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Estatıstica para Metrologistas e
Calculo de Incerteza
Instrutor:
Dorival Leao
Estatcamp Consultoria em Estatıstica e Qualidade
Rua: Adolfo Catani, 682
Jardim Macarengo CEP: 13560-470 Sao Carlos/SP
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Dezembro / 2007
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ii
Sumario
1 Nocoes Basicas de Estatıstica 1
1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Coleta de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Exposicao de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Distribuicao de Frequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Medidas de Posicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Medidas de Dispersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.9 Distribuicao Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.10 Teorema do Limite Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.11 Distribuicao amostral do desvio padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.12 A Distribuicao t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.13 A estatıstica F e a distribuicao F de Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.14 Teste para Duas Variancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.15 Teste de Valor Extremo (Grubbs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.16 Teste de Dixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.17 Teste de Cochran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.18 Teste de Igualdade das Variancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.18.1 Teste de Bartlett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.18.2 Teste de Levene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.19 Comparacao entre Sistemas de Medicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medicao 41
2.1 Medicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Erros, efeitos e correcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
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Sumario iii
2.3 Incerteza de Medicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4 Avaliacao da Incerteza Padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Determinacao da Incerteza Padrao Combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6 Determinacao da Incerteza Expandida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6.1 Comprovacao Metrologica - Equipamento de Medicao . . . . . . . . . . . 60
2.7 Determinacao da Variancia Agrupada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.8 Regras de arredondamento de valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.9 Propagacao da Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Estudos de Estabilidade 68
4 Metodo da ANOVA (Completo) 74
4.0.1 Metodo da ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Calculo de Incerteza de um Relogio Comparador 92
5.1 Incerteza Combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2 Calculo da Incerteza Padrao das grandezas de entrada . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.1 Repetitividade (∆l) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.2 Incerteza Herdada do Padrao U (ls) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.2.3 Resolucao do Calibrador (Res(Cal)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.4 Resolucao do Relogio (Res(Rel)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.5 Calculo da Histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 Calculo de Incerteza do Relogio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.1 Calculo da Incerteza Combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.2 Graus de liberdade Efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 Incerteza Expandida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6 Calculo de Incerteza de um Manometro 97
6.1 Incerteza Combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2 Calculo da Incerteza Padrao das grandezas de entrada . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.1 Repetitividade (∆l) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2.2 Incerteza Herdada do Manometro Padrao - U(Upadrao) . . . . . . . . . 100
6.2.3 Resolucao do Manometro Padrao - U(Res(padra)) . . . . . . . . . . . . . 100
6.2.4 Resolucao do Manometro - U(Res(man)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2.5 Calculo da Histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
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Sumario iv
6.3 Calculo da Incerteza do Mano m e t r o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1
6.3.1 Calculo da Incerteza Combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3.2 Graus de liberdade efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3.3 Incerteza Expandida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.3.4 Expressao da Incerteza em Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7 Calculo de Incerteza de um Voltımetro Digital 103
8 Calculo de Incerteza no Ensaio de Tensao 105
8.1 Calibracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2 Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9 Calculo de Incerteza no Ensaio de Corrente 109
9.1 Calibracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.2 Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10 Calculo de Incerteza no Ensaio de Impedancia 113
10.1 Calibracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10.2 Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A Parametros Caracterısticos de um Sistema de Medicao 117
B Tabelas Estatısticas 123
Referencias Bibliograficas 132
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1
Capıtulo 1
Nocoes Basicas de Estatıstica
Nosso curso de incerteza de medicao esta dividido em duas partes. A primeira parte contem-
pla as tecnicas estatısticas e os fundamentos do calculo de incerteza, enquanto que a segunda
parte contempla as aplicacoes para calibracoes especıficas. A seguir, vamos apresentar os con-
ceitos basicos de Estatıstica necessarios para expressarmos a incerteza em medicoes.
1.1 Introducao
Com a finalidade de estudar metodos estatısticos utilizados para expressarmos a incerteza
de medicao, faremos inicialmente uma breve abordagem aos conceitos basicos de Estatıstica.
Ao efetuarmos uma medicao, diversas fontes de variacao estao presentes. A temperatura,
umidade, resolucao do instrumento entre outras, fazem com que o valor de um mensurado tenha
variacao.
A variabilidade esta presente em todo lugar. Ao estacionar um carro em sua garagem, a
posicao do carro na garagem nao e a mesma ao longo dos dias. A posicao do carro apresenta
uma variacao. As tecnicas estatısticas sao utilizadas para avaliarmos as variacoes. A aplicacao
de tecnicas estatıstica envolve varias etapas:
• Coleta dos dados - Amostragem;
• Exposicao dos dados;
• Modelos Estatısticos.
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 2
1.2 Coleta de Dados
Uma populacao e um agregado de elementos (finitos ou nao) para o qual deseja-se obter
informacoes sobre algumas de suas caracterısticas. Duas populacoes sao consideradas distintas
se uma delas contem um elemento que nao esta contido na outra populacao. Como exemplo de
populacao temos a producao diaria de um empresa, conjunto de resultados de medicao de uma
haste de aco realizada com um micrometro, entre outras. A amostra e uma parcela de uma
populacao que pode conter informacoes sobre a populacao. Para estudarmos adequadamente
uma populacao atraves de uma amostra devemos planejar a coleta de dados.
Planejando a Coleta de Dados - Amostragem
• Qual a pergunta a ser respondida?
• Como comunicar a resposta obtida?
• Qual ferramenta de analise pretende-se usar e como vai comunicar os resultados?
• Que tipo de dados e necessario para utilizar as ferramentas desejadas e responder a
pergunta?
• Onde acessar estes dados?
• Como coletar esse dados com um mınimo de esforco e de erro?
• Quais informacoes adicionais serao necessarias para estudos futuros, referencias ou recon-
hecimento?
1.3 Exposicao de Dados
Antes da exposicao dos dados coletados e necessario que se faca um trabalho de revisao
e correcao nos dados coletados na tentativa de eliminar possıveis enganos na elaboracao do
relatorio.
Medidas Quantitativas Contınuas
Quando os possıveis valores incluem “todos” os numeros do intervalo de variacao da car-
acterıstica medida. Ao medirmos um bloco padrao com um micrometro externo obtemos uma
medida quantitativa contınua .
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 3
Exemplo 1.1. Na calibrac˜ ao de um micrometro externo, o avaliador tomou 10 pontos (ou
blocos padr˜ ao) com 10 leituras de cada ponto. Os desvios de cada leitura em relac˜ ao ao valor
do ponto est˜ ao na tabela 1.1.
-0.012 0.003 0.015 0.012 -0.018 0.013 -0.015 0.002 -0.006 0.0120.008 -0.001 0.000 0.003 -0.008 0.008 0.017 0.013 0.002 -0.002-0.002 0.006 -0.021 -0.001 0.000 0.007 -0.009 0.018 0.000 0.010-0.006 0.000 0.009 -0.011 0.000 -0.006 -0.001 0.012 0.004 -0.0020.000 -0.012 0.001 0.006 0.000 -0.002 -0.004 0.012 0.003 0.0200.024 -0.003 -0.011 -0.007 -0.009 0.018 -0.017 0.006 -0.004 0.0190.016 0.012 -0.002 -0.007 -0.013 0.008 -0.013 0.001 0.017 0.0120.006 0.008 0.004 0.002 0.006 0.000 -0.008 0.017 -0.002 0.019-0.005 -0.008 0.013 -0.004 0.001 -0.005 0.000 -0.007 0.012 -0.0030.004 0.002 -0.004 0.002 0.011 -0.012 -0.011 0.003 0.002 -0.006
Tabela 1.1: Desvios
Podemos fazer a apuracao considerando intervalos de medidas como apresentado na tabela
1.2.
Intervalos Node Desvios−0.021 −0.017 3−0.017 −0.013 3
−0.013
−0.009 8
−0.009 −0.005 12−0.005 −0.001 15−0.001 0.003 220.003 0.007 90.007 0.011 70.011 0.015 110.015 0.019 80.019 0.024 2
Tabela 1.2: Frequencia absoluta
Ao se estabelecer intervalos, esta-se admitindo que o desvio pode assumir qualquer valor
entre o limite inferior, inclusive, e o limite superior, exclusive. A exposi cao dos dados pode ser
feita atraves de tabela e/ou graficos. Inumeros graficos auxiliam na apresentacao e interpretacao
dos fatos, mas destacaremos os mais usuais.
1.4 Distribuicao de Frequencias
Com as tabelas e/ou graficos em maos, apresentando uma melhor visualizacao dos dados,
muitas vezes ja temos condicoes de interpretar o fenomeno em estudo. Entretanto, em muitos
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 4
casos ha necessidade de se efetuar operacoes numericas para se chegar a conclusoes mais solidas.
Devido ao fato de dados quantitativos serem os mais frequentemente encontrados no estudo de
Sistemas de medicao, desenvolveremos os metodos de analise para estes tipos de dados.
Dados Contınuos:
Vejamos o exemplo 1.1, com APURACAO na tabela 1.2. Note que neste exemplo a variavel
de interesse e o ”Desvio”enquanto que “Numero de Desvios” representa a frequencia de medidas
em cada intervalo (Tabela 1.2).
Definicoes:
Frequencia Absoluta (f i): E o numero de observacoes correspondentes a cada intervalo.
A frequencia absoluta e, geralmente, chamada apenas de frequencia. No exemplo anterior, a
frequencia e o numero de desvios. Para um dado intervalo i, denotaremos a frequencia absoluta
correspondente por f i . Assim, por exemplo, a frequencia do quarto intervalo e f 4 = 12.
Frequencia Relativa (f ri): E o quociente entre a frequencia absoluta e o numero total
de observacoes, e sera denotada por f ri. Isto e, f ri = f in
onde n representa o numero total de
observacoes. No nosso exemplo, f r4 = 12100
= 0.12, onde n = 100.
Frequencia Percentual: ( pi): E conseguida multiplicando-se a frequencia relativa por 100
p4 =12
100100% = 12%
Frequencia Acumulada: E o total acumulado (soma) de todas as classes anteriores ate
a classe atual. Pode ser Frequencia Acumulada Absoluta (F i), Frequencia Acumulada Relativa
(F ri), ou Frequencia Acumulada Percentual (P i).
Ponto Medio (xi): E obtido somando o limite inferior e o limite superior de cada intervalo
e dividindo o resultado por 2. Este ponto se constitui no valor representativo de cada intervalo.
No caso do primeiro intervalo, no exemplo dado, temos:
x1 =−0.021 + (−0.017)
2= −0.019
Agora que temos estas quantidades definidas, vamos usar o exemplo que estamos acom-
panhando e mostrar todas elas atraves de uma tabela completa. Como Frequencia Acumuladairemos apresentar somente a Frequencia Acumulada Percentual.
Algumas indicacoes na construcao da distribuicao de frequencias sao:
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 5
Diametro X i f i f ri pi(%) P i(%)−0.021 −0.017 −0.019 3 0.03 3 3−0.017 −0.013 −0.015 3 0.03 3 6−0.013 −0.009 −0.011 8 0.08 8 14
−0.009
−0.005
−0.007 12 0.12 12 26
−0.005 −0.001 −0.003 15 0.15 15 41−0.001 0.003 0.001 22 0.22 22 630.003 0.007 0.005 9 0.09 9 720.007 0.011 0.009 7 0.07 7 790.011 0.015 0.013 11 0.11 11 900.015 0.019 0.017 8 0.08 8 980.019 0.024 0.021 2 0.02 2 100
Tabela 1.3: Distribuicao de frequencias
1. Na medida do possıvel, as classes deverao ter amplitudes iguais.
2. Escolher os limites dos intervalos entre duas possıveis observacoes.
3. O numero de intervalos nao deve ultrapassar 20.
4. Escolher limites que facilitem o agrupamento.
5. Marcar os pontos medios dos intervalos.
6. Ao construir o histograma, cada retangulo devera ter area proporcional a frequencia
relativa (ou a frequencia absoluta, o que da no mesmo) correspondente.
7. Um criterio para determinar os intervalos (classes) e:
Tamanho da Amostra (n) Numero de Classes (c)30 a 50 5 a 7
51 a 100 6 a 11
101 a 250 7 a 13acima de 250 10 a 20
Tabela 1.4: Numero de classes
Determinacao do tamanho da classe ou intervalo (L):
L =amplitude
no de classes=
R
c
onde R= maior valor da amostra menos o menor valor da amostra.
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 6
1.5 Histograma
Uma representacao grafica da distribuicao de frequencia, como as anteriores, e o Histograma.
E um grafico onde a frequencia relativa do intervalo i (f ri) e representada pela area de um
retangulo que e colocado acima do ponto medio da classe i. Consequentemente, a area total do
histograma (igual a soma das areas de todos os retangulos) sera igual a ”1”. No caso em que
os intervalos sejam de tamanhos (amplitudes) iguais, as alturas dos retangulos serao iguais as
frequencias relativas (ou iguais as frequencias absolutas) dos intervalos correspondentes. Para
a distribuicao de frequencias da tabela 1.3, o histograma correspondente e o seguinte:
Figura 1.1: Histograma dos desvios
Ao analisarmos a distribuicao de frequencia dos desvios, observamos que 15% das ob-
servacoes encontram-se entre −0, 005 a −0, 001 e que pelo menos 10% das observacoes estao
acima de 0, 015.
1.6 Medidas de Posicao
Essas medidas visam representar ”onde”os valores estao localizados ou posicionados. As
mais usuais sao media aritmetica, mediana e moda.
Media Aritmetica: A media aritmetica, ou simplesmente Media, e calculada somando-se
os valores das observacoes e dividindo-se o resultado pelo numero de valores. Notacao:
• xi : cada valor individual.
• x : media de uma amostra.
• µ : media da populacao.
• n : tamanho da amostra.
• N : tamanho do universo (populacao).
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 7
Dado uma populacao e uma amostra x1, . . . , xn retirada desta populacao, a media amostral
e dada por :
x =
x1 + x2+, . . . , +xn
n
Exemplo 1.2. No exemplo dos desvios das 100 leituras x= 0, 00161. Confira !!! O ideal e que
o desvio seja zero. Entretanto, h´ a um pequeno deslocamento.
Exemplo 1.3. Foram realizadas 5 leituras de uma massa padr˜ ao com valor nominal 2, 45g
com um comparador. Os valores foram: 2, 45; 2, 46; 2, 45; 2, 44; 2, 45. A media amostral para
as medidas da massa e:
x =2, 45 + 2, 46 + 2, 45 + 2, 44 + 2, 45
5=
12, 25
5= 2, 45 .
A media das 5 leitura e x= 2, 45.
Mediana: Para calcular a mediana devemos, em primeiro lugar, ordenar os dados do menor
para o maior valor. Se o numero de observacoes for ımpar, a mediana sera a observacao central.
Se o numero de observacoes for par, a mediana sera a media aritmetica das duas observacoes
centrais.Notacao : A mediana sera denotada por x.
Exemplo 1.4. Nos dados referentes ao exemplo 1.3, obtemos a seguinte ordenac˜ ao: 2, 44; 2, 45;
2, 45; 2, 45; 2, 46.
Como o n´ umero de observac˜ oes e ımpar, a mediana e o valor central, isto e, x = 2, 45.
Exemplo 1.5. Consideremos os seguintes dados correspondentes aos comprimentos de 8 rolos
de fio de aco: 65, 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68.
Ordenando os valores, temos: 60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 77.
Como o n´ umero de observac˜ oes e 8, portanto par, a mediana e dada pela media dos dois
valores centrais que s˜ ao 68 e 69, isto e:
x =68 + 69
2= 68, 5
Moda: A moda de um conjunto de valores e o valor que apresenta a maior frequencia.
Notacao: A moda sera denotada por Mo.
No exemplo 1.4, a moda e Mo = 2,45. Confira !
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 8
1.7 Medidas de Dispersao
Dispersao e sinonimo de variacao ou variabilidade. Para medir a dispersao sao usadas mais
frequentemente duas medidas: a amplitude e o desvio padrao.
Amplitude:
A amplitude e definida como sendo a diferenca entre o maior e o menor valor do conjunto
de dados. Denotaremos a amplitude por R.
Exemplo 1.6. Os comprimentos de 8 rolos de fio de aco foram: 60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 77
. A amplitude deste conjunto e :
R = 77 − 60 = 17
Para definirmos desvio padrao e necessario definir variancia. A notacao mais comumente
usada e :
Desvio Padrao:
• s2 : Variancia amostral.
• σ2 : Variancia populacional.
• s : Desvio padrao amostral.
• σ : Desvio padrao populacional.
A variancia de uma amostra x1, . . . , xn de n elementos e definida como a soma dos quadra-
dos dos desvios de elementos em relacao a sua media amostral x dividido por (n − 1). Ou seja,
a variancia amostral e dada por:
s2 =
ni=1
(xi − x)2
n − 1
O desvio padrao de um conjunto de dados e igual a raiz quadrada positiva da variancia.
Assim, o desvio padrao amostral e dado por:
s =√
s2 =
n1=i
(xi − x)2
n − 1
Exemplo 1.7. Suponha a amostra dos comprimentos de 8 rolos de fio de aco cujos valores foram: 65, 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68 metros. Para calcularmos o desvio padr˜ ao devemos
primeiramente calcular a media X , isto e:
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 9
x =65 + 72 + 70 + 77 + 60 + 67 + 69 + 68
8= 68, 5
Agora vamos subtrair x de cada valor, elevar os resultados ao quadrado e soma-los. Entao
dividimos o total dos quadrados pelo numero de valores menos 1, ou seja, por (n−1) e extraımos
a raiz quadrada:
(x − x) (x − x)2
65 - 68.5 = −3.5 (−3.5)2 = 12.2572 - 68.5 = 3.5 (3.5)2 = 12.2570 - 68.5 = 1.5 (1.5)2 = 2.277 - 68.5 = 8.5 (8.5)2 = 72.2560 - 68.5 = −8.5 (−8.5)2 = 72.25
67 - 68.5 = −1.5 (−1.5)
2
= 2.2569 - 68.5 = 0.5 (0.5)2 = 0.2568 - 68.5 = 0.5 (0.5)2 = 0.25
Total = 174.00
Tabela 1.5: Calculo do Desvio Padrao
s2 =174
7= 24 ⇒ s =
√24 ⇒ s = 4.9
Portanto o desvio padrao e 4.9.
Exemplo 1.8. No exemplo 1.1, que trata os desvios das leituras do micrometro referente ao
valor do padr˜ ao, o desvio padr˜ ao e igual a 0.00957. Confira !!!.
1.8 Probabilidade
Os dados sao originados de uma amostra de medicoes realizadas com a aplicacao do pro-
cedimento de medicao, equipamentos e operadores. Estas medicoes apresentam variacoes que
podem ser analisadas atraves da distribuicao de frequencias (visualmente, o histograma). Ob-
serve que a variacao obtida pelos desvios das leituras do micrometro em blocos padrao (exemplo
1.1) pode ser caracterizado pela frequencias relativas,por exemplo, 15% dos desvios estao entre
−0.005 e −0.001 mm).
Uma forma de modelarmos a variabilidade presente nos dados relativos a quaisquer amostras
e a probabilidade. Considere H uma haste de aco, um experimento e realizado para se obter
o comprimento da haste H . Este experimento e realizado n vezes de forma independente,
isto e, cada realizacao do experimento e independente das outras realizacoes do experimento.
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 10
Considere Ω o espaco formado por todos os possıveis resultados da medicao do comprimento
da haste, denominado espaco amostral. Para caracterizar a variabilidade dos resultados da
medicao, podemos modelar a probabilidade do resultado da medicao pertencer a subconjuntos
do espaco amostral Ω, denominados eventos. Por exemplo, considere o evento A como sendo aclasse de resultados da medicao inferiores a C 1 e o evento B como sendo a classe de resultados
da medicao superiores a C 2, onde C 1 e C 2 sao constantes numericas.
Ao denotarmos por X a variavel referente ao resultado da medicao, podemos tomar como
espaco amostral,
Ω = −∞ < X < +∞A = X < C 1
B = X > C 2Com os eventos A e B, podemos associar os eventos:
• A uniao com B = A ∪ B = A ou B;
• A interseccao com B = A ∩ B = A e B;
• Complementar de A, denotado por Ac = nao A;
A probabilidade e uma funcao de associa valores (pesos) aos eventos de um experimento,
satisfazendo as seguintes propriedades:
a) Prob (Ω) = 1
b) Prob (A ∪ B) = Prob(A) + Prob(B) − Prob(A ∩ B)
Ao associarmos probabilidades (pesos) aos eventos de um experimento, satisfazendo as pro-
priedades acima, obtemos um modelo para a variabilidade, denominado modelo de probabili-
dade. A seguir, vamos estudar alguns modelos de probabilidade utilizados na pratica.
1.9 Distribuicao Normal
A variacao natural de qualquer medida e realmente aleatoria (incerta). Embora as dis-
tribuicoes possam assumir uma variedade de formas, muitas variaveis observadas possuem uma
distribuicao de frequencias que e, aproximadamente, como a da distribuicao Normal (simetrica
e em forma de sino).
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 11
Como discutimos anteriormente, a probabilidade e um modelo para calcularmos a chance
real de ocorrer um determinado evento, isto e, a chance de ocorrer uma medida em um de-
terminado intervalo. Por exemplo, a frequencia relativa deste intervalo, observada a partir de
uma amostra de medidas, e a aproximacao da probabilidade. E a distribuicao de frequencias ea aproximacao da distribuicao de probabilidades.
Uma das formas mais tradicionais de modelar a distribuicao de probabilidade dos dados cor-
responde a distribuicao normal ou gaussiana. A denominacao gaussiana e devido ao matematico
e astronomo Gauss, que utilizou esta distribuicao para modelar a variacao do resultado de
medicoes do posicionamento de planetas.
Figura 1.2: Distribuicao Normal
A forma da distribuicao normal e simetrica em torno da media e com formato de sino. O
grafico desta distribuicao e apresentado na figura 1.2.Densidade:
f (x) =1√
2πσ2exp
−1
2
x − µ
σ
2
−∞ < µ < ∞
0 < σ < ∞−∞ < x < ∞
A distribuicao dos ”desvios”do Exemplo 1.1 tem uma forma parecida com a distribuicao
normal. Volte e confira!!Se concluirmos que o modelo da distribuicao normal e adequado para caracterizar a vari-
abilidade, podemos calcular probabilidade do resultado da medicao estar entre determinados
intervalos, calculando a area sob a curva naquele intervalo. Entao, a probabilidade de um
evento A ocorrer e dado por
Prob(A) =
Af (x) dx
Para achar a area sob a curva normal devemos conhecer dois valores numericos (tambem
chamados de parametros), a media µ e o desvio padrao σ. O grafico a seguir (figura 1.3) mostra
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 12
algumas areas importantes:
Figura 1.3: Area sob a Curva Normal
Quando µ e σ sao desconhecidos, como geralmente acontece, sao substituıdos por X e S ,
respectivamente, a partir da amostra.
Nota: Areas sob a curva normal sao probabilidades que na pratica sao dadas em porcent-
agens
Para cada valor de µ e/ou σ , temos uma distribuicao. Mas para se calcular areas es-
pecıficas, se faz uso de uma distribuicao particular: a ”distribuicao normal padronizada”. Esta
distribuicao tem media µ = 0 e desvio padrao σ = 1, e esta tabelado (a tabela se encontra no
apendice). Como a distribuicao e simetrica em relacao a media µ = 0, a area a direita de µ
e igual a area a esquerda de µ . Assim, a tabela fornece areas acima de valores nao-negativos
que vao desde 0.00 ate 4.09. Veja o grafico (figura 1.4) da curva normal padronizada a seguir:
Nota: A variavel que tem distribuicao normal padronizada e denotada por Z.
Exemplo 1.9. A ´ area sob a curva normal para Z maior do que 4.00 e 0.00003. Ou seja, a probabilidade de Z ser maior do que 4.00 e 0.003%. Veja o gr´ afico!
Exemplo 1.10. : A ´ area sob a curva para Z maior do que 1.00 e 0.1587. Ou seja, a probabi-
lidade de Z ser maior do que 1 e 15.87%, veja figura 1.5.
Exemplo 1.11. A ´ area sob a curva para Z maior do que 1.19 e 0.1170,ou seja, a probabilidade
de Z ser maior do que 1.19 e 11.70%.
Exemplo 1.12. A ´ area sob a curva para Z menor do que 2.00 n˜ ao e fornecida diretamente
pela tabela. Ent˜ ao devemos encontrar a ´ area para Z maior do que 2.00. Em seguida fazemos
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 13
Figura 1.4: Distribuicao Normal Padronizada
1 menos a ´ area encontrada e temos a ´ area desejada. A ´ area sob a curva para Z maior do que
2.00 e 0.0228. A ´ area desejada e 1 − 0.0228 = 0.9772. Ou seja, a probabilidade de Z ser menor
do que 2.00 e 97.72%.
Quando se tem uma variavel X com distribuicao normal com media µ diferente de 0 (zero)
e/ou desvio padrao diferente de 1 (um), devemos reduzi-la a uma Z , efetuando o seguinte
calculo:
Z =X
−µ
σ
Exemplo 1.13. Considere uma vari´ avel X com distribuic˜ ao normal com media µ = 4.888 e
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 14
Figura 1.5: Calculo de probabilidades com a distribuicao Normal
desvio padr˜ ao σ = 0.31949, se quisermos calcular a probabilidade de X ser inferior a 5.0 mm,
fazemos:
Z =5.0 − 4.888
0.31949= 0.35
Usando a tabela da normal padronizada, temos que a ´ area sob a curva e abaixo de 0.35 e
0.6368. Ou seja, a probabilidade de X ser inferior a 5.0 mm e 63.68%.
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 15
Figura 1.6: Calculo de probabilidades com a distribuicao Normal
Figura 1.7: Calculo de probabilidades com a distribuicao Normal
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 16
Exemplo 1.14. Suponha que a variac˜ ao nas espessuras das arruelas possa ser modelado pela
distribuic˜ ao normal com media 11.15 e desvio padr˜ ao 2.238. Qual a porcentagem de arruelas
que tem espessura entre 8.70 e 14.70?
