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UNIVERSIDAD VERACRUZANA
Modelación del IPC, 1991-2014, con las
distribuciones Pareto y Pareto Generalizada
TRABAJO RECEPCIONAL Reporte de Aplicaciones
QUE COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL DIPLOMA DE ESTA ESPECIALIZACIÓN
PRESENTA:
Genoveva Lorenzo Landa
DIRIGE:
Dr. Sergio Francisco Juárez Cerrillo
Xalapa, Ver., Agosto 2014
FACULTAD DE ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA ESPECIALIZACIÓN EN MÉTODOS ESTADÍSTICOS
Resumen
En el presente trabajo se calcula el Valor en Riesgo (VaR) de los retornos negativos del IPC. Tradicionalmente se ha utilizado la distribución normal para calcular el VaR, sin embargo esta distribución no es la adecuada para analizar extremos. Puesto que nos interesan las pérdidas grandes del IPC utilizamos un enfoque de extremos para lo cual ajustamos a los retornos negativos extremos las Distribuciones Pareto y Pareto Generalizada. Utilizamos máxima verosimilitud para datos con censura tipo I por la izquierda, lo cual es equivalente al enfoque de excedentes sobre umbrales de la metodología de valores extremos. En esta investigación presentamos el ajuste de ambas distribuciones a los retornos negativos. Por último se elige a la distribución Pareto como mejor modelo para los retornos negativos del IPC. Utilizaremos la medida de bondad de ajuste Valor Promedio Absoluto Escalado como criterio para elegir una distribución. Finalmente, con el modelo elegido procedemos a calcular el VaR de los retornos negativos del IPC.
ii
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo fue realizado bajo la supervisión del Dr. Sergio Francisco Juárez Cerrillo. A él quiero agradecerle profundamente, haber aceptado dirigir este Trabajo Recepcional, todos los conocimientos que de él he recibido y lo más importante: su entrañable amistad.
Finalmente agradezco a mis sinodales por haber dedicado tiempo a la revisión de este trabajo:
M. en C. José Martín Cadena Barajas M. en C. Jesús Hernández Suarez
iii
Para Ximena Desirée
iv
DATOS DEL AUTOR
Genoveva Lorenzo Landa es originaria de Xalapa, Veracruz. En
esta ciudad realizó sus estudios básicos, de nivel medio superior así como
los de nivel superior. Ingresó a la licenciatura de Ciencias y Técnicas
Estadísticas de la Universidad Veracruzana en el 2007 y egresó en el
2011. Del 2011 al 2014 se desempeñó como responsable del Sistema de
Indicadores del Posgrado en la Dirección General de la Unidad de
Estudios de Posgrado de la Universidad Veracruzana.
Actualmente ha sido aceptada en la Maestría en Estadística
Aplicada de la misma institución; además de que retoma sus actividades
laborales como asistente de investigación.
Sus áreas de interés son la Modelación Estadística y la Estadística
Aplicada a la Generación de Indicadores de Gestión y Calidad
v
GENERACIÓN: 2013 SEDE: Xalapa TITULO:
Modelación del IPC, 1991-2014, con las distribuciones Pareto y Pareto Generalizada
AUTOR:
Genoveva Lorenzo Landa TUTOR: Sergio Francisco Juárez Cerrillo TIPO DE TRABAJO:
Reporte Trabajo Practico-Educativo Desarrollo METODOLOGÍA ESTADÍSTICA:
A) Diseño: B) Análisis Muestreo Exploratorio Experimento Descriptivo básico Estudio observacional Inferencia básico
Métodos multivariados Regresión ANOVA y ANCOVA Control de calidad Métodos no paramétricos Modelos especiales Técnicas avanzadas Series de tiempo
vi
vii
Indice general
1. Introduccion 1
1.1. Marco Contextual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Planteamiento del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.2. Objetivos Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6. Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7. Descripcion del Trabajo Recepcional . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Metodologıa VaR 10
2.1. Descripcion de la Metodologıa VaR . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Distribucion Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1. Funciones de Distribucion y de Densidad . . . . . . . . 11
2.2.2. Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3. Estimacion por Maxima Verosimilitud . . . . . . . . . 13
2.2.4. Valores de Retorno de la Pareto . . . . . . . . . . . . . 14
viii
2.3. Distribucion Pareto Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1. Funciones de Distribucion y de Densidad . . . . . . . . 16
2.3.2. Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.3. Estimacion por Maxima Verosimilitud . . . . . . . . . 18
2.3.4. Valores de Retorno de la Pareto Generalizada . . . . . 18
3. Resultados 20
3.1. Analisis Descriptivo de los Retornos Negativos . . . . . . . . . 20
3.2. VaR con la Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3. VaR con la Pareto Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4. Comparacion de las Distribuciones Ajustadas . . . . . . . . . . 24
4. Discusion 27
Referencias 28
Anexo 30
ix
Capıtulo 1
Introduccion
1.1. Marco Contextual
Los ındices bursatiles son indicadores estadısticos que intentan reflejar las
variaciones del valor de las acciones que los integran. En el medio bursatil, los
ındices sirven como medio de pronostico de precios. En el mercado financiero
internacional destacan los ındices de las economıas mas fuertes, entre estos
el Standard & Poors, el ındice Industrial (Dow Jones), y el Nikkei de Japon.
En Mexico el principal indicador que calcula la Bolsa Mexicana de Valores
es el Indice de Precios y Cotizaciones (IPC). El IPC expresa el rendimiento
del mercado accionario en funcion de las variaciones de precios de una mues-
tra de 35 acciones que cotizan en la BMV y operan en diferentes sectores
de la economıa, vease el Cuadro 1.1 para las emisoras del 2014. Esta mues-
tra de emisiones es una muestra balanceada, ponderada y representativa del
conjunto total de acciones cotizadas en la Bolsa.
En este trabajo nos enfocamos en el analisis del riesgo financiero derivado
1
Clave EmpresaAC Arca ContinentalALFA A AlfaALPEK A AlpekALSEA AlseaAMX L America MoviASUR B Grupo Aeroportuario del SuresteBIMBO A BimboBOLSA A Bolsa Mexicana de ValoresCEMEX CPO CemexCHDRAUI B ChedaruiCOMERCI UBC Controladora Comercial MexicanaCOMPARC CompartamosELEKTRA ElektraFEMSA UBD Fomento Economico MexicanoGAP B Grupo Aeroportuario del PacıficoGFINBUR O Grupo Financiero InbursaGFNORTE O Grupo Financiero BanorteGFREGIO 0 Grupo Financiero BanRegioGMEXICO B Grupo MexicoGRUMA B GrumaGSANBOR B-1 Grupo SanbornsICA Empresas IcaICH B Industrias CHIENOVA IenovaKIMBER A Kimberly ClarkKOF L Coca Cola FemsaLAB B Genomma LabLIVEPOL C-1 El Puerto de LiverpoolMEXCHEM MexichemOHLMEX OHL MexicoPENOLES Industrias PenolesPINFRA Promotora y Operadora de InfraestructuraSANMEX B Santander MexicoTLEVISA CPO Grupo TelevisaWALMEX V Wal Mart de Mexico
Cuadro 1.1: Emisoras que se usan para calcular el IPC en el 2014.
