UniverzitetauBeogradu - University of Belgrade · 2017-04-26 · Gra evinskifakultet .06.2014. UniverzitetauBeogradu ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 2 Prezimeiime: Brojbodova: Brojindeksa:

Gra�evinski fakultet .06.2014.Univerziteta u Beogradu

ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 2

Prezime i ime: Broj bodova:

Broj indeksa:

Ovaj test sadr�i 10 pitaǌa, na koja je potrebno odgovoriti u predvi�enom pro-storu. Svako pitaǌe se vrednuje odre�enim brojem poena, koji je dat pored svakogpitaǌa. Neqitki i neuredni odgovori ne�e se vrednovati. Maksimalan broj poenana ovom testu je 50.

1. Definisati graniqnu vrednost (limes) funkcije dve promenǉive. (3 poena)

2. Data je funkcija f(x, y) = xy3. Na�i po definiciji ∂f∂y(−1, 2). (4 poena)

3. Lokalni ekstremumi funkcije dve promenǉive (definicije i formulacijeosnovnih teorema). (6 poena)

4. Definisati polupreqnik konvergencije stepenog reda∑∞

n=0 anxn. Dati pri-

mer stepenog reda koji konvergira: a) u svakoj taqki x ∈ R, b) samo u taqkix = 1, v) na intervalu [−1, 1). (5 poena)

5. Formulisati teoremu o diferenciraǌu stepenog reda. Da li se red∑∞

n=0 2nxn

mo�e diferencirati qlan po qlan na intervalu (−1, 1)? Obrazlo�iti odgo-vor.(4 poena)

6. Neka je S(x) suma Furijeovog reda funkcije f(x) =

{0, −π ≤ x ≤ 01

x+2, 0 < x ≤ π

na

intervalu [−π, π]. Qemu je jednako S(0)+S(π)? Obrazlo�iti odgovor. (4 poena)

7. Izvesti formule za koeficijente Furijeovog reda na [−π, π]. (5 poena)

8. Glavna normala i rektifikaciona ravan. (5 poena)

9. Izvesti Freneove formule. (7 poena)

10. Fleksija i torzija u opxtoj parametrizaciji. (7 poena)

Gra�evinski fakultet .06.2014.Univerziteta u Beogradu



Broj indeksa:






n=0 anxn. Dati pri-

mer stepenog reda koji konvergira: a) u svakoj taqki x ∈ R, b) samo u taqkix = 1, v) na intervalu [−1, 1). (5 poena)


n=0 2nxn

mo�e diferencirati qlan po qlan na intervalu (−1, 1)? Obrazlo�iti odgo-vor.(4 poena)


{0, −π ≤ x ≤ 01

x+2, 0 < x ≤ π

na


7. Izvesti formule za koeficijente Furijeovog reda na [−π, π]. (5 poena)

8. Glavna normala i rektifikaciona ravan. (5 poena)


10. Fleksija i torzija u opxtoj parametrizaciji. (7 poena)

Gra�evinski fakultet 3.2.2014.Univerziteta u Beogradu



Broj indeksa:


1. Parcijalni izvodi funkcija vixe promenǉivih. Primer: Neka je data funk-cija f(x, y) = x cos y. Odrediti po definiciji ∂f

∂y(1, π/3). (15 poena)

2. Dirihleova teorema za Furijeov red na [−π, π]. Primer: Ako je Φ(x) Furi-jeov red funkcije f(x) = 1

x+5na [−π, π], izraqunati Φ(π). (15 poena)

3. Prva Abelova teorema za stepene redove (sa dokazom). Dati primer stepenogreda koji konvergira: a) Samo u taqki x = −1. b) na segmentu [−2, 2]. (20 poena)




Broj indeksa:


1. Definisati pojam metriqkog prostora. Dati primer jedne metrike u pro-storu R3. (3 poena)

2. Hajneova definicija graniqne vrednosti funkcije vixe promenǉivih. Dali postoji lim

(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2? Obrazlo�iti odgovor. (5 poena)

3. Formulisati teoremu o izvodu slo�ene funkcije dve promenǉive. Ako jez = f(xy2, x+ y) odrediti zxy. (6 poena)

4. Definisati pojam ravnomerno konvergentnog funkcionalnog reda∑∞

n=1 fn.Dati primer jednog takvog reda. (5 poena)

5. Formulisati teoremu o integraciji stepenog reda. Da li se red∑∞

n=0 en+1xn

mo�e integraliti qlan po qlan na (−1, 1)? Obrazlo�iti odgovor. (4 poena)


{3, −π ≤ x ≤ 0

ex2, 0 < x ≤ π

na


7. Definisati ortonormirani sistem funkcija i dati jedan primer. (5 poena)

8. Prirodna parametrizacija krive. (6 poena)

9. Odrediti krivinu krive xyz = 1, z = 2x− y2 u taqki M(1, 1, 1). (6 poena)



ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 2 (Geodezija)


Broj indeksa:

Ovaj test sadr�i 10 pitaǌa, na koja je potrebno odgovoriti u pred-vi�enom prostoru. Svako pitaǌe se vrednuje odre�enim brojem poena,koji je dat pored svakog pitaǌa. Neqitki i neuredni odgovori ne�ese vrednovati. Maksimalan broj poena na ovom testu je 50.