Temos que encontrar dois pontos da distribuicao normal padronizada. O primeiro ponto e:
Z 1 =8.70 − 11.15
2.238= −1.09
A area para valores maiores do que −1.09 e 0.8621 ou 86.21%. O segundo ponto e:
Z 2 =14.70 − 11.15
2.238= 1.58
A area para valores maiores do que 1.58 e 0.0571 ou 5.71%. O que procuramos e a area
entre Z 1 e Z 2, como mostram os graficos a seguir:
Figura 1.8: Calculo de percentis com a distribuicao Normal
Portanto, fazemos:
0.8621 − 0.0571 = 0.8050
Ou seja, a porcentagem de arruelas com espessura entre 8.70 e 14.70(limites de tolerancia
da especificacao) e somente de 80.50%. Portanto,cerca de 19.50% das arruelas nao atendem aos
limites de especificacoes. Anteriormente havıamos calculado esta porcentagem diretamente do
histograma e o valor encontrado foi de 22%. A diferenca entre os dois calculos fica por conta
da suposicao de normalidade que fizemos.
Exercıcio 1.1. Com os dados do exemplo 1.1, relativos aos desvios, utilize a distribuic˜ ao
normal para calcular a probabilidade de que o m´ odulo dos desvios seja maior 0.02.
Desvio Padrao da Media
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 17
Figura 1.9: Calculo de percentis com a distribuicao Normal
Ao obtermos uma amostra de leituras de um equipamento, denotadas x1, x2,
· · ·, xn, a media
e o desvio padrao relativo a medidas sao definidos por.
x =x1 + x2 + · · · , +xn
n
s =√
s2 =
ni=1
(xi − x)2
n − 1.
respectivamente. Por outro lado, o desvio padrao relativo a media das medidas e dado por
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 18
sx =s√n
Observe que quanto maior o numero de leituras melhor e a aproximacao da media amostral
em relacao a media populacional. Da mesma forma, quanto maior o numero de leitura menor
o desvio padrao da media.
Exercıcio 1.2. Calcule a media e o desvio padr˜ ao da media para os seguintes dados:
VR Leituras Media DP Repetitividade
12,5 12,501 12,502 12,501
15 15,001 15,001 15
17,5 17,5 17,501 17,502
20 20,001 20 20
Onde,
Repetitividade = Desvio padr˜ ao da media = sx =s√n
Repetitividade Total do Sistema ( R ptotal):
• Maior Repetitividade;
Com isso,
R ptotal = MaiorRepetitividade =
• Desvio padr˜ ao agrupado:
Com isso,
R ptotal =
ji=1 Rep2
i
j=
onde:
– j: representa o n´ umero de pontos (no exemplo, j=4);
– Repi : representa a Repetividade no ponto i (i=1,2,3,4);
Exercıcio 1.3. Considere o sistema de medic˜ ao para o furo de um pist˜ ao de autom´ ovel. Esta
dimens˜ ao apresenta uma tolerancia (Limite Superior de Especificac˜ ao-Limite Inferior de Es-
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 19
pecificac˜ ao) de 0,005mm. Em um estudo preliminar foram obtidas 30 leituras do furo de um
pist˜ ao. Os dados est˜ ao abaixo de forma ordenada.
18997,6 18999,0 18999,4 19000,0 19000,9 19001,6
18997,7 18999,0 18999,5 19000,1 19000,9 19001,8
18998,1 18999,1 18999,6 19000,4 19001,1 19001,8
18998,5 18999,1 18999,8 19000,6 19001,2 19002,1
18998,6 18999,2 18999,9 19000,7 19001,4 19002,9
a) Montar a tabela de distribuic˜ ao de freq¨ uencias.
Diametro X i f i f ri pi(%) P i(%)18997, 6
18998, 6 18998, 1 4
18998, 6 18999, 6 18999, 1 818999, 6 19000, 6 19001, 1 619000, 6 19001, 6 19002, 1 719001, 6 19002, 9 19002, 25 5
Tabela 1.6: Distribuicao de frequencias
b) Montar o histograma.
c) Calcular a media.
x =
30i=1
xi
30=
570002
30=
d) Calcular o desvio-padr˜ ao.
s2 =
30
i=1
(xi − x)2
n − 1=
52, 4344
30 − 1=
e) Dado que o verdadeiro diametro do furo de uma peca e 19001.Utilize a distribuic˜ ao normal
para calcular a probabilidade do sitema de medic˜ ao reprovar essa peca.
1.10 Teorema do Limite Central
O teorema central do limite e um resultado estatıstico fundamental em aplicacoes praticas,pois este teorema garante que mesmo que os dados nao sejam distribuıdos conforme uma dis-
tribuicao normal, a media dos dados converge para a distribuicao normal conforme o numero
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 20
de dados aumenta. Para ilustrar, considere os dados da tabela 1.7 com histograma apresentado
na figura 1.10.
0 ,1 80 39 0 ,06 105 0, 332 64 1 ,05 89 0, 04 61 1 2 ,0 79 19 0, 16 42 6 0 ,1 37 56 2 ,25 764 0 ,6 96 11 0 ,00 666 1, 43 68 5
0 ,0 48 58 0 ,05 189 0, 049 37 4 ,00 06 2, 44 30 9 1 ,1 92 79 0, 36 03 4 0 ,1 48 96 1 ,02 117 0 ,2 27 75 0 ,19 664 0, 67 20 92 ,0 48 99 0 ,00 578 0, 247 81 0 ,43 687 0, 02 99 1 0 ,5 23 21 1, 19 93 1 0 ,9 70 63 0 ,65 404 1 ,2 89 9 0 ,56 337 0, 28 80 90,29371 0,07804 0,483 0,2983 3,75236 0,283 0,01252 0,07863 1,51493 0,58831 0,40478 0,126921,82698 0,9184 1,30431 0,68007 3,9539 1,00186 2,1392 0,65945 2,44657 2,26175 0,04064 0,908530,70571 2,32028 1,44356 1,04687 3,07768 0,91547 1,0711 0,78354 0,10735 1,8086 3,58991 0,289850 ,1 00 34 1 ,09 242 0, 115 91 0 ,93 788 0, 86 55 5 0 ,1 11 35 0, 22 06 4 2 ,5 47 24 2 ,32 252 0 ,2 11 21 0 ,99 732 0, 73 89 40 ,1 80 68 0 ,03 391 0, 335 54 2 ,82 354 0, 21 89 6 0 ,6 15 99 2, 70 12 2 0 ,5 90 41 0, 92 96 0 ,3 72 08 0 ,96 049 0, 97 88 61,67637 0,3829 0,66678 1,27616 0,15644 1,49853 0,2438 0,69662 0,03946 1,68575 1,68336 1,972480,75177 0,14673 0,85142 0,60226 0,10131 0,00041 1,04934 0,71689 0,6841 0,40779 0,655 2,598911 ,8 69 95 0 ,11 694 1 ,0 70 2 5 ,24 055 0, 91 62 9 0 ,7 44 49 1, 54 70 6 1 ,7 19 29 0 ,57 949 0 ,0 60 82 4 ,50 549 1, 31 12 11,20456 1,32523 0,15098 3,82457 2,21574 1,24752 3,01742 0,48124 0,50226 0,752 0,07319 0,75321 ,8 45 46 1 ,00 032 0, 181 13 1 ,95 966 0, 12 04 3 0 ,0 27 55 1, 12 13 4 0 ,1 58 25 0 ,39 719 0 ,7 39 28 0 ,75 933 0, 98 66 50,20692 1,04208 0,77392 0,53456 0,37931 0,55943 0,1528 0,32622 1,34607 0,1881 0,63464 0,013681 ,0 70 56 1 ,56 307 3, 975 67 0 ,12 068 0 ,0 59 1 0 ,0 93 11 0, 13 43 3 1 ,1 33 53 0 ,06 729 0 ,7 33 02 3 ,68 017 0, 36 33 40,33364 0,10242 0,24987 0,436 0,63775 0,92961 0,1736 0,5642 0,07914 1,69506 3,81342 1,18567
0,835 1,0241 1,75904 0,655 1,5316 2,38105 1,31363 4,87441 1,87911 1,19198 4,01736 0,989980 ,9 75 58 0 ,70 493 0, 023 62 1 ,83 92 0, 23 14 9 0 ,4 25 28 0, 70 00 5 0 ,8 14 29 0 ,14 648 1 ,1 41 52 1 ,63 649 0, 42 35 40,49084 0,42526 0,21363 1,71473 0,1912 0,30273 0,50795 0,59502 0,0055 0,99069 0,05411 0,080151 ,8 89 66 2 ,54 082 0, 058 87 0 ,49 302 1, 94 56 3 2 ,8 89 59 0, 76 71 5 0 ,0 89 22 1 ,50 332 1 ,4 41 35 0 ,25 575 0, 52 35 61 ,2 11 21 1 ,63 265 2, 490 13 0 ,58 964 0, 73 06 7 0 ,58 09 0, 20 30 9 1 ,1 98 91 0 ,41 577 4 ,8 33 29 0 ,83 598 3, 31 92 1
0 ,3 74 5 0 ,55 206 0, 961 08 0 ,87 766 0, 52 77 7 0 ,1 06 78 0, 89 24 7 0 ,6 86 66 0 ,40 921 3 ,1 36 98 0 ,15 909 0, 78 27 61,19616 1,31787 0,1115 0,3589 0,61516 2,2579 0,5537 1,12084 1,18308 5,6274 0,38246 1,260490,30181 1,88888 0,9136 1,7155 0,49844 1,80252 0,78627 2,30031 0,37888 0,27255 0,13101 0,254513,21402 2,01428 1,5868 0,01396 0,31211 1,41659 0,20996 0,56251 0,64183 0,7217 0,01722 0,25670,0903 2,67363 0,38425 0,17188 4,38611 0,47624 1,7204 1,97416 0,15397 0,20741 1,23387 0,83222
2,61544 0,34815 3,7862 0,17602 0,49381 1,11899 0,33027 0,91986 1,10484 0,3501 0,6366 0,640130 ,4 97 25 0 ,29 042 2, 321 41 0 ,56 294 1, 10 05 8 0 ,2 37 71 0, 16 61 1 0 ,1 94 64 0 ,53 044 1 ,1 02 23 2 ,63 819 1, 73 76 70 ,3 51 47 0 ,13 475 2, 317 99 1 ,42 038 0, 28 47 7 0 ,6 15 07 0, 70 72 2 0 ,1 69 77 2 ,07 863 0 ,2 14 53 2 ,31 535 0, 06 88 50,97265 0,05683 0,08027 0,6846 0,29454 0,40381 0,38346 0,3467 0,08971 0,29033 0,71624 2,057920 ,7 79 07 0 ,04 533 1, 214 07 0 ,15 632 1, 54 65 1 1 ,0 33 75 0, 20 11 2 0 ,2 14 92 1 ,23 729 0 ,0 22 09 1 ,92 794 1, 81 13 90,25324 0,06947 0,14656 1,43476 0,58053 0,2361 1,30842 0,90432 0,38311 0,01359 0,2938 1,034440 ,5 76 09 0 ,00 047 0, 150 99 0 ,74 214 0, 88 67 3 1 ,04 56 3, 40 52 2 1 ,3 17 29 0 ,19 672 0 ,8 40 27 0 ,38 748 1, 29 32 7
Tabela 1.7: Dados Exponenciais
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 21
Figura 1.10: Dados Exponenciais
Notamos que o grafico mostra que o conjunto de dados segue uma distribuicao nao simetrica,
mas se agruparmos os valores do conjunto de dados em grupos de 5 e tirando a media de cada
grupo, temos o seguinte grafico (figura 1.11):
Percebemos que a media dos dados foi deslocada, fazendo com que os dados mudassem suas
caracterısticas de simetria. Novamente, vamos agrupar os dados em grupos de 5 e tirar a media.
O resultados estao na figura 1.12.
Como percebemos, este grafico ja possui uma distribuicao similar a da distribuicao normal.
Teorema do Limite Central: Para amostras grandes, a distribuicao amostral da
media pode ser aproximada pela distribuicao normal.
Se combinarmos esse resultado com
µx = µ e σx = σ√n
para amostras aleatorias de populacoes infinitas, temos que se e a media de uma amostra
aleatoria de tamanho n retirada de uma populacao infinita com media e desvio padrao X , para
n grande
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 22
Figura 1.11: Media de grupos de 5
z =X − µ
σ /√
n
representa os valores de uma variavel aleatoria com distribuicao normal com media zero e desvio
padrao igual a 1.
O Teorema Central do Limite e de fundamental importancia em estatıstica porque justifica
o intenso uso da curva normal. Ele se aplica a populacoes infinitas, e tambem em populacoes
finitas quando n, embora grande, constitui-se em uma pequena porcao da populacao. E difıcil
dizer precisamente quao grande deve ser n para que o Teorema Central do Limite possa ser
aplicado, mas a menos da distribuicao populacional tenha uma forma muito ”estranha”n = 30
e considerado suficientemente grande.
Nota: Quando uma amostra proveniente de uma populacao realmente normal, a distribuicao
amostral da media e normal nao importando o tamanho de n.
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 23
Figura 1.12: Medias
1.11 Distribuicao amostral do desvio padrao
Uma importante distribuicao amostral associada a amostras aleatorias de variaveis normais
corresponde a distribuicao qui-quadrado (χ2). Suponha que Z 1,...,Z n sao variaveis aleatorias
normalmente distribuıdas com media zero e variancia 1. Entao, a variavel aleatoria
Qn = Z 21 + ... + Z 2n
tem distribuicao qui-quadrado com n graus de liberdade (χ2n). A funcao densidade da qui-
quadrado e definida por:
f (x) =1
2n/2Γ(n/2)x(n/2)−1 exp(−x/2) ; x > 0.
A distribuicao qui-quadrado e assimetrica e tem media E (Qn) = n e variancia V ar(Qn) = 2n.Como um exemplo de uma variavel aleatoria qui-quadrado, suponha que y1,...,yn sao
variaveis aleatorias normais independentes e identicamente distribuıdas com media µ e desvio
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 24
padrao σ. Entao, temos que a estatıstica
Qn =
ni=1(yi − y)2
σ2=
(n − 1)s2
σ2
tem distribuicao qui-quadrado com (n-1)graus de liberdade, onde s e o desvio padrao amostral.
Graus de liberdade
Ao denotarmos
SS =n
i=1
(yi − y)2 = (n − 1)s2
obtemos que
E (SS ) = E n
i=1
(yi − y)2
= E n
i=1
y2i − n(y)2
=
ni=1
(µ + σ2) − n(µ + σ
2
n )2 = (n − 1)σ2.
A quantidade (n−1) multiplicando σ2 e denominado graus de liberdade da soma de quadra-
dos SS . De forma geral, se tomarmos Y uma variavel aleatoria com variancia σ2, a soma de
quadrado
SS =n
i=1
(yi − y)2.
Tem graus de liberdade ν seE (SS ) = νσ2.
O numero de graus de liberdade de uma soma de quadrados corresponde ao numero de ele-
mentos independentes na soma de quadrados. Por exemplo, se y1,...,yn sao variaveis aleatorias
normais independentes e identicamente distribuıdas com media µ e desvio padrao σ. Entao, os
elementos da soma de quadrados y1 − y,...,yn − y, nao sao todos independentes, pois
ni=1
(yi − y).
Na realidade, somente (n − 1) destes elementos sao independentes, implicando que SS tem
(n − 1) graus de liberdade.
1.12 A Distribuicao t-Student
Em calibracoes, nao conhecemos o desvio padrao da medicao e coletamos amostras de
tamanho pequeno (3 a 10), que nao permite uma boa estimativa do desvio padrao. Considere
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 25
que as leituras realizadas por um equipamento sao modeladas por variaveis X 1,...,X n indepen-
dentes e com distribuicao normal com media e desvio padrao. Entao, a variavel
t =X − µ
s/√n
onde s e o desvio padrao amostral, tem distribuicao t-student com n − 1 graus de liberdade.
Figura 1.13: Funcao densidade da distribuicao t-Student
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 26
Para calcularmos os valores da distribuicao t-Student precisamos conhecer o grau de liber-
dade ”ν ”, associado ao numero de repeticoes da medida. Os graus de liberdade para uma
amostra com n repeticoes da mesma medida e definido por
ν (graus de liberdade) = n − 1.
Exemplo 1.15. A media de uma serie de dez medic˜ oes de uma anel padr˜ ao e 40,0078 mm
com um desvio padr˜ ao de 0,0002 mm. Qual o intervalo do resultado da medic˜ ao com confianca
de 95% ?
Solucao
Graus de liberdade: 10 - 1 = 9
Prob[−t2.5 ≤ X − µ
s/√
n≤ t2.5] = 0, 95.
O intervalo de 95% e dado por:
X
±t2,5
s
√nonde t2,5 e o valor tabelado igual a 2,262. Assim, o intervalo de confianca com 95% e :
40, 0078 ± 2, 2620, 0002√
10= 0, 000143.
Exercıcio 1.4. Continuando o exercıcio 1.3, a mesma peca que foi medida no ch˜ ao de f´ abrica
da empresa, foi enviada ao laborat´ orio de Metrologia para determinar o valor de referencia.
Ap´ os 100 medic˜ oes da peca, o laborat´ orio da RBC determinou o valor de referencia para a
peca VR=19001 µm. Avaliar a consistencia das medic˜ oes da empresa com relac˜ ao ao valor
de referencia (estudo de tendencia). Na seq¨ uencia vamos determinar o intervalo de confianca
para a media das medic˜ oes da empresa.
LI = X − t2,5s√n
=
LS = X + t2,5
s√n =
Conclus˜ ao:
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1.13 A estatıstica F e a distribuicao F de Snedecor
Considere Qn e Qm variaveis aleatorias com distribuicao qui-quadrado com n e m graus de
liberdade respectivamente, alem disso, vamos supor que estas variaveis aleatorias sao indepen-
dentes. Entao a variavel aleatoria
F =Qn/n
Qm/m
tem distribuicao F de Snedecor com n graus de liberdade no numerador e m graus de liberdade
no denominador. A funcao densidade de probabilidade e definida por
f (x) =
Γ
m + n
2
m
n
m2
xm2−1
Γ
m2
Γ
n2
mn
x + 1
m+n
2
.
Um importante exemplo da distribuicao F de Snedecor corresponde a estatıstica F . Suponha
que temos duas populacoes independentes tendo distribuicoes normais com variancia comum
igual a σ2 . Considere y11,...,y1n uma amostra aleatoria da primeira populacao com n ob-
servacoes e y21,...,y2m uma amostra aleatoria da segunda populacao com m observacoes. Entao,
a estatıstica
F =
(n
−1)s2
1
(n − 1)σ2
(m − 1)s22
(m − 1)σ2
tem distribuicao F de Snedecor com (n − 1) graus de liberdade no numerador e (m − 1) graus
de liberdade no denominador, onde s1 e s2 sao os desvios padrao amostrais.
1.14 Teste para Duas Variancias
Suponha que queiramos comparar as variancias σ21 e σ2
2 de duas populacoes normais inde-
pendentes. Para isso retiramos uma amostra aleatoria X 1, X 2,..., da populacao 1, e Y 1, Y 2,...,
da populacao 2. Ja vimos que
Q1 =(n1 − 1)s2
1
σ21
∼ χ2(n1−1)
Q2 = (n2 − 1)s22
σ22
∼ χ2(n2−1)
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 28
onde s21 e a variancia amostral da populacao 1 e s2
2 a variancia amostral da populacao 2.
Entao a estatıstica F definida por
F =
Q1n
1 −1
Q2n2 − 1
=s2
1s22
tem distribuicao ”F de Snedecor”com (n1 −1) graus de liberdade no numerador e (n2 −1) graus
de liberdade no denominador, e denotamos F (n1−1)(n2−1) .
Para executar um teste, podemos seguir os passos:
1) Estabelecer as hipoteses, por exemplo
H 0 : σ21 = σ2
2
H 1 : σ21 = σ2
2
que e equivalente a
H 0 :σ2
1
σ22
= 1
H 1 :σ2
1
σ22
= 1.
2) Fixar o nıvel de significancia α.
3) Determinar a regiao crıtica; neste caso devemos determinar os pontos crıticos F 1−α2
e
F α2
com (n1 − 1) graus de liberdade no numerador e (n2 − 1) graus de liberdade no
denominador usando a tabela da distribuicao ”F de Snedecor”. Graficamente:
4) Calcular, sob a hipotese nula, o valor
F obs =s2
1
s22
onde:
s21: variancia da amostra retirada da populacao 1.
s22: variancia da amostra retirada da populacao 2.
5) Conclusao, neste caso se F obs < F 1−α2
ou F obs > F α2
, rejeita-se H 0, caso contrario, aceita-se
H 0.
6) Temos que
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P-valor = 2 ∗ min P [F > F obs|H 0] ; P [F < F obs|H 0]
Observacao: Geralmente, nao se tem interesse aqui em considerar hipoteses alternativas
do tipo H 1 : σ21 > σ2
2 ou H 1 : σ21 < σ2
2.
Exemplo 1.16. Para avaliar a efic´ acia de um sistema de medic˜ ao, uma empresa enviou uma
peca para um laborat´ orio do cliente medir. Esta peca foi medida 30 vezes pelo laborat´ orio
cliente, obtendo uma variancia de 70 microns. A mesma peca foi medida tambem 30 vezes
pelo laborat´ orio da empresa obtendo uma variancia de 81 microns. Considerando α = 0, 05,
podemos concluir que a variancia do sistema de medic˜ ao do cliente e menor que a variancia do
sistema de medic˜ ao da empresa?
Resposta:
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 30
1)
H 0 : σ21 = σ2
2
H 1 : σ
2
1 = σ
2
2
2) α = 0.05.
3) Regiao crıtica
4) F obs =S 21S 22
= 8170 = 1, 157
5) Conclusao: F 0.975 = 0, 476 e F 0.025 = 2, 1
Como F 0.025 ≤ F obs ≤ F 0.975 , nao rejeitamos H 0.
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 31
6) Temos que
P-valor= 2 ∗ minP [F > 1, 157|H 0] ; P [F < 1, 157|H 0] = 2 ∗ min0, 35;0, 65 = 0, 7.
Assim, como o P − valor = 0, 7 > 0, 05, nao rejeitamos a hipotese H 0.
1.15 Teste de Valor Extremo (Grubbs)
Este teste e desenvolvido para verificar a presenca de valores extremos em observacoes
amostrais. Valores extremos podem ser considerados como manifestacoes da variabilidade
aleatoria inerente aos dados, ou apenas um erro no calculo durante o recolhimento dos da-
dos e ate mesmo uma anotacao preciptada pelo operador.
Existem inumeros criterios para testar valores extremos. Em todos eles, desenvolvemos o
calculo numerico amostral (Estatıstica) e comparamos com um valor crıtico baseado na teoria
de amostras aleatorias para decidirmos se existe ou nao uma observacao considerada valor
extremo.
No teste de Grubbs, usamos a seguinte estatıstica:
Z =|xi − x|
s
onde
• xi: e uma observacao da amostra x1, x2, · · · , xn;
• x: e a media amostral e ;
• s: e o desvio padrao amostral.
Esta estatıstica testa as seguintes hipoteses:
H 0 : xi e uma observacao considerada valor extremo
H 1 : xi nao e uma observacao considerada valor extremo.
Rejeitamos a hipotese H 0, com nıvel de significancia α, se Z > Z c. Onde Z c e um valor
crıtico baseado na distribuicao de Z e encontra-se tabelado (Ver F. E. Grubbs (1969) ) para
alguns valores de α. Na Tabela B.3, encontra-se alguns valores crıticos para 5%.
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 32
1.16 Teste de Dixon
O teste de DIXON e um criterio para rejeicao de valores extremos de um conjunto de dados.
Objetivo: Determinar valores extremos em conjunto de dados.
Exemplo 1.17. Um metrologista realizou uma serie de medidas com uma Regua graduada. As
medidas s˜ ao: 20,1; 19,9; 20,2; 19,9; 21,1; 20,0.
Para sabermos se o resultado 21,1 pertence a mesma distribuic˜ ao dos outros 5 , aplicamos
o Teste de Dixon.
Etapas do Teste de Dixon
a) Etapa 1 - Ordenar os dados;
19,9 19,9 20 20,1 20,2 21,1
Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 ou ZH
b) Etapa 2 - Calcular a Estatıstica;
N´ umero de Repetic˜ oes rD Z H (suspeito) Z 1 (suspeito)
3 ≤ H ≤ 7 Q10 (Z H − Z H−1)(Z H − Z 1) (Z 2 − Z 1)(Z H − Z 1)
8 ≤ H ≤ 12 Q11(Z H − Z H−1)
(Z H − Z 2)(Z 2 − Z 1)
(Z H−1 − Z 1)
13 ≤ H Q22(Z H − Z H−2)
(Z H − Z 3)(Z 3 − Z 1)
(Z H−2 − Z 1)
Z H (suspeito) =21, 1 − 20, 2
21, 1 − 19, 9= 0, 75
Z 1(suspeito) = 19, 9 − 19, 921, 1 − 19, 9 = 0
c) Etapa 3 - Encontrar o Valor Crıtico na Tabela, para 5% de significancia;
Valor Crıtico = 0,628.
Como o valor calculado de Z H (suspeito) e maior do que o valor tabelado conclui-se pela
rejeic˜ ao da medida 21,1mm.
Como o valor calculado de Z 1 (suspeito) e menor do que o valor tabelado conclui-se pela
n˜ ao rejeic˜ ao da medida 19,9mm. Ap´ os a rejeic˜ ao de um dos extremos devemos aplicar
mais uma vez o Teste de Dixon nos novos valores extremos.
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 33
Exercıcio 1.5. Considere um sistema de medic˜ ao do diametro por uma coluna pneum´ atica.
O equipamento realizou 8 medic˜ oes, conforme abaixo: 12,5013; 12,5012; 12,5016; 12,5015;
12,5018; 12,5030; 12,5022; 12,5022.
a) Etapa 1 - Ordenar os dados;
b) Etapa 2 - Calcular a Estatıstica;
c) Etapa 3 - Comparar com a tabela e concluir.
