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File grad/analise/2007/teor.tex on October 3, 2007 on [74] pages [1]
Andre Toom.Resumo teorico de disciplina MA-521,
“Analise 1A”
CONTEUDO
1. Afirmacoes e quantores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [2]
2. Conjuntos basicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[5]
3. 1-1 relacao. Conjuntos contaveis e nao contaveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [15]
4. Continuidade do conjunto de numeros reais. max, min, sup, inf. . . . . . . . [19]
5. Sistema decimal e outros sistemas numericos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [24]
6. Sequencias em IR . Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [27]
7. Pontos de aderencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [31]
8. O criterio de Cauchy para sequencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [34]
9. Conjuntos abertos e fechados em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [36]
10. Limsup, liminf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [40]
11. Sequencias em IR2 . Limites e pontos de aderencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [41]
12. Conjuntos abertos e fechados em IR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [43]
13. Funcoes IR → IR . Limite e continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [46]
14. Continuidade uniforme e condicao de Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [52]
15. Convergencia de funcoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[54]
16. Funcoes IR2 → IR . Limites e continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [56]
17. Funcoes IR → IR . Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [57]
18. Integral de Riemann de funcoes IR → IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [61]
19. Series em IR e convergencia deles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [68]
20. Series de funcoes e convergencia deles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [72]
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [74]
Aviso. Matematica e uma ciencia rigorosa, cujo maior conteudo e argumentos quais provamafirmacoes, tipicalemente gerais. Este arquivo contem o material teorico do curso. Para estudar-lo, atividade mental e necessaria. Encontrando uma definicao ou um teorema, pensa de exemp-los. Tenta refutar cada teorema. Basicamente um argumento matematico e uma sequencia deafirmacoes, daquelas cada e ou geralmente conhecida, ou e uma consequencia de afirmacoes an-teriores. Quando usamos o metodo de “contradicao”, supomos que a afirmacao, qual queremosprovar, e falso e obtemos uma contradicao.
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1. Afirmacoes e quantores.
Na vida cotidiana encontramos muitas afirmacoes vagas ou pessoais, daqueles e
possivel ter opinioes diferentes, por exemplo: Esta roupa e horrivel. Claudio e um
gatao. Pera e mais gostosa que maca. Na matematica lidamos com afirmacoes,
quais sao ou verdadeiras ou falsas. Dado duas afirmacoes A e B , podemos formar
outras: A∧B , o que significa A e B , i.e. ambos sao verdadeiras, A∨B , o que
significa A ou B , i.e. pelo menos um deles e verdadeiro, negacao A = A =
nao A e varias combinacoes delas.
Existe analogia entre formulas algebricas e formulas logicas. Cada formula
algebrica toma valores numericos quais dependem de valores de variaveis incluidas
nela. Analogamente, cada formula logica toma valor “verdadeira” ou “falsa” de-
pendente de veracidade de afirmacoes incluidas nela. Como na aritmetica usamos
tabua de multiplicacao, a seguinte tabua ajuda obter a veracidade da formula se
sabemos veracidades de variaveis logicas incluidas nela. Aqui V e F significam
“verdadeira” e “falsa”:
V = F, F = V,
V ∨ V = V, V ∧ V = V
V ∨ F = V, V ∧ F = F
F ∨ V = V, F ∧ V = F
F ∨ F = F, F ∧ F = F.
O sinal ⇒ significa implicacao logica. Na matematica A ⇒ B significa o mesmo
que A∨ B . Logo A ⇒ B significa o mesmo que B ⇒ A , o que sempre
usamos nas provas pela contradicao.
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(Isto e diferente da vida cotidiana. No uso cotidiano a frase “se 2 × 2 = 5 , eu
sou imperador do Brasil” e um absurdo. Na matematica esta afirmacao e sempre
correta, independentemente de por quem dita: imperador do Brasil ou nao.)
O sinal ⇐⇒ significa equivalencia de afirmacoes. Ela acontece se ambos A ⇒ B
e B ⇒ A sao verdadeiros.
Exercıcio. E verdade que (A ∧B) e equivalente a ( A) ∨ ( B) ?
Exercıcio. E verdade que (A ∨B) e equivalente a ( A) ∧ ( B) ?
Aviso: e possivel provar as duas equivalencias anteriores considerando quatro casos
e enchendo as vazias colunas nesta tabela:
A B (A ∧B) ( A) ∨ ( B)
V V
V F
F V
F F
onde V significa “verdadeiero” e F significa “falso”.
Depois disto, e possivel provar as duas equivalencias embaixo pela inducao.
Exercıcio. Provar que((A1 ∧ A2 ∧ · · · ∧ An)
)⇐⇒
(( A1) ∨ ( A2) ∨ · · · ∨ ( An)
).
Exercıcio. Provar que((A1 ∨ A2 ∨ · · · ∨ An)
)⇐⇒
(( A1) ∧ ( A2) ∧ · · · ∧ ( An)
).
Quantores.
O quantor de universalidade ∀ significa “para todos”.
O quantor de existencia ∃ significa “existe”.
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Negacoes de quantores.
Seja S um conjunto e P (x) e uma afirmacao feita para elementos deste conjunto.
Logo a formula ∀ x ∈ S : P (x) significa que todos elementos de S tem a
propriedade P . Logo a formula ∀ x ∈ S : P (x) significa negacao da formula
anterior, i.e. nao todos elementos de S tem a propriedade P . Isto e mesmo
que existe pelo menos um elemento de S qual nao tem a propriedade P . Entao
temos a equivalencia de afirmacoes:(∀ x ∈ S : P (x)
)⇐⇒
(∃ x ∈ S : P (x)
). (1)
Analogamente obtemos a equivalencia parecida:(∃ x ∈ S : P (x)
)⇐⇒
(∀ x ∈ S : P (x)
). (2)
Exemplo.
x ∈⋃
C∈F
C ⇐⇒ ∃ C ∈ F : x ∈ C
e
x ∈⋂
C∈F
C ⇐⇒ ∃ C ∈ F : x ∈ C.
Observacao. As vezes espressoes algebricas dependem de variaveis, as vezes nao
dependem. Apresentamos varios exemplos.
O valor de somatorio∑10
k=1 k2 nao depende de k .
A afirmacao x2 − 1 = 0 e verdadeira para x = 1 e x = −1 e falsa para todos
outros valores de x . Diferente disto, a veracidade das afirmacoes
∀ x ∈ IR : x2 − 1 = 0 e ∃ x ∈ IR : x2 − 1 = 0
nao depende de x . De fato, a primeira afirmacao e falsa e a segunda afirmacao e
correta. Geralmente, veracidade duma afirmacao nao depende de variavel prece-
dida por quantor.
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2. Conjuntos basicos.
Na vida cotidiana e frequentemente dificil dizer se um objeto pertence a um con-
junto ou nao. Por exemplo, se queremos falar de uma turma de alunos, um aluno
pode ser incluido na lista, mas ausente nas todas aulas.
Na matematica temos um conjunto A se cada objeto x ou pertence ou nao
pertence a A .
Um conjunto e chamado de finito se ele tem um numero finito de elementos. Se
este numero e pequeno, podemos denotar o conjunto simplesamente enumerando-
los em chaves, separando-los com virgulas. Por exemplo, o conjuntoa
tem so
um elemento a , o conjuntoa, b
(onde a 6= b ) tem dois elementos a e b etc.
O sinal # significa cardinalidade, qual e uma medida de grandeza de conjuntos.
Para conjuntos finitos a cardinalidade e simplesamente o numero de elementos.
Por exemplo, #a
= 1 , #a, b
= 2 etc. Existe o conjunto vazio denotado
g , qual nao tem elementos. Sua cardinalidade e zero.
Observacao. Lima [Lima, vol. 1] use notacao card (S) no lugar de #S .
Alguns conjuntos infinitos tem notacoes especiais:
INI =1, 2, 3, . . .
o conjunto dos numeros naturais.
ZZ =. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .
o conjunto dos numeros inteiros,
QO =m/n : m, n ∈ ZZ , n 6= 0
o conjunto dos numeros racionais.
Para todo numero racional q definimos seu modulo ou valor absoluto denotado
|q| assim:
|q| = q se q ≥ 0,
−q se q < 0.
Usando estas notacoes, podemos definir outros conjuntos de forma:
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x ∈ INI : x < 100
o conjunto de numeros naturais, quais sao menor que 100 .
x ∈ ZZ : |x| > 7
o conjunto de numeros inteiros, cujo modulo e maior que 7 .x ∈ QO : x < 0
o conjunto de numeros racionais, quais sao menor que zero.
Para cada numero racional o seu modulo e igual a distancia entre o ponto qual
representa-lo na reta e o ponto O qual representa zero. O modulo de diferenca
entre dois numeros e a distancia entre os pontos quais representam estes numeros
na reta. Veja pontos X e Y na reta e a distancia |X − Y | entre eles:
|X − Y |︷ ︸︸ ︷X Yw w -
-1 -1/2 0 1/2 1
Para todos conjuntos A e B :
A e subconjunto de B se cada elemento de A pertence a B .
Notacoes para qualquer objeto x e conjuntos A e B :
x ∈ A ou A 3 x : objeto x pertence ao conjunto A ou conjunto A contem ou
inclue objeto x . Neste caso x e chamado de elemento de A .
A ⊂ B ou B ⊃ A : A e um subconjunto de B , i.e. cada elemento de A
pertence a B . O conjunto vazio e subconjunto de todos conjuntos.
A = B : os conjuntos A e B coincidem, i.e. cada elemento de A pertence a B
e cada elemento de B pertence a A . Logo
(A = B) ⇐⇒ ((x ∈ A) ⇐⇒ (x ∈ B)) ⇐⇒((A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)
).
Se temos dois conjuntos A e B , podemos formar outros conjuntos:
A ∩ B : intersecao de A e B . Qualquer objeto x pertence a A ∩ B se ele
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pertence a A e pertence a B .
A ∪ B uniao de A e B . Qualquer objeto x pertence a A ∪ B se ele pertence
a A ou pertence a B . (Pode pertencer a ambos.)
A \ B : a diferenca entre A e B . Qualquer objeto x pertence a A \ B se ele
pertence a A e nao pertence a B .
A ∆ B : a diferenca simetrica definida assim:
A ∆ B = (A \B) ∪ (B \ A).
Ω \ (A ∪B)
A B
A ∩BA \B B \ A
Este desenho e chamado de diagrama de Venn. Ele ajuda visualizar relacoes entre
dois conjuntos arbitrarios e resolver problemas com eles. Consideremos so subcon-
juntios de Ω apresentado com o retangulo. Os dois cırculos apresentam conjuntos
A e B . Eles cortam Ω em quatro partes, quais apresentam os conjuntos
A ∩B, A \B, B \ A, Ω \ (A ∪B).
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A tabela no lado pode ajudar resolver
problemas com tres conjuntos. Aqui o
sinal + significa “pertence” e o sinal −
significa “nao pertence”. As oito linhas
apresentam os oito casos quais podem
acontecer com qualquer elemento de Ω
e correspondem as oito partes, naquelas
os tres cırculos cortam o retangulo no de-
senho.
A B C o conjunto
+ + + A ∩B ∩ C
+ + − A ∩B ∩ Cc
+ − + A ∩Bc ∩ C
+ − − A ∩Bc ∩ Cc
− + + Ac ∩B ∩ C
− + − Ac ∩B ∩ Cc
− − + Ac ∩Bc ∩ C
− − − Ac ∩Bc ∩ Cc
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A B
C
A ∩Bc ∩ Cc Ac ∩B ∩ Cc
Ac ∩Bc ∩ C
A ∩B ∩ Cc
A ∩Bc ∩ C Ac ∩B ∩ C
A ∩B ∩ C
O desenho acima e diagrama de Venn para tres conjuntos. O retangulo apresenta
o conjunto Ω . Os tres cırculos apresentam conjuntos A, B, C quais pertencem a
Ω . Eles cortam Ω em oito partes quais correspondem nas oito linhas da tabela.
Classes de conjuntos.
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Se temos um conjunto F , cujos elementos sao conjuntos, por razoes estilisticas
evitamos de chamar F conjunto e chamamos ele de classe ou familia.
