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TESIS
Que presenta: Miriam Fernández Jiménez
Para obtener el grado de: Maestra en Redes y Sistemas Integrados
Director de Tesis: Dr. Efrén Mezura Montes
Co-Director de Tesis: Dr. Edgar Alfredo Portilla Flores
“OPTIMIZACIÓN DE UN MECANISMO DE
CUATRO BARRAS USANDO EL ALGORITMO DE
OPTIMIZACIÓN BASADO EN TORMENTA DE
IDEAS “
Xalapa, Veracruz, México Diciembre, 2014
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Dedicatoria
A mi hermanito: para que te sirva
de motivación y en un tiempo sea
yo quien este leyendo tu tesis.
Página 4
Agradecimientos
A mi madre, por ser un ejemplo de perseverancia y trabajo, eres una excelente
amiga y mi guerrera favorita, gracias por tu apoyo y creer siempre en mí.
A mi asesor el Dr. Efrén Mezura Montes por brindarme la oportunidad de
trabajar con él, por su dirección tan acertada y sobre todo por el tiempo
invertido en esta tesis.
Al Dr. Edgar Alfredo Portilla Flores por salvarme de las dudas surgidas en el
camino, por compartir sus conocimientos y avances en el tema.
A la Dra. Cora Beatriz Excelente Toledo por llenarme de ánimo y aportarme una
perspectiva adecuada para concluir este trabajo en tiempo y forma, gracias por
sus comentarios siempre oportunos.
Página 5
ÍNDICE
RESUMEN ............................................................................................... 7
Índice de Figuras ................................................................................... 8
Índice de Tablas ..................................................................................... 9
1. Introducción ......................................................................... 10
1.1 Descripción del problema ............................................................. 11
1.2 Hipótesis ......................................................................................... 12
1.3 Objetivo General ............................................................................ 12
1.4 Estructura del documento ............................................................ 13
2. Optimización ........................................................................ 14
2.1 Concepto de Optimización ........................................................ 14
2.3 Técnicas Metaheurísticas .......................................................... 16
2.4 Algoritmos de Optimización y una Clasificación .................... 19
2.4.1 Basados en Inteligencia Colectiva (o de enjambre) ............. 20
2.4.2 Basados en Física y Química ................................................. 21
2.4.3 Otros algoritmos: .................................................................... 21
2.4.4 Algoritmos Evolutivos ............................................................ 22
3. Mecanismos de cuatro Barras ............................................ 24
4. Algoritmo Brain Storm Optimization (BSO) ....................... 30
4.1 Proceso de Lluvia de ideas ....................................................... 30
4.2 Algoritmo Brain Storm Optimization ........................................ 33
4.2.1 Inicialización de la población ................................................. 35
Página 6
4.2.2 Clustering ................................................................................. 35
4.2.3 Alteración de centroides ......................................................... 36
4.2.4 Actualización de Individuos ................................................... 36
5. Metodología y Diseño de Experimentos ............................. 40
5.1 Valores Iniciales ......................................................................... 41
5.2 Procedimiento Realizado ........................................................... 42
6. Resultados y Discusión ....................................................... 46
6.1 Resultados .................................................................................. 47
6.2 Discusión..................................................................................... 51
6.3 Comparativa ................................................................................ 53
7. Conclusiones y Trabajo Futuro........................................... 55
Referencias ................................................................................... 56
Página 7
RESUMEN
En este trabajo se presenta la optimización de un mecanismo de cuatro barras
de tipo Manivela-Biela-Balancín que cuenta con un motor de corriente directa
como elemento impulsor del sistema.
Para realizar el proceso de optimización se utiliza el algoritmo llamado “Brain
Storming Optimization” (BSO), que resuelve problemas de optimización
basándose en una técnica grupal del ser humano para resolver problemas
llamada lluvia de ideas.
Los resultados obtenidos se comparan contra los encontrados por un algoritmo
del estado del arte en diseño mecatrónico basado en evolución diferencial.
El desempeño del algoritmo BSO muestra ser altamente competitivo con
respecto al del algoritmo basado en evolución diferencial, lo que muestra la
viabilidad de éste para resolver problemas complejos de diseño en ingeniería.
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ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2.1 Diagrama de flujo del comportamiento de un algoritmo evolutivo. .. 23
Figura 3.1 Modelo esquemático de un mecanismo de MBB. ........................... 25
Figura 3.2 Modelo esquemático de un motor de C.D. ...................................... 26
Figura 4.1 Diagrama de flujo del algoritmo BSO. ............................................. 34
Figura 5.1 Datos agrupados alrededor de tres centroides. .............................. 44
Página 9
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 4.1 Pasos en el proceso “Brainstorming” ................................................ 31
Tabla 4.2 Reglas de Osborn para la generación de ideas en el proceso
Brainstorming .................................................................................................... 32
Tabla 4.3 Pasos del algoritmo BSO. ................................................................. 39
Tabla 5.1 Conjunto de parámetros iniciales para el algoritmo BSO. ................. 41
Tabla 5.2 Ejemplo de una población inicial (conjunto de ideas). ...................... 43
Tabla 6.1 Conjunto de parámetros con los que se obtuvieron mejores
resultados. ........................................................................................................ 47
Tabla 6.2 Conjunto de resultados obtenidos en el primer problema de
optimización (maximización). Todas las soluciones son factibles. El mejor
resultado obtenido se encuentra en color rojo. ................................................. 48
Tabla 6.3 Datos estadísticos obtenidos del conjunto de resultados de la Tabla
6.2 para el primer problema de optimización (maximización). .......................... 49
Tabla 6.4 Conjunto de resultados obtenidos en el segundo problema de
optimización (minimización). Todas las soluciones son factibles. El mejor
resultado obtenido se encuentra en color rojo. ................................................. 50
Tabla 6.5 Datos estadísticos obtenidos del conjunto de resultados de la Tabla
6.4 para el segundo problema de optimización (minimización). ....................... 51
Tabla 6.6 Valores Obtenidos con Evolución Diferencial para el problema de
maximización. ................................................................................................... 53
Tabla 6.7 Valores Obtenidos con BSO para el problema de maximización. .... 54
Tabla 6.8 Valores Obtenidos con Evolución Diferencial para el problema de
minimización. .................................................................................................... 54
Tabla 6.9 Valores Obtenidos con BSO para el problema de minimización. ...... 54
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1. Introducción
En la vida cotidiana el ser humano siempre está buscando soluciones
más eficaces y rápidas para resolver sus problemas. La idea de hacer
más con menos siempre ha despertado un gran interés. Sin embargo,
existen problemas de la vida real donde los métodos exactos no son
viables, por lo que los métodos aproximados suelen ser una
alternativa válida para solucionarlos. La finalidad de este trabajo es
aplicar un algoritmo aproximado, basado en una de las formas que
los humanos resuelven problemas, en la resolución de un problema
mecatrónico de la vida real. En este capítulo se describe el problema,
se presenta una hipótesis así como el objetivo a cumplir.