Valor de RD Valores crıticos
Q10 H 5%3 0.970
4 0.8295 0.7106 0.6287 0.569
Q11 8 0.6089 0.504
10 0.53011 0.50212 0.479
Q22 13 0.61114 0.58615 0.56516 0.54617 0.52918 0.51419 0.501
20 0.48921 0.48822 0.46823 0.45924 0.45125 0.44426 0.43627 0.42928 0.42329 0.417
Valor de RD Valores crıticos
Q22 30 0.41231 0.40732 0.40233 0.397
1.17 Teste de Cochran
(HOMOGENEIDADE DE VARIANCIA)
O teste de Cochran e usado para comparar a maior variancia com as outras varianciasde um grupo. Pode ser utilizado para comparar metrologistas, metodos ou laboratorios.
Para aplicar o Teste de Cochran vamos seguir as seguintes etapas a seguir:
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 34
a) Etapa 1 - Calcular a Estatıstica;
C =s2
max
pi=1 s2
i
=maior variancia
soma de todas as variancias
onde:
• p: representa o numero de metrologistas, metodos ou laboratorios;
• s2i : representa a variancia amostral. Esta e calculada por:
s2i =
n j=1(y j − y)2
n − 1;
• n: representa o numero de medidas feitas por cada metrologista, metodos ou labo-
ratorios.
b) Etapa 2 - Comparar com valor tabelado.
Exemplo 1.18. Em um laborat´ orio de metrologia, 4 metrologistas realizam 5 medic˜ oes para
calibrarem um certo equipamento. veja as medic˜ oes na tabela 1.9.
METROLOGISTAS
JO˜AO NOVATO MOACIR ROBERTO
MEDIDA 1 50,0071 50,007 50,0072 50,0073
MEDIDA 2 50,0072 50,0076 50,0074 50,0074
MEDIDA 3 50,0072 50,0075 50,0073 50,0073
MEDIDA 4 500.071 50,0071 50,0072 50,0072
MEDIDA 5 500.072 50,0078 50,0072 50,0072
MEDIA 50,00716 50,0074 50,00726 50,00728
DESVIO PADRAO 0,000055 0,00034 0,000089 0,000084
VARIANCIA 0,000000003 0,000000115 0,000000008 0,000000007
Tabela 1.8: Tabela resumo das medicoes dos metrologistas
Observamos que S 2max = 0, 000000115, com isso:
C calculado =0, 000000115
0, 000000003 + 0, 000000115 + 0, 000000008 + 0, 000000007= 0, 985
C tabelado (Tabela C, para 5% de significancia) = 0,629. Portanto, como C calculado > C tabelado,
a variancia do metrologista NOVATO n˜ ao e homogenea em relac˜ ao a dos demais metrologistas.
Exercıcio 1.6. Considere um laborat´ orio de metrologia com 4 metrologistas realizando o mesmotipo de calibrac˜ ao. Ao realizarmos uma comparac˜ ao interlaboratorial, obtemos os seguintes
resultados:
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 35
METROLOGISTAS
M1 M2 M3 M4
MEDIDA 1 12,501 12,502 12,502 12,501
MEDIDA 2 12,501 12,501 12,502 12,501
MEDIDA 3 12,502 12,501 12,502 12,501
MEDIDA 4 12,503 12,502 12,501 12,501
MEDIDA 5 12,502 12,501 12,501 12,502
MEDIDA 6 12,502 12,501 12,503 12,501
M EDIA
DESVIO PADR ˜ AO
VARI ANCIA
Avaliar a homogeneidade dos quatro metrologistas!
Tabela C para um nıvel de significancia de 5%.
p n=4 n=5 n=6
2 0,939 0,906 0,877
3 0,798 0,746 0,707
4 0,684 0,629 0,59
5 0,598 0,544 0,506
6 0,532 0,48 0,445
7 0,48 0,431 0,397
8 0,428 0,391 0,36
9 0,403 0,358 0,328
10 0,373 0,321 0,302
1.18 Teste de Igualdade das Variancias
Apesar de utilizarmos o grafico de resıduos para avaliar a igualdade de variancia, diversos
testes estatısticos podem ser encontrados na literatura. Considere as hipoteses
H 0 : σ21 = σ2
2 = ... = σ2k
H 1 : pelo menos um dos σ2
’s diferente.
Os metodos mais utilizados sao o teste de Bartlett e o teste de Levene.
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 36
1.18.1 Teste de Bartlett
Este procedimento consiste em calcular uma estatıstica cuja distribuicao amostral e aprox-
imada por uma qui-quadrado com k − 1 graus de liberdade.
A estatıstica de teste e
B0 =q
c
onde
q = (N − k) ∗ ln s2 p −
ki=1
(ni − 1) ∗ ln s2
i
c = 1 +1
3 ∗ (k − 1) k
i=1
1
ni − 1 −1
N − k
s2 p =
ki=1
(ni − 1)s2i
N − k; s2
i =
ni j=1
(yij − yi.)2
ni − 1
A quantidade q e grande quando as variancias amostrais s2i sao significativamente diferentes
e e igual a 0 quando estas variancias sao iguais. Portanto, rejeitamos H 0 para valores de B0
forem alto, isto e, rejeitamos H 0 se
B0 > Q[1−α;k−1].
Onde Q[1−α;k−1] representa o percentil com (1 − α) ∗ 100% da distribuicao qui-quadrado com
k − 1 graus de liberdade. O P-valor e calculado por
P − valor = P [ χ2(k−1) > B0 | H 0 ].
Exemplo 1.19. Vamos aplicar aos dados do Exemplo1.18 o metodo de Bartlett para testar a
igualdade de variancia. As variancias amostrais s˜ ao
s2JOAO = 0, 0000000030; s2
NOV AT O = 0, 0000001156;
s2MOACIR = 0, 0000000079; s2
ROBERTO = 0, 0000000071.
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 37
Ent˜ ao, temos que
s2 p =
4 ∗ (0, 0000000030) + 4 ∗ (0, 0000001156) + 4 ∗ (0, 0000000079) + 4 ∗ (0, 0000000071)
20 − 4
= 0, 000033.
Logo
q = [16 ∗ ln(0, 000000033)] − 4 ∗ [ln(0, 0000000030) + ln(0, 0000001156)]
− 4 ∗ [ln(0, 0000000079) + ln(0, 0000000071)]
= −275, 6281 − −292, 0694
= 16, 44.
Temos tambem que
c = 1 +1
3 ∗ 3
1 − 1
16
= 1, 1
Ent˜ ao, a estatıstica do teste
B0 = 16, 44/1, 1 = 14, 94545.
Como Q[0,95;3] = 7, 81, n´ os rejeitamos a hip´ otese de que todas as variancia s˜ ao iguais. Abaixo
calculamos o p-valor para o teste de Bartlett.
P
−valor = P [ χ2
(k
−1) > B0
|H 0 ] = P [ χ2
(3) > 14, 94545
|H 0 ] = 0, 00186386.
Como o p-valor est´ a abaixo de 5% rejeitamos a hip´ otese H 0.
1.18.2 Teste de Levene
Este procedimento consiste em fazer uma transformacao aos dados originais e aplicar os
dados transformados ao teste da ANOVA. Levene (1960) proproe a seguinte transformacao:
zij = |xij − xi.| , i = 1, · · · , k, e j = 1, · · · , ni. (1.1)
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 38
onde
• zij: representa os dados apos transformacao;
•xij: representa os dados originais;
• xi.: representa a media do nıvel i, para os dados originais;
• As duas barras verticais representa o modulo ou valor absoluto da diferenca.
Uma transformacao (robusta) alternativa considerada para o procedimento de Levene, pro-
posto por Brown (1974), e substituir a media do nıvel pela mediana. Com isso, a expressao 1.1
e substituıda por
zij = |xij − xi.| , i = 1, · · · , k, e j = 1, · · · , ni (1.2)
onde
• zij: representa os dados apos transformacao;
• xij: representa os dados originais;
•xi.: representa a mediana do nıvel i, para os dados originais;
• As duas barras verticais representa o modulo ou valor absoluto da diferenca.
Apos a transformacao dos dados originais pela expressao 1.2, aplicamos o teste da ANOVA.
Se a estatıstica F for significativa rejeitamos a hipotese de igualdade das variancias, ou seja, se
o p-valor for inferior ao valor de α (nıvel de significancia do teste) rejeitamos H 0.
Exemplo 1.20. Utilizando os dados do Exemplo1.18 iremos aplicar o teste de Levene para
testar a igualdade de variancia. Os dados est˜ ao apresentados na tabela 1.9.
Usando a express˜ ao 1.2, para os dados da medic˜ ao metrologista JO ˜ AO ( i = 1), obtemos os
dados transformado que s˜ ao dados por:
z11 = |50, 0071−50, 0072| = 0, 0001 ; z12 = |50, 0072−50, 0072| = 0 ; z13 = |50, 0072−50, 0072| = 0;
z14 = |50, 0071 − 50, 0072| = 0, 0001 ; z15 = |50, 0072 − 50, 0072| = 0.
Fazendo o mesmo para os demais nıveis, obtemos a tabela 1.10 com os dados transformados
para todos os nıveis.
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 39
JOAO NOVATO MOACIR ROBERTOMEDIDA 1 50,0071 50,007 50,0072 50,0073MEDIDA 2 50,0072 50,0076 50,0074 50,0074MEDIDA 3 50,0072 50,0075 50,0073 50,0073MEDIDA 4 50,0071 50,0071 50,0072 50,0072
MEDIDA 5 50,0072 50,0078 50,0072 50,0072SOMA (xi.) 250,036 250,037 250,036 250,036 x.. = 1000, 146
MEDIA (xi.) 50,0072 50,0074 50,0073 50,0073 x.. = 50, 0073MEDIANA ( xi.) 50,0072 50,0075 50,0072 50,0073
Tabela 1.9: Tabela resumo das medicoes dos metrologistas
Operador Medicoes
JOAO 0,0001 0,0000 0,0000 0,0001 0,0000NOVATO 0,0005 0,0001 0,0000 0,0004 0,0003
MOACIR 0,0000 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000ROBERTO 0,0000 0,0001 0,0000 0,0001 0,0001
Tabela 1.10: Dados Transformados para as Medicoes
Com os dados transformados, aplicamos o teste da Anova. A tabela 1.11 apresenta o resul-
tado do teste.
Fonte de Soma de Graus de Quadrados Estatıstica F P-valor
Variacao Quadrados Liberdade MediosFator 1,615e-07 3 5,3833e-08 3,778 0,0318Erro 2,280e-07 16 1,4250e-08Total 3,895e-07 19
Tabela 1.11: Analise de Variancia para os dados transformados.
Como o p-valor e menor que 5%, temos evidencias para rejeitar a hip´ otese de igualdade de
variancias.
1.19 Comparacao entre Sistemas de Medicao
Aqui, vamos apresentar uma tecnica para comparar dois sistemas de medicao. Para ilustrar,
vamos considerar um exemplo.
Exemplo 1.21. O diametro de um anel padr˜ ao pode ser medido por dois tipos de sistemas de
medic˜ ao. Para comparar estes sistemas de medic˜ ao, um anel padr˜ ao foi medido 5 vezes por
cada sistema de medic˜ ao utilizando o mesmo operador. Os resultados est˜ ao abaixo:
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1. Noc˜ oes Basicas de Estatıstica 40
SM 1 SM 2
Media 15,601mm 15,603mm
Incerteza Expandida 0,001mm 0,0015mm
Etapa 1: Calcular a Estatıstica:
EN =|MSM 1 − MSM 2|√
U SM 12 + USM 22
onde:
• MSM1: representa a media do sistema de medic˜ ao 1;
• MSM2: representa a media do sistema de medic˜ ao 2;
• USM1: representa a incerteza expandida do sistema de medic˜ ao1;
• USM2: representa a incerteza expandida do sistema de medic˜ ao2.
Com isso, temos que
EN =|15, 601 − 15, 603| (0, 001)2 + (0, 0015)2
=0, 002
0, 0018= 1, 109
Etapa 2:
• Se EN < 1, os dois sistemas de medic˜ ao s˜ ao compatıveis;
• Se EN > 1, os dois sistemas de medic˜ ao n˜ ao s˜ ao compatıveis, isto e, os sistemas de
medic˜ ao apresentam diferencas significativas.
Como, no exemplo, EN = 1, 109 e maior que 1, concluımos que existe uma diferenca
significativa entre os dois sistemas medic˜ ao.
Exercıcio 1.7. Considere dois sistemas de medic˜ ao de dureza na escala HB. Um mesmo padr˜ ao
foi medido v´ arias vezes por cada sistema, os resultados est˜ ao abaixo:
SM 1 SM 2
Media 56 HB 58,2 HB
Incerteza Expandida 1,25 HB 2,2 HB
EN =|56 − 58, 2|
(1, 25)2 + (2, 2)2= 0, 8695
Como o EN = 0, 8695 e menor que 1, concluımos que n ao existe uma diferenca significativa
entre os dois sistemas medic˜ ao.
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41
Capıtulo 2
Fundamentos do Calculo de Incerteza
em Medicao
2.1 Medicao
O objetivo de uma medicao e determinar o valor de uma grandeza, isto e, um valor particular
de uma quantidade da grandeza. Esta medicao comeca com uma apropriada especificacao da
grandeza, do metodo e procedimento de medicao.
Em geral, o resultado de uma medicao e uma aproximacao ou estimativa do valor da
grandeza. Assim, o resultado da medicao somente esta completo se estiver acompanhado da
incerteza da estimativa.
Na pratica, a especificacao ou definicao da grandeza e consequencia da exatidao (accuracy)
desejada. Para atender a exatidao requerida, a grandeza deve ser especificada de tal forma que,
esta tenha um unico valor para os propositos praticos associados.
Exemplo 2.1. Considere uma haste de 75 mm onde a exatid˜ ao requerida e de micrometros.
Neste caso, sua especificac˜ ao deve incluir a temperatura e press˜ ao. Por outro lado, se o compri-
mento da haste deve ser determinado em milımetros, sua especificac˜ ao n˜ ao requer a definic˜ ao
da temperatura e press˜ ao.
Na grande maioria dos casos, o resultado da medicao e determinado atraves de uma serie
de leituras obtidas sob condicoes de repetitividade. Variacoes obtidas nas leituras repetidas sao
consequencia de fatores que afetam os resultados das leituras.
Alem disso, o modelo matematico da medicao, que transforma as leituras repetidas no
resultado da medicao e crıtico, pois incluı fatores que nao sao totalmente conhecidos. Assim, a
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 42
variacao obtida nas leituras repetidas e a falta de informacao do modelo matematico, contribuem
para a incerteza do resultado da medicao.
Medicao e o conjunto de operacoes com objetivo de determinar o valor de uma grandeza.
Estas operacoes podem ser realizadas automaticamente.Medir e um processo experimental pelo qual o valor momentaneo de uma grandeza fısica
(grandeza a medir) e determinado como multiplo e/ou uma fracao de uma unidade, estabelecida
por um padrao, e reconhecida internacionalmente.
2.2 Erros, efeitos e correcoes
Em geral, uma medicao tem imperfeicoes que dao origem a um erro no resultado da medicao.Tradicionalmente, um erro e visto como tendo dois componentes, a saber, um componente
aleatorio e um componente sistematico.
NOTA - Erro e um conceito idealizado e os erros n˜ ao podem ser conhecidos exatamente.
O erro aleatorio presumivelmente se origina de variacoes temporais ou espaciais, estocasticas
ou imprevisıveis, de grandeza de influencia. Os efeitos de tais variacoes, daqui para a frente
denominamos efeitos aleatorios, sao a causa de variacoes em observacoes repetidas da grandeza.
Embora nao seja possıvel compensar o erro aleatorio de um resultado de medicao, ele pode geral-
mente ser reduzido aumentando-se o numero de observacoes; sua esperanca ou valor esperado
e zero.
NOTAS
1. O desvio padr˜ ao experimental da media aritmetica ou media de uma serie de observac˜ oes
n˜ ao e o erro aleat´ orio da media embora ele assim seja designado em algumas publicac˜ oes.
Ele e, em vez disso, uma medida de incerteza da media devida a efeitos aleat´ orios. O
valor exato do erro na media, que se origina destes efeitos, n˜ ao pode ser conhecido.
2. Deve-se tomar muito cuidado em distinguir entre os termos ”erros”e ”incerteza”. Eles
n˜ ao s˜ ao sinonimos, ao contr´ ario representam conceitos completamente diferentes; eles
n˜ ao deveriam ser confundidos um com o outro, nem ser mal empregados.
O erro sistematico, como o erro aleatorio, nao pode ser eliminado porem ele tambem,
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 43
frequentemente, pode ser reduzido. Se um erro sistematico se origina de um efeito recon-
hecido de uma grandeza de influencia em um resultado de medicao, daqui para diante denom-
inado como efeito sistematico, o efeito pode ser quantificado e, se for significativo com rela cao
a exatidao requerida da medicao, uma correcao ou fator de correcao pode ser aplicado paracompensar o efeito. Supoe-se que, apos esta correcao, a esperanca ou valor esperado do erro
provocado ou um efeito sistematico seja zero.
NOTA - A incerteza de uma correc˜ ao aplicada a um resultado de medic˜ ao, para compensar
um efeito sistem´ atico, n˜ ao e o erro sistem´ atico, freq¨ uentemente denominado efeito de tendencia,
como e algumas vezes denominada no resultado de medic˜ ao devido ao efeito. ´ E, ao contr´ ario,
uma medida de incerteza do resultado devido ao conhecimento incompleto do valor requerido
da correc˜ ao. O erro originado da compensac˜ ao imperfeita de um efeito sistem´ atico n˜ ao pode
ser exatamente conhecido, Os termos ”erro”e ”incerteza”devem ser usados apropriadamente e
deve-se tomar cuidado em distinguir um do outro.
Supoe-se que o resultado de uma medicao tenha sido corrigido para todos os efeitos sis-
tematicos reconhecidos como significativos e que todo esforco tenha sido feito para identificar
tais efeitos.
Exemplo 2.2. Uma correc˜ ao devida a impedancia finita de um voltımetro usado para medir
uma diferenca de potencial (a grandeza), atraves de um resistor de alta impedancia e aplicada
para reduzir o efeito sistem´ atico sobre no resultado da medic˜ ao proveniente do efeito de car-
regamento do voltımetro. Entretanto, os valores da impedancia do voltımetro e do resistor, que
s˜ ao usados para estimar o valor da correc˜ ao e s˜ ao obtidos a partir de outras medidas, s˜ ao,
eles mesmos, incertos. Essas incertezas s˜ ao usadas para avaliar a componente de incerteza da
determinac˜ ao de diferenca de potencial originada da correc˜ ao e, assim, do efeito sistem´ atico
devido a impedancia finita do voltımetro.
NOTA - Freq¨ uentemente, os instrumentos e sistemas de medic˜ ao s˜ ao ajustados ou cali-
brados, utilizando-se padr˜ oes de medic˜ ao e materiais de referencia para eliminar os efeitos
sistem´ aticos; entretanto, as incertezas associadas a esses padr˜ oes e materiais ainda devem ser
levadas em conta.
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 44
2.3 Incerteza de Medicao
A incerteza do resultado de uma medicao reflete a falta de conhecimento exato do valor da
grandeza. O resultado de uma medicao, apos correcao dos efeitos sistematicos reconhecidos, e
ainda, tao somente uma estimativa do valor da grandeza por causa da incerteza proveniente
dos efeitos aleatorios e da correcao imperfeita do resultado para efeitos sistematicos.
NOTA - O resultado de uma medic˜ ao (ap´ os correc˜ ao) pode, sem que se perceba, estar muito
pr´ oximo do valor da grandeza (e, assim, ter um erro desprezıvel), muito embora possa ter uma
incerteza grande. Portanto, a incerteza do resultado de uma medic˜ ao n˜ ao deve ser confundida
com o erro desconhecido remanescente.
Na pratica, existem muitas fontes possıveis d incerteza em uma medicao, incluindo:
a) definicao incompleta da grandeza;
b) realizacao imperfeita da definicao da grandeza;
c) amostragem nao-representativa - a amostra medida pode nao representar a grandeza
definida;
d) conhecimento inadequado dos efeitos das condicoes ambientais sobre a medicao ou medicao
imperfeita das condicoes ambientais;e) erro de tendencia pessoal na leitura de instrumentos analogicos;
f) resolucao finita do instrumento ou limiar de mobilidade;
g) valore inexatos dos padroes de medicao e materiais de referencia;
h) valore inexatos de constantes e de outros parametros obtidos de fontes eternas e usados
no algoritmo de reducao de dados;
i) aproximacoes e suposicoes incorporadas ao metodo e procedimento de medicao;
j) variacoes nas observacoes repetidas da grandeza sob condicoes aparentemente identicas.
Essas fontes nao sao necessariamente independentes e algumas das fontes de a) a i) podem
contribuir para a fonte j). Naturalmente, um efeito sistematico nao reconhecido nao pode ser
levado em consideracao na avaliacao da incerteza do resultado de uma medicao, porem contribui
para seu erro.
NOTA - Em algumas publicac˜ oes, os componentes da incerteza s˜ ao categorizados como
”aleat´ orio”e ”sistem´ atico”e s˜ ao associados com erros provenientes de efeitos aleat´ orios e deefeitos sistem´ aticos conhecidos, respectivamente. Tal categorizac˜ ao de componentes de in-
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 45
certeza pode se tornar ambıgua quando aplicada genericamente. Por exemplo, um componente
”aleat´ orio”de incerteza em uma medic˜ ao pode se tornar um componente ”sistem´ atico”da in-
certeza em outra medic˜ ao na qual o resultado da primeira medic˜ ao e usado como dado de
entrada. Categorizando os metodos de avaliac˜ ao dos componentes de incerteza, em vez de faze-lo com os pr´ oprios componentes, evita-se tal ambig¨ uidade. Ao mesmo tempo, isto n˜ ao impede
designar componentes individuais que tenham sido avaliados pelos dois diferentes metodos em
grupos distintos, a serem usados para uma finalidade em particular.
O proposito da classificacao Tipo A e Tipo B e de indicar as duas maneiras diferentes de
avaliar os componentes da incerteza e serve apenas para discussao; a classificacao nao se propoe
a indicar que haja qualquer diferenca na natureza dos componentes resultando dos dois tipos
de avaliacao. Ambos os tipos d avaliacao sao baseados em distribuicoes de probabilidade e os
componentes de incerteza resultantes de cada tipo sao quantificados por variancias ou desvios
padrao.
A variancia estimada u2, caracterizando um componente de incerteza obtido de uma avaliacao
do Tipo A, e calculada a partir de uma serie de observacoes repetidas, e e a conhecida variancia
s2 estatisticamente estimada. O desvio padrao estimado u, a raiz quadrada positiva de u2, e
portanto u = s e, para maior conveniencia, e por vezes denominada incerteza padrao do TipoA. Para um componente de incerteza obtido por uma avaliacao do Tipo B, a variancia estimada
u2 e avaliada, usando-se o conhecimento disponıvel, e o desvio padrao estimado u e, por vezes,
denominado incerteza padrao do Tipo B.
Assim, uma incerteza padrao do Tipo A e obtida a partir de uma funcao densidade de
probabilidade derivada da observacao de uma distribuicao de frequencia, enquanto que a in-
certeza padrao do Tipo B e obtida de uma suposta funcao densidade de probabilidade, baseada
no grau de credibilidade de que um evento va ocorrer (frequentemente chamada probabilidadesubjetiva). Ambos os enfoques empregam interpretacoes reconhecidas de probabilidade.
NOTA - Uma avaliac˜ ao do Tipo B de um componente de incerteza e usualmente baseada
em um conjunto de informac˜ oes comparativamente confi´ aveis.
A incerteza padrao do resultado de uma medicao, quando este resultado e obtido de valores
e um numero de outras grandezas, e denominada incerteza padrao combinada e designada ou
uc. Ela e o desvio padrao estimado, associado com o resultado, e e igual a raiz quadrada positiva
da variancia combinada, obtida a partir de todos os componentes da variancia e covariancia,
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 46
independente de como tenham sido avaliados, usando o que e denominado, de lei da propagacao
de incerteza.
Para satisfazer as necessidades de algumas aplicacoes industriais e comerciais, assim como a
requisitos nas areas da saude e seguranca, uma incerteza expandida U e obtida, multiplicando-se a incerteza padrao combinada uc por um fator de abrangencia k. A finalidade pretendida
para U e fornecer um intervalo em torno do resultado de uma medicao, com o qual se espera
abranger uma grande fracao da distribuicao de valores que poderiam razoavelmente ser atribuıda
a grandeza. A escolha de k, o qual esta geralmente na faixa de 2 a 3, e baseada na probabilidade
de abrangencia ou nıvel da confianca requerido do intervalo.
NOTA - O fator de abrangencia k deve sempre ser declarado de forma que a incerteza padr˜ ao
da grandeza medida possa ser recuperada para uso no c´ alculo de incerteza padr˜ ao combinada
de outros resultados de medic˜ ao que possam depender dessa grandeza.
Se houver variacao de todas as grandezas das quais o resultado de uma medi cao depende,
sua incerteza podera ser calculada por meios estatısticos. Entretanto, uma vez que isso, na
pratica, raramente e possıvel, devido a tempo e recursos limitados, a incerteza de um resultado
de medicao e, geralmente, avaliada, utilizando-se um modelo matematico da medicao e a lei
de propagacao da incerteza. Assim, esta implıcita a suposicao de que uma medicao pode ser
modelada matematicamente ate o grau imposto pela exatidao requerida na medicao. Uma
vez que o modelo matematico pode ser incompleto, todas as grandezas relevantes dever ser
variadas ate a maior extensao pratica possıvel, de modo que a avaliacao da incerteza possa ser
baseada, tanto quanto possıvel, nos dados observados. Sempre que factıvel, o uso de modelos
empıricos da medicao, fundamentados em dados quantitativos, colecionados ao longo do tempo,
e o uso de padroes de verificacao e graficos de controle que possam indicar se uma medi cao
esta sob controle estatıstico, devem ser parte do esforco de obtencao de avaliacoes confiaveis
de incerteza. O modelo matematico devera sempre ser revisado quando os dados observados,
incluindo o resultado de determinacoes independentes da mesma grandeza, demonstrarem que
o modelo esta incompleto. Um experimento bem projetado pode, muito, facilitar avaliacoes
confiaveis da incerteza e e uma parte importante da arte de medicao.
