UCBL–L1PCSI–UETMB

Techn

iquesMathematiquesde

Base

Alessandra

Frabettiet

LeonMatar

Tine

InstitutCamille

Jordan,

Dep

artemen

tdeMathem

atiques

http://math.univ-lyon1.fr/

„frabetti/TMB/

Butduco

urs

Minim

aet

maxim

alocaux

(graphedefonction)

Equationsdifferentielles

(trajectoire

d’unprojectile)

Bases

ducalculvectoriel

(produitvectoriel)

Sym

etries

(rotationet

reflexion)

Pou

rcela:nom

bres

complexes,graphes,derivees,prim

itives,vecteurs,

matrices,geom

etriecartesienne...

Programmeduco

urs

PartieI:Fonctionset

equationsdifferen

tielles

Ch.1–

Nom

bres

complexes,factorisationdepolynom

esp.1

Ch.2–

Fon

ctions,graphes,reciproques

p.11

Ch.3–

Derivees,extrem

alocaux,

approxim

ationdeTaylor

p.29

Ch.4–

Primitives

etintegrales

p.41

Ch.5–

Equationsdifferentielles

p.53

PartieII

:Vecteurs,transform

ationslin

eaires

etgeo

metrie

Ch.6–

Espaces

vectorielset

vecteurs

p.65

Ch.7–

Transformationslineaires

etmatrices

p.77

Ch.8–

Geometriecartesiennedansle

planet

dansl’espace

p.93

TMB

–Chapitre

1Nombresco

mplexe

s

Dansce

chapitre:

1.Nom

bres

complexes(con

jugu

es,op

erations).

2.Representation

polaire

(module,argu

ment,expon

entiel

complexe).

3.Polynom

escomplexes(racines,factorisation).

1.Nombresco

mplexe

s

Defi

nition:Unnombre

complexe

estunnom

bredela

form

e

z“

x`iy

,ou

xet

ysontdes

nom

bres

reelset

iestunsymboleayantla

propriete

i2“

´1,quis’appelle

uniteim

aginaire.

Attention

:in’est

pas

unnom

brereel.

Exe

mples:

3`

2i,

zero

0“

0`

i0,

un

1“

1`

i0.

‚Onnote

C“

tz“

x`

iy|x

,yPR

ul’en

semble

des

nombres

complexe

s.Ilcontientdeuxsous-ensembles:

lesnom

bres

reels:

R“

tx“

x`

i0|x

PRu

;

lesnom

bres

imaginaires

purs:

iR“

tiy“

0`

iy|y

PRu

.

‚L’ensemble

Cse

represente

commeplanco

mplexe

:R

iRC

z“

x`

iy

x

y

1

Parties

reelle

etim

aginaire,

conjugueco

mplexe

Defi

nition:Pou

runnom

brecomplexe

z“

x`iy,on

appelle:

‚partiereelle

lenom

brereel

Repz

q“x

‚partieim

aginairele

nom

brereel

Impzq

“y

‚co

njugueco

mplexe

lenom

brecomplexe

z“

x´iy

Exe

mples–

‚Pourz

“3

´2i:

Repz

q“3,

Impz

q“´2

,z

“3

`2i.

‚Leconjugued’unreel

z“

? 2estlui-mem

e:z

“? 2

.

‚Leconjugued’unim

aginaire

purz

“5iestsonoppose:

z“

´5i.

Egaliteet

operationsen

trenombresco

mplexe

s

Defi

nition:Soientz

“x

`iy

etw

“u

`iv

deuxcomplexeset

λPR

.

‚eg

alite:

z“

wsiet

seulementsi

x“

uet

y“

v

‚addition:

z`

w“

px`u

q`ipy

`v

q‚

soustraction:

z´

w“

px´

uq`

ipy´

vq

‚produit

par

unscalaire:

λz

“pλ

xq`

ipλy

q‚

multiplic

ation:

zw

“xu

`iyu

`ixv

`i2yv

“pxu

´yv

q`ipx

v`yu

q

‚division:

z w“

zw

ww

“px

`iy

qpu´

ivq

pu`

ivqpu

´iv

q“xu

`yv

u2

`v2

`iyu

´xu

u2

`v2

‚puissance

entierepositive

:zn

“z

ˆz

ˆz

ˆ¨¨¨

ˆz

nfois

‚puissance

entiereneg

ative

:z

´n“

1 zˆ

1 zˆ

1 zˆ

¨¨¨ˆ

1 znfois

‚racines

n-iem

e:c’esttoutnom

brecomplexe

δtelqueδn

“z.

Attention

:ilyen

andistinctes.

2

Proprietes

des

operations

Proprietes:Les

operationsdansC

ontlesmem

esproprietes

queleurs

operationsanalog

ues

dansR.

Soientzet

wdeuxnom

bres

complexes.

Alors:

‚z

`w

“z

`w

‚zw

“zw

‚siw

‰0alors

` z w

˘ “z w

‚pou

rtoutn

PNon

azn

“pzq

n

‚Repz

q“pz

`z

q{2et

Impzq

“pz

´z

q{2i

‚z

“z

ôz

PRet

z“

´zô

zPi

R

‚zz

“px

`iy

qpx´

iyq“

x2

`y2

esttoujours

unreel

positifou

nul.

Exe

mples:

operationsen

trenombresco

mplexe

sExe

mples:

Soient

z“

2p3

`2i

qet

w“

5´

i.Alors:

z`w

“p6

`4i

q`p5

´iq

“11

`3i

z´w

“p6

`4i

q´p5

´iq

“1

`5i

zw“

2p3

`2i

qp5´

iq“

2p15

´3i

`10

i´

2i2q

“2

` p15`

2q`

p´3

`10

qi˘

“2

p17`

7iq“

34`

14i

z w“

2p3

`2i

q5

´i

“2

p3`

2iqp5

`iq

25`

1

“2

p15´

2`

10i

`3i

q26

“13 13

`13 13

i“

1`i

3

2.Module

etargumen

t

Defi

nition:Onidentifiele

plancomplexe

Cavec

leplanR

2munid’un

reperecartesien

pO,� e

1,� e

2q.

Onappelle

alors:

‚affixe

complexe

d’unpointM

px,y

qlenom

brecomplexe

z“x

`iy

‚module

dezla

distance

|z|“

distpM

,Oq“

ρ

‚argumen

tdezl’angleθpar

rap-

portal’axedes

reels(voirfigu

re):

R

iRC

Mpx

,y

q

x

yρ θ

Proprietes:Onaalors:

‚|z|

“ax2

`y2

“ρ

‚Repz

q“x

“ρcosθ

etIm

pzq“

y“

ρsinθ

‚cosθ

“x

ax2

`y2

sinθ

“y

ax2

`y2

tanθ

“y x

six

‰0

Exe

rcice:

module

etargumen

tExe

rcice:

Calculerle

module

etunargu

mentdes

nom

bres

complexes

suivants.

‚z

“´1

´i

Rep

onse:Lemodule

est

|z|“

ap´

1q2`

p´1q2

“? 2.

L’argumentest

unangleθtelque

cosθ

“´1 ? 2

etsinθ

“´1 ? 2

.

Par

exem

ple,θ

“5π 4

estunargu

mentdez.

‚z

“5

´3i

Rep

onse:Lemodule

est

|z|“

? 52`

32“

? 25`

9“

? 34.L’argument

estunangleθtelque co

sθ

“5 ? 34

etsinθ

“´3 ? 34

.

Decetangleon

peutdire(sanscalculette)

que

tanθ

“´3

{5.

4

Proprietes

dumodule

Soitz

“x

`iy

PC.Lemodule

dezestdon

c|z|

“ax2

`y2

.

Proprietes:

‚|z|

ě0

et|z|

“0siet

seulementsiz

“0

‚siz

PR,alors

|z|estla

valeurabsoluedureel

z

‚|´

z|“

|z|;

‚zz

“|z|

2par

consequent

1 z“

z |z|2

siz

‰0

‚|z 1

z 2|“

|z 1||z

2|

et

ˇ ˇ1 z

ˇ ˇ “1 |z|

siz

‰0

‚|z 1

`z 2

|ď|z 1

|`|z 2

|et

|z 1`

z 2|“

|z 1|`

|z 2|siet

seulementsiz 1

“λz 2

ouλ

PR

‚|z 1

`z2|ě

||z1|´

|z 2||,

i.e.

"|z 1

`z2|ě

|z 1|´

|z 2|si

|z 1|ě

|z 2|,

|z 1`z

2|ě

|z 2|´

|z 1|si

|z 1|ď

|z 2|.

Exp

onen

tiel

complexe

Defi

nition:L’exp

onen

tiel

complexe

d’argumen

tθ

PRestle

nom

bre

complexe

eiθ

“cosθ

`isinθ

.

Exe

mples:

ei0

“ei2π

“1,

eiπ 2

“i,

eiπ

“´1

,ei3π 2

“´i

.

Proprietes:

‚eiθestperiodiquedeperiode2π

,i.e.

eipθ

`2πk

q “eiθ

pou

rtoutk

PZ‚

eiθ

estunnom

brecomplexe

unitaire,

i.e.

|eiθ|“

1

‚le

pointM

peiθqs

etrou

vesur

lecercle

unitairex2

`y2

“1

x

y

C

1

eiθ

cosθ

sinθ

5

Rep

resentationpolaire

Theo

reme:

Tou

tnom

brecomplexe

z‰

0s’ecritsousla

form

epolaire

z“

ρeiθ

,ou

ρ“

|z|.

Eneff

et:

z“

x`

iy“

ρcosθ

`iρ

sinθ

“ρ

pcosθ

`isinθ

q“ρeiθ.

Proprietes:Soientz

“ρeiθ

etw

“re

iϕdeuxnom

bres

complexesen

form

epolaire.Onaalors:

‚produit:zw

“pρ

rqeipθ

`ϕq ,

‚puissance

entierepositive

:zn

“ρneinθ,ou

nPN

‚puissance

entiereneg

ative

:z

´n“

1 zn

“1 ρne

´inθsiρ

‰0,

‚racines

n-iem

es:

n? z“

z1 n

“n? ρ

eiθ

`2kπ

nou

k“

0,1,...,n

´1

(Attention

:ilyandistinctes

racines

n-iem

es!).

‚form

ule

deMoivre:

peiθqn

“einθ

pou

rtoutn

PZi.e.

pcosθ

`isinθqn

“cospn

θq`

isin

pnθq

Racines

carree

set

cubiques

d’unnombre

complexe

‚Les

racines

carree

sdez

“ρeiθ

PCsonttoujours

deux,

δ 0et

δ 1:

δ k“

? ρei pθ 2

`kπq ,

k“

0,1

c-a-d

δ 0“

? ρeiθ 2

etδ 1

“? ρ

ei pθ 2

`πq

Propriete:

Ona

δ 1“

´δ0.

C

? ρ

δ0

δ1

θ 2

‚Les

racines

cubiques

dez

“ρeiθ

PCsonttoujours

trois:

δ k“

3? ρei pθ 3

`k2π 3

q ,k

“0,1,2

Propriete:

Siuneracinecubiqueestreelle,lesautres

deuxsontconjugu

escomplexes.

Exe

mple:Siθ

“0et

δ 0“

3? ρ,ona

δ 1“

3? ρei2π 3

etδ 2

“3? ρ

ei4π 3

“δ 1

C

δ0

δ1

δ2

6

Exe

rcice:

racinecarree

denombresco

mplexe

sExe

rcice:

Calculerlesracines

carreesdes

complexessuivants:

‚z

“1

`i? 3

Rep

onse:Onecritzen

form

epolaire:z

“1

`i? 3

“2e

iπ 3.Alors:

δ 0“

? 2eiπ 6

“? 2 2

p? 3`

iq

δ 1“

? 2ei pπ 6

`πq “

´? 2 2p? 3

`iq

‚z

“15

´8i

Rep

onse:Puisqueon

neconnaitpas

laform

epolaire

dez,on

cherche

δ“

x`iy

telqueδ2

“px

2´

y2q`

2xyi

“z

“15

´8i

(etdon

caussi

ˇ δ2ˇ “

x2

`y2

“|z|

“? 22

5`

64“

17):

$ & %x2

´y2

“15

2xy

“´8

x2

`y2

“17

ô"

y2

“1

x“

´4 y

ô"

y“

1x

“´4

ou

"y

“´1

x“

4

Onadon

cδ 0

“4

´i

etδ 1

“´4

`i.

3.Polynomes

complexe

s

Defi

nition:Unpolynomeco

mplexe

estunpolynom

eP

pXq“

a nX

n`

a n´1

Xn

´1`

¨¨¨`a 1X

`a 0

avec

coeffi

cients

complexes,

a 0,a

1,...,a

nPC

.(P

euim

porte

X,c’estunevariable.)

Ledeg

redeP

pXqe

stle

plusgrandentier

ntelquea n

‰0.

Exe

mples:

iX3

`p5

´iqX

est

un

polynome

de

degre

3isin

pX3q`

5X

n’est

pas

unpolynome

Defi

nition:Unefactorisationd’unpolynom

eP

pXqe

stl’ecriture

PpX

q“Q

1pX

qQ2pX

q¨¨¨Q

lpXq

commeproduitdepolynom

esdedegre

inferieuraceluideP

pXq.

Exe

mple:

iX3

`p5

´iqX

“iX

pX2

´1

´5iq

Defi

nition:Unpolynom

eP

pXqe

stirreductible

[dansC

resp.R]s’ilnese

factorisepas

[dansC

resp.R].

Exe

mples:

X2´1

“pX

´1qpX

`1qn

’est

pas

irreductible

X2`1

“pX

´iqpX

`iqe

stirreductible

dan

sR

maispas

dan

sC.

7

Racines

des

polynomes

Defi

nition:Uneracined’unpolynom

ecomplexe

PpX

qest

unnom

bre

complexe

ztelqueP

pzq“

0.

Exe

mple:

z“

iet

z“

´isontracines

deX

2`1

Lem

me:

SizestuneracinedeP

pXq,

alorsilexiste

unentier

mě

1et

un

polynom

eQ

pXqt

elsque

PpX

q“pX

´z

qmQ

pXq

etQ

pzq‰

0.

Onappelle

mla

multiplic

itedela

racinez.

Theo

remeded’A

lembert-Gauss:Tou

tpolynom

ecomplexe

PpX

qde

degre

dse

factorisecomme

PpX

q“z 0

pX´

z 1qm

1¨¨¨

pX´

z lqm

l

ouz 0

PC,z 1,...,z

lsontlesracines

deP

pXqe

tm

1`

¨¨¨`m

l“

d.

Par

consequen

t:

‚Tou

tpolynom

ecomplexe

dedegre

dadmet

dracines.

‚Seulslespolynom

escomplexesa 1X

`a 0

sontirreductibles.

Racines

d’unpolynomeco

mplexe

dedeg

re2

Proposition:Les

solution

sdel’equation

az2

`bz

`c

“0

,a

coeffi

cients

complexes,sont

z“

´b˘

δ

2aPC

ouδ

PCestuneracinecarree

dudiscrim

inantΔ

“b2

´4ac

PC,

c’est-a-direunnom

brecomplexe

telqueδ2

“Δ.

Par

consequen

t:Lepolynom

eP

pXq“

aX2

`bX

`ca

‚uneracinedou

ble

z“

´b{2asiΔ

“0,

‚deuxracines

distinctes

z 1“

´b`

δ

2aet

z 2“

´b´

δ

2asiΔ

‰0.

8

Exe

rcice:

equationco

mplexe

dedeg

re2

Exe

rcice:

Resou

dre

l’equation

z2

´p1

`iqz

`6

´2i

“0.

Rep

onse:Les

solution

sdecetteequationsont

z“

1`

i˘

δ

2,ou

ilfaut

trou

verδ

“x

`iy

telqueδ2

“Δ

etˇ δ2

ˇ “|Δ

|,c’est-a-dire:

px2

´y2q`

i2xy

“p1

`iq2

´4p6

´2i

q“

1`

2i´

1´

24`

8i“

´24

`10

i

x2

`y2

“2

|´12

`5i

|“2? 14

4`

25“

2ˆ

13“

26

Onaalors

$ & %x2

´y2

“´2

42xy

“10

x2

`y2

“26

ô"

2x2

“2

xy“

5ô

"x

“˘1

y“

5{x

“˘5

etpar

consequent

δ“

˘p1

`5i

q.Onadon

c

z 1“

1`

i`

p1`

5iq

2“

2`

6i

2“

1`

3i

z 2“

1`

i´

p1`

5iq

2“

0´

4i

2“

´2i

Racines

complexe

sd’unpolynomereel

Proposition:SiP

pXqe

stunpolynom

eacoeffi

cients

reels,et

zPC

estune

racinecomplexe

deP

pXqd

emultiplicitem,alorssonconjugu

ezestaussi

uneracinedeP

pXq,

demem

emultiplicitem.

Exe

mple:Lepolynomereel

X2

`1acommeracines

˘i,ou

´i“

i.

Par

consequen

t:

‚Puisquez

“zseulementsiz

PR,toutpolynom

ereel

dedegre

impaird

ě3admet

aumoinsuneracinereelle.

‚Les

polynom

esreelsirreductiblessontdedegre

1ou

2,c’est-a-direqu’ils

sontdela

form

ea 1X

`a 0

oubiena 2X

2`

a 1X

`a 0.

‚Tou

tpolynom

ereel

irreductible

dedegre

2admet

deuxracines

complexesconjugu

ees,zet

z.

Exe

mple:LepolynomeX

2´

4X

`5estirreductible

dan

sR,car

Δ“

16

´20

ă0,maisadeuxracines

complexes2

`iet

2´i

“2

`i.

9

Exe

rcice:

factorisationd’unpolynomereel

Exe

rcice:

Factoriserle

polynome

PpX

q“X

6´

? 2X

3`

1en

polynomes

reels

irreductibles.

Rep

onse:Laprocedure

esten

deuxetap

es:

Etape1)OnfactoriseP

pXqd

ansC

enproduitdesixpolynomes

dedegre

1,

PpX

q“pX

´z 0

qpX´

z 1qpX

´z 2

qpX´

z 3qpX

´z 4

qpX´

z 5q,

ouz 0,...,z

5sontlessixsolutionsdel’equationz6

´? 2

z3

`1

“0

p˚q.

Pourcela,onpose

w“

z3.Alors

p˚qd

onnew

2´

? 2w

`1

“0et

ontrouve

deux

solutions

w1

“1 2

`i1 2

“eiπ 2

w2

“1 2

´i1 2

“e

´iπ 2.

Alors,l’eq.z3

“w

1“

eiπ 2

atroissolutionsz k

“eip

π 6`

2πk

3qpourk

“0,1,2:

z 0“

? 3 2`

i1 2,

z 1“

´? 3 2

`i1 2

,z 2

“´i

,

etl’eq.z3

“w

2“

e´i

π 2atroissolutionsz 3

`k“

eip´

π 6`

2πk

3qpourk

“0,1,2:

z 3“

? 3 2´

i1 2,

z 4“

i,z 5

“´

? 3 2´

i1 2.

Aufinal,onadoncla

factorisationdeX

6´

? 2X

3`

1en

sixpolynomes

complexesdedegre

1.

Exe

rcice:

factorisationd’unpolynomereel

(suite)

Etape2)Les

sixsolutionssontdeuxadeuxconjuguees:

onmultiplie

deuxadeux

lespolynomes

pX´

z kqpX

´z k

qcorrespondan

tsau

xnombres

complexes

conjugues,et

onobtientdes

polynomes

reelsirreductiblesdedegre

2:

X6

´? 2

X3

`1

“pX

´? 3 2

´i1 2

qpX`

? 3 2´

i1 2qpX

`iq

pX´

? 3 2`

i1 2qpX

´iqp

X`

? 3 2`

i1 2q

“˜

ˆ X´

? 3 2

˙ 2`

1 4

¸˜

ˆ X`

? 3 2

˙ 2`

1 4

¸´ X

2`

1¯

“´ X

2´

? 3X

`1

¯´X

2`

? 3X

`1

¯´X

2`

1¯ .

Aufinal

onala

factorisationsouhaiteeen

polynomes

reelsirreductibles.

10

TMB

–Chapitre

2Fonctionsd’unevariable

reelle

Dansce

chapitre:

1.Fon

ctionsusuelles.

2.Graphes

des

fonctions.

3.Fon

ctionscroissantes,decroissantes,mon

oton

es.Fon

ctionspaireset

impaires.

4.Operationsentrefonctions:

addition,multiplication,composition.

5.Fon

ctionsreciproques.

1.Fonctionsreelles

Defi

nition:Unefonction(ree

lle)estune“loi”quiassocieatoutx

PRau

maxim

um

unevaleury

PR,qu’onnotey

pxqc

arelle

dependdex.Une

fonctionestaussinotee

f:R

ÝÑR,x

ÞÑy

“f

pxq

‚Ledomaine(dedefi

nition)d’unefonctionfestl’ensemble

Df

“� x

PR|f

pxqP

R,i.e.

lavaleurf

pxqe

stbiendefinie

)

‚L’imaged’unefonctionfestl’ensemble

I f“

� yPR

|y“

fpx

qpou

runx

PDf

)

Attention

:uneloiquiassocieax

PRdeuxvaleurs

distinctes

y 1,y

2PR

(ou

plus)

n’est

pas

unefonction.

Exe

mples:

‚Laloif

pxq“

x2estunefonctiondedomaineD

f“R

etim

ageI f

“R`.

‚Laloif

pxq“

? xestunefonctiondedomaineD

f“R

`et

imag

eI f

“R`.

‚Laloif

pxq“

˘? xn’est

pas

unefonction,ex.f

p4q“

`2oubien

´2.

11

Polynomes,fractions,

racines

Defi

nition:Onappelle

“usuelles”

lesfonctionsf:R

ÑR

suivantes:

‚fonctionspolynomiales,

abrege

en“p

olynom

es”:

fpx

q“a o

`a 1

x`

a 2x2

`¨¨¨

`a n

xn

a iPR

,avec

Df

“R

.

‚fractionsrationnelles,

abrege

en“fractions”:ce

sontlesquotients

de

polynom

esapx

qetb

pxq

fpx

q“a

pxq

bpx

qavec

Df

“! x

PR|b

pxq‰

0).

‚fonctionsradicales,

abrege

en“racines”:

cesontlesracines

k-iem

esde

polynom

esapx

q,pou

rk

PN

fpx

q“kaapx

qdefinipar

fpx

qk“

apxq

avec

dom

aine

Df

“" x

PR|A

apxqP

Rsikestim

pair

apxqP

R`

sikestpair

*.

Fonctionscirculaires

‚co

sinus

fpx

q“cosx

avec

Dco

s“R

etI cos“r

´1,1

s

‚sinus

fpx

q“sinx

avec

Dsin

“Ret

I sin

“r´1

,1s

oupco

sx,sinx

qson

tlescoordon

neesdu

pointPquisetrou

vesurlecercleunitaire

aanglexmesure

danslesensantihoraire

depuisl’axededirection

� ı.

PuisquelecercleaequationX

2`Y

2“

1,sion

poseX

“cosxet

Y“

sinxon

a

cos2x

`sin2x

“1

pou

rtoutx

PR.

� ı

�

P

x

cosx

sinx

tanx

‚tangen

tef

pxq“

tanx

“sinx

cosx

avec

Dtan

“tx

PR|x

‰π 2

`kπ,k

PZu

etI tan

“R

12

Form

ulairesurlesfonctionscirculaires

1‚

Valeurs

particu

lieres:

cosp0

q“1

sin

p0q“

0tan

p0q“

0cospπ

{6q“

? 3{2

sin

pπ{6

q“1{2

tan

pπ{6

q“? 3{

3cospπ

{4q“

? 2{2

sin

pπ{4

q“? 2{

2tan

pπ{4

q“1

cospπ

{3q“

1{2

sin

pπ{3

q“? 3{

2tan

pπ{3

q“? 3

cospπ

{2q“

0sin

pπ{2

q“1

tan

pπ{2

q“˘8

cospπ

q“´1

sin

pπq“

0tan

pπq“

0cosp3

π{2

q“0

sin

p3π{2

q“´1

tan

p3π{2

q“˘8

‚Periodicite:

pou

rtoutk

PZon

a:

cos

px`

2kπ

q“cosx

sin

px`

2kπ

q“sinx

tan

px`

kπ

q“tanx

‚Egalite:

cosx

“cosy

ðñx

“y

`2k

πou

x“

´y`

2kπ,

@kPZ

sinx

“siny

ðñx

“y

`2k

πou

x“

´y`

p2k`

1qπ,

@kPZ

tanx

“tany

ðñx

“y

`kπ,

@kPZ

‚Iden

tite

circulaire:

cos2x

`sin2x

“1;

‚Exp

ressiondesinxet

tanxen

fonctiondecosx:

sinx

“˘? 1

´cos2x

tanx

“˘c

1

cos2x

´1

‚Exp

ressiondecosx,sinxet

tanxen

fonctiondet

“tan

px{2

q:

cosx

“1

´t2

1`

t2,

sinx

“2t

1`

t2,

tanx

“2t

1´

t2.

