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Analise Matematica II C

2010/11 (2º semestre)

Lista de exercıcios 2 - Curvas e superfıcies de nıvel.Coordenadas polares, esfericas e cilındricas.

1. Esboce as superfıcies de nıvel para as seguintes funcoes:

(a)   f (x,y,z  ) = 3x − 2y − z , valor 4;

(b)   f (x,y,z  ) = x2 + y2 − z , valor 4;

(c)   f (x,y,z  ) = x + y

−2z , valores 1 e 5;

(d)   f (x,y,z  ) = x2 + 2y2 + 3z 2, valores 1 e 5.

2. Descreva as superfıcies de nıvel da funcao   f (x,y,z  ) =   x2 + y2 −  z 2.Em particular, pense na superfıcie  f (x,y,z  ) =  c  quando  c   e positivo,quando  c  e negativo e quando  c  e zero.

3. Descreva as curvas de nıvel   f (x, y) =   c  para cada uma das seguintesfuncoes. Em particular, estude valores de   c   para os quais as curvasde nıvel mudam de maneira pronunciada. Esboce as curvas para  c  =−1, 0, 1.

(a)   f (x, y) = x + 2y;

(b)   f (x, y) = x2 − y2;

(c)   f (x, y) = x2 + y2;

(d)   f (x, y) = xy;

(e)   f (x, y) = y − 2x2.

4. Seja  f (x, y) = 

4 − x2 − y2 + log(y).

(a) Determine o domınio  D  de  f.

(b) Represente o conjunto  D  em coordenadas polares.

5. Seja  f (x,y,z  ) =

 9 − x2 − y2 − z 2 

4 − x2 − y2+ log(y).

(a) Determine o domınio  D  de  f.

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(b) Represente o conjunto  D  em coordenadas cilındricas.

6. Escreva em coordenadas polares e represente geometricamente os con- juntos definidos pelas seguintes equacoes:

(a)   x2 + y2 > 1, x2 + y2 ≤ 4, x > 0, y ≥ 0;

(b) 0 < x2 + y2 ≤ 1, −√ 3 x ≤ y ≤√ 3

3  x.

7. Escreva em coordenadas cartesianas e represente geometricamente osconjuntos definidos em coordenadas polares por:

(a)   θ =   π

4;

(b)   π ≤ θ <   5π

3  e 1 < r ≤ 3.

8. Considere o solido em  R3 definido por

V   = {(x,y,z  ) ∈ R3 : 1 + x2 + y2 ≤ z  ≤ 5}.

Escreva o conjunto  V   em coordenadas cilındricas.

9. Escreva em coordenadas esfericas ou cilındricas os seguintes conjuntos:

(a) {(x,y,z  ) ∈ R3 : 1 ≤ x2 + y2 + z 2 < 2, z  ≥ 0, y ≥ 0, x > 0};

(b) {(x,y,z  ) ∈ R3 :   x2 + y2 = 4, −y ≤ x ≤ y};

(c) {(x,y,z  ) ∈ R3 :   z 2 ≤  x2 + y2

2  ,   0 < z < 2};

(d) {(x,y,z  ) ∈ R3 :   x2 + y2 ≤ 2,   0 < z < 8 − y}.

10. Represente geometricamente a regiao do espaco limitada pelos para-boloides   z   =   x2 +  y2 e   z   = 2 −  x2 −  y2.   Descreva essa regiao emcoordenadas cilındricas.

11. Considere o solido em  R3 definido por

V   = {(x,y,z  ) ∈ R3 :

 x2 + y2

3  ≤ z  ≤

 x2 + y2 ∧   x2 + y2 + z 2 ≤ 1}.

Escreva o conjunto  V   em coordenadas esfericas.

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12. Designe por   E   o solido em   R3 limitado pelo paraboloide de equacao

x2

+ y2

= 1 − z  e pela folha superior da superfıcie conica (z  + 1)2

=x2 + y2. Descreva o conjunto  E  em coordenadas cilındricas.

13. Escreva em coordenadas cartesianas e represente geometricamente osconjuntos definidos por:

(a)   ϕ =   3π

4 ;

(b) 0 ≤ ϕ ≤   π

6  e  ρ ≤ 3;

(c)   z  =  r;

(d)   θ =   π

6;

(e)   ρsen(ϕ) = 4.

14. Escreva em coordenadas esfericas a equacao do hiperboloide  x2 + y2 −z 2 = 4.

15. Represente geometricamente a regiao do espaco limitada pelas superfıciesz  = 1 −

 1 − x2 − y2 e  z  =

 x2 + y2.  Descreva essa regiao em coor-

denadas cilındricas.

16. Represente geometricamente a regiao do espaco limitada pelas superfıciesz  =  1 −

x2

−y2 e  z  =  x2 + y2.  Descreva essa regiao em coordena-

das esfericas.

17. Seja  f (x,y,z  ) =  1√ 

xy + log(z − x2 − y2) +

√ 3 − z.

(a) Determine o domınio  D  de  f.

(b) Represente o conjunto  D  em coordenadas cilındricas.

18. Descreva em coordenadas esfericas a regiao do espaco definida emcoordenadas cartesianas pelas seguintes inequacoes:

x2

+ y2

+ z 2

≤ 9,

z 2 ≥ x2 + y2.

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