De forma a decidir se um sistema de medi cao esta funcionando adequadamente, a vari-
abilidade observada experimentalmente de seus valores de saıda, conforme medida pelo seu
desvio padrao observado, e, frequentemente, comparada com o desvio padrao previsto obtido,
combinando-se os varios componentes da incerteza que caracterizam a medicao. Em tais ca-
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 47
sos, somente aqueles componentes (obtidos de avaliacoes Tipo A ou Tipo B) que poderiam
contribuir para a variabilidade experimentalmente observada destes valores de saıda devem ser
considerados.
NOTA - Tal an´ alise pode ser facilitada, reunindo-se aqueles componentes que contribuem
para a variabilidade e aqueles que n˜ ao o fazem em dois grupos separados e adequadamente
rotulados.
Em alguns casos, a incerteza de uma correcao para um efeito sistematico nao precisa ser
incluıda na avaliacao da incerteza de um resultado de medi cao. Embora a incerteza tenha
sido avaliada, ela pode ser ignorada se sua contribuicao para a incerteza padrao combinada
de um resultado de medicao e insignificante. Se o valor da propria correcao for insignificante
relativamente a incerteza padrao combinada, ele tambem pode ser ignorado.
Muitas vezes ocorre na pratica, especialmente no domınio da metrologia legal, que um
equipamento e ensaiado atraves de uma comparacao com um padrao de medicao e as incertezas
associadas com o padrao e com o procedimento de comparacao sao desprezıveis relativamente
a exatidao requerida do ensaio. Um exemplo e o uso de um conjunto de padroes de massa
bem calibrados para verificar a exatidao de uma balanca comercial. Em tais casos, porque os
componentes da incerteza sao pequenos o bastante para serem ignorados, a medi cao pode ser
vista como determinacao do erro do equipamento sob ensaio.
A estimativa do valor de uma grandeza, obtida pelo resultado de uma medicao, e algumas
vezes expressa em termos de valor adotado de um padr ao de medicao, em vez de termos da
unidade apropriada do Sistema Internacional de Unidades (SI). Em tais casos, a magnitude da
incerteza atribuıvel ao resultado de medicao pode ser significativamente menor do que quando
aquele resultado for expresso na unidade SI apropriada (na realidade, a grandeza foi redefinida
para ser razao entre o valor da grandeza a ser medida e do valor adotado do padrao).
Exemplo 2.3. Um padr˜ ao de tens˜ ao Zener de alta qualidade e calibrado por comparac˜ ao
com uma referencia de tens˜ ao de efeito Josephson baseado no valor convencional da constante
Josephson recomendada para uso internacional pelo CIPM. A incerteza padr˜ ao combinada rel-
ativa uc(V S )/V S da diferenca de potencial calibrada V S e relatado em termos do valor conven-
cional, mas uc(V S )/V S e 4 × 10−7 quando V S e relatado em termos da unidade SI da diferenca
de potencial, volt( V ), por causa da incerteza adicional associada com o valor SI da constante
Josephson.
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 48
Erros grosseiros no registro ou na analise dos dados podem introduzir um erro desconhecido
significativo no resultado de uma medicao. Grandes erros grosseiros podem ser, geralmente,
identificados por uma revisao apropriada dos dados; os pequenos erros grosseiros podem ser
mascarados por variacoes aleatorios, ou ate mesmo podem aparecer como tais. Medidas deincerteza nao sao projetadas para levar em conta tais erros.
A avaliacao da incerteza nao e uma tarefa de rotina nem uma tarefa puramente matematica;
ela depende de conhecimento detalhado da natureza da grandeza e da medicao. A qualidade
e utilidade da incerteza indicada para o resultado de uma medicao, dependem, portanto, e em
ultima analise, da compreensao, analise crıtica e integridade daqueles que contribuem para o
estabelecimento de seu valor.
Resultado da Medicao
A expressao de um resultado de medicao encontra-se incompleta caso esta nao se apresente
com a declaracao da Incerteza de medicao associada. A incerteza de um resultado define uma
faixa de valores em torno da media das medicoes, dentro da qual o valor verdadeiro da grandeza
se encontra com nıvel de confianca estabelecido.
Resultado = Media (das medidas) - Erro Sistematico
±IM (Incerteza)
Embora nao seja ainda de entendimento geral e ate mesmo algumas vezes de desconheci-
mento de alguns, cumpre-nos observar que dentre as parcelas mostradas na expressao do Re-
sultado de uma medicao a IM (Incerteza de Medicao) e a mais importante, ate mesmo do que
a Media (das medidas) e mereceria uma maior compreensao e aplicacao.
Vejamos um exemplo em que a um Metrologista fosse solicitado para medir as dimens oes do
seu Laboratorio de Metrologia para a preparacao de um layout, e este nao dispusesse de trena
ou qualquer outro meio de medicao. Este poderia utilizar-se das dimensoes padronizadas das
placas do piso (Por exemplo Paviflex, 30 × 30 cm) e apos uma contagem do numero de placas
em cada lado emitir um resultado de medicao, como o seguinte: 4,0 × 4,0 m ± 0,15 m .
Metrologicamente falando, o resultado da sua medicao esta correto mesmo se o solicitante
nao estivesse satisfeito com a IM apresentada e neste caso o mesmo poderia propor uma al-
teracao no procedimento de medicao utilizado, como por exemplo o uso de uma trena.
Sob o mesmo ponto de vista, errado estaria se a medicao fosse feita, por exemplo com uma
trena e o resultado apresentado fosse: 4,010 × 4,047 m (sem a declaracao da IM).
Tipos de Incertezas de Medicao
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 49
Por recomendacoes do INC-1 (1981) [ISO GUM ver.95] os componentes da incerteza foram
divididos em dois grupos de acordo com o metodo utilizado para estimar seus valores numericos:
Tipo A - Aquelas que sao avaliadas por metodos estatısticos
Tipo B - Aquelas que sao avaliadas por outros metodosEstas categorias aplicam-se somente a incerteza e nao sao substitutos das palavras “aleatorios”
e “sistematicos”.
Ora os componentes da incerteza de medicao sao classificados como “Tipo A” ou “Tipo
B” e modelados pelo tipo de avaliacao, mas todos estes componentes independente de suas
classificacoes sao modelados pelo tipo de distribuicao de probabilidade e quantificados pela
variancia ou pelo desvio padrao. Portanto, a incerteza do tipo A e obtida da funcao densidade
de probabilidade derivada das observacoes (leituras), isto e, da distribuicao de frequencia.Enquanto a incerteza do tipo B e obtida da funcao densidade de probabilidade previamente
assumida.
• A avaliacao do Tipo A sera normalmente utilizada para obter o valor da repetitividade ou
aleatoriedade de um processo de medicao, exibido em um dado momento. Para algumas
medicoes o componente aleatorio da incerteza pode nao ser significante em relacao a
outras contribuicoes da incerteza.
• E provavel que os componentes sistematicos da incerteza, por exemplo aqueles relativos
a erros que permanecem quase constantes enquanto a medicao e realizada, serao obti-
das por avaliacoes Tipo B. A mais importante dessas componentes sistematicas, para
um instrumento, normalmente sera a incerteza associada aos padroes de referencia uti-
lizados de forma a atender as necessidades da rastreabilidade aos Padroes Nacionais ou
Internacionais.
Exemplos de Componentes de Incerteza de Medicao Tipo “A”
GRANDEZA FONTE DE INCERTEZA - TIPO “A”
Dimensional Repetitividade entre as varias medicoes em um calibrador
Temperatura Repetitividade entre as medicoes de microvoltagens em um Termopar Tipo S
Dureza Repetitividade entre 10 medidas em uma placa padrao de dureza
Exemplos de Componentes de Incerteza de Medicao Tipo “B”
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 50
GRANDEZA FONTE DE INCERTEZA - TIPO “B”
Dimensional Incerteza no medidor de temperatura utilizado para compensar a expansao termica do mensuran do
Dimensional Resolucao do Instrumento
Dimensional Incerteza do Coeficiente de Expansao termica utilizad o
Temperatura Erro estimado na determinacao do ponto zero
Temperatura Incerteza do padrao utilizado
Temperatura Uniformidade do forno
Medidas Eletricas Influencias das condicoes ambientais
Me di da s Ele tr ic as Es ta bi li dad e es ti mad a d o i ns tr um ento a o l ong o do te mp o
Massa Estabilidade (Drift) da massa padrao
Massa Incerteza do padrao
Massa Linearidade da balanca
Algumas Fontes de Erros para Estimativas de Componentes Tipo “B”
Dimensional
• Fonte de Incerteza;
• Duvida na leitura (resolucao do instrumento);
• Desconhecimento do coeficiente de expansao termica do mensurando ou padrao a ser
calibrado;
• Diferencas de temperatura;
• Erros de cosseno;
• Erros geometricos;
• Incertezas do equipamento de medicao usado na calibracao.
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 51
Temperatura
• Incerteza assumida para os instrumentos eletricos usados durante da calibracao;
•Drift (instabilidade) desde a ultima calibracao;
• Resolucao da leitura;
• Instabilidade e gradientes de temperatura no ambiente;
• Efeito do auto aquecimento dos termometros de resistencia Pt;
• Interpolacoes em tabelas de referencia.
Eletrica
• Drift ( instabilidade ) desde a ultima calibracao;
• Condicoes ambientais diferentes daquela recomendada para a calibracao;
• Interpolacao nos dados de calibracao;
• Resolucao;
•Layout dos instrumentos e padroes durante a calibracao (fugas de corrente, campos eletro-
magneticos);
• Impedancia dos cabos, terminais e instrumentos.
2.4 Avaliacao da Incerteza Padrao
Em muitos casos, uma grandeza y nao e medida diretamente, mas e determinado em funcao
de n outras grandezas x1, x2, . . . , xn, atraves de uma relacao funcional f :
y = f (x1, x2, . . . , xn)
As grandezas de entrada x1, x2, . . . , xn, sobre o qual o valor de saıda y depende, pode ser uma
medida ou depender de outras variaveis, incluindo correcoes e fatores de correcoes para efeitos
sistematicos. A funcao f pode ser determinada experimentalmente, ou existe somente, comoum algoritmo que pode ser avaliado numericamente.
As grandezas de entradas x1, x2, . . . , xn podem ser caracterizadas como:
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 52
valores e incertezas determinados diretamente em medicao; esses valores e incertezas
podem ser obtidos de uma simples observacao, repetidas observacoes ou julgamentos
baseados na experiencia. Tambem podem envolver as determinacoes de correcoes para
indicacao dos instrumentos e correcoes por grandezas de influencias, tais como: tempera-tura ambiente, pressao barometrica e umidade;
valores e incertezas, os quais sao conduzidos para uma medicao de fontes externas, tais
como: grandezas associadas com calibracao de padroes, certificados de materiais de re-
ferencia e referencia de informacoes obtidas atraves de manuais.
Exemplo: Para medirmos o volume, podemos utilizar o seguinte metodo:
V ol =Massa
Densidade
onde a grandeza volume e obtida atraves das grandezas massa e densidade .
A estimativa do desvio padrao, associado com cada estimativa de entrada xi, e denominada
de incerteza padrao e indicada por u(xi).
A estimativa do desvio padrao, associado com a estimativa do resultado de medicao y,
e denominado incerteza padrao combinada e indicado por uc(y), e e determinada pela
combinacao das incertezas padrao, associada com as estimativas de entrada (xi).
Cada estimativa de entrada xi e sua incerteza associada u(xi) sao obtidas pela distribuicao
dos valores de uma grandeza de entrada (xi).
A avaliacao da incerteza de medicao “Tipo A” e baseada na distribuicao de
frequencia, enquanto que a avaliacao “Tipo B” e baseada em informacoes disponıveis
da variabilidade da grandeza de entrada (xi).
Exemplo 2.4. (NIS 3003, 1995) Calibrac˜ ao de uma massa padr˜ ao com valor nominal 10 Kg de
classe M1, utilizando um comparador. Neste caso, obtemos a equac˜ ao da massa desconhecida
W X , por
W X = W S + DS + δC + Ab + ∆W.
Na pratica nao aplicamos correcao para esta classe de massa e o comparador tem linearidade
desconhecida. Entretanto, associamos incertezas para estas contribuicoes.
Avaliacao da Incerteza Padrao Tipo A.Na grande maioria dos casos, a melhor estimativa para o valor esperado de uma quantidade
que varia aleatoriamente, e para o qual temos n leituras independentes k obtidas sob condicoes
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 53
Sımbolo Fonte de Incerteza Tipo Limites MediaWS Massa padrao B ± 30 mg (k=2) 10 kgDS Deriva (drift) massa padrao B ± 15 mg 0δC Linearidade do comparador B ± 10 mg 0Ab Efeito do ar B
±10 mg 0
∆W Repetitividade A
de repetitividade, corresponde a media aritmetica.
Assim, quando a estimativa de uma grandeza de entrada xi, tem sido obtida de n medidas,
sob condicoes de repetitividade, a incerteza padrao u(xi) e obtida pela estimativa da variancia
da media, dada por:
sX =s√n
.
onde n = numero de medidas e s = desvio padrao correspondente as n leituras.
Voltando ao exemplo 2.4: Considerando o processo de calibracao da massa padrao do exem-
plo anterior, o avaliador realizou cinco medidas da diferenca entre a massa padrao e a massa
desconhecida. Os resultados estao abaixo:
Leitura 1 15 mg
Leitura 2 25 mg
Leitura 3 20 mg
Leitura 4 13 mg
Leitura 5 18 mg
Media 18,20 mg
Desvio Padrao 4,66 mg
Desvio Padrao da Media 2,08 mg
Incerteza do tipo A : 2,08 mg.
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 54
Avaliacao da Incerteza Padrao Tipo B
Para uma estimativa de uma grandeza de entrada xi, que nao tenha sido obtida de ob-
servacoes repetidas, a variancia estimada u2(xi) ou a incerteza padrao u(xi) e avaliada pelo
julgamento especıfico baseado em todas as informacoes disponıveis na variabilidade de xi. Noconjunto destas informacoes incluımos:
a) informacoes previas de medicao;
b) experiencia ou conhecimento geral do comportamento e propriedades dos instrumentos e
materiais relevantes;
c) especificacoes do fabricante;
d) informacoes de relatorios de calibracao e outras especificacoes;
e) incerteza transmitidas pelas informacoes de referencias obtidas de manuais.
Por conveniencia, u2(xi) e u(xi) avaliados desta maneira sao chamados de Variancia Tipo
B e Incerteza Padrao Tipo B, respectivamente.
O proposito de usar varias informacoes disponıveis para a avaliacao da incerteza padrao do
Tipo B e para buscar um discernimento baseado na experiencia e nos conhecimentos gerais,
e e uma habilidade que pode ser obtida com a pratica. E reconhecido que uma avaliacao da
incerteza pelo Tipo B pode ser tanto confiavel quanto a do Tipo A, especialmente na situacao
em que a avaliacao do Tipo A e baseada na comparacao de pequenos numeros de observacoes
estatisticamente independentes (ISO GUM, 1995)
A seguir, sao apresentados 4 suposicoes disponıveis para as grandezas de entradas de in-
fluencia xi, para a avaliacao da Incerteza Padrao Tipo B.
• Caso 1
Se a estimativa xi e retirada da especificacao do fabricante, certificados de calibracao, ma-
nuais ou outras fontes, sua incerteza padrao u(xi) e simplesmente o valor citado dividido pelo
multiplicador.
Exemplo 2.5. Um certificado de calibrac˜ ao afirma que a massa de um aco inoxid´ avel de massa
padr˜ ao ms = 1000, 000325g, tem como incerteza 240µg para um nıvel de confianca com k = 3.
A incerteza padr˜ ao da massa padr˜ ao, e ent ao:
u(ms) = 240 µg/3 = 80 µg
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 55
A incerteza de xi, nao necessariamente e relatada como um multiplo de um desvio padrao,
como abordado acima. Em vez disso, pode-se encontrar uma declaracao que a incerteza
declarada possui 90, 95 ou 99 % de nıvel de confianca.
Salvo indicacao contraria, podera assumir que uma distribuicao normal (ou, t-Student) serautilizada para o calculo da incerteza declarada, e a incerteza padrao u(xi), pode ser encontrada
dividindo-se a incerteza declarada por um fator k, apropriado da distribuicao normal.
Exemplo 2.6. Um certificado de calibrac˜ ao afirma que a resistencia de um resistor padr˜ ao
RS de valor nominal 10 Ohms e 10, 000742Ω a 23oC e com incerteza de 129mΩ, definindo um
intervalo de com nıvel de significancia de 99%. Ent˜ ao, a incerteza padr˜ ao e dada por:
u(RS ) = 1292, 58
= 50 µΩ
Neste caso, utilizamos a tabela da distribuic˜ ao normal para determinar o valor de k.
• Caso 2
Em alguns casos, pode ser possıvel estimar somente os limites (limite superior a+ e inferior
a−) para xi, por exemplo, quando a grandeza de influencia e a variacao da temperatura. Neste
caso, consideramos que a probabilidade de que o valor de xi se encontra dentro do intervalo
a− ate a+, para todo proposito pratico, e igual a 1 e a probabilidade que xi esteja fora deste
intervalo e essencialmente zero. Se nao ha conhecimento especıfico sobre a possibilidade do valor
xi estar dentro do intervalo, pode-se somente admitir que, e igualmente provavel encontra-lo
por toda parte, dentro do intervalo (uma distribuicao uniforme ou retangular).
Entao xi, e o ponto medio do intervalo , onde: xi = (a−+a+)2
, cuja variancia associada e dada
por:
u2(xi) = (a+ − a−)2
12.
Se a diferenca entre os limites, (a+ − a−), e representado por 2a, ou seja, os limites sao
simetricos, entao a equacao para variancia sera:
u2(xi) =a2
2
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 56
u =base
2√
3=
2a
2√
3=
a√3
Exemplo 2.7. Um manual estabelece que o valor do coeficiente linear de expans˜ ao termica de
um bloco padr˜ ao de aco e determinado por αS = 11, 5
×10−6 C −1 e que o “erro” neste valor
n˜ ao deve exceder 2 × 10−6 C −1. Baseado nesta informac˜ ao limitada, e razo´ avel assumir que
o coeficiente de expans˜ ao termica pertence ao intervalo 9, 5 × 10−6 C −1 a 13, 5 × 10−6 C −1,
com probabilidade 1. A incerteza padr˜ ao do coeficiente de expans˜ ao termica e dado por
u(αS ) =(2 × 10−6)√
3= 1, 2 × 10−6 C −1
• Caso 3
Os limites superiores e inferiores a−ea+ para uma grandeza de entrada xi pode nao ser
simetrico, ou seja, se o limite menor e escrito como a− = xi − b− e o limite superior como
a+ = xi + b+, entao b− = b+. Neste caso, xi nao e o centro do intervalo (a−, a+) e a dis-
tribuicao de probabilidade de xi nao pode ser uniforme. Entretanto, pode nao existir informacao
suficiente para escolher uma distribuicao apropriada e diferentes modelos conduzirao para dife-
rentes expressoes para a variancia. Na ausencia de tais informacoes uma simples aproximacao
e:
u2(xi) =(b+ + b−)2
12=
(a+ + a−)2
12
que corresponde a variancia da distribuicao retangular com comprimento b− + b+.
Exemplo 2.8. Caso o exemplo anterior referente ao coeficiente de expans˜ ao termica especifique
aS = 11, 5×10−6 C −1 tal que o menor valor possıvel seja 10, 0×10−6 C −1 e que o maior valor
possıvel seja de 14, 0 × 10−6 C −1. Neste caso, b− = 1, 5 × 10−6 C −1 e b+ = 2, 5 × 10−6 C −1.
Assim, a incerteza padr˜ ao e determinada por
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 57
u(αS ) =(4 × 10−6)√
12= 1, 15 × 10−6 C −1
Exemplo 2.9. Voltando ao exemplo 2.4 da calibrac˜ ao da massa padr˜ ao, vamos estimar as
incertezas padr˜ ao do tipo B:
Sımoblo Fonte de Incerteza Limites Distribuic˜ ao Incerteza
W S massa padr˜ ao ± 30 mg Normal 30/2=15 mg
D S Deriva (drift) massa padr˜ ao ± 15 mg Retangular 15/(3)1/2 = 8, 66mg
δC Linearidade do comparador ± 10 mg Retangular 10/(3)1/2 = 5, 77mg
Ab Efeito do ar ± 10 mg Retangular 10/(3)1/2 = 5, 77mg
• Caso 4
Nos casos acima nao temos informacao sobre os valor da grandeza X i, apenas que ela se
encontra dentro dos limites especificados. Por isso, assumimos que os valores da grandeza sao
equiprovaveis dentro destes limites, e que tem probabilidade zero de estar for destes limites.
Muitas vezes e mais realista assumirmos que valores perto dos limites especificados sao menos
provaveis do que valores proximos ao centro. Neste caso, e razoavel trocarmos a distribuicao
retangular pela distribuicao triangular. Assumindo uma distribuicao triangular para a grandeza
X i, obtemos como media
xi = (a+ + a−)/2
com incerteza associada
u2(xi) = a2/6
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 58
u =base
2√
6=
2a
2√
6=
a√6
2.5 Determinacao da Incerteza Padrao Combinada
Quando a incerteza do resultado do mensurado y e obtida pela combinacao das incertezas
padrao das estimativas de entrada x1, x2, . . . , xN, esta incerteza combinada da estimativa y e
representada por uc(y), e denominada de incerteza padrao combinada.
As estimativas de entrada x1, x2, . . . , xN , podem ser classificadas como grandezas:
•Estatisticamente independentes ou nao correlacionadas;
• Estatisticamente dependentes ou correlacionadas.
Para as grandezas estatisticamente independentes, considera-se as series de medicoes que
foram realizadas com diferentes sistemas de medicao. Neste caso, a incerteza padrao combinada
uc(y) e a raiz quadrada positiva da variancia combinada.
Quando as medicoes sao realizadas com o mesmo sistema de medicao, considera-se que as
grandezas de entradas sao estatisticamente dependentes entre si.
Neste caso, a covariancia estimada deve ser considerada como uma contribuicao adicional
para a incerteza.
A expressao para se determinar esta incerteza padrao combinada no caso nao correlacionado
e apresentada por:
u2c (y) =
N
i=1
∂f
∂xi
2
u2(xi)
onde u(xi) e a incerteza padrao associada com a grandeza de entrada Xi. As derivadas parciais
(df/dxi) calculada no ponto xi sao denominadas coeficientes de sensibilidade, pois descrevem
como a estimativa de y varia com pequenas mudancas nos valores das estimativas das grandezas
de entrada x1, x2, . . . , xN.
Nota: A incerteza combinada padrao no caso correlacionado nao sera tratado nesta apostila.
Exemplo: Na calibracao da massa padrao, obtemos a seguinte incerteza combinada
uc(m) =
(15)2 + (8, 66)2 + (5, 77)2 + (5, 77)2 + (2, 08)2 = 19, 26mg
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 59
2.6 Determinacao da Incerteza Expandida
Embora a incerteza combinada uc(y) possa ser universalmente usado para expressar a in-
certeza de um resultado de medicao, devido a necessidade de algumas industrias e aplicacoes
comerciais, bem como requisitos em areas de saude e seguranca, e frequentemente necessario
apresentar uma medida de incerteza que defina um intervalo sobre o resultado de medicao.
Neste caso, a incerteza compreende uma fracao da distribuicao dos valores, que podem ser ra-
zoavelmente atribuıdos para um mensurando, denominada de incerteza expandida U. Este
requisito foi reconhecido pelo Working Group e Recomendacoes do CIPM, INC (1981).
A incerteza expandida U e obtida pela multiplicacao da incerteza padrao combinada
uc(y) por um fator k:
U = k ∗ uc(y)
O valor do fator k e escolhido com base no nıvel de confianca requerido para o intervalo.
Em geral, k e usado entre 2 e 3. Portanto, para aplicacoes especiais, k podera ser determinado
conforme o nıvel de confianca requerido, de acordo com a distribuicao normal ou t-Student.
A Namas (NIS 3003 , 1995) recomenda que o fator k seja igual a 2 para calcular a incerteza
expandida. Este valor corresponde a aproximadamente 95% de confianca. Entretanto, se ascontribuicoes para a incerteza relativo a repetitividade for grande comparado com as outras dis-
tribuicoes e o numero de repeticoes for pequeno, existe uma possibilidade de que a distribuicao
de probabilidade normal nao seja adequada. Neste caso, o fator k = 2 nos garante um nıvel
de confianca menor que 95%. Aqui, devemos utilizar a distribuicao t-Student para encontrar o
valor do fator k que garante 95%.
Regra: Se a incerteza do tipo A for menor que metade da incerteza combinada, vamos
utilizar o fator k = 2. Caso contrario, devemos utilizar a distribuicao t-Student para obtermos
o valor de k que nos garante um intervalo com 95% confianca. A norma ISO GUM ver. 95
recomenda a utilizacao da equacao de Welch-Satterwaite para calcular os graus de liberdade,
baseado nos graus de liberdade de cada fonte de incerteza.
υef f =u4
c (y)N i=1 u4
i (y)/ν i=
u4c (y)
u4A(y)/ν A
=
uc(y)
uA(y)
4
ν A
onde ν i representa os graus de liberdade do fator de incerteza i e ν A e representa os graus
de liberdade do tipo A. Para contribuicoes da incerteza tipo A, consideramos como graus de
liberdade o numero de leitura menus 1 vezes o numero de pontos de calibracao. Para os graus
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 60
de liberdade referente a contribuicoes da incerteza tipo B, vamos considerar υi igual a infinito.
Exemplo 2.10. Voltando ao exemplo 2.4 da calibrac˜ ao da massa padr˜ ao, observe que a in-
certeza do tipo A e menor que metade da incerteza combinada. Assim, a incerteza expandida e
dada por:
U = 2x19, 26mg = 38, 52mg (k = 2)
Neste caso o resultado da medic˜ ao e expresso na forma:
10000, 000 g + 0, 018 g ± 0, 04 g (k = 2)
10000, 018 g ± 0, 04 g (k = 2)
Exemplo 2.11. Suponha um sistema de medic˜ ao com incerteza do tipo A, baseada em 4 ob-
servac˜ oes, tenha valor ui(y) de 3,5 unidades, existem outras 5 fontes de incerteza do tipo B que
apresentam incerteza estimada muito pequeno, de tal forma que a incerteza combinada uc(y)
seja igual a 5,7 unidades. Como a incerteza do tipo A e maior que metade da incerteza com-
binada, vamos utilizar a distribuic˜ ao t-Student para determinar o fator k. Atraves da equac˜ ao
de Welch-Satterwaite, temos
υeff =(5, 7)4
((3, 5)4/(4 − 1)) + 0 + 0 + 0 + 0 + 0= 21, 1
Tomando valor de υef f igual a 20, obtemos que k = 2, 13.