Se temos uma classe F de conjuntos, a uniao de todos elementos de F e a
intersecao de todos elementos de F sao denotadas de
⋃C∈F
C e⋂
C∈F
C.
Exercıcio. E verdade que para todo conjunto A e todo classe de conjuntos F
a)⋂
B∈F
(A \B) = A \⋃
B∈F
B ? b)⋃
B∈F
(A \B) = A \⋂
B∈F
B ?
A lei distributiva para uniao e intersecao. Lidando com numeros, sabemos
que multiplicacao e adicao satisfazem a lei distributiva:
a× (b + c) = (a× b) + (a× c).
Mas nao oposto: geralmente
a + (b× c) 6= (a× c) + (b× c).
Lidando com conjuntos, a mesma lei e verdadeira para uniao e intersecao nas
ambas direcoes:
a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪ c), a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c).
Exercıcio. a) Provar estas formulas.
b) Provar as generalizacoes destas formulas:
A ∪⋂
B∈F
=⋂
B∈F
(A ∪B), A ∩⋃
B∈F
=⋃
B∈F
(A ∩B).
Geralmente uma operacao denotada ∗ e chamada comutativa se a ∗ b = b ∗ a e
associativa se (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) . Se aplicamos uma operacao com estes
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propriedades varias vezes, nao precisamos parenteses e nao precisamos cuidar de
ordem de termos.
Exercıcio. Provar que operacoes ∩, ∪ e ∆ sao comutativas e associativas.
Produto de dois conjuntos A e B e o conjunto das pares (a, b) , onde a ∈ A
e b ∈ B . Por exemplo, nos livros sobre xadrez o conjunto de quadrinhos de tabua
de xadrez e apresentado como produtoa, b, c, d, e, f, g, h
×1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
.
Produto de varios conjuntos
S1 × S2 × · · · × Sn
e o conjunto das sequencias de n termos (a1, a2, . . . , an) , onde a1 ∈ S1, a2 ∈
S2, . . . , an ∈ Sn . Por exemplo, se jogamos uma moeda, o conjunto dos resultados
possiveis ecara, coroa
. Se jogamos duas moedas, o conjunto dos resultados
possiveis e o produto dos dois conjuntos iguais:
cara, coroa
×cara, coroa
=
cara, coroa
2.
Se jogamos n moedas, o conjunto ecara, coroa
n. Na teoria da probabilidade
o conjunto de todos casos possiveis e chamado espaco amostral.
Existem produtos infinitos, por exemplo
cara, coroa
INI,
o que e o conjunto de sequencias infinitas, cada termo daquelas e cara ou coroa .
Nunca consideramos os todos conjuntos no mundo. Isto conduza a
paradoxos. Um destes paradoxos: chamemos um conjunto de “estranho” se ele
e seu proprio elemento. Por exemplo, o conjunto de todos conjuntos e estranho.
Denotamos de N a classe de nao-estranhos conjuntos. Seguinte logica, N e ou
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estranho, ou nao-estranho. Vamos provar que ambos casos sao impossiveis. Se
N e estranho, ele e seu proprio elemento, o que e falso pois todos seus elementos
sao nao-estranhos. Se N nao e estranho, ele nao e seu proprio elemento, o que
e falso pois todos conjuntos nao-estranhosseus sao seus elementos.
Por esta causa, na cada pesquisa matematica temos um conjunto bastante grande,
qual pode ser chamado Ω e consideramos so seus sub-conjuntos. Neste caso,
para cada sub-conjunto S ⊂ Ω o conjunto Ω \ S e denotado de Sc e chamado
complementar de S . Logo, quando escrevemos “para todos conjuntos”, queremos
dizer “para todos subconjuntos dum Ω ”, onde Ω cada vez deve ser escolhido na
maneira apropriada.
Exercıcio. Provar para todos conjuntos A, B, C :
A ∩B = (Ac ∪Bc)c, A ∪B = (Ac ∩Bc)c.
Exercıcio. Provar para toda famılia F de conjuntos: ⋂S∈F
S
c
=⋃
S∈F
Sc,
⋃S∈F
S
c
=⋂
S∈F
Sc.
Classes de equivalencia. (Aqui o sentido de palavra “equivalencia” e diferente
de equivalencia de afirmacoes.)
Uma relacao ∗ entre alguns elementos dum conjunto S e chamada reflexiva se
para cada a ∈ S : a ∗ a ;
comutativa se para cadas a, b ∈ S : a ∗ b ⇒ b ∗ a ;
transitiva se para cada a, b, c ∈ S : a ∗ b, b ∗ c ⇒ a ∗ c .
Uma relacao ∗ entre alguns elementos dum conjunto S e chamada relacao de
equivalencia se
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a) (reflexidade) para cada a ∈ S : a ∗ a ;
b) (comutatividade) para cadas a, b ∈ S : a ∗ b ⇒ b ∗ a ;
c) (transitividade) para cada a, b, c ∈ S : a ∗ b, b ∗ c ⇒ a ∗ c .
Teorema sem provar: se temos uma relacao de equivalencia num conjunto S ,
logo existe uma familha F de conjuntos tais que:
a) a uniao de todos elementos de F e S ;
b) intersecao de cadas dois elementos diferentes de F e vazia.
Exemplos.
a) Se S e o conjunto de triangulos e x ∗ y se os triangulos x e y tem areas
iguais, logo ∗ e relacao de equivalencia.
b) Se S e o conjunto de triangulos e x∗y se os triangulos x e y tem perimetros
iguais, logo ∗ e relacao de equivalencia.
c) Se S e o conjunto de habitantes duma cidade e x ∗ y significa que x e y sao
visinhos, logo ∗ nao e relacao de equivalencia.
Exercıcio. Seja S = ZZ . Para cada caso seguinte descobrir, se a relacao ∗ e
relacao de equivalencia e se e, descrever os classes de equivalencia.
a) x ∗ y se x− y e par.
b) x ∗ y se x− y e ımpar.
c) x ∗ y se x− y e multiplo de 7.
Exercıcio. Seja S = ZZ 2 e seus elementos sao denotados (x, y) onde x, y ∈ ZZ .
Para cada caso seguinte descobrir, se a relacao ∗ e relacao de equivalencia e se e,
descrever os classes de equivalencia.
a) (x, y) ∗ (p, q) se x + y = p + q .
b) (x, y) ∗ (p, q) se x · q = y · p .
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Voce provavelmente ja reparou a semelhanca entre notacoes da logica e da teoria
de conjuntos. Esta semelhanca tem sentido. Para cada conjunto A podemos
considerar a afirmacao x ∈ A . Logo
x ∈ (A ∪B) e equivalente a (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)
e
x ∈ (A ∩B) e equivalente a (x ∈ A) ∧ (x ∈ B).
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3. 1-1 relacao. Conjuntos contaveis e nao contaveis.
Disemos que existe uma 1-1 relacao entre dois conjuntos A e B se existe uma
regra, tal que para cada elemento de A corresponde exatamente um elemento de
B e vice versa. Dois conjuntos, para aqueles tal relacao existe, sao chamados
equivalentes. Tambem dizemos que eles tem a mesma cardinalidade. Por exemplo,
todos conjuntos finitos com a mesma quantidade de elementos sao equivalentes e
sua cardinalidade e o numero de elementos de cada um deles:
#1, 2, 3
= #
a, b, c
= #
Argentina, Brasil, Columbia
= 3.
Definicao. n! (pronunciado “eni fatorial”) e definido para todos n = 0, 1, 2, 3, . . .
assim:
n! =
1 se n = 0,
1 · 2 · 3 · . . . · n se n = 1, 2, 3, . . .
Definicao. 1-1 relacao de um conjunto par ele mesmo e chamado de permutacao
deste conjunto.
Exercıcio. Para cada conjunto finito com n elementos existem n! permutacoes
dele.
Mais dificeis sao conjuntos infinitos. Um conjunto e chamado contavel se ele e
equivalente ao conjunto INI =1, 2, 3, . . .
.
Em outras palavras, qualquer conjunto S e contavel se os elementos dele podem
ser escritos na forma duma sequencia infinita: S =a1, a2, a3, . . .
com termos
diferentes. Todos conjuntos contaveis tem a mesma cardinalidade.
Observacao. Lima [Lima, vol. 1] chama de conjuntos enumeraveis todos conjuntos
finitos e contaveis.
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Teorema. ZZ , o conjunto dos numeros inteiros, e contavel.
Teorema. O produto INI × INI e contavel.
Consequencia: O produto de dois conjuntos contaveis e contavel.
Lema. Se A ⊂ B e A e infinito e B e contavel, logo A e contavel.
Teorema. O conjunto QO de numeros racionais e contavel.
Exercıcio. Explicar o sentido da formula
# INI = # ZZ = #QO.
Exercıcio. Temos uma sequencia S1, S2, S3, . . . de conjuntos contaveis. Provar
que sua uniao S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ . . . e contavel tambem.
Exercıcio. Provar que estes conjuntos sao equivalentes:
cara, coroa
ne
0, 1
n.
Exercıcio. Provar que estes conjuntos sao equivalentes:
cara, coroa
INIe
0, 1
INI.
Teorema. O conjunto0, 1
INInao e contavel. Logo existem conjuntos nao
contaveis, cuja cardinalidade e mais de cardinalidade de N .
Prova pela contradicao usando o metodo diagonal de Cantor. Seja todos elementos
de0, 1
INIsao ordenados numa sequencia a1, a2, a3, . . . Cada deles e uma
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sequencia: ak = (ak1, ak
2, ak3, . . .) Logo temos uma sequencia de sequencias:
a1 = (a11, a1
2, a13, . . .)
a2 = (a21, a2
2, a23, . . .)
a3 = (a31, a3
2, a33, . . .)
.....................................
Agora consideremos um elemento de0, 1
INIdefinido como sequencia
1− a11, 1− a2
2, 1− a33, . . .
Observe que esta sequencia nao pode coincidir com nenhum termo da sequencia
a1, a2, a3, . . . pois ela tem o primeiro termo diferente do primeiro termo de a1 ,
o segundo termo diferente do segundo termo de a2 , o terceiro termo diferente do
terceiro termo de a3 etc. Entao temos contradicao qual mostra que nossa suponha
foi falsa: e impossivel colocar todos elementos de0, 1
INInuma sequencia.
Teorema. O conjunto dos numeros reais nao e contavel.
Exercıcio. Uma sequencia a1, a2, a3, . . . e chamada periodica se existem numeros
naturais p, s tais que
∀ n ≥ s : an = an+p.
Provar que o conjunto de periodicos elementos de0, 1
INIe contavel.
Exercıcio. Apresentar uma 1-1 relacao entre0, 1
INIe0, 1, 2, 3
INI.
Definicao. Dizemos que o conjunto A caiba no conjunto B se existe B′ ⊂ B e
uma 1-1 relacao entre A e B′ .
Teorema (sem provar). Entre cadas dois conjuntos pelo menos um caiba noutro.
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Teorema (sem provar). Temos dois conjuntos A e B . Se A caiba em B e B
caiba em A , existe 1-1 relacao entre A e B .
Devido a estes teoremas, para cadas dois conjuntos A e B ha so tres possibili-
dades:
a) A caiba em B e B caiba em A . Neste caso dizemos que A e B sao
equivalentes e suas cardinalidades sao iguais: #A = #B .
b) A caiba em B , mas B nao caiba em A . Neste caso dizemos que cardinalidade
de A e menos que cardinalidade de B : #A < #B .
c) A nao caiba em B , mas B caiba em A . Neste caso dizemos que cardinalidade
de A e mais que cardinalidade de B : #A > #B .
Por exemplo,
# g < #a
< #a, b
< . . . < # INI < . . . < #
0, 1
INI.
Entao todas as cardinalidades formam um conjunto ordenado. Se passar o con-
junto de cardinalidades na ordem de crescimento, comecamos em zero - a cardi-
nalidade do conjunto vazio, passamos todos numeros naturais - cardinalidades de
conjuntos finitos e... o que depois?
Exercıcio. Provar que a primeira cardinalidade depois de todos numeros naturais
e a cardinalidade de conjuntos contaveis.
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4. Continuidade do conjunto de numeros reais. max, min, sup, inf.