Los problemas de optimización son comunes en el quehacer humano. Existen
técnicas matemáticas para resolverlos [1]. Sin embargo, existen instancias,
particularmente del mundo real, donde dichas técnicas no pueden ser
aplicadas, su empleo es complicado, o los resultados obtenidos no son
satisfactorios. De ahí que existan técnicas alternativas llamadas heurísticas
que, aunque no pueden garantizar encontrar la mejor solución existente,
proveen de soluciones altamente competitivas en un tiempo razonable [2].
Entre las opciones más conocidas de este tipo de técnicas se tienen a los
algoritmos evolutivos [3] y a la inteligencia colectiva [4]. Los primeros basan su
funcionamiento en emular la evolución natural y la supervivencia del más apto
para evolucionar soluciones de problemas de optimización y los segundos
resuelven la misma tarea pero emulando comportamientos sociales y
cooperativos de organismos simples como insectos. Actualmente han surgido
nuevas técnicas con inspiraciones diversas.
Los seres humanos son los animales más inteligentes del mundo, por lo tanto
un algoritmo de optimización basado en el comportamiento del ser humano y en
Página 11
su creatividad para resolver problemas debería ser superior a los algoritmos
inspirados en el comportamiento colectivo de insectos como hormigas, abejas,
etc. [4]. Para este trabajo se ha seleccionado un algoritmo novedoso que se
basa en el proceso de lluvia de ideas o brainstorming [5], que es una técnica
grupal utilizada para generar ideas nuevas y brindar soluciones a un problema.
El algoritmo propuesto de BrainStrorming Optimization (BSO) se probará con el
fin de optimizar el diseño de un mecanismo de cuatro barras del tipo Manivela-
Biela-Balancín (MBB), el cual tiene acoplado un motor de corriente directa
(C.D.) al eje de entrada [6].
1.1 Descripción del problema
El mecanismo de cuatro barras es básico para el diseño de máquinas, por lo
que es necesario que se asegure que no falle cuando se encuentre operando.
Cada uno de los eslabones que componen al mecanismo de cuatro barras se
encuentra unido por articulaciones, las cuales le permiten realizar movimientos
dependiendo de su grado de libertad.
Cuando se cuenta con un motor de C.D. como elemento impulsor del sistema la
velocidad angular de entrada no es constante. El ciclo de trabajo de un
mecanismo como éstos, consta de varias posiciones, las cuales son afectadas
por diferentes cargas, por lo tanto es necesario implementar un sistema de
control que regule la velocidad de entrada al mecanismo con el fin de obtener
siempre la salida deseada para la que fue creado ese diseño mecánico. Los
detalles técnicos del problema se pueden encontrar en [6].
Para problemas como el que se plantea, la Ingeniería mecatrónica proporciona
un enfoque en el que el problema se visualiza como un conjunto de
subsistemas interactuando unos con otros para lograr un objetivo, recalcando la
Página 12
importancia de que los subsistemas se relacionen para asegurar un mejor
desempeño.
Sin embargo, existen problemáticas que únicamente pueden resolverse
utilizando un algoritmo de tiempo exponencial. Este tipo de problemas está
cobrando una mayor notoriedad en la actualidad y se vuelve necesario modelar
y resolver tareas como la optimización y el aprendizaje para aplicaciones donde
no se puede obtener una solución de manera analítica [7]. Es por ésto que se
aplican técnicas metaheurísticas a problemas de optimización [2] y se analizan
diferentes opciones para encontrar así, la que proporcione un resultado de
mejor calidad.
En este trabajo precisamente se pondrá a prueba la eficacia de un algoritmo
novedoso basado en el proceso humano de la lluvia o tormenta de ideas,
siguiendo la línea de que un algoritmo basado en una técnica humana para
resolver problemas proveerá una solución satisfactoria.
1.2 Hipótesis
BSO proveerá un mejor desempeño al resolver el problema mecatrónico
planteado en el presente trabajo con respecto a un algoritmo evolutivo,
evolución diferencial en este caso.
1.3 Objetivo General
Implementar el algoritmo de optimización BSO para el diseño óptimo de un
mecanismo de cuatro barras.
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1.4 Estructura del documento
Capítulo 1. Proyecto. En este capítulo se introduce al lector en lo que será el
proyecto general que se atiende en esta tesis, el problema que se ataca y la
propuesta de solución que se plantea.
Capítulo 2. Optimización. En este apartado se define el concepto de
optimización y los elementos que componen un problema de optimización.
Capítulo 3. Mecanismos de cuatro Barras. En esta parte del documento se
mencionarán los sistemas mecánicos y los mecanismos que los integran,
haciendo énfasis en aquellos de cuatro barras y en su proceso de diseño, tema
de estudio en esta tesis.
Capítulo 4. Algoritmo Brain Storm Optimization. En este capítulo se abordará
al algoritmo Brain Storm Optimization, se analizará su funcionamiento y sus
operadores, se revisará su pseudo código y finalmente se realizarán las
adaptaciones necesarias para resolver el problema planteado.
Capítulo 5. Metodología. En este capítulo se explicará el diseño experimental
para llegar a los resultados mostrados en el capítulo siguiente.
Capítulo 6. Resultados y Discusiones. En este capítulo se mostrarán los
resultados a los que se llegaron con la implementación del algoritmo y se
realizará un análisis de ellos.
Capítulo 7. Conclusiones. En este apartado se presentan las conclusiones de
esta tesis y el trabajo futuro.
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2. Optimización
Hace tiempo que el hombre busca, mejores maneras de realizar las
tareas cotidianas de la vida, que proporcionen el mejor resultado, el
que genere mayores ganancias, una mayor producción o aquel que
se traduzca en el menor consumo de tiempo, en la menor inversión
de dinero o el menor desperdicio de recursos.
Procesos de producción y administración, diseños de redes de
telecomunicación, problemas de distribución y envíos por mencionar
algunos, todos ellos tienen un factor común, el objetivo es maximizar
o minimizar un determinado valor, es decir, optimizarlo. Por ello se
llaman problemas de optimización.
Es importante hablar de la optimización también llamada programación
matemática, ya que este trabajo pretende optimizar un diseño mecánico. En
este apartado se abordarán los conceptos básicos del tema.
2.1 Concepto de Optimización
El proceso de optimización consiste en la búsqueda de la mejor solución para
un problema entre un conjunto de alternativas. Para efectos de este trabajo se
definirá optimizar como encontrar el valor de las variables que al mismo tiempo
que satisfacen las restricciones alcanzan el valor de calidad óptimo conocido
como función objetivo.
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Componentes de un problema de optimización:
Función objetivo: Es el propósito de la optimización. Es decir, es la
medida cuantitativa que indicará el desempeño o bondad del sistema, es
el valor que da la pauta para discriminar si el vector de variables de
decisión es el óptimo para maximizar o minimizar un problema.
Generalmente se trata de números enteros o reales, matemáticamente
se representa de la siguiente manera:
Variables de decisión: Es el vector de parámetros de entrada que
afectan el valor de la función objetivo.
