Fiel Agebra Numeros Inteiros

8/20/2019 Fiel Agebra Numeros Inteiros

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Prof. Luiz Antonio de Carvalho

Conhecimentos Bancários -www.lacconcursos.com.br 1

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NÚMEROS INTEIROSNÚMEROS INTEIROSMATEMÁTICAMATEMÁTICA

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- Conjunto dos números Inteiros;- Propriedades;- Operações om Números Inteiros;

O !ue estudaremos na au"a de #oje$O !ue estudaremos na au"a de #oje$

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NÚMEROS INTEIROSNÚMEROS INTEIROS

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CON%&NTO 'OS NÚMEROS INTEIROSCON%&NTO 'OS NÚMEROS INTEIROS

Os números inteiros positivos foram os primeirostrabalhados pela humanidade e tinham comofinalidade contar objetos, animais, enfim, elementosdo contexto histórico no qual se encontravam.

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CON%&NTO 'OS NÚMEROS INTEIROSCON%&NTO 'OS NÚMEROS INTEIROS

O conjunto dos números inteiros envolve todosos números positivos e negativos, sendo

representado pela letra (.

()*+,-.,-/,-0,-1,-2,-3,-4,-5,6,5,4,3,2,1,0,/,.+7

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Su8onjuntos do onjunto (

I - Conjunto dos números inteiros e9"u:do o número ero<

(= ) *>>>, -2, -3, -4, -5, 5, 4, 3, 2,>>>7

II - Conjunto dos números inteiros n?o ne@atios<

(B ) *6, 5, 4, 3, 2,>>>7

III - Conjunto dos números inteiros n?o positios<

(- ) *>>>, -2, -3, -4, -5, 67


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Reta NumeradaUma forma de representar geometricamente o conjunto Z

construir uma reta numerada, considerar o número ! como aorigem e o número " em algum lugar, tomar a unidade demedida como a dist#ncia entre ! e " e por os númerosinteiros da seguinte maneira$

aseando-se ainda na reta numerada podemos aDirmar !uetodos os números inteiros possuem um e somente umanteessor e tam8m um e somente um suessor

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Ordem e simetria no conjunto ZO sucessor de um número inteiro o número que est%imediatamente & sua direita na reta 'em Z( e o antecessor onúmero que est% imediatamente & sua esquerda na reta 'em Z(.

► 4 anteessor de 3► -1 anteessor de -2► 6 anteessor de 5

EFEMPGO

► 3 suessor de 4► -2 suessor de -1► 5 suessor de 6

)odo número inteiro exceto o *ero, possui um elementodenominado simtrio ou oposto -* e ele caracteri*ado pelo fatogeomtrico que tanto omo - est+o & mesma dist#ncia daorigem do conjunto Z que !.

► B4 oposto de -4 ► -/ oposto de B/

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MHdu"o de um número Inteiro

O módulo ou valor absoluto de um número nteiro definidocomo sendo o maior valor 'm%ximo( entre um número e seuelemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duasbarras verticais . ssim$

aJ K6K ) 68J K.K ) .

J K-0K ) 0O8seraç?o< 'o ponto de ista @eomtrio, o mHdu"o de umnúmero inteiro orresponde L distnia deste número at aori@em eroJ na reta numria inteira>

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OPERAES COMNÚMEROS INTEIROS

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ADIÇÃO ( + )

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A'IO 'E NÚMEROS INTEIROS

A adiç?o a operaç?o !ue permite, a partir de um par denúmeros, determinar um outro número !ue a soma>

54; / J Q 54 B / ) 5

►54 e / #amam-se pare"as>

► 5 #ama-se soma>

pare"as

soma


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/0O/012213 2 245O

Na operaç?o adiç?o pode troar-se a ordem das pare"as!ue a soma n?o sea"tera>

E9emp"o<

55B54 ) 43

54 B55 ) 43

Propriedade Comutatia

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/0O/012213 2 245O

Propriedade Assoiatia

6a opera7+o adi7+o podemos agrupar as parcelas de maneiradiferente que a soma n+o se altera.

