= ∫
Tomando para la primitiva C = 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
41
168100
81
80
16
802cos
402sen 0
40
822cos
422sen 2
42
8x2cos
42xsen x
4xdxxcosxb
22
22
2
0
22/
02
−π
=
++−
−++
π=
=
⋅+
⋅⋅+−
π+
π⋅π+
π=
=
+
⋅+=⋅⋅=
ππ
∫
Conocidos a y b se calculan a + b y a − b
=
−
π−
+
π=−
π=
−
π+
+
π=+
21
41
1641
16ba
841
1641
16ba
22
222
3
4. ∫π
⋅2
0
x dx xsen·e
Solución. Integral por partes iterativa. Se empieza por resolver la indefinida
∫∫ =
=→⋅=⋅−=→=
=⋅−⋅=
=→⋅=⋅=→=
=⋅ xxxx
xxx
evdxedvdxsen xduxcosu
dxxcoseesen xevdxedv
dxxcosdusen xudxsen xe
( )( )∫ ⋅−−⋅−⋅= dxsen xeexcosesen x xxx
ordenando
∫∫ ⋅−⋅−⋅=⋅ dxsen xeexcosesen xdxsen xe xxxx
despejando el valor de la integral
( ) Cxcossen x2
edxsen xex
x +−=⋅∫
tomando como primitiva C = 0, la definida queda de la siguiente forma
( ) ( ) ( )2e10cos0sen
2e2cos2sen
2excossen x
2edxsen xe
2022
0
x2
0x
ππππ −
=
−−
π−π=
−=⋅∫
5. ∫π
π−⋅
2dxsen x x
Solución. El primer paso para resolver la integral es expresar la función como función por intervalos, sin
valor absoluto
≥⋅<⋅−
=⋅=0sen x xx0sen x xx
sen xx)x(f
∫∫∫π
π−
π
π−⋅⋅+⋅⋅−=⋅
2
0
02dxsen xxdxsen xxdxsen x x
Para resolver estas integrales, primero se resuelve la indefinida por el método de partes.
( ) =⋅+⋅−=⋅−−−⋅=
−=→⋅==→=
=⋅⋅ ∫∫∫ dxxcosxcosxdxxcosxcosxxcosvdxsen xdv
dxduxudxsen xx
C sen x xcosx ++⋅−= teniendo en cuenta este resultado, la otra es igual pero con el signo cambiado
C sen x xcosxdxsen xx +−⋅=⋅⋅−∫
Tomando como primitiva en ambos casos C = 0, se resuelven las definidas
[ ] ( ) ( ) ( )( ) π−=π−=π−−π−⋅π−−−⋅=−⋅=⋅⋅− π−π−∫ 0sencos0sen 0cos0sen xxcosxdxsen xx 00
[ ] ( ) ( ) π−=−π−=+⋅−−π+π⋅π−=+⋅−=⋅⋅ ππ
∫ 2020sen 0cos0)(2sen )2cos(2sen xxcosxdxsen xx 20
2
0
la suma de ambas es la solución
π−=π−π−=⋅⋅+⋅⋅−=⋅ ∫∫∫π
π−
π
π−32dxsen xxdxsen xxdxsen x x
2
0
02
6. ∫π
⋅−0
dxxcos1
Solución. El primer paso es resolver la indefinida. En este caso hay que transformar la expresión
subintegral hasta la primitiva ∫ ⋅′⋅ dx)x(f)x(f n . Si se multiplica numerador y denominador del radical
por 1 + cos x, se consigue tener en el numerador sen2x, que sale fuera de la raíz como sen x.
4
( ) ( )( ) ∫ ∫∫∫∫ =⋅
+=⋅
+=⋅
+−
=⋅+
+⋅−=⋅− dx
cosx1sen xdx
xcos1xsendx
xcos1xcos1dx
xcos1xcos1xcos1dxxcos1
22
( ) ( ) ( ) ( ) Cxcos12C2
1cosx1dxsen xcosx1dxsen xcosx1
21
21
21
++−=++
−=⋅−⋅+−=⋅⋅+= ∫ ∫ −−
tomando como primitiva C = 0, la definida queda de la siguiente forma
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 2222020cos12cos12xcos12dxxcos1 00=−−⋅−=+−−π+−=+−=⋅−
ππ
∫
7. ( )∫ ⋅
+
2Ln
0 2x
xdx
4e
e .
Solución. Integral inmediata de la forma ∫ ⋅′⋅ dx)x(f)x(f n . Para expresarla como la primitiva basta con
subir el denominador al numerador con exponente negativo.
( )( ) ( )
=
+
−−
+
−=
+
−=
−+
=⋅+=⋅+
−−
∫∫ 4e1
4e1
4e1
14edxe4edx
4e
e02Ln
2Ln
0x
2Ln
0
1x2Ln
0x2x2Ln
0 2x
x
301
51
61
=
−−−=
8. ( )∫ +
e
1 3 xLn1xdx .
Solución. Integral inmediata de la forma ∫ ⋅′⋅ dx)x(f)x(f n .
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )=
+
−−
+
−=
+
−=
−+
=⋅
+=
+
−−∫∫ 22
e
12
e
1
2e
13e
1 3 1 Ln12
1
e Ln12
1
xLn12
12 xLn1dx
x1 xLn1
xLn1x
dx
83
21
81
=
−−−=
9. ∫− ⋅+−
−1
1 2dx
1x3x48
9x3
Solución. Integral inmediata de la forma ∫ ⋅′⋅ dx)x(f)x(f n .
( )( ) ( ) ( )
=
+−
=⋅−+−=⋅+−
−=⋅
+−
−
−−
−
−− ∫∫∫1
1
2121
12
121
1 2
1
1 22
11x3x4
83dx3x81x3x4
83dx
1x3x4
3x883
dx1x3x4
89x3
2438
432
431)1(3)1(4
4311314
431x3x4
43 22
1
1
2 −=−=
+−⋅−−⋅−
+⋅−⋅=
+−=
−
5
10. ∫ ⋅+
1
0 2
3dx
x1x
Solución. Integral racional que se descompone mediante la división polinómica mediante el método de la
caja obteniéndose
22
3
x1xx
x1x
+−=
+
La integral queda de la forma:
=
+−=⋅
+−⋅=⋅
+−=⋅
+ ∫ ∫∫∫1
0
221
0
1
0 2
1
02
1
0 2
3x1Ln
21
2xdx
x1x2
21dxxdx
x1xxdx
x1x
22Ln
2101Ln
21
2011Ln
21
21 2
22
2−=
+−−
+−=
11. Calcular: ∫π
⋅+
2
0 2dx
xsen3sen x
Solución.
( ) =
−=→=⋅−
=→=
=→π
===⋅−
=⋅−+
=⋅+ ∫ ∫∫
π ππ
dtsen xdtdxsen x1t0x
0t2
x:txcosdxxcos4
sen xdxxcos13
sen xdxxsen3
sen x 20
20 22
20 2
=⋅−
=−
−= ∫∫ dt
4t1
t4dt 0
1 2
0
1 2
integral racional de raíces reales simples, se resuelve descomponiendo en fracciones simples.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )2t2t
2tB2tA2t
B2t
A2t2t
14t
12 +⋅−
−++=
++
−=
+⋅−=
−
igualando los numeradores se calculan las constantes
( ) ( )
−=⇒=−−=
=⇒==−++=
41B1B4:2t
41A1A4:2t
:2tB2tA1
+−
−=
+
−+
−=
− 2t1
2t1
41
2t4
1
2t4
1
4t1
2
sustituyendo en la integral, se transforma en inmediata del tipo logaritmo neperiano.
( ) =
+−
=
+−−=⋅
+−
−=⋅
− ∫∫0
1
0
1
0
1
0
1 2 2t2tLn
412tLn2tLn
41dx
2t1
2t1
41dt
4t1
43Ln
31Ln0
41
2121Ln
2020Ln
41
=
−=
+−
−+−
=
12. ∫π
⋅4
0
4 dxxtg
Solución. Para la resolución de esta integral hay que tener en cuenta que dos cosas: - 1 + tg2x es la derivada de tg x - A la expresión subintegral se le puede sumar y resta una constante sin que varié.