El vector de n variables se representa de la siguiente manera [8]:
Restricciones: Aportan realismo a la optimización, están definidas por
las características y/o requisitos en la vida real de los componentes de
un sistema. Se traducen como limitaciones que las variables deben
satisfacer, cuando se presentan significa que no cualquier solución es
posible o factible. Las restricciones pueden ser expresadas en forma de
ecuaciones de igualdad o desigualdad respectivamente [8]:
En un problema de optimización numérica, optimizar equivale a resolver una
ecuación de este tipo:
ó
)(max xfx
)(min xfx
xnxxx ,,2,1
nixi ,...,2,1,
0),...,( 1 nxxg
0),...,( 1 nxxh
)(xf
x
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2.2 Problemas Tratables e Intratables
El esfuerzo necesario para resolver un problema de forma eficiente puede variar
enormemente, es por ello que surge la siguiente clasificación de los problemas
computacionales:
Tratables: Problemas para los cuales existe un algoritmo de solución
que se ejecuta en tiempo polinomial, también conocidos como problemas
P (de orden polinomial).
Intratables Problemas para los que no se conoce ningún algoritmo de
complejidad polinomial, también llamados problemas NP (de orden no
determinístico polinomial).
En un problema de optimización, lo deseable es encontrar no solamente una
solución, sino la mejor solución, sin embargo existen problemas que
únicamente pueden resolverse utilizando un algoritmo de tiempo exponencial o
incluso, puede ser que no exista algoritmo alguno, por lo cual, al tener este tipo
de información puede optarse por la búsqueda o aplicación de técnicas
metaheurísticas existentes, que si bien no garantizan una solución óptima, si
pueden proporcionar una buena solución.
2.3 Técnicas Metaheurísticas
La palabra heurística se deriva de la palabra griega heuriken que significa
“descubrir”. También dio origen a la exclamación eureka, (aquella que hizo
famosa Aquímedes) cuyo significado es “lo encontré”.
Así definieron Bartholdi y Platzman el concepto de heurística [11]:
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“Una heurística puede verse como un procesador de información que,
deliberadamente, pero juiciosamente, ignora cierta información. Ignorando
información, una heurística se libra de gran parte del esfuerzo que debió
haberse requerido para leer los datos y hacer cálculos con ellos. Por otra parte,
la solución producida por tal heurística, es independiente de la información
ignorada, y de este modo no se ve afectada por cambios en tal información.
Idealmente, se busca ignorar información que resulta muy caro colectar y
mantener, esto es, computacionalmente caro de explotar y mantener, y que
contribuye en poco a la precisión de la solución.”
El propósito de una función heurística es el de guiar el proceso de búsqueda en
la dirección más provechosa sugiriendo qué camino tomar cuando hay más de
uno disponible. Se podrían comparar con guías de turismo, por un lado pueden
sugerir las rutas más interesantes pero por otro lado, podrían omitir lugares de
interés para algunas personas. Los métodos heurísticos normalmente están
inspirados en la intuición o en la naturaleza y no están diseñados para ningún
problema en particular.
Una técnica metaheurística es un procedimiento de búsqueda que tampoco
garantiza la obtención de la solución óptima y que se basa en la aplicación de
algunas reglas sencillas, pero a diferencia de un método heurístico, la
búsqueda será orientada con el fin de evitar óptimos locales. Estas técnicas se
han vuelto muy recurridas sobretodo en problemas de optimización ya que son
simples, efectivas y sobre todo por su mejor desempeño.
El funcionamiento de una metaheurística se podría resumir de la siguiente
manera: se comienza con un conjunto de soluciones potenciales, aunque no las
mejores, a partir de este conjunto se obtiene una o más que satisfacen algún
Página 18
criterio y se vuelve a comenzar el proceso hasta llegar a alguna condición de
paro previamente definida.
Las técnicas metaheurísticas comparten algunas características que se enlistan
a continuación [17]:
Son aproximadas, es decir no garantizan encontrar la mejor solución.
Son ciegas, es decir debe indicárseles cuando detenerse, ya que ellas no
saben si han logrado una solución óptima.
En ocasiones aceptan soluciones relativamente malas, o al menos no
mejores que la anterior, lo que se considera un paso intermedio para
llegar a una región de soluciones no explorada. Esta característica se
compara con escalar una montaña, donde hay tanto cimas como
abismos, las “malas” soluciones serían el equivalente a posicionarse en
el fondo de la montaña, pero es solamente desde ese lugar que se
puede llegar a una cima más alta incluso de la que se ha descendido.
Son generales, pensadas para implementarse en cualquier problema de
optimización, lo único que se requiere es tener una representación
adecuada del problema, una función objetivo y un mecanismo para
moverse en el espacio de búsqueda.
Bajo ciertas condiciones, asintóticamente convergen con una solución
óptima.
Estas técnicas permiten resolver problemas complejos de una manera sencilla y
obtener soluciones suficientemente buenas en tiempos razonables.
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2.4 Algoritmos de Optimización y una Clasificación
Hay problemas de optimización del mundo real que a menudo son problemas
NP y por lo tanto se vuelven muy difíciles de resolver. Para este tipo de
problemas no se conocen algoritmos eficientes. Como resultado, muchos
problemas tienen que ser resueltos por ensayo y error utilizando diversas
técnicas de optimización. Cada vez se desarrollan nuevos algoritmos para tratar
de hacer frente a estos problemas de optimización difíciles.
La naturaleza ha inspirado a muchos investigadores de muchas maneras. Hoy
en díamuchos de los nuevos algoritmos son inspirados en la naturaleza o bio-
inspirados. Entre los algoritmos bio-inspirados, una clase especial de algoritmos
se han desarrollado inspirándose en la inteligencia colectiva (o de enjambre).
De hecho, los algoritmos basados en la inteligencia de enjambre se encuentran
entre los más populares. Entre los ejemplos más conocidos se encuentran la
optimización basada en la colonia de hormigas y la optimización de enjambre
de partículas.
Sin embargo, no todos los algoritmos se basan en los sistemas biológicos.
Muchos algoritmos se han desarrollado con base en sistemas físicos y
químicos. A continuación se presenta una clasificación de algoritmos basada en
la metáfora en la que se inspiran [12]:
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2.4.1 Basados en Inteligencia Colectiva (o de enjambre)
La inteligencia colectiva o de enjambre (SI por su equivalente en inglés Swarm
Intelligence), se refiere a la conducta cooperativa que surge de la interacción de
múltiples agentes; sostiene que la inteligencia se deriva de la interacción de los
individuos en un mundo social. Además, este modelo de inteligencia se puede
aplicar de manera efectiva a los sistemas de inteligencia artificial [18].
Todos los algoritmos basados en SI usan conjuntos de agentes muy simples,
inspirados en el comportamiento colectivo de los insectos sociales, como las
hormigas, termitas, abejas y avispas, así como de otros animales sociales como
bandadas de pájaros o peces. Mientras que cada ser puede ser considerado
como poco inteligente, todo el sistema de múltiples individuos puede mostrar un
comportamiento auto-organizado y por lo tanto puede comportarse como una
especie precisamente de inteligencia colectiva.