2
de la volatilidad del mercado de valores medido a traves del IPC. Este tipo de
riesgo se conoce como riesgo de mercado, y es el riesgo de que el valor de una
inversion disminuya al mismo tiempo que los movimientos en el mercado.
1.2. Antecedentes
Dentro de un mercado financiero los instrumentos financieros se valoran
de acuerdo a su rendimiento y riesgo. Este rendimiento en un perıodo de
tiempo [0, T ] se determina por R
T
= (ST
� S0)/S0 donde S
T
es el precio
del instrumento financiero al final del perıodo y S0 es el precio al inicio del
perıodo. El retorno en el tiempo t es el rendimiento expresado en relacion al
tiempo anterior, es decir Rt
= (St
� S
t�1)/St�1.
Las polıticas economicas de una economıa de mercado poco pueden hacer
ante la volatilidad de los mercados en un corto plazo, ya que esta volatili-
dad se determina fuera del area de influencia directa de estas polıticas. Es
ası como, junto a la integracion financiera global, la volatilidad en los mer-
cados financieros se ha convertido en un tema de particular relevancia para
los diferentes agentes economicos.
La metodologıa tradicional de Valor en Riesgo (VaR) busca anticipar la
volatilidad de los mercados y ası cuantificar el riesgo, sin embargo esta meto-
dologıa no considera a los eventos extremos ya que se enfoca en la distribucion
de los retornos. Por lo que se requiere de metodologıa para un mejor mane-
jo del riesgo financiero, en particular, de modelos que permitan analizar el
comportamiento de los retornos R
t
extremos de los diversos instrumentos
financieros.
3
Bajo el supuesto de que los inversionistas son adversos al riesgo, tendrıamos
que estos estarıan dispuestos a asumir cierto nivel de riesgo siempre y cuan-
do obtengan compensaciones adicionales por este riesgo. Es decir, existe un
efecto de trade-o↵ entre el riesgo y la utilidad esperada. En situaciones de
crisis financiera, como la del 2008, dicha compensacion se eleva aun mas.
En este contexto, los instrumentos financieros se valoran de acuerdo con el
rendimiento que ofrecen y el riesgo que se deriva de ellos. La volatilidad de
los precios financieros principales se percibe como principal medida del riesgo
financiero y, por lo tanto, se utiliza para tomar decisiones de inversion.
Uno de los objetivos del manejo del riesgo financiero es el calculo adecuado
de las magnitudes de grandes perdidas ası como de las probabilidades de que
ocurran. Una forma de medir el riesgo de mercado financiero es mediante
lo que se conoce como valor en riesgo, denotado VaR, el cual se define por
V aR
p
= F
�1(p), 0 < p < 1, donde F es la funcion de distribucion de las
perdidas. El VaR permite que los reguladores financieros pongan un numero
a su peor escenario y ası planear de acuerdo a este escenario.
La mayorıa de los modelos VaR utilizan la distribucion normal para mode-
lar la distribucion de las variables de mercado. Sin embargo, las distribuciones
de estas variables son sesgadas. Cano (2008) presenta una investigacion de
Valor en Riesgo del IPC, comprendido en el perıodo 1991-2008. En dicha in-
vestigacion se desarrolla una metodologıa VaR basada en umbrales altos del
IPC. Posteriormente Lorenzo (2011) analiza y ajusta la distribucion Pareto
para los retornos del IPC en el perıodo 1991-2011. En dicha investigacion
se demuestra que la distribucion Pareto describe de manera adecuada a los
retornos negativos del IPC. En este trabajo usaremos a las distribuciones
4
Pareto y Pareto Generalizada para describir estocasticamente los valores de
los retornos negativos (perdidas) del IPC.
1.3. Planteamiento del Problema
La importancia del manejo del riesgo financiero esta en que permite es-
timar posibles movimientos extremos del mercado financiero. Ante esta si-
tuacion nos enfrentamos con la carencia de un instrumento que nos permita
realizar el calculo adecuado de las magnitudes y probabilidades de grandes
perdidas de los retornos del IPC ası como anticipar eventos extremos, tales
como, choques financieros y crisis monetarias. Es por eso que en esta investi-
gacion nos enfocamos a estimar el VaR de los retornos negativos del IPC con
las distribuciones Pareto y Pareto Generalizada. Buscamos determinar cual
de estas dos distribuciones describe de mejor manera a los retornos negativos
del IPC.
1.4. Justificacion
El IPC es un fiel indicador de las fluctuaciones del mercado accionario
mexicano y tiene como principal objetivo ser un indicador representativo de
este considerando dos conceptos fundamentales: 1) Representatividad.- La
muestra que lo compone, refleja el comportamiento y la dinamica operativa
del mercado mexicano. 2) Invertibilidad.- Las series accionarias que lo in-
tegran cuentan con las cualidades de operacion y liquidez que facilitan las
transacciones de compra y venta para responder a las necesidades del mer-
5
cado mexicano.
En el panel superior de la Figura 1.1 observamos el comportamiento del
IPC al cierre a partir del 11 de noviembre de 1991 hasta el 16 de abril del
2014. Se excluyen sabados y domingos, ya que en estos dıas no labora el
mercado mexicano. En total se tienen 5513 observaciones. Se puede apreciar
un crecimiento en el valor promedio de las acciones a partir del ano 2003.
Esto es producto de reformas financieras realizadas principalmente durante
el gobierno de Salinas de Gortari cuando se realizo la desregulacion del sis-
tema financiero por ejemplo con la Ley de Instituciones de Credito, la Ley
Reguladora para Grupos Financieros en 1990 y la autonomıa del Banco de
Mexico a partir de 1994. Ası tambien, el sistema financiero mexicano, una
vez sentadas las bases para su modernizacion, se ve beneficiado por la puesta
en marcha del Tratado de Libre Comercio para Norte America.
Sea It
el valor de cierre del IPC en el tiempo t (t = 1, ..., 5513), los retornos
para el IPC son R
t
= (It
� I
t�1)/It�1 y se muestran en el panel inferior de la
Figura 1 para el mismo perıodo de tiempo.