‚Form

ule

depuissance

(Moivre):

pcosx

`sinx

qn“

cospn

xq`

sin

pnxq

pou

rtoutn

PN.

13

Form

ulairesurlesfonctionscirculaires

2‚

Form

ulesd’addition:

cospx

`y

q“cosxcosy

´sinxsiny

cospx

´y

q“cosxcosy

`sinxsiny

sin

px`

yq“

sinxcosy

`cosxsiny

sin

px´

yq“

sinxcosy

´cosxsiny

tan

px`

yq“

tanx

`tany

1´

tanxtany

tan

px´

yq“

tanx

´tany

1`

tanxtany.

‚Form

ulesdeduplic

ation:

cosp2

xq“

cos2x

´sin2x

“1

´2sin2x

“2cos2x

´1

sin

p2xq“

2sinxcosx

tan

p2xq“

2tanx

1´

tan2x.

‚Form

ulesdelin

earisation:

cosxcosy

“1 2pco

spx`y

q`cospx

´yqq

sinxsiny

“1 2pco

spx´y

q´cospx

`yqq

cosxsiny

“1 2psi

npx

`yq´

sin

px´y

qqsinxcosy

“1 2psi

npx

`yq`

sin

px´y

qqcos2x

“1 2p1

`cosp2

xqq

sin2x

“1 2p1

´cosp2

xqq

‚Form

ulesdefactorisation:

cosx

`cosy

“2cos

` x`y 2

˘ cos

` x´y 2

˘cosx

´cosy

“´2

sin

` x`y 2

˘ sin

` x´y 2

˘

sinx

`siny

“2sin

` x`y 2

˘ cos

` x´y 2

˘sinx

´siny

“2sin

` x´y 2

˘ cos

` x`y 2

˘

‚Form

ulesrelative

sauxanglesassocies:

Anglesopposes:

cosp´

xq“

cosx

sin

p´x

q“´sinx

tan

p´x

q“´tanx.

Anglessupplemen

taires:

cospπ

´x

q“´cosx

sin

pπ´

xq“

sinx

tan

pπ´

xq“

´tanx.

Anglesco

mplemen

taires:

cos

´ π 2´

x¯

“sinx

sin

´ π 2´

x¯

“cosx

tan

´ π 2´

x¯

“1

tanx.

Angles“dedifferen

ceπ”:

cospx

`π

q“´cosx

sin

px`

πq“

´sinx

tan

px`

πq“

tanx.

14

Fonctionsarc

‚arccosinus

fpx

q“arccos

x

arccos

xestl’anglecomprisentre0et

πquiaxcommecosinus,c.-a-d.

arccos

x“

θô

x“

cosθ

etθ

Pr0,π

s,alors

Darccos“r

´1,1

set

I arcco

s“r

0,π

s

‚arcsinus

fpx

q“arcsinx

arcsinxestl’anglecomprisentre

´π2et

π 2quiaxcommesinus,c.-a-d.

arcsinx

“θ

ôx

“sinθ

etθ

Pr´π

2,π 2

s,alors

Darcsin

“r´1

,1s

etI arcsin

“r´π

2,π 2

s

‚arctangen

tef

pxq“

arctan

x

arctan

xestl’anglecomprientre

´π2et

π 2quiaxcommetangente,c.-a-d.

arctan

x“

θô

x“

tanθ

etθ

Ps´

π 2,π 2

r,alors

Darctan

“R

etI arctan

“s´

π 2,π 2

r

Exp

onen

tiel

‚Lafonctionex

ponen

tielle,abrege

en“exp

onentiel”,

debasele

nombre

deNep

er(deEuleret

Nap

ier,XVIIs.)

e“

lim nÑ

8

ˆ 1`

1 n

˙ n“

8 ÿ n“0

1 n!

»2,71

82

estla

fonction

fpx

q“ex

“exp

pxq

quipeutetre

definie

deplusieurs

facons(voirlesprochainschapitrespou

rcomprendre):

i)c’estla

seule

fonctioncontinuequitrasform

eunesommeen

produit,

exp

px`

yq“

exp

pxqe

xppy

q,et

quivauteen

x“

1;

ii)c’estla

seule

solution

del’equationdifferentielle

f1 px

q“f

pxq

quivaut1en

x“

0;

iii)commesommedeserie

ex

“8 ÿ n“0

1 n!xn.

Ona

Dexp

“R

etI exp

“s0,

8r.

15

Logarithme

‚Lafonctionlogarithmenaturel,abrege

en“log

arithme”,estla

fonction

fpx

q“lnx

quidon

nel’exposantal’expon

entiel

pou

rob

tenirx,

c’est-a-diretelle

que

lnx

“y

ôey

“x.

Elle

peutegalem

entetre

definie

des

faconssuivantes(voirlesprochains

chapitrespou

rcomprendre):

i)c’estla

seule

fonctioncontinuequitransformeunproduiten

somme,

lnpx

yq“

lnpx

q`ln

pyq,et

quivaut1en

x“

e;

ii)c’estla

seule

prim

itivedela

fonction

xÞÑ

1 xquivaut0en

x“

1.

Ona

Dln

“s0,

8ret

I ln“

R.

Fonctionshyp

erboliq

ues

‚co

sinushyp

erboliq

ue

fpx

q“ch

x“

cosh

x“

ex

`e

´x

2avec

Dch

“Ret

I ch

“r1,

8r

‚sinushyp

erboliq

ue

fpx

q“sh

x“

sinhx

“ex

´e

´x

2avec

Dsh

“Ret

I sh

“ROna

ch2x

´sh

2x

“1

pou

rtoutx

PR,

don

cpch

x,shx

qson

tlescoordon

neesdes

points

Pquise

trou

ventsurla

branche

droite

de

l’hyp

erboled’equationX

2´

Y2

“1

� ı

�

P

chx

shx

‚tangen

tehyp

erboliq

ue

fpx

q“th

x“

tanhx

“sh

x

chx

avec

Dth

“Ret

I tan

“s´

1,1r

16

2.Graphedefonctions

Defi

nition:Legraphed’unefonctionfestl’ensemble

des

points

duplan

Γf

“! px

,yqP

R2

|xPD

f,y

“f

pxq)

“! `

x,f

pxq˘ PR

2|x

PDf

)Ă

R2

x

fpx

qpx,f

pxqq

‚Γf

Enregardantle

graphed’unefonctionon

peutdeduirequel

estson

dom

aine,

sonim

ageet

sesproprietes

importantes.

Legraphedes

fonctionsusuellesestaconnaıtrepar

cœur.

Graphes

aco

nnaıtre

!

x

fpx

q“x

x

fpx

q“x2

x

fpx

q“x3

x

fpx

q“1

{x

x

fpx

q“1

{x2

x

fpx

q“1

{x3

x

fpx

q“? x

x

fpx

q“3? x

x

fpx

q“4? x

17

D’autres

graphes

aco

nnaıtre

!

x

fpx

q“|x|

x

fpx

q“|x3

|

x

fpx

q“|1{

x|

x

fpx

q“sin

pxq

x

fpx

q“co

spxq

x

fpx

q“tan

pxq

x

fpx

q“arcsin

pxq

x

fpx

q“arccospx

q

x

fpx

q“arctan

pxq

D’autres

enco

re...ouf!

x

fpx

q“exp

pxq

x

fpx

q“exp

p´x

q“1

exp

pxq

x

fpx

q“ln

pxq

x

fpx

q“´

lnpx

q“ln

` 1 x

˘

x

fpx

q“sinh

pxq

x

fpx

q“co

shpx

q

x

fpx

q“tanh

pxq

18

3.Fonctionscroissantes,

decroissantes,

monotones

Laprem

iere

propriete

qu’onvoitsurle

grapheestla

croissance.

Defi

nition:Soitf:R

ÑR

unefonctionet

DĂ

Df.Onditque:

‚fest(strictemen

t)croissante

surD

si

fpx

qăf

pyq

pou

rtoutx,y

PDtelsquex

ăy.

‚fest(strictemen

t)decroissante

surD

si

fpx

qąf

pyq

pou

rtoutx,y

PDtelsquex

ăy.

‚festco

nstante

surD

sif

pxq“

fpy

qpou

rtoutx,y

PD.

Sionn’indiquepas

l’ensemble

D,onsous-entendqu’onparle

detoutle

domaine

dedefi

nitionD

f.

‚fest(strictemen

t)monotonesielle

estpartoutcroissante

oupartout

decroissante

surD

f.

L’appellatif“strictem

ent”

peutetre

remplace

par

“largem

ent”

sionconsideredes

inegalites

larges

ďet

ě.S’ilestsous-entenduonconsiderelesinegalites

strictes

ăet

ą.

Exe

mple

defonctionsmonotones

Exe

mples:

‚Les

polynomes

xnsontmonotones

croissants

seulementsinestim

pair.

Sinestpair,ils

sontdecroissants

pourx

ă0et

croissants

pourx

ą0.

‚Les

fractions

1 xnsontmonotones

decroissantesseulementsinestim

pair.

Sinestpair,ellessontcroissantespourx

ă0et

decroissantespourx

ą0.

‚Les

racines

k? xsontmonotones

croissantes.

‚Les

fonctionscirculaires

sinxet

cosxnesontpas

monotones

(ellessont

oscillantes).Latangente

tanxestmonotonecroissante.

‚Les

fonctionsarcsinxet

arctan

xsontmonotones

croissantes,

alorsquearccosx

estmonotonedecroissante.

‚L’exp

onentiel

exet

lelogarithmelnxsontmonotones

croissants.

‚Les

fonctionshyp

erboliq

ues

sinhxet

tanhxsontmonotones

croissantes,

alors

quecosh

xestdecroissantpourx

ă0et

croissantpourx

ą0.

19

Fonctionsco

nve

xeset

conca

ves

Ladeuxiem

epropriete

qu’onvoitsurle

grapheestla

convexite.

Defi

nition:Soitf:R

ÑR

unefonctionet

DĂ

Df.Onditque:

‚festco

nve

xesurD

sielle

ala

form

e

‚festco

nca

vesurD

sielle

ala

form

e

‚festplate

surD

sielle

estconstante

Sionn’indiquepas

l’ensemble

D,onsous-entendqu’onparle

detoutle

domaine

dedefi

nitionD

f.

Exe

mples:

‚Les

polynomes

xnet

lesfractions

1 xnsontconvexessinestpair.

Sinestim

pair,ils

sontconcavespourx

ă0et

convexespourx

ą0.

‚Les

racines

k? xsontconcaves.

‚L’exp

onentiel

exestconvexe.Lelogarithmelnxestconcave.

Fonctionspaires,im

paires

etperiodiques

Latroisiemepropriete

qu’onvoitsurle

grapheestla

symetrie.

Defi

nition:Soitf:R

ÑR

unefonction.Onditque:

‚festpairesi

fp´

xq“

fpx

qpou

rtout

xPD

f(sym

etrieaxiale).

‚festim

pairesi

fp´

xq“

´fpx

qpou

r

toutx

PDf(sym

etriecentrale).

‚f

estperiodique

de

periode

psi

fpx

`p

q“f

pxq

pou

rtoutx

PDf

(sym

etriepar

translation).

Exe

mples:

‚Les

polynomes

xnet

lesfractions

1 xnsontdes

fonctionspairessinestpair,

etdes

fonctionsim

pairessinestim

pair.

‚Les

fonctionssinxet

tanxsontim

paires,

cosxestpaire.Touteslestrois

sontperiodiques:sinxet

cosxdeperiode2π,tanxdeperiodeπ.

20

Exe

rcice

Exe

rcice:

Pou

rlesfonctionssuivantes,dessiner

legraphe,

preciser

ledom

ainededefinitionet

siellessontmon

oton

es(croissantesou

decroissantes),pairesou

impaireset

periodiques.

‚f

pxq“

2lnx

`1

Rep

onse:Legraphedef

pxq“

2lnx

`1se

trou

veen

dilatantpar

2le

graphedex

ÞÑlnxet

endecalanttoutde

`1:

‚ 1x

lnpx

q

| 1

´1

x

fpx

q“2ln

pxq`

1

‚

Ledom

ainedefest

Df

“tx

PR|x

ą0u

“s0,

8r.

Lafonctionfestmon

oton

ecroissante,nipaire

niim

paire.

Exe

rcice(suite)

‚u

pθq“

cosp2

θq´

1

Rep

onse:Legraphedeu

pθq“

cosp2

θq´

1se

trou

veen

decalantde

´1le

graphedela

fonctionf

pxq“

cosxou

x“

2θ:

‚1

|π| 2π

x

cospx

q

1

|π|2π

θ

upθq

“co

sp2θ

q´1

Ledom

ainedeuest

Du

“tθ

PR|2

θPR

u“R.

Lafonctionun’est

pas

mon

oton

e,et

elle

estpaire.

Elle

estclairementperiodiquedeperiodeπ:

upθ

`π

q“cos

` 2pθ`

πq˘ ´

1“

cosp2

θ`

2πq´

1

“cosp2

θq´

1“

upθq

.

21

Exe

rcice(suite)

‚z

ptq“

´? t´1

Rep

onse:Legraphedez

ptq“

´? t´1se

trou

vepar

etap

es:on

dessinela

fonction

? t,on

decalela

variable

independante

detat

´1en

bou

geant

l’axevertical

de

´1en

horizon

tal,enfinon

prendsonop

pose

´? t´1.

t

? t

t

? t´

1

t

zptq

“´? t

´1

Ledom

ainedela

fonctionzest

Dz

“tt

PR|t

´1

ě0u

“r1,

8r.

Lafonctionzestmon

oton

edecroissante,ellen’estnipaire

niimpaire.

4.Operationsen

trefonctions

Defi

nition:Soientf,g

:R

ÑR

deuxfonctions,et

tPR

.

‚addition:

pf`

gqpx

q“f

pxq`

gpx

qavec

dom

aine

Df

`g“

txPR

|xPD

fet

xPD

gu“

Df

XD

g

zero:

0pxq“

0avec

D0

“R

opposee:

p´f

qpxq“

´fpx

qavec

D´f

“D

f

‚produit

par

unscalaire:

ptf

qpxq“

tf

pxq

avec

Dtf

“D

f

‚multiplic

ation:

pfg

qpxq“

fpx

qgpx

qavec

Dfg

“D

fX

Dg

unite:

1pxq“

1avec

D1

“R

inve

rse:

` 1 f

˘ pxq“

1f

pxq

avec

D1

{f“

txPD

f|f

pxq‰

0uExe

mples:

hpx

q“x2

`sinxestla

sommedef

pxq“

x2et

gpx

q“sinx

kpx

q“10

px2

`sinx

qest

leproduitdeh

pxqp

arle

scalaire

10

Hpx

q“x2

sinxestle

produitdef

pxqp

arl’inversedeg

pxq

22

Proprietes

des

operations

Proposition:

‚Les

operationsentrefonctionson

tlesmem

esproprietes

queleurs

analog

ues

entrenom

bres

reels(associative,

commutative,distributive).

‚Enparticulier,l’ensemble

des

fonctionsestunespacevectoriel(de

dim

ension

infinie)avec

l’additionet

leproduitpar

unscalaire.

Exe

mple:Sif

pxq“

x2,g

pxq“

sinx,h

pxq“

cosxet

t“

10,l’egalite

x2p10

sinx

`cosx

q“x2cosx

`10x2sinx

(pourtoutx)

s’exprim

een

term

edefonctionscomme

fpt

g`

hq“

fh

`tfg

etrepose

surla

propriete

commutative

del’ad

ditionet

duproduitpar

unscalaire

etsurla

propriete

distributive

dela

multiplicationpar

rapportal’ad

dition.

Note:Unespacevectorielquiaen

plusunemultiplications’appelle

algeb

re.

Compositiondefonctions

Lacompositiondefonctionsestuneoperationquin’a

pas

d’analoguedan

sles

nombres

reels.

Defi

nition:Laco

mposeededeuxfonctionsx

ÞÑf

pxqe

ty

ÞÑg

pyqe

stla

fonctiong

˝f:R

ÑR

definie

par

pg˝f

qpxq“

g` f

pxq˘

avec

dom

aine

Dg

˝f“

� xPD

f|f

pxqP

Dg

(.

Lacompositionpeutetre

vuecommel’enchainem

entdes

fonctionsl’une

apresl’autre:

xf

pxq

g` f

pxq˘

pg˝f

qpxq

ouegalem

entcommela

substitution

dela

variable

y,dansg

pyq,

par

lavaleury

“f

pxq.

Exe

mple:

Sif

pxq“

x2et

gpy

q“siny,onpose

y“

x2et

ona:

pg˝f

qpxq“

g` f

pxq˘ “

gpy

qˇ ˇ y“f

pxq

“siny

ˇ ˇ y“x

2“

sin

px2q.

23

Proprietes

dela

composition

Proprietes:

‚Lacompositionestassociative:

` h˝g

˘ ˝f“

h˝` g

˝f˘

maiselle

n’est

pas

commutative:

g˝f

‰f

˝gen

general.

Exe

mple:

Si

fpx

q“x2,

gpy

q“siny

eth

pzq“

lnz,

ona

ph˝g

qpyq“

lnpsi

ny

qdonc

` ph˝g

q˝f

˘ pxq“

lnpsi

npx

2qq

pg˝f

qpxq“

sin

px2q

donc

` h˝p

g˝f

q˘ pxq“

lnpsi

npx

2qq

etpg

˝fqpx

q“sin

px2q

mais

pf˝g

qpyq“

psiny

q2.

‚Lafonctioniden

tite

idpx

q“x

,avec

dom

aineD

id“

R,estuneunite

pou

rla

composition:

f˝id

“id

˝f“

f.

Rem

arque:

Pourunefonctionf,l’inverse1 festdefi

nie

apartirdela

multiplicationet

del’unite1detelle

sorteque

f1 f

“1

et1 ff

“1

.

L’analoguepourla

compositionet

l’identite

estunefonctionf

´1telle

que

f´1

˝f“

idet

f˝f

´1“

id,c’estla

reciproquedef.

5.Fonctionsreciproques

Defi

nition:

Lareciproqued’unefonctionx

ÞÑf

pxqe

stla

fonction

yÞÑ

f´1

pyqt

elle

que f

´1˝f

“id

etf

˝f´1

“id

c’est-a-diretelle

que

f´1

pfpx

qq“

xpou

rtoutx

PDf

etf

pf´1py

qq“

ypou

rtouty

PIf

cequipeutetre

resumeen

uneseule

assertion:

f´1

pyq“

xðñ

y“

fpx

q

Ceciim

pliqueque

Df

´1

“I f

etI f

´1

“D

f.

Enconclusion

,on

peutvisualiser

lareciproquecommececi:

Df

“I f

´1

x“

f´1

pyq

fy

“f

pxq

I f“

Df

´1

f´1

24

Exe

mplesdereciproques

Exe

mples:

‚Lareciproquedel’exponentiel

fpx

q“exestle

logarithmef

´1py

q“lny,car

f´1

pfpx

qq“

lnpe

xq“

xet

fpf

´1py

qq“

eln

y“

y,

c’est-a-dire

ex

“y

ðñx

“lny.

‚Lareciproquedela

fonctiong

pxq“

x3

`1se

trouve

enposantx3

`1

“yet

encalculantx

“g

´1py

qcommefonctiondey:

y“

x3

`1

ðñy

´1

“x3

ðñx

“3ay

´1

doncg

´1py

q“3? y

´1.

‚Lareciproquedela

fonctionh

pxq“

5

x3

`1se

trouve

enposant

5

x3

`1

“yet

encalculantx

“h

´1py

qcommefonctiondey:

y“

5

x3

`1

ðñx3

`1

“5 y

ðñx

“3c5 y

´1

donch

´1py

q“3c5 y

´1.

Proprietes

des

reciproques

Theo

reme:

Lareciproqued’unefonctionfexiste

siet

seulementsifest

strictem

entmon

oton

e.

Idee

:Eneff

et,sifn’est

pas

strictem

entmonotone,

ilexiste

deuxpoints

distinctsx 1

etx 2

quidonnentla

mem

evaleury

“f

px 1q“

fpx 2

q.Dan

sce

cas,

commentva-t-ondefi

nirla

reciproquef

´1au

pointy,f

´1py

q“x 1

oubienf

´1py

q“x 2?Cechoix

estim

possible.

Proprietes:

‚Sifeststrictem

entmon

oton

eet

onnoteΓfsongraphe,

lareciproquef

´1estaussistrictem

entmon

oton

eet

songrapheestl’im

agemiroirdeΓfpar

rapportala

droitey

“x.

x

fpx

q

y

f´1

pyq

‚Lareciproquedela

reciproquedefestf:

` f´1

˘ ´1

“f

.

25

Reciproquedes

fonctionsnonmonotones

Probleme:

‚Les

polynom

esxndepuissance

impaire

etl’expon

entiel

exsontmon

oton

eset

admettentunereciproque,

asavoirrespectivementlesracines

n? xd’ordre

impairet

lelogarithmelnx:

x“

n? yðñ

xn

“y

x“

lny

ðñex

“y

‚Maislespolynom

esxndepuissance

paire

etlesfonctionscirculaires

sinx,

cosxet

tanxnesontpas

mon

oton

eset

n’admettentdon

cpas

de

reciproque!

Quefaire?

Astuce

:Siunefonctionfn’est

pas

mon

oton

e,on

peutrestreindre

son

dom

ainededefinitionaunensemble

DĂ

Dftelque

i)fsoitmon

oton

esurD,

ii)f

pDq“

I f.

Cette

fonction“a

dom

ainerestreint”

f:D

ĂD

fÑ

I fadmet

bienune

reciproque“a

imagerestreinte”:

f´1

:I f

ÑD

ĂD

f.

Exe

mplesdereciproques

“restreintes”

Exe

mples:

‚Les

polynomes

xndepuissance

paire

restreints

al’ensemble

r0,8r

ĂR

ont

commereciproquelesracines

n? xd’ordre

pair:

x“

n? yðñ

xn

“y

etx

ě0

Ex.:

x

x2

x

x2

y

? y

‚Les

fonctionscirculaires

sinx,cosxet

tanx,opportunem

entrestreintes,

ont

commereciproquelesfonctionsarcarcsinx,arccosxet

arctan

x:

x“

arcsiny

ðñsinx

“y

etx

Pr´π

{2,π

{2s

x“

arccosy

ðñcosx

“y

etx

Pr0,π

sx

“arctan

yðñ

tanx

“y

etx

Ps´

π{2,π

{2r

Ex.:

x

sinx

x

sinx

y

arcsiny

26

Exe

rcice

Exe

rcice:

Calculerla

reciproquedes

fonctionssuivantes.

‚f

pxq“

3x2

´5,

avec

xě

0

Rep

onse:

y“

3x2

´5

ôy

`5

3“

x2

ôx

“c

y`

5

3

‚f

pθq“

? sinθ

`3,

avec

´π{2

ďθ

ďπ

{2Rep

onse:

x“

? sinθ

`3

ôx2

´3

“sinθ

ôθ

“arcsin

px2

´3q

‚f

pzq“

3arctan

pezq

Rep

onse:

t{3“

arctan

pezq

ôtan

pt{3q

“ez

ôz

“ln

ptan

pt{3qq

avec

´π{2

ăt{3

ăπ

{2et

tan

pt{3q

ą0,

c’est-a-dire

0ă

t{3ă

π{2,

aufinal:

0ă

tă

3π{2.

