The Use of a Spinning Dissipator for Attitude Stabilization of Earth- Orbiting Satellites

7/27/2019 The Use of a Spinning Dissipator for Attitude Stabilization of Earth- Orbiting Satellites

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The Use o f a S p i n n i n gD i s s i p a t o r f o r A t t i t u d eS t a b i l i z a t i o n o f E a r t h -O r b i t i n g S a t e l l i t e sASIM K . S E N , S e n i o r M e m b e r , I E E EC o m m u n i c a t i o n s R e s e a r c h C e n t r eO t t a w a , O n t a r i o , C a n a d a

A b s t r a c tT h i s p a p e r c on s id e r s a n o v e l a t t i t u d e s t a b i l i z i n g s y s t e m w h i c h a c t sb o t h a s a p a s s i v e n u t a t i o n d a m p e r a n d a momentum s o u r c e f o ra n E a r t h - o r b i t i n g s a t e l l i t e . The s y s t e m may b e d e s i g n e d t o u s e f o u ri d e n t i c a l w h e e l s mounted c o a x i a l l y w i t h a n d a t t h e e n d s o f t h e a r m so f a c r u c i f o r m s t r u c t u r e . The s t r u c t u r e ma y t h e n b e s p u n a b o u t t h ea x i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e arms t o p r o v i d e a n g u l a r momentum a l o n gt h e s p a c e c r a f t s p i n a x i s . T h e w h e e l s e x p e r ie n c e t o r q u e s p r o d u c e d b yi n e r t i a l f o r c e s . T h e n e c e s s a r y d a m p i n g a n d r e s t o r i n g ( s p r i n g ) t o r q u e sa r e p r o v i d e d b y means o f a t o r s i o n a l a r r a n g e m e n t b u i l t a r o u n d t h ec e n t e r o f e a c h w h e e l .

The p e r f o r m a n c e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e p r o p o s e d s t a b i l i z i i l g u n i ta r e e v a l u a t e d by c o n s i d e r i n g s p a c e c r a f t p a r a m e t e r s u s e d i n o n ep h a s e o f d e v e l o p m e n t o f t h e C o m m u n i c a t i o n s T e c h n o l o g y S a t e l l i t e( C T S ) . The r e s u l t s o b t a i n e d f o r a s p e c i f i c d e s i g n o f t h e s t a b i l i z e ri n d i c a t e t h a t g l o b a l s t a b i l i t y o f t h e d e s i r e d a t t i t u d e m o t i o n o f t h es p a c e c r a f t c a n b e g u a r a n t e e d w i t h a s s o c i a t e d d a m p i n g t i m e c o n s t a n ta s l o w a s one s e c o n d .

M a n u s c r i p t r e c e i v e d S e p t e m b e r 2 0 , 1 9 7 2 .

I n t r o d u c t i o nI n a p r e v i o u s p a p e r [ 1 1 , t h e a u t h o r h a s s h o w n t h a t aw h e e l - t y p e e n e r g y d i s s i p a t o r w i t h a t o r s i o n a l s p r i n g a n dd a m p i n g a r r a n g e m e n t p r o v i d e s a n e f f i c i e n t m e a n s o fn u t a t i o n d a m p i n g i n a d u a l - s p i n s a t e l l i t e s y s t e m . I np a r t i c u l a r , i t w a s i n d i c a t e d t h a t t h e s t a b i l i t y c r i t e r i a d e r i v e df o r t h i s d a m p e r c o n f i g u r a t i o n h a d n o d e s t a b i l i z i n g t e r mw h i c h c o u l d b e a f f e c t e d b y t h e s p i n r a t e o f t h e s a t e l l i t em a i n b o d y c o n t a i n i n g t h e d i s s i p a t o r . F u r t h e r m o r e , i t w a s

s h o w n b y a n a p p r o x i m a t e a n a l y s i s t h a t t h e d a m p i n g t i m ec o n s t a n t a s s o c i a t e d w i t h t h e n u t a t i o n d a m p e r w a s i n v e r s e l yp r o p o r t i o n a l t o t h e s p i n r a t e o f t h e s a t e l l i t e m a i n b o d yw h i c h c o n t a i n e d t h e d i s s i p a t o r . T h e s e f a c t s , c o u p l e d w i t ht h e o b s e r v a t i o n t h a t t h e i n e r t i a l b e h a v i o r o f t h e t w o b o d i e so f a d u a l - s p i n s y s t e m d i f f e r s o n l y i n r e s p e c t t o t h e i r s p i nr a t e s , c l e a r l y s u g g e s t t h a t c o n s i d e r a b l e i m p r o v e m e n t i n t h ed a m p e r p e r f o r m a n c e c o u l d b e r e a d i l y a c h i e v e d i f t h ed i s s i p a t o r w e r e d e s i g n e d t o o p e r a t e o n t h e h i g h - s p i n r o t o r ,r a t h e r t h a n o n t h e s l o w l y s p i n n i n g m a i n b o d y o f t h es a t e l l i t e s y s t e m c o n s i d e r e d .U n f o r t u n a t e l y , a d i r e c t a p p l i c a t i o n o f t h e a n a l y t i c t o o lu s e d i n [ 1 ] f a i l s t o v e r i f y t h e p r e c e d i n g c o n j e c t u r e f o rs i t u a t i o n s i n w h i c h t h e s p a c e c r a f t c o n f i g u r a t i o n s h a v e a nu n f a v o r a b l e i n e r t i a r a t i o . A d i f f e r e n t a p p r o a c h i s , t h e r e f o r e ,a d o p t e d i n t h i s p a p e r . I n t h e p r e s e n t a n a l y s i s , i t i s a s s u m e dt h a t t h e p r o p o s e d d i s s i p a t o r c o n s i s t s o f f o u r i n d e p e n d e n tw h e e l s m o u n t e d c o a x i a l l y w i t h a n d a t t h e e n d s o f t h e a r m so f a c r u c i f o r m s t r u c t u r e , a n d t h e s t r u c t u r e i s t h e n s p u na b o u t t h e a x i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e a r m s , t o p r o v i d e a n g u l a rmomentum a l o n g t h e s p a c e c r a f t s p i n a x i s . I t c a n b e s e e nt h a t t h i s d e s i g n o f t h e e n e r g y d i s s i p a t i n g u n i t n o t o n l yp r o v i d e s r e d u n d a n c y a n d i m p r o v e d e f f i c i e n c y i n t h e o v e r a l ld a m p e r p e r f o r m a n c e , b u t i t a l s o e l i m i n a t e s t h e n e e d f o r a na d d i t i o n a l r o t o r e l e m e n t t o s u p p l y t h e n e c e s s a r y s p a c e c r a f tm o m e n t u m .