1. Definisati pojam taqke nagomilavaǌa skupa S ⊂ R2. (3 poena)

2. Data je funkcija u = u(x, y, z). Definisati diferencijabilnost funkcije uu taqki (0, 1, 2). Dati primer funkcije koja zadovoǉava taj uslov. (4 poena)

3. Definisati pojam lokalnog maksimuma. Formulisati Fermaovu teoremu zafunkcije vixe promenǉivih. (6 poena)

4. Dat je funkcionalni niz (fn), n ∈ N. Definisati pojmove fn → f i fn ⇒ fna D. (5 poena)


n=0 an(x− 1)n. Datiprimer stepenog reda koji konvergira: a) samo u taqki x = 1, b) na intervalu(0, 2). (4 poena)

6. Razviti funkcije u stepeni red i napisati kada va�e ti razvoji. (6 poena)

x√3 + x

=

cos2 x =

7. S(x) je suma kosinusnog Furijeovog reda funkcije f(x) =

{2, −π ≤ x ≤ 11x, 1 < x ≤ π

na

intervalu [0, π]. Qemu je jednako S(π) + S(−1)? Obrazlo�iti odgovor. (6 poena)

8. Ortogonalan i ortonormiran sistem funkcija. Definisati Furijeov redza ortonormiran sistem funkcija fn, n ∈ N. (6 poena)

9. Definisati fleksiju i torziju krive. Zatim dati primere (u vektorskomobliku): 1. krive qija je fleksija jednaka nuli u svakoj taqki, 2. krive qija jetorzija jednaka nuli u svakoj taqki. (7 poena)

10. Napisati formule za prirodni triedar u opxtoj parametrizaciji.(3 poena)


ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 2 (Geodezija)


Broj indeksa:


1. Hajneova definicija graniqne vrednosti funkcije dve promenǉive. (3 poena)

2. Data je funkcija u = u(x, y, z, t). Definisati parcijalni izvod∂u

∂z(0, 1, 2, 0).

(3 poena) (3 poena)

3. Definisati slede�e pojmove; A: M(x0, y0) je stacionarna taqka funkcijef(x, y), B: M(x0, y0) je taqka lokalnog ekstremuma funkcije f(x, y). Da li jetaqna neka od implikacija A ⇒ B, B ⇒ A? Obrazlo�iti odgovor. (7 poena)

4. Dat je funkcionalni niz (fn), n ∈ N. Definisati pojmove fn → f i fn ⇒ fna D. (5 poena)


n=0 an(x + 1)n. Datiprimer stepenog reda koji konvergira: a) samo u taqki x = −1, b) na intervalu(−2, 0). (4 poena)


1

x2 − 3x + 2=

sin2 x =


{tg x, 0 ≤ x ≤ π

4

2, π4

< x ≤ πna


8. Ortogonalan i ortonormiran sistem funkcija. Definisati Furijeov redza ortonormiran sistem funkcija fn, n ∈ N. (6 poena)

9. Definisati fleksiju i torziju krive. Zatim dati primere (u vektorskomobliku): 1. krive qija je fleksija konstantna u svakoj taqki; 2. krive qija jetorzija jednaka nuli u svakoj taqki. (7 poena)

10. Napisati Freneove formule. (3 poena)




Broj indeksa:


1. Definisati pojam otvorenog i zatvorenog skupa u metriqkom prostoru.Dati primer jednog zatvorenog skupa u R2. (4 poena)

2. Data je funkcija u = xy2z3. Na�i po definiciji uy(1, 2,−1). (4 poena)

3. Formula za diferencijal n-tog reda dnz funkcije dve promenǉive z = z(x, y).Izvo�eǌe formule za sluqaj n = 3. (6 poena)

4. Druga Abelova teorema (formulacija). Da li je funkcija s(x) =∑∞

n=1(−1)n−1

nxn

neprekidna sleva u taqki x = 1? (5 poena)


n=0 4nx2n

mo�e integraliti qlan po qlan na intervalu (−1/2, 1/2)? Obrazlo�iti odgovor.(4 poena)

6. Razvoj funkcije u stepeni red. Izvesti razvoje za funkcije f(x) = arctg x ig(x) = 1

2+x. (4 poena)


{0, −π ≤ x ≤ 0

ex2, 0 < x ≤ π

na


8. Funkcija f(x) = sin 3x4razvijena je u sinusni Furijev red na [0, π]. Izraqu-

nati koeficijent b2. (6 poena)

9. Na�i prirodnu parametrizaciju kru�nice x2 + y2 = a2. (6 poena)

10. Krivina krive u ravni. (6 poena)




Broj indeksa:


1. Definisati pojam metriqkog prostora. Dati jedan primer. (5 poena)

2. Koriste�i se Hajneovom definicijom graniqne vrednosti funkcije dve pro-

menǉive ispitati postojaǌe limesa lim(x,y)→(0,0)

y2

x2 + y2. (5 poena)

3. Formulisati Fermaovu teoremu za funkcije vixe promenǉivih. (4 poena)

4. Druga Abelova teorema (formulacija). Da li je funkcija s(x) =∞∑n=1

(−1)n

n√nxn

neprekidna zdesna u taqki x = −1? (4 poena) (5 poena)

5. Formulisati Vajerxtrasovu teoremu o unifomnoj konvergenciji funkcio-nalnog reda. Ispitati uniformnu konvergenciju reda

∑∞n=1

cosnxn5 koriste�i ovu

teoremu. (6 poena)


x

2x2 + 3x+ 1=

sin2 2x =


{tg x, 0 ≤ x ≤ π

3

1, π3< x ≤ π

na

intervalu [0, π]. Qemu je jednako S(−π3) + S(π) + S(−1)? Obrazlo�iti odgovor.