Conjuntos ordenados. Um conjunto S e chamado ordenado se para cadas
dois elementos diferentes dele, denotados x 6= y , exatamente um de dois casos
seguintes acontece:
ou x < y , o que e mesmo que y > x ,
ou x > y , o que e mesmo que y < x ,
com condicao de transitividade
(x ≤ y, y ≤ z) ⇒ x ≤ z,
onde x ≤ y significa x < y ou x = y .
Por exemplo, os conjuntos INI , ZZ , QO sao ordenados.
Pergunta: e possivel ordenar ZZ 2 ? Resposta: possivel, mas inutil. Por exemplo,
podemos definir: (x, y) < (a, b)) se x < a ou x = a, y < b .
Exercıcio. provar transitivide desta ordenacao.
Exercıcio. Seja q numero racional tal que q ≥ 0 e ∀ n ∈ INI : q < 1/n. Provar
que q = 0 .
Por que precisamos de numeros reais? Por que nao somos satisfeitos
com numeros racionais? Explicamos isso nas duas maneiras conectadas.
Chamemos um conjunto ordenado S de continuo se ele satisfaz duas condicoes.
A primeira condicao e simples: para cadas a, b ∈ S , onde a < b , deve existir
c ∈ S tal que a < c < b . E evidente que QO satisfaz esta condicao: podemos
tomar c = (a + b)/2 .
O que de segunda condicao, vamos apresentar-lo em duas maneiras.
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Se temos um conjunto ordenado S , sua corte e apresentacao S = Smenor ∪ Smaior
onde
∀ x ∈ Smenor, y ∈ Smaior : x < y.
Chamemos Smenor de classe menor e Smaior de classe maior. Chamemos de
buraco uma corte onde a classe menor nao tem maximo e a classe maior nao tem
minimo.
Seguinte Dedekind, queremos um conjunto ordenado sem buracos, qual inclue
todos numeros racionais.
Apresentamos a mesma dificuldade na outra maneira. Se temos um conjunto orde-
nado S , chamemos de segmento fechado [a, b] o conjuntox ∈ S : a ≤ x ≤ b
.
Chamemos de sequencia segmentos fechados encaixados ou sequencia de s.f.e. uma
sequencia
[a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ [a3, b3] ⊃ . . .
onde cada segmento contem o proximo segmento. Outra maneira de apresentar a
segunda condicao:
Para cada sequencia de s.f.e. a intersecao de todos segmentos deve ser nao-vazio.
Mostremos que o conjunto QO nao satisfaz nenhuma versao da segunda condicao.
Apresentamos uma sequencia de s.f.e.
[a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ [a3, b3] ⊃ . . .
tal que a intersecao de todos segmentos e vazia. Definimos os segmentos pela
inducao. Base de inducao: seja a1 = 1 e b1 = 2 .
Passo de inducao: seja temos an e bn . Denotamos mn = (an + bn)/2 e com-
paramos m2n com 2 . Pois mn e racional, m2
n e 2 nao podem ser iguais. Logo
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temos so dois casos:
Se m2n < 2 , definimos an+1 = mn e bn+1 = bn .
Se m2n > 2 , definimos an+1 = an e bn+1 = mn .
Entao os todos [an, bn] sao definidos. Observe que bn − an = 1/2n−1 para todos
n . Logo a intersecao de todos segmentos [an, bn] nao pode ter mais que um
elemento. Mas nao pode ter mesmo um elemento, pois se tivesse, seu quadrado
seria 2 , o que e impossivel.
Explicamos a conexao entre as duas apresentacoes. Para cada sequencia de s.f.e.
[an, bn] chamemos de classe menor e de classe maior os conjuntos
Qmenor =q ∈ QO : ∃ n : q < an
, Qmaior = QO \Qmenor.
Clases Qmenor e Qmaior nao podem ter elementos comuns. e sua uniao e QO .
Qmenor nao tem maximo. A sequencia [an, bn] defina um buraco se Qmaior nao
tem minimo.
Esta situacao nao e unica, mas muito tipica em QO . E possivel provar que o
conjunto de buracos em QO e infinito e mesmo nao contavel. Agora concertamos
a situacao. Declaramos cada buraco de numero irracional. Numeros racionais
e irracionais juntos sao chamados de numeros reais. Denotamos o conjunto de
numeros reais de IR . Numeros reais fazem um conjunto ordenado e continuo.
Exemplo. O numero real√
2 e irracional. Os numeros reais√
3, 3√
2,√
3 −√
2
sao irracionais tambem.
Exemplo. Consideremos uma sequencia de numeros racionais x1, x2, x3, . . . , onde
xn =
(1 +
1
2n
)2n
.
E facil provar que esta sequencia cresce, i.e. x1 < x2 < x3 < . . . E possivel provar
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tambem que todos seus termos sao menor que 3. Logo podemos definir uma corte
onde
Rmenor =r ∈ IR : ∃ n : r < xn
e Rmaior = IR \Rmenor.
Esta corte define um numero irracional importantissimo denotado e . Aproxi-
madamente e = 2, 718 . . .
Definicao. Para cada numero real x denotamos:
|x| = x se x ≥ 0,
−x se x < 0.
[x] - o maximo numero inteiro, qual nao e maior que x ;
]x[ - o minimo numero inteiro, qual nao e menor que x .
Exemplos: se x e inteiro, logo [x] =]x[= x .
Se 0 < x < 1 , logo [x] = 0 e ]x[= 1 .
Se −1 < x < 0 , logo [x] = −1 e ]x[= 0 .
Exercıcio. Quais valores pode tomar ]x[−[x] ?
Exercıcio. Quais valores pode tomar [x2]− [x]2 ?
max, min, sup, inf.
Chamemos um conjunto S ⊂ IR limitado se existem numeros A e B tais que
A ≤ x ≤ B para todos x ∈ S .
Exercıcio. Dados n conjuntos de numeros reais, daqueles cada e limitado. Provar
que seu uniao e intersecao tambem sao limitados.
Exercıcio. Dada uma familha F de subconjuntos de IR , daqueles cada e limi-
tado. Podemos concluir que a uniao destes conjuntos e limitada? Podemos con-
cluir que a intersecao deles e limitada?
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Para cada conjunto limitado nao-vazio S ⊂ IR , chamemos um numero f cota
superior de S se x ≤ f para todos x ∈ S .
Denotamos de F o conjunto de cotas superiores de S . Pois S e limitado e
nao-vazio, ambos conjuntos IR \S e S sao nao-vazios, logo eles fazem uma corte
no conjunto de numeros reais. Logo existe fronteira entre eles, chamada supremo
de conjunto S e denotada sup S . Definimos inf S o infimo de S analogamente.
Se S nao tem nenhuma cota superior, dizemos que sup S = ∞ . Analogamente,
se S nao tem nenhuma cota inferior, dizemos que inf S = ∞ .
Teorema. Se um conjunto de numeros reais e nao vazio, ele tem um supremo e
um infimo (talvez, infinitos).
Exercıcio. Provar que qualquer conjunto nao pode ter mais que um maximo ou
mais que um supremo. Tambem provar que o maximo e o supremo de mesmo
conjunto sao iguais se ambos existem.
Teorema. Seja o conjunto IR apresentado como uniao de dois conjuntos S1 e
S2 tais que cada elemento de S1 e menor que cada elemento de S2 . Entao, so
dois casos sao possiveis: ou S1 tem maximo e S2 nao tem minimo, ou S1 nao
tem maximo e S2 tem minimo.
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5. Sistema decimal e outros sistemas numericos.
Cada numero natural mais que um pode ser usado como base de sistema nu-
merica. O sistema numerica mais usada e decimal. Neste sistema temos dez
algarizmos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e podemos escrever cada numero natural como
uma sequencia
an an−1 . . . a1 a0︸ ︷︷ ︸notacao decimal
= 10n · an + 10n−1 · an−1 + . . . + 101 · a1 + 100 · a0. (3)
Teorema. Cada numero natural pode ser escrito na maneira (3) num unico
jeito.
Usando a mesma notacao, podemos escrever os numeros reais em [0, 1] como
fracoes decimais infinitas
0, a1, a2, a3, . . . onde ai ∈0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Fracoes finitas podem ser interpretadas como infinitas com zeros ate ∞ .
Todos estes numeros sao diferentes com execao seguinta:
0, a1, a2, . . . ak, 999 . . . = 0, a1, a2, . . . (ak + 1), 000 . . .
O conjunto [0, 1] e ordenado.
Exercıcio. Denotamos X = 0, 999999 . . . O numero X e menor que um, igual a
um ou maior que um?
Teorema. a) Cada numero racional se-apresenta como uma fracao decimal
periodica. b) Cada fracao decimal periodica apresenta um numero racional.
Cada numero natural mais que um pode ser usado como base duma sistema de
notacao. Dado qualquer inteiro b > 1 cada numero natural pode ser apresentado
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na maneira unica como
an an−1 . . . a1 a0︸ ︷︷ ︸notacao com base b
= bn · an + bn−1 · an−1 + . . . + b1 · a1 + b0 · a0.
onde an, . . . , a0 sao algarismos base b , i.e. numeros inteiros entre zero e b− 1 .
Sistema com b = 2 , chamada binaria, e muito usada nos computadores. Nesta
sistema ha so dois algarismos: 0 e 1 e cada numero natural pode ser escrito num
unico jeito como uma sequencia deles:
an an−1 . . . a1 a0︸ ︷︷ ︸notacao com base 2
= 2n · an + 2n−1 · an−1 + . . . + 21 · a1 + 20 · a0.
Numeros reais entre zero e um tambem podem ser escritos nesta maneira - como
∞∑k=1
ak · 2−k = 0, a1a2a3 . . . , onde ai ∈0, 1
.
O conjunto de Cantor e intersecao de uma sequencia de conjuntos C = ∩∞n=0Cn ,
onde C0 ⊃ C1 ⊃ C2 ⊃ C3 . . . sao definidos indutivamente. Os primeiros tres sao:
C0 = [0, 1], C1 =
[0,
1
3
]∪[
2
3. 1
],
C2 =
[0,
1
9
]∪[
2
9.
1
3
]∪[
2
3,
7
9
]∪[
8
9. 1
].
Cada conjunto Cn e uma uniao de 2n segmentos fechados, cada com comprimento
3−n , e torna-se em Cn+1 se cortamos cada segmento em tres partes iguais e
eliminamos a parte media sem eliminar suas fronteiras.
Para entender melhor o conjunto de Cantor, e util apresentar os numeros
reais em [0, 1] como fracoes infinitas com base 3 . Cada fracao e escrita como
0, a1, a2, a3, . . . , i.e. zero, vırgula, e apos uma sequencia infinita de algarismos,
daqueles cada e 0 , 1 ou 2 . O valor desta fracao e
valor(0, a1, a2, a3, . . .) =∞∑
n=1an · 3−n.
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Isto e analogo de fracoes decimais.
Se uma fracao deste tipo tem todos zeros comecando dum lugar, podemos apa-
gar estes zeros e obter uma fracao finita. Cada numero, qual pode ser rep-
resentado como fracao finita, tem duas fracoes representantes, por exemplo,
1 = 0, 222222 . . . . Cada outro numero em [0, 1] tem exatamente uma fracao
representante. Usando isto, o conjunto de Cantor pode ser definido como o con-
junto de numeros em [0, 1] , qual podem ser representados como fracoes base 3
sem usar o algarismo 1 , i.e.
C =
∞∑
n=1an · 3−n, ∀n : an ∈
0, 2
. (4)
Exercıcio. Provar que o conjunto (4) e o conjunto de Cantor.
Exercıcio. Provar que o conjunto de Cantor nao e contavel.
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6. Sequencias em IR . Limites.
Definicao. Dizemos que uma sequencia xn tem limite finito L ou tende-se para
numero L quando n →∞ e escrevemos
limn→∞xn = L ou xn
n →∞→ L
se
∀ ε > 0 ∃ k ∀ n > k : |xn − L| < ε. (5)
Aqui n deve ser natural, mas k pode ser real.
A formula (5) nao e unica possivel. Existem outras formulas com o mesmo sentido.
De outro lado, existem formulas parecidas em (5) , cujo sentido e diferente.
Exercıcio. Quais das formulas seguintes sao equivalentes a (5) ?
a) ∀ ε > 0 ∃ k ∀ n ≥ k : |xn − L| ≤ ε.
b) ∃ k ∀ ε > 0 ∀ n > k : |xn − L| < ε.