T h e S a t e l l i t e S y s t e m U n d e r C o n s i d e r a t i o nC o n s i d e r t h e s a t e l l i t e c o n f i g u r a t i o n i l l u s t r a t e d i n F i g . 1 .T h e m a i n b o d y o f t h e s p a c e c r a f t c o n s i s t s o f a c e n t r a l p a r ta n d a p a i r o f s o l a r p a n e l s a t t a c h e d t o i t s s i d e s . A c r u c i f o r ms t r u c t u r e , i n c l u d i n g f o u r i n d e p e n d e n t w h e e l s , i s a l s oa t t a c h e d t o t h e s a t e l l i t e m a i n b o d y t h r o u g h a n a p p r o p r i a t eb e a r i n g a r r a n g e m e n t . T h e c o m b i n e d u n i t a c t s b o t h a s a

n u t a t i o n d a m p e r a n d a momentum w h e e l f o r t h e s a t e l l i t es y s t e m c o n s i d e r e d . L e t x y z a n d x ' y ' z ' ( s h o w n c o i n c i d e n t i nF i g . 1 ) d e f i n e a s e t o f c e n t r o i d a l p r i n c i p a l a x e s f o r t h es p a c e c r a f t m a i n b o d y a n d t h e s t a b i l i z i n g s y s t e m ,r e s p e c t i v e l y , w i t h t h e n o m i n a l s p i n a x i s o f b o t h i n t h e z ( o rz ' ) d i r e c t i o n , a n d l e t t h e i r o r i g i n s b e c o i n c i d e n t a n d l o c a t e da t t h e c e n t e r o f m a s s , 0 , o f t h e w h o l e s p a c e c r a f t . I t i sa s s u m e d t h a t t h e d a m p e r w h e e l s a r e i d e n t i c a l a n d t h e t w os e t s A a n d B a r e c o n s t r a i n e d t o o s c i l l a t e i n t h e y ' - z ' a n dx- z ' p l a n e s , r e s p e c t i v e l y . I t i s a l s o a s s u m e d t h a t e a c hd a m p e r m a s s i s a s s o c i a t e d w i t h a t o r s i o n a l s y s t e m w h i c ho f f e r s d i s s i p a t i v e t o r q u e i n a d d i t i o n t o t h e r e s t o r i n g ( s p r i n g )t o r q u e .IEEE TRANSACTIONS ON AEROSPACE AND ELECTRONIC SYS T E M S VOL. A E S - 9 , NO. 2 MARCH 19737 2


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w h e r e

SOLAR PANEL

CRUCIFORMSTRUCTURE

F i g . 1 . The s a t e l l i t e s y s t e m u n d e r c o n s i d e r a t i o n .

E q u a t i o n s o f M o t i o nF o r t h e s a t e l l i t e s y s t e m ( F i g . 1 ) c o n s i d e r e d , t h ee q u a t i o n s o f m o t i o n i n a t o r q u e - f r e e e n v i r o n m e n t ma y b ef o u n d t o b e ( S e e A p p e n d i x )

( 1 )I x + ( I z I ~ ) c , . ) , & = 0I ~ C ycW( - II)wxc o z = ( 2 )

I R T C x + ( I R I R T ' ) z C Yz 2 j m l 2 I m a z 2 (

I R = I O + 2 M b 2 + 2 1 1 b tI R T = I R TO + 2Mb + 2 1 M'RTRT + 2 M b 2 2I R T= I R TO+2b + 2m