27

28

TMB

–Chapitre

3Derivee

s

Dansce

chapitre:

1.Idee

des

limites

etdes

fonctionscontinues.

2.Derivees.

Deriveesdes

fonctionscomposees.

3.Deriveesd’ordre

superieur.

Points

critiques,extrem

alocauxet

points

d’inflexions.

4.Formule

deTayloret

approxim

ations.

1.Idee

des

limites

Defi

nition–

Soitf:R

ÑR

unefonctiondela

variable

x.

Lalim

itedefpourxquitendve

rsx 0,notee

lim xÑ

x 0f

pxq

,estla

valeuralaquelle

tendf

pxqq

uandxs’approchedex 0

(san

sle

toucher).

Cette

limitepeutetre

unnom

brereel,ou

˘8,ou

nepas

exister.

Exe

mple:

limx

Ñ´8

fpx

q“`8

lim xÑ

0f

pxq“

´0.5

lim xÑ

1f

pxq“

lim xÑ

2f

pxq“

0

lim xÑ

4f

pxqn

’existepas

lim xÑ

8f

pxq“

0

Rem

arque:

Pou

rquel’expression

limx

Ñx 0f

pxqa

itunsens,ilsuffitque

x 0PD

f,ou

bienquex 0

soitunpointdubord

deD

f,par

exem

ple

l’undes

deuxextrem

esaet

bsiD

f“s

a,b

rest

unintervalle

ouvert,ou

bien

x 0“

˘8siD

f“

R.

29

Idee

des

fonctionsco

ntinues

Defi

nition–

Soitf:R

ÑR

unefonctiondela

variable

x.

Onditque

‚festco

ntinueen

unpointa

PDfsi

lim xÑ

af

pxq“

fpaq

.

‚festco

ntinuesielle

l’esten

toutpointa

PDf.

continue

‚ a

nonco

ntinueen

a

lim

xÑ

af

pxqn

’existepas

‚ ‚ a

nonco

ntinueen

a

lim

xÑ

af

pxq‰

fpaq

Proposition:

‚Les

fonctionsusuellessontcontinues

surleurdom

ainededefinition.

‚Lasomme,

leproduitet

lacomposee

defonctionscontinues

estcontinue.

2.Derivee

Defi

nition–

Soitf:R

ÑR

unefonctiondela

variable

x.

‚Onappelle

derivee

defen

aPD

fla

limite

df

dx

paq“

f1 paq

“lim xÑ

a

fpx

q´f

paqx

´a

“lim hÑ

0

fpa

`h

q´f

paqh

,

sicettelim

iteexiste

etc’estunnom

brereel.Dansce

cas,on

ditquefest

derivable

ena.

‚Onditquefestderivable

surD

ĂD

fsiellel’esten

toutpointa

PD.Si

D“

Df,on

lesous-entend.

‚Sifestderivable

surD,la

fonctionderivee

estla

fonction

df

dx

“f

1 :D

ÑR,x

ÞÑf

1 pxq.

Exe

mple:Si

fpx

q“x2,

ona

f1 px

q“2x

car

f1 px

q“lim hÑ

0

px`

hq2

´x2

h“

lim hÑ

0

x2

`2xh

`h2

´x2

h

“lim hÑ

0

p2x`

hqh

h“

lim hÑ

0p2x

`h

q“2x.

30

Derivee

,droitetangen

teet

croissance

Proposition:

Si

fest

derivable

ena,

alors

son

graphe

Γf

admet

une

droitetangente

Δa

aupoint

pa,f

paqq,

d’equation

Δa:

y“

f1 paq

px´

aq`

fpaq

eton

af

1 paq“

tanθ a

,ou

θ aest

l’angleform

epar

ladroitetangente

Δa

apartirdel’axeOx.

x

y

‚ ‚ a

‚f

paq

Δa

θ a

‚ ‚ b

‚f

pbq

Δb

θ b

Par

consequent,

laderivee

donneuncriterepouretab

lirla

croissance

d’une

fonctionderivab

le.

Proposition:Sifestunefonctionderivable

enx,on

a:

festcroissante

enx

ô0

ăθ x

ăπ

{2ô

f1 px

q“tanθ x

ą0

festdecroissante

enx

ôπ

{2ă

θ xă

πô

f1 px

q“tanθ x

ă0

Fonctionsderivables

Rem

arque:

Unefonctionderivab

leestcontinue,

lecontraire

estfaux;

eneff

etily

ades

fonctionscontinues

quinesontpas

derivab

les.

‚ anonco

ntinueen

a

‚ aco

ntinue,

nonderivable

ena

derivable

Proposition:

‚Les

fonctionsusuelles(ch.4)sontderivables,sauflesracines

n? xd’ordre

npair,en

x“

0.‚

Lasomme,

produitet

composee

defonctionsderivablesestderivable.

Exe

mples:

‚f

pxq“

3x2

`sin

p? x3

´1

q`ln

p3x2

`1

qestderivab

lesur

D“

� xPR

|x3

´1

ą0,3x2

`1

ą0

(“s

1,8

r.

‚Lavaleurab

solue

|x|“

"x

six

ě0

´xsix

ă0

n’est

pas

derivab

leen

0.

x

|x|

31

Derivee

des

fonctionsusuelles(par

coeu

r!)

fpx

qf

1 pxq

xn

nxn

´1

1 xn

´n1

xn

`1

n? x“

x1 n

1 nx

1 n´1

“1

nn? x

n´1

sinx

cosx

cosx

´sinx

tanx

1

cos2x

“1

`tan2x

ex

ex

lnx

1 x

Cas

particuliers:

d dxx2

“2x

d dxx3

“3x2

d dx

1 x“

´1 x2

d dx

1 x2

“´

2 x3

d dx

? x“

12

?x

arcsinx

1? 1

´x2

arccosx

´1

? 1´

x2

arctan

x1

1`

x2

sinhx

cosh

x

cosh

xsinhx

tanhx

1

cosh

2x

“1

´tan

h2x

Derivee

dela

sommeet

duproduit

defonctions

Proposition:Sifet

gsontderivablesen

xPR

,et

tPR

,on

a:

‚d dx

` fpx

q`g

pxq˘ “

f1 px

q`g

1 pxq

‚d dx

` tf

pxq˘ “

tf

1 pxq

‚d dx

` fpx

qgpx

q˘ “f

1 pxqg

pxq`

fpx

qg1 px

qregle

deLeibniz

‚sif

pxq‰

0,on

ad dx

ˆ1

fpx

q˙“

´f

1 pxq

fpx

q2

‚sig

pxq‰

0,on

ad dx

ˆf

pxq

gpx

q˙“

f1 px

qgpx

q´f

pxqg

1 pxq

gpx

q2Exe

mples:

‚f

pzq“

1 ? zf

1 pzq“

´1

2?z

z“

´1

2z

? z

‚h

ptq“

tet

t`

1h

1 ptq“

pet`

tetqpt

`1

q´te

t

pt`

1q2

“pt2

`t

`1

qet

pt`

1q2

32

Derivee

des

fonctionsco

mposees

Proposition:Soitfunefonctionderivable

enx,gunefonctionderivable

eny

“f

pxqe

tg

˝fla

composee.Alors:

‚regle

dela

chaıne:

pg˝f

q1 pxq“

d dx

` gpfp

xq˘ “

g1 py

qˇ ˇ y“f

pxqf

1 pxq“

g1` f

pxq˘ f

1 pxq

‚sifadmet

lareciproquef

´1et

y“

fpx

q‰0,

alors

pf´1q1 py

q“1

f1 px

qˇ ˇ x“f

´1py

q“1

f1` f

´1py

q˘

Exe

mples:

‚f

pzq“

plnz

q2f

1 pzq“

2lnz

1 z“

2lnz

z

‚h

ptq“

lnpt2

qh

1 ptq“

1 t22t

“2 t

Exe

rcice

Exe

rcice:

Calculerla

derivee

des

fonctionssuivan

tes.

‚y

puq“

u3sin3pu

2q

Rep

onse:

y1 pu

q“3u2sin3pu

2q`

u33sin2pu

2qc

ospu

2q2

u

“3u2sin3pu

2q`

6u4sin2pu

2qc

ospu

2q

‚h

pxq“

1 lnx

`ln

` 1 x

˘

Rep

onse:

h1 px

q“´

1

plnx

q21 x

`1 1 x

ˆ ´1 x2

˙

“´

1

xpln

xq2

´1 x

‚F

ptq“

t? t3`

5t

Rep

onse:

F1 ptq

“at3

`5t

`t

1

2? t3

`5t

p3t2

`5

q

“2

pt3`

5tq

`p3t

3`

5tq

2? t3

`5t

“5t3

`15t

2? t3

`5t

33

3.Points

critiques

Rappel:Unefonctionf:R

ÑR

derivab

leen

aPD

fest

‚croissante

enasif

1 paqą

0,

‚decroissante

enasif

1 paqă

0,

carla

droiteΔ

atangente

augrapheΓfau

point

pa,f

paqqa

pourequation

cartesienne

y“

f1 paq

px´

aq`

fpaq

.Quese

passe-t-ilsif

1 paq“

0?

Defi

nition:Soitfunefonctionderivable

ena

PDf.Lepointas’appelle

pointcritiquedefsi

f1 paq

“0

.

Dansce

cas,la

tangente

Δaestla

droitehorizon

tale

y“

fpaq

.

Exe

mple:Legraphedela

fonction

fpx

q“px

´1

q2`

1

estuneparab

ole.Ona

f1 px

q“2

px´

1q,

donca

“1estunpointcritiquedef.

Ladroitetangente

Δa,quiapourequation

y“

0px

´1

q`1

“1,

estbienhorizontale.

Γf

‚ ‚ a

‚f

paqΔ

a

Extremaloca

uxet

points

d’inflex

ion

Les

points

critiques

peuventetre

detroistypes:

Defi

nition:Soitf:R

ÑR

unefonctionet

aPD

f.Onditque

‚faunminim

um

loca

len

asi

fpx

qąf

paqpou

rtoutxprochedea

(festconvexe

autourdea).

‚ ‚ aminim

um

local

‚faunmaximum

loca

len

asi

fpx

qăf

paqpou

rtoutxprochedea

(festconcave

autourdea).

‚ ‚ amaximum

local

Les

minim

aet

maxim

alocauxs’appellentaussiex

trem

aloca

ux.

‚faunpointd’inflex

ionen

asi,au

point

pa,f

paqq,

legrapheΓftraverse

ladroite

tangente

Δa.

‚ ‚ apointd’inflexion

Cela

peutarriveraussiquand

ladroite

tangente

Δan’est

pas

horizon

tale.

‚ ‚ apointd’inflexion

Pourdistinguer

cestroistypes

depoints

onabesoin

des

deriveessuperieures.

34

Derivee

sd’ordre

superieur

Defi

nition:

‚Pou

rtoutn

PN,on

appelle

derivee

d’ordre

ndefla

fonction

xÞÑ

fpn

q pxq“

dnf

dxn

pxq“

d dx

ˆd dx

ˆ ¨¨¨df

dx

pxq˙˙

quel’on

obtienten

derivantfsuccessivementnfois.

‚Sila

fonctionf

pnqestbiendefinie

surD

ĂD

f,on

ditquefestderivable

nfois

surD.Sicela

arrive

pou

rtoutn

PN,on

ditquefestlisse

oude

classeC

8.

Exe

mples:

‚Lafonctionf

pxq“

x3estlisse

surR

cartouteslesderiveessontdefi

nies:

f1 px

q“3x2,

f2 px

q“6x,

f3

pxq“

6,

fpn

q pxq“

0pourn

ě4.

‚Lafonctionh

pxq“

x? x

estderivab

lesur

r0,8r

,car

h1 px

q“? x

`x

12

?x

“? x

`?x 2

“3 2

? xpourtoutx

Pr0,8

r,maishn’est

pas

derivab

ledeuxfoisen

x“

0carh

2 pxq“

3

4? x

n’est

pas

defi

nie

enx

“0

Exe

rcice

Exe

rcice:

Calculerlescinqprem

ieresderiveesdela

fonction

fptq

“t2et

etdeduirel’expression

def

pnq ptq

pou

rtoutn

PN.Lafonctionfest-elle

lisse?

Rep

onse:Les

cinqprem

ieresderiveessont:

f1 ptq

“2tet

`t2et

“pt2

`2t

qetf

2 ptq“

p2t`

2qet

`pt2

`2t

qet“

pt2`

4t`

2qet

f3 ptq

“p2t

`4qe

t`

pt2`

4t`

2qet

“pt2

`6t

`6qe

t

fp4

q ptq“

p2t`

6qet

`pt2

`6t

`6qe

t“

pt2`

8t`

12qet

fp5

q ptq“

p2t`

8qet

`pt2

`8t

`12

qet“

pt2`

10t

`20

qet.

Pou

rtoutn

PN,on

adon

c

fpn

q ptq“

` t2`

2nt

`pn

´1qn

˘ et,

quiestbiendefinipou

rtoutt

PR.Don

cfestlisse.

35

Critere

pouretablir

lanature

d’unpointcritique

Theo

reme:

Soit:R

ÑR

unefonctionlisse

surD

etsoita

PDunpoint

critique(f

1 paq“

0).Alors:

i)festplate

autourdeassitouteslesderiveesdefs’annulenten

a,c.-a-d.

fpk

q paq“

0pou

rtoutk

PN.

ii)Sinon

,soitnl’ordre

dela

prem

iere

derivee

defnon

nulle

ena,

c.-a-d.que

fpn

q paq‰

0et

fpk

q paq“

0pou

rtoutk

ăn:

‚aestunminim

um

localssinestpairet

fpn

q paqą

0,

‚aestunmaxim

um

localssinestpairet

fpn

q paqă

0,

‚aestunpointd’inflexionssinestim

pair.

Enparticulier,siaestunpointcritique(f

1 paq“

0),on

a:

‚Sif

2 paqą

0,alorsaestunminim

um

local.

‚Sif

2 paqă

0,alorsaestunmaxim

um

local.

‚Sif

2 paq“

0(a

s’appelle

pointplat),pou

rconnaitrela

nature

de

ailfautregarder

lesderiveesd’ordre

superieur.

Exe

rcice

Exe

rcice:

Trouverlespoints

critiques

dela

fonction

fpx

q“x3

px´

1q2,

etdeterminer

s’ils

sontdes

extrem

alocauxoudes

points

d’inflexion.

Rep

onse:Ledomainedela

fonctionfest

Df

“tx

PR|x

‰1

u.Cherchonslespoints

critiques:

f1 px

q“3x2px

´1

q2´

x32

px´

1q

px´

1q4

“3x2px

´1

q´2x3

px´

1q3

“x3

´3x2

px´

1q3

“x2px

´3

qpx

´1

q3Donc

f1 px

q“0

ðñx

“0

ou

x“

3.

Par

consequent,

ilyadeuxpoints

critiques:

x“

0et

x“

3.

36

Exe

rcice(suite)

Pourconnaitrela

nature

des

points

critiques,calculonsla

derivee

seconde.

Puisque

f1 px

q“x2px

´3

qpx

´1

q3,ona:

f2 px

q“` 2x

px´

3q`

x2˘ px

´1

q3´

x2px

´3

q3px

´1

q2px

´1

q6

“` 2x2

´6x

`x2˘ px

´1

q´3

px3

´3x2q

px´

1q4

“p3x

2´

6x

qpx

´1

q´p3x

3´

9x2q

px´

1q4

“3x3

´3x2

´6x2

`6x

´3x3

`9x2

px´

1q4

“6x

px´

1q4.

Alors:

‚Enx

“3ona

f2 p3q

“18

24

“9 8

ą0,

doncx

“3estunminim

um

local.

‚Enx

“0ona

f2 p0q

“0,donconnepeutrien

direpourl’instan

t.

Exe

rcice(suite)

Calculonsla

troixiemederivee.Puisque

f2 px

q“6x

px´1

q4,ona:

f3

pxq“

6px

´1

q4´

6x4

px´

1q3

px´

1q8

“6

px´

1q´

24x

px´

1q5

“´1

8x

´6

px´

1q5

“´6

3x

`1

px´

1q5

Onaalors

f3

p0q“

´61

p´1

q5“

6‰

0.

Puisquela

prem

iere

derivee

nonnulle

enx

“0estd’ordre

impair,onaquex

“0

estunpointd’inflexion.

Eneff

et,le

graphedefest:

37

4.PolynomedeTayloret

approximations

Theo

reme:

Tou

tefonctionf:R

ÝÑR

derivable

nfoisautourd’unpointa

peutetre

approxim

eeen

toutpointxprochedea

par

unpolynom

ededegre

ndon

tlescoeffi

cients

dependentuniquem

entdes

deriveesdefen

a,quis’appelle

polynomedeTaylord’ordre

ndefen

a:

Tn af

pxq“

fpaq

`f1 paq

px´a

q`1 2f

2 paqpx

´aq2 `

¨¨¨`

1 n!f

pnq paq

px´a

qn.

Leniveaud’approxim

ationestmesure

par

lereste

Rn af

pxq“

fpx

q´T

n af

pxq

,quitendvers

0pou

rx

Ña

Exe

mple:Voicilesgraphes

de

fpx

q“ex

(enbleu)

etdesonpolynomedeTaylord’ordre

2en

a“

0

T2 0f

pxq“

1`

x`

x2{2

(enrouge).

Les

restes

enx

“1et

enx

“0.1

valent:

R2 0f

p1q“

e´

p1`

1`

1{2

q»´0

.83

(mau

vaiseap

proximation)

R2 0f

p0.1

q“e0.1

´p1

`0.1

`0.01

{2q»

´0.0018

(bonneap

proxim

ation)

Polynomes

deTaylorim

portants

(autourde0)

fpx

qT

n 0f

pxq

1

1`

x1

´x

`x2

´x3

`¨¨¨

`p´

1qn x

n

1

1´

x1

`x

`x2

`x3

`¨¨¨

`xn

p1`

xqα

1`

αx

`α

pα´

1q

2x2

`¨¨¨

`α

pα´

1q¨

¨¨pα

´n

qn!

xn

1? 1

´x2

1`

1 2x2

`1

¨32

¨4x4

`¨¨¨

`p2n

´1

q!!p2n

q!!x2n

sinx

x´

1 3!x

3`

1 5!x

5`

¨¨¨`

p´1

qn1

p2n´

1q!x

2n

´1

cosx

1´

1 2!x

2`

1 4!x

4`

¨¨¨`

p´1

qn1 p2n

q!x2n

ex

1`

x`

1 2!x

2`

1 3!x

3`

¨¨¨`

1 n!x

n

lnp1

`x

qx

´1 2x2

`1 3x3

`¨¨¨

`p´

1qn1 nxn

lnp1

´x

q´x

´1 2x2

´1 3x3

`¨¨¨

´1 nxn

38

Exe

rcice

Exe

rcice:

Trouverle

polynomedeTayloral’ordre

2dela

fonction

fpx

q“4

´x

2`

xau

tourdes

points

a“

0et

b“

1

Rep

onse:Ilnousfautlesprem

ieresdeuxderiveesdef:

f1 px

q“´p

2`

xq´

p4´

xq

p2`

xq2

“´

6

p2`

xq2

f2 px

q“p´

6q´2

p2`

xq

p2`

xq4

“12

p2`

xq3

‚Autourdea

“0:

fp0q

“4 2

“2,

f1 p0q

“´6 4

“´3 2,

f2 p0q

“12 8

“3 2,

donc

T2 0

ˆ4

´x

2`

x

˙“

2´

3 2x

`3 4x2.

‚Autourdeb

“1:

fp1q

“3 3

“1,

f1 p1q

“´6 9

“´2 3,

f2 p1q

“12

27

“4 9,

donc

T2 1

ˆ4

´x

2`

x

˙“

1´

2 3px

´1

q`2 9

px´

1q2 .

Estim

ationdureste

Rappel:LetheoremedeTaylorgaran

titquesifestderivab

lenfoisau

tourdea,

alorsilexiste

unpolynomeT

n af

pxqq

uiestunebonneap

proxim

ationdefquan

dx

Ña,

c’est-a-diretelque

fpx

q“T

n af

pxq`

Rn af

pxq

avec

lim xÑ

aR

n af

pxq“

0.

Form

ule

deYoung:LeresteR

n af

pxqe

stnegligeable

par

rapportau

polynom

edeTaylor:

Rn af

pxq“

o` px

´aqn

˘,

ouo

phqestunefonctionquitendvers

0plusvite

queh:

lim hÑ

0

oph

qh

“0.

Form

ule

deLagrange:

Sifestderivable

n`1foisautourdea,

alorspou

rtoutxprochedeailexiste

unevaleurccompriseentreaet

xtelle

que

Rn af

pxq“

1pn

`1q!f

pn`1

q pcqpx

´aqn`

1.

39

Exe

rcice

Exe

rcice:

‚Montrer

quepourtoutx

ě0ona

1´

x`

x2

´x3

ď1

1`

xď

1´

x`

x2

´x3

`x4.

Rep

onse:Puisque

dn

dxn

1

1`

x“

p´1

qnn!

p1`

xqn`

1,onsait,par

laform

ule

de

Taylor-Lag

range,

quepourtoutx

ě0ilexiste

unccomprisentre0et

xtelque

1

1`

x“

1´

x`

x2

´x3

`x4

´¨¨¨

`p´

1qn

1

p1`

cqn`

1xn.

Puisque0

ďc

ďx,onac

`1

ě1.Donc,

pourn

“3ona

p´1

q31

p1`c

q4ě

´1et

donc

1

1`

x“

1´

x`

x2

´1

p1`

cq4x3

ě1

´x

`x2

´x3.

Etpourn

“4ona

p´1

q41

p1`c

q5ď

1,donc

1

1`

x“

1´

x`

x2

´x3

`1

p1`

cq5x4

ď1

´x

`x2

´x3

`x4.

Exe

rcice(suite)

‚Pourquellesvaleurs

dex

ě0peut-ondireque1

´x

`x2

´x3estune

approxim

ationde

11

`xa10

´4pres,c’est-a-diretellesque

ˇ ˇ1

1`

x´

p1´

x`

x2

´x3qˇ ˇ ď

10

´4?

Rep

onse:Des

inegailtes

1´

x`

x2

´x3

ď1

1´

xď

1´

x`

x2

´x3

`x4

ondeduitque

0ď

1

1`

x´

p1´

x`

x2

´x3qď

x4.

Ilsuitalorsque

ˇ ˇ1

1´

x´

p1´

x`

x2

´x3qˇ ˇ ď

10

´4

sionprendx

ď10

´1,cardan

sce

casonabienx4

ď10

´4.

40

TMB

–Chapitre

4Integrales

Dansce

chapitre:

1.Primitives

2.IntegraledeRiemannet

aire

3.Relationentreprim

itives

etintegrales

4.Techinques

d’integration:par

parties

etpar

changementdevariable.Cas

des

fonctionscirculaires

etdes

fraction

sration

nelles.

1.Primitives

Defi

nition:Soitf:

ra,b

sÑR

unefonction.Uneprimitivedefsur

ra,b

sestunefonctionF:

ra,b

sÑR

derivable,telle

que

F1 px

q“f

pxq

pou

rtoutx

Pra,b

s.

OnnoteF

pxq“

żf

pxqd

x,maisattention

!(voirla

suite)

Rem

arque:

Tou

teautreprim

itivedefdifferedeF

par

uneconstante.

Exe

mples:

cf.le

tableau

des

derivees:

żxndx

“1

n`

1xn

`1ż

1 xdx

“lnx

żexdx

“ex

ż1 xndx

“´

1

pn´1

qxn

´1

żsinxdx

“´cosx

żsh

xdx

“ch

x

ż1 ? x

dx

“2

? x

żcosxdx

“sinx

żch

xdx

“sh

x

ż1

1`

x2dx

“arctan

x

ż1

cos2xdx

“tanx

ż1

ch2xdx

“th

x

ż1

? 1´

x2dx

“arcsinx

41

2.SommedeRiemannd’unefonction

Defi

nition–

Soitf:

ra,b

sÑR

unefonction.