2.6.1 Comprovacao Metrologica - Equipamento de Medicao
Determinar o erro maximo permissıvel.
EM P =menor tolerancia medida
J com J = (5; 15]
O mais utilizado e J = 10. Assim
EM P =tolerancia
10.
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 61
Criterio:
maxi | T i | +U (i) ≤ EM P (2.1)
A comprovacao metrologica no caso em que o EMP e funcao das leituras e discutido abaixo.
EM P = ± (a + b × leitura)
a = 0, 01
b = 0, 01
Criterio: |T i| + U (i) ≤ EM P (i), para todo ponto de calibracao. (i, representa o ponto de
calibracao).
Exemplo 2.12. Suponha que temos uma tolerancia de 1 g para as massas padr˜ ao. Ap´ os a cali-
brac˜ ao das massas, obteve-se as seguintes informac˜ oes do certificado de calibrac˜ ao apresentado
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 62
na Tabela 2.1.
Ponto (g) Tendencia (g) U (g) k1000 0,009 0,015 21000 0,01 0,015 2
1000 0,016 0,015 21000 0,01 0,015 25000 -0,014 0,075 25000 -0,069 0,075 25000 -0,043 0,075 25000 0,025 0,075 2
Tabela 2.1: Certificado de Calibracao
Considerando J = 10 temos que
EM P =Tolerancia
10= 0, 1 g.
A Tabela 2.2 apresenta o criterio de aprovac˜ ao (|T | + U ≤ EM P ) para as oito massas
padr˜ ao. Como podemos ver, duas massas de 5 kg foram reprovadas. Com isso, o certificado de
calibrac˜ ao cujo os valores foram apresentados na Tabela 2.1 n˜ ao est´ a aprovado.
Ponto (g) |T|+U Criterio1000 0,024 Aprovado1000 0,025 Aprovado1000 0,031 Aprovado1000 0,025 Aprovado5000 0,089 Aprovado5000 0,144 Reprovado5000 0,118 Reprovado5000 0,1 Aprovado
Tabela 2.2: Criterio de Aprovacao
2.7 Determinacao da Variancia Agrupada
Para agrupar k variancias com (n-1) graus de liberdade, utilizamos a seguinte f ormula
s2 =
ki=1(n − 1)s2
i
ki=1(n − 1)
=
ki=1 s2
i
k
onde (n - 1) = Grau de Liberdade; e s2
= VarianciaConsidere que o metodo de calibracao de um equipamento utilize tres pontos da escala
deste equipamento. Para cada ponto e obtido o variancia da media a partir de 5 leituras. Para
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 63
obtermos variancia da media do equipamento, aplicamos a formula para o grupo de 3 variancias,
na forma
s2agrupada =4 × 0, 0000000030 + 4 × 0, 0000000070 + 4 × 0, 0000000080
4 + 4 + 4= 0, 0000000060
A variancia agrupada de 0,0000000060 representa a variancia da media do equipamento.
2.8 Regras de arredondamento de valores
Quando desejamos arredondar um numero para que seja expresso com uma certa quantidade
de dıgitos significativos, devemos aplicar regras convencionais de arredondamento.
Regra 1:
Se o algarismo a direita do ultimo dıgito que se pretende representar for inferior a 5, apenas
desprezamos os demais dıgitos a direita Exemplo: 3, 14159265 para 3, 14
Regra 2:
Se o algarismo a direita do ultimo dıgito que se pretende representar for maior que 5,adicionamos uma unidade ao ultimo dıgito representado e desprezamos os demais dıgitos a
direita.
Exemplo 2.13. 3, 14159265 para 3, 1416
Regra 3:
Se o algarismo a direita que se pretende representar for igual a 5, entao o arredondamento
deve ser tal que o ultimo dıgito representado depois do arredondamento deve ser par.
Exemplo 2.14. 3, 14159265 para 3, 142
Numeros de algarismo na incerteza de medicao
Nao existe uma regra bem definida para o numero de algarismos que devem ser indicados
para a incerteza de medicao. Em geral, utilizamos 2 algarismos significativos, alem dos
zeros a esquerda. Em alguns casos, pode ser necessario utilizar mais dıgitos significativos para
evitar erros de arredondamento nos calculos subsequentes. Em outros casos, nao e possıvelatribuir mais de 1 algarismo para incerteza de medicao. Regras para numero de algarismo na
incerteza de medicao.
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 64
• Incerteza de medicao deve ser apresentada com 2 algarismos quando o primeiro algarismo
na incerteza for 1 ou 2.
• Incerteza de medicao pode ser apresentada com 1 algarismo quando o primeiro algarismo
da incerteza for 3 ou maior.
• o Incerteza de medicao pode ser representada com 2 algarismos em qualquer caso.
De acordo com as regras acima apresentamos os exemplos:
Incorreto Correto
0,144 (mm) 0,14 (mm)
1,026 (s) 1,0 (s)
3,49 (mm) 3,5 (mm) Ou 3 (mm)
3,51 (mm) 3,5 (mm) Ou 4 (mm)
0,00514 (mm) 0,0050 (mm) Ou 0,005 (mm)
2.9 Propagacao da Incerteza
Um mensurando y calculado em funcao de outras grandezas x1, . . . , xn com u(x1), . . . , u(xn)
as incertezas padrao correspondente, tem como incerteza combinada uc(y) definida por:
u2c (y) =
ni=1
∂ y
∂ xi
2
u2(xi)
• Soma de variaveis
y = x1 ± x2 ± x3 ± · · · ± xn
Assim, todas as derivadas sao iguais a 1. Entao,
Exemplo 2.15. Determinar a incerteza de medic˜ ao, na composic˜ ao de dois blocos padr˜ ao:
Dados:
• Bloco 1
Dimens˜ ao nominal: 10 (mm)
Incerteza Expandida u (x1) = 0,0077(nm) para k = 2
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 65
• Bloco 2
Dimens˜ ao nominal: 20 (mm)
Incerteza Expandida u (x2) = 0,084(nm) para k = 2
O resultado da combinac˜ ao dos blocos pode ser expresso matematicamente por:
y = x1 + x2
A incerteza padr˜ ao u(xi) de cada bloco e obtida dividindo-se a incerteza expandida pelo fator
k. Assim,
u(x1) = 0, 077/2 =
u(x2) = 0, 084/2 =
Ent˜ ao, a variancia combinada e:
u2c (y) = = (µm)2
A incerteza combinada e:
uc(y) =
• Relacao linear
y = a + bx
Admitindo-se que a e b sao constantes isentas de incertezas ou com incertezas desprezıveis,
somente a variavel x e considerada para o calculo de incerteza. Assim,
u2c (y) = a2u2(x) ou uc(y) =| a | u(x)
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 66
Produto de Variaveis:
y = axw
Temos que:
∂ y
∂ x= aw
∂ y
∂ w= ax
Entao,
u2c (y) = (aw)2u2(x) + (ax)2u2(w)
Dividindo a expressao acima por y2 = (axw)2 , obtemos
u2c(y)/y2 = u2(x)/x2 + u2(w)/w2
Exemplo 2.16. Determinar a incerteza da ´ area de um cırculo, cujo diametro foi medido ex-
perimentalmente atraves de um sistema de medic˜ ao denominado paquımetro:
Valor do diametro obtido com o micrometro digital, com resoluc˜ ao de 0,002 mm e incerteza
expandida U=0,001 mm (k=1,96):
Leituras Diametro
1 10,28
2 10,26
3 10,28 4 10,3
5 10,28
Media das leituras
Desvio padr˜ ao das leituras
Desvio padr˜ ao da media das leituras
A express˜ ao para o c´ alculo da ´ area e dada por:
1
4πd2
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2. Fundamentos do Calculo de Incerteza em Medic˜ ao 67
Admitindo-se que 14
e π s˜ ao constantes isentas de incerteza ou com incertezas desprezıveis,
somente a vari´ avel d e considerada para c´ alculo da incerteza. Assim, a variancia combinada
relativa e:
u2c (y)
y2=
22u2(d)
d2
Incerteza combinada relativa:
uc(y)
y=
2u(d)
d
Substituindo os valores do exemplo, obtemos a incerteza combinada relativa:
uc(y)
y=
e a incerteza combinada da ´ area,
uc(y) =
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68
Capıtulo 3
Estudos de Estabilidade
Estabilidade e a quantidade de variacao total na tendencia do sistema ao longo do tempo
com relacao a um padrao rastreavel (ou amostra). Antes de estudarmos qualquer propriedade
estatıstica do sistema de medicao, vamos analisar a capacidade do sistema manter tais pro-
priedades ao longo do tempo. O objetivo da estabilidade consiste em avaliarmos:
• A interacao do sistema de medicao e o meio ambiente;
•Desgaste de componentes;
• Ajuste de dispositivos e sensores.
Diretrizes para sistemas nao destrutivos:
• Obter padrao rastreavel (ou amostra);
• Montar diario de bordo;
• Medir periodicamente (diario, semanal, quinzenal ou mensal) o padrao (ou amostra);
• Apos 20 ou mais grupos de medicoes, construir o grafico X e R, conforme descrito abaixo.
Criterio de avaliacao:
Analisar os graficos X e R, primeiro o grafico R e na sequencia o grafico X :
• Pontos fora dos limites de controle.
• 7 ou mais pontos consecutivos crescentes ou decrescentes.
• 7 ou mais pontos consecutivos acima ou abaixo da linha media.
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3. Estudos de Estabilidade 69
Limites dos Graficos No de element. A2 D3 D4
amostra (n)Grafico das Medias X 2 1, 880 0 3, 267
LSC = Limite Superior = ¯X + A2R 3 1, 023 0 2, 574
LC = Limite Central = ¯X 4 0, 729 0 2, 282
LIC = Limite Inferior = ¯X − A2R 5 0, 577 0 2, 114Grafico das Amplitudes R 6 0, 483 0 2, 004
LSC = Limite Superior = D4R 7 0, 419 0, 076 1, 924LC = Limite Central = R 8 0, 373 0, 136 1, 864
LIC = Limite Inferior = D3R 9 0, 337 0, 184 1, 81610 0, 308 0, 223 1, 777
Caso os graficos X e R estejam fora de controle, investigar as causas e estabelecer acoes
corretivas.
• Se o processo apresentar falta de estabilidade, identifique as causas, estabeleca acao cor-
retiva. Repita o estudo de estabilidade;
Discriminacao do Sistema de medicao no estudo de Estabilidade
Capacidade do sistema de medicao de detectar e indicar de forma confiavel, pequenas
variacoes da grandeza que esta sendo medida. Uma forma de quantificar o poder discrimi-
nador e expressando a menor variacao da grandeza que o sistema de medicao pode detectar.
Criterio de avaliacao:
Verificar se o grafico de controle R nao apresenta muitas amplitudes iguais a zero (acima de
30%). Caso isso ocorra, existe uma boa evidencia de que o equipamento de medicao nao tem
uma resolucao adequada para esta necessidade. Neste caso, faca uma analise crıtica.
Exemplo 3.1. O metrologista deve realizar um estudo sobre a estabilidade do sistema de cal-
ibrac˜ ao de um micrometro com um bloco padr˜ ao. O metrologista selecionou um bloco padr˜ ao,
que foi medida 3 vezes diariamente por um avaliador. Os valores est˜ ao na Tabela 3.1. Montar
os gr´ aficos de Controle X e R e interpretar os resultados!
Solucao
Da Tabela 3.1 tomamos a media dos valores da coluna Media e a media dos valores da
coluna Amplitude e obtemos:
¯X = 4, 200486 e R = 0, 001292 .
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3. Estudos de Estabilidade 70
Data Horario TemperaturaMedidas
Media Amplitude1 2 3
6/ago 09:15 20,3 4,202 4,201 4,202 4,20167 0,00113/ago 16:35 20,0 4,201 4,202 4,203 4,20200 0,002
20/ago 14:13 19,4 4,199 4,198 4,200 4,19900 0,00227/ago 09:40 19,8 4,200 4,201 4,201 4,20067 0,0014/set 15:28 19,9 4,200 4,201 4,200 4,20033 0,001
11/set 10:39 19,9 4,202 4,201 4,200 4,20100 0,00219/set 15:10 20,1 4,200 4,201 4,200 4,20033 0,00125/set 09:25 20,2 4,200 4,199 4,199 4,19933 0,0011/out 15:40 19,3 4,198 4,199 4,199 4,19867 0,0018/out 09:25 19,9 4,200 4,202 4,200 4,20067 0,002
16/out 16:10 20,8 4,202 4,203 4,203 4,20267 0,00124/out 10:05 20,1 4,201 4,202 4,201 4,20133 0,001
1/nov 13:40 19,5 4,199 4,199 4,198 4,19867 0,0018/nov 14:55 20,1 4,200 4,200 4,201 4,20033 0,00114/nov 11:00 19,3 4,199 4,198 4,199 4,19867 0,00122/nov 15:50 19,8 4,200 4,199 4,200 4,19967 0,00129/nov 09:42 20,1 4,201 4,201 4,200 4,20067 0,0017/dez 08:20 19,6 4,199 4,200 4,199 4,19933 0,001
12/dez 15:30 19,8 4,200 4,201 4,199 4,20000 0,00220/dez 11:05 20,1 4,199 4,199 4,200 4,19933 0,00128/dez 15:30 20,1 4,201 4,200 4,199 4,20000 0,0024/jan 16:00 20,2 4,200 4,200 4,202 4,20067 0,002
10/jan 15:15 20,7 4,203 4,204 4,203 4,20333 0,00115/jan 16:00 20,8 4,204 4,203 4,203 4,20333 0,001
Tabela 3.1: Dados
Os limites de controle sao calculados da seguinte forma:
• Grafico R. Como temos 3 elementos em nossa amostra, obtemos um valor de D3 = 0
e D4 = 2, 574, com isso:
LSC = 2, 574 ∗ 0, 001292 = 0, 003325
LIC = 0 ∗ 0, 001292 = 0
• Grafico X . Como temos 3 elementos em nossa amostra, obtemos um valor de A2 = 1, 023,
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3. Estudos de Estabilidade 71
com isso:
LSC = 4, 200486 + 1, 023
∗0, 001292 = 4, 201807
LIC = 4, 200486 − 1, 023 ∗ 0, 001292 = 4, 199165
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3. Estudos de Estabilidade 72
Exercıcio 3.1. O metrologista deve realizar um estudo sobre o sistema de medic˜ ao para cal-
ibrac˜ ao de um anel padr˜ ao em um banco micrometrico. O metrologista selecionou um anel
padr˜ ao, que foi medido (3 replicas) diariamente por um avaliador. Os valores est˜ ao na Tabela
3.2.
Amostra DataMedidas
Media Amplitude1 2 3
1 22/set 20006,6 20006,6 20006,7 20006,63 0,12 22/set 20006,8 20006,7 20006,9 20006,8 0,23 23/set 20006,1 20006,2 20006,2 20006,17 0,14 24/set 20005,4 20005,3 20005,3 20005,33 0,15 27/set 20005,7 20005,9 20005,8 20005,8 0,26 27/set 20005,9 20006 20006 20005,97 0,17 1/out 20005,4 20005,7 20005,7 20005,6 0,38 6/out 20006,6 20006,6 20006,5 20006,57 0,19 7/out 20006,1 20006,1 20006,1 20006,1 0
10 8/out 20006,1 20006 20006 20006,03 0,111 8/out 20006,2 20006,3 20006,3 20006,27 0,112 13/out 20005,9 20006 20006 20005,97 0,113 13/out 20006,2 20006,1 20006,2 20006,17 0,114 14/out 20006,5 20006,3 20006,4 20006,4 0,215 18/out 20005,4 20005,4 20005,5 20005,43 0,116 20/out 20005,9 20006,2 20006,2 20006,1 0,317 25/out 20006,8 20006,9 20006,6 20006,77 0,318 26/out 20006,3 20006,3 20006,3 20006,3 019 26/out 20006,5 20006,5 20006,5 20006,5 020 28/out 20006,4 20006,3 20006,2 20006,3 0,221 4/nov 20005,8 20005,9 20005,9 20005,87 0,122 8/nov 20006 20005,8 20005,9 20005,9 0,223 8/nov 20006,4 20006,3 20006,2 20006,3 0,224 10/nov 20006,2 20006,3 20006,3 20006,27 0,125 15/nov 20006,7 20006,4 20006,4 20006,5 0,326 16/nov 20006,6 20006,5 20006,5 20006,53 0,127 17/nov 20006,4 20006,2 20006,2 20006,27 0,228 18/nov 20006,6 20006,5 20006,4 20006,5 0,229 18/nov 20006,9 20006,8 20006,8 20006,83 0,1
Tabela 3.2: Estabilidade do Diametro do Furo
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3. Estudos de Estabilidade 73
Montar os graficos de Controle X e R e interpretar os resultados! ( ¯X = 20006, 21 e
R = 0, 1448).
• Grafico R. Temos 3 elementos em nossa amostra, entao: D3 = e D4 = , com
isso:
LSC = D4R =
LIC = D3R =
• Grafico X Novamente, temos 3 elementos em nossa amostra, entao: A2 = , com
isso:
LSC = ¯X + A2R =
LC = ¯X =
LIC = ¯X − A2R =
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74
Capıtulo 4
Metodo da ANOVA (Completo)
4.0.1 Metodo da ANOVA
Em cada sistema de medicao, existe um valor de referencia para uma caracterıstica para
cada amostra. Estes valores de referencia variam de amostra para amostra em torno de um
nıvel medio. Isto pode ser representado simplesmente como:
1) Valor Padrao = Media das Medicoes + Variacao Propria da Amostra
Na pratica, existe algum erro introduzido pelo sistema de medicao, o qual pode ser escrito
como:
2) Valor observado = Valor Padrao + Erro de Medicao:
Um modo simples de modelar o erro de medicao.
3) Erro de Medicao = Tendencia + Efeito do Fator1 + Erro de Replicacoes. A tendencia
e um numero unico que representa o erro geral, sistematico, introduzido pelo sistema de
medicao. Alem disso, poderiam existir erros introduzidos pelo uso de diferentes Fatores1.
O termo erro de replicacoes reflete as diferencas nas observacoes repetidas da mesma
amostra, com o mesmo sistema de medicao e pelo mesmo Fator1.
Combinando (1), (2) e (3), obtem-se o modelo representado no proximo ıtem.
4) Valor Observado = (Media das Amostras + Tendencia) + Efeito da Amostra + Efeito do
Fator1 + Erro de Replicacoes. A media das amostras e a tendencia sao constantes. Eles
nao podem ser estimados separadamente sem ter um sistema de medicao padrao. O efeitoda amostra, o efeito do Fator1 e o erro de repeti cao (replicacao) sao variaveis aleatorias.
O efeito da amostra representa a variacao no processo de producao. O efeito do Fator1
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4. Metodo da ANOVA (Completo) 75
representa a variacao devida aos diferentes Fatores1, denominado reprodutibilidade. O
erro de repeticao representa a variacao resultante de medicoes repetidas feitas pelo mesmo
Fator1 na mesma amostra, denominado repetitividade. A media das amostras e o efeito
da amostra sao propriedades do processo de producao e nao dependem do sistema demedicao. Os termos restantes no modelo refletem o erro no sistema de medicao.
Representacao Matematica
Seja Y ijk a k-esima medicao feita pelo Fator1 j na i-esima amostra. Cada amostra tem um
valor de referencia, digamos X i, o qual e impossıvel de ser medido na pratica. Chame de ijk o
erro sobreposto a X i na pratica. Entao, temos no proximo ıtem que:
5) Y ijk = X i +
ijk ou
Valor Observado = Valor Padrao + Desvio
Supondo que os X is sao distribuıdos independentemente conforme uma distribuicao normal
de media µ e variancia σ2P . O parametro µ e a media das amostras. A equacao (5) pode ser
escrita, equivalentemente, como:
6) Y ijk = µ + αi +
ijk
Onde: αi = X i − µ e o efeito da amostra, com media zero e variancia σ2P .
O desvio pode ser modelado como consistindo de uma tendencia sistematica devido ao
sistema de medicao e ao Fator1 como um todo (sistema de medi cao), uma tendencia
adicional devido ao Fator1 especıfico e um erro associado a replicacao da medicao. Isto
e,
7)
ijk = b + β j + ijk , ou seja,
Desvio = Tendencia do sistema de medicao + efeito do Fator1 + Erro de Replicacao.
Suponha que os erros de replicacao sao independentes, com uma distribuicao normal de
media zero e variancia comum σ2 para todas as combinacoes amostra / Fator1 / replicacao. A
variancia σ2 mede a repetitividade para o sistema de medicao. Se os Fatores1 sao selecionados
aleatoriamente de uma grande populacao, pode-se modelar o efeito do Fator1, β j , como sendo
normalmente distribuıdo com media zero e variancia σ2
F 1. A variancia σ2
F 1 mede a variabilidadedevido ao Fator1, isto, e a reprodutibilidade. Combinando (6) e (7), o modelo pode ser escrito
como:
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4. Metodo da ANOVA (Completo) 76
8) Y ijk = (µ + b) + αi + β j + ijk ou
Valor Observado = (Media das Amostras + Tendencia do sistema de medicao) + Efeito
da Amostra + Efeito do Fator1 + Erro de Replicacao
Onde αi, β j , ijk sao variaveis aleatorias independentes com distribuicoes normais de
medias zero e variancia σ2P , σ2
F 1, σ2 respectivamente. Consequentemente, a variancia do
processo e dada por
9) V ar(Y ijk ) = σ2P + σ2
F 1 + σ2.
No modelo (8) supoe-se que os efeitos da amostra e do Fator1 sao aditivos. Isto significa
que o efeito do j-esimo Fator1 e o mesmo em todas as amostras. Consequentemente, nos
nos referimos a este modelo simples como o modelo aditivo. A suposicao de aditividade
pode nem sempre ser valida na pratica. Alem disso, a validade da suposicao poderia ser
testada a partir dos dados, se cada Fator1 repetir medicoes em cada amostra. A validade
do modelo aditivo pode ser testada pela consideracao de um modelo mais geral, que inclua
um efeito de interacao entre peca e Fator1. Supondo que o desvio em (7) seja dado por
10)
ijk = b + β j + τ ij + ijk , ou seja,
Desvio = Tendencia do sistema de medicao + Efeito do Fator1 + Efeito do Fator1 *
Amostra + Erro de Replicacao.
O termo adicional τ ij representa a interacao entre o j-esimo Fator1 e a i-esima amostra.
Entao, substituindo (10) em (6) resulta no seguinte modelo nao aditivo:
11) Y ijk = (µ + b) + αi + β j + τ ij + ijk , ou seja,
Valor Observado = (Media das amostras + tendencia do sistema de medicao) + Efeito
da Amostra + Efeito do Fator1 + Efeito do Fator1×Amostra + Erro de Replicacao.
Se τ ij e distribuıdo normalmente com media zero e variancia σ2I , entao a variancia total
para (11) e dada por:
12) V ar(Y ijk ) = σ2P + σ2
F 1 + σ2I + σ2
Particionando a variancia, no caso onde p e o numero de amostras, o o numero de Fatores1
e r e o numero de replicacoes. i = 1, ..., p, j = 1, ..., o e k = 1, ..., r .
1o Passo Coleta de dados e definicao do modelo:
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4. Metodo da ANOVA (Completo) 77
Fator1Amostra
1 2 · · · o Media1 Y 111, · · · , Y 11r Y 121, · · · , Y 12r · · · Y 1o1, · · · , Y 1or Y 1..
2 Y 211, · · · , Y 21r Y 221, · · · , Y 22r · · · Y 2o1, · · · , Y 2or Y 2.....
......
......
... p Y p11, · · · , Y p1r Y p21, · · · , Y p2r · · · Y po1, · · · , Y por Y p..
Media Y .1. Y .2. · · · Y .o. Y ...
Tabela 4.1: Tabela de Entradas
O modelo estatıstico para este planejamento e
Y ijk = µ + αi + β j + τ ij + εijk
i = 1, · · · , p Amostra
j = 1,
· · ·, o Fator1
k = 1, · · · , r Replica
(4.1)
onde:
• Y ijk representa a k-esima medicao do j-esimo Fator1 na i-esima amostra ;
• µ e a Media das amostras adicionada com a tendencia do sistema de medicao;
•αi e o efeito da Amostra;
• β j e o efeito do Fator1;
• τ ij e o efeito da interacao Amostra×Fator1;
• εijk e o erro de replicacao.
Onde αi, β j, τ ij e εijk sao variaveis aleatorias independentes com distribuicoes normais de
medias zero e variancia σ2 p, σ2
F 1, σ2I e σ2, respectivamente. Consequentemente, a variancia do
processo e:
V ar(yijk ) = σ2 p + σ2
F 1 + σ2I + σ2
2o Passo: Soma de Quadrados:
Vamos mostrar que:
SQT = SQP + SQF 1 + SQI + SQE
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4. Metodo da ANOVA (Completo) 78
onde SQT e a soma de quadrados total, SQP e a soma de quadrados do fator amostra, SQF 1
e a soma de quadrados do Fator1, SQI e a soma de quadrados da interacao Fator1 × amostra
e SQE e a soma de quadrados do erro. Para isto, temos que
pi=1
oj=1
rk=1
(Y ijk − Y ...)2 =
pi=1
oj=1
rk=1
(Y i.. − Y ...) + (Y .j. − Y ...) + (Y ij. − Y i.. − Y .j. + Y ...) + (Y ijk − Y ij.)