M L2I = 2m 2I m 2 ( 8 )

a n d w h e r e t h e s y m b o l s u s e d a r e a s f o l l o w s :I z s p i n - a x i s i n e r t i a o f t h e s a t e l l i t e m a i n b o d yI x , I , t r a n s v e r s e i n e r t i a s o f t h e s a t e l l i t e m a i n b o d yI R s p i n - a x i s i n e r t i a o f t h e s p i n n i n g d i s s i p a t o rI R T 'I R T ' t r a n s v e r s e i n e r t i a s o f t h e s p i n n i n g d i s s i p a t o rwz s p i n r a t e o f t h e s a t e l l i t e m a i n b o d yC o x , w y t r a n s v e r s e a n g u l a r r a t e s o f t h e s a t e l l i t e m a i nb o d y , a s m e a s u r e d i n t h e x y z f r a m e o f

r e f e r e n c ec o j s p i n r a t e o f t h e s p i n n i n g d i s s i p a t o rx ' , c o y ' t r a n s v e r s e a n g u l a r r a t e s o f t h e s p i n n i n gd i s s i p a t o r , a s m e a s u r e d i n t h e x ' y ' z ' f r a m e o fr e f e r e n c eQ 2 s p i n r a t e o f t h e d i s s i p a t i n g u n i t w i t h r e s p e c tt o t h e s p a c e c r a f t m a i n b o d yI M n I m ' moment o f i n e r t i a o f t h e A a n d B d i s s i p a t o rw h e e l s , r e s p e c t i v e l yC , C ' d a m p i n g r a t e c o n s t a n t a s s o c i a t e d w i t h t h e Aa n d B d i s s i p a t o r w h e e l s , r e s p e c t i v e l yK , K ' s p r i n g c o n s t a n t a s s o c i a t e d w i t h t h e A a n d Bd i s s i p a t o r w h e e l s , r e s p e c t i v e l yM , M ' m a s s o f t h e A a n d B d i s s i p a t o r w h e e l s ,r e s p e c t i v e l yL , L ' r a d i u s o f t h e A a n d B d i s s i p a t o r w h e e l s ,r e s p e c t i v e l yb , b ' d i s t a n c e b e t w e e n t h e s p i n a x i s o f t h es p i n n i n g d i s s i p a t o r a n d t h e A a n d Bd i s s i p a t o r w h e e l s , r e s p e c t i v e l y0 1 , 0 2 a n g u l a r d i s p l a c e m e n t o f t h e A a n d Bd i s s i p a t o r w h e e l s , r e s p e c t i v e l y .( 3 ) S t a b i l i t y A n a l y s i s

I R T C L ) y ( I R I R T ) W ( x z2Am 22 , m o z O 1 =0( 41 I Cz + I 1 c z ' -( I x -I y ) o x W Y

x z ) z x y m y 1 m x 2( S

I m 6 1 + C 6 + K O i - I I c ; x ' = 0I m ' 0 2 + C 0 2 + K 0 2 + I m C I O Y 0

( 6 )

F o r t h e k i n d o f d y n a m i c a l s y s t e m c o n s i d e r e d h e r e , a ne q u i l i b r i u m s t a t e may b e d e f i n e d a s t h e s t a t e o f s y s t e mm o t i o n a t w h i c h t h e o n - b o a r d e n e r g y d i s s i p a t o r c e a s e s t o b eo p e r a t i v e . I n o t h e r w o r d s , f o r a n e q u i l i b r i u m s t a t e o fs p a c e c r a f t m o t i o n , t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n h o l d s , r e g a r d l e s so f t h e i n i t i a l m o t i o n a s s u m e d :~ =01=01 =02 = 0 2 =0

0 1 - 0 1 0 , 0 2 -V0 20 ( 9 )( 7 ) w h e r e 0 1 o a n d 0 2 0 a r e a r b i t r a r y c o n s t a n t s r e p r e s e n t i n g t h ei n i t i a l h a n g - o f f a n g l e s o f t h e d i s s i p a t o r w h e e l s c o n s i d e r e d .

SEN: SATELLITE A T T I T U D E STABILIZATION 2 7 3


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W h e n t h e p r e c e d i n g c o n d i t i o n i s i m p o s e d o n t h e s e t o fn o n l i n e a r m o t i o n e q u a t i o n s g i v e n b y ( 1 ) t h r o u g h ( 7 ) , a n dt h e o b s e r v a t i o n ' i s m a d e t h a t b o t h wx a n d c o y h a v e z e r ov a l u e s w h e n t h e v a r i a b l e s c o t ' a n d w y ' b e c o m e z e r o , i t i ss e e n t h a t t h e e q u a t i o n s s e t ( 1 ) - ( 7 ) c a n b e m a d e t o a d m i tt h e o n l y e q u i l i b r i u m s o l u t i o n g i v e n b yc o c o n s t a n t , c o j = c o n s t a n t

( A ) C=0==0 =0 =0C x y x W y 1 2 0 ( 1 0 )w h i c h , i n r e a l i t y , r e p r e s e n t s t h e d e s i r e d a t t i t u d e m o t i o n o ft h e s p a c e c r a f t u n d e r c o n s i d e r a t i o n . T h u s , i t f o l l o w s t h a tg l o b a l s t a b i l i t y o f t h e d e s i r e d a t t i t u d e m o t i o n o f t h es p a c e c r a f t c a n b e a s s u r e d s i m p l y b y p r o v i n g t h a t t h em o t i o n d e s c r i b e d b y ( 1 ) t h r o u g h ( 7 ) i s s t a b l e i n t h e c l o s en e i g h b o r h o o d o f t h e e q u i l i b r i u m s o l u t i o n g i v e n b y ( 1 0 ) .T h e f o l l o w i n g s e t o f l i n e a r i z e d m o t i o n e q u a t i o n s may b ec o n s i d e r e d f o r t h i s p u r p o s e :

c i z Q 2rw=-, r=-7 7 7 7I Ix y6 =-6 -X I 'y IT TI m6 =_ I s Ia =-rm 1 -C c '