‚UnesubdivisionS n

de

ra,b

sest

unepartition

del’intervalle

I“

ra,b

sen

nintervallesI i

“ra i

´1,a

is(pou

ri

“1,...,n)delongu

eurδ

“b

´a n,avec

a 0“

aet

a n“

b.

R‚

a“

a0

‚an

“b

‚a1

‚a2

‚a3

‚a4

‚a5

δ

¨¨¨

‚Pou

rtoutchoixdenpoints

x iPI

i

R‚

a“

a0

‚an

“b

‚a1

| x 1‚a2

| x 2‚a3

| x 3‚a4

| x 4‚a5

| x 5¨¨

¨

onappelle

sommedeRiemanndefla

somme

Rnpf;

tx iuq

“n ÿ i“1

fpx i

qδx

fpx

q‚a

‚b

´`

´

Chaqueterm

ef

px iqδ

estl’airealgeb

rique(=

˘aire)durectangledebase

I iet

hauteurf

px iq.

Integrale

deRiemann

Defi

nition:

‚Sila

limite

lim nÑ

8Rnpf;

tx iuq

existe,c’estunnom

brereel

etnedependpas

duchoixdes

x i,on

l’appelle

integrale

deRiemanndefsur

ra,b

s:ż b a

fpx

qdx

“lim nÑ

8toutx i

Rnpf;

tx iuq

x

fpx

q‚a

‚b

eton

ditquefestintegrable

selonRiemannsur

ra,b

s.

‚Tou

jours

pou

ra

ăb,on

poseaussi

ż a b

fpx

qdx

“´

ż b a

fpx

qdx

Note:Lesymbol

ş rappelle

lasomme,

etdxrepresente

lavariationinfinitesim

ale

dexet

s’ap

pelle

differen

tielle

dex.

Exe

mples:

‚Les

fonctionscontinues

etcellesen

form

ed’escaliersontintegrables.

‚LafonctiondeDirichlet

fpx

q“"

1six

PQ0

six

PRzQ

n’est

pas

integrable

selon

Rieman

n,carla

limitedeRnpf;tx

iuqdep

endduchoix

des

points

x i.

42

L’integrale

donnel’airesousle

graphe

Corolla

ire:

‚ż b a

fpx

qdx

“aire

“algebrique”

sousle

graphedef

‚ż b a

|fpx

q|dx

“aire

sousle

graphedef

(positive)

x

y“

fpx

q

´``

´`|f|

f“

|f||f|

Exe

mple:L’airedudisque

D“

� px,y

qPR

2|x

2`

y2

ď1

(

secalcule

commeuneintegrale:

AirepD

q“2AirepD

`q“

2

ż 1 ´1

a1

´x2dx

x

‚´

1‚1

y“

b1

´x2

D`

D’autres

proprietes

des

integrales

Proprietes:

‚ż b a

0dx

“0

‚ż b a

dx

“b

´a

“longu

eurde

ra,b

s

‚ż b a

fpx

qdx

“ż c a

fpx

qdx

`ż b c

fpx

qdx

‚Sif

pxqď

gpx

qpou

rtoutx

Pra,b

s:ż b a

fpx

qdx

ďż b a

gpx

qdx

‚ˇ ˇ ˇż b a

fpx

qdx

ˇ ˇ ˇďż b a

|fpx

q|dx

43

3.Relationen

treintegrale

etprimitives

Theo

remefondamen

talduca

lculintegral:

Soitfunefonctionintegrable

selonRiemannsur

ra,b

s.Alors,pou

rtout

cPR

,la

fonctionF:

ra,b

sÑR

definie

entoutx

Pra,b

spar

Fpx

q“ż x a

fptq

dt

`c

‚ x

fpx

qF

pxq

‚a‚b

estuneprim

itivedef(i.e.F

1 pxq“

fpx

q)telle

queF

paq“

c.

Enmots:l’aire

sousle

graphedefentreaet

xdonneuneprim

itiveF

pxq.

Corolla

ire:

Onpeutdon

ccalculerl’integraledefsion

connaitune

prim

itiveF

def,avec

laform

ule

ż b a

fpx

qdx

“ż b a

F1 px

qdx

“F

pbq´

Fpaq

““ F

pxq‰ b a

Ilneresteplusqu’a

apprendre

lestechniques

d’integrationpourtrouverla

prim

itive.

4.Calculdeprimitives

etd’integrales

Pourcalculerlesprim

itives

etlesintegrales,

onpartdes

casconnuset

onmodifie

lafonctionaintegreren

utilisan

tlestheoremes

suivan

ts.

1)Sil’integrandestunesommedefonctions

Theo

reme:

‚prim

itive:

ż pλf

pxq`

µg

pxqqdx

“λ

ż fpx

qdx

`µ

ż gpx

qdx

‚integrale:

ż b a

pλf

pxq`

µg

pxqqdx

“λ

ż b a

fpx

qdx

`µ

ż b a

gpx

qdx

Exe

mple:

ż p3cosx

`5sinx

qdx

“3

żcosxdx

`5

żsinxdx

“3sinx

´5cosx.

Par

consequent:

ż π{2

0

p3cosx

`5sinx

qdx

“” 3

sinx

´5cosx

ı π{2

0

“` 3

sin

pπ{2

q´5cospπ

{2q˘ ´

` 3sin0

´5cos0

˘

“p3

´0

q´p0

´5

q“8

44

Integrationpar

parties

2)Sil’integrandestunproduitdefonctions

Theo

reme(Integrationpar

parties):

‚prim

itive:

żf

pxqg

1 pxqd

x“

fpx

qgpx

q´żf

1 pxqg

pxqd

x

‚integrale:

ż b a

fpx

qg1 px

qdx

“” f

pxqg

pxqı b a

´ż b a

f1 px

qgpx

qdx

Exe

mple:Pourcalculerla

prim

itive

żxsinxdx,onpose

fpx

q“x

etg

1 pxq“

sinx

etoncalcule

f1 px

q“1

etg

pxq“

żsinxdx

“´cosx.

Onaalors:

żxsinxdx

“´x

cosx

`żcosxdx

“´x

cosx

`sinx.

Par

consequent:

ż π 0

xsinxdx

““ ´

xcosx

`sinx

‰ π 0“

´πcosπ

`sinπ

`0

´sin0

“π.

Exe

rcice

Exe

rcice:

Calculerla

prim

itive

żcos2xdx

par

parties.

Rep

onse:Posons

fpx

q“cosx

etg

1 pxq“

cosx.

Onaalors

f1 px

q“´sinx

etg

pxq“

żcosxdx

“sinx,

etdonc

żcos2xdx

“sinxcosx

`żsin2xdx.

Puisque

sin2x

“1

´cos2x,

ona

żcos2xdx

“sinxcosx

`ż p1

´cos2x

qdx

“sinxcosx

`ż

dx

´żcos2xdx

“sinxcosx

`x

´żcos2xdx

d’ousuit

2

żcos2xdx

“x

`sinxcosx

etpar

consequent

żcos2xdx

“1 2

px`

sinxcosx

q.45

Changem

entdevariable

3)Sil’integrandcontientunecomposee

defonctions

Defi

nition:Unch

angem

entdevariable

dex

Pra,b

sent

Prα,β

sest

l’expression

dexcommefonctiondet:

x“

hptq

ouh:rα

,βsÑ

ra,b

sest

undiffeo

morphisme,

c’est-a-direunefonction

derivable

(sau

fen

αet

β)avec

reciproqueh

´1:ra

,bsÑ

rα,β

saussiderivable

(sau

fen

aet

b),quiexprim

etcommefonctiondex:

t“

h´1

pxq

.

Onaalors:

dx

“h

1 ptqdt

etdt

“` h

´1˘ 1 px

qdx

.

Exe

mples:

‚x

“t3

estunchan

gem

entdevariab

ledex

Pr0,8

sent

Pr0,2

s,avec

t“

3? x,

dx

“3t2

dt

etdt

“1

33? x

2dx.

‚x

“t3

n’est

pas

unchan

gem

entdevariab

ledex

Pr´1

,1se

nt

Pr´1

,1s,carla

reciproquet

“3? x

n’est

pas

derivab

leen

x“

0(cf.

dt).

Integrationpar

changem

entdevariable

ITheo

reme(Integrationpar

changem

entdevariable

I):

‚prim

itive:

żf

pxqd

x“

żf

` hptq

˘ h1 ptq

dtˇ ˇ t“

h´

1px

q

‚integrale:

ż b a

fpx

qdx

“ż h

´1pb

q

h´

1pa

qf

` hptq

˘ h1 ptq

dt

Exe

mple:Pourcalculerla

prim

itive

ż? x

`1dx,onpose

t“

? x`

1“

h´1

pxq

donc

x“

t2´

1“

hptq

.

Onaalors

dx

“2tdt

etpar

consequent

ż? x

`1dx

“ż2t2

dtˇ ˇ t“

?x

`1“

2 3t3

ˇ ˇ t“?x

`1“

2 3px

`1

q? x`

1.

Pourl’integrale

ż 1 0

? x`

1dxonaalors

ż 1 0

? x`

1dx

“ż?

1`1

?0

`12t2

dt

“” 2 3

t3ı?

2

1“

2 3p2? 2

´1

q.46

Integrationpar

changem

entdevariable

IITheo

reme(Integrationpar

changem

entdevariable

II):

‚prim

itive:

żf

` hpx

q˘ h1 px

qdx

“żf

puqd

uˇ ˇ u

“hpx

q

‚integrale:

ż b a

f` h

pxq˘ h

1 pxqd

x“

ż hpb

q

hpa

qf

puqd

u

Exe

mple:Pourcalculerla

prim

itive

żln

2x

xdx,onpose

u“

lnx

“h

pxq

donc

du

“1 xdx.

Onaalors

żln

2x

xdx

“żu2du

ˇ ˇ u“l

nx

“1 3u3ˇ ˇ u

“lnx

“1 3ln

3x.

Pourl’integrale

ż 2 1

ln2x

xdx,ona

ż 2 1

ln2x

xdx

“ż l

n2

ln1

u2du

“” 1 3

u3ı ln

2

0“

1 3ln

32.

Exe

rcice:

aired’undisque

Exe

rcice:

Calculerl’aire

dudisque

D“

� px,y

qPR

2|x

2`

y2

ď1

(

Rep

onse:Commeonadejaobserve,

l’aire

du

disquese

trouve

commel’integrale

AirepD

q“2AirepD

`q“

2

ż 1 ´1

a1

´x2dx

x

‚´

1‚1

y“

b1

´x2

D`

Celui-ci

secalcule

par

chan

gem

entdevariab

le:onpose

x“

sint

avec

tPr

´π{2,π

{2s,

car

t“

arcsinx

donne

arcsin

p´1

q“´π

{2et

arcsin

p1q“

π{2.

Alors

? 1´

x2

“cost

etdx

“costdt,

donc

AirepD

q“2

ż π{2

´π{2cos2tdt

“” t

`sintcostı π

{2 ´π{2

“` π

{2`

0`

π{2

´0

˘ “π.

47

Changem

entdevariable

pourfonctionscirculaires

4)Sil’integrandcontientseulementdes

fonctionscirculaires

Reg

le1:

‚żf

psinx

qcos

xdx

“żf

ptqdtˇ ˇ t“

sinx

avec

t“

sinx

dt

“cosxdx

‚ż f

pcosx

qsinxdx

“´ż f

ptqdtˇ ˇ t“

cosx

avec

t“

cosx

dt

“´sinxdx

Exe

mple:

żsinx

cos2xdx

“´

ż1 t2dtˇ ˇ t“

cosx

“1 t

ˇ ˇ t“co

sx

“1

cosx.

Reg

le2:Danslesautres

cas,on

pose

t“

tan

px{2

q,et

ona:

cosx

“1

´t2

1`t

2,

sinx

“2t

1`t

2et

dx

“2

1`t

2dt

.

Exe

mple:

ż1

sinxdx

“ż

1`

t2

2t

2

1`

t2dtˇ ˇ t“

tan

px{2

q“

ż1 tdtˇ ˇ t“

tan

px{2

q

“ln

ptqˇ ˇ t“

tan

px{2

q“

lnpta

npx

{2qq.

Exe

rcice

Exe

rcice:

Calculerlesprim

itives

suivan

tes:

‚żsin3xdx

Rep

onse:

żsin3xdx

“ż p1

´cos2x

qsinxdx

“żsinxdx

´żcos2xsinxdx

“´cosx

`żt2

dtˇ ˇ t“

cosx

“´cosx

`1 3t3

ˇ ˇ t“co

sx

“´cosx

`1 3cos3x.

48

Exe

rcice(suite)

‚ż

1´

cosx

p1`

cosx

qsinxdx

Rep

onse:Onpose

t“

tan

px{2

q,alors

ż1

´cosx

p1`

cosx

qsinxdx

“ż

´ 1´

1´t

2

1`t

2

¯

´ 1`

1´t

2

1`t

2

¯` 1

`t2

˘

2t

2

p1`

t2qd

tˇ ˇ t“tan

px{2

q

“ż

` 1`

t2´

1`

t2˘

p1`

t2`

1´

t2q1 t

dtˇ ˇ t“

tan

px{2

q

“żtdtˇ ˇ t“

tan

px{2

q

“1 2t2

ˇ ˇ t“tan

px{2

q

“1 2tan2px

{2q.

Changem

entdevariable

pourfractionsrationnelles

5)Sil’integrandcontientseulementdes

fraction

sration

nelles

Defi

nition:Unefractionrationnelle

estle

quotient

fpx

q“P

pxq

Qpx

qde

deuxpolynom

esP

pxqe

tQ

pxq.

Pou

rcalculerla

prim

itived’unefraction

ration

nelle,

żP

pxq

Qpx

qdx,

onse

rameneauxquatre

casqu’onconnait:

a)

ż1 xdx

“ln

|x|

b)sin

ě2:

ż1 xndx

“´

1

pn´

1qx

n´1

c)

ż1

1`

x2dx

“arctan

x

d)sin

ě2:

ż1

p1`

x2qn

dx

“x

2pn

´1qp1

`x2qn´

1`

p2n´3

q2

pn´1

qż1

p1`

x2qn´

1dx

(integrationpar

parties,apartirde

ż1

p1`

x2qn´

1dx).

49

1er

cas:

degP

ădegQ,primitives

simples

Reg

le1:Danslescassuivants,qu’onappelle

primitives

simples,

onpose

t“

upx

qetdt

“u

1 pxqd

x:

a)

żu

1 pxq

upx

qdx

“ln

|upx

q|

Exe

mple:

ż3x2

x3

`1dx

“ln

|x3`

1|

b)sin

ě2:

żu

1 pxq

upx

qndx

“´

1

pn´

1qu

pxqn´

1

Exe

mple:

ż2x

px2

`1

q2dx

“´

1

x2

`1

c)

żu

1 pxq

1`

upx

q2dx

“arctan

upx

q

Exe

mple:

ż3x2

x6

`1dx

“arctan

px3q

d)sin

ě2:

żu

1 pxq

p1`

upx

q2 qndx

“¨¨¨

troplong,onl’omet.

Decompositionen

sommedeprimitives

simples

Dan

stoutau

trecasoudeg

Pă

deg

Q,le

denominateurQ

pxq

n’est

pas

irreductible,carlespolynomes

reelsirreductiblessont:

‚dedegre

1dela

form

eax

`b“

upx

qavecu

1 pxq“

añ

casa),

‚dedegre

2dela

form

ec

` pax`b

q2 `1˘ “

c` u

pxq2 `1

˘ñ

casb).

Reg

le2:OnfactoriseQ

pxqe

npolynom

esirreductibles:

Qpx

q“Q

1px

qn 1Q

2px

qn 2¨¨¨

Qrpx

qn r.

Laprim

itive

żP

pxq

Qpx

qdxs’ecritalorscommesommedeprim

itives

simples,de

laform

ea),b),

c)ou

d),

quion

tau

denom

inateurlespolynom

es

Qipx

q,Q

ipxq2 ,

...,

Qipx

qn i,

pou

rtouti

“1,...,r

avec

Qipx

q“ax

`b“

upx

qou

bien

Qipx

q“c

` 1`u

pxq2˘

,et

au

numerateurdes

polynom

esdela

form

e

Ku

1 pxq

,ou

KPR

estuneconstante.

50

Exe

mple

Exe

mple:

ż1

x4

`x2dx

Ledenominateur

Qpx

q“x4

`x2

sefactorisecomme

x2px

2`

1q.

Par

consequent,

ilexiste

quatre

constan

tesa,

b,cet

dtellesque

p˚q

1

x4

`x2

“a x

`b x2

`cx

`d

x2

`1,cherchons-les.

Ona:

a x`

b x2

`cx

`d

x2

`1

“ax

px2

`1

q`b

px2

`1

q`x2pcx

`d

qx2px

2`

1q

“pa

`c

qx3

`pb

`c

`d

qx2

`ax

`b

x4

`x2

donc

p˚qe

stverifiee

siet

seulementsi

$ ’ ’ & ’ ’ %

a`

c“

0b

`c

`d

“0

a“

0b

“1

ðñ

$ ’ ’ & ’ ’ %

a“

0b

“1

c“

0d

“´1

Alors

ż1

x2px

2`

1qd

x“

żˆ

1 x2

´1

x2

`1

˙dx

“´1 x

´arctan

x.

2em

eca

s:degP

ědegQ

Reg

le3:Enutilisantl’algorithmededivisioneuclidiennepou

rles

polynom

es,on

diviseP

pxqp

arQ

pxqe

ton

trou

veunesolution

dela

division

Spx

qetunresteR

pxqt

elquedeg

Ră

deg

Q.Onpeutdon

cecrire

Ppx

q“Q

pxqS

pxq`

Rpx

qet

Ppx

qQ

pxq“

Qpx

qSpx

q`R

pxq

Qpx

q“

Spx

q`R

pxq

Qpx

q.

Par

consequent,on

a żP

pxq

Qpx

qdx

“żS

pxqd

x`

żR

pxq

Qpx

qdx

,

ou ‚żS

pxqd

xestfacile

acalculercarS

pxqe

stunpolynom

e.

‚ż

Rpx

qQ

pxqd

xestdu1ercaset

secalcule

avec

lesregles

1ou

2.

51

Exe

mple

Exe

mple:

ż4x3

`6x2

`1

2x

´1

dx

Ondivise

Ppx

q“4x3

`6x2

`1

par

Qpx

q“2x

´1:

4x3

`6x2

`0

¨x`

12x

´1

2x2

4x3

´2x2

8x2

`0

¨x`

12x2

`4x

8x2

´4x 4x

`1

2x2

`4x

`2

4x

´2 3

Alors

Spx

q“2x2

`4x

`2

etR

pxq“

3.

Par

consequent,

ona

ż4x3

`6x2

`1

2x

´1

dx

“ż p2x

2`

4x

`2

qdx

`ż

3

2x

´1dx

“2 3x3

`2x2

`2x

`3 2ln

|2x´

1|.

52

TMB

–Chapitre

5

Equationsdifferen

tiellesordinaires

Dansce

chapitre:

1.Caracteristiques

des

equationsdifferentiellesordinaires:

ordre,equations

lineaires,acoeffi

cients

constants,hom

ogenes

ouavec

secondmem

bre.

2.Equationsdifferentiellesdu1erordre

lineaires,avec

conditioninitiale.

3.Equationsdifferentiellesdu1erordre

non

lineaires

avariablesseparees.

4.Equationsdifferentiellesdu2emeordre,lineaires

etacoeffi

cients

constants,avec

conditionsinitiales.

1.Equationsdifferen

tielleset

ordre

Defi

nition:Uneeq

uationdifferen

tielle

(e.d.)

estuneequationdon

tl’inconnueestunefonctionreelle

x:t

ÞÑx

ptq,devariable

t,dela

form

e

pEq

F` t,

xptq

,x1 ptq

,...,x

pnq ptq

˘ “0

ouF

estuneexpression

quelconquereliantla

variable

t,la

fonctionxet

ses

deriveesx

1 ,x

2 ,etc(aussiinconnues),

jusqu’a

unordre

maxim

alde

derivationn

ě1quis’appelle

ordre

del’e.d

pEq.

Exe

mples:

‚sin

px1 ptq

q`x

ptq´

sint

“0

fonctionxdevariab

let,

ordre

1

‚t2

u2 ptq

`u

1 ptq`

t3u

ptq“

0fonctionudevariab

let,

ordre

2

‚y

1 pxq`

4` y

pxqq2

`x2

“0

fonctionydevariab

lex,ordre

1

‚f

3pz

q`1 zf

2 pzq“

0fonctionfdevariab

lez,ordre

3

‚x

2 pθq` x

1 pθq˘ 2

`sinθx

pθq`

cosθ

“0

fonctionxdevariab

leθ,ordre

2

But:

resoudre

l’e.d.

pEq,

c’est-a-diretrou

verla

fonctioninconnuexqui

satisfait

pEq.

Lamethodedependdes

caracteristiques

del’e.d.

53

Equationsdifferen

tielleslin

eaires

etco

efficien

tsDefi

nition:

‚L’e.d.

pEqe

stditepolynomiale

(dedegre

d)siF

estunpolynom

e(de

degre

d)danslesinconnues

x,x

1 ,...,x

pnq .

Enparticulier,

pEqe

stlin

eairesiF

estunpolynom

ededegre

1.

Exe

mples:

sin

px1 ptq

q`x

ptq´

sint

“0

n’est

pas

polynomiale

t2u

2 ptq`

u1 ptq

`t3

uptq

“0

etf

3pz

q`1 zf

2 pzq“

0sontlin

eaires

y1 px

q`4

` ypx

qq2`

x2

“0

estpolynomiale

dedegre

2

x2 pθq

` x1 pθq

˘ 2`

sinθx

pθq`

cosθ

“0

estpolynomiale

dedegre

3

‚Si

pEqe

stpolynom

iale,on

appelle

coeffi

cien

tsde

pEqles

facteurs

des

inconnues

x,x

1 ,...,x

pnq .

Cesontdes

fonctionsdela

variable

t,eventuellementconstantes.

Exe

mples:

t2u

2 ptq`

u1 ptq

`t3

uptq

“0

coeffi

cients:t2,1et

t3

y1 px

q`4

` ypx

qq2`

x2

“0

coeffi

cients

constan

ts:1et

4

x2 pθq

` x1 pθq

˘ 2`

sinθx

pθq`

cosθ

“0

coeffi

cients:1et

sinθ

Equationsdifferen

tielleshomogen

esDefi

nition:

‚Onappelle

seco

ndmem

bre

de

pEqleterm

e(som

mant)

qui

necontientaucuneinconnuex,x

1 ,...,x

pnq .

C’est

unefonctiondet,

qui

peutetre

constante

etmem

enulle.Sile

secondmem

breestnull’e.d.

pEq

estditehomogen

e.

Exe

mples:

sin

px1 ptq

q`x

ptq´

sint

“0

secondmem

bre:

´sint

t2u

2 ptq`

u1 ptq

`t3

uptq

“0

e.d.homogene

y1 px

q`4

` ypx

qq2`

x2

“0

secondmem

bre:

x2

f3

pzq`

1 zf

2 pzq“

0e.d.homogene

x2 pθq

` x1 pθq

˘ 2`

sinθx

pθq`

cosθ

“0

secondmem

bre:

cosθ

‚Onappelle

equationhomogen

eassociee

apE

ql’equation

pE0qo

btenue

ensupprim

antle

secondmem

bre.

Si

pEqe

sthom

ogene,

ona

pE0q“

pEq.

Exe

mples:

pEq

sin

px1 ptq

q`x

ptq´

sint

“0

ñpE

0q

sin

px1 ptq

q`x

ptq“

0

pEq

y1 px

q`4

` ypx

qq2`

x2

“0

ñpE

0q

y1 px

q`4

` ypx

qq2“

0

54

Exe

rcice

Exe

rcice:

Pourlesequationsdifferentielles

pEqs

uivan

tes,

direquel

estl’ordre,si

ellessontlin

eaires,quelssontlesco

efficients,siellessonthomogenes

ouquel

est

l’equationhomogeneassociee

pE0q.