Podemos observar que el retorno negativo mas elevado fue de 0.143 y
se alcanzo durante los ultimos meses de 1997. En 1999 hubo otro salto im-
portante y a continuacion se redujo la volatilidad en el mercado accionario.
Debido al choque financiero global que desde el 2008 y hasta la actualidad
afecta a las economıas del mundo, vemos que la volatilidad volvio a aumentar
significativamente desde finales de 2008, alcanzo sus niveles mas extremos en
el 2009, para bajar un poco en el 2010 y el 2011. La Figura 2 muestra a los
retornos del IPC estandarizados.
6
1995 2000 2005 2010 2015
020000
40000
Tiempo
IPC
Observaciones
Retornos
0 1000 2000 3000 4000 5000
−0.10
0.00
0.10
Figura 1.1: IPC del 8/11/1991 al 16/04/2014. Arriba: Cierres. Abajo: Retor-
nos.
En los retornos del IPC se puede observar mejor la volatilidad del mer-
cado accionario. El analisis en este trabajo se enfoca al estudio del compor-
tamiento de los retornos negativos diarios del IPC. En concreto, buscamos
estimar el VaR de estos retornos utilizando la distribuciones Pareto y Pareto
7
Generalizada.
1.5. Objetivos
1.5.1. Objetivo General
El principal objetivo en esta investigacion es desarrollar un instrumento
financiero para calcular el VaR de los retornos negativos del IPC. Esto se
hara con las distribuciones Pareto y Pareto Generalizada.
1.5.2. Objetivos Particulares
Describir estadısticamente las fluctuaciones de los retornos del IPC, en
el perıodo 1991-2014.
Ajustar los modelos Pareto y Pareto Generalizada con maxima verosi-
militud a los retornos negativos del IPC. Se desarrollara codigo en R
para hacer estos ajustes.
Evaluar los modelos ajustados y elegir el que mejor describa a los re-
tornos.
Hacer disponible para estudiantes y profesores de la Facultad de Es-
tadıstica e Informatica un documento introductorio sobre la metodo-
logıa de Valor en Riesgo.
8
1.6. Hipotesis
Se plantea como hipotesis que las Distribuciones Pareto y/o Pareto Ge-
neralizada proporcionan modelos adecuados para estimar el Valor en Riesgo
de los retornos negativos del IPC.
1.7. Descripcion del Trabajo Recepcional
El resto de este trabajo esta estructurado de la siguiente forma. En el
Capıtulo 2 se presenta la Metodologıa VaR. Luego se presenta a la distribu-
cion Pareto ası como los detalles de la estimacion por maxima verosimilitud
de sus parametros con muestras con censura de tipo I, por la izquierda. De
igual forma se presenta la distribucion Pareto Generalizada bajo el enfoque
de excedentes sobre umbrales. En el capıtulo 3 se describe los analisis descrip-
tivos de los retornos negativos y se ajusta la distribucion Pareto y la Pareto
Generalizada a los retornos del IPC. Se realiza una comparacion de las dis-
tribuciones ajustadas. Finalmente, en el apendice se incluyen los programas
desarrollados en R.
9
Capıtulo 2
Metodologıa VaR
2.1. Descripcion de la Metodologıa VaR
El riesgo se puede medir mediante dos metodos: Valor en Riesgo (VaR)
y Perdida Esperada (ES). EL VaR se define por Varq
= F
�1(q), q 2 (0, 1).
El VaR es un cuantil y mide la perdida esperada de un portafolio sobre un
perıodo especıfico de tiempo para un nivel de probabilidad dado. Los pasos
para describir la Metodologıa VaR que usamos son los siguientes:
1. Calcular la variable de interes en nuestro caso son los retornos del IPC.
2. Ajustar una distribucion a la variable de interes. En este trabajo se
ajustan las distribuciones Pareto y Pareto Generalizada a los retornos
negativos del IPC.
3. Estimar los cuantiles de la distribucion ajustada.
10
2.2. Distribucion Pareto
La distribucion Pareto fue formulada por el profesor de economıa Vilfre-
do Pareto, originalmente para modelar distribuciones de ingreso. A partir
del trabajo de Pareto se han propuesto una gran variedad de generalizacio-
nes de esta distribucion incluyendo algunas versiones discretas y extensiones
multivariadas. En este trabajo utilizamos a la distribucion Pareto como ori-
ginalmente fue propuesta por Pareto, Pareto (1897).
2.2.1. Funciones de Distribucion y de Densidad
Se dice que la variable aleatoriaX sigue la distribucion Pareto con parame-
tros ↵ y ✓ si su funcion de distribucion es
F (x;↵, ✓) = 1�✓✓
x
◆↵
, x > ✓,
donde ✓ es un parametro positivo de escala y ↵ es un parametro positivo que
se le conoce como Indice de Pareto y corresponde al negativo de la pendiente
de log(1� F (x)) vs log(x). La funcion de densidad de la Pareto es
f(x) = ↵✓
↵
x
�(↵�1), x > ✓.
Si X es Pareto con parametros ↵ y ✓, lo denotamos X ⇠ P (↵, ✓). La Figura
2.1 muestra las funciones de distribucion y densidad de la Pareto.
11
0 5 10 15 20 25 30
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
alfa=2alfa=1.5alfa=1alfa=.5
5 10 15 200.
00.
20.
40.
60.
81.
0
alfa=2alfa=1.5alfa=1alfa=.5
Figura 2.1: Funciones de distribucion (izquierda) y de densidad (derecha) de
la Pareto para diferentes valores del parametro ↵.
2.2.2. Momentos
Sea X ⇠ P (↵, ✓). Si r es menor que ↵, el momento r con respecto al
origen de X es
µ
r
= ✓
r
⇣1� r
↵
⌘, r < ↵.
En particular el valor esperado de X es
E(X) =↵✓
(↵� 1),↵ > 1.
La varianza de X es
Var(X) =↵✓
2
(↵� 1)2(↵� 2),↵ > 2,
12
El sesgo ↵3 y la curtosis ↵4 estan dados por
↵3(X) = 2↵ + 1
↵� 3
r↵� 2
↵
,↵ > 3,
↵4(X) =3(↵� 2)(3↵2 + ↵ + 2)
↵(↵� 3)(↵� 4),↵ > 4.
Es claro que cuando ↵ ! 1, ↵3(x) ! 2 y ↵4(X) ! 9.
2.2.3. Estimacion por Maxima Verosimilitud
La funcion de verosimilitud de una muestra aleatoria X1, ..., Xn
para la
distribucion Pareto es
L(↵, ✓) =nY
i=1
↵✓
↵
X
�(↵�1)i
.