La expresión se transforma buscando la primitiva ∫ ⋅′⋅ dx)x(f)x(f n
6
( ) ( )[ ] =⋅−+⋅=⋅−+⋅=⋅⋅=⋅ ∫∫∫∫ππππ
40
22240
2240
2240
4 dxxtg1xtgxtgdx11xtgxtgdxxtgxtgdxxtg
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =
+−=⋅++−+⋅==⋅−+−+⋅=
πππ
∫∫4
0
34
02224
0222 x xtg
3xtgdx11xtg1xtgxtgdx11xtg1xtgxtg
32
400 tg
30tg
44 tg3
4tgx xtg
3xtg 334
0
3−
π=
+−−
π+π−
π
+−=
π
13. Calcular: ( )∫ ⋅−2
03 dxxx
Solución.
( ) =
−=
−=⋅
−=⋅− ∫∫
2
0
3 43
2
0
34
23
2
03
12
12
03 x
43x
32
34
x
23
xdxxxdxxx
33 433 43 2232
340
430
322
432
32
−=
−−
−=
14. Calcular: ∫ +
1
0 x1dx
Solución. Integral inmediata de la forma ∫ ⋅′⋅ dx)x(f)x(f n .
( ) ( ) [ ] 122012112x122
1x1dxx1
x1dx 1
0
1
0
211
02
11
0−=+−+=+=
+=⋅+=
+ ∫∫ −
15. ∫π
⋅⋅4
0
43 dxxcosxsen
Solución. Integral trigonométrica que se resuelve mediante el cambio trigonométrico sen x = t
( ) =⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅=⋅⋅ ∫∫∫πππ
40
4240
4240
43 dxsen xxcosxcos1dxsen xxcosxsendxxcosxsen
( ) ( ) ( ) =⋅−=−⋅⋅−=
−=⋅⇒=⋅−
==⇒=
=π=⇒π=== ∫∫ 22
1462
2
142 dtttdttt1
dtdxsen xdtdxsen x10cost0 xSi
22
4cost4 xSi:txcos
56029
352
352
402
1122
51
71
52
2
72
2
5t
7t 57
57
22
1
57−=+−=
−−
−
=
−=
7
16. Calcular la siguiente integral definida: ∫+3e
1dx
x1x Ln
Nota.- El símbolo Ln representa al logaritmo neperiano. Solución.
( ) ( ) ( ) =
+=
+=+=
+∫∫
33
33 e
1
3e
123
23
e
12
1e
11 xLn
321x Lndx
x11x Lndx
x1x Ln
( ) ( ) ( ) ( )3
1432
31610
3213
3211 Ln
321e Ln
32 33333 =−=+−+=+−+=
17. Calcular: ∫ ⋅1
0dx xarcsen
Solución.
( ] =−
−⋅=
=→=−
=→==⋅ ∫∫
1
0 2102
1
0dx
x1
1xarcsen xxxvdxdv
dxx1
1duarcsen xudx xarcsen
( ] ( ) ( ) ( ] ( )=
−
+⋅=−⋅−+⋅= ∫−
1
0
212
10
1
02
1210
21x1
21arcsen xxdxx2x1
21arcsen xx
( ) 12
1002
1010arcsen 0111arcsen 1x1arcsen xx 221
0
2 −π
=+−+π⋅=
−+⋅−−+⋅=
−+⋅
18. Calcular ( ) ( )∫ −⋅−3
1dx4x2x
En donde a representa el valor absoluto de a. Solución. Para calcular la integral hay que definir la función sin valores absolutos.
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
≥+−<<−+−
≤+−=
≥−⋅−<<−⋅−−
≤−⋅−=−⋅−=
4 xSi 8x6x4x2 Si 8x6x
2 xSi 8x6x
4 xSi 4x2x4x2 Si 4x2x
2 xSi 4x2x4x2xxf
2
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) =−+−++−=−⋅− ∫∫∫3
222
123
1dx 8x6xdx 8x6xdx4x2x
3
2
232
1
233
2
232
1
23x8x3
3xx8x3
3xx8
2x6
3xx8
2x6
3x
−+−+
+−=
−+−+
+−=
=
⋅−⋅+−−
⋅−⋅+−+
⋅+⋅−−
⋅+⋅−= 2823
323833
331813
312823
32 2
32
32
32
3
( ) 243865
314
384
3865
314
38
=++−−−+=
−−−−+
+−
+=
19. Se considera la función:
≤<−≤+
=1x0 Si ²x1
0x Sí e²x)x(fx
Calcular: ∫− ⋅1
2dx)x(f
Solución.
( ) ∫∫∫ −++=⋅−
1
020
2-x21
2dxx1dx exdx)x(f
( )32ee
30e
31e
3xdx ex 0
31
31
0
x30
2-x2 −=
+−
+=
+=+∫
8
=⋅−=
=
==⇒=
π==⇒===− ∫∫π
20
21
02 dt tcostsen1
dt tcosdx0t:0sen t0 xSi2t:1sen t1 xSi: tsenxdxx1
( ) ( ) =
+=+=
+===
πππ
∫∫2
0
20
220
2 2t sen21t
21dt t2cos1
21t2cos1
21tcosdt tcos
( )4
0 sen41
402 sen
41
20
22 sen
41
222t sen
41
2t 2
0
π=−π+
π=
⋅+−
π
+π
=
+=
π
Sustituyendo en la integral:
( )43
2edxx1dx exdx)x(f1
020
2-x21
2π
+−=−++=⋅ ∫∫∫−
20. Determinar f (x) sabiendo que f ’’’(x)=24x , f (0) = 0 , f ’(0) = 1 y f ’’(0) = 2. Solución. Aplicando la definición de derivada a )x(f ′′′ se obtiene una ecuación diferencial de variables separables:
dx)x(fd
)x(f′′
=′′′
expresión que permite despejar el diferencial de f segunda ( ))x(fd ′′ . dx)x(f)x(fd ⋅′′′=′′
integrando ambos miembros de la igualdad
∫∫ ⋅′′′=′′ dx)x(f)x(f
y teniendo en cuenta que la integral es la operación inversa al diferencial se obtiene una expresión de f segunda
Cx12C2x24dxx24dx)x(f)x(f 2
2+=+=⋅=⋅′′′=′′ ∫∫
Para calcular el valor de la constante se da el dato de 2)0(f =′′
2C2C012)0(f 2 =⇒=+⋅=′′ quedando f segunda como
2x12)x(f 2 +=′′ Repitiendo la misma operación sobre )x(f ′′ se obtiene )x(f ′
( )∫∫ ⋅+=⋅′′=′⋅′′=′′
=′′ dx2x12dx)x(f)x(f :dx)x(f)x(fd :dx
)x(fd)x(f 2
( ) Cx2x4xf 3 ++=′ con el valor ( ) 10f =′ se calcula la nueva constante
( ) 1C1C02040f 3 =⇒=+⋅+⋅=′
( ) 1x2x4xf 3 ++=′ Repitiendo la misma operación sobre )x(f ′ se obtiene f (x)
( )∫∫ ⋅++=⋅=⋅′==′ dx1x2x4dx)x(f)x(f :dx)x(f)x(df :dx
)x(df)x(f 3
Cxxx)x(f 24 +++= con el valor f (0) = 0 se calcula la nueva constante
0C000)0(f 24 =+++= sustituyendo se obtiene f (x)
xxx)x(f 24 ++=
9
21. Encontrar una función F, sabiendo que ( )2x
1x''F = y que F'(1)=0 y F(1)=1.
Solución.
Por definición: ( ) ( )dx
xF dxF′
=′′
Despejando: ( ) ( ) dxxFxF d ⋅′′=′
Integrando los dos miembros de la igualdad:
( ) ( )∫∫ ⋅′′=′ dxxFxF d
Simplificando los operadores integral y diferencial el primer miembro, se obtienen la expresión de F’(x).