2
= o r
pi=1
(Y i.. − Y ...)2 + p r
oj=1
(Y .j. − Y ...)2 + r
pi=1
oj=1
(Y ij. − Y i.. − Y .j. + Y ...)2
+
pi=1
oj=1
rk=1
(Y ijk − Y ij.)2
Portanto
SQT =
pi=1
o j=1
rk=1
(Y ijk − Y ...)2
SQP = o r
pi=1
(Y i.. − Y ...)2
SQF 1 = p ro
j=1
(Y .j. − Y ...)2
SQI = r
pi=1
o j=1
(Y ij. − Y i.. − Y .j. + Y ...)2
SQE = p
i=1
o j=1
rk=1
(Y ijk − Y ij.)2
Onde:
Y i.. =o
j=1
rk=1
Y ijk , Y .j. =
pi=1
rk=1
Y ijk , Y ij. =r
k=1
Y ijk , Y ... =
pi=1
o j=1
rk=1
Y ijk
Y i.. =1
o r
o j=1
rk=1
Y ijk , Y .j. =1
p r
pi=1
rk=1
Y ijk , Y ij. =1
r
rk=1
Y ijk , Y ... =1
o p r
pi=1
o j=1
rk=1
Y ijk
Da mesma forma,
yi.. =o
j=1
rk=1
yijk , y.j. =
pi=1
rk=1
yijk , yij. =r
k=1
yijk , y... =
pi=1
o j=1
rk=1
yijk
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4. Metodo da ANOVA (Completo) 79
yi.. =1
o r
o j=1
rk=1
yijk , y.j. =1
p r
pi=1
rk=1
yijk , yij. =1
r
rk=1
yijk , y... =1
o p r
pi=1
o j=1
rk=1
yijk
Uma forma mais conveniente para se calcular a soma de quadrados e utilizar o calculo de
variancia amostral. A tabela 4.2 apresenta quais variancias devemos calcular.
Fator1Amostra
1 2 · · · o Media1 Y 111, · · · , Y 11r Y 121, · · · , Y 12r · · · Y 1o1, · · · , Y 1or Y 1..
S 211 S 212 · · · S 21o
2 Y 211, · · · , Y 21r Y 221, · · · , Y 22r · · · Y 2o1, · · · , Y 2or Y 2..
S 221 S 222
· · ·S 22o S 2 p
... ... ... ... ... ... p Y p11, · · · , Y p1r Y p21, · · · , Y p2r · · · Y po1, · · · , Y por Y p..
S 2 p1 S 2 p2 · · · S 2 po
Media Y .1. Y .2. · · · Y .o. Y ...S 2F 1
Tabela 4.2: Tabela de Entradas
Portanto,
SQT = ( p o r − 1) S 2... (4.2)
SQP = o r ( p − 1) S 2i.. (4.3)
SQF 1 = p r (o − 1) S 2.j. (4.4)
SQE = (r − 1)
pi=1
o j=1
S 2ij. (4.5)
SQI = SQT − SQP − SQF 1 − SQE (4.6)
Onde:
• S 2...: representa a variancia amostral com relacao a todos os dados. Com isso,
S 2... =1
p o r − 1
pi=1
o j=1
rk=1
(y... − y...)2 onde y... e a media de todos os dados;
•S 2i..: representa a variancia amostral com relacao aos valores das medias das amostras, ou
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4. Metodo da ANOVA (Completo) 80
seja, a variancia com relacao a ultima coluna da tabela 4.2. Com isso,
S 2i.. =1
p − 1
o j=1
rk=1
(yi.. − y...)2 onde yi.. e a media em cada amostra e
y... e a media de todos os dados;
• S 2.j.: representa a variancia amostral com relacao aos valores das medias dos Fatores1, ou
seja, a variancia com relacao a ultima linha da tabela 4.2. Com isso,
S 2.j. =1
o − 1
pi=1
rk=1
(y.j. − y...)2 onde y.j. e a media em cada Fator1 e
y... e a media de todos os dados;
• S 2ij.: representa a variancia amostral com relacao a cada combinacao de amostra e Fator1,
ou seja, em cada casela da tabela 4.2. Com isso,
S 2ij. =1
r − 1
rk=1
(yij. − y...)2 onde yij. sao as medicoes em cada casela e y... e a
media de todos os dados;
3o Passo: Calculo dos graus de liberdade:
O numero de graus de liberdade em uma soma de quadrados e a quantidade de elementos
independentes nessa soma. Por exemplo, considere a soma de quadrados
pi=1(Y i.. − Y ...)
2.
Neste caso, como p
i=1(¯Y i.. −
¯Y ...) = 0, nem todos os elementos (
¯Y 1.. −
¯Y ...), · · · , (
¯Y p.. −
¯Y ...) sao
independentes. Portanto, temos p − 1 graus de liberdade. Nesse sentido, os respectivos graus
de liberdade associados a cada soma de quadrados sao:
Efeito Grau de LiberdadeAmostra p − 1
Fator1 o − 1Interacao ( p − 1)(o − 1)
Erro p o (r − 1)Total p o r
−1
4o Passo: Calculo do erro quadratico medio:
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4. Metodo da ANOVA (Completo) 81
Cada soma de quadrados dividido por seu grau de liberdade determina o quadrado medio (QM),
ou seja
QM P =SQP
p − 1Amostra (4.7)
QM F 1 =SQF 1
o − 1Fator1 (4.8)
QM I =SQI
( p − 1)(o − 1)Amostra × Fator1 (4.9)
QM E =SQE
p o (r − 1)Replica (4.10)
Considerando as expressoes 4.3, 4.4, 4.5 e 4.6 vamos calcular o valor esperado do QM. Para o
fator amostra, temos que:
E (QM P ) =1
p − 1
E
p
i=1
Y 2i..
o r
− E
Y 2
...
p o r
=1
p − 1
1
o r
pi=1
E
o
j=1
rk=1
Y ijk
2 − 1
p o rE
p
i=1
o j=1
rk=1
Y ijk
2
=1
p
−1
1
o r
p
i=1
E
o
j=1
r
k=1
(µ + αi + β j + τ ij + εijk )
2 −
− 1
p o rE
p
i=1
o j=1
rk=1
(µ + αi + β j + τ ij + εijk )
2
=1
p − 1
1
o r
pi=1
(o r µ)2 + (o r σP )
2 + o r2 σ2F 1 + o r2 σ2
I + o r σ2 −
− 1
p o r
( p o r µ)2 + p (o r σP )
2 + o ( p r σF 1)2 + o p (r σI )2 + p o r σ2
= o r σ2
P + r σ2I + σ2
Podemos resumir que
E (QM P ) = σ2 + r σ2I + o rσ2
P
E (QM F 1) = σ2 + r σ2I + p rσ2
F 1
E (QM I ) = σ2 + r σ2I
E (QM E ) = σ2
5o Passo: Definindo os testes:
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4. Metodo da ANOVA (Completo) 82
Especificamente, estamos interessados em testar as seguintes hipoteses :
A :
H 0 = σ2P = 0
H 1 = σ2P > 0
; B :
H 0 = σ2F 1 = 0
H 1 = σ2F 1 > 0
; C :
H 0 = σ2I = 0
H 1 = σ2I > 0
Vamos mostrar como essas hipoteses sao testadas usando a analise de variancia. Para
determinarmos a estatıstica do teste C, vamos observar que
SQI
σ2 + r σ2I
∼ χ2( p−1)(o−1) e tambem,
SQE
σ2∼ χ2
p o (r−1) ,
onde ambas sao independentes.
Assim, sob H 0 temos que a estatıstica
F 0 =
SQI
(σ2+r σ2I
) ( p−1)(o−1)
SQE
σ2 p o (r−1)
=QM I
QM E
∼ F (( p − 1)(o − 1); p o (r − 1))
tem distribuicao de Fisher-Snedecor com ( p − 1)(o − 1) graus de liberdade no numerador e
p o (r − 1) graus de liberdade no denominador. A regiao crıtica (RC) do teste F e dada por
RC = F ∈ + | F > F c. Com isso, utilizando o numero de graus de liberdade do numerador
e denominador, podemos, considerando um nıvel de significancia α encontrar o valor de F c natabela da distribuicao F-Snedecor. A Figura 4.1 mostra a regiao crıtica do teste.
Para determinarmos a estatıstica do teste A, vamos observar que
SQP
σ2 + r σ2I + o r σ2
P
∼ χ2( p−1) e tambem,
SQI
σ2 + r σ2I
∼ χ2( p−1)(o−1) ,
onde ambas sao independentes.
Assim, sob H 0 temos que a estatıstica
F 0 =
SQP
(σ2+r σ2I
+o r σ2P
) ( p−1)
SQI
(σ2+r σ2I
) ( p−1)(o−1)
=QM P
QM I
∼ F (( p − 1);( p − 1)(o − 1))
tem distribuicao de Fisher-Snedecor com ( p − 1) graus de liberdade no numerador e ( p − 1)(o − 1)
graus de liberdade no denominador. A regiao crıtica (RC) do teste F e dada por RC =
F ∈ + | F > F c. Com isso, utilizando o numero de graus de liberdade do numerador e
denominador, podemos, considerando um nıvel de significancia α encontrar o valor de F c na
tabela da distribuicao F-Snedecor. A Figura 4.1 mostra a regiao crıtica do teste.
Para determinarmos a estatıstica do teste B, vamos observar que
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4. Metodo da ANOVA (Completo) 83
Figura 4.1: Regiao Crıtica do Teste
SQF 1
σ2 + r σ2I + p r σ2
F 1
∼ χ2(o−1) e tambem,
SQI
σ2 + r σ2I
∼ χ2( p−1)(o−1) ,
onde ambas sao independentes.
Assim, sob H 0 temos que a estatıstica
F 0 =
SQP
(σ2+r σ2I
+ p r σ2F 1) (o−1)
SQI
(σ2+r σ2I
) ( p−1)(o−1)
=QM F 1
QM I
∼ F ((o − 1);( p − 1)(o − 1))
tem distribuicao de Fisher-Snedecor com (o − 1) graus de liberdade no numerador e ( p − 1)(o − 1)
graus de liberdade no denominador. A regiao crıtica (RC) do teste F e dada por RC =
F ∈ + | F > F c. Com isso, utilizando o numero de graus de liberdade do numerador e
denominador, podemos, considerando um nıvel de significancia α encontrar o valor de F c na
tabela da distribuicao F-Snedecor. A Figura 4.1 mostra a regiao crıtica do teste.
6o Passo: Tabela de ANOVA:
O teste estatıstico para as hipoteses (A, B, C) propostas e resumido na tabela 4.3. Essa
tabela e chamada tabela de an´ alise de varianica . Caso o teste C implique em H 0 ser nao
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4. Metodo da ANOVA (Completo) 84
significativo, ou seja, a interacao ( Amostra × Fator1 ) sera considerada nula. Neste caso, os
testes A e B serao realizados conforme a tabela 4.4. Para isso, vamos incorporar a soma de
quadrados da interacao a soma de quadrados do erro. Assim, temos que SQE = SQT − SQP −
SQF 1.
Fonte de Graus de Soma de Quadrado TesteVariacao Liberdade Quadrados Medio F
Amostra p − 1 SQP QM P QM P QM I
Fator1 o − 1 SQF 1 QM F 1QM F 1QM I
Interacao ( p − 1)(o − 1) SQI QM I QM IQM E
Erro p o (r − 1) SQE QM E
Total p o r − 1 SQT
Tabela 4.3: Tabela de Analise de Variancia (ANOVA) - Com interacao
Fonte de Graus de Soma de Quadrado TesteVariacao Liberdade Quadrados Medio F
Amostra p − 1 SQP QM P = SQP
p − 1QM P QM E
Fator1 o − 1 SQF 1 QM F 1 = SQF 1
o − 1QM F 1QM E
Erro p o r − p − o + 1 SQE QM E = SQE
p o r − p − o + 1
Total p o r − 1 SQT
Tabela 4.4: Tabela de Analise de Variancia (ANOVA) - Sem interacao
7o Passo: Componentes de variancia:
Aqui, vamos estimar as componentes de variancia pelo metodo de momentos. Este metodo,
visa igualar os momentos populacionais aos momentos amostrais. Considerando o modelo com
interacao temos:
E (QM E ) = σ2 =⇒ σ2 = QM E
E (QM I ) = σ2 + r σ2I =⇒ σ2 + r σ2
I = QM I
E (QM F 1) = σ2 + r σ2I + p rσ2
F 1 =⇒ σ2 + r σ2I + p rσ2
F 1 = QM F 1
E (QM P ) = σ2 + r σ2I + o rσ2
P =⇒ σ2 + r σ2I + o rσ2
P = QM P
Assim, obtemos que as fontes de variacao podem ser estimadas por
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4. Metodo da ANOVA (Completo) 85
V F1 =
QM F 1 − QM I
p rFator1 (4.11)
V I =
QM I − QM E
rinteracao (4.12)
V E =
QM E repetitividade (4.13)
V F =
(V F1)2 + (V I )2 reprodutibilidade (4.14)
R&R =
(V E )2 + (V O)2 R&R (4.15)
V P =
QM P − QM I
o ∗ ramostra (4.16)
V T = (R&R)2 + (V P )2 total (4.17)
Considerando que a interacao nao e significativa, temos que
E (QM E ) = σ2 =⇒ σ2 = QM E
E (QM F 1) = σ2 + p rσ2F 1 =⇒ σ2 + p rσ2
F 1 = QM F 1
E (QM P ) = σ2 + o rσ2P =
⇒σ2 + o rσ2
P = QM P
Assim, obtemos que as fontes de variacao podem ser estimadas por
V F1 =
QM F 1 − QM E
p rFator1 (4.18)
V E =
QM E repetitividade (4.19)
V F =
(V F1)2
reprodutibilidade (4.20)
R&R =
(V E )2 + (V F )2 R&R (4.21)
V P =
QM P − QM E
o ∗ ramostra (4.22)
V T =
(R&R)2 + (V P )2 total (4.23)
Exemplo 4.1. Nesta aplicac˜ ao usaremos uma anova two-way, ou seja, dois fatores aleat´ orios.
A tabela 4.5 apresenta as medic˜ oes realizadas no copo PS, a coluna Ponto representa o ponto
de medic˜ ao.
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4. Metodo da ANOVA (Completo) 86
Tempo (s) P essoa Absorcao (g/m2) Desvio20 Camila 0,11479 0,00161820 Paula 0,05992 0,00021522 Paula 0,06308 0,00013222 Paula 0,06308 0,00013222 Camila 0,05740 0,000295
20 Camila 0,03021 0,00196820 Paula 0,08200 0,00005522 Camila 0,08458 0,00010020 Camila 0,09667 0,00048820 Paula 0,05362 0,00043922 Paula 0,09777 0,00053822 Paula 0,05362 0,00043922 Camila 0,09969 0,00063120 Camila 0,06948 0,00002620 Paula 0,07569 0,00000122 Camila 0,08458 0,00010020 Camila 0,05135 0,000539
20 Paula 0,03785 0,00134822 Paula 0,08516 0,00011222 Paula 0,03785 0,00134822 Camila 0,07854 0,00001620 Camila 0,09063 0,00025820 Paula 0,11039 0,00128322 Camila 0,11177 0,001384
Soma 1,78972 0,013466
Tabela 4.5: Tabela de dados
O modelo estatıstico para este experimento e:
Y ijk = µ + αi + β j + εijk
i = 1, · · · , p Tempo
j = 1, · · · , o Pessoa
k = 1, · · · , r Replicas
(4.24)
onde:
•Y ijk representa a k-esima medic˜ ao no j-esimo Fator 2 no i-esima copo;
• µ e a Media das medic˜ oes;
• αi e o efeito do Tempo;
• β j e o efeito do Fator Pessoa;
• εijk e o erro de replicac˜ ao.
Para calcularmos as somas de quadrados, precisamos primeiramente calcular as seguintes
variancias amostrais :
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4. Metodo da ANOVA (Completo) 87
S 2... =1
p o r − 1
pi=1
o j=1
rk=1
(yijk − y...)2 = 0, 0005855
S 2 p = 1 p − 1
pi=1
(yi.. − y...)2 = 0, 0000778
S 2o =1
o − 1
o j=1
(y.j. − y...)2 = 0, 0000069
onde,
p = 1, 2 Pessoa
o = 1, 2 Tempo
r = 6 Replica
SQTotal = ( p o r − 1) S 2... = (23) S 2... = 0, 0134657
SQPessoa = o r ( p − 1) S 2 p = (12) S 2 p = 0, 000933255
SQTempo = p r (o − 1) S 2o = (12) S 2o = 0, 000083
SQErro = SQTotal − SQPessoa − SQTempo = 0, 012449957
Os graus de liberdade s˜ ao:
Efeito Grau de Liberdade
Pessoa p − 1 = 1
Tempo o − 1 = 1
Erro por − p − o + 1 = 21Total por − 1=23
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4. Metodo da ANOVA (Completo) 88
Com isso, o quadrado medio e:
QM Pessoa =SQPessoa
p − 1=
0, 000933
1
= 0, 000933
QM Tempo =SQTempo
o − 1=
0, 000083
1
= 0, 000083
QM Erro =SQErro
p o r − p − o + 1=
0, 012449957
21
= 0, 000592855
A tabela abaixo apresenta o resumo da an´ alise de variancia.
Fonte G.L. Soma Quad Media Quad Estat. F P-valorTempo 1 0,000083 0,000083 0,139300 0,712719Pessoa 1 0,000933255 0,000933 1,57417 0,223387
Residuals 21 0,012449957 0,000593Total 23 0,01347
Tabela 4.6: Tabela de Analise de Variancia
Aqui, temos que P-Valor e dado por:
T empo P (F 1; 21 > 0, 139) = 0, 712719
P essoa P (F 1; 21 > 1, 574) = 0, 223387
Portanto, temos que a estimativa da variabilidade com dois fatores e:
σ2 = QM E = 0, 000593
Considerando que os fatores n˜ ao s˜ ao significativo, temos que os componentes de variancia
s˜ ao desprezıveis.
Exemplo 4.2. Para avaliar a exatid˜ ao das medic˜ oes de dureza na escala HRB (ponto 52,39),
tomamos 2 tipos de penetradores e 2 operadores. Cada operador realizou 6 medic˜ oes com cada
penetrador aleat´ oriamente. Os dados est˜ ao apresentados na tabela 4.7.
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4. Metodo da ANOVA (Completo) 89
Op. A Op. BMedicoes Medicoes
Penetrador 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6Bom 52 52 52,4 52 52,4 53 53 53 53,2 53,4 52,8 53
Ruim 72,2 71,2 71 70,2 72 72 42 72,4 72 73 73,2 72,3
Tabela 4.7: Medicao de Dureza Escala HRB
Soluc˜ ao
2o Passo: Soma de Quadrados:
• C´ alculo do S 2.... Seja y... = 61, 07 a media dos dados, com p = 2, o = 2 e r = 6. Ent˜ ao:
S 2... = (52 − 61, 07)2
+ (72, 2 − 61, 07)2
+ · · · + (72, 00 − 61, 07)2
+ (53, 00 − 61, 07)2
24 − 1
= 109, 6195
• C´ alculo do S 2i... Veja a tabela 4.8.
Penetrador Media (yi..) Media das Medias (y...) (yi.. − y...)2
Bom 52,6833 61,0708 70,35Ruim 69,4583 61,0708 70,35
Total 140,7
Tabela 4.8: Calculo do S 2i..
Portanto,
S 2i.. =140, 7
1= 140, 7
• C´ alculo do S 2.j.. Veja a tabela 4.9.
Operador Media (y.j.) Media das Medias (y...) (y.j.
−y...)
2
A 61,87 61,0708 0,6334B 60,28 61,0708 0,6334
Total 1,2667
Tabela 4.9: Calculo do S 2.j.
Portanto,
S 2.j. =1, 2667
1= 1, 2667
Utilizando as express˜ oes (4.2), (4.3), (4.4), (4.5) e (4.6) e os resultados das variancias
amotrais, temos que:
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4. Metodo da ANOVA (Completo) 90
SQT = ( p o r − 1) S 2... = 2521, 2496
SQO = p r (o − 1) S
2
.j. = 15, 2004SQP = o r ( p − 1) S 2i.. = 1688, 4038
SQE = SQT − SQP − SQO = 817, 6454
3o Passo: C´ alculo dos graus de liberdade:
Efeito Grau de LiberdadePenetrador p - 1 = 1Operador o - 1 = 1
Erro por-p-o+1 = 21Total p o r - 1 = 23
4o Passo: C´ alculo do erro quadr´ atico medio:
Utilizando as express˜ oes (4.7), (4.8), (4.9) e (4.10) temos que:
QM P =SQP
p − 1= (Penetrador)
QM O =SQO
o − 1= (Operador)
QM E = SQE
por − p − o + 1= (Erro)
6o Passo: Tabela de ANOVA:
Siga os procedimentos de montagem da tabela anova, com base na tabela 4.3, apresentada
no sexto passo da teoria.
7o Passo: Componentes de variancia:
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4. Metodo da ANOVA (Completo) 91
Fonte GL SQ QM FPenetradorOperador
ErroTotal
Tabela 4.10: Tabela de Analise de Variancia (ANOVA) - Sem interacao
V E =
QM E =
V P = QM P − QM E
o ∗ r
=
V O =
QM O − QM E
p ∗ r=
R&R =
(V E )2 + (V O)2 =
V T = (R&R)2 + (V P )2 =
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92
Capıtulo 5
Calculo de Incerteza de um Relogio
Comparador
Considere o processo de calibracao de um relogio de resolucao de 0,01mm. Esta calibracao
e realizada por comparacao utilizando-se um calibrador de relogio. O calibrador apresenta
uma resolucao 0,001 mm com incerteza expandida de 0,001 mm com k=2. Os resultados sao
apresentados na tabela 9.2.
Ref. Leituras (mm) Media Tend DP DPM
A R A R A R0,1 0,101 0,098 0,102 0,101 0,102 0,102 0,101 0,001 0,0015492 0,0006330,5 0,503 0,502 0,504 0,501 0,504 0,502 0,502667 0,0026667 0,0012111 0,0004940,7 0,7 0,695 0,702 0,697 0,703 0,698 0,699167 -0,0008333 0,0030605 0,001249
1 1,002 1 1,001 1,001 0,996 0,998 0,999667 -0,0003333 0,0022509 0,000919
Tabela 5.1: Tabela de Dados
Na tabela 9.2, temos que
•A: representa a leitura no avanco;
• R: representa a leitura no retorno;
• Tend: representa a tendencia;
• Ref: representa o valor de referencia;
• DP: representa o Desvio Padrao;
• DPM: representa o Desvio padrao da Media ou repetitividade.
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5. Calculo de Incerteza de um Relogio Comparador 93
Metodo de Medicao
A calibracao corresponde a diferenca entre as medicoes do relogio e do calibrador
d = l − lS
onde
• l: representa a leitura ajustada no relogio comparador;
• lS : representa a leitura obtida pelo calibrador.
Modelo Matematico
Os desvios obtidos apresentam as seguintes fontes de incerteza
d = ∆l + Res(Rel) + Res(Cal) + Histerese
Entao,
l = d + ls = ∆l + Res(Rel) + Res(Cal) + Histerese + ls
onde,
• ∆l : representa a diferenca observada entre a medicao do relogio e a medicao do calibrador
(repetitividade);
• Res(Rel) : Resolucao do relogio;
• Res(Cal) : Resolucao do calibrador;
• ls : representa a contribuicao do padrao;
• Histerese: Maxima diferenca entre a medicao no avanco e no retorno.
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5. Calculo de Incerteza de um Relogio Comparador 94
5.1 Incerteza Combinada
Atraves da equacao de propagacao da incerteza, temos que a expressao da incerteza combinada
e dada por
uc(d) =
u2(∆l) + u2(Res(Rel)) + u2(Res(Cal)) + u2(ls) + u2(Histerese)
5.2 Calculo da Incerteza Padrao das grandezas de en-
trada
A seguir, vamos calcular a incerteza de cada fonte.
5.2.1 Repetitividade (∆l)
Incerteza do tipo A Agrupada:
u(∆l) = ni=1 u2
A(i)
n= 0, 0000030
4=
Onde
• u(∆l): representa a incerteza combinada (agrupada) do tipo A;
• uA(i): representa a incerteza do tipo A no ponto de calibracao i;
• n: representa o numero de pontos de calibracao.
5.2.2 Incerteza Herdada do Padrao U (ls)
Distribuicao: Normal
u(ls) =
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5. Calculo de Incerteza de um Relogio Comparador 95
5.2.3 Resolucao do Calibrador (Res(Cal))
Distribuicao: Retangular
u(Res(Cal)) =
5.2.4 Resolucao do Relogio (Res(Rel))
Distribuicao: Retangular
u(Res(Rel)) =
5.2.5 Calculo da Histerese
Referencia Media do Avanco Media do Retorno |Histerese|0,1 0,101667 0,100333 0,00133330,5 0,503667 0,501667 0,0020,7 0,701667 0,696667 0,005
1 0,999667 0,999667 0
Histerese Maxima:
5.3 Calculo de Incerteza do Relogio
5.3.1 Calculo da Incerteza Combinada
Fonte Estimativa Tipo Distribuicao Divisor IncertezaRepetitividade 0,000866 A Normal 1 0,000866Res(Rel) 0,01 B Retangular 3,464 0,002887Res(Cal) 0,001 B Retangular 3,464 0,0002887Incert. Herdada do ls 0,001 B Normal 2 0,0005Histerese 0,005 B Retangular 3,464 0,00144342
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5. Calculo de Incerteza de um Relogio Comparador 96
Incerteza Combinada:
uc(d) =
(0, 000866)2 + (0, 002887)2 + (0, 0002887)2 + (0, 0005)2 + (0, 00144342)2
=
5.3.2 Graus de liberdade Efetivo
ν eff = uc(d)
u(∆l)4
ν A =
Atraves da tabela t-Student encontramos k =
5.4 Incerteza Expandida
U = k ∗ uc(d) =
O relogio de medicao e utilizado para medir uma tolerancia de 0,2mm. Faca um estudo da
comprovacao metrologica.
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97
Capıtulo 6
Calculo de Incerteza de um
Manometro
Objeto a ser calibrado: Manometro
Resolucao: 1kgf/cm2.
Faixa de Indicacao (faixa nominal): 0 − 160kgf/cm2.
Padrao de referencia: Manometro padrao.
Resolucao: 0, 1kgf/cm2
Incerteza expandida - U = 0, 1% (k = 2) (Fundo de escala).
Temperatura durante a calibracao: 22 ± 1 C .
Faixa de Indicacao (faixa nominal): 0 − 200kgf/cm2.
Resultados: A bancada foi ajustada com o manometro (a ser calibrado) e as leituras foram
realizadas com o padrao. A tabela 6.1 apresenta os dados.