Se puede mostrar que el estimador de maxima verosimilitud de ↵ es
b↵ = n
"nX
i=1
log
✓X
i
b✓
◆#�1
.
y de ✓ es ✓ = mıni
X
i
. Tambien se puede demostrar que
E(✓) =n✓↵
n↵� 1, n >
1
↵
,
Var(✓) =n✓↵
2
(n↵� 1)2(n↵� 2), n >
2
↵
.
E(↵) =n↵
n� 2, n > 2,
Var(↵) =n
2↵
2
(n� 2)2(n� 3), n > 3.
13
Se puede mostrar que ↵ y ✓ son estimadores consistentes de ↵ y ✓, res-
pectivamente. Ademas 2n↵/↵ se distribuye como una �
2 con 2(n�1) grados
de libertad, de modo que un intervalo de confianza para ↵ esta dado por
�a�
22(n�1),↵/2(2n)
�1, a�
22(n�1),1�↵/2(2n)
�1�.
2.2.4. Valores de Retorno de la Pareto
Supongamos que X ⇠ P (↵, ✓) y sea u > ✓ un valor fijo, entonces la
distribucion de probabilidad de la variable aleatoria X � u|X > u es
F
u
(x) = P (X � u x|X > u) =
1�✓
✓
u+ x
◆↵
�1�
✓✓
u
◆↵
�
✓✓
u
◆↵
= 1�✓
u
u+ x
◆↵
.
De manera que si X sigue la distribucion Pareto con parametros ↵ y ✓,
entonces la variable aleatoria X � u|X > u tambien es Pareto con el mismo
parametro ↵ y parametro de escala u. Sea u tal que P (X > u) = 1� q para
0 < q < 1, de modo que
1� F
u
(x) =1� F (u+ x;↵, ✓)
1� F (u;↵, ✓).
Por lo que la cola derecha de X que excede a u, P (X > u + x), esta dada
por
1�F (u+x;↵, ✓) = [1�F (u;↵, ✓)][1�F
u
(x)] = P (X > u)P (X�u > x|x > u),
14
para x > 0. Si q = 1 � (r/n) donde r es un entero positivo menor que n,
entonces una estimacion de P (X > u) basada en los r estadısticos de orden
mas grandes esta dada por r/n. Si ↵ y ✓ son estimadores de los parametros
de X, y puesto que F
u
es Pareto con el mismo exponente ↵ que F y con
parametro de escala u, entonces una estimacion de la cola derecha de X es
P (X > u+ x) = 1� F (u+ x; ↵, ✓) =r
n
✓
x
!↵
, x > ✓.
De tal manera que un estimador del cuantil xp
de F se obtiene resolviendo
la ecuacion F (xp
; ↵, ✓) = p para xp
, es decir, resolviendo para xp
a la ecuacion
F (xp
;↵, ✓) = P (X x
p
) = 1� r
n
✓
x
p
� u
!↵
= p.
Lo que resulta en
x
p
= u+ ✓
✓r
n(1� p)
◆1/↵
.
Este cuantil es el VaR estimado de la variable X con la distribucion
Pareto.
2.3. Distribucion Pareto Generalizada
La distribucion Pareto Generalizada fue introducida simultaneamente
Balkema and De Haan (1974) y por Pickands (1975). Ha sido estudiada
ademas por Davison (1984), Castillo and Hadi (1997) y Smith (1987) entre
otros. La Pareto Generalizada se motiva por lo siguiente: supongamos que
tenemos una funcion de distribucion desconocida F de una variable aleatoria
15
X. Estamos interesados en la estimacion de la funcion de distribucion F
u
de
la variable X�u donde u es un valor umbral fijo y conocido. La Pareto Gene-
ralizada es la distribucion que surge en este caso. Los detalles metodologicos
del uso de la distribucion Pareto Generalizada para analizar excedentes so-
bre umbrales se pueden ver en el capıtulo 6 de Embrechts, Kluppelberg and
Mikosch (1997) y en Coles (2002).
2.3.1. Funciones de Distribucion y de Densidad
La Funcion de Distribucion de Pareto Generalizada (DPG) esta dada por
G(x; ⇠, �) =
8><
>:
1�✓1� ⇠
x
�
◆1/⇠
si ⇠ 6= 0, � > 0,
1� e
�x/� si ⇠ = 0, � > 0,
donde ⇠ es un parametro de forma y � es un parametro de escala. Denotamos
X ⇠ DPG(⇠, �). Cuando ⇠ = 0 la DPG es la distribucion exponencial con
media � y si ⇠ = 1, la DPG es la distribucion uniforme en [0, �]. Cuando
⇠ < 0, la DPG se reduce a la Pareto de segundo tipo tambien llamada
distribucion de Lomax, la cual tiene funcion de distribucion
F (x;↵, ✓, c) = 1� ✓
(x+ c)↵.
La funcion de densidad de la Pareto Generalizada esta dada por
g(x; ⇠, �) =
8>><
>>:
1
�
✓1� ⇠
x
�
◆(1/⇠)�1
, si ⇠ 6= 0, � > 0,
1
�
e
�x/�
, si ⇠ = 0, � > 0.
Las Figuras 2.2 muestran las distribuciones y densidades de la Pareto
Generalizada para diversos valores del parametro de forma.
16
0.0 1.0 2.0 3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
xi=1.1xi=1xi=1/2xi=1/3
0.0 1.0 2.0 3.00.
00.
20.
40.
60.
81.
0
xi=1.1xi=1xi=1/2xi=1/3
Figura 2.2: Funciones de distribucion (izquierda) y de densidad (derecha) de
la Pareto Generalizada para valores positivos del parametro ⇠.
0 5 10 15 20
0.00.2
0.40.6
0.81.0
xi=−0.25xi=−0.5xi=−1xi=−1.5
0 5 10 15 20
0.00.2
0.40.6
0.81.0
xi=−0.25xi=−0.5xi=−1xi=−1.5
Figura 2.3: Funciones de distribucion (derecha) y de densidad (izquierda) de
la Pareto Generalizada para valores negativos del parametro ⇠.
17
2.3.2. Momentos
Sea X ⇠ DPG(⇠, �), entonces
E
✓1� ⇠
X
�
◆�r
=1
1� r⇠
, ⇠r < 1,
De modo que el valor esperado es
E(X) =
✓�
1� ⇠
◆, ⇠ < 1,
y la varianza de X es
V ar(X) =�
2
(1 + ⇠)2(1 + 2⇠), ⇠ < 1/2.
2.3.3. Estimacion por Maxima Verosimilitud
Sea X1, ..., Xn
una muestra aleatoria de la Pareto Generalizada con ⇠ 6= 0.