Los algoritmos basados en SI se encuentran entre los más populares y
ampliamente utilizados. Hay muchas razones de tal popularidad, una de las
razones es que los algoritmos basados en SI normalmente comparten
información entre múltiples agentes, de modo que se autoorganizan, y
aprenden durante cada iteración. Entre los algoritmos más conocidos de esta
clasificación se encuentran:
Optimización basada en colonias de hormigas
Colonia artificial de abejas
Optimización basada en enjambre de abejas
Algoritmo de enjambre de partículas
Una lista más completa de algoritmo puede ser vista en [12].
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2.4.2 Basados en Física y Química
No todos los algoritmos metaheurísticos son bio-inspirados, debido a que sus
fuentes de inspiración a menudo provienen de la física y la química. Para los
algoritmos que no son bio-inspirados, la mayoría se han desarrollado mediante
la imitación de ciertas leyes físicas y / o químicas, incluyendo las cargas
eléctricas, la gravedad, los sistemas fluviales, etc.
Entre algunos ejemplos podemos mencionar:
Hoyo negro [19]
Optimización de la fuerza central [20]
Optimización electro-magnética [21]
Búsqueda gravitacional [22]
2.4.3 Otros algoritmos:
Cuando los investigadores desarrollan nuevos algoritmos, algunos pueden
buscar inspiración fuera de la naturaleza. En consecuencia, algunos algoritmos
no son bio-inspirado o basado en la química-física /, a veces es difícil ubicar a
algunos algoritmos en las tres categorías, debido a que ellos se han
desarrollado mediante el uso de varias características de diferentes fuentes,
como social, emocional, etc.
Podemos mencionar:
Optimización basada en anarquía de la sociedad [23]
Brain Storming Optimization. [5]
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2.4.4 Algoritmos Evolutivos
Los Algoritmos Evolutivos (EAs) se han popularizado como métodos robustos y
efectivos para la resolución de problemas de optimización. Un algoritmo
evolutivo de basa en una población, cada individuo dentro de esa población
representa una solución en potencia al problema.
Emulando el proceso de selección natural, el cual asegura la supervivencia del
más fuerte o mejor adaptado, un algoritmo evolutivo tiene mecanismos para
asegurarse que a través de las generaciones los mejores individuos sean los
sobrevivientes. Para determinar si un individuo es mejor que otro, se evalúa
cada uno de acuerdo a la función objetivo del problema, dando como resultado
un valor llamado “aptitud”, así que el individuo con la mejor aptitud (mayor o
menor, según el problema sea de maximización o minimización
respectivamente) será el elegido.
Estos algoritmos cuentan con operadores de variación como la recombinación y
mutación, cuyo objetivo es ir refinando la búsqueda de una solución, de manera
que la población se dirige hacia áreas que representen mejor soluciones a un
problema.
Los algoritmos evolutivos más populares son: la programación evolutiva (Fogel,
1962), los algoritmos genético (Holland, 1975), estrategias evolutivas
(Rechenberg, 1973), y la programación genética (Koza, 1992), los cuales han
sido inspirados en la evolución biológica. [5]
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A continuación se muestra la Figura 2.1 que incluye el diagrama de flujo del
comportamiento general de los algoritmos evolutivos y que de alguna manera
engloba el funcionamiento de un algoritmo bio-inspirado.
Figura 2.1 Diagrama de flujo del comportamiento de un algoritmo evolutivo.
GENERAR NUEVA
POBLACIÓN
CRITERIOS DE
OPTIMIZACIÓN
ALCANZADOS?
SOLUCIÓN
INICIO
POBLACIÓN INICIAL
EVALUACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
MEJOR INDIVIDUO
SELECCIÓN
COMBINACIÓN /
MUTACIÓN
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3. Mecanismos de cuatro Barras
El presente capítulo aborda los puntos más importantes para
comprender el problema mecatrónico planteado en el presente
trabajo. Contiene su modelo matemático así como sus diagramas
correspondientes. Se han tomado los elementos más relevantes a
modo de dar un contexto del problema. Para una lectura más a
detalle consultar [16]
En esta sección se describe brevemente el enfoque dinámico de diseño para un
mecanismo de cuatro barras del tipo Manivela-Biela-Balancín (MBB) el cual
tiene acoplado un motor de corriente directa (C.D.) al eje de entrada.
El mecanismo de cuatro barras, en sus diferentes configuraciones, es uno de
los mecanismos más utilizados en la maquinaria industrial. Una de las
principales suposiciones en el diseño de dicho mecanismo es la que establece
que su velocidad angular de entrada es constante, lo que no siempre se cumple
cuando un motor de C.D. es el elemento impulsor del sistema [14]. Lo anterior
se puede explicar cuando se estudia el ciclo de trabajo del mecanismo de
cuatro barras, en cada ciclo se tienen posiciones en las que la inercia del
mecanismo varía tales como: posiciones de volquete, posiciones de máximo y
mínimo ángulo de transmisión o posiciones de bloqueo debido a ajustes
imprecisos en las articulaciones de los eslabones [15]. En dichas posiciones, la
carga “vista” por el motor de impulsión varía y por consecuencia también
cambia el par aplicado por el motor al sistema mecánico. Por lo tanto,
implementar un sistema de control que regule la velocidad de entrada al
sistema mecánico es de gran importancia para el buen funcionamiento del
Página 25
mismo, no olvidando que la salida del sistema debe cumplir con los
requerimientos para los cuales se diseñó dicho sistema mecánico.
A continuación se presentan las funciones objetivo y restricciones del sistema
MBB de manera general, sin embargo, se puede consultar a detalle en el
reporte [16]. En la Figura 3.1 es presentado el Modelo esquemático de un
mecanismo de MBB, donde:
Figura 3.1. Modelo esquemático de un mecanismo de MBB.
y i son los círculos sombreados que indican la posición de los centros de
masa de cada eslabón.
mi y Ji representan la masa y el momento de inercia con respecto al
centroide del i-ésimo eslabón respectivamente.
Li representa la longitud del eslabón.
i es la coordenada para el eslabón en cuestión.
k y C Representan a un resorte torsional y a un amortiguador con
constantes de rigidez y amortiguamiento respectivamente, y son los
Página 26
elementos de carga del mecanismo.
Figura 3.2 Modelo esquemático de un motor de C.D.
La Figura 3.2 muestra el esquema de un motor de C.D. con caja de engranes
en la salida del mismo. Los parámetros descriptivos del sistema eléctrico son:
L y R representan la inductancia y la resistencia de armadura
respectivamente,
i(t) es la corriente de entrada
u(t) es el voltaje de entrada.
J es el momento de inercia combinado debido al eje de salida y a la
caja de engranes de salida,
B representa el coeficiente de amortiguación viscosa debido a
posibles fricciones de los rodamientos,
TL es una carga mecánica constante debida a la fricción en las
escobillas, fricción entre engranes o fricción seca en los
rodamientos.