(6 poena)

8. Formulisati Dirihleovu teoremu za sinusni Furijev red na intervalu [0, 5].(4 poena)

9. Na�i prirodnu parametrizaciju kru�nice x2 + y2 = a2. (6 poena)

10. Napisati Freneove formule. (3 poena)




Broj indeksa:


1. Bolcano-Vajerxtrasova teorema (iskaz). (4 poena)

2. Data je funkcija u = xyz. Na�i po definiciji uy(e2, 2, 3). (4 poena)

3. Napisati Tejlorov polinom tre�eg stepena za funkciju f(x, y) = ex cos y uokolini taqke (0, 0). (6 poena)

4. Definisati polupreqnik konvergencije stepenog reda. Dati primer stepe-nog reda qiji je polupreqnik konvergencije jednak π. (4 poena)


n=0x4n

4n

mo�e diferencirati qlan po qlan na intervalu (−2, 2)? Obrazlo�iti odgovor.(4 poena)

6. Razviti funkcije f(x) = ch2x i g(x) = x3+x

u stepeni red. Kada va�e dobijenirazvoji? (6 poena)


{−1, −π ≤ x ≤ 1

ex2, 1 < x ≤ π

na

intervalu [−π, π]. Qemu je jednako S(π)−S(1)? Obrazlo�iti odgovor. (6 poena)

8. Funkcija f(x) = e−x razvijena je u sinusni Furijev red na [0, 1]. Izraqunatikoeficijent b2. (6 poena)

9. Definisati fleksiju i torziju krive. Napisati zatim formule za fleksijui torziju ako je kriva data u opxtoj parametrizaciji. (6 poena)

10. Krivina krive u ravni. (4 poena)

GRA�EVINSKI FAKULTET 10.2.2014.UNIVERZITETA U BEOGRADU

MATEMATIKA 2 (Geodezija)

1. Funkcija z = z(x, y) implicitno je zadata relacijom x = zf(yz ), gde je f diferen-cijabilna funkcija. Proveriti da li z zadovoǉava jednaqinu

x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= z.

2. Funkciju f(x) = x2 arctg x razviti u stepeni red i ispitati ǌegovu konvergenciju.Zatim na�i sumu numeriqkog reda

∞∑n=0

(−1)n

4n(2n+ 1).

3. Odrediti taqke prodora krive C : y = 2x2, z = x2 kroz ravan x − 2y + z = 0 iodrediti jednaqine oskulatornih ravni krive u tim taqkama.

4. Funkciju f(x) = | cosx|+cosx razviti u Furijeov red. Zatim na�i sumu∞∑n=1

(−1)n

4n2 − 1.



1. Funkcija z = z(x, y) implicitno je zadata relacijom x = zf(yz ), gde je f diferen-cijabilna funkcija. Proveriti da li z zadovoǉava jednaqinu

x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= z.

2. Funkciju f(x) = x2 arctg x razviti u stepeni red i ispitati ǌegovu konvergenciju.Zatim na�i sumu numeriqkog reda

∞∑n=0

(−1)n

4n(2n+ 1).

3. Odrediti taqke prodora krive C : y = 2x2, z = x2 kroz ravan x − 2y + z = 0 iodrediti jednaqine oskulatornih ravni krive u tim taqkama.

4. Funkciju f(x) = | cosx|+cosx razviti u Furijeov red. Zatim na�i sumu∞∑n=1

(−1)n

4n2 − 1.



1. Data je diferencijabilna funkcija u = u(x, y), gde je x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ.Izraqunati vrednost izraza:

x∂u

∂y− y

∂u

∂x.

2. Funkciju f(x) = x− x2

2razviti u sinusni Furijeov red na segmentu [0, 2]. Nacr-

tati grafik ovog reda i utvrditi taqnu vezu funkcije i reda na [0, 2]. Primenom

dobijenih rezultata sumirati red∞∑

k=0

(−1)k

(2k+1)3.

3. Kriva c data je svojom parametrizacijom−→r = −→r (t) = (1 + cos t, sin t, 2 + 2 cos t) , t ∈ [0, 2π].

Odrediti taqke na krivoj u kojima glavna normala seqe osu Oy.

4. Na�i oblast konvergencije i sumu stepenog reda∞∑

n=0

n + 3n

(2n)!!xn .



1. Data je diferencijabilna funkcija u = u(x, y), gde je x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ.Izraqunati vrednost izraza:

x∂u

∂y− y

∂u

∂x.

2. Funkciju f(x) = x− x2

2razviti u sinusni Furijeov red na segmentu [0, 2]. Nacr-

tati grafik ovog reda i utvrditi taqnu vezu funkcije i reda na [0, 2]. Primenom

dobijenih rezultata sumirati red∞∑

k=0

(−1)k

(2k+1)3.

3. Kriva c data je svojom parametrizacijom−→r = −→r (t) = (1 + cos t, sin t, 2 + 2 cos t) , t ∈ [0, 2π].


4. Na�i oblast konvergencije i sumu stepenog reda∞∑

n=0

n + 3n

(2n)!!xn .



1. Na�i lokalne ekstremume funkcije u = cosx cos y cos z pod uslovom x+ y + z = π/2,ako su x, y, z > 0.

2. Ispitati konvergenciju stepenog reda∞∑n=1

(−1)n+1x3n+1

(3n+ 1)pu zavisnosti od realnog

parametra p. Sumirati red za p = 1.

3. Kriva c data je svojom parametrizacijom

−→r = −→r (t) =(1 + cos t, sin t, 2 sin

t

2

), t ∈ [−2π, 2π].

Na�i jednaqine dveju povrxi kojima pripada kriva c. Napisati jednaqine osa ijednaqine ravni prirodnog triedra krive c u taqki (2, 0, 0).

4. Funkciju f(x) = chx razviti u Furijeov red na [−π, π] i nacrtati ǌegov grafik.

Zatim na�i sume S1 =

∞∑n=1

1

1 + n2, S2 =

∞∑n=1

(−1)n

1 + n2.



1. Na�i lokalne ekstremume funkcije u = cosx cos y cos z pod uslovom x+ y + z = π/2,ako su x, y, z > 0.


(−1)n+1x3n+1

(3n+ 1)pu zavisnosti od realnog

parametra p. Sumirati red za p = 1.


−→r = −→r (t) =(1 + cos t, sin t, 2 sin

t

2

), t ∈ [−2π, 2π].

Na�i jednaqine dveju povrxi kojima pripada kriva c. Napisati jednaqine osa ijednaqine ravni prirodnog triedra krive c u taqki (2, 0, 0).

4. Funkciju f(x) = chx razviti u Furijeov red na [−π, π] i nacrtati ǌegov grafik.

Zatim na�i sume S1 =

∞∑n=1

1

1 + n2, S2 =

∞∑n=1

(−1)n

1 + n2.