La funcion de log-verosimilitud en este caso esta dada por
l(⇠, �) = �n log � +
✓1
⇠
� 1
◆nX
i=1
log
✓1� ⇠
X
i
�
◆
Denotamos a los estimadores de maxima verosimilitud de ⇠ y � por b⇠ y
b�. Estos estimadores se encuentran maximixando numericamente a la log-
verosimilitud l(⇠, �). Los detalles de estimacion de maxima verosimilitud para
la Pareto Generalizada se pueden ver en Grimshow(1993), Davison (1984),
Davison and Smith (1990).
2.3.4. Valores de Retorno de la Pareto Generalizada
Para calcular el VaR se requiere estimar los cuantiles de la Pareto Gene-
ralizada. Sea X ⇠ DPG(⇠, �) consideramos a los excedentes de X sobre el
umbral u.
18
La cola de F es
1� F (u+ x) = [1� F (u)][1� F
u
(x)] ⇡ P (X > u)
✓1� ⇠
x
�
◆1/⇠
Sea N
u
el numero de excedentes sobre u y sea n el total de observaciones,
entonces Nu
/n es un estimador de P (X > u). Si b⇠ y b� son estimadores de ⇠
y �, entonces un estimador de la cola superior de F es
bP (X > u+ x) = 1� b
G(u+ x) =N
u
n
✓1� b⇠ x
�
◆1/b⇠
.
De tal manera que un estimador del cuantil xp
de F se obtiene resolviendo
la ecuacion bG(xp
) = p para x
p
, lo que resulta en
x
p
= u+
b�
1�
n(1� p)
N
u
�b⇠
!
b⇠
.
Este es el VaR dado por la Pareto Generalizada.
19
Capıtulo 3
Resultados
3.1. Analisis Descriptivo de los Retornos Ne-
gativos
En este capitulo presentamos un analisis descriptivo de los Retornos del
IPC. La figura 3.1 muestra el histograma de los retornos negativos estandari-
zados, podemos decir que se distribuyen de forma simetrica. Posteriormente
se grafican solo los retornos negativos que son los que nos interesa, debido
a que representan las perdidas. Vemos que la distribucion presenta un sesgo
negativo. En el diagrama de caja claramente se observan los datos atıpicos
los cuales representan las perdidas mas grandes. Esas perdidas son las que se
modelan.
20
Retornos del IPC Estandarizados
Frec
uenc
ia
−5 0 5
050
010
0015
0020
00
Figura 3.1: Histograma de los Retornos.
Retornos Negativos (Valor Absoluto)
Frec
uenc
ia
0 2 4 6 8
020
040
060
080
010
0012
0014
00
●
●
●●●
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●
●
●
●
02
46
8
Ret
orno
s N
egat
ivos
(Val
or A
bsol
uto)
Figura 3.2: Histograma de los retornos negativos en valor absoluto.
21
3.2. VaR con la Pareto
En esta subseccion se calcula el VaR de los retornos negativos y se es-
timan los parametros de la distribucion Pareto. En la figura 3.3 se observa
graficamente el comportamiento del parametro de forma y escala con censura
tipo I. Basandose en el enfoque de excedentes sobre umbrales se modelan 281
datos. Se trabaja con el 10% mas grandes y se observa que existe estabili-
dad para modelar dichos umbrales para ambos parametros. A medida que
aumentamos la fraccion de censura podemos visualizar que la distribucion se
vuelve mas inestable, debido a que el numero de datos se empieza a reducir.
0 50 100 150 200 250
24
68
r
escala
0 50 100 150 200 250
04000
8000
r
forma
Figura 3.3: Estimaciones de los parametros de la distribucion Pareto.
22
3.3. VaR con la Pareto Generalizada
En esta subseccion se estima el VaR de los retornos negativos y se calcu-
lan los parametros de la distribucion Pareto Generalizada. En la figura 3.4
podemos observa el comportamiento del parametro de forma bajo el enfoque
de excedentes sobre umbrales. Modelamos 281 datos de los cuales se trabaja
con el 10% mas grande. Se observa que existe estabilidad para modelar el
VaR del IPC con la distribucion Pareto Generalizada para el parametro de
escala y forma. Conforme aumentamos la fraccion de censura podemos ob-
servar que la distribucion se inestabiliza, esto se debe porque la proporcion
de datos es cada vez mas pequena.
0 50 100 150 200 250
05
1015
20
r
escala
0 50 100 150 200 250
0.0
1.0
2.0
r
forma
Figura 3.4: Estimaciones de los parametros de la distribucion Pareto Gene-
ralizada.
23
3.4. Comparacion de las Distribuciones Ajus-
tadas
Las distribuciones ajustadas las comparamos con el Valor Absoluto Pro-
medio Escalado, ASAE (Castillo y Hadi, 1997)
ASAE =1
k
nX
i=n�k+1
✓|x(i) � x(i)|
x(n) � x(n�k+1)
◆
donde x(i), son los estadısticos de orden y x(i) son los cuantiles estimados
con el modelo.
La Figura 3.5 muestra el comportamiento de la bondad de ajuste de la
distribucion Pareto con el Valor Absoluto Promedio Escalado.
0 50 100 150 200 250
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
r
ASAE
Figura 3.5: Valor Absoluto Promedio Escalado para la distribucion Pareto.
24
La Figura 3.6 muestra el comportamiento de la bondad de ajuste de la
distribucion Pareto Generalizada con el Valor Absoluto Promedio Escalado.
0 50 100 150 200 250
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
r
ASAE
Figura 3.6: Valor Absoluto Promedio Escalado para la distribucion Pareto
Generalizada.
Analizando las gaficas 3.5 y 3.6 y calculando el Valor Absoluto Promedio
Escalado se demuestra que las distribuciones Pareto y Pareto Generalizada
proporcionan un buen ajuste para describir a los retornos negativos del IPC.
Sin embargo, se considera mejor la distribucion Pareto debido que es la que
presenta un menor ASAE en conmparacion con la Pareto Generalizada.
Una vez que ya se ha determinado cual de ambas distribucion es la mejor
calculamos el VaR. La grafica 3.7 muestra el VaR para los retornos negativos
del IPC.
25
0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00
45
67
89
p
VaR
Figura 3.7: Valor en riesgo VaR estimado para los retornos negativos del IPC.
26
Capıtulo 4
Discusion
En esta investigacion se demuestra que la distribucion Pareto proporciona
un mejor ajuste a los retornos maximos estandarizados del IPC que la Pareto
Generalizada. Se elije a la distribucion Pareto como mejor modelo debido que
es uno de los propositos en este trabajo sin embargo ambas distribuciones
ajustan de manera adecuada a los retornos negativos del IPC.