Tm y Vb Representan al torque magnético y a la fuerza electromotriz del
motor, respectivamente.
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Con el propósito de establecer el problema de diseño óptimo como un problema
de optimización, sea el vector de variables de diseño:
Por lo tanto el problema del MBB consiste en optimizar:
[ ]
Con 2 funciones objetivos que se optimizan de manera separada ( )
donde:
es el desplazamiento del balancín y se requiere un valor lo más grande
posible para maximizar la transferencia de energía del motor de entrada
hacia el mecanismo de cuatro barras.
Donde:
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Donde y se calculan de acuerdo a la configuración del mecansmo
de cuatro barras:
Caso a) :
* (
)+
* (
)+
Caso b) :
(
)
(
)
Caso c) :
* (
)+
* (
)+
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es la función de mérito para calidad de funcionamiento (Angulo de
transmisión) cuyo valor óptimo es lo más cercano a 90° a lo largo de
toda la trayectoria.
(
)
(
)
Sujeto a:
Dónde:
*
+
*
+
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4. Algoritmo Brain Storm Optimization
(BSO)
Resumen: En los últimos años, se han desarrollado diversos
algoritmos basados en poblaciones con el fin de resolver problemas
de optimización. En este trabajo, se ha elegido un novedoso algoritmo
de optimización basado en la técnica grupal lluvia de ideas. Los
resultados experimentales muestran al BSO como un algoritmo muy
prometedor [9]. En este capítulo se analizará a detalle tal algoritmo.
Cuando un individuo tiene dificultades para resolver un problema, una de tantas
posibles opciones para encontrar una solución es recurrir a un grupo de
personas (preferentemente con área de conocimiento diferentes) y realizar una
tormenta o lluvia de ideas y es altamente probable que gracias a esta técnica,
se pueda encontrar una solución al problema planteado. Inspirado en este
proceso humano de generar ideas se propone en el año 2011 el algoritmo de
optimización Brain Storm Optimization [10].
4.1 Proceso de Lluvia de ideas
El proceso de lluvia de ideas es una técnica creativa ampliamente conocida de
la que se ha valido el ser humano para generar ideas de manera interactiva. El
“brainstorming”, también llamado lluvia, tormenta o torbellino de ideas fue
creado por Alex Osborn en los años 30 y publicado años después.
El objetivo principal de esta técnica es generar tantas ideas como sea posible
en un determinado tiempo, estas ideas se registran o consideran incluso
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aunque algunas de ellas pudieran parecer poco viables. En la Tabla 4.1 se
enlistan los pasos del proceso de lluvia de ideas.
Paso 1 Reunir un grupo de personas con áreas de conocimiento lo
más variado posible, con el fin de recopilar ideas diversas.
Paso 2 Generar el mayor número de ideas posibles respetando las
reglas de la Tabla 4.2.
Paso 3 Algunas personas, 3 ó 5 por ejemplo actuarán como
propietarios del problema, y cada uno elegirá una idea que
considera “mejor”.
Paso 4 Usar las ideas elegidas en el paso 3 y utilizarlas como punto
de partida para generar nuevas ideas, respetando una vez
más las reglas de la Tabla 4.2.
Paso 5 Una vez más los “propietarios” elegirán las mejores ideas, al
igual que en el paso 3.
Paso 6 Seleccionar un objeto al azar y utilizar sus funciones y
características como pistas, generar más ideas de acuerdo a
las reglas de la Tabla 4.2
Paso 7 Una vez más los “propietarios” elegirán las mejores ideas, al
igual que en el paso 3.
Paso 8 En este punto se habrá obtenido una buena solución
considerando o mezclando las ideas surgidas.
Tabla 4.1 Pasos en el proceso “Brainstorming”
La operación de recoger un objeto en el Paso 6 sirve para la generación de
ideas diversas. Puede ayudar al grupo de intercambio de ideas para apartarse
de las ideas generadas con anterioridad, por lo tanto, para evitar ser atrapado
por las ideas generadas previamente. Como consecuencia, el grupo de
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intercambio de ideas será más abierto de mente y generará más ideas
diferentes [10].
Los propietarios de problemas sirven para un propósito diferente. Al elegir
varias buenas ideas de las ideas generadas hasta ahora, los propietarios
buscan hacer que el grupo de participantes preste más atención a las mejores
ideas. Las ideas seleccionadas funcionan como puntos de atracción en el
proceso de generación de ideas.
Cabe hacer énfasis en dos operaciones muy importantes presentes en el
proceso de lluvia de ideas: divergencia y convergencia. “Brainstorming” le da
más peso a la cantidad que a la calidad, debido a que se utiliza como un
proceso divergente que estimula la creatividad y la innovación, para después
transformarse en un proceso convergente en el que las ideas generadas se
agrupan, se priorizan y son evaluadas.
Para garantizar la espontaneidad, que todas las alternativas posibles fluyan y
exista retroalimentación en el grupo, es de vital importancia apegarse a las
reglas presentadas en la Tabla 4.2 al momento de generar ideas:
Regla 1 Suspender críticas. No hay malas ideas.
Regla 2 Toda idea es bienvenida.
Regla 3 El desarrollo y combinación de ideas es deseable.
Regla 4 La cantidad es fundamental
Tabla 4.2 Reglas de Osborn para la generación de ideas en el proceso Brainstorming
Página 33
4.2 Algoritmo Brain Storm Optimization
Como se mencionó en la Sección 4.1, la técnica de lluvia de ideas plantea que
los participantes generen tantas ideas diversas como sea posible, en el
algoritmo BSO todas esas ideas generadas conforman a la población y cada
idea es una solución potencial al problema.
Como en cualquier otro algoritmo basado en población, el algoritmo BSO
comienza con la inicialización de la población n, para efectos de simplicidad, el
número de la población se mantiene constante en cada iteración. El proceso de
iteración comienza después de este punto.
Cada idea será evaluada de acuerdo a la función objetivo del problema
planteado, para posteriormente ser agrupadas en clusters utilizando el método
k-means, las mejores ideas son elegidas como centroides de cada cluster.
Después empieza el proceso de reemplazo, primero de un centroide y
posteriormente de todas y cada una de las ideas.
Esta mecánica - evaluación, agrupamiento y reemplazo – se estará repitiendo
hasta alcanzar la condición de paro previamente definida, ya sea un
determinado número de iteraciones o de evaluaciones. Finalmente la mejor idea
es elegida como la solución obtenida para el problema. [9]
El algoritmo BSO se compone de cuatro operadores básicos: inicialización de la
población, proceso de clustering, alteración de centroides y actualización de
Página 34
individuos. A continuación se describirá cada operador y se presenta en la
Figura 4.1 un diagrama de flujo del proceso básico del algoritmo BSO:
Figura 4.1 Diagrama de flujo del algoritmo BSO.