1. Na�i lokalne ekstremume funkcije u = xy2z3, ako je x + 2y + 3z = 12 (x, y, z > 0).

2. Ispitati konvergenciju i na�i sumu stepenog reda∞∑

n=1

(−1)n−1x2n−2

2n− 1.

3. Kriva C data je parametrizacijom −→r = (3 cos 2t, 3 sin 2t, 4t), t ∈ R. Dokazati dasu fleksija i torzija krive C konstantne veliqine. Napisati jednaqinu jednepovrxi kojoj pripada data kriva.

4. Funkciju f(x) = | cos x| − 1 razviti u Furijeov red. Zatim na�i sumu∞∑

n=1

(−1)n

4n2 − 1.



1. Na�i lokalne ekstremume funkcije u = xy2z3, ako je x + 2y + 3z = 12 (x, y, z > 0).

2. Ispitati konvergenciju i na�i sumu stepenog reda∞∑

n=1

(−1)n−1x2n−2

2n− 1.

3. Kriva C data je parametrizacijom −→r = (3 cos 2t, 3 sin 2t, 4t), t ∈ R. Dokazati dasu fleksija i torzija krive C konstantne veliqine. Napisati jednaqinu jednepovrxi kojoj pripada data kriva.

4. Funkciju f(x) = | cos x| − 1 razviti u Furijeov red. Zatim na�i sumu∞∑

n=1

(−1)n

4n2 − 1.



1. Na�i maksimalnu zapreminu pravouglog paralelepipeda date povrxine P .


2n + np

n!xn u zavisnosti od realnog

parametra p. Zatim sumirati red za p = 0 i p = 1.

3. Kriva C data je svojom parametrizacijom

−→r = (cos3 t, sin3 t, cos 2t), t ∈ [0, 2π].

Na�i du�inu krive C i taqke u kojima ona nije regularna. Odrediti zatim flek-siju krive u regularnim taqkama.

4. Funkciju f(x) = x2 + x|x| razviti u Furijeov red na [−π, π]. Zatim sumirati

redove∞∑n=1

1

n2,

∞∑n=1

(−1)n

n2.



1. Na�i maksimalnu zapreminu pravouglog paralelepipeda date povrxine P .


2n + np

n!xn u zavisnosti od realnog

parametra p. Zatim sumirati red za p = 0 i p = 1.

3. Kriva C data je svojom parametrizacijom

−→r = (cos3 t, sin3 t, cos 2t), t ∈ [0, 2π].

Na�i du�inu krive C i taqke u kojima ona nije regularna. Odrediti zatim flek-siju krive u regularnim taqkama.

4. Funkciju f(x) = x2 + x|x| razviti u Furijeov red na [−π, π]. Zatim sumirati

redove∞∑n=1

1

n2,

∞∑n=1

(−1)n

n2.



1. Na�i lokalne ekstremume funkcije u(x, y, z) = z +y2

4z+x2

y+

2

x, x, y, z > 0.

2. Ispitati konvergenciju i na�i sumu stepenog reda∞∑n=1

(−1)n+1x2n+1

4n2 − 1.

3. Data je kriva

−→r (u) = (a(cosu+ sinu), a(sinu− cosu), be−u), a2 + b2 6= 0.

Dokazati da sve tangente date krive seku ravan Oxy po krugu x2 + y2 = 4a2, z = 0.Za koje vrednosti parametara a i b �e data kriva biti ravna?

4. Funkciju f(x) = πx− x2 razviti u kosinusni Furijeov red na [0, π]. Zatim na�i

sume S1 =∞∑n=1

1

n2, S2 =

∞∑n=1

(−1)n

n2.



1. Na�i lokalne ekstremume funkcije u(x, y, z) = z +y2

4z+x2

y+

2

x, x, y, z > 0.


(−1)n+1x2n+1

4n2 − 1.

3. Data je kriva

−→r (u) = (a(cosu+ sinu), a(sinu− cosu), be−u), a2 + b2 6= 0.

Dokazati da sve tangente date krive seku ravan Oxy po krugu x2 + y2 = 4a2, z = 0.Za koje vrednosti parametara a i b �e data kriva biti ravna?

4. Funkciju f(x) = πx− x2 razviti u kosinusni Furijeov red na [0, π]. Zatim na�i

sume S1 =∞∑n=1

1

n2, S2 =

∞∑n=1

(−1)n

n2.



1. Na�i lokalne ekstremume funkcije z(x, y) = xy ln(x2 + y2).


x2n−1

(2n− 1)!.

3. Odrediti ravni prirodnog triedra i fleksiju krive xyz = 1, z = 2x− y2 u taqkiM(1, 1, 1).4. Funkciju f(x) = | cosαx|, α /∈ Z razviti u Furijeov red. Zatim na�i sumu∞∑n=1

1

4n2 − 1.



1. Na�i lokalne ekstremume funkcije z(x, y) = xy ln(x2 + y2).


x2n−1

(2n− 1)!.

3. Odrediti ravni prirodnog triedra i fleksiju krive xyz = 1, z = 2x− y2 u taqkiM(1, 1, 1).

4. Funkciju f(x) = | cosαx|, α /∈ Z razviti u Furijeov red. Zatim na�i sumu∞∑n=1

1

4n2 − 1.



1. Na�i lokalne ekstremume funkcije u(x, y, z) = x2 + y2 + z2 pod uslovima z − y = 1,x− yz = 1.

2. Razviti u stepeni red funkciju f(x) = x arcsinx. Kada va�i dobijeni razvoj?


−→r = −→r (t) = (1 + cos t, sin t, 2 + 2 cos t) , t ∈ [0, 2π].


4. Razviti funkciju f(x) = x − 2x2 u kosinusni Furijeov red na [0, 1] i nacrtati

ǌegov grafik. Zatim na�i sume S1 =∞∑

n=1

1n2, S2 =

∞∑

n=1

(−1)n

n2.