La distribucion Pareto se considera como un caso particular de la dis-
tribucion Pareto Generalizada. Al estimar los parametros de escala y forma
para ambas distribuciones estos son similares. Al aumentar la proporcion de
censura las estimaciones de las parametros se siguen comportando de manera
similar.
Al calcular el Valor Absoluto Promedio Escalado notamos poca discre-
pancia entre ambas distribuciones. Para una investigacion futura se podrıa
determinar otro procedimiento para elegir entre ambas distribuciones.
Tambien se puede considerara otro tipo de distribuciones de cola pesada
para modelar los retornos negativos del IPC y poder determinar si este tipo
27
de distribuciones son las adecuadas.
28
Bibliografıa
[1] Cano Medina, J.L. (2010). Valor en Riesgo del IPC de Mexico, 1991-
2008. Tesis de Maestrıa en Estadıstica Aplicada, Facultad de Estadıstica
e Informatica, Universidad Veracruzana.
[2] Pareto, V. (1897). Cours d Economie Politique. Paris: Rouge et Cie.
[3] Balkema, A.A., and de Haan, L. (1974). Residual Life at Great
Age. Annals of Probability,2, 792-804.
[4] Castillo, E., and Hadi, A.S. (1997). Fitting the Generalizad Pareto
Distribution to Data. Journal of the American Statistical Association,92,
1609-1620.
[5] Coles, S. (2002). An Introduction to Statistical Modeling of Extreme
Values. London: Springer Verlag.
[6] Davison, A.C. (1984). Modeling Excesses Over Higt Thresholds, with
an Application,In Tiago de Olivra, J., (Ed). Statistical Extremes and Ap-
plications, Dordrecht: Reidel Publishing Company.
29
[7] Davison, A. C., and Smith, R.L. (1990). Models for Exceedances
Over High Threshold (with discussion), J.R.Statistical Society, B 52,393-
42.
[8] Embrechts, P., Kluppelberg, C., and Mikosch, T. (1997). Mo-
delling Extremal Events. Berlin: Springer Verlag.
[9] Grimshaw, S.D. (1993). Computing Maximum Likelihood Estimates
for the Generalized Pareto Distribution. Technometrics,35, 185-191.
[10] Hosking, J.R.M., and Wallis, J. R. (1987). Parameter and
Quantile Estimation for the Generalized Pareto Distribution. Techno-
metrics,29, 339-349.
[11] Lorenzo Landa, G. (2011). Modelacion de los Retornos del Indice
de Precios y Cotizaciones de Mexico con la Distribucion Pareto y Censura
de Tipo II.
[12] Pickands, J. (1975). Statistical Inference Using Extreme Order Sta-
tistics. The Annals of Statistics,3, 119-131.
[13] Smith, R. L. (1987). Estimating Tails of Probability Distributions.
The Annals of Statistics,15, 1174-1207.
30
Anexos: Codigo en R
# ***********************************************************************# CDIGO DEL TRABAJO RECEPCIONAL# MODELACIN DEL LOS RETORNOS NEGATIVOS DEL IPC## Ajuste de la Pareto y la Pareto Generalizada# ***********************************************************************## Ajuste de la Pareto y la Pareto Generalizada# ***********************************************************************## -------------------------------------------------# Mxima verosimilitud para la Pareto Generalizada# -------------------------------------------------
# Entrada: El vector de datos# Salida: Los estimdores de mxima verosimilitudgpd.mv <- function(datos){
datos <- sort(datos)ini <- vector("double",2)forma <- NAescala <- NAver.fun <- function(x){
if(x[1]!="NaN" & x[2]!="NaN"){max.datos <- max(datos)
31
if(max.datos*x[1] < x[2] & x[2] > 0){l <- as.double(-ver.dpg(x[1], x[2], datos))
}else { l <- Inf }
}else { l <- Inf }return(l)
}
init <- dpg.pickands(datos)if(init$feas == "YES") {ini[1] <- init$formaini[2] <- init$escala}else {ini[1] <- -3ini[2] <- 1
}
mve <- optim(ini,ver.fun,control=list(maxit=5000))if (mve$convergence == 0 & mve$par[1] != "NaN" & mve$par[2] != "NaN"){
forma <- mve$par[1]escala <- mve$par[2]if (max(datos)*forma < escala) { conv <- T }
}else { conv <- F }return(list(escala=escala,forma=forma,conv=conv))
}
ver.dpg <- function(forma,escala,datos){# Funcion de verosimilitud de la PG.n <- length(datos)y <- datos/escalay <- 1 - forma*yl <- -n*log(escala) + ((1/forma)-1)*sum(log(y))return(l)
}
32
pickands <- function(datos){n <- length(datos)data <- sort(datos)xn.2 <- datos[ceiling(n/2)]x3n.4 <- datos[ceiling(3*n/4)]d <- (xn.2^2)/(2*xn.2 - x3n.4)forma <- (1/log(2))*log(xn.2/(x3n.4 - xn.2))escala <- forma*dc(list(forma=forma,escala=escala))
}
# Estimadores de Pickands# Entrada: Vector de datos.# Salida: Estimadores de Pickands
dpg.pickands <- function(datos){
datos <- sort(datos)
feas <- "NO"estimaciones <- pickands(datos)forma <- estimaciones$formaescala <- estimaciones$escalaif(max(datos)*forma < escala){
feas <- "SI"return(list(forma=forma,escala=escala,feas=feas))
}return(list(forma=forma,escala=escala,feas=feas))
}
coles <- function(datos){
# Valores iniciales de Coles.escala <- sqrt((6 * var(datos))/pi)forma <- mean(datos) - 0.57722 * escalareturn(list(forma=forma,escala=escala))
}
33
# -------------------------------------------------# Diversas rutinas para la Pareto Generalizada# -------------------------------------------------
# Funcin de densidad de la Pareto Generalizada# Entrada: parmetro de forma xi, parmetro de escala b, valor x# Salidad: El valor de la densidad en xgpd.pdf <- function(xi,b,x){y <- (1/b)*(1-xi*x/b)^((1/xi)-1)return(y)}
# Funcin de distribucin de la Pareto Generalizada# Entrada: parmetro de forma xi, parmetro de escala b, valor x# Salidad: El valor de la distribucin en xgpd.cdf <- function(xi, b, x){p <- 1 - (1 - (xi * x)/b)^(1/xi)return(p)}
# Funcin cuantil de la Pareto Generalizada# Entrada: parmetro de forma xi, parmetro de escala b, probabilidad p# Salida: Regresa el cuantil p de la Pareto Generalizada
gpd.q <- function(xi, b, p){x <- (b/xi) * (1 - ((1 - p)^xi))return(x)}