( ) ( ) 11
12
2C
x1C
1xdxxdx
x1dxxFxF +
−=+
−=⋅=⋅=⋅′′=′
−−∫∫∫
La constante C1 la calculamos con el valor de F’(x) en 1:
( )( )
1C:0C11:
01F
Cx1xF
111 ==+
−
=′
+−
=′
( )x11xF −=′
Repitiendo el mismo procedimiento sobre F’(x), se obtiene la expresión de F(x)
( ) ( )dx
xF dxF =′
( ) ( ) dxxFxF d ⋅′=
( ) ( )∫∫ ⋅′= dxxFxF d
( ) ( ) 2C xLnxdxx11dxxFxF +−=⋅
−=⋅′= ∫∫
( )( ) 0C:1C1 Ln1:
11FC xLnxxF
222 ==+−
=+−=
( ) xLnxxF −=
22. Encontrar una función f(x) tal que la derivada sea ( )2x41
x21xf+
+=′ y cumpla
421f π
=
Solución. Por definición de derivada:
( ) ( )dx
xdfxf =′
Ordenando variables: ( ) ( ) dxxfxf d ⋅′=
La expresión de la función se obtiene integrando ambos miembros de la igualdad. ( ) ( )∫∫ ⋅′= dxxfxf d
En el primer miembro, se simplifican la diferencial y la integral cumpliendo el teorema fundamental del cálculo integral, obteniendose la función..
( ) ( ) ∫∫∫
++
+=
+
+=⋅′= dx
x41x2
x411dx
x41x21dxxfxf
222
La primera fracción se puede completar a la primitiva del arco tangente, la segunda se completa hasta la del logaritmo neperiano.
10
( )( ) ( )
=+
++
=+
⋅+
+
⋅= ∫ ∫∫∫ dx
x41x8
41dx
x21
221dx
x41x24
41dx
x21
1221xf
222222
( ) C4x1 Ln41x2 arctg
21 2 +++=
La primitiva buscada se obtiene calculando la constante C con el valor de la función para 2
1 .
4C
2141 Ln
41
212 arctg
21
21f
2 π=+
++
=
4C2 Ln
411 arctg
21 π
=++
4C2 Ln
41
421 π
=++π
42 Ln
82 Ln
41
84C −
π=−
π−
π=
Sustituyendo en la expresión de la primitiva se obtiene la buscada.
( ) ( )4
2 Ln8
4x1 Ln41x2 arctg
21xf 2 −
π+++=
23. De una función se saben los siguientes datos: ( ) 7xf =′′ , ( ) 11f =′ , ( ) 00f = . Calcular f(x). Solución. Aplicando la definición de derivada a f’’(x):
( ) ( )dx
xf dxf′
=′′
Ordenando variables: ( ) ( ) dxxfxf d ⋅′′=′
La expresión de la primera derivada se obtiene integrando ambos miembros de la igualdad. ( ) ( )∫∫ ⋅′′=′ dxxfxf d
En el primer miembro, se simplifican la diferencial y la integral cumpliendo el teorema fundamental del cálculo integral, obteniéndose la expresión de la derivada primera.
( ) ( ) 1Cx7dx 7dxxfxf +==⋅′′=′ ∫∫
La constante C1 se calcula con el valor de la derivada en x =1( ( ) 11f =′ ). ( ) 6C1C171f 11 −=⇒=+⋅=′
Sustituyendo ( ) 6x7xf −=′
Repitiendo los mismos pasos sobre f ’(x), se obtiene f(x).
( ) ( )dx
xf dxf =′
( ) ( ) dxxfxf d ⋅′= ⇒ ( ) ( )∫∫ ⋅′= dxxfxf d ⇒ ( ) ( ) ( ) 2
2Cx6
2x7dx 6x7dxxfxf +−=−=⋅′= ∫∫
( ) 00f = : ( ) 0C062070f 2
2=+⋅−
⋅= : 0C2 =
( ) x62x7xf
2−=
11
ÁREAS
1. Se considera la función: 2
2
x9
x2y−
=
a) Dibujar su gráfica indicando su dominio de definición. b) Calcular el área de la región acotada limitada por la curva anterior y la recta y = 1.
Solución.
a. Dominio: { } { }3Rx9
x2D3x:0x9
0x9/RxD2
2
2
2±−=
−
±==−≠−∈=
Cortes con los ejes: OX(y = 0): 0x:0x2:x9
x20 22
2==
−= (0, 0).
OY(x = 0): 00902y
2
2=
−
⋅= : (0, 0).
Signo de la función: Solo influyen los polos (x = ±3). El único cero que tiene la función (x = 0) está elevado al cuadrado, siempre positivo.
• (−∞, −3) ∪ (3, +∞), f(x) < 0. La función está dibujada por debajo del eje OX. • (−3, 3), f(x) > 0. La función está dibujada por encima del eje OX.
Asíntotas verticales:
• x = −3; { }{ }
+∞==−≈−=−
−∞==−≈−=−∞==
−+
+
−→
−−
−→−→
+
−
0
1899'23x9
x2Lím
0
1801'33x9
x2Lím:
018
x9
x2Lím
2
2
3x
2
2
3x2
2
3x
• x = 3; { }{ }
−∞==−≈=−
+∞==≈=−∞==
−−
+
→
+−
→→
+
−
0
1801'33x9
x2Lím
0
1899'23x9
x2Lím:
018
x9
x2Lím
2
2
3x
2
2
3x2
2
3x
Asíntota horizontal (y = L): L = 21
2x9
x2Lím2
2
x−=
−=
−±∞→. y = −2.
Posición relativa de la función respecto de la asíntota horizontal:
( )( ) ( )( )
( ) Lxf01818x9
18Lím2x9
x2LímLxfLím22x2
2
xx<⇒=
∞−=
∞±−=
−=
−−
−=− −
±∞→±∞→±∞→
La función está por debajo de la asíntota horizontal. Con la información obtenida se puede esbozar la gráfica de la función sin tener que estudiar las derivadas. No se pide el estudio completo.
12
b. El área pedida es la región limitada y acotada por la grafica de la función y la recta y = 1, como muestra la figura. Lo primero es calcular los límites de integración(a, b) mediante el sistema formado por las ecuaciones de la función y la recta
3x:9x3:x9x2:x9
x21
igualaciónPor 1yx9
x2y:nintegració de Límites
2222
2
2
2
±==−=−
=
=−
=
=
−−⋅=
−−= ∫∫−
3
0 2
2SIMETRIA3
3 2
2dx
x9x212dx
x9x21Área
( )=
−+
++=
−+=
−
−=
−
−= ∫∫∫∫
3
0
3
0 2
*3
0 2
23
0 2
2dx
3xB
3xA16dx
9x616dx
9x3x6dx
x9x392
( ] 303xLn B3xLn Ax6 −+++⋅=
Calculo de constantes: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )3xB3xA6
3x3x3xB3xA
9x6:
3xB
3xA
9x6
22++−=⇔
+⋅−++−
=−−
++
=−
Dando a x los valores que anulan cada binomio, se calculan las constante A y B. ( ) ( )3xB3xA6 ++−=
• x = 3: ( ) ( ) 1B:B66:33B33A6 ==++−= • x = −3: ( ) ( ) 1A:A66:33B33A6 −=−=+−+−−=
Conocidas las constantes se sustituyen en la expresión de la primitiva.
( ]
+−
+−+
−+=
+−
+⋅=−++−⋅=3030Ln 60
3333Ln 636
3x3xLnx63xLn3xLn x6Área
3
0
30
( )32Ln 6363333Ln 636A −+=
+
−+=
2. Se considera la función 2
xy3
= .
a) Dibujar su gráfica. b) Calcular la recta tangente en x = 1 a la gráfica dibujada y calcular el área limitada por dicha gráfica
la tangente y el eje OX. Solución. a. Igual forma que la función elemental y = x3.
13
b. Ecuación de la tangente a la curva en el punto x = 1.
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )1x
23
21y:
23
2131f:
2x3xf
21
211f
:1x1f1fy 22
3
−⋅=−
=⋅
=′=′
==−⋅′=−
1x23y −=
Aunque se conoce un límite de integración, hay que calcular el otro.