1. Na�i lokalne ekstremume funkcije u(x, y, z) = x2 + y2 + z2 pod uslovima z − y = 1,x− yz = 1.

2. Razviti u stepeni red funkciju f(x) = x arcsinx. Kada va�i dobijeni razvoj?


−→r = −→r (t) = (1 + cos t, sin t, 2 + 2 cos t) , t ∈ [0, 2π].


4. Razviti funkciju f(x) = x − 2x2 u kosinusni Furijeov red na [0, 1] i nacrtati

ǌegov grafik. Zatim na�i sume S1 =∞∑

n=1

1n2, S2 =

∞∑

n=1

(−1)n

n2.

Gra�evinski fakultet Univerziteta u Beogradu 27.6.2015.


Prezime i ime: Broj indeksa:

1. Definisati diferencijabilnost funkcije u = u(x, y, z) u taqki (0, 1, 2).

2. Definisati slede�e pojmove; A: M(x0, y0, z0) je stacionarna taqka funkcijeu(x, y, z), B: M(x0, y0, z0) je taqka lokalnog ekstremuma funkcije u(x, y, z). Da lije taqna neka od implikacija A ⇒ B, B ⇒ A? Obrazlo�iti odgovor.

3. Dat je funkcionalni niz (fn), n ∈ N. Definisati pojmove fn → f i fn ⇒ f naD. Da li red

∑∞n=0

xn

n!uniformno konvergira na [−2, 2]?

4. Dirihleova teorema za kosinusni Furijeov red funkcije f na segmentu [0, l].

5. Formulisati Liuvilovu teoremu (bez izvo�eǌa).

6. Smena promenǉivih, cilindriqne i sferne koordinate u trojnom integralu.Parametrizovati telo T (deo konusa) odre�eno nejednakostima

√x2 + y2 ≤ z ≤ 1

uvode�i a) cilindriqne koordinate b) sferne koordinate.




Broj indeksa:






n=0 anxn. Dati pri-

mer stepenog reda koji konvergira: a) u svakoj taqki x ∈ R, b) samo u taqkix = 0, v) na intervalu (−1, 1). (5 poena)


n=0 2nxn

mo�e diferencirati qlan po qlan na intervalu (−1, 1)? (4 poena)


{0, −π ≤ x ≤ 01

x+2, 0 < x ≤ π

na


7. Definisati rexeǌe diferencijalne jednaqine y′ = f(x, y). Da li je funkcijay = x2 opxte rexeǌe diferencijalne jednaqine xy′ − 2y = 0? (3 poena)

8. Definisati pojam linearne nezavisnosti funkcija i determinantu Vronskog.Formulisati teoremu koja povezuje ova dva pojma. Dati primer dve linearnozavisne i dve linearno nezavisne funkcije. (5 poena)

9. Definisati povrxinski integral druge vrste, kao i pojmove i oznake kojese pojavǉuju u toj definiciji. (7 poena)

10. Grinova formula–formulacija teoreme i dokaz. (7 poena)




Broj indeksa:


1. Hajneova definicija graniqne vrednosti (limesa) funkcije dve promenǉive.

Da li postoji lim(x,y)→(0,0)

x2

x2 + y2? Obrazlo�iti odgovor. (5 poena)

2. Da li je egzistencija parcijalnih izvoda funkcije f(x, y) u taqkiM dovoǉanuslov za diferencijabilnost funkcije u toj taqki? Obrazlo�iti. (3 poena)

3. Formula za diferencijal n-tog reda dnz funkcije dve promenǉive z = z(x, y).Izvo�eǌe formule za sluqaj n = 3. (5 poena)


n=1(−1)n−1

nxn

neprekidna sleva u taqki x = 1? (5 poena)


n=0 4nx2n

mo�e integraliti qlan po qlan na intervalu (−1/2, 1/2)? (4 poena)


{0, −π ≤ x ≤ 0

ex2, 0 < x ≤ π

na


7. Linearna diferencijalna jednaqina prvog reda. Izvo�eǌe formule za ǌenoopxte rexeǌe. (5 poena)

8. Neka je L[y] = y′′ + p1(x)y′ + p2(x)y i neka su y1(x) i y2(x) linearno nezavisna

rexeǌa homogene linearne diferencijalne jednaqine L[y] = 0. Opisati postu-pak rexavaǌa diferencijalne jednaqine L[y] = arctg x. (3 poena)

9. Definisati povrxinski integral prve vrste, kao i pojmove i oznake koje sepojavǉuju u toj definiciji. (7 poena)

10. Formula Gausa - Ostrogradskog (formulacija). Ilustrovati na primeru∫∫Sxdydz + zdxdy, gde je S spoǉna strana sfere x2 + y2 + z2 = 2z. (7 poena)




Broj indeksa:


1. Hajneova definicija graniqne vrednosti funkcije dve promenǉive. (3 poena)

2. Formulisati teoremu koja daje potreban i dovoǉan uslov za diferencija-bilnost funkcije vixe promenǉivih u datoj taqki. (3 poena)

3. Definisati slede�e pojmove; A: M(x0, y0) je stacionarna taqka funkcijef(x, y), B: M(x0, y0) je taqka lokalnog ekstremuma funkcije f(x, y). Da li jetaqna neka od implikacija A ⇒ B, B ⇒ A? Obrazlo�iti odgovor. (6 poena)


n=0 πn+1xn

mo�e integraliti qlan po qlan na (−1/2, 1/2)? Obrazlo�iti odgovor. (4 poena)

5. Dat je funkcionalni niz (fn), n ∈ N. Definisati pojmove fn → f i fn ⇒ f naD. (4 poena)


{tg x, 0 ≤ x ≤ π

4

2, π4

< x ≤ πna


7. Definisati pojam rexeǌa diferencijalne jednaqine y′ = f(x, y). Da li jefunkcija y = ln x opxte rexeǌe diferencijalne jednaqine xy′ = 1? (4 poena)

