8/20/2019 Fiel Agebra Numeros Inteiros
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NÚMEROS INTEIROSNÚMEROS INTEIROSMATEMÁTICAMATEMÁTICA
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- Conjunto dos números Inteiros;- Propriedades;- Operações om Números Inteiros;
O !ue estudaremos na au"a de #oje$O !ue estudaremos na au"a de #oje$
3
NÚMEROS INTEIROSNÚMEROS INTEIROS
4
CON%&NTO 'OS NÚMEROS INTEIROSCON%&NTO 'OS NÚMEROS INTEIROS
Os números inteiros positivos foram os primeirostrabalhados pela humanidade e tinham comofinalidade contar objetos, animais, enfim, elementosdo contexto histórico no qual se encontravam.
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CON%&NTO 'OS NÚMEROS INTEIROSCON%&NTO 'OS NÚMEROS INTEIROS
O conjunto dos números inteiros envolve todosos números positivos e negativos, sendo
representado pela letra (.
()*+,-.,-/,-0,-1,-2,-3,-4,-5,6,5,4,3,2,1,0,/,.+7
6
Su8onjuntos do onjunto (
I - Conjunto dos números inteiros e9"u:do o número ero<
(= ) *>>>, -2, -3, -4, -5, 5, 4, 3, 2,>>>7
II - Conjunto dos números inteiros n?o ne@atios<
(B ) *6, 5, 4, 3, 2,>>>7
III - Conjunto dos números inteiros n?o positios<
(- ) *>>>, -2, -3, -4, -5, 67
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Reta NumeradaUma forma de representar geometricamente o conjunto Z
construir uma reta numerada, considerar o número ! como aorigem e o número " em algum lugar, tomar a unidade demedida como a dist#ncia entre ! e " e por os númerosinteiros da seguinte maneira$
aseando-se ainda na reta numerada podemos aDirmar !uetodos os números inteiros possuem um e somente umanteessor e tam8m um e somente um suessor
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Ordem e simetria no conjunto ZO sucessor de um número inteiro o número que est%imediatamente & sua direita na reta 'em Z( e o antecessor onúmero que est% imediatamente & sua esquerda na reta 'em Z(.
► 4 anteessor de 3► -1 anteessor de -2► 6 anteessor de 5
EFEMPGO
► 3 suessor de 4► -2 suessor de -1► 5 suessor de 6
)odo número inteiro exceto o *ero, possui um elementodenominado simtrio ou oposto -* e ele caracteri*ado pelo fatogeomtrico que tanto omo - est+o & mesma dist#ncia daorigem do conjunto Z que !.
► B4 oposto de -4 ► -/ oposto de B/
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MHdu"o de um número Inteiro
O módulo ou valor absoluto de um número nteiro definidocomo sendo o maior valor 'm%ximo( entre um número e seuelemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duasbarras verticais . ssim$
aJ K6K ) 68J K.K ) .
J K-0K ) 0O8seraç?o< 'o ponto de ista @eomtrio, o mHdu"o de umnúmero inteiro orresponde L distnia deste número at aori@em eroJ na reta numria inteira>
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OPERAES COMNÚMEROS INTEIROS
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ADIÇÃO ( + )
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A'IO 'E NÚMEROS INTEIROS
A adiç?o a operaç?o !ue permite, a partir de um par denúmeros, determinar um outro número !ue a soma>
54; / J Q 54 B / ) 5
►54 e / #amam-se pare"as>
► 5 #ama-se soma>
pare"as
soma
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/0O/012213 2 245O
Na operaç?o adiç?o pode troar-se a ordem das pare"as!ue a soma n?o sea"tera>
E9emp"o<
55B54 ) 43
54 B55 ) 43
Propriedade Comutatia
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/0O/012213 2 245O
Propriedade Assoiatia
6a opera7+o adi7+o podemos agrupar as parcelas de maneiradiferente que a soma n+o se altera.
B 54J B / ) 45 B / ) 4.
B 54 B / J ) B 5 ) 4.
Usamos par8ntesis para indicar a opera7+o que se reali*aem primeiro lugar.