I T r 1 I T 7 1K K rP 2 - = 2 9 P2 = I2 -

6 x X + X y=06 Y-XX=0y y6 R T X ' + X R Y 26 Z1'- 2 6 ' ( r + r ) Z 2 ' = 0

( 1 1 ) F r o m ( 1 1 ) t h r o u g h ( 1 6 ) , t h e f o l l o w i n g- e q u a t i o n m a y b e o b t a i n e d :( 1 2 )

( 1 3 ) ( 6 I y s 2 +Xy)(a6s6 +a5s5 + & a 4 s 4 + a 3 s 3+ a 2 s 2 + a , s + a o ) = 06 R T Y X R X ' + 2 6 m Z 2 I 2 6 m ( r w + r 9 ) Z ' = 06 m Z i ' + j 3 Z i ' + P 2 Z i ' -mX=Om m

( 1 4 ) w h e r e t h e c o e f f i c i e n t s a a r e g i v e n6 R T =RT , X R = X R )( 1 5 )( 1 6 )

w h e r e t h e v a r i a b l e s now r e p r e s e n t s m a l l i n c r e m e n t s a r o u n dt h e e q u i l i b r i u m s o l u t i o n g i v e n b y ( 1 0 ) , a n d t h e v a r i a b l e sh a v e b e e n n o n d i m e n s i o n a l i z e d a s f o l l o w s :x W y I _xX-,Y=- x--7 7 7 7 7 7

Z =- ,. Z 2 = 0 2 -yy=

a 6 =PQa 5 = 6 R T ( P 1 3 ' + Q O )a4 = 6 R T ( Q P 2 + p p ' 2 + 6 R T O O ' ) + R 6 m ' + S 6 m

6 m 6 m X R 2 + 4 6 2 6 m 2 ( r W + r ) 2a 3 =f ( S + 6 R T 2 P I 2 ) + 1 g ( R + R T 2 p 2 )

( 1 7 )T h e d o t s i n ( 1 1 ) t h r o u g h ( 1 6 ) no w i n d i c a t ed i f f e r e n t i a t i o n s w i t h r e s p e c t t o t h e d i m e n s i o n l e s s t i m e7 = 7 7 t , a n d t h e c o n s t a n t s a r e d e f i n e d a sr W r WX x = I - Y ) ITSY I I X ) I

a 2 = ( R p ' 2 + S p 2 + 6 R 2 p 2 p I 2 + X R 2 p g )a , = ( Q p ' 2 + O f p 2 ) X R 2

a n = p 2 p f 2 ) e 2a n d w h e r e

( I R - I R T ) ( r w +r . )X R I T( I X + I Y +

2

(R - I R T ) ( r w + r )X R = T

| ( I Z w Z + I R W z ) I7 7 = I

m=6RT -26M)Q=m6RT 26 m )R =6m [ X R 2 + 2m R ( r w + r , ) ]S = m I[ ' R + 2 6 m ) X R ( r w + r ( ) ]

1On t h e b a s i s of the r e l a t i o n s h i p w x 2 + Wy2 = ( A x f 2 + W y r 2 . T h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n g i v e n b y ( 1 9 ) c o n s i s t s o f tw of a c t o r s , t h e f i r s t o f w h i c h r e p r e s e n t s a q u a d r a t i c p o l y n o m i a lI E E E TRANSACTIONS ON AEROSPACE AND ELECTRONIC SYSTEMS MARCH 1973

7 7I R T

RT II TI R T 'B R T I T

( 1 8 )c h a r a c t e r i s t i c

( 1 9 )b y ( w i t h

( 2 0 a )

( 2 0 b )

274


4/8

i n v o l v i n g p a r a m e t e r s r e l a t e d t o t h e s p a c e c r a f t m a i n b o d ya l o n e . S i n c e n o e n e r g y d i s s i p a t o r s a r e a s s u m e d t o b e p r e s e n ti n t h i s p a r t o f t h e s p a c e c r a f t , n e i t h e r s t a b i l i z i n g n o rd e s t a b i l i z i n g i n f l u e n c e i s i n d i c a t e d b y t h e r o o t s o f t h i sq u a d r a t i c p o l y n o m i a l . T h e s e c o n d f a c t o r o f ( 1 9 ) , o n t h eo t h e r h a n d , c l e a r l y d e m o n s t r a t e s t h e p o s s i b i l i t y o f d a m p i n go f s p a c e c r a f t n u t a t i o n d u e t o t h e s p i n n i n g d i s s i p a t o r . T h eu s u a l p r o c e d u r e f o r i n v e s t i g a t i n g t h i s p o i n t i n v o l v e s t h ea p p l i c a t i o n o f t h e R o u t h - H u r w i t z c r i t e r i o n t o t h e r e s u l t i n gc h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l . I t c a n b e s e e n t h a t t h e p r o c e d u r ey i e l d s b o t h t h e n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o ra s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t h e e q u i l i b r i u m s o l u t i o n g i v e n b y( 1 0 ) . H o w e v e r , i n o r d e r t o r e d u c e t h e o r d e r o f t h ec h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l i n v o l v e d , t h e f o l l o w i n ga s s u m p t i o n i s m a d e i n r e g a r d t o t h e o p e r a t i o n o f t h ed i s s i p a t i n g u n i t ( F i g . 1 ) : O n l y o n e p a i r o f t h e d i s s i p a t o rw h e e l s , s a y , t h e p a i r A , i s a l l o w e d t o o s c i l l a t e t o c a u s ee n e r g y d i s s i p a t i o n s i n t h e s p a c e c r a f t , w h i l e t h e r e m a i n i n gp a i r , m a r k e d B , i s h e l d f i x e d .T h u s , b y l e t t i n g S m ' a n d 1 ' g o t o z e r o a n d p ' 2 a p p r o a c hi n f i n i t y i n ( 2 0 ) , t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n f o r t h i si m p o r t a n t s p e c i a l c a s e o f t h e p r o p o s e d s t a b i l i z e r i s f o u n d t o -b eV 6 R T 6 m ( 6 R T 2 6 ) ] S 4 +(6RT2 g ) S 3 + [ 5 R T 2 P 2 + 5 m X R 2