B 54J B / ) 45 B / ) 4.

B 54 B / J ) B 5 ) 4.

Usamos par8ntesis para indicar a opera7+o que se reali*aem primeiro lugar.

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/0O/012213 2 245O

Propriedade do E"emento Neutro

O Zero ' ! ( o elemento neutro da opera7+o adi7+o.

Ou seja, a soma de duas parcelas igual a uma delas se aoutra *ero.

6 B 56 ) 5654 B 6 ) 54

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/0O/012213 2 245O

Propriedade do E"emento Oposto

O elemento oposto de um número o número de mesmovalor absoluto, mas com sinal contr%rio.

Ou seja, a soma de dois números opostos, sempre ter% comoresultado *ero.

B / B -/J ) 6B 54 B -54J ) 6

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/0O/012213 2 245O

Propriedade de e#amento

a adi7+o de dois números inteiros d% como resultado umoutro número inteiro.

Observe, as parcelas s+o números inteiros e a soma tambm um número inteiro.

B B / ) B 50- B / ) - 4B / ) B 4- / ) - 50

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EFEMPGO 65

6uma adi7+o com duas parcelas, se somarmos 9 & primeiraparcela, e subtrairmos : da segunda parcela, o que ocorrer%com o total;

a( O total ser% igual a ":b( O total fica redu*ido de :c( O total fica acrescido de 9d( O total ser% de "<e( O total fica acrescido de


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SUBTRAÇÃO ( - )

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S&TRAO 'E NÚMEROS INTEIROS

56; 0 J Q 56 - 0 ) 2

►56 #ama-se minuendo>

►0 #ama-se su8traendo>

►2 #ama-se diDerença ou resto>

Minuendo

'iDerença

opera7+o subtra7+o a opera7+o inversa da opera7+o

adi7+oSu8traendo

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Identidade undamenta" da Su8traç?o

6uma subtra7+o, a soma do minuendo com o resto sempreigual ao subtraendo.

54 - 2 ) .

Temos que: Subtraendo + Resto = Minuendo

. B 2 ) 54

Minuendo

Resto

Su8traendo

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/0O/012213 2 3U=)045O

única propriedade presente na subtra7+o a defechamento, ou seja, a diferen7a entre dois números inteiros um número inteiro.

E9emp"o<

/ 3 ) 2-53 0 ) - 5

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Adições e su8trações om números inteiros

s adi7>es e subtra7>es envolvendo estes números, requerem autili*a7+o de regras matem%ticas envolvendo os sinais positivos '?(e negativos '@(.

Adiç?o e su8traç?o de números inteiros sem a presença deparUnteses>

5V propriedade

B 1 B 0 ) B55

- - 56 ) -5

sinais i@uais< soma e onsera o sina">

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4V propriedade

Adiç?o e su8traç?o de números inteiros sem a presença deparUnteses>

0 B 4 ) 2

B / ) B4

sinais diDerentes< su8trai e onsera o sina" do número demaior mHdu"o>


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Para e"iminarmos os parUnteses deemos rea"iar um jo@o desina", o8sere<B B J ) BB J ) B J ) J ) Bpós a elimina7+o dos par8nteses, basta aplicarmos a "A ou a BApropriedade.

B BJB 0JB 0

B 3

Adiç?o e su8traç?o de números inteiros om a presença de

parUnteses>

.J B0JB. 0

B4

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EFEMPGO 64

6uma subtra7+o, a soma do minuendo com o subtraendo e o

resto igual a BCD. Eual o valor do minuendo;

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MULTIPLICAÇÃO ( . )

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M&GTIPGICAO 'E NÚMEROS INTEIROS

A mu"tip"iaç?o funciona como uma Dorma simp"iDiada de umaadiç?o quando os números s+o repetidos, como por exemplo,ganhar " objeto por