Limites de integración:
−==
→=+−−=
−=
=
2xDoble 1x
02x3x:1x23x
23:
1x23y
x23y
Ruffini333
( ) =
+−=+−=
−−= ∫∫ −
−−
1
2
1
2
2431
2
3x2
2x3
4x
21dx 2x3x
21dx 1x
23
2xÁrea
( ) ( ) ( ) ( ) 22424
u 8273
8322
223
42
2112
213
41
21
=−−=
−⋅+
−⋅−
−−
⋅+
⋅−=
3. Hallar el área de la región acotada del plano limitada por las parábolas y = x² − x , y² = 2x. Solución.
Se pide hallar el área entre dos funciones, no es preciso dibujarlas pero si las graficas son elementales como en este caso (y = x2; xy = ), siempre ayuda. Limites de integración:
( )x2xx2x
x2xxx2yxxy
234
22nSustitució2
2
=+−
=− →
=−=
( ) 02xx2xx:0x2xx2x 23234 =−+−⋅=−+−
= →=−+−=
2x02xx2x 0x
Ruffini23
( )( ) =
+−=
+−=−−= ∫∫
2
0
2323
2
022
12
02
2x
3x
23x 2dx xxx 2dx xxx2Area
223
323
32
0
233 u 202
38
38
20
3002
32
22
3222
32
2x
3xx2
32
=−
+−=
+−⋅−
+−⋅=
+−=
14
4. Calcular el área encerrada entre las gráficas de las funciones y = x2 − 2x − 1, y = 2x − 3. Hacer primero una representación esquemática de estas gráficas. Solución. Estudio gráfico: y = x2 − 2x − 1. Parábola. Con el vértice y los puntos de corte con los ejes se dibuja.
• Vértice: ( )2 ,1V:21121y
1122
a2bx
2v
v −=
−=−⋅−=
=⋅
−−=−=
Cortes con los ejes:
• OX(y = 0): x2 − 2x − 1 = 0: ( )( )
++=−−=
0 ,12:12x0 ,12:12x
• OY(x = 0): y = 02 − 2·0 − 1 = −1: (0, −1). y = 2x − 3. Recta. Con dos puntos cualesquiera se puede dibujar, basta con darle valores.
x = 0 → y = −3: (0, −3) x = 2 → y = 1: (2, 1)
Límites de integración(a, b):
22x:02x4x:3x21x2x3x2y
1x2xy 22Igualación2±==+−
−=−− →−=
−−=
( )( ) ( ) =
−+−=−+−=−−−−=
+
−
+
−
+
− ∫∫22
22
2322
22222
222 x2
2x4
3xdx 2x4xdx 1x2x3x2Área
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 223
23
u 3
282222223
222222223
22=
−−−+
−−−
+−++
+−=
5. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las funciones:
( )3x1xf += y ( ) 1xxg +=
Solución.
Límites de integración: 1x3x3:1x3x1
1xy3x1y Igualación +=++=+ →
+=
+=
( ) ( ) ( ) ( )
==
=−⋅=−+=+++=+3x0x
:03xx:0x3x:1x9xx69:1x3x3 22222
Para no tener que estudiar la posición relativa entre las funciones en el intervalo de integración, se restan en cualquier orden y se toma la integral en valor absoluto.
( ) ( )=
−
⋅−
+=
−−+=
+−+ ∫∫
3
0
223
3
02
13
0x
32x
231xdx 1
3x1xdx
3x11x
15
( ) ( ) ( ) =
−−+−−−+=
−−+= 00
6110
3233
6113
32xx
611x
32 2323
3
0
23
2u 61
61
323
69
316
==−−−=
Nota: El valor absoluto sale positivo porque hemos restando en el orden adecuado, es decir, en el intervalo de integración g(x) > f(x).
6. Área comprendida entre las gráficas de las funciones f(x) = 6x − x2 ; g(x) = −2x + x2
Solución. Se pide calcular el área entre dos funciones polinómicas de 2º grado (parábolas), g(x) abierta hacia +∞ y f(x) abierta hacia −∞. La representación de las funciones se puede hacer simplemente factorizando las expresiones y obteniendo los puntos de corte con el eje OX.
• f(x) = 6x − x2 = −x·(x − 6). Cortes con OX: (0, 0); (6, 0). • g(x) = x2 − 2x = x·(x − 2). Cortes con OX: (0, 0); (2, 0).
Limites de integración:
+−=−=
2
2
xx2yxx6y
( )
==
=−
=−+−=−
4x0x
:04xx2
0x8x2:xx2xx6 222
( ) ( )( ) ( ) =
−=
−=−=+−−−= ∫∫
4
0
32
4
0
324
024
022
3x2x4
3x2
2x8dx x2x8dx xx2xx6Área
23
23
2 u 3
6430204
34244 =
⋅−⋅−
⋅−⋅=
7. Hallar el área encerrada por las líneas cuyas ecuaciones son
f(x) = x · ex; y = 0; x = 0; x = 1 Solución. Se pide calcular el área comprendida entre la función f(x) y el eje OX en el intervalo [0, 1]. El límite inferior del intervalo se obtiene de la intersección de la función f(x) y el eje OY(y = 0), el límite superior se obtiene del enunciado (x = 1). Teniendo en cuenta que f(x) > 0 ∀ x > 0, el área pedida es:
] ]( ( )( ] =−=−⋅=−⋅=
=→==→=
=⋅= ∫∫10
x10
xx1
0x1
0x
xxPartes1
0x 1xeeexdxeex
evdxedvdxduxu
dxexÁrea
( )( ) ( )( ) 201 u 110e11e =−−−=
Aunque no sea necesario, la gráfica de la función permite visualizar el área pedida. Un estudio se signos y ceros de la función y sus dos primera derivadas permite esbozar la gráfica de la función.
• f(x) = x · ex • f ‘(x) = (x + 1) · ex • f ‘‘(x) = (x + 2) · ex
16
8. Calcular el área de la región del semiplano y ≥ 0 limitada por la curva f(x) = Ln x (Ln = logaritmo neperiano), su tangente en x = 1 y la recta x = 3 Solución. Tangente a f(x) = Ln x en xo = 1.
( ) ( )( )1x1f1fy −′=− • ( ) 01 Ln1f ==
• ( ) ( ) 1111f:
x1xf ==′=′
( )1x10y −⋅=− y = x − 1
Representando las funciones para delimitar la región:
( )∫ −−=3
1dx xLn1xÁrea
La integral del Ln x es por partes, y se resuelve aparte.
∫ ∫ ∫ +−=−=−=
==
=== Cx xLn·xdx xLn·xdxx1x xLn·x
x v;dxdv
dx·x1du Ln x;u x·dxLn
Conocida la primitiva de Ln x, se sustituyen en la integral definida.
( ) ( ) =
−=
−−−=−−= ∫
3
1
23
1
23
1 xLn x
2xx xLn xx
2xdx xLn1xÁrea
3 Ln 34213 Ln 3
291 Ln 1
213 Ln 3
23 22
−=−−=
−−
−= u2
9. Calcular el área comprendida entre f(x) = x3 − 3x + 2, y g(x) = x + 2. Solución. Se pide calcular el área entre dos funciones. Lo primero es calcular los límites de integración, para lo cual se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de ambas funciones.
( )
±==
=−⋅=−+=+− →
+=+−=
2x0x
:04xx:0x4x:2x2x3x2xy
2x3xy 233Igualación3
Para no tener que representar la región, ni estudiar la posición relativa de las funciones, se calcula el área como suma de dos intervalos, integrando en cada intervalo el valor absoluto de la resta de las funciones.
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −+−=−
2
0
0
2dx xgxfdx xgxfÁrea
( ) ( ) ( ) x4x2x2x3xxgxf 33 −=+−+−=−
=
−+
−=−+−=
−− ∫∫
2
0
240
2
242
030
23
2x4
4x
2x4
4xdx x4xdx x4xÁrea
( ) ( ) =
⋅−−
⋅−+
−⋅−
−−
⋅−=
−+
−=
−
24
24
24
242
0
240
2
24
024
0224
2224202
40x2
4xx2
4x
( ) 2u 80440 =−−+−−=
La representación gráfica de las funciones ayuda en el cálculo del área. g(x) es una recta y bastará con un par puntos que se obtienen dando valores: Para x = 0, y = 0 + 2 = 2: (0, 2). Para x = −2, y = −2 + 2 = 0: (−2, 0). Para esbozar la gráfica de f(x) (Polinómica) se calculan los puntos de corte con los ejes, se estudia el sino de la función y se calculan los límites en ±∞.