t h e i n e q u a l i t y ( 2 2 a ) i s t r i v i a l l y s a t i s f i e d f o r t h e s a t e l l i t es y s t e m u n d e r c o n s i d e r a t i o n , ( 2 2 b ) t h r o u g h ( 2 2 e ) y i e l d t h ef o l l o w i n g s t a b i l i t y c r i t e r i a :3 > 0 , X R >O ( 2 3 )

T h e p r e c e d i n g c r i t e r i a a r e b a s e d o n t h e s i g n c o n v e n t i o n t h a tt h e n o m i n a l d i r e c t i o n o f t h e a n g u l a r momentum v e c t o ra s s o c i a t e d w i t h t h e s p i n n i n g d i s s i p a t o r i s p o s i t i v e .An A p p r o x i m a t e D e t e r m i n a t i o n o f t h e D a m p i n g T i m eC o n s t a n t

B y a s s u m i n g t h e d a m p i n g o f s p a c e c r a f t n u t a t i o n c a u s e db y t h e s p i n n i n g d i s s i p a t o r t o b e r e p r e s e n t a b l e b y a d e c a yf u n c t i o n o f t h e f o r mWT = w T O e x p ( ) ( 2 4 )

w h e r e T d e n o t e s t h e d a m p i n g t i m e c o n s t a n t , a na p p r o x i m a t e e x p r e s s i o n f o r T c a n b e d e t e r m i n e d a s f o l l o w s .I n g e n e r a l , o n e c a n w r i t ew T 2 = Y2 + y f 2 ( 2 5 ) ,

+ 2 6 X R ( r + r ) ] s 2 + ( f 3 X R 2 ) s + P 2 R 2R O .From ( 2 1 ) , t h e f o l l o w i n g s t a b i l i t y c o n d i t i o n s r no b t a i n e d b y t h e a p p l i c a t i o n o f t h e R o u t h - Hc r i t e r i o n : [ (

>0

F +2~~~~2 + W 2

/ m\+ 2 2 ) X R ( r W + r 9 ) >0

3 X R [ X R + 6 R T ( r W + r 9 ) ] >0P XR >0 .

w h e r e wT i s r e l a t e d t o t h e t o t a l t r a n s v e r s e a n g u l a r r a t e o ft h e s a t e l l i t e s y s t e m c o n s i d e r e d .F o l l o w i n g d i f f e r e n t i a t i o n a n d s u b s t i t u t i o n o f ( 1 3 ) a n d( 1 4 ) , ( 2 5 ) y i e l d s , f o r t h e s p e c i a l c a s e o f t h e t w o - w h e e lo p e r a t i n g mode o f t h e s t a b i l i z e r ,WTWT ( 2 6 r n ) [ w + ( r w + r , n ) Y Z I . ( 2 6 )

N o w , s i n c e t h e d e c a y r a t e o f WT i s l i k e l y t o b e h i g h i nt h e e v e n t t h e e n e r g y d i s s i p a t o r b e c o m e s v e r y e f f e c t i v e , i t i sr e a s o n a b l e t o c o n s i d e r o n l y t h e t r a n s i e n t s o l u t i o n o f ( 1 5 ) ,w i t h t h e r e s u l t

Zl=Zoi' exp[(- r cos]-a)

( 2 2 e )A s i n [ 1 ] , i t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t t h e s t a b i l i t yc o n d i t i o n s o b t a i n e d a b o v e d o n o t i n v o l v e a n y d e s t a b i l i z i n gt e r m w h i c h c o u l d b e a f f e c t e d b y t h e s p i n r a t e o f t h ed i s s i p a t i n g s y s t e m c o n s i d e r e d . T h i s r e s u l t c o n s t i t u t e s t h eb a s i s o f t h e c o n j e c t u r e m a d e e a r l i e r t h a t i m p r o v e m e n t s i nt h e d a m p e r p e r f o r m a n c e c a n b e r e a d i l y a c h i e v e d w i t h o u ta f f e c t i n g s p a c e c r a f t s t a b i l i t y s i m p l y b y i n c r e a s i n g t h e s p i nr a t e o f t h e p r o p o s e d d i s s i p a t o r . F i n a l l y , b y o b s e r v i n g t h a t

1 _ = Zo l ' e x p

+Pm s i n ( P m T-a)]

( 2 7 a )

a )

[Q)][j(1)Picos ( p m r a - ) +pm O m s i n (pm T a )

( 2 7 b )

( 2 7 c )