‚pE

qpt

`1

qx1 ptq

`t2

xptq

`t3

“0

Rep

onse:1er

ordre,lin

eaire,

acoeffi

cients

nonconstan

ts(les

coeffi

cients

sont

t`

1et

t2),

nonhomogene(lesecondmem

breestt3)et

pE0q

pt`

1qx

1 ptq`

t2x

ptq“

0.

‚pE

qu

2 ptq´

2u

1 ptq`

uptq

´sint

“0

Rep

onse:2em

eordre,lin

eaire,

acoeffi

cients

constan

ts,nonhomogeneet

pE0q

u2 ptq

´2u

1 ptq`

uptq

“0

‚pE

qy

1 ptqy

3ptq

´1

1`

ty

ptq“

0

Rep

onse:3em

eordre,nonlin

eaire(polynomiale

dedegre

2),

aco

efficients

non

constan

ts(a

cause

de

11

`t)et

homogene,

pE0q“

pEq.

2.Equationsdifferen

tiellesdu1er

ordre

linea

ires

But:

resoudre

l’e.d.du1erordre

lineaire

pEq

x1 ptq

“apt

qxptq

`b

ptq

ouaet

bsontdes

fonctionscontinues

surD

“D

aXD

bĂ

R.

Theo

reme1:Les

solution

sx

ptqde

pEqs

ontlesfonctionsdela

form

e

xptq

“x 0

ptq`

x pptq

definiespou

rt

PD,

oux 0

ptqestunesolution

del’e.d.hom

ogene

pE0q,

etx p

ptqestunesolution

particuliere

del’e.d.

pEq.

Note:Unesolutiondel’eq

uationhomogen

edep

endd’unparam

etre

reel

λqui

determinetouteslessolutionspossiblesdel’equation.Toutchoix

deλdonneune

solution.Cette

solutionrepresente

alorsunefamilledesolutions.

Unesolutionparticu

liere

nedep

endd’aucunparam

etre

etn’exclutpas

qu’ilexiste

des

solutionsdeform

eap

parem

mentdifferente.

55

Solutiondel’eq

uationhomogen

eTheo

reme2:Lasolution

de

pE0q

x1 ptq

“apt

qxptq

estla

fonction

x 0ptq

“λeA

ptqpou

rtoutλ

PR

ouA

ptq“

żapt

qdt

estuneprim

itivedeapt

q.

Preuve

:Onecrit

pE0qc

omme

p˚q

x1 ptqx

ptq“

aptq

etonintegre

entpourcalculerlesprim

itives

agau

cheet

adroite.

Agau

che,

enutilisan

tle

chan

gem

entdevariab

leu

“x

ptq,avec

du

“x

1 ptqdt,

on

obtient:

żx

1 ptqx

ptqdt

“lnx

ptq`

c 1.

Adroite,

ona:

żapt

qdt

“A

ptq`

c 2.

Del’egalite

p˚qs

uitalors

lnx

ptq“

Aptq

`cet

donc

xptq

“eA

ptq`c

“eceA

ptq“

λeA

ptq.

Exe

mple

desolutionhomogen

eExe

mple:L’equationhomogene

x1 ptq

`sintx

ptq“

0s’ecritcomme

pE0q

x1 ptq

“´sintx

ptqet

adonccommesolutionlesfonctions

x 0ptq

“λe

´ş si

ntdt

“λeco

st,

λPR

.

Voicile

graphedex 0

pourplusieurs

valeurs

deλpositiveset

negatives:

56

Solutionparticu

liere

del’eq

uationco

mplete

Theo

reme3:L’e.d.

pEq

x1 ptq

“apt

qxptq

`b

ptqaunesolution

particuliere

dela

form

e

x pptq

“λ

ptqeA

ptq(variationdela

constante),

ouA

ptq“

żapt

qdtet

λptq

“ż

bptq

eA

ptqdt

.

Preuve

:Cherchonsλ

ptqtelle

quex p

ptq“

λptq

eA

ptqsoitsolutionde

pEq.

Dan

spE

q,onremplace

x pptq

“λ

ptqeA

ptqet

x1 pptq

“λ

1 ptqeA

ptq`

λptq

A1 ptq

eA

ptq

ouA

1 ptq“

aptq.

Ontrouve:

pEq

ôλ

1 ptqeA

ptq`

λptq

aptqe

Aptq

“apt

qλptq

eA

ptq`

bptq

ôλ

1 ptqeA

ptq“

bptq

ôλ

1 ptq“

bptq

eA

ptqô

λptq

“ż

bptq

eA

ptqdt.

Conclusion:

xptq

“x 0

ptq`

x pptq

“ˆ λ

`ż

bptq

eA

ptqdt˙

eA

ptqλ

PR.

Exe

mple

desolutionparticu

liere

Exe

mple:L’e.d.

x1 ptq

`sintx

ptq“

sint

s’ecritcomme

pEq

x1 ptq

“´sintx

ptq`

sint,

tPR

.

Les

solutionsdel’equationhomogene

pE0q

x1 ptq

“´sintx

ptqsont

x 0ptq

“λeco

st,

λPR

.

etonchercheunesolutionparticuliere

desousla

form

ex p

ptq“

λptq

eco

st.

Lafonctionλ

ptqestla

prim

itive

λptq

“ż

sint

eco

stdt

“żsinte

´co

stdt

quise

calcule

avec

lechan

gem

entdevariab

leu

“´cost

carona

du

“sintdt

et λptq

“żsinte

´co

stdt

“żeudu

ˇ ˇ u“´

cost

“e

´co

st.

Par

consequent

x pptq

“e

´co

steco

st

“1.

Enconclusion,lessolutionsde

pEqs

ont

xptq

“x 0

ptq`

x pptq

“λeco

st

`1,

pourtoutλ

PR.

57

Conditioninitiale

But:

resoudre

unee.d.du1erordre

lineaireavec

uneconditioninitiale

pEC

q"

x1 ptq

“apt

qxptq

`b

ptqx

pt ˚q“

x ˚

Theo

reme4:Lesystem

epEC

qaunesolution

unique

xptq

“ˆ λ

˚`

żb

ptqeA

ptqdt˙

eA

ptq

ouλ

˚estla

valeurdeλquel’on

obtienten

impostantla

condition

pCq

xpt ˚

q“x ˚

auxsolution

sx

ptqde

pEqd

ependentdeλ.

Exe

mple:L’e.d.avec

conditioninitiale

pEC

q#x

1 ptq`

sintx

ptq“

sint

xp0q

“2

asolution

xptq

“λeco

st

`1

pourtoutλ

PR.Ona

xp0q

“λe

`1

“2

ôλe

“1

ôλ

“1

{e.

Lasolutionde

pEC

qest

donc

xptq

“1 eeco

st

`1.

3.Equa.diff.du1er

ordre

nonlin

eaires

Rem

arque:

Pourunee.d.du1er

ordre

nonlin

eairedela

form

egenerale

x1 ptq

“F

` t,x

ptq˘

unemethodederesolutionn’existepas

toujours.

Onconsidereuncasresoluble

quicouvreplusieurs

exem

plesen

physique.

But:

resoudre

unee.d.du1erordre

avariablesseparee

s

pEq

x1 ptq

“a` x

ptq˘ b

ptqou

aestunefonctioncontinue.

Theo

reme:

SoitA

uneprim

itivedela

fonction1{aet

A´1

sareciproque.

Alors

unesolution

xptq

de

pEqe

st

xptq

“A

´1ˆ ż

bptq

dt

`λ

˙pou

rtoutλ

PR.

Preuve

:Onecrit

pEqc

omme

x1 ptq

apx

ptqq

“b

ptqet

onintegre

entavec

le

chan

gem

entdevariab

leu

“x

ptq:

żx

1 ptqa` x

ptq˘ d

t“

A` x

ptq˘ “

żb

ptqdt

`λ,

d’ousuitle

resultat.

58

Exe

mples

Exe

mples:

‚L’e.d.

pEq

x1 ptq

“2tx

ptq2

s’ecritcomme

x1 ptq

xptq

2“

2t.

Onintegre

entavec

lechan

gem

entdevariab

leu

“x

ptq:

żx

1 ptqx

ptq2dt

“ż

1 u2du

ˇ ˇ u“x

ptq“

´1

xptq

“ż2tdt

“t2

`λ

d’ousuit

xptq

“´

1

t2`

λ,

t2`

λ‰

0.

‚L’e.d.

pEq

x1 ptq

“1

cosx

ptqs’ecritcomme

cosx

ptqx

1 ptq“

1.

Onintegre

entavec

lechan

gem

entdevariab

leu

“x

ptq:

żcosx

ptqx

1 ptqdt

“żcosudu

ˇ ˇ u“x

ptq“

sinx

ptq“

żdt

“t

`λ

d’ousuit

xptq

“arcsin

pt`

λq,

´1ď

t`

λď

1.

4.Equationsdifferen

tiellesdu2em

eordre

linea

ires

But:

resoudre

l’e.d.du2emeordre

lineaire

pEq

x2 ptq

`a 1

x1 ptq

`a 0

xptq

“b

ptq

oua 0,a

1PR

sontconstanteset

bestunefonctioncontinuesurD.

Theo

reme1:Les

solution

sgenerales

xptq

de

pEqs

ontlesfonctionsdela

form

ex

ptq“

x 0ptq

`x p

ptqdefiniespou

rt

PD,

oux 0

ptqestunesolution

del’e.d.hom

ogene

pE0q,

etx p

ptqestunesolution

particuliere

del’e.d.

pEq.

Note:Unesolutionhomogen

edep

enddedeuxparam

etresreelsλet

µqui

determinenttouteslessolutionspossiblesdel’equation.Toutchoix

deλet

µdonneunesolution.

Unesolutionparticu

liere

nedep

endd’aucunparam

etre

etn’exclutpas

qu’ilexiste

des

solutionsdeform

eap

parem

mentdifferente.

59

Solutiondel’eq

uationhomogen

eTheo

reme2:Lasolution

del’equationhom

ogene

pE0q

x2

`a 1x

1 `a 0x

“0

dependdes

racines

dupolynomecaracteristique

PpX

q“X

2`

a 1X

`a 0,

c’est-a-direlessolution

sz

PCdel’equationP

pzq“z

2`a

1z

`a0

“0:

‚SiP

pXqa

deuxracines

reellesdistinctes

r 1,r

2PR

,alors

x 0ptq

“λer 1t

`µer 2t

λ,µ

PR.

‚SiP

pXqa

uneracinereelle

dou

ble

rPR

,alors

x 0ptq

“pλ

`µtqert

λ,µ

PR.

‚SiP

pXqa

deuxracines

complexes ,ellessontforcem

entconjugu

ees,

c’est-a-diredela

form

er

˘is

PC(cf.

ch.1),

alors

x 0ptq

“` λ

cosps

tq`

µsin

pstq˘ e

rt

λ,µ

PR.

Exe

mplesdesolutionhomogen

eExe

mples:

‚pE

0q

x2 ptq

´3x

1 ptq´

10x

ptq“

0

Les

racines

de

PpX

q“X

2´

3X

´10

sont

z“

3˘

a9

´4

¨p´10

q2

“3

˘? 4

9

2“

3˘

7

2“

C3

`7 2“

5

3´7 2

“´2

.

Onadeuxracines

reellesdistinctes

r 1“

5et

r 2“

´2,donc

x 0ptq

“λe5t

`µe

´2t

pourtoutλ,µ

PR.

‚4y

2 ptq`

4y

1 ptq`

yptq

“0

s’ecrit

pE0q

y2 ptq

`y

1 ptq`

1 4y

ptq“

0

Les

racines

de

PpX

q“X

2`

X`

1{4

sont

z“

´1˘

a1

´4

¨1{4

2“

´1˘

0

2“

´1 2.

Onauneracinereelle

double

r“

´1{2,donc

y 0ptq

“pλ

`µtq

e´t

{2pourtoutλ,µ

PR.

60

Exe

mplesdesolutionhomogen

e(suite)

‚pE

0q

u2 pθq

´6u

1 pθq`

13u

pθq“

0

Les

racines

de

PpX

q“X

2´

6X

`13

sont

z“

6˘

? 36

´4

¨13

2“

6˘

? ´16

2“

6˘

4i

2“

3˘

2i.

Onadeuxracines

complexesconjuguees,

avec

partiereelle

r“

3et

partie

imag

inaire

s“

2:

u0pθq

“` λ

cosp2

θq`

µsin

p2θq˘ e

3θ

pourtoutλ,µ

PR.

Secondmem

bre

simple

Rem

arque:

Pourtrouverunesolutionparticuliere

del’e.d.

pEq,

avec

second

mem

bre,

ilexiste

lamethodedela

variationdes

constan

tesλet

µdan

sla

solution

generalex 0

de

pE0q,

maispourlese.d.du2em

eordre

cettemethodeest

compliq

uee,noustraitonsdes

casparticuliers.

But:

Trouverunesolution

particuliere

del’e.d.

pEq

x2 ptq

`a 1

x1 ptq

`a 0

xptq

“b1ptq

`¨¨¨

`bkptq

quandle

secondmem

breestla

sommedeterm

esdela

form

e

bipt

q“P

ptqeαt

` K1cospβ

tq`

K2sin

pβtq˘

,

ouP

ptqestunpolynom

eet

α,β,K1et

K2sontdes

constantes.

Exe

mple:Lesecondmem

bre

bptq

“4t3

´te

3t

`5etcosp2

tqestla

sommedes

troisterm

essuivan

ts:

b1ptq

“4t3,avec

Pptq

“4t3,α

“β

“0et

K1

“1et

K2quelconque

b2ptq

“´t

e3t,avec

Pptq

“´t

,α

“3,β

“0et

K1

“1et

K2quelconque

b3ptq

“5etcosp2

tq,avec

Pptq

“5,α

“1,K

1“

1,K

2“

0et

β“

2

61

Solutionparticu

liere

ave

cseco

ndmem

bre

simple

Theo

reme3:Lasolution

particuliere

de

pEqe

stla

somme

x pptq

“x 1

ptq`

x 2ptq

`¨¨¨

`x k

ptqdefonctionscorrespon

dantesachaquebipt

q,dela

form

esuivante

(ouQ

est

unpolynom

eatrou

ver,avec

deg

Q“

deg

P):

‚Sibipt

q“P

ptq,alors x i

ptq“

$ ’ & ’ %

Qptq

sia 0

‰0

tQ

ptqsia 0

“0et

a 1‰

0

t2Q

ptqsia 0

“a 1

“0

‚Sibipt

q“P

ptqeαt,alors

x iptq

“

$ ’ & ’ %

Qptq

eαt

siα

‰r 1,r

2

tQ

ptqeαt

siα

“r 1

ouα

“r 2

t2Q

ptqeαt

siα

“r

‚Sibipt

q“P

ptqeαt

` K1cospβ

tq`

K2sin

pβtq˘ ,

alors

x iptq

“#

eαt

` Q1ptq

cospβ

tq`

Q2ptq

sin

pβtq˘

siα

˘iβ

‰r

˘is

teαt

` Q1ptq

cospβ

tq`

Q2ptq

sin

pβtq˘

siα

˘iβ

“r

˘is

Exe

mplesdesolutionparticu

liere

Exe

mples:

‚pE

qx

2 ptq´

3x

1 ptq´

10x

ptq“

p72t2

´1qe

t(P

ptq“7

2t2

´1et

α“1

)

L’equation

pE0qa

solutionx 0

ptq“

λe5t

`µe

´2tet

onaα

‰r 1,r

2.

Oncherchedoncunesolutionparticuliere

de

pEqd

ela

form

e

x pptq

“pat

2`

bt

`c

qet.

Oncalcule

x1 pptq

“` at

2`

p2a`

bqt

`pb

`c

q˘ et

x2 pptq

“` at

2`

p4a`

bqt

`p2a

`2b

`c

q˘ et

etonremplace

dan

spE

q.Onobtient:

pEq

ðñ` ´

12at

2`

p´2a

´12b

qt`

p2a´

b´

12c

q˘ et

“p72

t2´1

qet

ðñ$ & %

´12a

“72

´a´

6b

“0

2a

´b

´12c

“1

ðñ$ & %

a“

´6b

“1

c“

´1ðñ

x pptq

“p´

6t2

`t

´1

qet

Enconclusion,lessolutionsde

pEqs

ont

xptq

“λe5t

`µe

´2t

`p´

6t2

`t

´1

qet.

62

Exe

mplesdesolutionparticu

liere

(suite)

‚pE

q4y

2 ptq`

4y

1 ptq`

yptq

“16e

´t{2

(Pptq

“16et

α“

´1{2)

L’equation

pE0qa

solutiony 0

ptq“

pλ`

µtq

e´t

{2et

onaα

“r.

Oncherchedoncunesolutionparticuliere

de

pEqd

ela

form

e

y pptq

“at

2e

´t{2.

Oncalcule

y1 pptq

“ˆ ´

1 2at

2`

2at

˙ e´t

{2

y2 pptq

“ˆ1 4at

2´

2at

`2a˙ e

´t{2

etonremplace

dan

spE

q.Onobtient:

pEq

ðñ4

ˆ ´1 2at

2 `2at

˙e

´t{2

`4

ˆ1 4at

2 ´2at

`2a˙

e´t

{2`

at2e

´t{2

“16e

´t{2

ðñ8a

“16

ðña

“2

ðñy p

ptq“

2t2

e´t

{2.

Enconclusion,lessolutionsde

pEqs

ont

xptq

“pλ

`µt

`2t2

qe´t

{2.

Exe

mplesdesolutionparticu

liere

(suite)

‚pE

0q

u2 pθq

´6u

1 pθq`

13u

pθq“

75cosp2

θq

(α“

0et

β“

2)

L’equation

pE0qa

solution

u0pθq

“` λ

cosp2

θq`

µsin

p2θq˘ e

3θ

etonaα

˘iβ

‰r

˘is.

Oncherchedoncunesolutionparticuliere

de

pEqd

ela

form

e

uppθq

“acosp2

θq`

bsin

p2θq.

Oncalcule

u1 ppθq

“´2

asin

p2θq`

2bcosp2

θq

u2 ppθq

“´4

acosp2

θq´

4bsin

p2θq

etonremplace

dan

spE

q.Onobtient:

pEq

ðñp9a

´12b

qcosp2

θq`

p12a

`9b

qsin

p2θq“

75cosp2

θq

ðñ"

9a

´12b

“75

4a

`3b

“0

ðñ"

a“

3b

“´4

ðñuppθq

“3cosp2

θq´

4sin

p2θq.

Enconclusion,lessolutionsde

pEqs

ont

upθq

“` λ

cosp2

θq`

µsin

p2θq˘ e

3θ

`3cosp2

θq´

4sin

p2θq.

63

Conditionsinitiales

But:

resoudre

unee.d.du2emeordre

lineaireavec

deuxconditionsinitiales

pEC

q#

x2 ptq

`a 1

xptq

`a 0

xptq

“b

ptqx

pt ˚q“

x ˚et

x1 pt ˚

q“x

1

Theo

reme4:Lesystem

epEC

qaunesolution

uniquex

ptq(donnee

au

theoreme3)determinee

par

lavaleurλ

˚et

µ˚des

constantesλet

µque

l’on

obtienten

impostantlesconditions

pCq.

Exe

mple:L’e.d.

pEC

q#x

2 ptq´

3x

1 ptq´

10x

ptq“

p72t2

´1

qet

xp0q

“2

etx

1 p0q“

1

apoursolution

xptq

“λe5t

`µe

´2t

´p6t

2´

t`

1qe

tpourtoutλ,µ

PR.Sa

derivee

est

x1 ptq

“5λe5t

´2µe

´2t

´p6t

2´

t`

1`

12t

´1

qet,

donc

"x

p0q“

λ`

µ´

1“

2x

1 p0q“

5λ

´2µ

“1

ô"

λ`

µ“

35λ

´2µ

“1

ô"

λ“

1µ

“2

Lasolutionde

pEC

qest

donc

xptq

“e5t

`2e

´2t

´p6t

2´

t`

1qe

t.

64

TMB

–Chapitre

6Espace

sve

ctorielset

vecteu

rs

Idee

:Enphysique,

ilyades

grandeurs

dedeuxtypes:

masse,charge,temperature

“nom

bre

ÝÑscalaire

(apartl’unitedemesure)

force,

vitesse,

acceleration

“pointd’application

+direction

(etsense)

+longu

eur

“fleche

ÝÑve

cteu

r

Dansce

chapitre:

1.Espaces

vectoriels(produitpar

scalaire).

Com

binaisonslineares,base,

dim

ension

.Exemples:

Rn,vecteurs

duplanet

del’espace.

2.Produitscalaire

etnorme.

3.Produitvectorielet

produitmixte.

1.Espacesve

ctoriels(produit

par

scalaire)

Defi

nition:Unespace

vectoriel

(surR)estunensemble

Vmuni

‚d’uneaddition

� u`� v

pou

rtout� u,� v

PV,

etd’unzero

� 0,qu’onappelle

aussielem

entneutre,

telque� v

`� 0

“� v,

‚d’unproduit

par

scalaire

t� v

pou

rtout� v

PVet

tPR

,

telque

tp� u

`� v

q“t� u

`t� v

.

Onappelle

vecteu

rsleselem

ents

� vdeV

etscalaires

lesreelst.

Proprietes

elem

entaires

:

‚� 0

PV‚

pou

rtout� u,� v

PV,on

a� u

`� v

PV‚

pou

rtoutt

PRet

� vPV

,on

at� v

PV‚

pou

rtout� v

PV,on

a0� v

“� 0

‚pou

rtoutt

PR,on

at� 0

“� 0

‚pou

rtoutt

PRet

� vPV

,on

ap´

tq� v

“´p

t� vq“

tp´� v

q‚

pou

rtoutt

PRet

� vPV

,on

at� v

“� 0

ðñpt

“0ou

� v“� 0

q65

Exe

mplesd’espace

sve

ctoriels

Les

ensemblessuivants

sontdes

espaces

vectoriels:

‚L’ensemble

Rn

“tpx

1,...,x

nq|

x 1,...,x

nPR

uavec

lesop

erations

addition:

px 1,...,x

nq`

py 1,...,y

nq“

px 1`

y 1,...,x

n`

y nq

avec

zero:

� 0“

p0,...,0q

produit

par

scalaire:

tpx 1

,...,x

nq“

ptx 1,...,t

x nq

‚L’ensemble

des

fonctions

FpR

q“tf

:RÑ

R,x

ÞÑf

pxqu

avec

les

operations

addition:

pf`

gqpx

q“f

pxq`

gpx

qavec

zero:

fonctionnulle

0pxq“

0

produit

par

scalaire:

ptf

qpxq“

tf

pxq,

tPR

Vecteurs

duplanet

del’espace

Defi

nition:Rappellonsqu’unve

cteu

rduplanou

del’espaceestunefleche

P� v

Q,

notee

� v”

ÝÑ PQ,caracterisee

par

‚le

pointd’applic

ationP;

‚la

directionet

lesens,

don

nes

par

lafleche;

‚la

longueu

r}� v

}“}ÝÑ PQ

}“distpP

,QqP

R.

Sou

venton

identifielesvecteurs

qu’onob

tientpar

translation,ainsiP

change

maison

ditquele

vecteur� vnechange

pas.

Defi

nition:Soient� uet

� vdeuxvecteurs.

‚l’angle

x uvestl’angleoriente

de� uvers

� v.

� u

� vx uv

.

‚� uet

� vsontparalle

les,

ouco

linea

ires,et

onnote

� u�� v

,si

sin

px uvq“

0.

� u� v

‚� uet

� vsontperpen

diculaires,ou

orthogonaux,

eton

note

� uK� v

,si

cospx u

vq“

0.

� u� v

66

Exe

mples:

Vectpp

lan

qetVectpe

space

qNotation:L’ensemble

des

vecteurs

appliques

enunpointfixe

Oestnote

‚Vectpe

spaceq

pou

rlesvecteurs

del’epace,

‚Vectpp

lan

qpou

rlesvecteurs

duplan.

Proposition:Vectpe

spaceq

etVectpp

lan

qson

tdes

espaces

vectoriels,avec

‚addition:

� u`� v

=� u

� v� u

`� v

zero:

� 0=

vecteurdelongu

eurnulle

appliqueen

O

‚produit

par

scalaire:

t� v=

t� v

� v

Attention:l’ensemble

des

vecteurs

appliq

ues

entouslespoints

n’est

pas

unespacevectorielcarilman

quele

zero

(onl’ap

pelle

espace

affine).