Teorema. Uma sequencia nao pode ter dois limites diferentes.
Demonstracao. Seja xn → A e xn → B onde A 6= B . Tomemos ε =
|A−B|/2 > 0 . Logo existem k1 e k2 tais que
∀ n > k1 : |xn − A| < ε, ∀ n > k2 : |xn −B| < ε.
Tomemos qualquer n > max(k1, k2) . Lembramos que o modulo de diferenca
entre dois numeros e a distancia entre os pontos quais representam estes numeros
na reta. Logo a distancia entre xn e A sera menor que ε e a distancia entre xn
e B sera menor que ε . Logo a distancia entre A e B sera menor que
2ε = 2 · |A−B|2
< |A−B|,
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o que e impossivel pois esta distancia e igual a |A−B| .
Definicao. Uma sequencia xn e chamada limitada se existe um numero C tal
que ∀ n : |xn| < C .
Teorema. Se uma sequencia tende-se para um numero, entao ela e limitada.
Como escrever a afirmacao que xn nao tende-se para L ? O jeito mais facil e
simplesamente colocar o sinal de negacao no comeco:
∀ ε > 0 ∃ n ∀ k > n : |xk − L| < ε.
Agora transformamos esta formula usando a regra (1) :
∃ ε > 0 ∃ n ∀ k > n : |xk − L| < ε.
Continuamos transformar usando a regra (2) :
∃ ε > 0 ∀ n ∀ k > n : |xk − L| < ε
e mais
∃ ε > 0 ∀ n ∃ k > n : |xk − L| < ε
e finalemente
∃ ε > 0 ∀ n ∃ k > n : |xk − L| ≥ ε.
Esta formula e mais apropriada quando queremos provar que uma sequencia nao
tende-se para um numero. Entao esta provado o teorema seguinte:
Teorema. xn nao tende-se para L se e somente se
∃ ε > 0 ∀ n ∃ k > n : |xn − L| ≥ ε.
Exercıcio. Seja
xn =
0 se n e par,1 se n e ımpar.
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Provar que a sequencia xn nao tende-se nem para zero nem para um.
Teorema. Se xn n→∞→ A , entao C · xn → C · A para cada numero C .
Teorema. Se xn → A e yn → B , entao xn + yn → A + B .
Definicao. Dizemos que uma sequencia xn tende-se para ∞ e escrevemos
xn n→∞→∞ se
∀ M ∃ n ∀ k > n : xk > M.
Tambem dizemos que uma sequencia xn tende-se para −∞ e escrevemos
xn n→∞→ −∞ se
∀ M ∃ n ∀ k > n : xk < M.
Exercıcio. a) Transformar negacoes destas formulas na maneira parecida de
transformacao acima.
b) Seja
xn =
n se n e par,−n se n e ımpar.
Provar que a sequencia xn nao tende-se nem para ∞ nem para −∞ .
Definicao. Se uma sequencia tende-se para um numero ou para ∞ ou para −∞ ,
dizemos que ela tem limite. Se este limite e finito, dizemos que esta sequencia
converge. Se ela tem limite infinito ou nao tem nenhum limite, dizemos que ela
diverge.
Teorema. Uma sequencia xn tende-se para numero L se e somente se para
cada ε > 0 o conjunton : |xn − L| ≥ ε
e finito.
Teorema. Se uma sequencia tem limite, cada outra sequencia obtida dela
eliminando, incluindo e mudando um conjunto finito de termos, tem o mesmo
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limite.
Teorema. Se xn → A , entao cada permutacao e cada sub-sequencia de xn
tambem tende-se para A .
Definicao. Dizemos que uma sequencia xn e limitada se existe numeros A, B
tal que A ≤ xn ≤ B para todos n .
Definicao. Dizemos que uma sequencia xn e crescente se xn < xn+1 para todos
n . Definimos uma sequencia decrescente analogamente.
Definicao. Dizemos que uma sequencia xn e nao-decrescente se xn ≤ xn+1 para
todos n . Definimos uma sequencia nao-crescente analogamente.
Teorema. Cada sequencia nao-decrescente xn tem limite. Se xn e limitada,
seu limite e finito, caso contrario o seu limite e ∞ .
Definicao. Chamemos um numero f cota superior de um conjunto S ⊂ IR se
x ≤ f para todos x ∈ S . Chamamos uma cota superior f de S o supremo de
S se f e o mınimo do conjunto das cotas superiores de S . Definimos o infimo
de um conjunto analogamente.
Teorema. Cada conjunto nao vazio tem um supremo e um infimo. (O supremo
pode ser ∞ e o infimo pode ser −∞ .)
Exercıcio. Provar que qualquer conjunto nao pode ter mais que um maximo ou
mais que um supremo. Tambem provar que o maximo e o supremo de mesmo
conjunto sao iguais se ambos existem.
Teorema. Se o numero S e o supremo do conjunto C , logo existe uma
sequencia (xn) , todos cujos termos pertencem a C e tal que xn → S .
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7. Pontos de aderencia.
Teorema. Se uma sequencia tem limite, cada subsequencia dela tem o mesmo
limite.
Definicao.
a) Um numero A e chamado um ponto de aderencia ou ponto aderente duma
sequencia se ela tem uma subsequencia, qual tende-se para A .
b) Dizemos que ∞ e um ponto de aderencia duma sequencia se ela tem uma
sub-sequencia, qual tende-se para ∞ .
c) Dizemos que −∞ e um ponto de aderencia duma sequencia se ela tem uma
sub-sequencia, qual tende-se para −∞ .
Observacao. Lima [Lima, vol. 1] use a frase valor de aderencia com mesmo sentido
que o nosso ponto de aderencia.
Teorema. Um numero A e um ponto de aderencia de xn se e somente se
∀ ε > 0 ∀ n ∃ k > n : |xk − A| < ε.
Teorema. X. Um numero A e um ponto de aderencia de xn se e somente se
para cada ε > 0 o conjunton : |xn − A| < ε
e infinito.
Teorema. Um numero A nao e um ponto de aderencia de xn se e somente se
∃ ε > 0 ∃ n ∀ k > n : |xk − A| ≥ ε.
Teorema. Um numero A nao e um ponto de aderencia de xn se e somente se
existe ε > 0 tal que o conjunton : |xn − A| < ε
e finito.
Pergunta: Existe sequencia, qual contem todos numeros racionais?
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Pergunta: Existe sequencia, qual contem todos numeros reais?
Teorema. Para cada sequencia, qual contem todos numeros racionais, todos
numeros reais sao pontos de aderencia.
Teorema. O teorema de Bolzano-Weierstrass. Cada sequencia limitada tem
pelo menos um ponto de aderencia.
Demonstracao. Seja sequencia xn limitada,i.e. existe C tal que ∀ n : −C ≤
xn ≤ C . Chamemos um conjunto S magro se o conjunton : xn ∈ S
e finito e
gordo se o mesmo conjunto e infinito. E claro que se temos dois conjuntos magros,
sua uniao e magra tambem.
Agora observamos que o segmento [−C, C] e gordo. Apresentmos-lo como uniao
de dois segmentos fechados:
[−C, C] = [−C, 0] ∪ [0, C].
Logo pelo menos um deles e gordo. Denotamos-lo de [a1, b1] e cortamos este
segmento emduas partes iguais:
[a1, b1] =
[a1,
a1 + b1
2
]∪[a1 + b1
2, b1
].
Pelo menos um destes segmentos e gordo. Chamamos-lo de [a2, b2] e procedemos
na mesma maneira indutivamente. Na casa passo de inducao temos um segmento
gordo [an, bn] e apresentmos-lo como
[an, bn] =
[an,
an + bn
2
]∪[an + bn
2, bn
].
Pelo menos um destes segmentos e gordo. Denotamos-lo de [an+1, bn+1] e pro-
cedemos na mesma maneira. Logo obtemos uma sequencia infinita de segmentos
gordos
[−C, C] ⊃ [a1, a2] ⊃ [a2, b2] ⊃ [a3, b3] ⊃ . . .
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Os comprimentos destes segmentos tendem para zero, logo todos estes segmentos
tem exatamente um ponto comum L . Logo, devido ao teorema X, este ponto e
ponto de aderencia de nossa sequencia xn .
Corolario. Cada sequencia tem pelo menos um ponto de aderencia: ou um
numero ou ∞ ou −∞ .
Teorema. Seja A o conjunto de pontos de aderencia da sequencia xn e B o
conjunto de pontos de aderencia da sequencia yn . Logo A ∪ B e o conjunto de
pontos de aderensia da sequencia x1, y1, x2, y2, x3, y3, . . .
Teorema. Seja A o conjunto de pontos de aderencia da sequencia xn e B o
conjunto de pontos de aderencia da sequencia yn . Seja xn uma subsequencia de
yn . Logo A ⊂ B .
Teorema. Se uma sequencia xn tem so um ponto de aderencia (um numero ou
∞ ou −∞ ), entao xn tende para este limite.
Teorema. Se uma sequencia e obtida atravez de eliminacao dum conjunto finito
de termos de outra sequencia, estas sequencias tem o mesmo conjunto de pontos
de aderencia.
Teorema. Se uma sequencia e obtida atravez de permutacao de outra sequencia,
estas sequencias tem o mesmo conjunto de pontos de aderencia.
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8. O criterio de Cauchy para sequencias.
Definicao. Dizemos que uma sequencia xn satisfaz a condicao de Cauchy se
∀ ε > 0 ∃ k ∀ m,n > k : |xm − xn| < ε. (6)
Teorema. O criterio de Cauchy. Uma sequencia xn dos numeros reais tem
limite finito se e somente se ela satisfaz a condicao de Cauchy.
Demonstracao. Numa direcao: seja xn → L . Provemos (6) . Escolhemos
qualquer ε > 0 . Pois xn → L , existe k tal que
∀ n > k : |xn − L| < ε
2.
Logo
∀ m, n > k : |xm − xn| < ε.
Isto e a condicao de Cauchy.
Noutra direcao. Seja a condicao (6) satisfeita. Primeiro provemos que a sequencia
xn e limitada. Pois (6) e verdadeira para todos ε > 0 , e verdadeira para ε = 1 .
Logo
∃ k ∀ m, n > k : |xm − xn| < 1.
Tomemos k com esta propriedade e m o primeiro numero natural qual e mais
que k . Logo
∀ n ≥ m : |xm − xn| < 1.
Logo ∀ n : |xn| ≤ C onde
C = max|x1|, . . . , |xm−1|, |xm − 1|, |xm + 1|
.
Entao, esta provado que a sequencia xn e limitada. Logo, devido ao teorema de
Weierstrass-Bolzano, ela tem pelo menos um ponto de aderencia, o qual denotamos
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de L . Provemos que xn → L , i.e.
∀ ε > 0 ∃ k ∀ n > k : |xn − L| < ε.
Tomemos qualquer ε > 0 . Devido a (6) , existe k tal que
∀ m,n > k : |xm − xn| < ε/2.
Pois L e um valor de aderencia de xn , existe q > k tal que |xq − L| < ε/2 .
Logo ∀ n > k : |xn − L| < ε , o que presicamos.
O criterio de Cauchy esta provado nas ambas direcoes.
Exercıcio. Aplicando regras (1) e (2) , transformar a formula dizendo que uma
sequencia nao tem limite finito.
Exercıcio. Provar que a sequencia 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . nao tem nenhum limite, nem
finito, nem infinito.
Exercıcio. Seja todos numeros racionais enumerados. Provar que esta sequencia
nao tem nenhum limite.
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9. Conjuntos abertos e fechados em IR .
Definicao. Para cada ponto p ∈ IR e cada ε > 0 chamemos ε -vizinhanca de
p e denotamos de Vε(p) o conjunto
Vε(p) def=q : |q − p| < ε
.
A nocao de visinhanca poderia ser util em todos os capitulos anteriores. Por
exemplo, usando-lo obtemos criterios novos de limite e ponto de aderencia:
Teorema. A sequencia xn tende para p quando n →∞ se e somente se para
cada ε > 0 o conjunton : xn /∈ Vε(p)
e finito.