17
• Cortes con OX (y = 0): x3 − 3x + 2 = 0. Método de Ruffini: x = −2; x = 1(doble). Los puntos de corte con OX son (−2, 0), (1, 0).
• Corte con OY (x = 0): y = 03 − 3·0 + 2 = 2. Punto de corte (0, 2). • Signo de la función. f(x) = (x − 1)2·(x + 2). Si x < −2, f(x) < 0 (dibuja por debajo del eje OX).
Si x > −2, f(x) > 0, dibujada por encima del eje OX. • ( ) ±∞=≈+−
±∞→±∞→
3x
3x
xLím2x3xLím
10. Hallar el área de la región plana acotada limitada por la curva.
( )1x
1xf2 +
=
El eje horizontal y las rectas verticales que pasan por los puntos de inflexión de la curva. Solución. Si analizamos rápidamente la función se puede obtener las siguientes conclusiones:
1. El Dominio es todo R, x2 + 1 ≥ 1 ∀ x ∈ R. Continua en todo R. 2. Es simétrica Par (f(−x) = f(x)). Simétrica respecto OY. 3. f(x) > 0 ∀ x ∈ R. Dibujada íntegramente por encima del eje OX. 4. Alcanza el valor máximo de 1 cuando x vale 0. 5. Tiende a 0’ cuando x tiende a ±∞.
Está información nos permite intuir que la función toma forma de campana de Gauss.
Para calcular el área, debemos empezar por calcular los puntos de inflexión de la curva, que son los límites de integración del área pedida. Los puntos de inflexión se obtienen igualando la segunda derivada a cero, y comprobando que en los puntos donde se anula la segunda derivada, también se produce un cambio de signo de esta.
( ) ( ) 122
1x1x
1xf−
+=+
= : ( ) ( )( )22
22
1x
x2x21x1xf+
−=⋅+⋅−=′
−
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )[ ]( ) ( )32
2
42
222
222
222
1x
2x6
1x
x81x21x
1x
x21x2x21x2xf+
−=
+
++⋅−⋅+=
+
⋅+⋅⋅−−+⋅−=′′
( )( ) 3
33
1x:02x6:01x
2x6:0xf 232
2±=±==−=
+
−=′′
Estudio del signo de la derivada segunda:
En 33x ±= la función presenta puntos de inflexión.
Una vez determinados los puntos de inflexión, se calcula el área.
∫− +=
33
33 2dx
1x1Área
Teniendo en cuenta la simetría de la función, se puede simplificar el cálculo del área.
( ] =⋅=+
⋅= ∫ 330
33
0 2 xarctg2dx
1x12Área
2u 3
06
20 arctg33arctg2 π
=
−π
⋅=
−⋅=
18
11. Hallar el área limitada por la función ( ) xcos21xf += , el eje de abscisas y las rectas x = 0 y
x = π. Solución. La gráfica de la función corresponde a la de cos x desplazada verticalmente hacia arriba media unida. Para poder calcular el área pedida, es necesario estudiar el signo de la función en el intervalo de integración.
( )[ ]
π∉π
=
π=
−==+= ,0
35x
3
2x:
21xcos:0xcos
21xf
( ) 0xf3
2 ,0x Si >⇒
π
∈ ( ) 0xf ,3
2x Si <⇒
ππ
∈
=
++
+=++
+=
π
π
ππ
π
π∫∫
32
32
032
32
0xsen
2xxsen
2xdx xcos
21dx xcos
21Área
=
π+
π−
π+π
+
+−
π+
π= 32sen
232
sen 2
0sen 2032sen
232
( ) =+π−
++π
=−π
++π
=
+
π−
+π
+−
+
π=
633
6332
633
6332
23
30
20
23
3
2u 36+
π=
12. Calcular el área de la región plana acotada limitada por la curva f(x) = |x−1|·ex, el eje OX y
las rectas x = −2, x = 2. Nota: La notación |a| representa el valor absoluto de a. Solución. Lo primero es expresar la función sin valor absoluto, para ello, se buscan los ceros de la expresión del valor absoluto.
x − 1 = 0: x = 1
( ) ( )( )
≥⋅−<⋅−=⋅−=
1 xSi e1x1 xSi ex1e1xxf x
xx
Por se la función siempre positiva, el área pedida es:
( )( ) ( )( )∫∫ ⋅−+⋅−=−
2
1x1
2x dx e1xdx ex1Área
Calculo de las primitivas:
( )( ) ( ) ( ) ( ) Ce2xCee1xdxee1xev:dvdxedxdu:1xu
dx e1x xxxxxxx
PARTESx +⋅−=+−⋅−=−⋅−=
===−=
=⋅− ∫∫
Sabiendo que el área comprendida entre la curva xy = y la recta y = b·x es 1, calcular el valor de b.
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Cex2Ce2xdx e1xdx ex1 xxxx +⋅−=+⋅−−=⋅−−=⋅− ∫∫
Sustituyendo en las integrales definidas:
( )( ] ( )( ] =⋅−+⋅−= −21
x12
x e2xex2Área
( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 22
21221 u e4e2e0e4ee12e22e22e12 −=−−+−=⋅−−⋅−+⋅−−−⋅−= −−
19
13. Sea la función f(x) = x·|x – 1|. Se pide: Calcular el área limitada por la gráfica de la función f(x), el eje de abscisas y las rectas x = 0; x = 1. Solución. Lo primero de todo es quitar el valor absoluto y expresar la función por intervalos.
f(x) = x·|x – 1|: x − 1 = 0: x = 1
( ) ( )[ ]( )
≥−<−=
≥−⋅<−−⋅
=1 xSi xx1 xSi xx
1 xSi 1xx1 xSi 1xx
xf 2
2
( ) ( ) 232321
0
321
021
0u
61
30
20
31
21
3x
2xdx xxdx xfÁrea =
−−
−=
−=−== ∫∫
14. Considérese la función f(x) = x2 −x − 2, y,
>+−≤+
=0 xSí 1x
0 xSí 1x)x(g
a) Dibujar las gráficas de ambas funciones en un mismo diagrama. b) Calcular el área del recinto acotado limitado por las gráficas de ambas funciones.
Solución. a. f(x) = x2 −x −2. Función polinómica de 2º grado.
• Vértice: 21
121
a2bx v =
⋅−
−=−= ; ( )492
21
21xfy
2
vv −=−−
== ,
−=
49 ,
21V .
• Puntos de corte con los ejes: OX (y = 0). x2 −x −2 =0. Resolviendo la ecuación de 2º grado se obtiene x = −1, x = 2. Los puntos de corte con OX son (−1, 0), (2, 0). OY (x = 0). y = −2, el punto de corte es (0, −2).
>+−≤+
=0 xSí 1x
0 xSí 1x)x(g Función por intervalos
definida por expresiones lineales. Para dibujar la función basta con sacar dos puntos de cada rama. Para x ≤ 0.
g(x) = x +1:( ) ( )
( ) ( )
−⇒=+−=−=−=⇒=+===
0 ,10111gy:1x1 ,01100gy:0x
Para x >≤ 0.
g(x) = −x +1:( ) ( )( ) ( )
⇒=+−===⇒=+−===
0 ,10111gy:1x1 ,01100gy:0x
* Aunque en este intervalo, la función está definida para valores de x >0, es conveniente calcular el valor de la función en x = 0 para saber donde empieza la función, para representarlo se dibuja con un punto abierto ( )o . b. El área se calcula como suma de dos regiones. La primera entre g(x) = x +1, f(x) = x2 −x − 2,
x = −1, y x = 0. La segunda entre g(x) = −x +1, f(x) = x2 −x − 2, x = 0, y el punto de corte entre ambas para x > 0:
33x:3x:1x2xx:1xy
2xxy0x
222
+=±==+−=−−
+−=−−=
>
20
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) =−−−+−+−−−+= ∫∫−3
020
12 dx 2xx1xdx 2xx1xA
( ) ( ) =−+−+= ∫∫−3
020
12 dx x3dx xx23
=
−+
−+=
−
3
o
30
1
32
3xx3
3x
2x2x3
( ) ( ) ( ) ( )=
−⋅−
−⋅+
−−−+−⋅−
−+⋅=
3003
3333
31113
30003
3332
32
2u 33
35032
350 +=−+
−−=
15. Hallar el área de la región plana acotada limitada por el eje de abscisas y la curva
f(x) = sen 2 x cos x en el intervalo [−π , π]. Solución. Como se pide el área comprendida entre la función y el eje OX, lo primero es estudiar el signo de la función en el intervalo de integración. Teniendo en cuenta que sen2 x > 0 ∀ x ∈ R, el signo de la función coincide con el signo de cos x.