Iteración = 1
Inicialización de la población
Proceso de Clustering
Alteración de centroides
Actualización de individuos
INICIO
Iteración = Iteración + 1
Iteración <
MAX
FIN
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4.2.1 Inicialización de la población
A partir de la similaridad de los casos en la mayoría de los algoritmos basados
en la inteligencia colectiva, una idea dentro de la población se representa por un
vector, el cual es inicializado aleatoriamente con una distribución uniforme
dentro del espacio de solución (tomando en cuenta las restricciones) a través
de la siguiente fórmula:
Dónde:
y son los valores máximos y mínimos de la variable de
diseño
es un valor aleatorio uniformemente distribuido entre 0 y 1
Cada idea entonces es evaluada por la función objetivo, dando como resultado
un valor de aptitud, el cual indica la calidad de esta idea para ser considerada
como una solución competitiva al problema
4.2.2 Clustering
Clustering significa agrupar una serie de datos en conjuntos de objetos
similares, ya sea por sus funciones o atributos. Cada grupo llamado cluster
consiste en elementos que son similares entre ellos y diferentes a los objetos de
otros grupos[13].
)( minmaxmin
jjjj xxxx
maxxminx
x
Página 36
Formar clusters aporta simplicidad en el modelado de datos y desempeña un
papel importante en el descubrimiento de conocimiento y minería de datos,
tareas que requieren de una rápida y precisa partición de grandes grupos de
datos.
El número de clusters elegidos equivale al número de propietarios en el proceso
de lluvia de ideas, mientras que determinar el centroide de cada cluster se
equipara con la elección de los propietarios de lo que ellos consideren la mejor
solución.
4.2.3 Alteración de centroides
La alteración de centroides consiste elegir aleatoriamente un cluster, se toma su
centroide y se reemplaza por un nuevo individuo generado al azar. Cabe
resaltar que esta operación sólo se llevara a cabo cuando se cumpla una regla
que se verá más adelante al analizar a detalle todos los pasos del algoritmo
BSO.
4.2.4 Actualización de Individuos
Este paso irá tomando diversos caminos dependiendo de valores que se van
generando aleatoriamente, se establecen al principio del algorimo ciertos
parámetros y entonces se van comparando los valores aleatorios con estos
parámetros, lo que da resultado diversas combinaciones que pueden originar al
nuevo individuo:
Se trabaja con un sólo cluster (su centroide o un individuo al azar del
cluster)
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Se trabaja con dos clusters (la combinación de sus centroides o la
combinación de dos individuos al azar)
Después se agregan valores aleatorios, ruidos Gaussianos para ser exactos,
para generar individuos nuevos. La creación de un nuevo individuo se puede
representar por:
Dónde:
es la idea nueva
es la idea seleccionada para generar una nueva
es un vector con la función aleatoria Gaussiana con
desviación μ y varianza σ
es la contribución de cada valor del vector de números
aleatorios Gaussianos.
Para propósitos del algoritmo se calcula con la siguiente fórmula:
Dónde:
es la función de transferencia del logaritmo
sigmoide
es el máximo número de iteraciones
es la iteración actual
es el salto de paso elegido para el algoritmo
es un número aleatorio entre 0 y 1.
),(* nxx selectednew
()*)/)_max_*5.0((log randkiterationcurrentiterationsig
newx
selectedx
),( n
siglog
iterationmax_
iterationcurrent _
k
()rand
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En la Tabla 4.3 se definen todos los pasos a seguir en el algoritmo Brain Storm
Optimization donde se ha agregado la tercera columna a la tabla que indica la
correspondencia de cada paso con los pasos del proceso de lluvia de ideas
mostrado en la Tabla 4.1.
Paso 1
Inicialización
Generar aleatoriamente n soluciones potenciales ( ideas)
Paso 2
Agrupamiento
Agrupar n ideas en m clusters Equivalen al
propósito de los
pasos 3, 5 y 7
que es
seleccionar las
mejores ideas.
Paso 3
Evaluación
Evaluar las n ideas
Paso 4
Elección de
Centroides
Calificar las ideas y registrar las mejores como centro de
cada cluster.
Paso 5
Alteración de
centroide.
Generar aleatoriamente un valor entre 0 y 1.
a) Si el valor es más pequeño que una probabilidad pre determinada p5a : i. Aleatoriamente seleccionar un cluster. ii. Generar una nueva idea al azar que
reemplazará al centroide del cluster elegido.
Simula al paso
6, se asegura
la exploración
de áreas
nuevas.
Paso 6
Alteración de
individuos.
Para crear nuevos individuos:
a) Generar aleatoriamente un valor entre 0 y 1. b) Si el valor es menos que una probabilidad pre
determinada p6b i. Aleatoriamente seleccionar un cluster con
una probabilidad p6bi. ii. Generar un valor aleatorio entra 0 y 1. iii. Si este valor es menor que una probabilidad
predeterminada p6bii: 1. Seleccionar el centroide del cluster y
agregarle ruidos gaussianos para generar una nueva idea.
iv. De otro modo seleccionar al azar una idea
del cluster y agregar ruidos gaussianos para crear una idea nueva.
c) En caso contrario seleccionar dos clusters para trabajar. i. Generar un valor aleatorio. ii. Si este valor es menor que una
probabilidad pre determinada p6c, se combinarán los centroides de los dos cluster seleccionados y se les agregarán ruidos para generar una nueva idea.
Equivale la
generación de
ideas de los
pasos 2, 4 y 6
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iii. En caso opuesto elegir al azar una idea de cada cluster, se combinarán y posteriormente se les agregarán ruidos gaussianos para crear una nueva idea.
d) La idea nueva es evaluada y comparada con la existente, la mejor será guardada y la otra es eliminada.
Paso 7 Si se han generado n individuos nuevos, pasar al paso
siguiente, de otra manera, regresar a paso 6.
Paso 8 Si existe un número de iteraciones máximas y éste ha sido
alcanzado, se da por terminado el algoritmo; de otra
manera, regresar al paso 2.
Tabla 4.3 Pasos del algoritmo BSO.
Como se puede apreciar dentro de la Tabla 4.3., en 6.b y 6.c respectivamente,
una nueva idea puede ser inspirada en una sola idea existente o en una
combinación de dos ideas. Aunque en la vida real una solución podría ser
generada a partir de dos o más soluciones propuestas, el algoritmo solo
considera la combinación de dos de ellas para mantenerlo simple sin que tenga
un impacto en su eficiencia.
Al igual que en el proceso de lluvia de ideas, en el algoritmo de optimización
BSO se identifican las operaciones de divergencia en la actualización de
individuos y convergencia al crear los clusters, que son las dos operaciones
básicas implementadas en cada iteración [9].
La probabilidad mencionada en el paso 6.b.i es proporcional al número de
individuos en el cluster, es decir entre más individuos se encuentren agrupados
en un cluster, éste tendrá más probabilidad de ser seleccionado.
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5. Metodología y Diseño de
Experimentos
En este capítulo se presenta el procedimiento llevado a cabo para la
obtención de los resultados que se muestran en el apartado
correspondiente. Se eligió el lenguaje de programación java para
implementar el algoritmo BSO y se creó una función correspondiente
a cada paso del algoritmo.