8. Liuvilova formula. Formulacija i dokaz. (7 poena)

9. Definisati trojni integral, kao i pojmove i oznake koje se pojavǉuju u tojdefiniciji. (7 poena)

10. Zapremina sfere x2 +y2 +z2 = z primenom trojnog integrala. Uvesti sfernekoordinate. (6 poena)




Broj indeksa:


1. Koriste�i se Hajneovom definicijom graniqne vrednosti funkcije dve pro-

menǉive ispitati postojaǌe limesa lim(x,y)→(0,0)

y2

x2 + y2. (4 poena)

2. Data je funkcija u = xyz. Na�i po definiciji uy(e2, 2, 3). (4 poena)

3. Formulisati Fermaovu teoremu za funkcije vixe promenǉivih. (3 poena)

4. Formulisati Vajerxtrasovu teoremu o unifomnoj konvergenciji funkcio-nalnog reda. Ispitati uniformnu konvergenciju reda

∑∞n=1

sinnxn3 koriste�i ovu

teoremu. (5 poena)


n=1(−1)n

n2+1xn

neprekidna zdesna u taqki x = −1? (4 poena)


{tg x, 0 ≤ x ≤ π

3

1, π3< x ≤ π

na

intervalu [0, π]. Qemu je jednako S(−π3) + S(π) + S(−1)? Obrazlo�iti odgovor.

(6 poena)

7. Formulisati pojam linearne nezavisnosti funkcija y1(x), y2(x), y3(x) naintervalu (0, 1). Dati karakterizaciju linearne nezavisnosti ovih funkcijapreko Vronskijana. (4 poena)


9. Cilindriqne i sferne koordinate u trojnom integralu. Parametrizovatitelo T (deo konusa) odre�eno nejednakostima

√x2 + y2 ≤ z ≤ 1 uvode�i a) ci-

lindriqne; b) sferne koordinate. (8 poena)

10. Povrxina sfere x2 + y2 + z2 = R2 primenom dvojnog integrala. (5 poena)




Broj indeksa:


1. Data je funkcija u = u(x, y, z). Definisati parcijalni izvod∂u

∂z. (3 poena)

2. Data je funkcija u = u(x, y, z). Definisati diferencijabilnost funkcije u utaqki (0, 1, 2). Dati primer jedne funkcije koja zadovoǉava taj uslov. (4 poena)

3. Napisati Tejlorov polinom tre�eg stepena za funkciju f(x, y) = ex cos y uokolini taqke (0, 0). (4 poena)


n=0 an(x − 1)n. Datiprimer stepenog reda koji konvergira: a) samo u taqki x = 1, b) na intervalu(0, 2). (4 poena)


x

3 + x=

sh x =


{2, −π ≤ x ≤ 11x, 1 < x ≤ π

na


7. Formulisati Koxijevu teoremu o egzistenciji i jedinstvenosti rexeǌadiferencijalne jednaqine prvog reda. (4 poena)


9. Definisati krivolinijski integral druge vrste, kao i pojmove i oznake kojese pojavǉuju u toj definiciji. (7 poena)

10. Zapremina sfere x2 +y2 +z2 = z primenom trojnog integrala. Uvesti sfernekoordinate. (7 poena)


ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIQKE ANALIZE 2


Ovaj test sadr�i 6 pitaǌa na koja je potrebno odgovoriti u predvi�enom pro-storu. Svako pitaǌe vredi 2 poena. Kandidati sa 6 i vixe poena bi�e pozvani nausmeni deo ispita. Neqitki i neuredni odgovori ne�e se vrednovati.

1. Data je funkcija f(x, y, z) = y sin(x− z). Na�i po definiciji ∂f∂z(π, 2, 2π

3).

2. Formulisati drugu Abelovu teoremu. Da li je∑∞

n=1(−1)n

1+n2 xn neprekidna u

taqki x = 1? Obrazlo�iti odgovor.

3. Izvesti Maklorenove razvoje za funkcije f(x) = cosx i g(x) = sinx. Da li sedobijeni redovi mogu integraliti qlan po qlan na (−3, 2)? Obrazlo�iti.

4. Dirihleova teorema za kosinusni Furijeov red funkcije f na segmentu [0, 5].

5. Formulisati Koxijev (poqetni) problem za diferencijalnu jednaqinu prvogreda. Kada poqetni problem ima rexeǌe?

6. Na�i zapreminu konusa√x2 + y2 ≤ z ≤ 1 koriste�i cilindriqne koordinate.





1. Data je funkcija f(x, y) = y cos(x− y). Na�i po definiciji ∂f∂y(π6, π3).


n=1 an(x− 1)n.

3. Maklorenovi razvoji za funkcije f(x) = xex2/2 i g(x) =

x

2 + x. Da li se dobi-

jeni redovi mogu diferencirati qlan po qlan na (0, 13)? Obrazlo�iti odgovor.

4. Dirihleova teorema za sinusni Furijeov red funkcije f na segmentu [0, 2].

5. Formulisati Liuvilovu formulu.

6. Formulisati teoremu o smeni promenǉivih u dvojnom integralu.





1. Data je funkcija f = f(x1, x2, x3, x4, x5). Definisati ∂f∂x4

(1, 2, 3, 4, 5).

2. Stepeni red∑∞

n=0 anxn konvergira u taqki x = 2. Da li red konvergira u

taqki x = 1? Obrazlo�iti odgovor navode�i odgovaraju�u teoremu.

3. Izvesti Maklorenove razvoje za funkcije f(x) = cos x i g(x) = sin x. Da li sedobijeni redovi mogu diferencirati qlan po qlan na (−2, 2)? Obrazlo�iti.

4. Data je funkcija f(x) = sgnx. Ako je Φ(x) Furijeov red funkcije f nasegmentu [−π, π], odrediti zbir koeficijenata a1 + b1.