# Funcin que genera una muestra de tamao n de la Pareto Generalizada# Entrada: Tamao de muestra n, parmetros de forma y escala# Salida: Vector de datos generados de la distribucion Pareto Generalizadadpg.gen <- function(n, forma, escala){p <- runif(n)
34
x <- (1 - p^forma) * (escala/forma)return(x)}
# -------------------------------------------------# Maxima verosimilitud para la Pareto# -------------------------------------------------
# Funcion que censura por la izquierda# y deja a a las r observaciones mas grandes# Entrada: vector de datos y, numero de observaciones que no se censura r# Salida: muestra con las r observaciones ms grandescensura <- function(y,r){n <- length(y)x <- sort(y)if(r < n){x <- x[-c(seq(1,(n-r)))]}
return(x)}
# Estimadores de maxima verosimilitud de la Pareto# con censura a la izquierda tipo I# Entrada: vector de observaciones y# Salida: Estimaciones de maxima verosimilitud de los parametros de la Paretoemv1 <- function(y){n <- length(y)
y <- sort(y)a <- sum(log(y)-log(y[1]))alfa <- n/ateta <- min(y)
return(list(escala=teta,forma=alfa))}
# Estimadores de maxima verosimilitud de la Pareto# con censura a la izquierda tipo II
35
# Entrada: vector de observaciones y, numero de observaciones que no se censuran r# Salida: Estimaciones de maxima verosimilitud de los parametros de la Paretoemv2 <- function(y,r){n <- length(y)x <- censura(y,r)a <- sum(log(x)-log(x[1]))alfa <- r/ateta <- ((r/n)^(1/alfa))*x[1]
return(list(escala=teta,forma=alfa))}
# -------------------------------------------------# Diversas rutinas para la Pareto# -------------------------------------------------
# Funcion de distribucion de la Pareto# Entrada: y, parametros alfa y teta# Salida: Funcion de distribucion en yfd <- function(y,alfa,teta){
p <- 1 - (teta/y)^alfareturn(p)
}
# Funcin de densidad de la Pareto# Entrada: Valor y, parametros alfa y teta# Salida: Funcion de densidad en yfdp <- function(y,alfa,teta){
z <- (alfa*(teta^alfa))/(y^(alfa+1))return(z)
}
# Funcion que genera una muestra de la Pareto# Entrada: Tamao de muestra n, parametros alfa y teta# Salida: Vector de datos generados de la distribucion Paretogenpareto <- function(n,alfa,teta)
36
{y <- teta/(runif(n))^(1/alfa)return(y)
}
# Funcion cuantil de la Pareto# Entrada: Parmetros alfa y teta, probabilidad p# Salida: El cuantil p de la distribucion Paretopd.q <- function(alfa,teta,p){y <- teta/(1-p)^(1/alfa)return(y)
}
# -------------------------------------------------# Funcin de distribucin emprica# -------------------------------------------------
# Funcin de ditribucin emprica en el punto x# Entrada: Valor x, vector de observaciones datos# Salida: Funcin de distribucin en xfde <- function(x,datos){n <- length(datos)length(datos[datos<=x])/n
}
# Funcion de distribucion empirica del vector x# Entrada: vector de observaciones x# Salida: Funcion de distribucion empirica del vector xfde.x <- function(x){p <- 0x <- sort(x)for(i in 1:length(x)) p[[i]] <- fde(x[[i]],x)p}
37
# Grafica de la funcion de distribucion empirica# Entrada: vector de observaciones d# Salida: Funcion de distribucion empirica del vector dfde.pl <- function(d){d <- ecdf(d)plot(d,xlab="x",ylab=" ",main="")}
# -----------------------------------------------------------------------------# Prueba del Cdigo
set.seed(113)
# Generacin de una muestra de la Pareto GeneralizadadatosPG <- dpg.gen(500,-.5,1)est <- gpd.mv(datosPG)
# Generacin de una muestra de la ParetodatosP <- genpareto(500,2,1)par(mfrow=c(2,2))hist(datosPG)hist(datosP)boxplot(datosPG)boxplot(datosP)
# ---------------------------------------------------------------------# Estimacin para diferentes umbrales# ---------------------------------------------------------------------# Pareto Generalizada
estimadoresPG <- function(datos,r){datos <- sort(datos)n <- length(datos)est <- matrix(0,nrow = r,ncol = 2)for(i in 1:r)
38
{datoscensurados <- datos[c(n-r+i:n)]aux <- gpd.mv(datoscensurados)if(aux$conv == TRUE){est[i,1] <- aux$escalaest[i,2] <- aux$forma
}}par(mfrow=c(2,1))plot(est[,1],type="l",xlab="r",ylab="escala")plot(est[,2],type="l",xlab="r",ylab="forma")}
set.seed(215)# Generacin de una muestra de la Pareto Generalizadadatos <- dpg.gen(500,-1,1)estimadoresPG(datos,200)
# Pareto
estimadoresP <- function(datos,r){datos <- sort(datos)n <- length(datos)est <- matrix(0,nrow = r,ncol = 2)for(i in 1:r){datoscensurados <- datos[c(n-r+i:n)]aux <- emv1(datoscensurados)est[i,1] <- aux$escalaest[i,2] <- aux$forma
}par(mfrow=c(2,1))plot(est[,1],type="l",xlab="r",ylab="escala")plot(est[,2],type="l",xlab="r",ylab="forma")}
39
set.seed(115)# Generacin de una muestra de la Paretodatos <- genpareto(500,2,1)estimadoresP(datos,200)
#----------------------------------------------------------------------# Anlisis de los Retornos Negativos (prdidas) del IPC Mexico#----------------------------------------------------------------------# Cargar el paquete tseries# Lectura del IPC desde Yahooipc = get.hist.quote(instrument="%5EMXX", start="1991-11-08", end="2014-4-16", quote="AdjClose", provider="yahoo", origin="1970-01-01", compression="d", retclass="zoo")##Calculo de los valores de los retornos### Solo se lee el IPCaux = get.hist.quote(instrument="%5EMXX", start="1991-11-08", end="2014-4-16", quote="AdjClose", provider="yahoo", origin="1970-01-01", compression="d", retclass="ts")aux <- aux[!is.na(aux)]y <- 0for(i in 2:length(aux))y[i-1] <- (aux[i]-aux[i-1])/aux[i-1]## Graficamos IPC y los retornospar(mfrow=c(2,1))plot(ipc,xlab="Tiempo",ylab="IPC")ts.plot(y,xlab="Observaciones",ylab="Retornos")