Propriete:

Leproduitpar

scalaire

caracteriselesvecteurs

paralleles:

� u�� v

ðñ� u

“t� v

pou

runt

‰0

Combinaisonslin

eaires

Defi

nition:Soient� u,� v,� w,...

des

vecteurs

d’unespacevectorielV.

‚Uneco

mbinaisonlin

eairede� u,� v,� w,...

estunvecteur

ÝÑ Adela

form

e

ÝÑ A“

r� u

`s� v

`t� w

`¨¨¨

,

our,s,t,...

PRs’appellentlesco

efficien

tsscalaires.

Exe

mple:Dan

sR

3,le

vecteur

p5,4,9

qest

unecombinaisonlin

eairede

p1,2,3

qet

p1,´1

,0q,

car

3p1,

2,3

q`2

p1,´1

,0q“

p5,4,9

q.

‚L’espacevectorielen

gen

dre

par

� u,� v,� w,...

estl’ensemble

detoutesles

combinaisonslineaires

possibles:

Vectp� u

,� v,� w,...

q“! r� u

`s� v

`t� w

`¨¨¨

|r,s,t,...

PR) .

Exe

mple:Dan

sR

3,lesvecteurs

� u“

p1,0,0

qet� v

“p0,

1,0

qengendrentle

sous-espacevectorielR

2ˆ

t0u,

carlescombinaisonslin

eaires

de� uet

� vsont

rp1,

0,0

q`s

p0,1,0

q“pr,

0,0

q`p0,

s,0

q“pr,

s,0

qc’est-a-diretouslesvecteurs

deR

2ˆ

t0uq

uan

dr,s

PRvarient.

67

Vecteurs

lieset

vecteu

rslib

res

Defi

nition:Des

vecteurs

� u,� v

,� w,...

PVsontdits:

‚lie

s,ou

linea

irem

entdep

endants,sichacund’euxestcombinaison

lineairedes

autres,c’est-a-dires’ilexiste

unecombinaisonlineairenulle

(r� u

`s� v

`t� w

`¨¨¨

“0)

avec

des

coeffi

cients

non

tousnuls.

‚lib

res,

oulin

eairem

entindep

endants,siaucund’euxn’est

combinaison

lineairedes

autres,c’est-a-diretoute

combinaisonlineairenulle

deces

vecteurs

impliquequelescoeffi

cients

sontforcem

enttousnuls.Autrem

ent

dit:r� u

`s� v

`t� w

`¨¨¨

“0

ñr

“s

“t

“¨¨¨

“0.

Exe

mples:

‚p1,

2qe

tp3,

6qs

ontliees

car

p3,6

q“3

p1,2

q.‚

p1,2

qet

p2,1

qsontlibrescara

p1,2

q`b

p2,1

q“p0,

0q

ôa,b

“0.

‚Troisvecteurs

dan

sR

2sonttoujours

liees.

‚p1,

2,3

qet

p2,4,6

qsontliees

car

p2,4,6

q“2

p1,2,3

q.‚

p1,2,3

qet

p2,1,3

qsontlibrescara

p1,2,3

q`b

p2,1,3

q“p0,

0,0

qôa,b

“0.

‚p1,

2,3

q,p2,

1,3

qet

p4,5,9

qsontliees

car

p4,5,9

q“2

p1,2,3

q`p2,

1,3

q.‚

Quatre

vecteurs

dan

sR

3sonttoujours

liees.

Base

etdim

ensiond’unespace

vectoriel

Defi

nitions:

‚Unensemble

devecteurs

t� e 1,� e

2,...

uengen

dre

unespacevectorielV

sitoutvecteur� v

PVs’ecritcommecombinaisonlineairede� e 1,� e 2,...

:

� v“

t 1� e 1

`t 2� e 2

`¨¨¨

,avec

t 1,t

2,...

PR.

‚Unebase

deV

estunensemble

devecteurs

t� e 1,� e

2,...

uquisontlibreset

engendrentV.

‚Labasen’est

pas

unique,

maistouteslesbases

ontle

mem

enom

bre

d’elements,quis’appelle

dim

ensiondeV

etestnotee

dim

V.

Ladim

ension

peutetre

finie

(unnom

bre)

ouinfinie.

Exe

mples:

‚Les

vecteurs

� e 1“

p1,0

qet� e 2

“p0,

1qf

ormentunebasedeR

2,quis’ap

pelle

base

canonique.

Par

consequent,

dim

R2

“2

.

‚Les

vecteurs

� e 1“

p1,0,0

q,� e 2

“p0,

1,0

qet� e 3

“p0,

0,1

qformentunebasedeR

3,

quis’ap

pelle

base

canonique.

Donc

dim

R3

“3

.

68

Base

etdim

ensiondeVectpp

lan

qExe

mples:

‚Unvecteur� vengendre

unedroite.

Δ“

� t� v|t

PR(

‚Deuxvecteurs

� uet

� vnonparalleles

engendrentunplan.

π“

� s� u`

t� v|s

,tPR

(

‚Attention:deuxvecteurs

� uet

� vparalleles

n’engendrentpas

unplanmaisunedroite.

� v

� u.

‚Les

deuxvecteurs� ı

et�

dela

figure,delongueur1,

form

entunebasequ’onap

pelle

lereperecartesien

(oula

basecanonique),et

qu’onnote

pO,� ı,�

q.

Donc

dim

Vectpp

lan

q“2

.

� ı

� O

Defi

nition:

‚Onappelle

coordonnee

scartesiennes

d’unvecteur� vle

couple

px,y

qPR

2telque

� v“

x� ı

`y�

eton

note

� v“

´ x y

¯.

‚Si� v

“ÝÑ OP

,on

obtientainsiles

coordonnee

scartesiennes

deP,

eton

note

Ppx,y

q:

$ & %x

“}ÝÝÑ O

P1 }

y“

}ÝÑ OP2 }

x

y� v

O

Ppx

,y

q

P1

P2

Base

etdim

ensiondeVectpe

space

qExe

mples:

‚Troisvecteurs

dan

sl’espacepeuventengendrerunedroite(s’ilssontparalleles),

unplan(sil’unestcombinaisonlin

eairedes

autres

deux)

outoutl’espace(si

aucunn’est

combinaisonlin

eairedes

autres).

‚Les

trois

vecteurs

� i,� j,

� kdela

figure,orthogonau

xet

delongueur1,form

entunebasequ’onap

pelle

le

reperecartesien,et

qu’onnote

pO,� ı,� ,� k

q.

Donc

dim

Vectpe

spaceq

“3.

� ı

� � k

ąO

Defi

nition:

‚Onappelle

coordonnee

scartesiennes

d’unvecteur� vle

triplet

px,y

,zqP

R3telque

� v“

x� ı

`y�

`z� k

,et

onnote

� v“

˜x y z

¸.

‚Si� v

“ÝÑ OP

,on

obtientainsiles

coordonnee

scartesiennes

deP,

eton

note

Ppx,y

,zq

:

$ ’ ’ & ’ ’ %

x“

}ÝÝÑ OP

1 }y

“}ÝÑ OP

2 }z

“}ÝÑ OP

3}

O

P� v

P1x

P2

y

P3z

69

Exe

rcice

Exe

rcice:

Les

vecteurs

ÝÑ A“

p3,11

,´1q

etÝÑ B

“p1,

4,0q

deR

3sont-ils

des

combinaisonslineaires

des

vecteurs

� u“

p1,2,3q

et� v

“p0,

1,´2

q?Rep

onse:Unvecteur

ÝÑ Eestunecombinaisonlineairede� uet

� vs’ilexiste

deuxnom

bres

reelsxet

ytelsque

ÝÑ E“

x� u

`y� v

p˚q.Cherchon

sside

telsnom

bres

existenten

resolvantcetteequationquand

ÝÑ E“

ÝÑ Aet

ÝÑ E“

ÝÑ B.

‚Pou

rÝÑ E

“ÝÑ A

“p3,

11,´

1q,l’equation

p˚qest:

p3,11

,´1q

“x

p1,2,3q

`y

p0,1,

´2q

“px,2x

`y,3x

´2y

q,ce

quidon

nele

system

e

$ & %x

“3

2x`

y“

113x

´2y

“´1

ô$ & %

x“

3y

“11

´2x

“11

´6

“5

2y“

3x`

1“

9`

1“

10

Celui-ci

admet

unesolution

x“

3et

y“

5,don

cÝÑ A

estbienune

combinaisonlineairede� uet

� v,car

ÝÑ A“

3� u

`5� v.

Exe

rcice(suite)

‚Pou

rÝÑ E

“ÝÑ B

“p1,

4,0q,

l’equation

p˚qest:

p1,4,0q

“x

p1,2,3q

`y

p0,1,

´2q

“px,2x

`y,3x

´2y

q,ce

quidon

nele

system

e

$ & %x

“1

2x`

y“

43x

´2y

“0

ô$ & %

x“

1y

“4

´2x

“4

´2

“2

2y“

3x“

3

Celui-ci

n’admet

pas

desolution

,carynepeutpas

valoir2et

3{2au

mem

etemps.

Don

cÝÑ B

n’est

pas

unecombinaisonlineairede� uet

� v.

70

Exe

rcice

Exe

rcice:

Les

vecteurs

� u“

p1,2q

et� v

“p´

2,1q

form

ent-ils

unebasede

R2?

Rep

onse:Puisquel’espacevectorielR

2adim

ension

2,on

saitqu’ilfaut

exactementdeuxvecteurs

pou

rform

erunebase.

Alors,lesdeuxvecteurs

� uet

� vform

entunebasesitoutvecteur

pa,b

qPR

2

peuts’exprim

ercommecombinaisonlineairede� uet

� v,c’est-a-diresi,pou

rtouta,b

PR,ilexiste

x,y

PRtelsque

pa,b

q“x

p1,2q

`y

p´2,1q

“px

´2y

,2x

`y

q.Cette

equationdon

nele

system

e

"a

“x

´2y

b“

2x`y

ô"

x“

a`

2y2a

`4y

`y

“b

ô"

x“

a`

2b

´4a

5“

a`2

b5

y“

b´2

a5

Celui-ci

admet

unesolution

x“

a`2

b5

ety

“b

´2a

5,pou

rtoutchoixde

pa,b

qPR

2.Don

c� uet

� vform

entbienunebasedeR

2.

2.Produit

scalaire

Defi

nition:Unproduit

scalairesurunespacevectorielV

esttoute

operation

Vˆ

VÝÑ

R:

p� u,� v

qÞÑ� u

¨� vayantlesproprietes

suivantes:

‚defi

nipositif:

� v¨� v

ě0

et� v

¨� v“

0ô

� v“� 0

‚bilinea

ire:

pt� uq¨

� v“

tp� u¨� v

q“� u

¨pt� v

qp� u

`� v

q¨� w

“� u

¨� w`� v

¨� w� u

¨p� v`

� wq“

� u¨� v

`� u

¨� w‚

symetrique:

� u¨� v

“� v

¨� u

Autres

notations:

� v¨� u

”` � v

,� u˘ ”

x� v,� u

y”x� v

|� uyEnmeca.

quan

tique:

x|=

bra

et|y

=ke

tñ

x|y=

bracket

(crochet).

Attention:nepas

confondre

produitscalaire

etproduitpar

unscalaire,quiestune

application

Rˆ

VÝÑ

V:

pt,� v

qÞÑt� v.

Attention:lesespaces

vectorielsn’ontpas

tousunproduitscalaire.

71

Produit

scalairedansR

n,F

pra,b

sqet

Vectpe

space

qProposition:Les

form

ulessuivantesdon

nentdes

produitsscalaires:

‚DansR

3(ettoutR

n),

onale

produit

scalaireeu

clidien:

px,y

,zq¨

px1 ,y

1 ,z

1 q“xx

1 `yy

1 `zz

1

Exe

mple:

p1,2,3

q¨p4,

´5,6

q“1

¨4`

2¨p´

5q`

3¨6

“4

´10

`18

“12

‚Dansl’ensemble

des

fonctionscontinues

deF

pra,b

sq,on

ale

produit

scalairedeHilb

ert:

f¨g

“ż b a

fpx

qgpx

qdx

‚DansVectpp

lan

qetVectpe

spaceq,

ona:

� v¨� u

“}� v

}}� u

}cosp� v

� uq

Produit

scalairedansVectpe

space

qProprietes

duproduit

scalairedansVectpe

space

q:‚

ilcaracteriselesvecteurs

orthog

onaux:

� u¨� v

“0

ðñ� u

K� v‚

ildon

nel’aire: |� u¨� v

K |=aire

duparallelogram

medecotes� uet

� v

‚ildon

nela

projection

orthog

onalede� usurla

droitededirection

� v:

Pr � v

p� uq“

� u¨� v }� v}2

� vex.

� v� u P� vp� u

q

‚ildon

nela

projection

orthog

onalede� usurle

planengendre

par

� vet

� w:

Pr � v

,� wp� u

q“� u

¨� v }� v}2

� v`

� u¨� w }� w}2

� w

72

Exe

rcice

Exe

rcice:

Les

vecteurs

del’espace� u

“¨ ˝

1 ´1 3

˛ ‚et

� v“

¨ ˝´1 2 1

˛ ‚sont-ils

parallelesou

orthog

onaux?

Rep

onse:Ilssontparalleless’ilexiste

unt

PRtelque� u

“t� v,et

ilssont

orthog

onauxsi� u

¨� v“

0.

Pou

rt

PR,on

a� u

“t� vsi:

¨ ˝1 ´1 3

˛ ‚“

t

¨ ˝´1 2 1

˛ ‚“

¨ ˝´t 2t t

˛ ‚ô

$ & %´t

“1

2t“

´1t

“3

,

cequiestim

possible.Don

c� uet

� vnesontpas

paralleles.

Par

contre,

leproduitscalaire

� u¨� v

vaut:

¨ ˝1 ´1 3

˛ ‚¨¨ ˝

´1 2 1

˛ ‚“

1¨p´

1q`

p´1q

¨2`

3¨1

“´1

´2

`3

“0,

don

t� uet

� vsonto rthog

onaux.

Exe

rcice

Exe

rcice:

Calculerla

projection

orthog

onaleduvecteur� u

“¨ ˝

1 ´2 5

˛ ‚dansla

direction

de� v

“¨ ˝

2 1 ´1

˛ ‚ .

Rep

onse:Laprojection

orthog

onalede� udansla

direction

de� vestle

vecteur(parallele

a� v)don

nepar

laform

ule

Pr � v

p� uq“

� u¨� v }� v}2

� v.

Calculonslesingredients

necessaires:

� u¨� v

“¨ ˝

1 ´2 5

˛ ‚¨¨ ˝

2 1 ´1

˛ ‚“

2´

2´

5“

´5,

etaussi

}� v}2

“4

`1

`1

“6,

don

c

Pr

� vp� u

q“´5 6

¨ ˝2 1 ´1

˛ ‚“

¨ ˝´5

{3´5

{65{6

˛ ‚.

73

Norm

e

Defi

nition:Unenorm

esurunespacevectorielV

esttoute

application

}}:V

ÝÑR

:� v

ÞÑ}� v

}ayantlesproprietes

suivantes:

‚defi

nie

positive

:}� v

}ě0

et}� v

}“0

ô� v

“� 0

‚multiplic

ative

:}t� v

}“|t|

}� v},

ou|t|

=valeurabsolue

‚ineg

alitetriangulaire:

}� u`� v

}ď}� u

}`}� v

}

Propriete:

Tou

tproduitscalaire

definitunenorme,

par

laform

ule

}� v}“

? � v¨� v

Attention,le

contraire

estfaux:

ilexiste

des

normes

quineviennentpas

de

produitsscalaires.

Norm

esdansR

3,F

pra,b

sqet

Vectpe

space

qProposition:Les

form

ulessuivantesdon

nentdes

normes:

‚DansR

3(etdanstoutR

n):

norm

eeu

clidienne:

}px,y

,zq}

“ax2

`y2

`z2

normeL1:

}px,y

,zq} 1

“|x|

`|y|

`|z|

normeLp:

}px,y

,zq} p

“´ |x|

p`

|y|p

`|z|

p¯ 1

{p,avec

pPN

normeL

8:

}px,y

,zq} 8

“max

t|x

|,|y

|,|z

|u‚

Dansdes

sous-ensemblesop

portunes

deF

pra,b

sq:

normeL2:

}f} 2

“d

ż b a

|fpx

q|2dx

normeL1:

}f} 1

“ż b a

|fpx

q|dx

normeLp:

}f} p

“´ż

b a

|fpx

q|pdx

¯ 1{p,

avec

pPN

normeL

8:

}f} 8

“sup

tfpx

q,x

Pra,b

su.

‚DansVectpp

lan

qetVectpe

spaceq :

norme=

longu

eur.

74

Exe

rcice

Exe

rcice:

Calculerla

distance

dupointP

p3,´1

,2qa

upointorigineO,puis

celle

dupointP

aupointQ

p1,0,3q.

Rep

onse:Ladistance

entreP

px,y

,zqe

tO

estegaleala

longu

eurdu

vecteur

ÝÑ OP“

¨ ˝x y z

˛ ‚ ,c’est-a-diresa

norme

}ÝÑ OP}“

ax2

`y2

`z2.

Onadon

c: distpO

,Pq“

a32

`p´

1q2`

22“

? 9`

1`

4“

? 14.

Ladistance

entreP

px,y

,zqe

tQ

pa,b,c

qest

egaleala

longu

eurduvecteur

ÝÑ QP“

ÝÑ OP´

ÝÑ OQ“

¨ ˝x y z

˛ ‚´

¨ ˝a b c

˛ ‚“

¨ ˝x

´a

y´

bz

´c

˛ ‚.

Onadon

c:

distpQ

,Pq“

ap3

´1q2

`p´

1´0q2

`p2

´3q2

“? 4

`1

`1

“? 6.

4.Produit

vectoriel

dansVectpe

space

qDan

slesespaces

vectorielsR

3et

Vectpe

spaceq,

quiontpourdim

ension3,onpeut

defi

nirdeuxau

tres

produitsquin’existentpas

dan

sR

2et

Vectpp

lan

q.Defi

nition:Leproduit

vectoriel

dedeuxvecteurs

� uet

� vdel’espaceestle

vecteur� u

^� vavec:

‚direction

orthogonale

directe

‚longu

eur

}� u^� v

}“}� u

}}� v

}sin

px uvq

� u� v

� u^� v

Proprietes

duproduit

vectoriel:

‚bilinea

ire:

pt� uq^

� v“

tp� u^� v

q“� u

^pt� v

q,p� u

`� v

q^� w

“� u

^� w

`� v

^� w,

et� u

^p� v

`� w

q“� u

^� v

`� u

^� w.

‚anti-sym

etrique:

� u^� v

“´� v

^� u

‚ilcaracteriselesvecteurs

paralleles:

� u^� v

“0

ðñ� u�� v

(i.e.� u

“t� vavec

t‰

0).

75

Produit

vectoriel

dansR

3

Propriete:

Enexprim

antle

produitvectorielen

coordon

neescartesiennes,

onob

tientuneexpression

valable

aussidansR

3:

px,y

,zq^

pu,v

,wq“

` yw´

zv,´

xw`

zu,xv

´yu

˘.

Exe

mple:

p1,2,3

q^p4,

´5,7

q“` 2

¨7´

3¨p´

5q,´

1¨7

`3

¨4,1

¨4´

2¨p´

5q˘

“` 14

`15,´

7`

12,4

`10

˘

“p29

,5,14

q

Produit

mixte

Defi

nition:Leproduit

mixte

detroisvecteurs

� u,� vet

� westle

scalaire

r� u,� v,� w

s“� u

¨p� v^

� wq“

p� u^� v

q¨� w

.

Proprietes

duproduit

mixte:

‚trilinea

ire:

rt� u,� v

,� w

s“r� u,

t� v,� w

s“r� u,

� v,� tw

s“tr� u

,� v,� w

s,r� u

`� u

1 ,� v,� w

s“r� u,

� v,� w

s`r� u1

,� v,� w

s,etc.

‚symetriemixte:

r� u,� v,� w

s“r� v,

� w,� u

s“r� w

,� u,� v

s“

´r� v,� u

,� w

s“´r

� u,� w,� v

s“´r

� w,� v

,� us

‚ildon

nele

volume:

|r� u,� v

,� w

s|=

volumeduparallelepipededecotes� u,� v,� w

.

76

TMB

–Chapitre

7Transform

ationslin

eaires

etmatrices

Dansce

chapitre:

1.Applicationslineaires.Structure

d’espacevectoriel.ExemplessurR

2et

R3,rotation

s,reflexions,translations,projection

s.

2.Isom

orphismes

etisom

etries.Com

poseeset

reciproques.Exemple:

vecteurs

etcoordon

neescartesiennes.

3.Matrices.

Structure

d’espacevectoriel.Produit,determinant,matrice

inverse.

4.Relationentreapplicationslineaires

etmatrices.

5.Sym

etries

(=isom

etries)et

matricesorthog

onales.Deplacements,

antideplacements

etasym

etriechirale.

6.Resolution

matricielle

desystem

esd’equationslineaires.

1.Applicationslin

eaires

SoientV

etV

1 deuxespaces

vectorielssurR.

Defi

nition:Uneapplicationlin

eairedeV

aV

1 ,appelee

aussi

transform

ationlin

eaire,

estuneapplication

L:V

ÝÑV

1 ,� v

ÞÑ� v

1 “L

p� vq

quirespecte

lesop

erationssurV

etsurV

1 ,c’est-a-direqu’ona

‚L

p� u`� v

q“L

p� uq`

Lp� v

q

‚L

pt� v

q“tL

p� vq

pou

rtout� v,� u

PVet

pou

rtoutt

PR.

Propriete:

Celaim

pliqueque

Lp� 0q

“L

p0¨� v

q“0

¨Lp� v

q“� 0

.

Def.eq

uivalente:UneapplicationL:V

ÝÑV

1 est

linea

iresi

Lps

� u`

t� v

q“sL

p� uq`

tL

p� vq

pou

rtout� u,� v

PVet

pou

rtouts,t

PR.

77

Exe

mplessurR

2et

R3

Proposition:UneapplicationdeR

naR

mestlineairesiet

seulementsises

mcomposantessontdes

polynom

esdedegre

1danslesnvariablesx 1,...x n,

sansterm

esconstants

non

nuls.

Exe

mplesd’applic

ationslin

eaires:

‚L:R

2ÝÑ

R3,

Lpx,y

q“p3x

`y,´

y,y

´2x

q‚

L:R

3ÝÑ

R2,

Lpx,y

,zq“

pz,x

´y

`z

q‚

L:R

3ÝÑ

R3,

Lpx,y

,zq“

p0,0,z

q

Exe

mplesd’applic

ationsNON

linea

ires:

‚L

px,y

,zq“

px`

1,yz

q:le

term

ex

`1contientuneconstante,le

term

eyz

estunpolynom

ededegre

2.

‚L

px,y

q“px

3`

siny,xy2q:

lesterm

esx3et

xy2sontdes

polynom

esde

degre

3,le

term

esinyn’est

pas

unpolynom

e.

Exe

mplessurlesfonctionsderivablesC

8pR

qExe

mplesd’applic

ationslin

eaires:

‚Laderivation:

d dx:C

8pR

qÑC

8pR

q,f

ÞÑpd d

xf

q“f

1estlin

eaire:

d dx

p3f

`2g

q“3

d dxf

`2

d dxg.

‚Lamultiplicationpar

x:

Mx:C

8pR

qÑC

8pR

q,f

ÞÑM

xpf

qdefi

nie

par

Mxpf

qpxq“

xf

pxq

estlin

eaire:

Mxp3

f`

2g

qpxq“

x´ 3

fpx

q`2g

pxq¯

“3

´ xf

pxq¯

`2

´ xg

pxq¯

“´ 3

Mxpf

q`2M

xpg

q¯ pxq.