Retomando el capítulo tres, que describe el funcionamiento de un mecanismo
de cuatro barras del tipo MBB, se enfatiza que lo que se pretende optimizar por
separado son dos funciones mérito, una de maximización correspondiente a la
generación de movimiento:
y una más para la calidad de funcionamiento :
(
)
(
)
Cabe resaltar que ambas funciones se han tratado de manera individual, es
decir se ha implementado el algoritmo BSO de manera independiente para cada
uno de ellos, dando como resultado dos programas en los que las diferencias
observadas consisten en la función empleada para evaluar la aptitud de cada
solución y en la manera de elegir la mejor idea al compararla con otra, en un
programa se elige la mayor mientras que en el otro la menor.
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5.1 Valores Iniciales
Para el propósito de validar la eficacia y utilidad del algoritmo propuesto BSO,
en este documento, se ha utilizado un conjunto de parámetros iniciales
sugeridos en [10], los cuales se fueron calibrando de manera manual para la
obtención del mejor resultado; el único parámetro alterado desde el comienzo
es el máximo número de iteraciones, que ha sido reemplazado por el número
máximo de evaluaciones, mientras que el primero cuenta el número de
generaciones evaluadas, el segundo contabiliza la evaluación de cada solución
de manera individual. El conjunto de parámetros iniciales se listan en la Tabla
5.1:
n
m Evaluación
Máxima
µ
100 5 0.2 0.8 0.4 0.5 20 50,000 0 1
Tabla 5.1 Conjunto de parámetros iniciales para el algoritmo BSO.
Donde
n es el tamaño de la población, es decir el número de
ideas con las que se trabajará
m es el número de clusters en los que se agrupará la
población
, ,
y
son las probabilidades que se utilizan en los pasos
, , y respectivamente del algoritmo BSO
es el salto de paso utilizado para modificar cada
idea
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Evaluación Máxima es el número máximo de evaluaciones y por lo tanto
la condición de paro del algoritmo
µ y σ son la media y la varianza empleados en la función
gaussiana
5.2 Procedimiento Realizado
Como se mencionó en el Capítulo 4, el primer paso es la inicialización de la
población o conjunto de ideas, el concepto de población se refiere al conjunto
de soluciones potenciales y, cada solución a su vez, está conformada por un
vector de variables de diseño, retomando una vez más el capítulo tres, el vector
de variables de diseño es:
Por lo tanto cada idea o solución contiene cinco valores, de los cuales cuatro
corresponden a las longitudes de los eslabones y el quinto representa el ángulo
de transmisión.
Los cinco valores, son creados al azar con una distribución uniforme pero
respetando las restricciones de diseño del problema MBB, y así a través de las
iteraciones del algoritmo, cada idea se irá evaluando, comparando y
modificando, prevaleciendo siempre las mejores. En la Tabla 5.2 se muestra
una población inicial conformada por 10 ideas a manera de ejemplo:
Página 43
L1 L2 L3 L4 ϴ1
Idea 1 0.2794673048 0.0878704052 0.2573591906 0.1232602764 -0.1111583758
Idea 2 0.2981377429 0.3504121817 0.2984285506 0.4185568358 -0.6908904402
Idea 3 0.2042088396 0.1426708879 0.4318334500 0.1644453398 -0.3567284782
Idea 4 0.1042788092 0.0980779500 0.4089662154 0.4980388154 -0.0894746227
Idea 5 0.4700919755 0.1220947158 0.1460646155 0.4292798053 -0.7662183467
Idea 6 0.1314028793 0.2797982744 0.4115757266 0.1856829238 0.6798111118
Idea 7 0.1930142010 0.1055750120 0.4737310044 0.0857538024 -0.1573590726
Idea 8 0.0848756843 0.1398641674 0.1513241291 0.4112656620 -0.7384073765
Idea 9 0.4984497466 0.3036698362 0.3587193824 0.3441162389 0.3614340874
Idea 10 0.1059495896 0.0689321719 0.0676471799 0.1701527171 -0.4170782173
Tabla 5.2 Ejemplo de una población inicial (conjunto de ideas).
A continuación se procede a evaluar cada idea para obtener su aptitud y así
poder seleccionar las mejores como centroides de cada cluster, se
seleccionarán tantos centroides como se haya definido el parámetro m al inicio
del algoritmo.
Cabe mencionar que el algoritmo BSO fue diseñado para resolver problemas de
optimización sin restricciones, y considerando que los dos problemas a
resolverse incluyen restricciones, se agregaron los siguientes criterios para
comparar ideas (soluciones) [25] :
Entre dos ideas factibles, la que tenga mejor valor en la función de mérito
es seleccionada.
Entre una idea factible y otra no factible, se selecciona a la idea factible.
Entre dos ideas no factibles, la que tenga menor suma de violación de
restricciones es seleccionada.
Página 44
Las funciones mérito se encuentran codificadas en el lenguaje MATLAB, por lo
que fueron incluidas en una librería que se agregó al proyecto en Java para
poder invocar dichas funciones.
Una vez hecho ésto, y con el fin de colocar el resto de las ideas dentro del
cluster correspondiente, se calcula la distancia de las ideas a cada uno de los
centroides, el cluster más cercano será al que pertenece la idea. A manera de
ilustración se muestra la Figura 5.2 que representa un conjunto de datos
agrupados en tres clusters de diferentes colores, el punto negro es el centroide
cada cluster.
Figura 5.1 Datos agrupados alrededor de tres centroides.
Ya que se han conformado los clusters, se puede continuar con la alteración de
centroides, este paso depende de que se cumpla la condición 5a, por lo tanto
habrá iteraciones en las que se lleve a cabo y algunas en las que se omita.
Página 45
La alteración de individuos es un paso que siempre se lleva a cabo, siguiendo el
flujo del algoritmo BSO en algunas ocasiones se toma una idea y se modifica,
también habrá casos donde se combinen dos ideas creando una solución
temporal que será modificada. En ambos casos, la nueva idea se compara con
la original y se conserva la mejor evaluada. Esto se hace con todas y cada una
de las ideas de la población y cada evaluación es contabilizada, ya que este
contador es la condición de paro del algoritmo. Después de evaluar cada idea,
la población ya no es la misma, así que se vuelve a iniciar el proceso de
clustering y todos los pasos subsecuentes hasta llegar al número de
evaluaciones máximas, dónde se espera obtener una solución satisfactoria al
problema.
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6. Resultados y Discusión
En esta sección se muestran los resultados obtenidos por el algoritmo
BSO. Se ha realizado un análisis del impacto de la calibración
(aumento/disminución) de cada parámetro en los resultados, lo cual
ha permitido manipularlos con la intención de elegir un conjunto de
parámetros que brinde un mejor desempeño del algoritmo.
.
El algoritmo se ejecutó treinta veces con cada conjunto de parámetros, se eligió
ese número de ejecuciones porque es el usualmente adoptado para comparar
algoritmos bio-inspirados. Se analizaron los cambios que provoca el aumento o
disminución en cada uno de los parámetros, a modo de calibrar el algoritmo y
obtener un mejor resultado.