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/0O/012213 2 245O
Propriedade do E"emento Neutro
O Zero ' ! ( o elemento neutro da opera7+o adi7+o.
Ou seja, a soma de duas parcelas igual a uma delas se aoutra *ero.
6 B 56 ) 5654 B 6 ) 54
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/0O/012213 2 245O
Propriedade do E"emento Oposto
O elemento oposto de um número o número de mesmovalor absoluto, mas com sinal contr%rio.
Ou seja, a soma de dois números opostos, sempre ter% comoresultado *ero.
B / B -/J ) 6B 54 B -54J ) 6
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/0O/012213 2 245O
Propriedade de e#amento
a adi7+o de dois números inteiros d% como resultado umoutro número inteiro.
Observe, as parcelas s+o números inteiros e a soma tambm um número inteiro.
B B / ) B 50- B / ) - 4B / ) B 4- / ) - 50
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EFEMPGO 65
6uma adi7+o com duas parcelas, se somarmos 9 & primeiraparcela, e subtrairmos : da segunda parcela, o que ocorrer%com o total;
a( O total ser% igual a ":b( O total fica redu*ido de :c( O total fica acrescido de 9d( O total ser% de "<e( O total fica acrescido de
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SUBTRAÇÃO ( - )
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S&TRAO 'E NÚMEROS INTEIROS
56; 0 J Q 56 - 0 ) 2
►56 #ama-se minuendo>
►0 #ama-se su8traendo>
►2 #ama-se diDerença ou resto>
Minuendo
'iDerença
opera7+o subtra7+o a opera7+o inversa da opera7+o
adi7+oSu8traendo
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Identidade undamenta" da Su8traç?o
6uma subtra7+o, a soma do minuendo com o resto sempreigual ao subtraendo.
54 - 2 ) .
Temos que: Subtraendo + Resto = Minuendo
. B 2 ) 54
Minuendo
Resto
Su8traendo
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/0O/012213 2 3U=)045O
única propriedade presente na subtra7+o a defechamento, ou seja, a diferen7a entre dois números inteiros um número inteiro.
E9emp"o<
/ 3 ) 2-53 0 ) - 5
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Adições e su8trações om números inteiros
s adi7>es e subtra7>es envolvendo estes números, requerem autili*a7+o de regras matem%ticas envolvendo os sinais positivos '?(e negativos '@(.
Adiç?o e su8traç?o de números inteiros sem a presença deparUnteses>
5V propriedade
B 1 B 0 ) B55
- - 56 ) -5
sinais i@uais< soma e onsera o sina">
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Adições e su8trações om números inteiros
4V propriedade
Adiç?o e su8traç?o de números inteiros sem a presença deparUnteses>
0 B 4 ) 2
B / ) B4
sinais diDerentes< su8trai e onsera o sina" do número demaior mHdu"o>
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Adições e su8trações om números inteiros
Para e"iminarmos os parUnteses deemos rea"iar um jo@o desina", o8sere<B B J ) BB J ) B J ) J ) Bpós a elimina7+o dos par8nteses, basta aplicarmos a "A ou a BApropriedade.