Exe

mplesd’applic

ationsNON

linea

ires:

‚Lapuissance

carree

:p:C

8pR

qÑC

8pR

q,f

ÞÑp

pfq

defi

nie

par

ppf

qpxq“

fpx

q2n’est

pas

lineaire:

pp3

f`

2g

qpxq“

p3f

pxq`

2g

pxqq2

“9f

pxq2

`12f

pxqg

pxq`

4g

pxq2,

alorsque

` 3p

pfq`

2p

pgq˘ px

q“3f

pxq2

`2g

pxq2 .

78

Exe

mplessurVectpp

lan

qExe

mplesd’applic

ationslin

eaires

VectpR

2qÑ

VectpR

2q:

‚Rotationd’angle

θ:

Rot θ

ˆx y

˙“

ˆxcosθ

´ysinθ

xsinθ

`ycosθ

˙

‚Refl

exionau

tourd’unaxed’angle

θavec

Ox:

Ref

θ

ˆx y

˙“

ˆxcosp2

θq`

ysin

p2θq

xsin

p2θq´

ycosp2

θq˙

‚Projectionsen

direction� ıet� :

P� ı

ˆx y

˙“ˆ

x 0

˙P�

ˆx y

˙“ˆ

0 y

˙

Exe

mplesd’applic

ationsNON

linea

ires:

‚Translationpar

unvecteur� v

“ˆa b

˙ :T� v

ˆx y

˙“

ˆx

`a

y`

b

˙

‚Applic

ationaffine=

applicationlin

eaireplustran

slation.Exemple:

L

ˆx y

˙“

ˆ3x

´y

`1

2y

`2

˙“

ˆ3x

´y

2y

˙`

ˆ1 2

˙

Espace

vectoriel

des

applicationslin

eaires

Proposition:

L’ensemble

des

applicationslineaires

L:V

ÑV

1 ,note

Lin

pV,V

1 q,estunespacevectorielavec

lesop

erations:

‚addition:

pL`

L1 qp� v

q“L

p� vq`

L1 p� v

q,

zero

=applicationnulle

0p� vq“

� 0,

‚produit

par

scalaire:

ptL

qp� vq“

tL

p� vq

.

Exe

mple:SiL,L

1 :VectpR

3qÑ

VectpR

2qs

ontdonneespar

L

¨ ˝x y z

˛ ‚“

ˆ2x

`z

´y˙

etL

1¨ ˝x y z

˛ ‚“

ˆ3y

x`

z

˙,

alors

pL`

L1 q¨ ˝

x y z

˛ ‚“

ˆ2x

`3y

`z

x´

y`

z

˙et

p3L

q¨ ˝x y z

˛ ‚“

ˆ6x

`3z

´3y

˙.

79

2.Isomorphismes

Compositiond’applic

ationslin

eaires

Defi

nition:Laco

mposeededeuxapplicationslineaires

L:U

ÑV

etL

1 :V

ÑW

estl’application

L1 ˝L

:U

ÝÑW

definie

par

pL1 ˝L

qp� uq“

L1´ L

p� uq¯

.

Rem

arque:

L’espaced’arrivedeLdoitcorrespon

dre

al’espacededepartde

L1 .

Exe

mple:Si

L:R

3ÝÑ

R2

etL

1 :R

2ÝÑ

R2sontdonneespar

Lpx,y

,zq“

` 3x

`z,2z

´y

˘et

L1 pu

,vq“

` u`

2v,3v

´u

˘ ,

alorsonpeutcalculerla

composeeL

1 ˝L:R

3ÝÑ

R2:

pL1 ˝L

qpx,y

,zq“

L1` L

px,y

,zq˘

“L

1 p3x`

z,2z

´y

q“

` p3x`

zq`

2p2z

´y

q,3p2z

´y

q´p3x

`z

q˘

“` 3x

`z

`4z

´2y,6z

´3y

´3x

´z

˘

“` 3x

´2y

`5z,´

3x

´3y

`5z

˘ .

Inve

rsed’uneapplic

ationlin

eaire

Defi

nition:L’inve

rse,

oureciproque,

del’applicationlineaireL:U

ÑV

estl’application

L´1

:V

ÑU

sielle

existe,telle

que

pL´1

˝Lqp� u

q“� u

etpL

˝L´1

qp� vq“

� v,

pou

rtout� u

PUet

pou

rtout� v

PV.Autrem

entdit,si:

Lp� u

q“� v

ô� u

“L

´1p� v

q

Exe

mple:Si

L:R

2Ñ

R2estdonnee

par

Lpx,y

q“p3x

`y,´

yq,

alors

L´1

pu,v

q“´ u

`v

3,´

v¯ ,

carpourtout

px,y

qPR

2ona

Lpx,y

q“` 3x

`y,´

y˘ “

pu,v

qô"

3x

`y

“u

´y“

v

ô"

3x

“u

´y

“u

´p´

vq“

u`

vy

“´v

ôpx,y

q“´ u

`v

3,´

v¯

“L

´1pu,v

q.

80

Isomorphismes

etisometries

Defi

nition:Unisomorphismeentredeuxespaces

vect.V

etV

1 est

une

applicationlineaireL:V

ÑV

1 quiadmet

l’inverseL

´1:V

1 ÑV.

OnditalorsqueV

etV

1 son

tisomorphes,et

onnote

V–

V1.

Exe

mples:

‚L’applicationL:R

2Ñ

R2donnee

par

Lpx,y

q“` 3x

`y,´

y˘estun

isomorphisme,

carelle

estlin

eaireet

al’inverseL

´1pu,v

q“` u

`v 3,´

v˘ .

‚LaprojectionP

:R

3Ñ

R2donnee

par

Ppx,y

,zq“

px,y

qest

lineairemaisce

n’est

pas

unisomorphismecarelle

n’a

pas

d’inverse.

Pourquoi?

‚L’applicationL:R

ÑR

donnee

par

Lpx

q“x3al’inverseL

´1pu

q“3? u

maisce

n’est

pas

unisomorphismecarelle

n’est

pas

lineaire.

Propriete:

Unisom

orphismeL:V

ÑV

1 transformeunebasedeV

enune

basedeV

1 .Don

c,siV

–V

1 ,on

adim

V“

dim

V1.

Defi

nition:SiV

etV

1 ontunproduitscalaire,unisom

orphisme

L:V

ÑV

1 est

uneisometries’ilconservelesproduitsscalaires:

Lp� u

q¨L

p� vq“

� u¨� v

.

Dansce

casilconserveaussileslongu

eurs

(norme)

etlesangles.

Exe

mple:ve

cteu

rset

coordonnee

scartesiennes

Dansle

plan:Onfixe

unreperecartesien

pO,� ı,�

qdan

sle

plan.Onpeutalors

defi

nirl’ap

plication

L:Vectpp

lan

qÝÑ

R2

quiassocieatoutvecteur� vsescoordonneescartesiennes

px,y

qPR

2,tellesque

� v“

x�ı

`y�.

‚Cette

applicationestlin

eaire,

carsiL

p� vq“

px,y

qetL

p� v1 q“

px1 ,y

1 q,alorspour

toutt,t1 PR

ona:

tL

p� vq`

t1 Lp� v

1 q“t

px,y

q`t1 px

1 ,y

1 q“

` tx

`t1 x

1 ,ty

`t1 y

1˘“

L` t

� v`

t1 � v1 q.

‚Aussi,elle

aunereciproqueL

´1:R

2ÝÑ

Vectpp

lan

qquidetermineununique

vecteurapartirdecoordonneesdonnees.

‚Onadoncunisomorphismed’espaces

vectoriels:

Vectpp

lan

q–R

2.

‚Deplus,

Lpreserve

lesproduitsscalaires(euclidiens):c’estuneisometrie.

Dansl’espace:Mem

echose,fixerunreperecartesien

pO,� ı,� ,� k

qrevientadire

que

Vectpe

spaceq

–R

3,et

cetisomorphismeestuneisometrie.

81

2.Matrices

Onveutrepon

dre

ala

question

:Pou

rquoi

laprojection

Ppx,y

,zq“

px,y

qn’a-t-elle

pas

d’inverse?

Defi

nition:Unematricem

ˆnacoeffi

cients

reelsestuntableau

` a ij˘ “

¨ ˚a 1

1¨¨¨

a 1n

. . .. . .

. . .a m

1¨¨¨

a mn

˛ ‹ ‚

oua ij

PRpou

ri

“1,...,m

etj

“1,...,n.

Exe

mples:

ˆ?3

0´1

2? 5

3

˙matrice

2ˆ

3

¨ ˝ln

p5q´2

π1

70

˛ ‚matrice

3ˆ

2

‚Unematricecarree

estunematrice

nˆn.

Ex.

ˆ8

´3´2

1

˙

‚Unematriceco

lonneestunematrice

nˆ

1,c’est-a-direunvecteurancomposantes.

Ex.

¨ ˝3 1 ? 2

˛ ‚

‚Unematricelig

neestunematrice

1ˆ

n.

Ex.

` 31

? 2˘

Espace

vectoriel

des

matrices

Proposition:L’ensemble

Mmn

”M

mnpR

qdes

matricesm

ˆna

coeffi

cients

reelsestunespacevectoriel,avec

lesop

erations

‚addition:

` a ij˘ `

` bij

˘ “` a i

j`

bij

˘ “

¨ ˚a 1

1`

b11

¨¨¨a 1

n`

b1n

. . .. . .

. . .a m

1`

bm1

¨¨¨a m

n`

bmn

˛ ‹ ‚,

etzero

=matrice

nulle.

‚produit

par

scalaire:

t` a i

j˘ “` t

a ij˘ “

¨ ˚ta 1

1¨¨¨

ta 1

n

. . .. . .

. . .ta m

1¨¨¨

ta m

n

˛ ‹ ‚.

Exe

mple:

ˆ8

´30

´21

4

˙`

ˆ 30

´12

50

˙“

ˆ 11

´3´1

06

4

˙

et

2

ˆ8

´30

´21

4

˙“

ˆ16

´60

´42

8

˙

82

Produit

dematrices

Defi

nition:Leproduitdes

matrices

` a ij˘ PM

mnet

` bjk

˘ PMnpestla

matrice

` c ik

˘ PMmpavec

coeffi

cients

c ik

“n ÿ j“1

a ijbjk

regle

“lig

nes

ˆco

lonnes”.

Leproduitestdon

cuneop

eration

Mmn

ˆM

np

ÑM

mp.

Parmislesproduitsdematricespluscommunson

a:

‚M

22

ˆM

22

ÑM

22

ˆ ab

cd

˙ˆ a1

b1

c1

d1˙

“ˆ aa

1 `bc

1ab

1 `bd

1ca

1 `dc

1cb

1 `dd

1˙

‚M

23

ˆM

31

ÑM

21

ˆa

bc

a1b

1c

1˙¨ ˝x y z

˛ ‚“

ˆax

`by

`cz

a1 x`

b1 y

`c

1 z

˙

Exe

mplesdeproduitsen

trematrices

Exe

mples:

‚M

13

ˆM

32

ÑM

12:

` 12

3˘¨ ˝

10

01

11

˛ ‚“

` 45

˘

‚M

23

ˆM

32

ÑM

22:

ˆ 12

34

56

˙¨ ˝1

00

11

1

˛ ‚“

ˆ4

510

11

˙

‚M

23

ˆM

31

ÑM

21:

ˆ 12

34

56

˙¨ ˝1 0 1

˛ ‚“

ˆ4 10

˙

‚M

32

ˆM

23

ÑM

33:

¨ ˝1

00

11

1

˛ ‚ˆ 1

23

45

6

˙“

¨ ˝1

23

45

65

79

˛ ‚

‚M

22

ˆM

22

ÑM

22:

ˆ 23

45

˙ˆ 1

00

1

˙“

ˆ 23

45

˙

ñp1

001

q“�matriceuniteouiden

tite

dan

sM

22

‚M

22

ˆM

22

ÑM

22:

ˆ 23

45

˙ˆ 0

11

0

˙“

ˆ 32

54

˙

83

Matrices

carree

sinve

rsibles

Defi

nition:Con

sideron

sunespaceM

nnpR

qdematricescarrees.

‚Lamatrice

�“

˜10

¨¨¨0

01

¨¨¨0

. . .. . .. ... . .

00

¨¨¨1

¸s’appelle

unitecar,pou

rtoute

A,on

a

A�

“�A

“A

.

‚L’inve

rsed’unematrice

Aestla

matrice

A´1

telle

que

AA

´1“

A´1

A“�

.

‚Unematrice

Aestinve

rsible

sila

matrice

inverseA

´1existe.

Rem

arque:

Lamatrice

inversen’existepas

toujours.Enparticulier,

A´1

n’existepas

siA

n’est

pas

carree,cardansce

cason

nepeutpas

calculerl’undes

deuxproduitsAA

´1ou

A´1

A.

Exe

mples:

‚Lamatrice

A“ˆ 4

´12

0

˙estinversible,et

A´1

“ˆ0

1{2

´12

˙ .(V

erifier!)

‚Lamatrice

B“

ˆ4

´1´8

2

˙n’est

pas

inversible.

Pourquoi?

Determinantdes

matrices

carree

sDefi

nition:Ledeterminantd’unematrice

carree

A“

` a ij˘ PM

nnestle

nom

brereel,notedetA

ouˇ a i

jˇ ,definicommesuit:

‚pou

rn

“2

det

ˆ ab

cd

˙“

ad´

bc

‚pou

rn

“3,

avec

undevelop

pem

entasign

esalternes

suruneligneou

une

colonne(ici,la

prem

iere

ligne):

det

¨ ˝a 1

1a 1

2a 1

3

a 21

a 22

a 23

a 31

a 32

a 33

˛ ‚“

a 11

� � � �a 22

a 23

a 32

a 33

� � � �´a 1

2

� � � �a 21

a 23

a 31

a 33

� � � �`a 1

3

� � � �a 21

a 22

a 31

a 32

� � � �

Exe

mples:

det

ˆ 21

35

˙“

2¨5

´3

¨1“

7,

det�

“det

ˆ 10

01

˙“

1.

Proprietes:Ilen

resulteuneapplication

det

:M

nnpR

qÑR.

‚det

n’est

pas

uneapplicationlineaire,

car

det

ptA

q‰tdet

pAq

etdet

pA`

Bq‰

det

pAq`

det

pBq.

‚Par

contre,

siA

estdetaillen,on

a:det

ptA

q“tn

det

pAq

.

‚Deplus:

det

pAB

q“det

pAqd

etpB

qet

det

pA´1

q“1{

det

pAq

.

84

Calculdela

matriceinve

rse

Proposition:

Unematrice

Aestinversible

siet

seulementsidetA

‰0.

‚Enparticulier,

A“

ˆ ab

cd

˙estinversible

ôdetA

“ad

´bc

‰0

.

‚Dansce

cas,sa

matrice

inverseest

A´1

“1

detA

ˆd

´b´c

a

˙.

Exe

mples:

‚PourA

“ˆ 4

´12

0

˙onadet

A“

2,doncA

estinversible.Onaalors

A´1

“1 2

ˆ0

1´2

4

˙“

ˆ0

1{2

´12

˙.

‚PourB

“ˆ

4´1

´82

˙onadet

B“

0,doncB

n’est

pas

inversible.

Exe

rcice

Exe

rcice:

Calculerl’inversedela

matrice

A“

¨ ˝1

´10

20

3´1

01

˛ ‚ .

Rep

onse:D’abordonverifiequeA

estinversible:

det

pAq“

1¨p0

¨1´

0¨3

q´p´

1q¨

p2¨1

´p´

1q¨

3q`

0¨p2

¨0´

p´1

q¨3

q“

0`

p2`

3q`

0“

5.

Oncherchealorsla

matrice

A´1

“´ xy

zab

cu

vw

¯telle

queAA

´1“�

“´ 100

010

001

¯ .Puisque

AA

´1

“¨ ˝

1´1

02

03

´10

1

˛ ‚¨ ˝x

yz

ab

cu

vw

˛ ‚“

¨ ˝x

´a

y´

bz

´c

2x

`3u

2y

`3v

2z

`3w

´x`

u´y

`v

´z`

w

˛ ‚,

ceci

donneunsystem

ede9equationset

9inconnues

$ & %x

´a

“1

y´

b“

0z

´c

“0

2x

`3u

“0

2y

`3v

“1

2z

`3w

“0

´x`

u“

0´y

`v

“0

´z`

w“

1ô

$ & %x

“0

y“

1{5

z“

´3{5

a“

´1b

“1

{5c

“´3

{5u

“0

v“

1{5

w“

2{5

etdeterminela

matrice

inverse

A´

1“

¨ ˝0

1{5

´3{5

´11

{5´3

{50

1{5

2{5

˛ ‚“

1 5

¨ ˝0

1´3

´51

´30

12

˛ ‚ .

85

4.Lienen

treapplic

ationslin

eaires

etmatrices

Proposition:Pou

rtoute

matrice

A“

` a ij˘

detaillem

ˆn,soit

L:R

nÑ

Rml’applicationlineairedefinie

par

Lp� x

q“A

� x“

¨ ˚a 1

1¨¨¨

a 1n

. . .. . .

a m1

¨¨¨a m

n

˛ ‹ ‚

¨ ˚x 1 . . . x n

˛ ‹ ‚“

¨ ˝a 1

1x 1

`¨¨¨

`a 1

nx n

¨¨¨a m

1x 1

`¨¨¨

`a m

nx n

˛ ‚

pou

rtout� x

PRn.Cecidon

neuneapplication

Φ:M

mnpR

qÑLin

pRn,R

mq,

AÞÑ

ΦpA

q“L

.

‚Φ

estlineaire:

ΦptA

`t1 A

1 q“tΦ

pAq`

t1 ΦpA

1 q“tL

`t1 L

1.

‚Φ

ala

reciproque :

Φ´1:L

inpR

n ,R

mqÑ

MmnpR

q,L

ÞÑΦ

´1pL

q“A

.

‚Φ

estdon

cunisom

orphismed’esp.vect.:

MmnpR

q–Lin

pRn,R

mq

.

Exe

rcice:

lienen

treapplicationslin

eaires

etmatrices

Exe

rcice:

PourlesmatricesA

suivan

tes,

trouverl’ap

plicationlin

eaireL

correspondan

te.

‚A

“ˆ

50

4´1

3´2

˙

Rep

onse:OnaA

PM23pR

q,doncL

PLin

pR3,R

2q.

Pour

px,y

,zqP

R3:

L

¨ ˝x y z

˛ ‚“

ˆ5

04

´13

´2˙

¨ ˝x y z

˛ ‚“

ˆ5x

`4z

´x`

3y

´2z

˙.

Onadonc

Lpx,y

,zq“

p5x`

3z,´

x`

3y

´2z

q.

‚A

“¨ ˝5

´10

34

´2

˛ ‚

Rep

onse:OnaA

PM32pR

q,doncL

PLin

pR2,R

3q.

Pour

px,y

qPR

2:

L

ˆx y

˙“

¨ ˝5

´10

34

´2

˛ ‚ˆx y

˙“

¨ ˝5x

´y

3y

4x

´2z

˛ ‚.

Onadonc

Lpx,y

q“p5x

´y,3y,4x

´2z

q.86

Exe

rcice:

lienen

treapplicationslin

eaires

etmatrices

Exe

rcice:

Pourlesap

plicationslin

eaires

Lsuivan

tes,

trouverla

matrice

Acorrespondan

te.

‚L

px,y

,zq“

px´

z,3y

`z

´2x

qRep

onse:OnaL:R

3Ñ

R2,doncons’attendA

PM23pR

q:onecrit

L

¨ ˝x y z

˛ ‚“

ˆx

´z

´2x

`3y

`z

˙“

ˆ1

0´1

´23

1

˙¨ ˝

x y z

˛ ‚,

doncla

matrice

associee

aLestA

“ˆ

10

´1´2

31

˙ .

‚Rot θ

px,y

q“px

cosθ

´ysinθ,x

sinθ

`ycosθ

q(rotationd’angle

θ)

Rep

onse:OnaRot θ

:R

2Ñ

R2,doncons’attendA

PM22pR

q:onecrit

Rot θ

ˆx y

˙“

ˆxcosθ

´ysinθ

xsinθ

`ycosθ

˙“

ˆ cosθ

´sinθ

sinθ

cosθ

˙ˆx y

˙,

doncla

matrice

derotationd’angle

θestA

“ˆ co

sθ

´sinθ

sinθ

cosθ

˙ .

Proprietes

deM

mnpR

q–Lin

pRn,R

mq

Con

sideron

sencore

l’isom

orphismeΦ:M

mnpR

qÑLin

pRn,R

mq.

Proprietes:

‚Φ

transformele

produitdematricesen

composee

d’applicationslin.:

ΦpA

1 Aq“

L1 ˝L

,c.-a-d.

pA1 A

q� x“

L1` L

p� xq˘

.

‚Φ

transformela

matrice

inverseen

l’applicationlin.reciproque:

ΦpA

´1q“

L´1

,c.-a-d.

A´1

� y“

L´1

p� yq

.

‚Par

consequent,siΦ

pAq“

Lalors:

Lestunisom

orphisme

ôA

estinversible.

Exe

mple:LaprojectionP

px,y

,zq“

px,y

qn’est

doncpas

inversible

carsa

matrice

associee

nel’estpas,puisqu’elle

n’est

pas

carree.

Par

consequent,

Pn’est

pas

unisomorphisme.

87

5.Sym

etries

Defi

nition:Unob

jetestsymetriques’ilnechange

pas

deform

equandil

estsousm

isaunetransformationduplanou

del’espace,

quis’appelle

alors

symetriedel’ob

jet.

Exe

mples:

objets

symetriques

par

des

symetries

centrales

(rotations),axiales

(refl

exions)

etmixtes.

‚La

form

ed’un

objet

est

caracterisee

par

les

droites

paralleles,

l’am

pleurdes

angles

etleslongu

eurs,don

neespar

leproduitscalaire.

‚Unesymetrie(ausensphysique)

estdon

cunetransformationquipreserve

cescaracteristiques:c’estuneisom

etrieduplanou

del’espace!

Matrices

orthogonales

Defi

nition:Latransp

oseed’unematrice

A“

` a ij˘ PM

mnpR

qest

la

matrice

AT

“` a j

i˘ PMnm

pRq.

Exe

mples:

ˆ 23

01

57

˙ T“

¨ ˝2

13

50

7

˛ ‚,

ˆπ 3π

˙ T“

` π3π

˘ ,

ˆ 15

32

˙ T“

ˆ 13

52

˙.

Propriete:

SiA

estunematrice

carree,on

adet

pAT

q“det

pAq

.

Defi

nition:Unematrice

carree

Aestorthogonale

siA

´1“

AT

.

Exe

mples:

‚lesrotations:

Rot θ

“ˆ co

sθ

´sinθ

sinθ

cosθ

˙ex.

ˆ 10

01

˙ ,

ˆ 0´1

10

˙

‚lesreflexions:

Ref

θ“

ˆ cosp2

θq

sin

p2θq

sin

p2θq

´cosp2

θq˙

ex.

ˆ 10

0´1

˙ ,

ˆ 01

10

˙

Proprietes:SiA

estorthog

onale,

ona

det

pAq“

˘1,car

pdet

pAqq2

“det

pAqd

etpA

Tq“

det

pAqd

etpA

´1q“

det

pAA

´1q“

det

p�q“

1.

88

(Anti)dep

lacemen

tset

asymetriech

irale

Proposition:

Unetransformation

du

plan

oudel’espaceestuneisom

etrie

(sym

etrie)

siet

seulementsisa

matrice

associee

estorthog

onale.

Defi

nition:Ondistingu

edon

cles

‚isometries

directes,

don

neespar

des

matricesorthog

onales

Aavec

det

pAq“

`1,quipreserventl’orientation

des

angles

(rotations),

‚isometries

inve

rses,don

neespar

des

matricesorthog

onales

Aavec

det

pAq“

´1,quiinversentl’orientation

des

angles

(reflexions).

Attention:en

mathen

appelle

“symetrie”

seulementlesisometries

directes.

Defi

nition:

‚Undep

lacemen

testuneisom

etriedirecte

plusunetranslation.

‚Unantidep

lacemen

testuneisom

etrieinverseplusunetranslation.

Defi

nition:

Un

objetestch

iralsi

aucun

deplacementnepeutl’identifier

asonim

age

miroir(reflexe),commenos

mains.