5. Formulisati pojam linearne nezavisnosti funkcija i determinantu Vron-skog. U kakvoj vezi su ovi pojmovi?

6. Formulisati teoremu Gaus-Ostrogradskog. Da li se ova formula mo�eprimeniti na integral

∫∫S

dxdyz

, gde je S spoǉna strana sfere x2 + y2 + z2 = 1?





1. Hajneova definicija graniqne vrednosti funkcije dve promenǉive.

2. Formulisati Vajerxtrasovu teoremu o konvergenciji funkcionalnog reda.Koriste�i se ovom teoremom ispitati konvergenciju reda

∑∞n=1

arctgnxn 3√n

.

3. Maklorenov razvoj za funkciju f(x) = x sh 2x. Da li se dobijeni red mo�ediferencirati qlan po qlan na (−1, 2)? Obrazlo�iti odgovor.

4. Napisati formule za koeficijente Furijeovog reda na intervalu (−1, 4).


6. Izvesti formulu za Jakobijan kod sfernih koordinata.




1. Definisati diferencijabilnost funkcije z = f(x, y) u taqki (0, 1).

2. Formulisati Vajerxtrasovu teoremu o konvergenciji funkcionalnog reda.Koriste�i se ovom teoremom ispitati konvergenciju reda

∑∞n=1

arctgnx1+n2 .

3. Maklorenovi (tabliqni) razvoji za funkcije f(x) = cos x i g(x) =√1 + x.

Da li se neki od dobijenih redova mo�e diferencirati qlan po qlan na R?Obrazlo�iti odgovor.


5. Napisati opxti oblik linearne diferencijalne jednaqine prvog reda iformulu za ǌeno opxte rexeǌe (bez izvo�eǌa).

6. Formulisati Stoksovu formulu.

7∗. Formulisati poqetni (Koxijev) problem za diferencijalnu jednaqinu tre�egreda.

Napomena: Pitaǌe 7∗ slu�i za zamenu. Ukoliko se radi ovo pitaǌe obavezno napisati koji sezadatak meǌa.




1. Data je funkcija u = u(x, y, z). Definisati parcijalni izvod∂u

∂z(1, 0, 2).

2. Formulisati Fermaovu teoremu za funkcije vixe promenǉivih.

3. Formulisati teoremu o integraciji stepenog reda.

4. Definisati Furijeov red funkcije f za dati ortonormiran sistem funkcija{φn | n ∈ N}. Xta su koeficijenti ovog reda?

5. Liuvilova formula (formulacija).

6. Sferne koordinate u trojnom integralu. Na�i zapreminu tela definisanognejednakox�u x2 + 2y2 + 3z2 ≤ 6 koriste�i uopxtene sferne koordinate.




1. Definisati parcijalni izvod ∂u∂y

funkcije u = u(x, y, z) u taqki (0, 1, 3).

2. Definisati oblast konvergencije funkcionalnog reda∑∞

n=0 fn. Kada ovaj redravnomerno (uniformno) konvergira na R? Dati primer jednog takvog reda.

3. Maklorenovi (tabliqni) razvoji za funkcije f(x) = ln(1+x) i g(x) = 3√1− 3x.

Da li se neki od dobijenih redova mo�e integraliti qlan po qlan na [0, 12]?

Obrazlo�iti odgovor.

4. Dirihleova teorema za sinusni Furijeov red funkcije f na segmentu [0, l].

5. Napisati opxti oblik Bernulijeve diferencijalne jednaqine. Dati primerjedne Bernulijeve jednaqine qije je partikularno rexeǌe yp = 1.

6. Formulisati Grinovu formulu.

7∗. Orijentacija povrxi u prostoru.





1. Definisati pojam metriqkog prostora.

2. Na�i po definiciji parcijalni izvod zy funkcije z(x, y) = exy2u taqki (1, 2).

3. Formulisati prvu Abelovu teoremu.

4. Dirihleova teorema za Furijeov red funkcije f na segmentu [−π, π].

5. Na�i ono rexeǌe diferencijalne jednaqine y′ tg x − y = 0 koje zadovoǉavauslov y(π/2) = 1.

6. Formulisati Grinovu formulu.

7∗. Izraqunati Jakobijan za sferne koordinate.





1. Definisati parcijalni izvod ∂z∂y

funkcije z = z(x, y) u taqki (−1, 3).

2. Formulisati Fermaovu teoremu za funkcije vixe promenǉivih.

3. Napisati Maklorenove razvoje za funkcije f(x) = cos 2x i g(x) =√

1− x. Dali se neki od dobijenih redova mo�e diferencirati qlan po qlan na (0, 1

2)?

Obrazlo�iti odgovor.



6. Formulisati Stoksovu formulu.

7∗. Smena promenǉivih u dvojnom integralu.





1. Koxijeva definicija graniqne vrednosti funkcije vixe promenǉivih.

2. Formulisati teoremu koja daje potreban i dovoǉan uslov za diferencija-bilnost funkcije vixe promenǉivih.

3. Napisati Maklorenove razvoje za funkcije f(x) = sh 2x i g(x) =1

3√

1− x2. Da

li se neki od dobijenih redova mo�e integraliti qlan po qlan na intervalu(0, 2)? Obrazlo�iti odgovor.

4. Kada ka�emo da je sistem funkcija f1, f2, . . . ortonormiran?

5. Definisati determinantu Vronskog. Formulisati teoremu koja daje vezuizme�u linearne nezavisnosti funkcija i ove determinante.

6. Formulisati teoremu Gausa Ostrogradskog.

7∗. Formulisati Koxijev (poqetni) problem za diferencijalnu jednaqinu petogreda.



Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1


1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev.

2. Dat je red∑∞

n=1 an, gde je an > 0.

• Navesti potreban uslov za konvergenciju reda∑∞

n=1 an. Dati primer redakoji divergira zbog neispuǌenosti ovog uslova, kao i primer divergentnogreda koji ispuǌava ovaj uslov.