SEN: SATELLITE ATTITUDE STABILIZATION 2 7 5

, - " I r Cos( 2 2 d ) 2 1 =- Z O I I e x p ( p m r2 2


5/8

w h e r e O M = ( 0 / 6 M ) ' p M = ( 2 / M ) 1 , a = t a n-1 [ m / ( 4 p m 2 w h e r e- p m 2 ) / 2 ] , a n d Z o ' i s a n a r b i t r a r y i n i t i a l v a l u e o f Z i ' .F u r t h e r m o r e , t h e f o l l o w i n g a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s mayb e o b ta i ne d f r o m ( 1 3 ) a n d ( 1 4 ) :X' w C O S X 7 -- T R TY ' - - w T s i n X R r

( 2 8 a )( 2 8 b ) a n d

w h e r e X R T = ( X R / 6 R T ) -S u b s t i t u t i o n o f ( 2 7 ) a n d ( 2 8 ) i n ( 2 6 ) r e s u l t s i nRT

A= [() + ( R T + p m ) 2 ]4 +(T-m2 ] .L P - 2 P m 2 } A ( T )

+ p M O M B ( r ) - ( r w + r . )C ( T ) + P m D ( T ) I ]

N o w , w i t h t h e a p p r o x i m a t i o n ( A / 4 p )


6/8

L x 645 SLUG-FT2l y 655 SLU G- FT2I z 72 SLUG -F T 2Wz 1 / 2 4 RPHIR O - 0O048 SLUG FT 2I RTOO 02 4 SLUG- FT 2M - 0 03 SLUGSL 0 5 F Tb - 2 FT1 - 0 . 5 8 4x10-3

TWO-WHEEL MODE---FOUR-WHEEL MODE

I

30 4.0 50 60 70 80DIMENSIONLESS SPRING CONSTANT, p 2

F i g . 2 . P e r f o r m a n c e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e p r o p o s e d s t a b i l i z e r .

T A BLE IC o m p a r i s o n o f T and T (Two Wheel Mode)m

S t a b i l i z e r T o t a l S a t e l l i t e R e s o n a n t V a l u e D a m p i n g Time ConstantS p i n R a t e , Q 7 Momentum, HT o f p 2 C a l c u l a t e d From R o o t S t u d y ,( r p m ) ( f t . l b . s e c ) T ( s e c o n d s ) T m ( s e c o n d s )

1 0 0 5 . 5 3 7 . 1 5 1 . 2 2 4 . 5 52 0 0 1 1 . 0 5 7 . 1 5 0 . 6 1 2 . 2 83 0 0 1 6 . 5 8 7 . 1 5 0 . 4 1 1 . 5 240 0 2 2 . 1 1 7 . 1 5 0 . 3 1 1 . 1 45 0 0 2 7 . 6 3 7 . 1 5 0 . 2 4 0 . 9 1

v a r i a t i o n s i n t h e s p a c e c r a f t p a r a m e t e r s , i n c l u d i n g t h o s e o ft h e d i s s i p a t o r .T h e d a m p i n g t i m e c o n s t a n t T f o r t h e t w o - w h e e l mode o fo p e r a t i o n o f t h e p r o p o s e d s t a b i l i z e r w a s a l s o e v a l u a t e d

n u m e r i c a l l y b y u s i n g t h e a p p r o x i m a t e e x p r e s s i o n s g i v e n b y( 3 4 ) a n d ( 3 5 ) . T h e v a l u e o f t h e n o n d i m e n s i o n a l p a r a m e t e rp 2 u s e d i n t h e s e e v a l u a t i o n s was c h o s e n t o b e t h e r e s o n a n tv a l u e , as o b t a i n e d f r o m F i g . 2 . The r e s u l t s a r e c o m p a r e d i nT a b l e I .C o n c l u s i o n s

I n t h i s paper, an a t t i t u d e s t a b i l i z i n g s y s t e m i s p r o p o s e df o r an E a r t h - o r b i t i n g s a t e l l i t e i n w h i c h a s p i n n i n g d i s s i p a t o ri s u s e d t o p r o v i d e b o t h n u t a t i o n d a m p i n g a n d t h e necessarya n g u l a r momentum o f t h e s p a c e c r a f t . I t i s s h o w n t h a t t h e

p e r f o r m a n c e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e p r o p o s e d s t a b i l i z e r ca nb e i m p r o v e d t o any d e s i r e d e x t e n t s i m p l y b y i n c r e a s i n g t h es p i n r a t e o f t h e d i s s i p a t i n g u n i t c o n c e r n e d . From th en u m e r i c a l r e s u l t s p r e s e n t e d i n t h e p a p e r , i t i s i n d i c a t e d t h a ta d a m p i n g t i m e c o n s t a n t i n t h e n e i g h b o r h o o d o f o n l y ones e c o n d ca n b e e a s i l y a c h i e v e d w i t h a r e a s o n a b l e d e s i g n o ft h e s t a b i l i z e r . A r e m a r k a b l e f e a t u r e o f t h e s u g g e s t e ds t a b i l i z i n g s c h e m e i s t h a t no " t r a p s t a t e " i s f o u n d t o occuri n t h e s p a c e c r a f t , t h u s a s s u r i n g g l o b a l s t a b i l i t y o f t h ed e s i r e d a t t i t u d e m o t i o n o f t h e s a t e l l i t e s y s t e m c o n s i d e r e d[ 2 ] .

I t i s f e l t t h a t a s u c c e s s f u l i m p l e m e n t a t i o n o f t h ep r o p o s e d s c h e m e w o u l d i n i t i a t e a new g e n e r a t i o n o fs a t e l l i t e a t t i t u d e c o n t r o l s y s t e m s i n w h i c h an a p p r o p r i a t e l ys i z e d d i s s i p a t o r a t an a p p r o p r i a t e s p i n r a t e a c t s a s a m a s t e rs t a b i l i z e r f o r any g i v e n s i z e a n d s h a p e o f t h e s p a c e c r a f t .SEN: S A T E LLI T E ATTITUDE STABILIZATION

12

1 0 F( A0z0uw( n 8EI-

z6(Az0u

-4

za.a 0

C10 0 RPM

20 0 RPM

o

L- 400 RPML - 5 0 0 RPM

III1 I e9 0 Ia o I I U 1 2 - 0

27 7


7/8

+ p I m+6 2 - 2 I m ( 0 z 0 i ID e r i v a t i o n o f t he E q u a t i o n s o f M o t i o n

F o l l o w i n g G r e e n w o o d [ 3 ] , t h e r o t a t i o n a l e q u a t i o n s o fm o t i o n f o r t h e s a t e l l i t e s y s t e m o f F i g . 1 i n a t o r q u e - f r e ee n v i r o n m e n t may b e e x p r e s s e d a s( H + x 1 ) + ( H ' + w ' x H ' ) + f ( P j x P 1 ) d m

= 1

4~~~~~+ L f @ x ( ? ' x r ' ) dm 0 ( 3 6 )w h e r e t h e v e c t o r s H a n d H ' d e n o t e t h e a b s o l u t e a n g u l a rm o m e n t s o f t h e s p a c e c r a f t m a i n b o d y a n d t h e s t a b i l i z i n gu n i t , r e s p e c t i v e l y , a b o u t t h e i r common c e n t e r o f m a s s 0 . c oa n d c o ' a r e t h e a n g u l a r v e l o c i t i e s o f t h e r e s p e c t i v e b o d i e s i ni n e r t i a l s p a c e , a n d r i r e f e r s t o t h e r a d i u s v e c t o r f o r a n ye l e m e n t a r y m a s s d m o n t h e i t h d i s s i p a t o r w h e e l . T h e d o to v e r a n u n p r i m e d v e c t o r i n d i c a t e s t i m e d i f f e r e n t i a t i o n i nt h e r e f e r e n c e x y z f r a m e , w h e r e a s t h e d o t o v e r a p r i m e dv e c t o r i n d i c a t e s t i m e d i f f e r e n t i a t i o n i n t h e a s s u m e d x ' y ' z 'f r a m e o f r e f e r e n c e .N o w , b y e x p r e s s i n g t h e p r i m e d a n d u n p r i m e d v e c t o rq u a n t i t i e s a s c o m p o n e n t s i n t h e x ' y ' z ' a n d x y z r e f e r e n c ef r a m e s , r e s p e c t i v e l y , a n d b y n o t i n g t h a t t h e u n i t v e c t o r s za n d z ' a r e i d e n t i c a l , e v a l u a t i o n o f t h e v a r i o u s t e r m s i n ( 3 6 )y i e l d s( H + x i + ( H +Z x H ) % V[ I + ( I z ) cI[ x x x y yz

' [ I I y , U r_ ( I Z -x )wxj Z ]+ t[ WYI( I x[ I I ( I ' I f ) I'Jy(x-y zxxx] zz

a n d4 4

( r i xr. ) & +c o ( r . x r i ?di = l i = l

= x [ 2 I m x - 2 I m '(Y ZzI M 0 1 -2 l m ' W Z 6 2 ]

+ y ' [ 2 I m l ( j y ' + 2 f m X w z f

+ 2 ' [ 2 I m c 0 j ' 6 1 + 2 f m X f 9 2 ] ( 3 8 )w h e r e t h e I s r e p r e s e n t t h e m o m e n t s o f i n e r t i a o f t h es a t e l l i t e s y s t e m u n d e r c o n s i d e r a t i o n .B y c o m b i n i n g ( 3 7 ) a n d ( 3 8 ) , o n e c a n f i n a l l y o b t a i n t h ef o l l o w i n g s e t o f s c a l a r e q u a t i o n s :

( 3 9 )( 4 0 )

I C e ) + ( I),-& ) , c = 0I y y - ( I z - I x ) ( x =zI R T C x + ( I R-2Im 0 z 6 20

I R T - ( R-21mZw , ' =

( 4 1 )I R T ) C o x . ( z + 2 I m1 0 2

I Z z z +Iz'z( I x - I y ) C x Cy- w ( I x o y I e + 2M C y I + 2 I M ( ' x l 2 w h e r e

( 4 2 )

( 4 3 )I R = z = 1 R o + 2 M b 2 + 2 M ' b ' 2

I R T = I X ' + 2 m , IRT = I y + 2 I mI X I R = O + 2 M b 2 I Y = I R +2M b'2I x ' IRTO 'yyRTo

ML2 M ' L 1 2I =- I ' -m 2 m 2a n d w h e r e I R O a n d I R T O r e p r e s e n t t h e m o m e n t s o f i n e r t i aa s s o c i a t e d w i t h t h e c r u c i f o r m s t r u c t u r e o f t h e s t a b i l i z e r .T h e p r e c e d i n g s e t o f m o t i o n e q u a t i o n s may b es u p p l e m e n t e d now b y a p a i r o f e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h em o t i o n s o f t h e d i s s i p a t o r w h e e l s a b o u t t h e x ' a n d y 'c o o r d i n a t e a x e s o f t h e s t a b i l i z i n g u n i t . T h u s , b y c o m p u t i n gt h e m o m e n t s a b o u t t h e x ' a x i s d u e t o b o t h t h e y ' a n d zc o m p o n e n t s o f i n e r t i a l f o r c e s a c t i n g o n t h e d i s s i p a t o rw h e e l s m a r k e d A , a n d n o t i n g t h a t t h e r e s u l t i n g t o r q u es i m p l y e q u a l s t h e sum o f t h e d a m p i n g a n d r e s t o r i n gt o r q u e s , o n e o f t h e s e e q u a t i o n s may b e o b t a i n e d a s. . O l + C ~ l +K61 1 ~ =I 0 , i C O , + KO - l m u x = ( 4 4 )w h e r e C d e n o t e s t h e d a m p i n g r a t e c o n s t a n t a n d K i s t h es p r i n g c o n s t a n t a s s o c i a t e d w i t h t h e d i s s i p a t o r w h e e l s A .S i m i l a r l y , b y c o n s i d e r i n g t h e i n e r t i a l f o r c e s a c t i n g o n t h ed i s s i p a t o r w h e e l s l a b e l l e d B , t h e s e c o n d e q u a t i o n may b ef o u n d a sI m ' 0 2 + C ' 0 2 + K ' 0 2 + II I y = 0 . ( 4 5 )w h e r e C ' a n d K ' r e p r e s e n t t h e c o r r e s p o n d i n g d i s s i p a t o rp a r a m e t e r s a s s o c i a t e d w i t h t h e w h e e l s B .

IEEE TRANSACTIONS ON AEROSPACE AND ELECTRONIC SY STE MS MARCH 1973

A p p e n d i x

. ' R T I ) w C o z 2 ' m U Iy

278


8/8

R e f e r e n c e s[ 1 ) A . K . S e n , " A n u t a t i o n d a m p e r f o r a d u a l - s p i n s p a c e c r a f t , "I E E E T r a n s . A e r o s p a c e a n d E l e c t r o n i c S y s t e m s , v o l . A E S - 6 ,p p . 7 6 4 - 7 6 9 , N o v e m b e r 1 9 7 0 .

[ 2 ] -, " O n t h e e x i s t e n c e o f a t r a p s t a t e f o r O S O - t y p e s a t e l l i t e sIEEE T r a n s . A u t o m a t i c C o n t r o l , v o l . A C - 1 7 , p p . 5 1 0 - 5 1 5A u g u s t 1 9 7 2 .[ 3 1 D . T . G r e e n w o o d , P r i n c i p l e s o f D y n a m i c s . E n g l e w o o d C l i f f sN . J . : P r e n t i c e - H a l l , 1 9 6 5 , p p . 3 7 4 - 3 7 5 .

A s i m K . S e n ( M ' 6 3 - S M ' 7 2 ) w a s b o r n i n C a l c u t t a , I n d i a , o n J a n u a r y 2 , 1 9 3 9 . H e r e c e i v e dt h e B . S c . d e g r e e i n p h y s i c s i n 1 9 5 8 , t h e M . S c . ( T e c h . ) d e g r e e i n r a d i o p h y s i c s a n de l e c t r o n i c s i n 1 9 6 1 , a n d t h e D . P h i l . ( S c . ) d e g r e e f o r h i s w o r k o n c o n t r o l s y s t e m a n a l y s i s i n1 9 6 7 , a l l f r o m t h e U n i v e r s i t y o f C a l c u t t a .F r o m 1 9 6 2 t o 1 9 6 5 h e w a s a R e s e a r c h F e l l o w a t t h e I n s t i t u t e o f R a d i o P h y s i c s a n dE l e c t r o n i c s , U n i v e r s i t y o f C a l c u t t a , a n d f r o m 1 9 6 5 t o 1 9 6 7 h e w a s a L e c t u r e r i n P h y s i c sa t t h e U n i v e r s i t y o f K a l y a n i , W e s t B e n g a l , I n d i a . From 1 9 6 7 t o 1 9 6 9 h e w a s a t t h eU n i v e r s i t y o f M a n i t o b a , W i n n i p e g , M a n . , C a n a d a , o n a p o s t - d o c t o r a l f e l l o w s h i p . F r o m1 9 6 9 t o 1 9 7 1 h e w a s a R e s e a r c h A s s o c i a t e a t t h e N A S A - G o d d a r d S p a c e F l i g h t C e n t e r ,G r e e n b e l t , M d . D u r i n g t h e p e r i o d J a n u a r y , 1 9 7 2 t o D e c e m b e r , 1 9 7 2 , h e h a s b e e n aC o n s u l t a n t a t t h e C o m m u n i c a t i o n s R e s e a r c h C e n t e r , O t t a w a , C a n a d a . He h a s p u b l i s h e dmany p a p e r s i n t h e a r e a s o f s t a t i s t i c a l l i n e a r i z a t i o n t e c h n i q u e , s t a b i l i t y t h e o r y f o r c o n t r o ls y s t e m s , a n d t r a n s i s t o r c i r c u i t a n a l y s i s . H i s c u r r e n t r e s e a r c h i n t e r e s t c e n t e r s o n a t t i t u d ed y n a m i c s a n d c o n t r o l o f s p i n - s t a b l i i z e d s a t e l l i t e s .SEN: SATELLITE A T T I T U D E STABILIZATION 279

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The Use of a Spinning Dissipator for Attitude Stabilization of Earth- Orbiting Satellites