Teorema. O numero p e um ponto de aderencia duma sequencia xn se e
somente se para cada ε > 0 o conjunton : xn ∈ Vε(p)
e infinito.
Agora vamos falar de coisas novas.
Definicao. Um ponto p ∈ IR e chamado de ponto interior dum conjunto S ⊂ IR
se existe ε > 0 tal que
Vε(p) ⊂ S.
Definicao. Chamemos um conjunto C ⊂ IR aberto se todos seus pontos sao
interiores.
Exemplos. Os conjuntos g , IR , (a, b) , (−∞, b) , (a,∞) sao abertos.
Teorema. Seja F qualquer famılia de conjuntos abertos. Logo sua uniao
∪C∈FC e aberta tambem.
Teorema. Se conjuntos C1, . . . , Cn sao abertos, sua intersecao e aberta
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tambem.
Exercıcio. Apresentar uma sequencia de conjuntos abertos, cuja intersecao nao e
aberta.
Definicao. Chamemos um ponto p ∈ IR ponto de aderencia dum conjunto S ⊂ IR
se existe uma sequencia xn , todos cujas termos pertencem a S , qual converge a
p .
Teorema. Um ponto p ∈ IR e ponto de aderencia dum conjunto S ⊂ IR se e
somente se para cada ε > 0 os conjuntos S e Vε(p) tem intersecao nao-vazia.
Exercıcio. Provar que um ponto p nao e um ponto de aderencia de conjunto S
se e somente se existe ε > 0 tal que S ∩ Vε(p) = g .
Teorema. Um ponto p ∈ S ⊂ IR e interior em S se e somente se p nao e
ponto de aderencia de IR \ S .
Teorema. Um ponto p ∈ S ⊂ IR e ponto d aderencia de S se e somente se p
nao e ponto interios de IR \ S .
Definicao. Para cada conjunto S ⊂ IR chamemos de seu fecho e denotamos de
fecho(S) o conjunto de pontos de aderencia de S .
Exercıcio. Provar que qualquer S ⊂ fecho(S) .
Definicao. Chamemos um conjunto S ⊂ IR fechado se ele coincide com seu fecho.
Exercıcio. Provar que cada fecho e fechado.
Exemplos. Os conjuntos g , IR ,
x
, [a, b] , (−∞, b] , [a,∞) sao fechados.
Mais exemplos. Os conjuntos (a, b] e [a, b) sao nem abertos, nem fechados. O
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conjunto dos numeros racionais tambem e nem aberto, nem fechado, e o conjunto
dos numeros irracionais tambem.
Teorema. O conjunto de pontos de aderencia duma sequencia limitada e fechado.
Teorema.
a) Se o conjunto C ⊂ IR e aberto, entao IR \ C e fechado.
b) Se o conjunto S ⊂ IR e fechado, entao IR \ S e aberto.
Teorema. Seja F qualquer famılia de conjuntos fechados. Logo sua intersecao
∩C∈FC e fechada tambem.
Exercıcio. Provar que o conjunto de Cantor e fechado.
Teorema. Se conjuntos S1, . . . , Sn sao fechados, sua uniao e fechada tambem.
Exercıcio. Apresentar uma sequencia de conjuntos fechados, cuja uniao nao e
fechada.
Teorema. (Lema de Heine-Borel-Lebesgue.)
Temos uma familha F de conjuntos abertos na reta tal que a uniao de todos estes
conjuntos inclue o segmento fechado [a, b] . Logo existe uma sub-familha finita
F ′ ⊂ F tal que a uniao de todos seus elementos tambem inclue [a, b] .
Demonstracao. Chamemos um conjunto mole se e possivel escolher uma sub-
familha finita tal que a uniao de todos seus elementos inclue este conjunto e duro
caso contrario. Observamos que se dois conjuntos sao moles, sua uniao e mole
tambem.
Agora supomos que o segmento [a, b] e duro e obtemos um contradicao. Apre-
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sentamos [0, 1] como uniao de dois segmentos fechados:
[a, b] =
[a,
a + b
2
]∪[a + b
2, b
].
Se ambos estes segmentos sao moles, sua uniao e mole tambem, o que e contra
nossa suponha. Logo pelo menos um destes segmentos e duro. Chamemos este
segmento de [a1, b1] e cortamos-lo em duas metades na maneira parecida:
[a1, b1] =
[a1,
a1 + b1
2
]∪[a1 + b1
2, b1
].
Na mesma maneira concluimos que pelo menos destes segmentos e duro e
chamamos-lo de [a2, b2] . Fazemos o mesmo pela inducao: apos de receber um
segmento duro an, bn , apresentamos-lo como uniao de dois segmentos
[an, bn] =
[an,
an + bn
2
]∪[an + bn
2, bn
],
concluimos que pelo menos um destes segmentos e duro e denotamos-lo de
[an+1, bn+1] . Logo obtemos um sequencia de segmentos duros encaixados:
[a, b] ⊃ [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ [a3, b3] ⊃ . . .
O comprimento de [an, bn] e (b− a)/2n , logo tende para zero quando n →∞ .
Estes segmentos tem um ponto comum, qual denotamos de L . Lembramos que
a uniao de elementos de F inclue [a, b] , logo inclue o ponto L . Logo existe
um conjunto aberto C ∈ F tal que L ∈ C . Pois C e aberto, existe ε > 0 tal
que (L − ε, L + ε) ⊂ C . Escolhemos n tal grande que (b − a)/2n < ε . Logo
[an, bn] ⊂ C . Mas isto significa que [an, bn] e mole! Temos uma contradicao,
qual mostra que nossa suponha foi falsa; na verdade o segmento [a, b] e mole.
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10. Limsup, liminf.
Definicao. Dada sequencia xn .
Denotamos lim supn→∞ xn o supremo (de fato, maximo como reconhecemos em
baixo) de conjunto de pontos de aderencia dela.
Analogamente denotamos lim infn→∞ xn o infimo (de fato, minimo) de conjunto
de pontos de aderencia dela.
Teorema. Dada sequencia xn , denotamos
Tn =xn, xn+1, xn2
, . . ., In = inf Tn, Sn = sup Tn.
Logo
lim infn→∞ xn = lim
n→∞ In, lim supn→∞
xn = limn→∞Sn.
(Isto e como Lima [Lima, vol. 1] define lim inf e lim sup .)
Exercıcio. Seja xn = (−1)n/n . Descobrir lim inf xn e lim sup xn .
Exercıcio. Provar que
lim sup (xn + yn) ≤ lim sup xn + lim sup yn.
Pode ser que
lim sup (xn + yn) < lim sup xn + lim sup yn ?
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11. Sequencias em IR2 . Limites e pontos de aderencia.
Toda teoria desenvolvida acima pode ser aplicada para o plano IR2 com mudancas
pequenas. Supomos que no plano e escolhido um sistema de coordenadas, tal que
cada ponto e um par (x, y) onde x, y ∈ IR . Denotamos de dist(p, q) a distancia
entre pontos p, q ∈ IR2 . Seguinte o teorema de Pitagoras, a distancia entre
qualquer pontos (x, y) e (a, b) e
dist((x, y), (a, b)
)=√
(x− a)2 + (y − b)2.
Para cada ponto p ∈ IR2 denotamos ‖p‖ e chamamos a norma de p a distancia
entre p e O . Neste caso ε -vizinhanca dum ponto p , denotada Vε(p) , e definida
como o conjunto dos pontos, cuja distancia de p e menor que ε :
Vε(p) =q ∈ IR2 : dist(p, q) < ε
.
Dizemos que uma sequencia xn tende-se para um ponto p ou que o ponto p e o
limite de xn se a distancia dist(xn, p) tende-se para zero quando n →∞ .
Definicao. Um ponto e chamado ponto de aderencia duma sequencia se ela tem
uma sub-sequencia, qual tende-se para este ponto.
Chamemos uma sequencia xn em IR2 limitada se existe um numero C tal que
∀ n : ‖xn‖ ≤ C .
Teorema. Cada sequencia limitada em IR2 tem pelo menos um ponto de
aderencia.
Dizemos que um ponto p ∈ IR e um ponto de aderencia dum conjunto S ⊂ IR2
se existe uma sequencia qn , todos cujas termos pertencem a S , qual converge
a p .
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Teorema. (Outra versao de criterio Cauchy.)
Uma sequencia pn dos pontos em IR2 tem limite se e somente se
∀ ε > 0 ∃ k ∀ m, n > k : dist(pm, pn) < ε.
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12. Conjuntos abertos e fechados em IR2 .
IR2 significa plano onde usamos uma sistema de coordenados chamados x e y .
A teoria de conjuntos abertos e fechados ali e muito parecido na mesma teoria em
IR . A maior diferenca - definicao de visinhanca. No plano visinhanca Vε(p) com
raio ε > 0 dum ponto p ∈ IR2 e um cırculo aberto com centro p e raio ε :
Vε(p) def=q ∈ IR2 : dist(q, p) < ε
onde dist e distancia euclideana.
Um ponto p ∈ IR2 e chamado interior dum conjunto C ⊂ IR2 se existe ε > 0
tal que Vε(p) ⊂ C . Um conjunto C ⊂ IR2 e chamado aberto se todos seus pontos
sao interiores.
Exemplos de conjuntos abertos: g , IR2 ,
(x, y) : x > 0
,
(x, y) : y > x2
,
(x, y) : x2 + y2 < 1
.
Definicao. Chamemos um ponto p ∈ IR2 ponto de aderencia dum conjunto
S ⊂ IR2 se existe uma sequencia (xn) , todos cujas termos pertencem a S , qual
converge a p .
Teorema. Um ponto p ∈ IR2 e ponto de aderencia dum conjunto C ⊂ IR2 se
para cada ε > 0 os conjuntos C e Vε(p) tem intersecao nao-vazia.
Para cada conjunto S ⊂ IR2 chamemos de seu fecho o conjunto dos seus pontos
de aderencia.
Exercıcio. Cada conjunto em IR2 pertence a seu fecho.
Chamemos um conjunto em IR2 fechado se ele coincide com seu fecho, i.e. contem
todos seus pontos de aderencia.
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Exemplos. Para qualquer ponto p ∈ IR2 e numero r > 0 o conjuntoq ∈ IR2 : dist(q, p) < r
e aberto e o conjunto
q ∈ IR2 : dist(q, p) ≤ r
e
fechado.
Como antes, para cada S ⊂ IR2 denotamos Sc = IR2 \ S .
Teorema.
Se S ⊂ IR2 e aberto, Sc e fechado.
Se S ⊂ IR2 e fechado, Sc e aberto.
Lema. Temos um plano IR2 =(x, y) : x, y ∈ IR
. Chamemos caixa cada
sub-conjunto de R2 de tipo
caixa(a, b, c, d) =(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d
.
Temos uma sequencia de caixas caixa(an, bn, cn, dn) tal que cada intersecao
finita deles e nao-vazia:
∀ n :n⋂
k=1caixa(ak, bk, ck, dk) 6= g .
Logo a intersecao de todos e nao-vazia tambem:
∞⋂k=1
caixa(ak, bk, ck, dk) 6= g .
Exemplos de conjuntos fechados: g , IR2 ,
(x, y) : x ≥ 0
,
(x, y) : y ≥ x2
,
(x, y) : x2 + y2 ≤ 1
.
Teorema.
a) Se temos qualquer familha F de conjuntos abertos em IR2 , a uniao de todos
conjuntos em F e aberta tambem.
b) Se temos uma lista finita de conjuntos abertos em IR2 , logo sua intersecao e
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aberta tambem.
c) Se temos qualquer familha F de conjuntos fechados em IR2 , a intersecao de
todos conjuntos em F e fechada tambem.
d) Se temos uma lista finita de conjuntos fechados em IR2 , logo sua uniao e
fechada tambem.
Dado conjunto S ⊂ IR2 , chamemos de sua fronteira a intersecao do fecho de S e
o fecho se IR2 \ S .
Teorema.
a) Um conjunto em IR2 e aberto se e somente se sua intersecao com sua fronteira
e vazia.
b) Um conjunto em IR2 e fechado se e somente se ele inclue sua fronteira.
Teorema.
a) Os unicos sub-conjuntos de IR2 cuja fronteira e vazia sao g e IR2 .
a) Os unicos sub-conjuntos de IR2 quais sao abertos e vazios no mesmo tempo
sao g e IR2 .