• Navesti jedan dovoǉan uslov za konvergenciju reda∑∞

n=1 an. Datiprimer reda koji konvergira zbog ispuǌenosti ovog uslova.

3. Napisati xta po definiciji znaqi limx→−∞

f(x) = +∞.

4. Formulisati Bolcano - Koxijevu teoremu o neprekidnim funkcijama.

5. Data je funkcija f(x) =1

1 + x. Na�i f (n)(0) koriste�i Maklorenov polinom.

6. Definisati primitivnu funkciju funkcije f na intervalu (0, 1). Da li jeprimitivna funkcija jednoznaqno odre�ena? Obrazlo�iti odgovor.




1. Formulisati Vajerxtrasovu teoremu o nizovima. Pokazati kontraprimeromda u ovoj teoremi ne va�i obratno.

2. Formulisati prvi poredbeni kriterijum. Koriste�i se ovim kriterijumomobrazlo�iti zaxto je red

∑∞n=2

1lnn

divergentan a red∑∞

n=01n!

konvergentan. Dali se ovaj kriterijum mo�e primeniti na red

∑∞n=0

cosnn!

?

3. Napisati xta po Hajneovoj, a xta po Koxijevoj definiciji znaqi limx→1

f(x) = 2.

4. Formulisati Rolovu teoremu o sredǌoj vrednosti.

5. Data je funkcija f : R → R. Da li taqka x0 ∈ R mo�e istovremeno bitilokalni ekstremum i prevojna taqka funkcije f? Obrazlo�iti odgovor.

6. Formulisati ǋutn-Lajbnicovu formulu.




1. Da li za nizove (xn) i (yn), n ∈ N, uvek va�i limn→∞

(xn + yn) = limn→∞

xn + limn→∞

yn?Obrazlo�iti odgovor.

2. Formulisati prvi poredbeni kriterijum. Dati primer reda koji konvergirai primer reda koji divergira prema ovom kriterijumu.

3. Napisati xta po Koxijevoj definiciji znaqi limx→−1

f(x) = 20.

4. Formulisati Lagran�ovu teoremu o sredǌoj vrednosti.

5. Napisati tabliqne Maklorenove razvoje do qetvrtog stepena sa ostatkom uPeanovom obliku.

6. Na�i povrxinu elipse x2

a2+ y2

b2= 1 koriste�i odre�eni integral.




1. Obrazlo�iti navo�eǌem odgovaraju�e teoreme zaxto je limn→∞

cosn!√n

= 0.

2. Formulisati Lajbnicov kriterijum. Ako red konvergira prema ovom krite-rijumu, da li se mo�e zakǉuqiti o kom tipu konvergencije se radi (apsolutnaili uslovna)? Obrazlo�iti odgovor.

3. Napisati xta po Hajneovoj definiciji znaqi limx→−1

f(x) = 20.

4. Formulisati Bolcano - Koxijevu teoremu o neprekidnim funkcijama.

5. Formulisati Tejlorovu formulu sa ostatkom u Lagran�ovom obliku.

6. Formula za du�inu luka krive. Primenom ove formule izraqunati obimkruga polupreqnika r.




1. Definisati pojam podniza datog niza. Izdvojiti dva konvergentna podnizaniza an = cosn.

2. Zaokru�iti taqna tvr�eǌa:

1.∑∞

n=1 konvergira =⇒ limn→∞

an = 0 .

2. limn→∞

an = 0 =⇒∑∞

n=1 konvergira.

3.∑∞

n=1 divergira =⇒ limn→∞

an 6= 0 .

4. limn→∞

an 6= 0 =⇒∑∞

n=1 divergira.

5.∑∞

n=1 divergira =⇒ limn→∞

an = +∞ .

3. Napisati xta po Koxijevoj definiciji znaqi limx→0

f(x) = −∞.

4. Formulisati Bolcano-Koxijevu teoremu o neprekidnim funkcijama.

5. Formulisati Tejlorovu formulu sa ostatkom u Lagran�ovom obliku.

6. Formulisati teoremu o sredǌoj vrednosti integralnog raquna. Primeniti

ovu teoremu na∫ 2

1

x3dx (efektivno odrediti c).




1. Formulisati Kantorov princip umetnutih odseqaka.

2. Zaokru�iti taqna tvr�eǌa:

1. Svaki ograniqen niz ima konvergentan podniz.

2. Svaki konvergentan niz je monoton.

3. limn→∞

sinn

n= 1 .

4. limn→∞

an = 0 =⇒∑∞

n=1 konvergira.

5.∞∑n=1

(−1)n√n

uslovno konvergira.

3. Definisati otkloǌiv prekid. Dati primer funkcije koja ima otkloǌivprekid u taqki x0 = −3.

4. Formulisati Koxijevu teoremu o sredǌoj vrednosti.

5. Napisati Maklorenov polinom n-tog stepena za funkciju f(x) =√

1 + x. Naosnovu toga odrediti f (n)(0).

6. Data je funkcija Φ(x) =

∫ x

a

f(t)dt . Formulisati dve teoreme o osobinama

ove funkcije.




1. Definisati infimum skupa A ⊂ R.

2. Formulisati Lajbnicov kriterijum. Da li se ovim kriterijumom mo�eutvrditi da li red apsolutno ili uslovno konvergira? Detaǉno obrazlo�itiodgovor.

3. Napisati po Koxijevoj definiciji graniqne vrednosti limx→0

sinxx

= 1.

4. Formulisati Fermaovu teoremu.

5. Napisati Maklorenov polinom drugog stepena za funkciju y = (x+1) ln(1−x).

6. Formulisati ǋutn - Lajbnicovu formulu.

Documents

UniverzitetauBeogradu - University of Belgrade · 2017-04-26 · Gra evinskifakultet .06.2014. UniverzitetauBeogradu ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 2 Prezimeiime: Brojbodova: Brojindeksa: