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Analise Matematica II C

2010/11 (2º semestre)

Lista de exercıcios 2 - Curvas e superfıcies de nıvel.Coordenadas polares, esfericas e cilındricas.

1. Esboce as superfıcies de nıvel para as seguintes funcoes:

(a) f (x,y,z ) = 3x − 2y − z , valor 4;

(b) f (x,y,z ) = x2 + y2 − z , valor 4;

(c) f (x,y,z ) = x + y

−2z , valores 1 e 5;

(d) f (x,y,z ) = x2 + 2y2 + 3z 2, valores 1 e 5.

2. Descreva as superfıcies de nıvel da funcao f (x,y,z ) = x2 + y2 − z 2.Em particular, pense na superfıcie f (x,y,z ) = c quando c e positivo,quando c e negativo e quando c e zero.

3. Descreva as curvas de nıvel f (x, y) = c para cada uma das seguintesfuncoes. Em particular, estude valores de c para os quais as curvasde nıvel mudam de maneira pronunciada. Esboce as curvas para c =−1, 0, 1.

(a) f (x, y) = x + 2y;

(b) f (x, y) = x2 − y2;

(c) f (x, y) = x2 + y2;

(d) f (x, y) = xy;

(e) f (x, y) = y − 2x2.

4. Seja f (x, y) =

4 − x2 − y2 + log(y).

(a) Determine o domınio D de f.

(b) Represente o conjunto D em coordenadas polares.

5. Seja f (x,y,z ) =

9 − x2 − y2 − z 2

4 − x2 − y2+ log(y).


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(b) Represente o conjunto D em coordenadas cilındricas.

6. Escreva em coordenadas polares e represente geometricamente os conjuntos definidos pelas seguintes equacoes:

(a) x2 + y2 > 1, x2 + y2 ≤ 4, x > 0, y ≥ 0;

(b) 0 < x2 + y2 ≤ 1, −√ 3 x ≤ y ≤√ 3

3 x.

7. Escreva em coordenadas cartesianas e represente geometricamente osconjuntos definidos em coordenadas polares por:

(a) θ = π

4;

(b) π ≤ θ < 5π

3 e 1 < r ≤ 3.

8. Considere o solido em R3 definido por

V = {(x,y,z ) ∈ R3 : 1 + x2 + y2 ≤ z ≤ 5}.

Escreva o conjunto V em coordenadas cilındricas.

9. Escreva em coordenadas esfericas ou cilındricas os seguintes conjuntos:

(a) {(x,y,z ) ∈ R3 : 1 ≤ x2 + y2 + z 2 < 2, z ≥ 0, y ≥ 0, x > 0};

(b) {(x,y,z ) ∈ R3 : x2 + y2 = 4, −y ≤ x ≤ y};

(c) {(x,y,z ) ∈ R3 : z 2 ≤ x2 + y2

2 , 0 < z < 2};

(d) {(x,y,z ) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 2, 0 < z < 8 − y}.

10. Represente geometricamente a regiao do espaco limitada pelos para-boloides z = x2 + y2 e z = 2 − x2 − y2. Descreva essa regiao emcoordenadas cilındricas.

11. Considere o solido em R3 definido por

V = {(x,y,z ) ∈ R3 :

x2 + y2

3 ≤ z ≤

x2 + y2 ∧ x2 + y2 + z 2 ≤ 1}.

Escreva o conjunto V em coordenadas esfericas.

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12. Designe por E o solido em R3 limitado pelo paraboloide de equacao

x2

+ y2

= 1 − z e pela folha superior da superfıcie conica (z + 1)2

=x2 + y2. Descreva o conjunto E em coordenadas cilındricas.

13. Escreva em coordenadas cartesianas e represente geometricamente osconjuntos definidos por:

(a) ϕ = 3π

4 ;

(b) 0 ≤ ϕ ≤ π

6 e ρ ≤ 3;

(c) z = r;

(d) θ = π

6;

(e) ρsen(ϕ) = 4.

14. Escreva em coordenadas esfericas a equacao do hiperboloide x2 + y2 −z 2 = 4.

15. Represente geometricamente a regiao do espaco limitada pelas superfıciesz = 1 −

1 − x2 − y2 e z =

x2 + y2. Descreva essa regiao em coor-

denadas cilındricas.

16. Represente geometricamente a regiao do espaco limitada pelas superfıciesz = 1 −

x2

−y2 e z = x2 + y2. Descreva essa regiao em coordena-

das esfericas.

17. Seja f (x,y,z ) = 1√

xy + log(z − x2 − y2) +

√ 3 − z.


(b) Represente o conjunto D em coordenadas cilındricas.

18. Descreva em coordenadas esfericas a regiao do espaco definida emcoordenadas cartesianas pelas seguintes inequacoes:

x2

+ y2

+ z 2

≤ 9,

z 2 ≥ x2 + y2.

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