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13. Funcoes IR → IR . Limite e continuidade.
Definicao. Dada uma funcao f : S → IR , definida em um conjunto S ⊂ IR ,
qual contem uma visinhanca de ponto x0 , mas nao precise conter o mesmo ponto
x0 . Dizemos que um numero A e o limite de f quando x → x0 e escrevemos
A = limx→x0f(x) ou f(x) x→x0
→ A se
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S : 0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− A| < ε.
Tambem dizemos que limx→x0f(x) = ∞ se
∀ M ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S : 0 < |x− x0| < δ ⇒ f(x) > M.
Tambem dizemos que limx→∞ f(x) = A se
∀ ε > 0 ∃ M ∀ x ∈ S : x > M ⇒ |f(x)− A| < ε.
Tambem dizemos que limx→∞ f(x) = ∞ se
∀ M ∃ N ∀ x ∈ S : x > N ⇒ f(x) > M.
Exercıcio. Provar que uma funcao nao pode ter dois limites quando x → x0 ou
quando x →∞ .
Tambem, podemos definir esquerdo e direito limites duma funcao f(x) num ponto
x0 denotados
limx→x0−
f(x) = limx↑x0
f(x) e limx→x0+
f(x) = limx↓x0
f(x)
e definidos analogamente, so no lugar de 0 < |x − x0| < δ escrevemos x0 − δ <
x < x0 ou x0 < x < x0 + δ .
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Teorema. Uma funcao tem limite no ponto x0 se e somente se ela tem esquerdo
e direito limites, qual sao iguais.
Definicao. Dizemos que uma funcao f e continua em ponto x0 se ela e definida
neste ponto, o limite dela quando x → x0 existe e este limite e igual a f(x0) .
Teorema. Uma funcao e continua no ponto x0 se e somente se ela tem esquerdo
e direito limites, qual sao iguais para um outro e para f(x0) .
Teorema. Uma funcao f : IR → IR e continua no ponto x0 se e somente se
para cada sequencia (xn) , cujos termos sao diferentes de x0 e qual tende-se para
x0 , a sequencia f(xn) tende-se para f(x0) .
Teorema. limx→x0(f(x) + g(x)) = limx→x0
f(x) + limx→x0g(x).
Teorema. limx→x0(f(x) · g(x)) = limx→x0
f(x) · limx→x0g(x).
Teorema. Seja g(x) > 0 para todos x . Logo
limx→x0
(f(x)/g(x)) = limx→x0
f(x)/ limx→x0
g(x).
Dizemos que uma funcao f : IR → IR e nao-decrescente se
∀ x, y ∈ IR : x < y ⇒ f(x) ≤ f(y).
Teorema. Seja f(x) uma funcao nao-decrescente definida em todo IR . Logo
f(x) tem esquerdo e direito limites no cada ponto e
∀ x, x1, x2 > x : x1 < x < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x−) ≤ f(x) ≤ f(x+) ≤ f(x2).
Tambem
∀x1 < x2 : f(x1+) ≤ f(x2−).
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Teorema. Se funcao f(x) e nao-decrescente, logo
∀ x1 < x2 : f(x1+) ≤ f(x2−).
Lema. Temos um conjunto C de intervalos abertos na reta, daqueles cadas dois
nao tem pontos comuns. Provar que o conjunto C e vazio, finito ou contavel.
(Mesmo para discos abertos no plano.)
Definicao. Dizemos que uma funcao f e continua num conjunto S se ela e
continua no cada x ∈ S .
Teorema. Seja uma funcao f definida na toda reta. Logo as tres condicoes
seguintes sao equivalentes:
a) Funcao f e continua na toda reta.
b) Pre-imagem de cada conjunto aberto e aberta.
c) Pre-imagem de cada conjunto fechado e fechada.
Definicao. Dizemos que uma funcao f(x) e limitada num conjunto se existe
numero C tal que |f(x)| ≤ C neste conjunto.
Teorema. Se f(x) e continua em [a, b] , logo:
a) f(x) e limitada em [a, b] .
b) f(x) tem maximo e minimo em [a, b] , i.e.
∃ x∗ ∈ [a, b] : f(x∗) = max[a,b]
f(x), ∃ x∗ ∈ [a, b] : f(x∗) = min[a,b]
f(x).
c) Para cada y ∈ [f(a), f(b)] existe x ∈ [a, b] tal que f(x) = y .
Teorema. Se uma funcao e continua num segmento fechado [a, b] , ela e limitada
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e tem maximo e minimo neste segmento.
Teorema. Seja f(x) continua em [a, b] e f(a) < 0 e f(b) > 0 . Logo existe
x ∈ (a, b) tal que f(x) = 0 .
Dica. Consideramos o conjunto C =x ∈ [a, b] : f(x) ≤ 0
, denotamos s o
supremo deste conjunto e provemos que f(s) = 0 .
Observacao. E claro que o valor de x ∈ [a, b] onde e f(x) = 0 nao precise estar
unico. Pode existir muito valores com esta condicao, mesmo um conjunto infinito.
Corolario. Se n e ımpar, o polinomio
P (x) = xn + an−1xn−1 + · · · a1x + a0
tem pelo menos uma raiz real.
Teorema. Se z = z(y) e y = y(x) e ambas sao continuas, logo z(x) e continua
tambem.
Dado conjunto S ⊂ IR , chamemos um ponto x ∈ S interios de S se existe ε > 0
tal que Vε(x) ⊂ S .
Para cada conjunto S ⊂ IR , denotamos int(S) o conjunto dos pontos interiores
de S .
Definicao. Para cada S ⊂ IR chamemos fronteira de S e denotamos front(S)
a intersecao de fecho de S e fecho de IR \ S .
Teorema. int(S) = S \ front(S) .
Para cada funcao f : IR → IR denotamos Im f e chamamos imagem de f o
conjuntof(x) : x ∈ IR
.
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Chamamos um conjunto C ⊂ IRd convexo se para cadas a, b ∈ C o todo segmento
[a, b] pertence a C .
Teorema. Para cada funcao continua f : IR → IR o imagem de f e convexo.
Observacao: Seria melhor diser que o imagem de f e conectado, pois isto e
verdade em todas dimencoes, mas a nocao de conectividade e mais complicada e
na dimencao 1 e equivalente a convexidade.
Teorema. Todos sub-conjuntos convexos de IR sao:
g , IR, (−∞, b), (−∞, b], (a, ∞), [a, ∞),(a, b), [a, b), (a, b], [a, b],
a,
(7)
onde a < b ∈ IR sao parametros.
Corolario. Para cada funcao continua f : IR → IR o imagem de f pertence a
lista (7) .
Chamemos uma funcao f(x) definida num segmento S crescente se
∀ a, b ∈ S : a < b ⇒ f(a) < f(b).
Teorema. Se f(x) e crescente em S , para cada a ∈ int(S) :
a) Os limites
limx→a−
f(x) e limx→a+
f(x)
existem e
limx→a−
f(x) ≤ limx→a+
f(x).
b) Estes limites sao iguais se e somente se f(x) e continua no ponto a .
Teorema. Se f(x) definida na toda reta e continua e crescente, a imagem dela
e aberto.
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Corolario. Se f(x) definida na toda reta e continua e fortemente monotonica,
a imagem dela pertence a lista
IR, (−∞, b), (a, ∞), (a, b).
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14. Continuidade uniforme e condicao de Lipschitz.
Dizemos que uma funcao f : S → IR e uniformemente continua em S se
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x, x0 ∈ S : |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε.
Exemplo. Funcao y = x2 definida em IR e continua em IR , mas nao uniforme-
mente continua.
Exemplo. Funcao y = 1/x definida em S =x : x > 0
e continua em S , mas
nao uniformemente continua.
Exercıcio. Sabemos que uma funcao e continua na toda reta IR . Podemos
concluir que ela e uniformemente continua na IR ?
Teorema. Se uma funcao e continua em [a, b] , ela e uniformemente continua
em [a, b] .
Teorema. Se uma funcao e uniformemente continua em (a, b) , ela e limitada
e existem limites
limx→a+
f(x) e limx→b−
f(x).
Teorema. Se f(x) e continua na toda reta e tem limites quando x → −∞ e
x →∞ , ela e uniformemente continua na toda reta.
Definicao. Dizemos que uma funcao f : S → IR satisfaz a condicao de Lipschitz
com constanta C ou e C-Lipschitz se existe um numero C > 0 tal que
∀ x, y ∈ S : |f(x)− f(y)| ≤ C · |x− y|.
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Teorema. Se uma funcao satisfaz a condicao de Lipschitz, ela e uniformemente
continua.
Exercıcio. Apresentar uma funcao uniformemente continua, mas nao Lipschitz.
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15. Convergencia de funcoes.
Seja temos uma sequencia f1, f2, f3, . . . das funcoes definidas na toda reta.
Disemos que esta sequencia converge para funcao f no cada ponto se
∀ x ∈ IR : fn(x)n →∞
→ f(x),
i.e.
∀ x∀ ε∃ n0∀n > n0 : |fn(x)− f(x)| < ε.
Disemos que esta sequencia converge uniformemente para funcao f se temos uma
condicao parecida, so com outra ordem de quantores:
∀ ε∃ n0∀ x∀n > n0 : |fn(x)− f(x)| < ε.
Teorema. Se uma sequencia f1, f2, f3, . . . das funcoes definidas na toda
reta converge uniformemente para funcao f , ela converge para funcao f no cada
ponto.
Exercıcio. O oposto e verdade? Se uma sequencia f1, f2, f3, . . . das funcoes
continuas definidas na toda reta converge no cada ponto para funcao continua f ,
podemos concluir que ela converge uniformemente para funcao f ?
Exercıcio. Seja uma sequencia f1, f2, f3, . . . das funcoes continuas definidas na
toda reta converge para funcao f no cada ponto. Podemos concluir que funcao
f e continua tambem ?
Exercıcio. Seja uma sequencia f1, f2, f3, . . . das funcoes continuas definidas na
toda reta converge no cada ponto para funcao f . Podemos concluir que funcao
f e continua tambem ?
Teorema. Teorema de Weierstrass. Seja uma sequencia f1, f2, f3, . . . das
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funcoes continuas definidas na toda reta converge uniformemente para funcao f .
Logo funcao f e continua tambem.
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16. Funcoes IR2 → IR . Limites e continuidade.
Para cadas dois pontos (x, y), (a, b) ∈ IR2 definimos a distancia Euclideana entre
eles seguinte o teorema de Pitagoras:
dist((x, y), (a, b)) =√
(x− a)2 + (y − b)2.
Exercıcio. Observe que:
a) a distancia entre (x, y) e (a, b) e sempre nao-negativa.
b) a distancia entre (x, y) e (a, b) e zero se e somente se os pontos coincidem.
Definicao. Dada uma funcao f definida em todo plano salvo um ponto (a, b) ,
chamemos um numero L o limite de f quando (x, y) → (a, b) se para cada
ε > 0 existe δ > 0 tal que
0 < dist((x, y), (a, b)) < δ ⇒ |f(x, y)− f(a, b)| < ε.
Exercıcio. Apresentar uma funcao qual nao tem limite quando (x, y) → (0, 0) .
Exercıcio. A funcao f e definida no todo plano salvo (0, 0) e igual a
f(x, y) =xy
x2 + y2 .
Esta funcao tem limite quando (x, y) → (0, 0) ?
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17. Funcoes IR → IR . Derivada.
Definicao. Chamemos derivada de uma funcao f : S → IR no ponto x o limite
(se ele existe)
d
dxf(x) =
df
dx= f ′(x) = lim
∆x→0
f(x + ∆x)− f(x)
∆x.
Se f(x) e continua e a mesma fracao tende para ∞ quando ∆x → 0 , dizemos
que sua derivada e ∞ .
Exemplo. A funcao f(x) = a x + b tem derivada f ′(x) = a para todos x .
Definicao. Tambem podemos definir esquerda e direita derivadas como limites
analogos esquerdo e direito:
f ′(x−) = lim∆x→0−
f(x + ∆x)− f(x)
∆x, f ′(x+) = lim
∆x→0+
f(x + ∆x)− f(x)
∆x.
Exemplo. A funcao f(x) = |x| tem derivada em todos pontos salvo zero. No
ponto zero ela tem esquerda e direita derivadas, mas diferentes.
Teorema. Uma funcao tem derivada num ponto se e somente se ela tem
esquerda e direita derivadas neste ponto e elas sao iguais.
Teorema. Se uma funcao tem derivada num ponto, esta funcao e continua no
mesmo ponto.
Teorema. Se uma funcao e nao-decrescente e tem derivada, sua derivada e
nao-negativa para todos x .
Teorema. (f + g)′ = f ′ + g′ .
Teorema. (f · g)′ = f ′ · g + f · g′ .
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Teorema. Se y = y(x) e uma funcao de x e z = z(y) e uma funcao de y ,
logodz
dx=
dz
dy· dy
dx.
Teorema. (f/g)′ = (f ′ · g − f · g′)/g2 .
Teorema. Se f(x) = xn , f ′(x) = n · xn−1 para todos n ∈ Z .
Sem provar: Se f(x) = ex , f ′(x) = ex .
Teorema. Se f(x) = sen x , f ′(x) = cos x .
Teorema. Se f(x) = cos x , f ′(x) = −sen x .
Teorema. Se f(x) = tan x , f ′(x) = 1/ cos2 x .
Teorema. Temos funcao continua f(x) em [a, b] tal que df/dx > 0 para
todos x ∈ (a, b) . Logo podemos considerar x como funcao de f em (f(a), f(b))
com derivada dx/df = 1/(df/dx) .
Exercıcio. O que sao derivadas de ln x , arcsen x , arccos x , arctan x ?
Teorema. Se uma funcao e definida em (a, b) , tem derivada no ponto x0 ∈
(a, b) e f(x) ≤ f(x0) para todos x ∈ (a, b) , entao f ′(x0) = 0 .
Definicao. Derivada de derivada de funcao f(x) e chamada segunda derivada e
denotada f ′′(x) . Para cada k natural definimos k -esima derivada pela inducao,
como derivada de (k − 1) -esima derivada. Primeira derivadas sao denotadas
f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x) . Geralmente a k -esima derivada e denotada fk(x) .
Teorema. Se uma funcao f(x) e definida em (a, b) , tem continuas primeira e
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segunda derivadas em (a, b) e f ′(x0) = 0 e f ′′(x0) < 0 , onde x0 ∈ (a, b) , entao
existe ε > 0 tal que
∀ x ∈ (x0 − ε, x0) ∪ (x0, x0 + ε) : f(x) < f(x0).
Teorema. Se uma funcao f(x) e continua em [a, b] tem derivada em (a, b) e
f(a) = f(b) , logo existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0 .
Teorema. (de valor medio) Se uma funcao f(x) continua em [a, b] tem
derivada em (a, b) , logo existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = (f(b)− f(a))/(b− a) .
Teorema. Se f ′′(x) existe e continua numa visinhanca de x , logo
f ′′(x) = limt→0
f(x + t)− 2f(x) + f(x− t)
t2.
Teorema. Se funcoes f(x) e g(x) continuas em [a, b] tem derivadas em
(a, b) , logo existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) · (g(b)− g(a)) = g′(c) · (f(b)− f(a)).
(Este teorema tem interpretacao geometrica.)
Prova. Definimos uma nova funcao φ : [a, b] → IR assim:
φ(x) = (f(x)− f(a)) · (g(b)− g(a)) + (g(b)− g(x)) · (f(b)− f(a)).
Logo φ(x) e continua em [a, b] , tem derivada em (a, b) e φ(a) = φ(b) . Logo
(teorema de valor medio) existe c ∈ (a, b) tal que φ′(c) = 0 . Fim da prova.
Teorema. (Regra de L’Hospital.) Seja funcoes f(x), g(x) definidas e continuas
em [a, b) . Seja f(a) = g(a) = 0 , ambas funcoes tem derivadas em (a, b) e
g′(x) > 0 para todos x ∈ (a, b) . Logo, se o limite limx→a+ f ′(x)/g′(x) existe, o
limite limx→a+ f(x)/g(x) existe tambem e estes limites sao iguais.
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Prova. Denotamos L = limx→a+ f ′(x)/g′(x) . Logo para cada ε > 0 existe
δ > 0 tal que
∀ x ∈ (a, a + δ) : L− ε <f ′(x)
g′(x)< L + ε.
Devido ao teorema do valor medio, para todos t, s tal que a < t < s < a + δ
existe u ∈ (t, s) tal que
f(t)− f(s)
g(t)− g(s)=
f ′(u)
g′(u)∈ (L− ε, L + ε).
Pois g(0) = 0 e g′(x) > 0 para todos x ∈ (a, b) , logo g(x) > 0 para os mesmos
x , logo podemos ir para a limite e obter
∀ t ∈ (a, a+δ) :f(t)
g(t)∈ (L−ε, L+ε). Fim da prova.
Teorema. Seja f(x) definida na toda reta, continua e fortemente monotonica.
Denotamos C = Im f . Logo existe uma funcao g : C → IR tal que:
a) ∀ x ∈ IR : g(f(x)) = x ,
b) ∀ y ∈ C : f(g(y)) = y ,
c) g e fortemente monotonica, i.e. y1 < y2 ⇒ g(y1) < g(y2) ,
d) g e continua.
e) Seja tambem f tem derivada positiva no cada ponto. Logo g tambem tem
derivada positiva no cada ponto.
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18. Funcoes IR → IR . Integral de Riemann.
Lema 0. Dada funcao f(x) definida num conjunto S . Se S1 ⊂ S2 ⊂ S ,
supx∈S1
f(x) ≤ supx∈S2
f(x), infx∈S1
f(x) ≥ infx∈S2
f(x).
Definicao. Para todos p < q reais chamemos de segmentos os conjuntos
[p, q], (p, q], [p, q), (p, q),
cujo comprimento (chamado m ) e igual a q − p :
m [p, q] = m (p, q] = m [p, q) = m (p, q) def= q − p. (8)
Seja f(x) uma funcao definida em [a, b] . Queremos definir seu integral de
Riemann neste segmento. Chamemos uma partilhagem D de [a, b] uma rep-
resentacao
D : [a, b] = P1 ∪ P2 ∪ . . . ∪ Pn,
onde todos Pk , chamados pedacos, sao segmentos sem pontos comuns: ∀ i 6= j :
Pi ∩ Pj = g . Para cada partilhagem D de [a, b] chamemos
a soma superior: Ssup(D) =∑n
k=1 supx∈Pkf(x) ·mPk ,
e soma inferior: Sinf(D) =∑n
k=1 infx∈Pkf(x) ·mPk .
(9)
Lema 1. Para cada partilhagem D de qualquer conjunto Sinf(D) ≤ Ssup(D).
Dizemos que uma partilhagem e mais fina que outra partilhagem de mesmo con-
junto se cada pedaco da segunda partilhagem e uma uniao de varios pedacos da
primeira partilhagem.
Lema 2. Se D e D′ sao duas partilhagens de mesmo conjunto e D e mais fina
que D′ ,
Sinf(D′) ≤ Sinf(D) ≤ Ssup(D) ≤ Ssup(D
′).
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Lema 3. Para todas partilhagens D e D′ de mesmo conjunto Sinf(D) ≤
Ssup(D′).
Prova. Definimos uma terceira partilhagem D′′ de mesmo conjunto, cujos
pedacos sao intersecoes de pedacos de D e pedacos de D′ . Logo D′′ e mais
fina que D e mais fina que D′ . Logo
Sinf(D) ≤ Sinf(D′′) ≤ Ssup(D
′′) ≤ Ssup(D′). Fim da prova.
Dada f : [a, b] → IR consideramos o conjunto de todas somas superiores para
todas partilhagens de [a, b] e chamemos o seu inferior supint [a,b]f(x) def=
infD Ssup(D).
Analogamente consideramos o conjunto de todas somas inferiores para todas par-
tilhagens de [a, b] e chamemos o seu superior infint [a,b]f(x) def= supD Sinf(D).
Lema 4. infint [a,b]f(x) ≤ supint [a,b]f(x) para cada funcao e cada segmento.
Definicao.
a) Se
infint [a,b]f(x) = supint [a,b]f(x),
dizemos que a funcao f(x) tem integral de Riemann no segmento [a, b] , cujo
valor e este numero e qual denotamos∫ b
af(x) dx .
b) Se
infint [a,b]f(x) < supint [a,b]f(x),
dizemos que a funcao f(x) nao tem integral de Riemann no segmento [a, b] .
Exemplo. Seja
f(x) =
0 se x e irracional,1 se x e racional.
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O que sao valores de infint [0,1]f(x) e supint [0,1]f(x) desta funcao? Esta funcao
tem integral de Riemann em [0, 1] ou nao?
Improprios integrais.
Exemplo. Seja f(x) = x−1/2 . Como definir∫ 10 f(x) dx ? Pois f(0) nao e definida,
nao podemos usar o segmento [0, 1] . Temos que considerar um outro segmento,
sem zero. Usemos (0, 1) , mas mesmo assim, na qualquer partilhagem, o supremo
de f(x) no primeiro pedaco e sempre ∞ , logo supint (0,1)f(x) = ∞ . Temos que
definir este integral como limite:∫ 1
0x−1/2 dx def= lim
ε→0
∫ 1
εx−1/2 dx = lim
ε→02 (1− ε1/2) = 2.
Definicao. Geralmente, quando f(x) x→a+→ ∞ , definimos (se este limite
existe) ∫ b
af(x) dx def= lim
ε→0+
∫ b
a+εf(x) dx .
Analogamente definimos (se estes limites existem)∫ b
−∞f(x) dx def= lim
a→−∞
∫ b
af(x) dx,
∫ ∞a
f(x) dx def= limb→∞
∫ b
af(x) dx ,
∫ ∞−∞
f(x) dx def= lima→−∞, b→∞
∫ b
af(x) dx .
Exemplo. Usamos improprios integrais para definir e calcular esperanca duma
variavel aleatoria continua, qual tem a funcao de densidade f(x) :
EX =∫ ∞−∞
x · f(x) dx = lima→−∞, b→∞
∫ b
ax · f(x) dx .
Se este limite nao existe, dizemos que v.a. X nao tem esperanca.
Exemplo. Continua v.a. X tem distribuicao de Cauchy (padrao) se
f(x) =1
π (1 + x2).
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Esta v.a. nao tem esperanca, pois nao existe limite
lima→−∞, b→∞
∫ b
a
x
1 + x2 dx . Por que?
Exercıcio. Provar que para todos M e L existem a < −M e b > M tal que
∫ b
a
x
1 + x2 dx = L.
Definicao. Ate agora temos definicao de integral de a a b somente se a < b .
Definimos integral para outros casos assim:
∫ b
af(x)dx = −
∫ a
bf(x)dx se a > b e
∫ a
af(x)dx = 0 .
Teorema. Para todos a, b, c reais
∫ b
af(x) dx +
∫ c
bf(x) dx =
∫ c
af(x) dx.
A mesma formula e correta se substituir ∞ ou −∞ no lugar de a , b ou c .
Teorema. (se integral existe)∫ ba C · f(x) dx = C · ∫ b
a f(x) dx.
Teorema. (se integrais existem)∫ ba (f(x)+g(x))dx =
∫ ba f(x)dx+
∫ ba g(x)dx.
Teorema. Se f(x) ≥ 0 para todos x ∈ [a, b] , logo∫ ba f(x) dx ≥ 0 se este
integral existe.
Corolario. Se f(x) ≤ g(x) para todos x ∈ [a, b] e seus integrais neste segmento
existem, logo ∫ b
af(x) dx ≤
∫ b
ag(x) dx . (10)
Corolario. Se |f(x)| ≤ C para todos x ∈ [a, b] e seu integral neste segmento
existe, | ∫ ba f(x) dx| ≤ C · (b− a) .
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Lema.∫ ba C · dx = C · (b− a) para todos numeros a, b, C .