C’est

don

cunob

jetasym

etrique.

Exe

rcice

Exe

rcice:

Les

tran

sformationsdonneespar

lesmatricessuivan

tes,

sont-ellesdes

symetries

(directesouinverses)oudes

projections?

‚A

“¨ ˝

01

0´1

00

00

1

˛ ‚

Rep

onse:

Ona

det

pAq“

´� � � �´1

00

1

� � � �“´p

´1q“

1,

doncA

estinversible

(unisomorphisme),cardet

pAq‰

0.Apres

calculs,ontrouve

A´1

“¨ ˝0

´10

10

00

01

˛ ‚“

AT,

doncA

estunematrice

orthogonale,

doncuneisometrie(=

symetrie).Puisque

det

pAq“

1,onaunesymetriedirecte.Effectivement,ona

A“

¨ ˝cosp3

π{2

q´sin

p3π{2

q0

sin

p3π{2

qcosp3

π{2

q0

00

1

˛ ‚“

RotO

z3π

{2,

donccettematrice

represente

larotationd’angle

3π

{2au

tourdel’axeOz.

89

Exe

rcice(suite)

‚B

“¨ ˝0

01

01

01

00

˛ ‚

Rep

onse:

Ona

det

pBq“

� � � �01

10

� � � �“´1

,doncB

estinversible.Apres

calculs,

ontrouve

B´1

“B

Tp“

Bq,

doncB

estunematrice

orthogonale.

Puisque

det

pBq“

´1,onaunesymetrieinverse.

Effectivement,ona

B“

¨ ˝cospπ

{2q

0sin

pπ{2

q0

10

sin

pπ{2

q0

cospπ

{2q˛ ‚

“Ref

xOz

π{4,

quirepresente

lareflexionpar

rapportaunplancontenan

tl’axeOyet

qui

intersecte

leplanxO

zen

unedroitepenchee

deπ

{4surOx.

‚C

“¨ ˝2

00

35

00

00

˛ ‚

Rep

onse:Puisque

det

pCq“

0,

lamatrice

n’est

pas

inversible,doncelle

ne

represente

pas

unesymetrie.

C’est

uneprojectionsurle

planxO

y,mais

cen’est

pas

uneprojectionorthogonale(ouisometrique),car

det

p20

35

q“10

impliq

uequela

matrice

Cdilate

leslongueurs.

6.Systemes

d’equationslin

eaires

Defi

nition:Unsystem

ed’equationslin

eaires

ennvariables

px 1,...,x

nq

estunsystem

edela

form

e$ ’ ’ & ’ ’ %

a 11x 1

`a 1

2x 2

`¨¨¨

`a 1

nx n

“b1

a 21x 1

`a 2

2x 2

`¨¨¨

`a 2

nx n

“b2

¨¨¨ a n1x 1

`a n

2x 2

`¨¨¨

`a n

nx n

“bn

Untelsystem

epeutavoirunesolution

,plusieurs

solution

sou

aucunesolution

,selonla

dependance

mutuelle

des

equations.

Exe

mples:

‚"

2x

´y

“4

6x

`3y

“0

admet

unesolution

"x

“1

y“

´2.

‚"

2x

´y

“4

6x

´3y

“12

admet

infinitedesolutions:

touslespoints

de

ladroited’equationy

“2x

´4.

‚"

2x

´y

“4

6x

´3y

“0

n’admet

aucunesolution,carsi

2x

´y

“4alors

6x

´3y

“3

p2x´

yqn

epeutpas

s’an

nuler.

Pou

rconnaıtrelessolution

silfautparfoisfairedelongs

calculs(surtou

tsi

ně

3),quise

pretentadenom

breuxerreurs.

Voici

unemethodederesolution

quireduitlescalculsal’essentiel.

90

Equationmatricielle

Proposition:

‚Enposant

X“

¨ ˚ ˚

x 1 x 2 . . . x n

˛ ‹ ‹ ‹ ‚,

A“

¨ ˚ ˚

a 11

a 12

¨¨¨a 1

n

a 21

a 22

¨¨¨a 2

n

. . .. . .

¨¨¨. . .

a n1

a n2

¨¨¨a n

n

˛ ‹ ‹ ‹ ‚,

B“

¨ ˚ ˚

b1

b2 . . . bn

˛ ‹ ‹ ‹ ‚,

lesystem

eprecedentestequivalental’equationmatricielle

AX

“B

.

‚Cette

equationadmet

unesolution

uniquesiet

seulementsi

det

pAq‰

0,et

dansce

casla

solution

estdon

nee

par

leproduitde

matrices

X“

A´1

B.

Exe

mples

Exe

mples:

‚Lesystem

e

"2x

´y

“4

6x

`3y

“0

s’ecritsousform

ematricielle

commeAX

“B

avec

A“

ˆ 2´1

63

˙et

B“

ˆ4 0

˙.

Puisquedet

pAq“

6´

p´6

q“12,ilad

met

bienunesolutionuniqueX

“A

´1B.

Onla

calcule:

A´1

“ˆ 2

´16

3

˙ ´1

“ˆ

3{12

1{12

´6{12

2{12

˙“

ˆ1

{41

{12

´1{2

1{6

˙,

doncona

ˆx y

˙“

ˆ1

{41

{12

´1{2

1{6

˙ˆ4 0

˙“

ˆ4

{4`

0´4

{2`

0

˙“

ˆ1 ´2

˙.

‚Lesystem

e

"2x

´y

“4

6x

´3y

“0

s’ecritsousform

ematricielle

commeAX

“B

avec

A“

ˆ 2´1

6´3

˙et

B“

ˆ4 0

˙.

Puisquedet

pAq“

´6´

p´6

q“0,ce

system

en’admet

pas

desolutionunique.

91

92

TMB

–Chapitre

8Geo

metriecartesiennedansle

planet

dansl’espace

Dansce

chapitre:

1.Coordon

neescartesiennes

duplan.Vecteurs.Droites,coniques

(cercle,

ellipse,parab

ole,

hyp

erbole).

2.Coordon

neescartesiennes

del’espace.

Vecteurs.Plans,droites,quadriques

(sphere,

cylindre,cone,

parab

olıde,

hyp

erboloıde).

1.Geo

metriecartesiennedansle

plan

Rappel

surlesco

ordonnee

scartesiennes

Onfixe

unreperecartesien

pO,� ı,�

q,ouO

estunpointet

p� ı,�

qestunebase

orthonorm

ale

directe

(o.n.d.)

del’espacevectoriel

Vectpp

lan

q,i.e.

telle

que

� ıK�

et}� ı}

“}� }

“1.Onaalors:

� ı

� O

‚Toutve

cteu

r� vappliq

ueen

Os’ecrit

� v“

x� ı

`y�

:

lesscalairesx,y

PRs’ap

pellentco

ordonnee

scartesiennes

de� vet

represententlesprojectionsorthogonalesde� vdan

s

lesdirection� ıet� .Onnote:

� v“

px yq

.

� v

O

P

x

y

‚Onap

pelle

coordonnee

scartesiennes

d’unpointP

lecouple

px,y

qPR

2

decoordonneesduvecteur� v

“ÝÑ OP

,et

onecrit

Ppx,y

q.

‚Pourresumer:

plan+

reperecartesien

”Vectpp

lan

q–R

2.

‚Toutve

cteu

raffine

ÝÑ PQs’ecritcomme

ÝÑ PQ“

P`

ÝÑ OQ´

ÝÑ OP“

P`

� u

ou� u

“px Q

´xP

q� ı`

py Q´y

Pq�

.O

P

QÝÑ PQ

� u

93

Calculve

ctoriel

enco

ordonnee

scartesiennes

Si� v

“ˆx y

˙ ,� v

1 “ˆx

1

y1˙

ett

PR,alors:

‚addition:

� v`

� v1 “

ˆx

`x

1

y`

y1˙

ex.

ˆ1 2

˙`

ˆ3 4

˙“

ˆ4 6

˙

‚produit

par

scalaire:

t� v“

ˆtx ty

˙ex.3

ˆ1 2

˙“

ˆ3 6

˙

‚produit

scalaire:

� v¨� v

1 “xx

1 `yy

1ex.

ˆ2 3

˙¨ˆ

1 ´2˙

“2

´6

“´4

‚longueu

r:}� v

}“ax2

`y2

ex.

› › › ›ˆ1 2

˙› › › ›“? 1

`22

“? 5

‚ve

cteu

rsorthogonaux:

� vK� v

1ô

xx1 `

yy1 “

0ex.

ˆ1 2

˙K

ˆ´2 1

˙

‚ve

cteu

rsparalle

les:

� v�� v

1 ô"x

1 “tx

y1 “

tyô

x1 x

“y

1 yex.

ˆ1 2

˙�

ˆ3 6

˙

‚projectionorthogonale:

Pr � v

p� v1 q“

x1 x

`y

1 yx2

`y2

� vex.Pr � ı

ˆ5 ´1

˙“

5¨1

´1¨0

12

`02

� ı“

ˆ5 0

˙

Droites

Droite(affine):

Δ“

! Ppx,y

q|ax

`by

`c

“0

)pa,

bq‰

p0,0

q.

Sib

‰0

alors

y“

´a b

x´

c b“

mx

`p

ou

m“

tanθ

Sia

‰0alors

x“

´b a

y´

c a.

pθ

Δ

Attention:unedroiteestunespacevectorieldedim

ension1siet

seulementsielle

passe

par

O,i.e.

c“

0.

‚Vecteurorthogonalounorm

alaΔ

=

ˆa b

˙ .

‚VecteurdirecteurdeΔ

=

ˆb ´a

˙oubien

ˆ´b a

˙ .

Exe

mple:

x´

5y

“0

estunedroitevectorielle,

avec

vecteurnormal

ˆ1 ´5

˙et

vecteurdirecteur

ˆ5 1

˙

x`

3“

5y

estunedroiteaffi

nedemem

esvecteurs

normal

etdirecteur.

94

Droites

particu

lieres

‚Droitepassantpar

A“

pa 1,a

2qe

tK

� u“

ˆu1

u2

˙ :� u

A

ΔP

condition:

ÝÑ AP¨� u

“0

equation:

px´

a 1qu

1`

py´

a 2qu

2“

0

‚Droitepassantpar

A“

pa 1,a

2qe

t�� v

“ˆv 1 v 2

˙ :

� v

A

ΔP

condition:

ÝÑ AP�� v

ôÝÑ OP

“ÝÑ OA

`t� v

,t

PR

eq.param

etrique:

"x

“a 1

`tv

1

y“

a 2`

tv2

,t

PR

eq.cartesienne:

x´

a 1v 1

“y

´a 2

v 2

‚Droitepassantpar

A“

pa 1,a

2qe

tB

“pb

1,b

2q:

A

B

P

Δcondition:

ÝÑ AP�

ÝÑ ABequation:

x´

a 1b1

´a 1

“y

´a 2

b2

´a 2

Distance

etaired’unparalle

logramme

Distance

:Δ

P

P1

‚d’unpointP

px,y

qaunpointP

1 px1 ,y

1 q:

distpP

,P1 q“

}ÝÝÑ PP

1 }“}ÝÝÑ O

P1 ´

ÝÑ OP}“

apx

´x

1 q2`

py´

y1 q2

‚d’unpointP

px 0,y

0qa

unedroiteΔ

d’eq.ax

`by

`c

“0:onap

pelle

P1 la

projectionorthogonaledeP

surla

droiteΔ,alors

distpP

,Δq“

distpP

,P1 q“

|ax 0

`by

0`

c|

? a2`

b2

Aireduparalle

logrammedesommets

Apx A

,yA

q,B

px B,y

Bq,

Cpx C

,yC

q,D

px D,y

Dq:

Aire

“|ÝÑ AB

¨ÝÑ ADK

|“}ÝÑ AB

^ÝÑ AD

}.A

B

CD

Puisque

ÝÑ AB“ˆ

x B´x

A

y B´y

A

˙et

ÝÑ AD“ˆ

x D´x

A

y D´y

A

˙ ,ona

ÝÑ ADK “ˆ

y D´y

A

´px D

´xA

q˙ ,donc

Aire

“|p

x B´

x Aqpy

D´

y Aq´

py B´

y Aqpx

D´

x Aq|

95

Coniques:cercle,ellip

se

Defi

nition:Uneconiqueestunecourbeplaneobtenueen

prenan

tl’intersection

entreunconederevolutionet

unplan.Analytiquem

ent,

ondefi

nituneconique

commel’ensemble

des

points

duplanverifian

tl’equation

ax2

`bxy

`cy

2`

dx

`ey

`f

“0

pa,b,c

q‰p0,

0,0

q.

‚Cercle:

px´

aq2`

py´

bq2

“r2

centre

pa,b

q,rayonr

pa,b

qr

‚Ellipse:

x2

a2`

y2

b2

“1

centre

p0,0

q,axes� ıet� .

a

b

Coniques:hyp

erbole,parabole

‚Hyp

erbole:

x2

a2´

y2

b2

“˘1

centre

p0,0

q,axes� ıet� ,asymptotesy

“˘b ax

cas+1:

cas-1:

oubien:

y“

a x

centre

p0,0

q,asym

ptotes� ıet�

aą

0a

ă0

‚Parabole:

y“

ax2

`bx

`c

axeparallele

a�

aą

0a

ă0

oubien:

x“

ay2

`by

`c

axeparallele

a� ı

aą

0a

ă0

96

2.Geo

metriecartesiennedansl’espace

Rappel

surlesco

ordonnee

scartesiennes

On

fixe

un

repere

cartesien

pO,� ı,� ,� k

q,ou

Oestun

pointet

p� ı,� ,� k

qest

unebase

orthonorm

ale

direc

te(o.n.d.)

del’espace

vectorielVectpe

spaceq.

Onaalors:

� ı

� � k

ąO

‚Toutve

cteu

r� vappliq

ueen

Os’ecrit

� v“

x� ı

`y�

`z� k

:

lesscalairesx,y

,zP

Rs’ap

pellentco

ordonnee

scartesi-

ennes

de� vet

represententlesprojectionsorthogonalesde

� vdan

slesdirection� ı,�et

� k.Onnote:

� v“

´ x y z

¯.

O

P� v

x

y

z

‚Onap

pelleco

ordonnee

scartesiennes

d’unpointPletriplet

px,y

,zqP

R3

decoordonneesduvecteur� v

“ÝÑ OP

,et

onecrit

Ppx,y

,zq

.

‚Pourresumer:

espace+

reperecartesien

”Vectpe

spaceq

–R

3.

‚Unve

cteu

raffineest

ÝÑ PQ“

P`

ÝÑ OQ´

ÝÑ OP“

P`

� u

ou

� u“

px Q´x

Pq� ı

`py Q

´yP

q� `

pz Q´z

Pq� k

.O

P

QÝÑ PQ

� u

Calculve

ctoriel

enco

ordonnee

scartee

sien

nes

Si� v

“¨ ˝

x y z

˛ ‚ ,� v

1 “¨ ˝

x1

y1

z1˛ ‚ ,

� v2

“¨ ˝

x2

y2

z2

˛ ‚et

tPR

,alors

‚addition:

� v`

� v1 “

¨ ˝x

`x

1

y`

y1

z`

z1˛ ‚

ex.

¨ ˝1 2 3

˛ ‚`

¨ ˝3 ´2 2

˛ ‚“

¨ ˝4 0 5

˛ ‚

‚produit

par

unscalaire:

t� v“

¨ ˝tx ty tz

˛ ‚ex.

´¨ ˝

1 2 3

˛ ‚“

¨ ˝´1 ´2 ´3

˛ ‚

‚produit

scalaire:

� v¨� v

1 “xx

1 `yy

1 `zz

1

ex.

¨ ˝2 3 4

˛ ‚¨¨ ˝

´1 2 1

˛ ‚“

´2`

6`

4“

8

‚longueu

r:}� v

}“ax2

`y2

`z2

ex.

› › › › › ›¨ ˝1 ´2 3

˛ ‚› › › › › ›“? 1

`4

`9

“? 1

4

97

Calculve

ctoriel

(suite)

‚produit

vectoriel:

� v^

� v1 “

¨ ˝yz

1 ´zy

1

´xz

1 `zx

1

xy1 ´

yx1

˛ ‚

ex.

¨ ˝2 3 4

˛ ‚^

¨ ˝´1 2 1

˛ ‚“

¨ ˝3

´8

´p2

`4

q4

`3

˛ ‚“

¨ ˝´5 ´6 7

˛ ‚

‚produit

mixte:

r� v,� v

1 ,� v

2 s“x

py1 z

2´

z1 y

2 q´y

px1 z

2´

z1 x

2 q`z

px1 y

2´

y1 x

2 q

ex.

» –¨ ˝1 2 3

˛ ‚,

¨ ˝´1 2 1

˛ ‚,

¨ ˝1 ´2 3

˛ ‚fi fl“

p2´

3q´

2p´

3´

1q`

3p2

´2

q“´1

`8

“7

Autreform

ule

pourle

produit

mixte

“ � v,� v

1 ,� v

2‰“

p� v^

� v1 q¨

� v2

‚ve

cteu

rsorthogonaux:

� vK� v

1ô

xx1 `

yy1 `

zz1 “

0

ex.

¨ ˝1 2 3

˛ ‚K

¨ ˝´2 1 0

˛ ‚ou

¨ ˝1 2 3

˛ ‚K

¨ ˝´1 2 ´1

˛ ‚

‚ve

cteu

rsparalle

les:

� v�� v

1ô

� v1 “

t� vô

$ & %x

1 “tx

y1 “

tyz

1 “tz

ôx x

1“

y y1

“z z

1

alternative:

� v�� v

1ô

� v^

� v1 “

� 0ô

$ & %xy

1 “yx

1

yz1 “

zy1

xz1 “

zx1

ôx x

1“

y y1

“z z

1

ex.

¨ ˝1 2 3

˛ ‚�

¨ ˝´3 ´6 ´9

˛ ‚

‚projectionorthogonale:

Pr � v

p� v1 q“

x1 x

`y

1 y`

z1 z

x2

`y2

`z2

� v“

� v1 ¨� v }� v

}2� v

ex.

Pr 5�

¨ ˝1 2 3

˛ ‚“

1ˆ

0`

2ˆ

5`

3ˆ

0

02

`52

`02

5�

“2�

“¨ ˝

0 2 0

˛ ‚

98

Plans

Plan(affine):

π“

! Ppx,y

,zq|

ax`

by`

cz`

d“

0)

pa,b,c

q‰p0,

0,0

qO

π

Attention:unplanestunespacevectorieldedim

ension2siet

seulementsiil

passe

par

O,i.e.

d“

0.

‚Vecteurorthogonalounorm

alaπ

=

¨ ˝a b c

˛ ‚ .

Exe

mple:

x´

5y

´2z

“0

estunplanvectoriel,devecteurnormal

¨ ˝1 ´5 ´2

˛ ‚ .

x`

3“

5y

`2z

estunplanaffi

nedevecteurnormal

¨ ˝1 ´5 ´2

˛ ‚ .

Plansparticu

liers

‚Planpassantpar

A“

pa 1,a

2,a

3qe

tK

� u“

¨ ˝u1

u2

u3

˛ ‚ :

condition:

ÝÑ AP¨� u

“0

equation:

u1px

´a 1

q`u2py

´a 2

q`u3pz

´a 3

q“0

‚Planpassantpar

A“

pa 1,a

2,a

3qe

t�a� v

“¨ ˝

v 1 v 2 v 3

˛ ‚et

� v1 “

¨ ˝v

1 1 v1 2 v1 3

˛ ‚ :

condition:

rÝÑ AP,� v

,� v1 s“

0ô

ÝÑ AP“

t� v`

t1 � v1

equationparam

etrique:

$ & %x

´a 1

“tv

1`

t1 v1 1

y´

a 2“

tv2

`t1 v

1 2

z´

a 3“

tv3

`t1 v

1 3

equationcartesienne:

px´

a 1qpv

2v

1 3´

v 3v

1 2q´

py´

a 2qpv

1v

1 3´

v 3v

1 1q`

pz´

a 3qpv

1v

1 2´

v 2v

1 1q“

0

‚Planpassantpar

A“

pa 1,a

2,a

3q,

B“

pb1,b

2,b

3qe

tC

“pc 1

,c2,c

3q:

condition:

rÝÑ AP,ÝÑ AB

,ÝÑ ACs“

0

equations:

commele

casprecedent.

99

Droites

Droite(affine):

Δ“

πX

π1

Δ“

" Ppx,y

,zqˇ ˇ

ax`

by`

cz`

d“

0a1 x

`b

1 y`

c1 z

`d

1 “0

*

avec

p0,0,0

q‰pa,

b,c

q∦pa1 ,

b1 ,c

1 q‰p0,

0,0

q.

OΔ

Attention:unedroiteestunespacevectorieldedim

ension1siet

seulementsielle

passe

par

O,i.e.

d“

0et

d1 “

0.

Exe

mple:

Ladroited’equations

"x

“0

y“

0estl’axeOz(vectoriel).

Ladroited’equations

"x

“3

y“

5estparallele

al’axeOz(affine).

Droites

particu

lieres

‚Droitepassantpar

A“

pa 1,a

2,a

3qe

t�a� v

“¨ ˝

v 1 v 2 v 3

˛ ‚ :

condition:

ÝÑ AP�� v

ôÝÑ AP

“t� v

equationparam

etrique:

$ & %x

´a 1

“tv

1

y´

a 2“

tv2

z´

a 3“

tv3

equationcartesienne:

x´

a 1v 1

“y

´a 2

v 2“

z´

a 3v 3

‚Droitepassantpar

A“

pa 1,a

2,a

3qe

tB

“pb

1,b

2,b

3q:

condition:

ÝÑ AP�

ÝÑ ABavec

ÝÑ AB“

¨ ˝b1

´a 1

b2

´a 2

b3

´a 3

˛ ‚

equation:

commele

casprecedent.

100

Distance

etvo

lume

Distance

:

π

P P1

‚d’unpointP

px,y

,zqa

unpointP

1 px1 ,y

1 ,z

1 q:

distpP

,P1 q“

}ÝÝÑ PP

1 }“a

px´

x1 q2

`py

´y

1 q2`

pz´

z1 q2

.

‚d’unpointP

px,y

,zqa

unplanπd’eq.ax

`by

`cz

`d

“0:

onap

pelle

P1

laprojectionorthogonaledeP

surle

planπ,alors

distpP

,πq“

distpP

,P1 q“

|ax`

by`

cz`

d|

? a2`

b2

`c2

.

Volumeduparalle

lepiped

edesommetsA,B,C,D,etc:

Vol

“ˇ ˇ” ÝÑ AB

,ÝÑ AC,ÝÑ AD

ıˇ ˇ.

AC

B

D

Si

ÝÑ AB“

¨ ˝x y z

˛ ‚ ,ÝÑ AC

“¨ ˝

x1

y1

z1˛ ‚

etÝÑ AD

“¨ ˝

x2

y2

z2

˛ ‚ ,alors

Vol

“|xp

y1 z

2´

z1 y

2 q´y

px1 z

2´

z1 x

2 q`z

px1 y

2´

y1 x

2 q|.

SurfacesQuadriques

Les

surfaces

quad

riques

sontdes

surfaces

del’espaceeuclidiendedim

ension3qui

sontdefi

niescommesuit:

Quadrique:

Q“

! px,y

,zq|

fpx,y

,zq“

0)

,

ou

fpx,y

,zq

estunpolynomededegre

2.

Les

quad

riques

plusconnues:

‚Cylindre:

x2

`y2

“r2

‚Cone:

x2

`y2

“z2

‚Sphere:

x2

`y2

`z2

“r2

‚Ellipsoıde:

x2

a2`

y2

b2

`z2

c2

“1

‚Hyp

erboloıdeaunenappe:

x2

a2`

y2

b2

´z2

c2

“1

‚Hyp

erboloıdeadeu

xnappes:

x2

a2´

y2

b2

´z2

c2

“1

‚Paraboloıde:

z“

xy

oubien:

z“

x2

`y2

101

Quelques

images

desurfacesquadriques

Cylindre

Cone

Sphere

Ellipsoıde

Hyp

er1

Hyp

er2

Paraboloıdehyp

.Paraboloıdeellip

.

102