Signo de cos x en el intervalo [−π, π]: cos x = 0: x = 2π
±
0xcos2
, xSi <⇒
π
−π−∈ ; 0xcos2
,2
xSi >⇒
ππ−∈ ; 0xcos ,
2 xSi <⇒
ππ
∈
Conocido el signo de la función se puede expresar el área:
∫∫∫π
π
π
π−
π−
π−++=
222
222 2 dx xcosxsendx xcosxsendx xcosxsenÁrea
Si tenemos en cuenta que la función es simétrica respecto de origen de ordenadas(f(−x) =−f (x)), el cálculo del área se puede simplificar.
=
+
=
+=
π
π
ππ
π
π∫∫
2
32
o
3
222
02
3xsen
3xsen2dx xcosxsendx xcosxsen2Área
233333333
u 34
31
30
30
312
32sen
3sen
30sen
32sen
2 =
−+−=
π−
π+−
π=
16. Calcular el área del recinto plano determinado por las rectas y = x, y = 2x y la parábola y = x2 Solución.
Si representamos las tres funciones, con sus puntos de
corte ( ) ( )
==
==
2 ,2xy
x2y:1 ,1
xyxy
22 se observa que el área
pedida esta delimitada por diferentes funciones según el intervalo considerado. En el intervalo [0, 1], el recinto está delimitado entre y =2x e y = 2x, en el intervalo [1, 2], el recinto está delimitado entre y = 2x e y = x2.
( ) ( ) =−+−= ∫∫2
121
0dx xx2dx xx2Área
21
( ) =
−+
=−+= ∫∫
2
1
321
0
22
121
0 3x
2x2
2xdx xx2dxx
23
23
222
u 6
113
003
222
02
1=
−−
−+−=
17. Hallar el valor de la constante b para que la función
f(x) = x3 − 2x2 + bx tenga por tangente en el origen a la bisectriz del primer cuadrante. Calcular entonces el área de la región limitada por esa tangente y la gráfica de f. Solución. La bisectriz del primer cuadrante es y = x, y su pendiente es 1. Si f(x) tiene como tangente en el origen de ordenadas a la bisectriz del primer cuadrante, se deberá cumplir:
f ´(0) = 1 f ´(x) = 3x2 − 4x + b ⇒ f ´(0) = b = 1
f(x) = x3 − 2x2 + x
Para calcular el área delimitada por la función y su tangente se buscan los límites de integración como intersección de la función y su tangente.
( )
==−===−=−=+−
=+−=
2x:02x0x:0x:02xx:0x2x:0xx2x:
xyxx2xy 2
2232323
Teniendo en cuenta que la tangente (y = x) está por encima de la función (f(x) = x3 − 2x2 + x) en el intervalo de integración (f(x =1) < 1), el área es:
( )( ) ( ) 243432
0
432
0322
023 u
34
40
302
42
322
4x
3x2dxxx2dxxx2xxÁrea =
−
⋅−
−
⋅=
−=−=+−−= ∫∫
18. Calcular y dibujar el área comprendida por la función ( )3x
1xf2 +
= y sus tangentes trazada
en los puntos de inflexión de la curva. Solución.
Gráfica de ( )3x
1xf2 +
= :
• Dominio: x2 + 3 > 0 ∀ x ∈ R. D[f(x)] = R.
• Simetría: ( )( )
( )xf3x
1
3x
1xf22
=+
=+−
=− Par, Simétrica respecto OY.
• Cortes con los ejes: OX(y = 0). 3x
102 +
= No existen valores de x que anulen la función.
OY(x = 0). ( )31
30
10fy2
=+
== La función corta al eje OY en
31 ,0 .
• Signo de la función: ( ) 03x
1xf2
>+
= ∀ x ∈ R. Positiva en todo R.
• Asíntotas: i. Verticales: no tiene por ser su dominio todo R.
ii. Horizontales: ( )
01
3
1
3x
1Lím22x
=∞
=+∞±
=+±∞→
y = 0.
iii. Oblicua: No tiene por tener horizontal.
22
• Estudio de f ‘(x): ( ) ( )( ) ( )2222
2
3x
x2
3x
x213x0xf+
−=
+
⋅−+⋅=′ : ( )
( )0x:0
3x
x2:0xf22
==+
−=′
Signo y ceros de la derivada:
En el punto ( )( )
=
31 ,00f ,0 la función presenta un máximo.
• Estudio de f ´´(x): ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )32
2
42
222
3x
1x6
3x
x23x2x23x2xf+
−⋅=
+
⋅+⋅⋅−−+⋅−=′′
Signos y ceros de la derivada segunda
La función tiene dos puntos de inflexión;
( )( )
−=−−
41,11f,1 y ( )( )
=
41,11f,1
• Rectas tangentes en los puntos de inflexión.
En
−
41,1 : ( ) ( )( )1x1f
41y −−⋅−′=− : ( ) ( )
( )( ) 81
162
31
121f22
==+−
−⋅−=−′
( )1x81
41y +=− Ordenando: x − 8y + 3 = 0
Puntos: Para x = 0: 83y = ⇒
83 ,0 ; Para y = 0: x = −3 ⇒ (−3, 0)
En
41,1 : ( ) ( )1x1f
41y −⋅′=− : ( )
( )( ) 81
162
31
121f22
−=
−=
+−
⋅−=′
( )1x81
41y +
−=− Ordenando: x + 8y − 3 = 0
Puntos: Para x = 0: 83y = ⇒
83 ,0 ; Para y = 0: x = 3 ⇒ (3, 0)
23
• Gráfica.
El área pedida es la coloreada en la gráfica, y esta comprendida en el intervalo [−1, 0] por:
( )3x
1xf2 +
= : 83
8xy +=
En el intervalo [0, 1] por:
( )3x
1xf2 +
= : 83
8xy +−=
En el cálculo del área, se puede tener en cuenta que es simétrica.
( )=
−+
⋅−=
+−+−=
+−
+−= ∫∫
1
0
21
0 22
1
0 2 3x arctg
31
8x3
28x2dx
3x
183
8x2dx
3x1
83
8x2Área
=
−
⋅+−−
−
⋅+−=
−+−=
30 arctg
31
803
1602
31 arctg
31
813
1612
3x arctg
31
8x3
16x2
221
0
2
2u 72
3845338
53616
52 π−=
π−=
π−⋅=
19. Encontrar un numero a >1 para que el área limitada por la curva x
xLny2
= , el eje de
abscisas y las rectas x = 1 y x = a sea 9. Solución. Los límites de integración sean por un lado la intersección de la función con el eje OX
1x0; xLn:0xLn:0x
xLn:0y:OX
xxLny 2
22
====
=
=
y la recta x = a. El valor de a se calculas mediante la igualdad:
9dxx
xLna
1
2=∫
Resolviendo el primer miembro de l igualdad:
3aLn
30Ln
3aLn
3xLndx
xxLn 333a
1
3a
1
2=−=
=∫
Igualando:
333
ea:3a Ln:27aLn:93
aLn====
24
20. Sabiendo que el área comprendida entre la curva xy = y la recta y = b·x es 1, calcular el valor de b. Solución. y = bx es una función lineal que pasa por el origen de coordenadas, y que para delimitar con xy += un área debe ser de pendiente positiva (b > 0). Teniendo en cuenta las gráficas de ambas funciones elementales, el área que encierran es la que muestra la figura. El parámetro b se calcula a partir del de área y para poder definirla es necesario calcular la coordenada x del punto P, que será junto con 0 los límites de integración. La coordenada x del punto P en función del parámetro b, se obtiene resolviendo el sistema que forman las ecuaciones de las dos funciones.