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6. Calculo de Incerteza de um Manometro 98
Ajustado Leituras (Kgf/cm2) Media Tendencia DP DPMA R A R A R
15 14,9 14,9 14,8 14,9 14,9 14,9 14,883 -0,11667 0,040825 0,01666730 29,8 29,6 29,7 29,7 29,8 29,7 29,717 -0,28333 0,075277 0,03073245 45 44,6 45,1 44,7 45,1 44,7 44,867 -0,13333 0,225093 0,09189460 60,1 59,7 60 59,8 60,1 59,8 59,917 -0,08333 0,17224 0,070317
75 75 74,6 75 74,6 75 74,6 74,8 -0,2 0,219089 0,08944390 89,9 89,5 89,9 89,6 89,8 89,6 89,717 -0,28333 0,17224 0,070317
105 104,9 104,5 105 104,6 105 104,6 104,767 -0,23333 0,225093 0,091894120 119,9 119,7 119,8 119,8 119,9 119,7 119,8 -0,2 0,089443 0,036515140 140,2 140 140,1 140,2 140,2 140 140,117 0,116667 0,098319 0,040139160 160,3 160,1 160,2 160,2 160,2 160,2 160,2 0,2 0,063246 0,02582
Tabela 6.1: Tabela de Dados para o Manometro
Na tabela 6.1, temos que
• A: representa a leitura no avanco;
• R: representa a leitura no retorno;
• D: representa o Desvio;
• DP: representa o Desvio Padrao;
• DPM: representa o Desvio padrao da Media ou repetitividade.
Equacao Matematica
Desvio = Medida do Manometro − Manometro padrao
Fontes de Incerteza
• Repetitividade - tipo A;
• Resolucao do manometro;
• Resolucao do manometro padrao;
• Incerteza herdada do padrao, U = 0, 1% (k = 2):
Porcentagem tomada em relacao ao fundo de escala.
U =U (unidade)
200100% ,
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6. Calculo de Incerteza de um Manometro 99
Entao
U (unidade) =U (%)
100200
uc =U (unidade)
k
• Histerese.
6.1 Incerteza Combinada
Atraves da equacao de propagacao da incerteza, temos que a expressao da incerteza combinada
para o manometro e dada por
uc(M ) = u2(∆l) + u2(Res(man)) + u2(Res( padra)) + u2(hP ad) + u2(Hist)
Onde
• u(∆l): representa a incerteza devido a repetitividade;
• u(Res(man)): representa a incerteza devido a resolucao do manometro;
• u(Res( padra)): representa a incerteza devido a resolucao do manometro padrao;
• u(hP ad): representa a incerteza herdada do manometro padrao;
• u(Hist): representa a incerteza devido a histerese;
6.2 Calculo da Incerteza Padrao das grandezas de en-
trada
A seguir, vamos calcular a incerteza de cada fonte.
7/3/2019 Incerteza de medição
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6. Calculo de Incerteza de um Manometro 100
6.2.1 Repetitividade (∆l)
Incerteza do tipo A Agrupada:
u(∆l) =
ni=1 u2
Ai
n=
0, 0396111
10=
Onde
• u(∆l): representa a incerteza do tipo A;
• uAi: representa a incerteza do tipo A para o i-esimo ponto de calibracao;
• n: representa o numero de pontos de calibracao.
6.2.2 Incerteza Herdada do Manometro Padrao - U(Upadrao)
Distribuicao: Normal
u(hP ad) =
6.2.3 Resolucao do Manometro Padrao - U(Res(padra))
Distribuicao: Retangular
u(Res( padra)) =
6.2.4 Resolucao do Manometro - U(Res(man))
Distribuicao: Retangular
u(Res(man)) =
7/3/2019 Incerteza de medição
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6. Calculo de Incerteza de um Manometro 101
6.2.5 Calculo da Histerese
Media do Avanco Media do Retorno |Histerese|14,867 14,9 0,03333329,767 29,667 0,1
45,0667 44,667 0,460,067 59,767 0,3
75 74,667 0,33333389,867 89,567 0,3104,9 104,567 0,333333
119,867 119,733 0,133333140,1 140,067 0,033333
160,233 160,233 0
Histerese Maxima:
6.3 Calculo da Incerteza do Manometro
6.3.1 Calculo da Incerteza Combinada
FV Estimativa Tipo Distribuicao Divisor IncertezaRepetitividade 0,062937 A Normal 1 0,062937
Inc. Herdada 0,2 B Normal 2 0,1Res-Padrao 0,1 B Retangular 3,464 0,02887
Res-manom. 1 B Retangular 3,464 0,2887Histerese 0,4 B Retangular 3,464 0,11547
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6. Calculo de Incerteza de um Manometro 102
Incerteza combinada:
uc(M ) = (0, 062937)2 + (0, 1)2 + (0, 02887)2 + (0, 2887)2 + (0, 11547)2
=
6.3.2 Graus de liberdade efetivo
ν eff =
uc(M )
u(∆l)
4
ν A =
Atraves da tabela t-Student encontramos k =
6.3.3 Incerteza Expandida
U = k ∗ uc(M ) =
6.3.4 Expressao da Incerteza em Porcentagem
U =U (unidade)
160100%
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103
Capıtulo 7
Calculo de Incerteza de um Voltımetro
Digital
Exemplo 7.1. Considere a calibrac˜ ao de um voltımetro digital por comparac˜ ao.
C´ odigo: VO341 Serie: 006-C Descric˜ ao: Voltımetro digital
Menor Div. 0,1 mV Unidade: mV Faixa de leitura: 0 a 200 mV
Temperatura ambiente: 20 ± 3 o C;
Padr˜ ao de referencia: Multımetro digital HP - 3458 A
Resoluc˜ ao: 0,01 mV U = ± 0,001% (k=2) (em relac˜ ao ao fundo de escala)
Drift (estabilidade) =± 0,002 mV
Faixa de leitura: 0 a 200 mV
Modelo Matematico
Desvio = (Voltagem indicada no equipamento em calibracao) - (voltagem do padrao de
referencia)
Valores Encontrados:
Leitura
Padrao 1 2 3 4 Media Tend. DPM
40 40,11 40,15 40,16 40,12 40,135 0,135 0,0119024
80 80,12 80,16 80,14 80,13 80,138 0,1375 0,0085391
120 120,15 120,17 120,19 120,19 120,175 0,175 0,0095743
160 160,23 160,18 160,17 160,18 160,19 0,19 0,0135401
200 200,21 200,23 200,26 200,27 200,243 0,2425 0,0137689
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7. Calculo de Incerteza de um Voltımetro Digital 104
Planilha de Incerteza
Fonte de Incerteza Valor Tipo Dist Divisor Incerteza gl
Repetitividade
Incerteza do Padrao
Resolucao Padrao
Drift do Padrao
Resolucao Voltımetro
Incerteza Combinada:
Graus de Liberdade efetivo
υeff =
uc(y)
uA(y)
4
ν A =
Onde ν A = j ∗ (n − 1) corresponde ao grau de liberdade tipo A, tal que j e o numero de
pontos de calibracao e n o numero de leituras por ponto.
Incerteza Expandida:
Avaliacao da incerteza: Suponha que este equipamento seja utilizado para medir uma
tolerancia de 3 mV. Faca uma analise crıtica da capacidade deste equipamento para medir
tal tolerancia.
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105
Capıtulo 8
Calculo de Incerteza no Ensaio de
Tensao
8.1 Calibracao
Equacao de Medicao
A expressao 8.1 representa a equacao de medicao utilizada para a obtencao da Tensao:
T = M + Res + Inst + ∆ (8.1)
T : Representa a Tensao
M : Representa a tensao no multımetro padrao do laboratorio. Podemos supor que M tem
distribuicao Normal com incerteza u(herdM ) e fator de abrangencia obtidos via certificado
de calibracao.
Res: Resolucao do multımetro. Podemos supor que a resolucao tem distribuicao retangular
(ou uniforme) no intervalo−Res
2, Res
2
, onde Res e a resolucao do artefato. Logo, a
incerteza devida a resolucao sera dada por:
u(Res) =Res
2√
3
Inst: Instabilidade do multımetro. Podemos supor que a Instabilidade tem distribuicao retan-gular (ou uniforme) no intervalo
− Inst2
, Inst2
, onde Inst e a Instabilidade do artefato.
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8. Calculo de Incerteza no Ensaio de Tens˜ ao 106
Logo, a incerteza devida a Instabilidade sera dada por:
u(Inst) =Inst
2√
3
∆: Representa a leitura do equipamento. Podemos supor que a distribuicao da media das
medicoes (repetitividade) tem distribuicao normal. Logo, podemos estimar sua incerteza
(desvio padrao) como
u(∆) =s√n
,
onde s2 = 1n−1
ni=1(xi − X )2 e a variancia amostral e X = 1
n
ni=1 xi e a media amostral;
Incerteza Combinada (uc(T ))
A incerteza combinada para a Tensao e dada por:
uc(T )2 = u2(herdM ) + u2(Res) + u2(Inst) + u2(∆)
Logo,
uc(T ) = u2(herdM ) + u2(Res) + u2(Inst) + u2(∆).
Incerteza Expandida (U (T ))
Aqui, a expressao 8.2 representa a incerteza expandida para a Tensao.
U (T ) = k × uc(T ) (8.2)
onde, k (fator de abrangencia) e o quantil da distribuicao t-Student com ν ef f (T ) graus
de liberdade e confianca de 95%. Aqui, os graus de liberdade sao dados por:
ν eff (T ) =(uc(T ))4
u4(∆)n−1
+ u4(herdM )∞ + u4(Res)
∞ + u4(Inst)∞
A tabela 9.3 apresenta o resumo para o calculo da incerteza da Tensao.
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8. Calculo de Incerteza no Ensaio de Tens˜ ao 107
Calculo de Incerteza - Canal de Tensao
Sımb olo Fontes de Incerteza Unidade Est. Tip o Distr. Div. Incerteza C.S. Contr. G.L.
∆ Repetitividade A Normal 1 1 n− 1M Equip. Medicao B Normal k 1 ∞
Res Resolucao B Retangular 2√
3 1 ∞Inst Instabilidade B Retangular 2
√3 1 ∞
Incerteza Combinada uc(T )
Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) ν eff (T )Fator de Abrangencia kIncerteza Expandida U (T )
Est. = Estimativa Distr. = Distribuicao Div. = DivisorC.S. = Coeficiente de Sensibilidade Contr. = Contribuicao G.L. = Graus de Liberdade
Tabela 8.1: Resumo do Calculo de Incerteza para a Tensao
8.2 Aplicacao
Considere um Ensaio de Tensao, utilizando um Multımetro, sao realizadas 5 leituras, na
unidade de milivolts (mV). Os resultados sao apresentados na Tabela 8.2.
Leituras (mV)97,761
102,488100,87098,941
100,510Media 100,1139
Repetitividade 0,8148
Tabela 8.2: Tabela de Dados
Os dados necessarios para esta aplicacao sao:
• A incerteza do multımetro U (herdM ) = 1% da leitura com k = 2;
• A resolucao do multımetro Res(M ) = 0, 1% da leitura;
•A instabilidade do multımetro Inst(M ) = 0, 04% da leitura;
• A repetitividade (%) e dada por: u(∆) = 100 s/√
nT
= 100 0,8148100,1139
= 0, 81383%
A seguir, todos os calculos serao feitos em porcentagem (%)!!!!
A incerteza combinada para a Tensao e dada por:
uc(T ) =
Os graus de liberdade sao:
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8. Calculo de Incerteza no Ensaio de Tens˜ ao 108
ν eff (T ) =((uc(T ))4
u4(∆)n−1
+ u4(herdM )∞ + u4(Res)
∞ + u4(Inst)∞
=
Considerando os graus de liberdade efetivo e uma confianca de aproximadamente 95%,
temos pela tabela da distribuicao t-student, que o fator de abrangencia e k = . Com isso,
a incerteza expandida para a variavel tensao:
U (T ) = k × uc(T )
=
Calculo de Incerteza - Canal de Tensao
Sımb olo Fontes de Incerteza Unidade Est. Tip o Distr. Div. Incerteza C.S. Contr. G.L.
∆ Repetitividade % 0,81383 A Normal 1 0,81383 1 0,81383 4M Equip. Medicao % 1 B Normal 2 0,5 1 0,5 ∞
Res Resolucao % 0,1 B Retangular 2√
3 0,0289 1 0,0289 ∞Inst Instabilidade % 0,04 B Retangular 2
√3 0,01155 1 0,01155 ∞
Incerteza Combinada 0, 9557Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) 7, 61Fator de Abrangencia 2, 33Incerteza Expandida 2, 22 %
Tabela 8.3: Resumo do Calculo de Incerteza para a Tensao
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109
Capıtulo 9
Calculo de Incerteza no Ensaio de
Corrente
9.1 Calibracao
Equacao de Medicao
A expressao 9.1 representa a equacao de medicao utilizada para a obtencao da Corrente:
I = M + Res + Inst + ∆ (9.1)
I : Representa a Corrente
M : Representa a tensao no multımetro padrao do laboratorio. Podemos supor que M tem
distribuicao Normal com incerteza u(herdM ) e fator de abrangencia obtidos via certificado
de calibracao.
Res: Resolucao do multımetro. Podemos supor que a resolucao tem distribuicao retangular
(ou uniforme) no intervalo−Res
2, Res
2
, onde Res e a resolucao do artefato. Logo, a
incerteza devida a resolucao sera dada por:
u(Res) =Res
2√
3
Inst: Instabilidade do multımetro. Podemos supor que a Instabilidade tem distribuicao retan-
gular (ou uniforme) no intervalo− Inst
2, Inst
2
, onde Inst e a Instabilidade do artefato.
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9. Calculo de Incerteza no Ensaio de Corrente 110
Logo, a incerteza devida a Instabilidade sera dada por:
u(Inst) =Inst
2√
3
∆: Representa a leitura do equipamento. Podemos supor que a distribuicao da media das
medicoes (repetitividade) tem distribuicao normal. Logo, podemos estimar sua incerteza
(desvio padrao) como
u(∆) =s√n
,
onde s2 = 1n−1
ni=1(xi − X )2 e a variancia amostral e X = 1
n
ni=1 xi e a media amostral;
Incerteza Combinada (uc(I ))
A incerteza combinada para a Tensao e dada por:
uc(I )2 = u2(herdM ) + u2(Res) + u2(Inst) + u2(∆)
Logo,
uc(I ) = u2(herdM ) + u2(Res) + u2(Inst) + u2(∆).
Incerteza Expandida (U (I ))
Aqui, a expressao 9.2 representa a incerteza expandida para a Corrente.
U (I ) = k × uc(I ) (9.2)
onde, k (fator de abrangencia) e o quantil da distribuicao t-Student com ν ef f (I ) graus de
liberdade e confianca de 95%. Aqui, os graus de liberdade sao dados por:
ν eff (I ) =(uc(I ))4
u4(∆)n−1
+ u4(herdM )∞ + u4(Res)
∞ + u4(Inst)∞
A tabela 9.1 apresenta o resumo para o calculo da incerteza da Corrente.
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9. Calculo de Incerteza no Ensaio de Corrente 111
Calculo de Incerteza - Canal de Corrente
Sımb olo Fontes de Incerteza Unidade Est. Tip o Distr. Div. Incerteza C.S. Contr. G.L.
∆ Repetitividade A Normal 1 1 n− 1M Equip. Medicao B Normal k 1 ∞
Res Resolucao B Retangular 2√
3 1 ∞Inst Instabilidade B Retangular 2
√3 1 ∞
Incerteza Combinada uc(T )
Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) ν eff (T )Fator de Abrangencia kIncerteza Expandida U (T )
Est. = Estimativa Distr. = Distribuicao Div. = DivisorC.S. = Coeficiente de Sensibilidade Contr. = Contribuicao G.L. = Graus de Liberdade
Tabela 9.1: Resumo do Calculo de Incerteza para a Corrente
9.2 Aplicacao
Considere um Ensaio de Corrente, utilizando um Multımetro, sao realizadas 5 leituras, na
unidade de miliamper (mA). Os resultados sao apresentados na Tabela 9.2. Temos que, a
Instabilidade do Multımetro e ±0, 2%.
Leituras (mA)500,41500,32501,75498,06496,71
Media 499,45
Repetitividade 0,9058
Tabela 9.2: Tabela de Dados
Os dados necessarios para esta aplicacao sao:
• A incerteza do multımetro u(herdM ) = 1% da leitura com k = 2;
• A resolucao do multımetro res(M ) = 0, 1% da leitura ;
• A instabilidade do multımetro inst(M ) = 0, 4% da leitura;
• A repetitividade (%) e dada por: u(∆) = 100 s/√
nI
= 100 0,9058499,45
= 0, 18%
A incerteza combinada para a Tensao e dada por:
uc(I ) =
Os graus de liberdade sao:
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9. Calculo de Incerteza no Ensaio de Corrente 112
ν eff (I ) =(uc(I ))4
u4(∆)n−1
+ u4(herdM )∞ + u4(Res)
∞ + u4(Inst)∞
=
Considerando os graus de liberdade efetivo e uma confianca de aproximadamente 95%,
temos pela tabela da distribuicao t-student, que o fator de abrangencia e k = . Com isso,
a incerteza expandida para a variavel corrente:
U (I ) = k × uc(I )
=
Calculo de Incerteza - Canal de Corrente
Sımb olo Fontes de Incerteza Unidade Est. Tip o Distr. Div. Incerteza C.S. Contr. G.L.
∆ Repetitividade % 0,18 A Normal 1 0,18 1 0,18 4M Equip. Medicao % 1 B Normal 2 0,5 1 0,5 ∞
Res Resolucao % 0,1 B Retangular 2√
3 0,0289 1 0,0289 ∞Inst Instabilidade % 0,4 B Retangular 2
√3 0,0115 1 0,0115 ∞
Incerteza Combinada 0, 5328
Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) 297, 96Fator de Abrangencia 1, 96Incerteza Expandida 1, 04 %
Tabela 9.3: Resumo do Calculo de Incerteza para a Corrente
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113
Capıtulo 10
Calculo de Incerteza no Ensaio de
Impedancia
10.1 Calibracao
Equacao de Medicao
A expressao 10.1 representa a equacao de medicao utilizada para a obtencao da Impedancia:
R =V
I + ∆
R: Representa a Impedancia;
V : Representa a tensao no multımetro padrao do laboratorio. Podemos supor que V tem
distribuicao Normal com incerteza U (V ) e fator de abrangencia obtidos na capıtulo 8.
I : Representa a corrente no multımetro padrao do laboratorio. Podemos supor que I tem
distribuicao Normal com incerteza U (I ) e fator de abrangencia obtidos na capıtulo 9.
∆: Representa a leitura do equipamento. Podemos supor que a distribuicao da media das
medicoes (repetitividade) tem distribuicao normal. Logo, podemos estimar sua incerteza
(desvio padrao) como
u(∆) =s√n
,
onde s2
=
1
n−1n
i=1(xi − X )2
e a variancia amostral e X =
1
nn
i=1 xi e a media amostral.
Incerteza Combinada (uc(R))
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10. Calculo de Incerteza no Ensaio de Impedancia 114
A incerteza combinada para a Tensao e dada por:
u2
c
(R) = ∂R
∂V
2
u2(V ) + ∂R
∂I
2
u2(I ) + u2(∆)
=
1
I
2
u2(V ) +
− V
I 2
2
u2(I ) + u2(∆)
A Incerteza combinada relativa e dada por
u2r(R) =
u2c (R)
R2=
1
I 2 u2(V )
R2+ − V
I 22 u2(I )
R2+
u2(∆)
R2
Logo,
ur(R) =
u(V )
V
2
+
u(I )
I
2
+
u(∆)
R
2
=
u2r(V ) + u2
r(I ) + u2r(∆)
Incerteza Expandida (U (R))
Aqui, a expressao 10.1 representa a incerteza expandida para a Impedancia.
U (R) = k × ur(R) (10.1)
onde, k (fator de abrangencia) e o quantil da distribuicao t-Student com ν eff (R) graus
de liberdade e confianca de 95%. Aqui, os graus de liberdade sao dados por:
ν eff (R) =(ur(R))4
u4r(V )∞ + u4
r(I )∞ + u2
r(∆)n−1
= ∞
A tabela 10.3 apresenta o resumo para o calculo da incerteza da Impedancia.
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10. Calculo de Incerteza no Ensaio de Impedancia 115
Calculo de Incerteza - Canal de Impedancia
Sımbolo Fontes de Incerteza Unidade Est. Tipo Distr. Div. Incerteza C.S. Contr. G.L.
∆ Repetitividade % A Normal 1 1 n− 1V Herdada da Tensao % B Normal k 1 ∞I Herdada da Corrente % B Normal k 1 ∞
Incerteza Combinada uc(R)Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) ν eff (R)
Fator de Abrangencia kIncerteza Expandida U (R)
Est. = Estimativa Distr. = Distribuicao Div. = DivisorC.S. = Coeficiente de Sensibilidade Contr. = Contribuicao G.L. = Graus de Liberdade
Tabela 10.1: Resumo do Calculo de Incerteza para a Impedancia
10.2 Aplicacao
Considere um Ensaio de Impedancia, utilizando os dados dos Capıtulos 9 e 8, temos os
valores da Impedancia na Tabela 10.2
Tensao (mV) Corrente (mA) Impedancia97,761 500,41 0,195
102,488 500,32 0,205100,870 501,75 0,20198,941 498,06 0,199
100,510 496,71 0,202Media 100,113856 Media 499,45 Media 0,2004
Repetitividade 0,8148 Repetitividade 0,9058 Repetitividade 0,0017
Tabela 10.2: Tabela de Dados
Os dados necessarios para esta aplicacao sao:
• A incerteza herdada da Tensao U (V ) = 2, 22 % com k = 2, 33;
• A incerteza herdada da Corrente U (I ) = 1, 04 % com k = 1, 96;
• A repetitividade (%) e dada por: u(∆) = 100 s/√
nR
= 100 0,00170,2004
= 0, 829%.
A incerteza combinada para a Impedancia e dada por:
ur(R) =
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10. Calculo de Incerteza no Ensaio de Impedancia 116
Os graus de liberdade sao:
ν ef f (R) =(ur(R))4
u4r(V )∞ + u4
r(I )∞ + u2
r(∆)n−1
=
Considerando os graus de liberdade efetivo e uma confianca de aproximadamente 95%,
temos pela tabela da distribuicao t-student, que o fator de abrangencia e k = . Com isso, a
incerteza expandida para a variavel impedancia:
U (R) = k × ur(R)
=
Calculo de Incerteza - Canal de Impedancia
Sımbolo Fontes de Incerteza Unidade Est. Tipo Distr. Div. Incerteza C.S. Contr. G.L.
∆ Repetitividade % 0,829 A Normal 1 0,829 1 0,829 4I Herdada da Corrente % 1,0442 B Normal 1, 96 0,5328 1 0,5328 ∞V Herdada da Tensao % 2,2238 B Normal 2, 33 0,9557 1 0,9557 ∞
Incerteza Combinada 1,3727Grau de Liberdade Efetivo (G.L.) 30,07
Fator de Abrangencia 2,04Incerteza Expandida 2,8%
Tabela 10.3: Resumo do Calculo de Incerteza para a Impedancia
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117
Apendice A
Parametros Caracterısticos de um
Sistema de Medicao
Para caracterizar o comportamento metrologico de um sistema de medicao, sao empregados
alguns parametros metrologicos. Estes parametros podem ser expressos na forma de um simples
numero, uma faixa de valores ou na forma de um grafico. Aqui, sao descritos os principais
parametros.
Faixa Nominal
A faixa nominal e a faixa de indicacao que se pode obter em uma posicao especıfica dos
controles de um instrumento de medicao. A faixa nominal normalmente e definida em termos
de seus limites inferiores e superiores. Exemplos:
• Termometro: 100o C a 200o C
•Manometro: 0 bar a 20 bar
• Contador: 5 dıgitos ( isto e 99999 pulsos )
Quando o limite inferior e zero, a faixa nominal pode ser definida unicamente em termos do
limite superior, por exemplo: a faixa nominal de 0V a 100V e expressa como ”100 V”.
Amplitude da Faixa Nominal
A amplitude da faixa nominal e a diferenca, em modulo, entre os dois limites de uma faixanominal de -10 V a + 10 V a amplitude da faixa nominal e 20 V. Em algumas areas, a diferenca
entre o maior e o menor valor e denominado faixa.
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A. Parametros Caracterısticos de um Sistema de Medic˜ ao 118
Faixa de Medicao
A faixa de medicao, tambem denominada faixa de trabalho, e o conjunto de valores de um
mesurando para o qual admite-se que o erro de um instrumento de medi cao mantem-se dentro
dos limites especificados. Exemplo: Num relogio Apalpador a faixa de medicao e de ± 50 µm
a + 50 µm ).
A faixa de medicao e menor ou, no maximo, igual a faixa nominal. O valor da faixa de
medicao pode ser obtidas atraves:
• do manual de operacao do SM;
•de sinais gravados sobre a escala;
• das especificacoes de normas tecnicas;
• dos relatorios de calibracao.
Divisao de Escala
E a parte de uma escala compreendida entre duas marcas sucessivas quaisquer.
Comprimento de uma Divisao
E a distancia entre duas marcas sucessivas quaisquer, medidas ao longo da linha do com-
primento de escala. O comprimento de uma divisao e expresso em unidades de comprimento.
Qualquer que seja a unidade mensurado ou a unidade marcada sobre a escala.
Valor de uma Divisao
O valor de uma divisao e a diferenca entre os valores de escala correspondente a duas marcas
sucessivas.
Condicoes de Utilizacao
Sao as condicoes de uso para as quais as caracterısticas metrologicas especificadas de um
instrumento de medicao mantem-se dentro de limites especificados.
Condicoes de Referencia
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A. Parametros Caracterısticos de um Sistema de Medic˜ ao 119
As condicoes de referencia sao as condicoes usuais prescritas para ensaio de desempenho
de um instrumento de medicao ou para intercomparacao de resultados de medicoes. Es-
tas condicoes geralmente incluem os valores de referencia ou as faixas de referencia para as
grandezas de influencia que afetam o instrumento de medicao.
Caracterıstico de Resposta
E a relacao entre um estımulo e a resposta correspondente, sob condicoes definidas. Exem-
plo: a forca elemotriz ( fem) de um termopar como funcao da temperatura. A relacao podera
ser expressa na forma de uma equacao matematica, uma tabela numerica ou um grafico.