►5 B 5 B 5 B >>> B 5 ) 5 9 36 ) 36

Aaso Dossem 4 o8jetos ter:amos<

► 4 B 4 B 4 B >>> B 4 ) 4 9 36 ) 06

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/ara multiplicar dois números nteiros temos de multiplicarseus valores absolutos atribuindo ao resultado o sinal dadopela regra do produto de números nteiros

.; / J Q . 9 / ) 10

► . e / #amam-se Datores>

► 10 #ama-se produto>

Datores

produto


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►Observamos que a multiplica7+o um caso particular da adi7+oonde os valores s+o repetidos.► 6a multiplica7+o o produto dos números a e b, pode serindicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre asletras.► /ara reali*ar a multiplica7+o de números inteiros, devemosobedecer & seguinte regra de sinais$

B5J × B5J ) B5JB5J × -5J) -5J-5J × B5J) -5J-5J × -5J ) B5J


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Com o uso das re@ras aima, podemos on"uir !ue<

SINAIS'OS NÚMEROS RES&GTA'O 'O PRO'&TO

IW&AIS B e B J ou - e - J POSITIXO

'IERENTES - e B J NEWATIXO

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PROPRIE'A'ES 'A M&GTIPGICAO

Na operaç?o mu"tip"iaç?o pode troar-se a ordem dosDatores !ue o resu"tado n?o se a"tera>

E9emp"o<

/ > . ) 10

. > / ) 10

Propriedade Comutatia

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Propriedade Assoiatia

Para todos a,8, em (<

a x ( b x c ) = ( a x b ) x c

2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7


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Propriedade do E"emento Neutro

1xiste " em Z, que multiplicado por todo * em Z, proporcionao próprio *, isto $

Ou seja, o produto de !ua"!uer a"or por 5, sempre terYomo resu"tado o prHprio a"or>

z x 1 = z

7 x 1 = 7

-2 F 5 ) -2


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Propriedade do 'istri8utia

Para todos a,b,c em Z:

Ou seja, a soma de dois números opostos, sempre ter% comoresultado *ero.

a 9 8 B J ) a 9 8 J B a 9 J

3 9 2 B 1 J ) 3 9 2 J B 3 9 1 J


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Propriedade de e#amento

O conjunto Z fechado para a multiplica7+o, isto , amultiplica7+o de dois números inteiros ainda um número inteiro.

B J 9 B /J ) B 03- 2J 9 - 1J ) B 46B 3J 9 0J ) - 5.



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EFEMPGO 63

Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por mês.

Quanto ela economizará em uma ano se ela trabalhar, em média, 23 dias pormês?

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DIVISÃO ( : )

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Para rea"iar a diis?o de números Inteiros, diidimos osa"ores a8so"utos e o"oamos o sina" positio ou ne@atioJse@uindo as mesmas re@ras usadas na mu"tip"iaç?o denúmeros Inteiros

.; 4 J Q . < 4 ) 2

► . #ama-se diidendo>

► 4 #ama-se diisor>

► 2 #ama-se !uoiente>

'IXI'EN'O

Z&OCIENTE

'IXISO 'E NÚMEROS INTEIROS

'IXISOR

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.J < 2J ) B 4 .J < B 2J ) 4B .J < 2J ) 4B .J < B 2J ) B 4

E9emp"o<

No aso da diis?o n?o ser e9ata, o !uoiente dei9a de serum número Inteiro>

'IXISO 'E NÚMEROS INTEIROS

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/ B 1 F 3 2 < -. B 0J )

Euando reali*amos opera7>es combinadas, devemos respeitar aprioridade de opera7>es em fun7+o das seguintes considera7>es$

[ Rea"iamos as operações indiadas entre parUnteses>[ Em se@uida, eDetuamos as mu"tip"iações e as diisões>[ Por ú"timo, rea"iamos as operações de adiç?o e su8traç?o>

E9emp"o$

Prioridade de Operações

/ B 1 F 3 2 < 4J )/ B 51 B 4 )

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42

6uma divis+o inteira, o divisor "B, o quociente : e o resto o maior possFvel. Eual o dividendo;

EFEMPGO 62


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