( )
=
==−⋅=−=→= →
== ↑
2P22222IGUALACIÖN
b1x
0x:01xbx:0xxb:xbx:bxx
bxyxy:P
2
Conocidos los límites de integración se plantea el área, y resolviendo la integral definida se llega a una igualdad que permite despejar el parámetro b.
( ) ( ) =
−=
−+
=−=−==
+
∫∫2
2
22 b1
0
23
b1
0
2121
b1
021b1
0 2bxx
32
2bx
121xdx bxxdx bxx1Área
1b61
b21
b32
20b0
32_
2b1b
b1
32
333
23
2
23
2==−=
⋅−
−
=
636
61b
3
3==
21. La parábola y = ax2 y la cúbica y = x3 se cortan en el primer cuadrante encerrando una región
limitada, de área igual a 2/3 a. Calcular el valor de a. Solución. Para calcular el área comprendida entre las dos funciones se necesitan calcular los límites de integración.
Límites de integración:
==
3
2
xyaxy
Por igualación: 32 xax =
0axx 23 =− ( )
==
=−ax0x
:0axx 2
En el intervalo (0, a), ax2 > x3
>
>
⋅=
8a
4a:
2a
2aa:
2ax Para
3332, por lo tanto, el área es:
( )∫ −==a
032 dx xaxa
32Área
Resolviendo la integral definida se obtiene una ecuación en función de a.
12aa
32:
40
30a
4a
3aa
4x
3axa
32 44343a
o
43=
−
⋅−
−
⋅=
−=
28a:8a 33 ===
25
22. Calcular el valor de a sabiendo que el área comprendida entre la parábola y = x2 + ax y la recta y + x = 0 es 36. Solución. Para poder expresar el área comprendida entre la recta y la parábola en necesario conocer los límites de integración.
Limites de integración: ( ) ( )
=−−=
=++=+++=−
+=−=
0xa1x
:0a1xx:0xa1x:axxx:axxy
xy 222
( )( ) ( )( ) ( )0
a1
230
a120
a12
2xa1
3xdx xa1xdx axxx36Área
−−−−−−
+−−=+−−=+−−== ∫∫
( ) ( ) ( ) ( )
−−+−
−−−−+−−=
2a1a1
3a1
20a1
3036
2323
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+−+−
+−−−=
2a11a1
3a11036
2233
( ) ( )
+−
+−=
2a1
3a136
33: ( ) ( )
2a1
3a136
33 ++
+−= : ( )
6a136
3+=
( ) 5a:6a16366a1 33 ==+⇒=⋅=+ 23. Calcular el área de un trapecio de base menor b, base mayor B y altura h. Solución. Para calcular el área del trapecio es necesario calcular las coordenadas de los puntos A y B, así como las ecuaciones de las recta OA y AB. La recta BC no es necesaria ya que por simetría, el área bajo BC es la misma que el área bajo AC
•
− h ,
2bBA
•
+
=
+
− h ,2
bBBh ,b2
bBB
• Recta OA: Función lineal del tipo y = k·x. La constante k se calcular particularizando la ecuación de la recta en el punto A.
2bBkh −
⋅= : bB
h2k−
=
xbB
h2y:rOA −=
• Recta AB: Función constante. y = h El área del trapecio, teniendo en cuenta la simetría es:
( ] =+
−⋅=+
−=
+
−
−− +
−∫ ∫ 2bB
2bB
2bB
0
22
bB
02
bB
2bB hx
2x
bBh22dxh dx x
bBh22A
( ] =
−
−+
+
−⋅
−−
−
=+
−⋅=
+
−
−
2bBh
2bBh
bB0h
bB2
bBh2hx
bBhx2
2
2
2bB
2bB
2bB
0
2
( )( )
( ) ( )2
bBhhb2
bBh2
hb2
hB2
hb2
hBbB
0hbB2
bBh22
2
2 +⋅=+
−=
+−++
−⋅
−−
−=
26
24. Calcular el área de una circunferencia de radio R Solución. Para simplificar los cálculos, y teniendo en cuenta que la posición de la circunferencia no influye en su área, suponemos la circunferencia centrada en el origen de coordenadas, siendo su ecuación:
222 Ryx =+ En forma explícita:
22 xRy −±= Siendo el signo positivo para parte de la curva que está por encima del eje OX y el negativo para la que está por debajo del eje OX. Para simplificar el cálculo, se calcula el área en el primer cuadrante y se multiplica por cuatro.
∫ −⋅=R
022 dxxR4Área
La integral se resuelve por cambio de variable.
π====
=====
2t:1sen t:Rsen t R:Rx
0t:0sen t:0sen t R:0x:sen t Rx
dt tcosRdx =
( ) =−⋅=−⋅= ∫∫ππ
20
22220
22 dt tcosR tsenRR4dt tcosRsen t RR4Área
∫∫ππ
⋅=−⋅= 20
2220
22 dt tcos R4dt tcos tsen1R4
Por trigonometría: ( )t2cos121tcos2 +=
( ) ( ) =+⋅=+⋅=⋅= ∫∫∫πππ
20
220
220
22 dt t2cos1R2dt t2cos121R4dt tcos R4A
( ) 2222
0
2 R2
R22
02sen 02
22 sen
2R2
22tsen tR2 π=
π⋅=
⋅
+−
π⋅+
π⋅=
+⋅=
π
25. Calcular el área de la elipse de ecuación 1b
y
ax
2
2
2
2=+ .
Solución. La ecuación explicita de la elipse es:
2
2
ax1by −±=
Siendo el signo positivo para el arco de curva por encima del eje de abcisas y el negativo para el arco de curva por debajo del eje de abcisas. Para simplificar el cálculo y teniendo en cuenta la simetría de la figura, se calcula el área bajo la curva en el primer cuadrante, y se multiplica por cuatro para calcular el área de toda la elipse.
∫ −⋅=a
0 2
2dx
ax1b4Área
El cálculo de la primitiva se hace por cambio de variable, y para simplificar los cálculos se cambian también los límites de integración.
27
Cambio de variable:
π=⇒===
=⇒====
2t1sen t :a sen t a:a xPara
0t0sen t :0 sen t a:0 xPara:sen t ax
dt tcosadx = Sustituyendo en la integral:
( )=−⋅=−⋅=−⋅= ∫∫∫
ππ 2
022
0 2
2a
0 2
2dt tcos tsen1ab4dt tcos a
asen t a1b4dx
ax1b4Área
( ) ( )∫∫∫∫ππππ
=+⋅==+⋅=⋅=⋅⋅=2
0
2
0
*2
022
0dt t2cos1ab2dt t2cos1
21ab4dt tcosab4dt tcos tcosab4
( ) =
⋅+⋅−
π
+π
⋅=
+⋅=
π02sen
210ab2
22sen
21
2ab22tsen
21tab2
2
0
2u absen 21
2ab2 π=
π+π
⋅=
* ( )x2cos121xcos2 +=
28
VOLUMENES 1. Calcular el volumen de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje OX el recinto limitado por la gráfica sen xxy ⋅= , 0 ≤ x ≤ π y el eje OX. Solución.