# LECTURA DE LOS DATOS DESDE LA PGINA DE YAHOO> ipc = get.hist.quote(instrument="%5EMXX", start="1991-11-08", end="2014-4-16", quote="AdjClose", provider="yahoo", origin="1970-01-01", compression="d", retclass="zoo")trying URL ’http://chart.yahoo.com/table.csv?s=%5EMXX&a=10&b=08&c=1991&d=3&e=16&f=2014&g=d&q=q&y=0&z=%5EMXX&x=.csv’Content type ’text/csv’ length unknownopened URLdownloaded 332 Kb
# Retornos estandarizadosmy <- mean(y,na.rm=TRUE)sy <- sqrt(var(y,na.rm=TRUE))z <- 0z <- (y-my)/syhist(z,xlab="Retornos del IPC Estandarizados",ylab="Frecuencia",nclass=20,main=" ")
# Retornos negativos
40
zneg <- z[z<0]# Retornos negativos en valor absolutozneg <- abs(zneg)par(mfrow=c(1,2))hist(zneg,nclass=20,xlab="Retornos Negativos (Valor Absoluto)",ylab="Frecuencia",main=" " )boxplot(zneg,ylab="Retornos Negativos (Valor Absoluto)")
> summary(zneg)Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.000464 0.223500 0.505200 0.698900 0.939500 8.594000
# Ajuste de la Pareto Generalizada y la Pareto# Exploramos a partir de una proporcin 1-p de censura para arriba# Nos quedamos con la proporcin p en la cola derechan <- length(zneg)p <- 0.1r <- floor(n*p)estimadoresPG(zneg,r)estimadoresP(zneg,r)
# ------------------------------------------------------------------# Clculo de la Bondad de Ajuste# ------------------------------------------------------------------
# Medida de Bondad de Ajuste de la Pareto: ASAE.# Entrada: Vector de datos x, estimacin de alfa, estimacin de teta > 0.# Salida: La medida de bondad de Ajuste propuesta por Castillo & Hadi(1997).asae.pd <- function(x,a,teta){x <- sort(x)n <- length(x)d <- x[n]-x[1]p <- 0for(i in 1:n) p[i] <- (i-.35)/nx.hat <- pd.q(a,teta,p)asae <- (1/n)*(1/d)*sum(abs(x-x.hat))return(asae)}
41
# Medida de Bondad de Ajuste de la Pareto Generalizada: ASAE.# Entrada: Vector de datos x, estimacin de xi, estimacin de beta > 0.# Salida: La medida de bondad de Ajuste propuesta por Castillo & Hadi(1997).asae.gpd <- function(x,xi,beta){x <- sort(x)n <- length(x)d <- x[n]-x[1]p <- 0for(i in 1:n) p[i] <- (i-.35)/nx.hat <- gpd.q(xi,beta,p)asae <- (1/n)*(1/d)*sum(abs(x-x.hat))return(asae)}
# ------------------------------------------------------------------# Grficas del ASAE# ------------------------------------------------------------------
# Leer los valores del IPC# Calcular los retornos negativos# Ajustar las distribuciones Pareto y Pareto Generalizada# para diferentes porcentajes de censura y umbrales# Calcular los valores del ASAE para cada ajuste# Graficar los valores de los ASAE
aux = get.hist.quote(instrument="%5EMXX", start="1991-11-08", end="2014-4-16", quote="AdjClose", provider="yahoo", origin="1970-01-01", compression="d", retclass="ts")aux <- aux[!is.na(aux)]y <- 0for(i in 2:length(aux))y[i-1] <- (aux[i]-aux[i-1])/aux[i-1]my <- mean(y,na.rm=TRUE)sy <- sqrt(var(y,na.rm=TRUE))z <- 0z <- (y-my)/syzneg <- z[z<0]
42
zneg <- abs(zneg)
par(mfrow=c(1,2))hist(zneg,nclass=20,xlab="Retornos Negativos (Valor Absoluto)",ylab="Frecuencia",main=" " )boxplot(zneg,ylab="Retornos Negativos (Valor Absoluto)")
# Ajuste de la Pareto Generalizada y la Pareto# Exploramos el ASAE a partir de una proporcin 1-p de censura para arriba# Nos quedamos con la proporcin p en la cola derechan <- length(zneg)p <- 0.1r <- floor(n*p)
ASAEPG(zneg,r)ASAEP(zneg,r)# ---------------------------------------------------------------------# Clculo del ASAE para diferentes umbrales# ---------------------------------------------------------------------# Pareto Generalizada
ASAEPG <- function(datos,r){n <- length(datos)datos <- sort(datos)asae <- 0for(i in 1:r){
datoscensurados <- datos[c(n-r+i:n)]aux <- gpd.mv(datoscensurados)if(aux$conv == TRUE){
asae[i] <- asae.gpd(datoscensurados,aux$forma,aux$escala)}
}plot(asae,type="l",xlab="r",ylab="ASAE")}
43
# Pareto
ASAEP <- function(datos,r){n <- length(datos)datos <- sort(datos)asae <- 0for(i in 1:r){datoscensurados <- datos[c(n-r+i:n)]aux <- emv1(datoscensurados)asae[i] <- asae.pd(datoscensurados,aux$forma,aux$escala)
}plot(asae,type="l",xlab="r",ylab="ASAE")}
# -----------------------------------------------------------------------------------------------# Grfica de VaR de los Retornos IPC Mexico# -----------------------------------------------------------------------------------------------# Elegimos la Pareto como modelo# Son n = 2815 retornos negativos# Nos quedamos con la cola derecha determinada por el p = 10% de datos ms grandes# Es decir nos quedamos con r = 281 observaciones# Censuramos por la izquierda 100 observaciones y calculamos el VaR con los 181 datos ms grandes
n <- length(zneg)p <- 0.1r <- floor(n*p)znegcensurados <- censura(zneg,181)
par(mfrow=c(2,1))hist(znegcensurados)boxplot(znegcensurados)
Estimamos con mxima verosimilitud:> emv1(znegcensurados)$escala[1] 1.832663
44
$forma[1] 3.147515
teta <- 1.833alfa <- 3.148VaRp <- function(p,u,n,r,alfa,teta){v <- u + teta*((r/(n*p))^(1/alfa))return(v)}
p <- seq(.9,.999,.001)v <- VaRp(1-p,znegcensurados[1],n,r,alfa,teta)plot(p,v,type="l",xlab="p",ylab="VaR")
#----------------------------------------------------------------------# FIN DEL CDIGO DE ANLISIS#----------------------------------------------------------------------
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