Sensibilidade
A sensibilidade e caracterizada pela variacao da resposta de um instrumento de medicao
dividida pela variacao de estimulo. Nos instrumentos com indicador de ponteiro comumente
se estabelece a sensibilidade como sendo a relacao entre o deslocamento da extremidade do
ponteiro em (mm) e o valor unitario da grandeza a medir.
Limiar de Mobilidade
E a maior variacao no estimulo que nao produz variacao detectavel na resposta de um
instrumento de medicao, sendo a variacao no sinal de entrada lenta e uniforme. O limiar de
mobilidade ( tambem chamado threshold ) pode depender, por exemplo de ruıdo ( interno e
externo ) ou atrito. Pode depender tambem, do valor do estımulo.
Resolucao
A resolucao e a menor diferenca entre as indicacoes de um dispositivo mostrador que pode
ser significativamente percebida. A avaliacao da resolucao e executada em funcao do tipo de
instrumento:
a) Para dispositivo mostrador digital, a resolucao e a variacao na indicacao quando o dıgito
menos significativo varia de uma unidade.
b) Nos sistemas de medicao com dispositivo mostrador analogico, a resolucao e funcao das
limitacoes do executor da leitura, da qualidade do indicador e da propia necessidade de
leituras mais ou menos criteriosas.
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A. Parametros Caracterısticos de um Sistema de Medic˜ ao 120
Estabilidade
A estabilidade e a aptidao de um instrumento de medicao em conservar constantes suas
caracterısticas metrologicas ao longo do tempo. A estabilidade pode ser quantificada de varias
maneiras, por exemplo: pelo tempo no qual a caracterıstica metrologica varia de um valor
determinado, ou, em termos de variacao de uma caracterıstica em um determinado perıodo de
tempo.
Discricao
Caracteriza a aptidao de um instrumento de medicao em nao alterar o valor do mensurado.
Por exemplo: Uma balanca e um instrumento discreto para medicao de massas, pois o sistema
de medicao nao altera o valor da massa. Um termometro de resistencia que aquece o meio
ambiente no qual a temperatura esta sob medicao, nao e discreto.
Deriva
A deriva e a variacao lenta de uma caracterıstica metrologica de um instrumento de medicao.
Tempo de Resposta
E o intervalo entre o instante em que o estımulo e submetido a uma variacao brusca e o
instante em que a resposta atinge e permanece dentro de limites especificados em torno do seu
valor final estavel.
Exatidao de Um Instrumento de Medicao
A exatidao e a aptidao de um instrumento de medicao par dar respostas proximas a um
valor verdadeiro ( tambem denominada de acuracia ). A exatidao e um conceito qualitativo,
nao devendo ser confundido com precisao.
Classe de Exatidao
Classe de instrumentos de medicao ou medidas materializadas, que satisfazem a certas
exigencias metrologicas para conservar os erros dentro de certos limites especificados. Uma
classe de exatidao e usualmente indicada por um numero ou sımbolo adotado por convencao e
denominado de ındice de classe, por exemplo: jogo de blocos padrao classe 0.
Erro de Indicacao em um Instrumento de Medicao
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A. Parametros Caracterısticos de um Sistema de Medic˜ ao 121
Este erro e determinado pela diferenca da indicacao de um instrumento de medicao e um
valor verdadeiro da grandeza de entrada correspondente. Uma vez que um valor verdadeiro
nao pode ser determinado, entao na pratica e utilizado um valor verdadeiro convencional. Este
conceito de erro aplica-se principalmente quando o instrumento e comparado a um padrao dereferencia. Para uma medida materializada, o erro e caracterizado entre a indicacao e o valor
atribuıdo a ela.
Erros Maximos Admissıveis
Sao os valores extremos de um erro admissıvel por especificacoes, regulamentos, etc, para
um dado instrumento de medicao. Tambem denominado de Limites de Erros Admissıveis.
Tendencia
A tendencia e o erro sistematico da indicacao de um instrumento de medicao ( tambem
denominado: bias of a measuring instrument, erreur de justesse ). A tendencia de um instru-
mento de medicao e normalmente estimada pela media dos erros de indicacao de um numero
apropriado de medicoes repetidas.
Isencao de Tendencia
Aptidao de um instrumento de medicao em dar indicacoes isentas de erros sistematicos.
Repetitividade
A repetitividade e a aptidao de um instrumento de medicao em fornecer indicacoes muito
proximas, em repetidas aplicacoes do mesmo mensurando, sob as mesmas condicoes de medicao.
Estas condicoes incluem:
• Reducao ao mınimo das variaveis devido ao observador;
• Mesmo procedimento de medicao;
• Mesmo avaliador;
• Mesmo equipamento de medicao, sendo utilizado nas mesmas condicoes;
• Mesmo local;
• Repeticoes em um curto perıodo de tempo.
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A. Parametros Caracterısticos de um Sistema de Medic˜ ao 122
A repetitividade pode ser expressa quantitativamente em termos das caracterısticas de dis-
persao das indicacoes.
Histerese
A histerese de um instrumento de medicao e um erro de medicao, que ocorre quando ha
diferenca entre a medida para um dado valor do mensurado quando esta foi atingida por
valores crescentes e a medida quando atingida por valores decrescentes do mensurado. Este
valor podera ser diferente se o ciclo de carregamento e descarregamento for completo ou parcial.
A histerese e um fenomeno bastante tıpico nos instrumentos mecanicos, tendo como fonte de
erro, principalmente, folgas e deformacoes associadas ao atrito.
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Apendice B
Tabelas Estatısticas
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B. Tabelas Estatısticas 124
• Distribuicao Normal - Tabela 6 Sigma
Z Area Z Area Z Area Z Area0,00 0,500000000 0,50 0,308537539 1,00 0,158655254 1,50 0,0668072010,01 0,496010644 0,51 0,305025731 1,01 0,156247645 1,51 0,0655217120,02 0,492021686 0,52 0,301531788 1,02 0,153864230 1,52 0,0642554880,03 0,488033527 0,53 0,298055965 1,03 0,151505003 1,53 0,0630083640,04 0,484046563 0,54 0,294598516 1,04 0,149169950 1,54 0,0617801770,05 0,480061194 0,55 0,291159687 1,05 0,146859056 1,55 0,0605707580,06 0,476077817 0,56 0,287739719 1,06 0,144572300 1,56 0,0593799410,07 0,472096830 0,57 0,284338849 1,07 0,142309654 1,57 0,0582075560,08 0,468118628 0,58 0,280957309 1,08 0,140071090 1,58 0,0570534330,09 0,464143607 0,59 0,277595325 1,09 0,137856572 1,59 0,0559174030,10 0,460172163 0,60 0,274253118 1,10 0,135666061 1,60 0,0547992920,11 0,456204687 0,61 0,270930904 1,11 0,133499513 1,61 0,0536989280,12 0,452241574 0,62 0,267628893 1,12 0,131356881 1,62 0,0526161380,13 0,448283213 0,63 0,264347292 1,13 0,129238112 1,63 0,0515507480,14 0,444329995 0,64 0,261086300 1,14 0,127143151 1,64 0,0505025830,15 0,440382308 0,65 0,257846111 1,15 0,125071936 1,65 0,0494714680,16 0,436440537 0,66 0,254626915 1,16 0,123024403 1,66 0,0484572260,17 0,432505068 0,67 0,251428895 1,17 0,121000484 1,67 0,0474596820,18 0,428576284 0,68 0,248252230 1,18 0,119000107 1,68 0,0464786580,19 0,424654565 0,69 0,245097094 1,19 0,117023196 1,69 0,0455139770,20 0,420740291 0,70 0,241963652 1,20 0,115069670 1,70 0,0445654630,21 0,416833837 0,71 0,238852068 1,21 0,113139446 1,71 0,0436329370,22 0,412935577 0,72 0,235762498 1,22 0,111232437 1,72 0,0427162210,23 0,409045885 0,73 0,232695092 1,23 0,109348552 1,73 0,0418151380,24 0,405165128 0,74 0,229649997 1,24 0,107487697 1,74 0,0409295090,25 0,401293674 0,75 0,226627352 1,25 0,105649774 1,75 0,0400591570,26 0,397431887 0,76 0,223627292 1,26 0,103834681 1,76 0,0392039030,27 0,393580127 0,77 0,220649946 1,27 0,102042315 1,77 0,0383635700,28 0,389738752 0,78 0,217695438 1,28 0,100272568 1,78 0,0375379800,29 0,385908119 0,79 0,214763884 1,29 0,098525329 1,79 0,0367269560,30 0,382088578 0,80 0,211855399 1,30 0,096800485 1,80 0,0359303190,31 0,378280478 0,81 0,208970088 1,31 0,095097918 1,81 0,0351478940,32 0,374484165 0,82 0,206108054 1,32 0,093417509 1,82 0,0343795020,33 0,370699981 0,83 0,203269392 1,33 0,091759136 1,83 0,0336249690,34 0,366928264 0,84 0,200454193 1,34 0,090122672 1,84 0,0328841190,35 0,363169349 0,85 0,197662543 1,35 0,088507991 1,85 0,0321567750,36 0,359423567 0,86 0,194894521 1,36 0,086914962 1,86 0,0314427630,37 0,355691245 0,87 0,192150202 1,37 0,085343451 1,87 0,0307419090,38 0,351972708 0,88 0,189429655 1,38 0,083793322 1,88 0,0300540390,39 0,348268273 0,89 0,186732943 1,39 0,082264439 1,89 0,0293789800,40 0,344578258 0,90 0,184060125 1,40 0,080756659 1,90 0,0287165600,41 0,340902974 0,91 0,181411255 1,41 0,079269841 1,91 0,0280666070,42 0,337242727 0,92 0,178786380 1,42 0,077803841 1,92 0,0274289500,43 0,333597821 0,93 0,176185542 1,43 0,076358510 1,93 0,0268034190,44 0,329968554 0,94 0,173608780 1,44 0,074933700 1,94 0,0261898450,45 0,326355220 0,95 0,171056126 1,45 0,073529260 1,95 0,0255880600,46 0,322758110 0,96 0,168527607 1,46 0,072145037 1,96 0,0249978950,47 0,319177509 0,97 0,166023246 1,47 0,070780877 1,97 0,0244191850,48 0,315613697 0,98 0,163543059 1,48 0,069436623 1,98 0,0238517640,49 0,312066949 0,99 0,161087060 1,49 0,068112118 1,99 0,023295468
7/3/2019 Incerteza de medição
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B. Tabelas Estatısticas 125
Z Area Z Area Z Area Z Area2,00 0,022750132 2,50 0,006209665 3,00 0,001349898 3,50 0,0002326292,01 0,022215594 2,51 0,006036558 3,01 0,001306238 3,51 0,0002240532,02 0,021691694 2,52 0,005867742 3,02 0,001263873 3,52 0,0002157732,03 0,021178270 2,53 0,005703126 3,03 0,001222769 3,53 0,0002077802,04 0,020675163 2,54 0,005542623 3,04 0,001182891 3,54 0,000200064
2,05 0,020182215 2,55 0,005386146 3,05 0,001144207 3,55 0,0001926162,06 0,019699270 2,56 0,005233608 3,06 0,001106685 3,56 0,0001854272,07 0,019226172 2,57 0,005084926 3,07 0,001070294 3,57 0,0001784912,08 0,018762766 2,58 0,004940016 3,08 0,001035003 3,58 0,0001717972,09 0,018308900 2,59 0,004798797 3,09 0,001000782 3,59 0,0001653392,10 0,017864421 2,60 0,004661188 3,10 0,000967603 3,60 0,0001591092,11 0,017429178 2,61 0,004527111 3,11 0,000935437 3,61 0,0001530992,12 0,017003023 2,62 0,004396488 3,12 0,000904255 3,62 0,0001473022,13 0,016585807 2,63 0,004269243 3,13 0,000874032 3,63 0,0001417112,14 0,016177383 2,64 0,004145301 3,14 0,000844739 3,64 0,0001363192,15 0,015777607 2,65 0,004024589 3,15 0,000816352 3,65 0,0001311202,16 0,015386335 2,66 0,003907033 3,16 0,000788846 3,66 0,000126108
2,17 0,015003423 2,67 0,003792562 3,17 0,000762195 3,67 0,0001212752,18 0,014628731 2,68 0,003681108 3,18 0,000736375 3,68 0,0001166172,19 0,014262118 2,69 0,003572601 3,19 0,000711364 3,69 0,0001121272,20 0,013903448 2,70 0,003466974 3,20 0,000687138 3,70 0,0001078002,21 0,013552581 2,71 0,003364160 3,21 0,000663675 3,71 0,0001036302,22 0,013209384 2,72 0,003264096 3,22 0,000640953 3,72 0,0000996112,23 0,012873721 2,73 0,003166716 3,23 0,000618951 3,73 0,0000957402,24 0,012545461 2,74 0,003071959 3,24 0,000597648 3,74 0,0000920102,25 0,012224473 2,75 0,002979763 3,25 0,000577025 3,75 0,0000884172,26 0,011910625 2,76 0,002890068 3,26 0,000557061 3,76 0,0000849572,27 0,011603792 2,77 0,002802815 3,27 0,000537737 3,77 0,0000816242,28 0,011303844 2,78 0,002717945 3,28 0,000519035 3,78 0,000078414
2,29 0,011010658 2,79 0,002635402 3,29 0,000500937 3,79 0,0000753242,30 0,010724110 2,80 0,002555130 3,30 0,000483424 3,80 0,0000723482,31 0,010444077 2,81 0,002477075 3,31 0,000466480 3,81 0,0000694832,32 0,010170439 2,82 0,002401182 3,32 0,000450087 3,82 0,0000667262,33 0,009903076 2,83 0,002327400 3,33 0,000434230 3,83 0,0000640722,34 0,009641870 2,84 0,002255677 3,34 0,000418892 3,84 0,0000615172,35 0,009386706 2,85 0,002185961 3,35 0,000404058 3,85 0,0000590592,36 0,009137468 2,86 0,002118205 3,36 0,000389712 3,86 0,0000566942,37 0,008894043 2,87 0,002052359 3,37 0,000375841 3,87 0,0000544182,38 0,008656319 2,88 0,001988376 3,38 0,000362429 3,88 0,0000522282,39 0,008424186 2,89 0,001926209 3,39 0,000349463 3,89 0,0000501222,40 0,008197536 2,90 0,001865813 3,40 0,000336929 3,90 0,000048096
2,41 0,007976260 2,91 0,001807144 3,41 0,000324814 3,91 0,0000461482,42 0,007760254 2,92 0,001750157 3,42 0,000313106 3,92 0,0000442742,43 0,007549411 2,93 0,001694810 3,43 0,000301791 3,93 0,0000424732,44 0,007343631 2,94 0,001641061 3,44 0,000290857 3,94 0,0000407412,45 0,007142811 2,95 0,001588870 3,45 0,000280293 3,95 0,0000390762,46 0,006946851 2,96 0,001538195 3,46 0,000270088 3,96 0,0000374752,47 0,006755653 2,97 0,001488999 3,47 0,000260229 3,97 0,0000359362,48 0,006569119 2,98 0,001441242 3,48 0,000250707 3,98 0,0000344582,49 0,006387155 2,99 0,001394887 3,49 0,000241510 3,99 0,000033037
7/3/2019 Incerteza de medição
http://slidepdf.com/reader/full/incerteza-de-medicao-559ab984c8b68 130/137
B. Tabelas Estatısticas 126
Z Area Z Area Z Area Z Area4,00 0,000031671 4,50 0,000003398 5,00 0,000000287 5,50 0,0000000194,01 0,000030359 4,51 0,000003241 5,01 0,000000272 5,51 0,0000000184,02 0,000029099 4,52 0,000003092 5,02 0,000000258 5,52 0,0000000174,03 0,000027888 4,53 0,000002949 5,03 0,000000245 5,53 0,0000000164,04 0,000026726 4,54 0,000002813 5,04 0,000000233 5,54 0,000000015
4,05 0,000025609 4,55 0,000002682 5,05 0,000000221 5,55 0,0000000144,06 0,000024536 4,56 0,000002558 5,06 0,000000210 5,56 0,0000000134,07 0,000023507 4,57 0,000002439 5,07 0,000000199 5,57 0,0000000134,08 0,000022518 4,58 0,000002325 5,08 0,000000189 5,58 0,0000000124,09 0,000021569 4,59 0,000002216 5,09 0,000000179 5,59 0,0000000114,10 0,000020658 4,60 0,000002112 5,10 0,000000170 5,60 0,0000000114,11 0,000019783 4,61 0,000002013 5,11 0,000000161 5,61 0,0000000104,12 0,000018944 4,62 0,000001919 5,12 0,000000153 5,62 0,0000000104,13 0,000018138 4,63 0,000001828 5,13 0,000000145 5,63 0,0000000094,14 0,000017365 4,64 0,000001742 5,14 0,000000137 5,64 0,00000000854,15 0,000016624 4,65 0,000001660 5,15 0,000000130 5,65 0,00000000804,16 0,000015912 4,66 0,000001581 5,16 0,000000123 5,66 0,0000000076
4,17 0,000015230 4,67 0,000001506 5,17 0,000000117 5,67 0,00000000714,18 0,000014575 4,68 0,000001434 5,18 0,000000111 5,68 0,00000000674,19 0,000013948 4,69 0,000001366 5,19 0,000000105 5,69 0,00000000644,20 0,000013346 4,70 0,000001301 5,20 0,000000100 5,70 0,00000000604,21 0,000012769 4,71 0,000001239 5,21 0,000000094 5,71 0,00000000564,22 0,000012215 4,72 0,000001179 5,22 0,000000089 5,72 0,00000000534,23 0,000011685 4,73 0,000001123 5,23 0,000000085 5,73 0,00000000504,24 0,000011176 4,74 0,000001069 5,24 0,000000080 5,74 0,00000000474,25 0,000010689 4,75 0,000001017 5,25 0,000000076 5,75 0,00000000454,26 0,000010221 4,76 0,000000968 5,26 0,000000072 5,76 0,00000000424,27 0,000009774 4,77 0,000000921 5,27 0,000000068 5,77 0,00000000404,28 0,000009345 4,78 0,000000876 5,28 0,000000065 5,78 0,0000000037
4,29 0,000008934 4,79 0,000000834 5,29 0,000000061 5,79 0,00000000354,30 0,000008540 4,80 0,000000793 5,30 0,000000058 5,80 0,00000000334,31 0,000008163 4,81 0,000000755 5,31 0,000000055 5,81 0,00000000314,32 0,000007801 4,82 0,000000718 5,32 0,000000052 5,82 0,00000000294,33 0,000007455 4,83 0,000000683 5,33 0,000000049 5,83 0,00000000284,34 0,000007124 4,84 0,000000649 5,34 0,000000046 5,84 0,00000000264,35 0,000006807 4,85 0,000000617 5,35 0,000000044 5,85 0,00000000254,36 0,000006503 4,86 0,000000587 5,36 0,000000042 5,86 0,00000000234,37 0,000006212 4,87 0,000000558 5,37 0,000000039 5,87 0,00000000224,38 0,000005934 4,88 0,000000530 5,38 0,000000037 5,88 0,00000000214,39 0,000005668 4,89 0,000000504 5,39 0,000000035 5,89 0,00000000194,40 0,000005413 4,90 0,000000479 5,40 0,000000033 5,90 0,0000000018
4,41 0,000005169 4,91 0,000000455 5,41 0,000000032 5,91 0,00000000174,42 0,000004935 4,92 0,000000433 5,42 0,000000030 5,92 0,00000000164,43 0,000004712 4,93 0,000000411 5,43 0,000000028 5,93 0,00000000154,44 0,000004498 4,94 0,000000391 5,44 0,000000027 5,94 0,00000000144,45 0,000004294 4,95 0,000000371 5,45 0,000000025 5,95 0,00000000134,46 0,000004098 4,96 0,000000352 5,46 0,000000024 5,96 0,00000000134,47 0,000003911 4,97 0,000000335 5,47 0,000000023 5,97 0,00000000124,48 0,000003732 4,98 0,000000318 5,48 0,000000021 5,98 0,00000000114,49 0,000003561 4,99 0,000000302 5,49 0,000000020 5,99 0,0000000010
6,00 0,0000000010
Tabela B.1: Tabela Normal 6σ
7/3/2019 Incerteza de medição
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B. Tabelas Estatısticas 127
• Distribuicao T-Student
GLα/2 0,10 0,05 0,025 0,011 3,078 6,314 12,706 31,8212 1,886 2,920 4,303 6,9653 1,638 2,353 3,182 4,5414 1,533 2,132 2,776 3,7475 1,576 2,015 2,571 3,3656 1,440 1,943 2,447 3,1437 1,415 1,895 2,365 2,9988 1,397 1,860 2,306 2,8969 1,383 1,833 2,262 2,821
10 1,372 1,812 2,228 2,76411 1,363 1,796 2,201 2,71812 1,356 1,782 2,179 2,68113 1,350 1,771 2,160 2,65014 1,345 1,761 2,145 2,62415 1,341 1,753 2,131 2,60216 1,337 1,745 2,120 2,58317 1,333 1,740 2,110 2,56718 1,330 1,734 2,101 2,55219 1,328 1,729 2,093 2,53920 1,325 1,725 2,086 2,52821 1,323 1,721 2,080 2,51822 1,321 1,717 2,074 2,50823 1,319 1,714 2,069 2,50024 1,318 1,711 2,064 2,49225 1,316 1,708 2,060 2,48526 1,315 1,706 2,056 2,47927 1,314 1,703 2,052 2,47328 1,313 1,701 2,048 2,46729 1,311 1,699 2,045 2,46230 1,310 1,697 2,042 2,45740 1,303 1,684 2,021 2,42360 1,296 1,671 2,000 2,390
120 1,289 1,658 1,980 2,358maior 1,282 1,645 1,960 2,326
Tabela B.2: Distribuicao T-Student
7/3/2019 Incerteza de medição
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B. Tabelas Estatısticas 128
• Tabela do Teste de Grubbs
Numero de 5% deLaboratorios Significancia
3 1,154 1,48
5 1,716 1,897 2,028 2,139 2,21
10 2,2911 2,3612 2,4113 2,4614 2,5115 2,5516 2,59
17 2,6218 2,6519 2,6820 2,71
Tabela B.3: Tabela de Grubbs
7/3/2019 Incerteza de medição
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B. Tabelas Estatısticas 129
• Distribuicao de Fisher-Snedecor
7/3/2019 Incerteza de medição
http://slidepdf.com/reader/full/incerteza-de-medicao-559ab984c8b68 134/137
B. Tabelas Estatısticas 130
G . L .
G r a u s d e l i b e r d a d e d o n u m e r a d o r
D e n o m .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
6 0
1 2 0
∞
1
6 4 7 , 8
7 9 9 , 5
8 6 4 , 2
8 9 9 , 5 8
9 2 1 , 8 4
9 3 7 , 1 1
9 4 8 , 2 1
9 5 6 , 6 5
9 6 3 , 2 9
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2 , 1
3
2 0
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2 1
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4
2 2
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2
2 3
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7
2 4
5 , 7 1 7
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2 , 0 1
1 , 9
4
2 5
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1
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1 , 9 5
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8
2 7
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2
1 , 9 3
1 , 8
5
2 8
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4 , 2 2 1
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1 , 9 8
1 , 9 1
1 , 8
3
2 9
5 , 5 8 8
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2 , 0 6 1
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1 , 4 3 3
1 , 3
1
∞
5 , 0 2 4
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1 , 7 0 8
1 , 6 2 6
1 , 5 7
1 , 3 8 8
1 , 2 6 8
1 , 0 0 4
T a b e l a B . 4
: D i s t r i b u i c ˜ a o d e F i s h e r - S n e d
e c o r -
V a l o r e s f C
t a i s q u e P (
F
≥
f C
) =
0 , 0
2 5
7/3/2019 Incerteza de medição
http://slidepdf.com/reader/full/incerteza-de-medicao-559ab984c8b68 135/137
B. Tabelas Estatısticas 131
G . L .
G r a u s d e l i b e r d a d e d o N u m e r a d o r
D e n o m .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
6 0
1 2 0
∞
1
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0 , 4 5
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9
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∞
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0 , 5 5 9 7
0 , 6 7 5 0
0 , 7 6 3
0 , 9 9 6
T a b e l a B . 5
: D i s t r i b u i c ˜ a o d e F i s h e r - S n e d
e c o r .
V a l o r e s f C
t a i s q u e P ( F
≥
f C
) =
0 , 9
7 5
7/3/2019 Incerteza de medição
http://slidepdf.com/reader/full/incerteza-de-medicao-559ab984c8b68 136/137
B. Tabelas Estatısticas 132
• Distribuicao Qui-quadrado
Graus de liberdade 97, 50% 95% 5% 2, 50%1 0,001 0,004 3,841 5,0242 0,051 0,103 5,991 7,3783 0,216 0,352 7,815 9,3484 0,48 0,71 9,49 11,145 0,83 1,15 11,07 12,836 1,24 1,64 12,59 14,457 1,69 2,17 14,07 16,018 2,18 2,73 15,51 17,539 2,7 3,33 16,92 19,02
10 3,25 3,94 18,31 20,4811 3,82 4,57 19,68 21,9212 4,4 5,23 21,03 23,3413 5,01 5,89 22,36 24,7414 5,63 6,57 22,68 26,1215 6,26 7,26 25 27,49
16 6,91 7,96 26,3 28,8517 7,56 8,67 27,59 30,1918 8,23 9,39 28,87 31,5319 8,91 10,12 30,14 32,8520 9,59 10,85 31,41 34,1721 10,28 11,59 32,67 35,4822 10,98 12,34 33,92 36,7823 11,69 13,09 35,17 38,0824 12,4 13,85 36,42 39,3625 13,12 14,61 37,65 40,6526 13,84 15,38 38,89 41,9227 14,57 16,15 40,11 43,1928 15,31 16,93 41,34 44,4629 16,05 17,71 42,56 45,7230 16,79 18,49 43,77 46,98
Tabela B.6: Distribuicao Qui-quadrado. Valores vC tais que P (χ2 ≥ vC ) = p
7/3/2019 Incerteza de medição
http://slidepdf.com/reader/full/incerteza-de-medicao-559ab984c8b68 137/137
133
Referencias Bibliograficas
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