( )∫ ⋅π=b
a2
OX dx xfV
( ) ∫∫ππ
⋅⋅π=⋅⋅π=0
20
2OX dxx senxdx sen xxV
Integral por partes:
( )
−=−==→=
=→=
∫∫ 2xsen 21x
21dx x2cos1
21dx xsenvdx xsendv
dxduxu
22
=
−−
−⋅=⋅⋅π= ∫ ∫
ππ
00
2 dx 2xsen 21x
212xsen
21x
21xdxx senxV
=
−−−=
+−
−⋅=
πππ
0
22
0
2
0 8x2cos
4x
42xsen x
2xx2cos
41
2x
212xsen
21x
21x
( ) ( )=
⋅−
⋅−−
π−
ππ−
π=
−−=
π
802cos
402sen 0
40
82cos
42sen
48x2cos
42xsen x
4x 22
0
2
322
u48
100810
4π
=
−−−
−−
π=
2. Determinar el volumen generado al girar respecto al eje OX (eje de abscisas) la región acotada por las gráficas de las funciones f (x) = x² y g (x) = 2x. Solución.
( )∫ ⋅π=b
a2
OX dx xfV
El área que delimitan las dos funciones es la representada en la figura, siendo sus límites de integración:
( )
==
=−⋅=−=
==
2x0x
:02xx:0x2x:xx2:xy
x2y 222
El volumen generado al hacer girar el área delimitada por las dos funciones sobre el eje OX se calcula como diferencia entre los volúmenes generados por cada una de las funciones en el intervalo de integración
( ) ( ) ( ) =
−π=−π=⋅π−⋅π= ∫∫∫
2
0
532
0422
0
222
02
OX 5x
3x4dx xx4dx xdx x2V
35353
u 1564
50
304
52
324
π=
−
⋅π−
−
⋅π=
29
3. Encontrar el volumen de la figura que se obtiene girando la gráfica de la función f(x), en torno al eje OX, en el intervalo [−2,2].
2xex)x(f −⋅= Solución.
≥⋅
<⋅−=⋅=−
−−
0 xSi ex0 xSi exex)x(f 2
22
x
xx
( ) ∫∫∫∫ −−
−−
− ⋅π+⋅−π=
⋅⋅π=⋅π=
2
0x20
2x22
2
2xb
a2
OX dxexdxexdxexdx xfV222
Teniendo en cuenta que la función es simétrica respecto de OY (simetría par: f (−x) = f(x)):
( ) =
π−−
π−=
π−=−⋅
−⋅π⋅=⋅π⋅= ⋅−⋅−−−− ∫∫
22222 02222
0
x22
0x22
0x2
OX e2
e2
e2
dx x4e412dxex2V
( ) 388 u e12
12
e2
−− −π
=⋅π
+π
−=
4. Calcular el volumen de la figura de revolución determinada por la región comprendida entre
x = 0 y x = 2 y las curvas f(x) = (x−2)2 y g(x) = x2 al girar sobre el eje OX Solución. La representación gráfica de las dos parábolas, permite ver que el área que se hace girar en torno a OX esta definida por dos expresiones diferentes:
( ) [ ]( ) ( ]
∈∈=
2 ,1 xSi 2-x1 0, xSi xxf 2
2
( ) ( ) ( )∫∫∫ −⋅π+⋅π=⋅π=2
121
0
22b
a2
OX dx2xdxxdx xfV
( )∫∫ =−π+π=2
141
04 dx2xdxx
( ) ( ) ( ) 355552
1
51
0
5u
52
521
522
50
51
52x
5x
π=
−−
−π+
−π=
−π+
π=
5. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las
gráficas de y = f(x) = 2x − x2; y = g(x) = −x + 2. Solución.
Límite integración: ( )( )
==
+−==−==
2x1x
:2xyxg
xx2yxf 2
El volumen que se pide se obtiene como diferencia entre el volumen generado por la función f(x) en el intervalo [1, 2] al girar en torno al eje OX, y el generado, por el mismo procedimiento, por la función g(x) en el mismo intervalo.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) =
+−−−⋅π=−⋅π=⋅π=−⋅π= ∫∫∫∫
2
12222
1222
122
12
OX dx 2xxx2dx xgxfdx xgdx xfV
30
( ) ( )( ) ( ) =−++−⋅π=+−−+−⋅π= ∫∫2
12342
12432
OX dx 4x4x3x4xdx 4x4xxx4x4V
=
−++−⋅π=
−++−⋅π=
2
1
23452
1
2345x4x2xx
5xx4
2x4
3x3
4x4
5x
32345
2345
u 55
958141211
51242222
52 π
=
−−−=
⋅−⋅++−−⋅−⋅++−⋅π=
6. Hallar el volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar alrededor del eje OX, la
región delimitada por ( ) xcos21xf += , el eje de abscisas y las rectas x =0 y x =π.
Solución.
( ) =
++π=
+π=⋅π= ∫∫∫
ππ
02
0
2b
a2
OX dx xcosxcos41dxxcos
21dx xfV
( ) =
++π=
++π=
+++π=
πππ∫∫
000x2 sen
41x senx
43dx x2cos
21xcos
43dx x2cos1
21xcos
41
32 u 430 sen
410 sen0
432 sen
41 sen
43
π=
++π−
π+π+ππ=
7. Se quiere fabricar un candelabro macizo a partir de la figura de revolución determinada por la
función [ ]
( ]
∈∈+−
=4 , 2x 1
2 , 0 x1)²2x()x(f
al girar sobre el eje OX, cuyas magnitudes vienen expresadas en decímetros. Calcular el precio de dicho objeto fabricado en cobre de 0’15 €./cm³. Solución. El precio se obtiene multiplicando el volumen del objeto por el precio del cobre.
( )[ ] ( ) =
++−⋅π=⋅π++−⋅π= ∫∫∫∫
4
2
2
0
224
222
0
22OX dxdx5x4xdx1dx 12xV
( ) ( ] =⋅π+
+−+−⋅π=
++−+−⋅π= ∫∫ 4
2
2
0
23
454
2
2
0234 xx25x20
3x26x2
5xdxdx25x40x26x8x
( ) =−⋅π+
⋅+⋅−
⋅+⋅−−⋅+⋅−
⋅+⋅−⋅π= 24025020
302602
50225220
322622
52 2
34
52
34
5
3u 152362
15206
π=π+π=
41'71523615'0Precio =π×= €
8. Calcular el volumen del cilindro de radio R y altura h. Solución. El volumen de un cilindro de radio R y altura h se obtiene al hacer girar sobre el eje OX la superficie delimitada por la función f(x) = R, el eje OX y las rectas y = 0 e y = h.
( ] hRRdxRV 2h0
2h
02 ⋅π=⋅π=⋅π= ∫
31
9. Calcular el volumen de una esfera de radio R. Solución. Para simplificar el calculo, se considera la circunferencia de radio R centrada en el origen de ecuación x2 + y2 = R2. El volumen de la esfera de radio R se obtiene al hacer girar alrededor del eje OX el área limitada por la
parte positiva de la ecuación de la circunferencia
−+= 22 xRy y el eje
OX.
( ) =
−π=−π=
−π= ∫∫−
R
0
32R
022SimetriaR
R
222
3xxR2dxxR2dxxRV
33
33
23
2 R34
3RR2
300R
3RRR2 π=
−⋅π=
−−−π=
10. Calcular el volumen del cono de radio R y altura h Solución. El volumen del como se obtiene al hacer girar el área limitada por la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene de pendiente R/h
= x
hRy , en el intervalo [0, h].
=
π=π=
π= ∫∫
h
0
3
2
2h
02
2
2h
0
2
3x
hRdxx
hRdxx
hRV
hR33
hhR 2
3
2
2 π=⋅π=
11. Calcular el volumen del elipsoide que se obtiene al hacer girar alrededor del eje OX la
superficie delimitada por la parte positiva de 1b
y
ax
2
2
2
2=+ .
Solución. El volumen del elipsoide se obtiene al hacer girar alrededor del eje OX la superficie limitada por la parte
positiva de la curva
−+=
2
22
ax1by en el intervalo
[−a, a].
=
−π=
−π=
−π= ∫∫−
a
02
32a
0 2
22Simetriaa
a
2
2
22
a3xxb2dx
ax1b2dx
ax1bV
222
3
2
32 ab
34
3aab2
a300
a3aab2 π=
−π=
−−−π=
![capitulos nohe y jorge[1]](https://img.pdfslide.us/doc/110x75/577d2c361a28ab4e1eab9fd8/capitulos-nohe-y-jorge1.jpg)