B BJB 0JB 0
B 3
Adiç?o e su8traç?o de números inteiros om a presença de
parUnteses>
.J B0JB. 0
B4
26
EFEMPGO 64
6uma subtra7+o, a soma do minuendo com o subtraendo e o
resto igual a BCD. Eual o valor do minuendo;
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MULTIPLICAÇÃO ( . )
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M>IPGICAO 'E NÚMEROS INTEIROS
A mu"tip"iaç?o funciona como uma Dorma simp"iDiada de umaadiç?o quando os números s+o repetidos, como por exemplo,ganhar " objeto por
►5 B 5 B 5 B >>> B 5 ) 5 9 36 ) 36
Aaso Dossem 4 o8jetos ter:amos<
► 4 B 4 B 4 B >>> B 4 ) 4 9 36 ) 06
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/ara multiplicar dois números nteiros temos de multiplicarseus valores absolutos atribuindo ao resultado o sinal dadopela regra do produto de números nteiros
.; / J Q . 9 / ) 10
► . e / #amam-se Datores>
► 10 #ama-se produto>
Datores
produto
M>IPGICAO 'E NÚMEROS INTEIROS
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M>IPGICAO 'E NÚMEROS INTEIROS
►Observamos que a multiplica7+o um caso particular da adi7+oonde os valores s+o repetidos.► 6a multiplica7+o o produto dos números a e b, pode serindicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre asletras.► /ara reali*ar a multiplica7+o de números inteiros, devemosobedecer & seguinte regra de sinais$
B5J × B5J ) B5JB5J × -5J) -5J-5J × B5J) -5J-5J × -5J ) B5J
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M>IPGICAO 'E NÚMEROS INTEIROS
Com o uso das re@ras aima, podemos on"uir !ue<
SINAIS'OS NÚMEROS RES>A'O 'O PRO'&TO
IW&AIS B e B J ou - e - J POSITIXO
'IERENTES - e B J NEWATIXO
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PROPRIE'A'ES 'A M>IPGICAO
Na operaç?o mu"tip"iaç?o pode troar-se a ordem dosDatores !ue o resu"tado n?o se a"tera>
E9emp"o<
/ > . ) 10
. > / ) 10
Propriedade Comutatia
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Propriedade Assoiatia
Para todos a,8, em (<
a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7
PROPRIE'A'ES 'A M>IPGICAO
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Propriedade do E"emento Neutro
1xiste " em Z, que multiplicado por todo * em Z, proporcionao próprio *, isto $
Ou seja, o produto de !ua"!uer a"or por 5, sempre terYomo resu"tado o prHprio a"or>
z x 1 = z
7 x 1 = 7
-2 F 5 ) -2
PROPRIE'A'ES 'A M>IPGICAO
35
Propriedade do 'istri8utia
Para todos a,b,c em Z:
Ou seja, a soma de dois números opostos, sempre ter% comoresultado *ero.
a 9 8 B J ) a 9 8 J B a 9 J
3 9 2 B 1 J ) 3 9 2 J B 3 9 1 J
PROPRIE'A'ES 'A M>IPGICAO
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Propriedade de e#amento
O conjunto Z fechado para a multiplica7+o, isto , amultiplica7+o de dois números inteiros ainda um número inteiro.
B J 9 B /J ) B 03- 2J 9 - 1J ) B 46B 3J 9 0J ) - 5.
PROPRIE'A'ES 'A M>IPGICAO
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EFEMPGO 63
Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por mês.
Quanto ela economizará em uma ano se ela trabalhar, em média, 23 dias pormês?
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DIVISÃO ( : )
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Para rea"iar a diis?o de números Inteiros, diidimos osa"ores a8so"utos e o"oamos o sina" positio ou ne@atioJse@uindo as mesmas re@ras usadas na mu"tip"iaç?o denúmeros Inteiros
.; 4 J Q . < 4 ) 2
► . #ama-se diidendo>
► 4 #ama-se diisor>
► 2 #ama-se !uoiente>
'IXI'EN'O
Z&OCIENTE
'IXISO 'E NÚMEROS INTEIROS
'IXISOR
40
.J < 2J ) B 4 .J < B 2J ) 4B .J < 2J ) 4B .J < B 2J ) B 4
E9emp"o<
No aso da diis?o n?o ser e9ata, o !uoiente dei9a de serum número Inteiro>
'IXISO 'E NÚMEROS INTEIROS
41
/ B 1 F 3 2 < -. B 0J )
Euando reali*amos opera7>es combinadas, devemos respeitar aprioridade de opera7>es em fun7+o das seguintes considera7>es$
[ Rea"iamos as operações indiadas entre parUnteses>[ Em se@uida, eDetuamos as mu"tip"iações e as diisões>[ Por ú"timo, rea"iamos as operações de adiç?o e su8traç?o>
E9emp"o$
Prioridade de Operações
/ B 1 F 3 2 < 4J )/ B 51 B 4 )
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42
6uma divis+o inteira, o divisor "B, o quociente : e o resto o maior possFvel. Eual o dividendo;
EFEMPGO 62
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