Teorema. sobre aproximacao de integral de Riemann. Temos uma C-Lipschitz
funcao f(x) em [a, b] . Logo podemos aproximar o integral de f(x) em [a, b]
assim. Cortamos o segmento [a, b] em n partes iguais e em cada parte escolhemos
o ponto central pk, k = 1, . . . , n . Logo podemos aproximar o integral assim:∣∣∣∣∣∣∫ b
af(x) dx − b− a
n
n∑k=1
f(pk)
∣∣∣∣∣∣ ≤ C · (b− a)2
4n.
Aproximacao de trapezios.
Neste caso aproximamos integral duma funcao f(x) num segmento, por exemplo
[0, 1] , cortando este segmento em n partes iguais. Se uma parte e [a, b] , o integral
nesta parte e aproximado por (b − a) · (f(a) + f(b))/2 . Estimamos o erro desta
aproximacao, a saber a diferenca
∫ b
af(x) dx− 1
2· (b− a) · (f(a) + f(b)). (11)
Teorema. Se uma funcao e uniformemente continua num segmento, ela tem
integral de Riemann neste segmento.
Teorema. Se uma funcao e nao-decrescente em [a, b] , ela tem integral de
Riemann neste segmento.
Prova. Consideramos o retangulo
(x, y) : a ≤ x ≤ b, f(a) ≤ y ≤ f(b)
. (12)
Chamamos D a partilhagem de [a, b] em n pedacos iguais. (Nao importa
para qual pedaco pertencem seus pontos finais. Tambem cortamos o segmento
[f(a), f(b)] em m pedacos iguais. Logo o retangulo (12) e cortado em m · n
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partes, quais chamemos de azulejos. Chamemos o grafico de nossa funcao o
conjunto(x, f(x)) : a ≤ x ≤ b
. E claro que o grafico e um subconjunto de
retangulo (12) . Chamemos um azulejo marcado se ele contem pelo menos um
ponto comum com o grafico. Observamos que para nossa partilhagem D a
diferenca Ssup(D) − Sinf(D) nao excede a area total dos azulejos marcados.
Tambem, e possivel provar pela inducao em n e m que o numero dos azule-
jos marcados nao excede m + n− 1 . Logo
Ssup(D)− Sinf(D) <
(1
m+
1
n
)· (b− a) · (f(b)− f(a)) .
Logo, tomando m e n bastante grande, podemos fazer esta diferenca tao pequena
como quizemos. Logo infint [a,b]f(x) = supint [a,b]f(x) . Fim da prova.
O Teorema Fundamental de Calculo.
Parte 1. Seja f(x) limitada na toda reta e tem integral de Riemann no cada
segmento. Escolhemos um ponto inicial x0 e chamemos
F (x) =∫ x
x0
f(t) dt para todos x ∈ IR.
Logo a funcao F (x) e continua na toda reta e para cada x , onde f(x) e continua,
a funcao F (x) tem derivada, qual e igual a f(x) :
F ′(x) =d
dxF (x) = f(x) .
Parte 2. Seja funcao F (x) definida e tem derivada F ′(x) na toda reta. Logo
para todos a, b ∫ b
aF ′(x) dx = F (b)− F (a).
Provemos a segunda afirmacao de Parte 1, a saber que se f(·) e continua
no ponto x , logo f(x) e igual a
d
dxF (x) = lim
∆x→0
∆F (x)
∆x= lim
∆x→0
1
∆x
∫ x+∆x
xf(t) dt .
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Para cada ε > 0 devemos apresentar δ > 0 tal que
0 < ∆x < δ ⇒ f(x)− ε <1
∆x
∫ x+∆x
xf(t) dt < f(x) + ε .
Pois f(·) e continua no ponto x , para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que
0 < |t− x| < δ ⇒ f(x)− ε < f(t) < f(x) + ε .
Logo, devido a (10) ,
(f(x)− ε) ·∆x <∫ x+∆x
xf(t) dt < (f(x) + ε) ·∆x .
Logo
f(x)− ε <1
∆x·∫ x+∆x
xf(t) dt < f(x) + ε . Fim da prova.
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19. Series em IR e convergencia deles.
Uma serie e uma soma infinita
a1 + a2 + a3 + · · · =∞∑
n=1an.
A soma desta serie e definida como limite (se ele existe)
limn→∞Sn, onde Sn =
n∑k=1
ak.
Se uma serie tem uma soma finita, dizemos que esta serie converge, senao diverge.
Exercıcio. Dada serie∑∞
n=1 2−n . Escrever a formula de Sn . Mostrar que esta
serie tem soma finita. O que e valor da soma dele?
Exercıcio. Apresentar uma serie, cuja soma e ∞ .
Exercıcio. Dada serie∑∞
n=1(−1)n . Escrever a formula de Sn . Mostrar que esta
serie nao tem soma, nem finita, nem infinita.
Teorema. Se a serie∑
an converge, entao an n→∞→ 0 .
Teorema. Se uma serie converge, cada outra serie, obtida dela eliminando,
incluindo e mudando um conjunto finito de termos, converge tambem.
Teorema. Tomemos um numero r > 0 e consideremos a serie
∞∑n=1
nr.
Logo:
a) se r < −1 , esta serie converge e tem soma finita.
b) Se r ≤ −1 , esta serie converge para ∞ .
Dica: comparar esta serie com integral∫ ∞1
xr dx.
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Teorema. Se an ≥ 0 para todos n e a serie∑
an converge, entao cada
permutacao desta serie converge tambem e tem a mesma soma.
Teorema. Tomemos a serie∑
(−1)n+1/n . Permutando seu termos, e possivel
obter uma serie, qual converge para qualquer numero, para ∞ , para −∞ ou nao
converge para nada.
Definicao. Dizemos que uma serie∑
an converge absolutamente se a serie∑ |an|
converge.
Lembramos o criterio de Cauchy para sequencias:
Uma sequencia xn tem limite se e somente se
∀ ε > 0 ∃ k ∀ m,n > k : |xm − xn| < ε.
Podemos aplicar este criterio para series.
Criterio Cauchy para series: Uma serie∑
an converge se e somente se
∀ ε > 0 ∃ k ∀ m > n > k : |an+1 + . . . + am| < ε.
Demonstracao: isto e consequencia do criterio Cauchy para sequencias.
Corolario:
Se uma serie converge absolutamente, logo:
a) ela converge,
b) sua soma nao depende da ordem de termos.
Demonstracao de a).
Sabemos que∑ |an| converge. Logo podemos usar o criterio de Cauchy para a
sequencia
Tn = |a1|+ · · ·+ |an|.
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Obtemos que para cada ε > 0 existe k tal que
∀ n > k : |an|+ |an+1|+ |an+2|+ . . . < ε.
Logo para todos m > n > k
|an+1|+ . . . + |am| < ε.
Mas
|Sm − Sn| = |an+1 + . . . + am| ≤ |an+1|+ . . . + |am|.
Logo obtemos a condicao do criterio Cauchy para a sequencia das somas da nossa
serie:
∀ ε > 0 ∃ k ∀ m > n > k : |Sm − Sn| < ε.
Demonstracao de b).
Seja bn sao an permutados. Isto significa que existe uma 1-1 relacao f : INI → INI
tal que ∀ i ∈ INI : bf(i) = ai . Denotamos A =∑
an e B =∑
bn . Supomos que
A 6= B e obtemos uma contradicao. Denotamos ε = |A− B|/3 . Escolhemos m
tal que |am+1|+ |am+2|+ |am+3|+ . . . < ε . Denotamos de S a imagem de conjunto
1, 2, . . . ,m sob acao de f , i.e.
S =f(i) : i ≤ m
e depois t = max
i∈Sf(i).
Obseravmos que
|(a1 + a2 + · · ·+ am)− A| < ε.
e
|(b1 + b2 + b3 + · · ·+ bt)−B| = |bt+1|+ |bt+2|+ |bt+3|+ · · · | ≤
|bt+1|+ |bt+2|+ |bt+3|+ · · · < ε.
Entao ∣∣∣∣∣∣m∑
i=1ai − A
∣∣∣∣∣∣ < ε,
∣∣∣∣∣∣t∑
i=1bi −B
∣∣∣∣∣∣ < ε.
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Agora comparamos duas somas finitas:
m∑i=1
ai et∑
i=1bi.
O modulo da diferenca entre elas e menor que ε . Entao
|L−M | < 3ε = |L−M |.
Esta contradicao mostra que nossa suponha L 6= M foi falsa.
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20. Series de funcoes e convergencia deles.
Teorema. (de Taylor) Se funcao f(x) tem todas derivadas em todos pontos,
logo para cada n natural e cada x > 0 existe t ∈ [0, x] tal que
f(x) =n∑
k=0
xk
k!f (k)(0) +
xn+1
(n + 1) !f (n+1)(t) .
Prova. Denotamos g(x) = f(x)−Pn(x)−C ·xn+1 , onde Pn(x) =∑n
k=0 (xk/k!)·
f (k)(0) e C e escolhido tal que g(x) = 0 . Logo a funcao g(x) tem todas derivadas
e
g(0) = g′(0) = · · · = g(n)(0) = 0 e g(n+1)(x) = f (n+1)(x)− C · (n + 1) !.
Agora a afirmacao qual queremos provar pode ser apresentado assim: existe ξ ∈
(0, x) tal que C = f (n+1)(ξ)/(n+1) ! , o que e equivalente a existencia de ξ ∈ (0, x)
tal que g(n+1)(ξ) = 0 .
Provemos pela inducao que para cada k = 0, 1, . . . , n + 1 existe ξk ∈ (0, x] tal
que g(k)(ξk) = 0 . Base de inducao: pois g(x) = 0 , podemos tomar ξ0 = x .
Passo de inducao: se temos ξk ∈ (0, x) tal que g(k)(ξk) = 0 , onde 0 ≤ k ≤ n ,
lembramos que g(k)(0) = 0 e aplicamos o teorema do valor medio para a funcao
g(k)(·) para achar ξk+1 ∈ (0, ξk) tal que g(k+1)(ξk+1) = 0 . Afinal das contas temos
ξ = ξn+1 ∈ (0, x) tal que g(n+1)(ξ) = 0 . Fim da prova.
Podemos tambem considerar serie de Taylor:
f(x) =∞∑
k=0
xk
k!f (k)(0) . (13)
Teorema. XXX Se para cada M > 0 existe C(M) tal que |f (n)(x)| ≤ C(M)
para todos x ∈ [−M, M ] e n = 0, 1, 2, . . . , a serie de Taylor converge para cada
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x ∈ IR para o valor de funcao f(x) , i.e. a igualdade (13) e verdadeira para todos
x ∈ IR .
Exemplo. Provar convergencias de series de Taylor para sen (x) e cos(x) .
Contra-exemplo. Definimos uma funcao f(x) assim:
f(x) =
e−1/x2
se x 6= 0,0 se x = 0.
Provar que esta funcao tem todas derivadas na toda reta e que no ponto zero
todas suas derivadas sao iguais a zero. Logo sua serie de Tailor tem todos termos
iguais a zero e nao converge a funcao mesma. Por que o argumento acima nao e
verdadeiro neste caso?
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Leitura presente:
[Lima, vol. 1] Elon Lages Lima. Curso de analise. Vol. I. 7-a edicao. IMPA, 1992.
Codigo 515 L732c
[Lang, part I] Serge Lang. Analysis I. Addison-Wesley, 1968. Codigo 515 L271a
[HW] E. Hairer e G. Wanner. Analysis by Its History. Springer, 1996.
[Rudin.port] Walter Rudin. Princıpios de Analise Matematica. Rio de Janeiro, Ao
Livro Tecnico, 1971.
[Rudin.ingles] Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. Second Edition,
McGraw-Hill, 1964. Codigo 515 R916p
[Cohen] Ehrlich Cohen. The structure of the Real Numbers. N. Y. Van Nostrand,
1963.
[IP] V. A. Ilyin and E. G. Poznyak. Fundamentals of Mathematical Analysis. Mir
Publishers, Moscow, 1982. Codigo 515 I29f
Leitura futura:
[Lima, vol. 2] Elon Lages Lima. Curso de analise. Vol. II. 7-a edicao. IMPA, 1992.
Codigo 515 L732c
[Lang, part II] Serge Lang. Analysis II. Addison-Wesley, 1968. Codigo 515 L271a
[KF] Kolmogorov and Fomin.
[Ash] Robert B. Ash. Measure, Integration, and Functional Analysis. Academic
Press, New York and London, 1972.