Al final de cada ejecución el algoritmo ofrece una mejor solución encontrada,
esta solución fue almacenada y así sucesivamente con cada ejecución, de
estas treinta soluciones se identificaba la mejor, la peor y se calcularon algunos
valores estadísticos, como son el promedio, la mediana y la varianza, hasta
finalmente elegir el conjunto de parámetros con los mejores resultados y cuyo
comportamiento además fue bastante robusto, es decir, todas las ejecuciones
brindaron un resultado estable. Todas las soluciones obtenidas fueron factibles
y la varianza fue menor que con otros conjuntos de parámetros.
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6.1 Resultados
Después de haber calibrado manualmente los parámetros, se seleccionaron
aquellos que brindaron un mejor resultado, el conjunto de parámetros se
muestra a continuación en la Tabla 6.1:
Tabla 6.1 Conjunto de parámetros con los que se obtuvieron mejores resultados.
Una razón más para elegir estos parámetros es que permitieron que el
algoritmo se comportara de manera robusta, es decir, a lo largo de todas las
ejecuciones, la varianza entre la función de aptitud en cada ejecución ha sido
menor que con otro conjunto de parámetros.
Después de resolver el primer problema de optimización con los parámetros de
la Tabla 6.1, se obtuvieron las soluciones que se presentan en la Tabla 6.2.
Evaluaciones: 50000
K: 30
p5a: 0.65
p6b: 0.75
p6bii: 0.25
p6c: 0.4
ideas: 100 y clusters: 5
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Tabla 6.2 Conjunto de resultados obtenidos en el primer problema de optimización (maximización). Todas las soluciones son factibles. El mejor resultado obtenido se encuentra en color rojo.
Corrida p1 p2 p3 p4 teta1 f.obj
1 0.49996415 0.124819829 0.49996421 0.21953928 -0.1881153 1.52053038
2 0.46347742 0.123933391 0.46347751 0.22550996 -0.21167712 1.42191928
3 0.46091618 0.111196204 0.46091623 0.19287495 -0.17791621 1.56356607
4 0.39700076 0.101327318 0.39700078 0.1800021 -0.19511195 1.49070873
5 0.48397725 0.127270547 0.48397758 0.22947229 -0.20543627 1.44764042
6 0.42844804 0.120086323 0.42844811 0.22517251 -0.23160797 1.34159132
7 0.45978372 0.12749509 0.45978375 0.23728001 -0.22671115 1.36106859
8 0.4749513 0.104158453 0.47495142 0.17503666 -0.15329553 1.66789879
9 0.40958773 0.05661672 0.40958778 0.0874589 -0.08376817 1.99910696
10 0.48678905 0.099204887 0.4867891 0.16352404 -0.13727202 1.73634607
11 0.49167138 0.112430002 0.49167154 0.19133391 -0.16412781 1.62529688
12 0.48173922 0.134685255 0.48173928 0.25209515 -0.23044261 1.34621159
13 0.49670925 0.123901707 0.49670933 0.21790432 -0.18715736 1.52073309
14 0.4700652 0.09073854 0.47006521 0.14776836 -0.1259499 1.78128563
15 0.49496222 0.136188001 0.49496233 0.25215236 -0.22330523 1.37470965
16 0.43190159 0.115353302 0.43190161 0.20975667 -0.2112216 1.42378568
17 0.49999325 0.127871179 0.49999332 0.2273697 -0.19578697 1.48793008
18 0.47859701 0.135691878 0.47859701 0.25661985 -0.23713764 1.31979185
19 0.3516045 0.086338741 0.35160464 0.15080266 -0.18316836 1.54188366
20 0.45066818 0.120635821 0.45066837 0.21964264 -0.21208246 1.42023851
21 0.42283574 0.084524998 0.42283585 0.1386457 -0.1350944 1.75446002
22 0.46331076 0.105918246 0.46331086 0.18034133 -0.16214145 1.62347911
23 0.48935879 0.137378933 0.48935885 0.25789736 -0.23236344 1.33860088
24 0.47221509 0.118868281 0.47221514 0.20983006 -0.19067473 1.5095853
25 0.49543631 0.114179056 0.49543634 0.19481463 -0.16601054 1.61670707
26 0.48349379 0.097632102 0.48349385 0.16052787 -0.13688835 1.74564439
27 0.4984191 0.131594687 0.49841926 0.23777573 -0.20690043 1.4415888
28 0.43316221 0.113190531 0.43316237 0.20341391 -0.20317157 1.45705526
29 0.41131106 0.108663465 0.41131114 0.1964077 -0.20712187 1.44063926
30 0.48607084 0.130699144 0.48607087 0.23858263 -0.21383807 1.41307524
Página 49
Finalmente, en la Tabla 6.3 se muestran las estadísticas obtenidas de los
resultados de la Tabla 6.2.
Tabla 6.3 Datos estadísticos obtenidos del conjunto de resultados de la Tabla 6.2 para el primer problema de optimización (maximización).
Para el problema de minimización se utilizaron los mismos parámetros que para
el problema de maximización, lo que muestra la baja sensibilidad del algoritmo
al resolver diferentes instancias del problema mecatrónico (ver Tabla 6.1).
En la Tabla 6.4 se presentan los resultados de las ejecuciones del problema de
minimización.
Mejor 1.999106961
Peor 1.319791852
Promedio 1.524435952
Mediana 1.489319404
Varianza 0.025020211
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Tabla 6.4 Conjunto de resultados obtenidos en el segundo problema de optimización (minimización). Todas las soluciones son factibles. El mejor resultado obtenido se encuentra en
color rojo.
A continuación se muestran en la Tabla 6.5 las estadísticas derivadas de las
ejecuciones de la función de minimización.
Corrida p1 p2 p3 p4 teta1 f.obj
1 0.49957044 0.050000087 0.49957045 0.2741357 -0.27853271 0.22228729
2 0.49999777 0.050000059 0.49999778 0.24276056 -0.24517297 0.20668106
3 0.49871239 0.050000063 0.49871246 0.26513622 -0.26947672 0.21723212
4 0.49999999 0.050000035 0.49999999 0.22327689 -0.21566097 0.2036936
5 0.49999985 0.050000003 0.49999995 0.26497184 -0.2686038 0.21637024
6 0.49999965 0.050000085 0.49999967 0.24437835 -0.24687766 0.20717707
7 0.49935732 0.050000056 0.49935733 0.23589511 -0.23822604 0.20527493
8 0.49750936 0.050000011 0.49750938 0.26611714 -0.27117296 0.21853002
9 0.49999149 0.050000112 0.49999152 0.2945144 -0.29989757 0.23756508
10 0.46014432 0.050000077 0.46014434 0.21385108 -0.22433752 0.22172524
11 0.47732117 0.050000031 0.47732117 0.21750152 -0.22491332 0.21358014
12 0.4999998 0.050000025 0.49999982 0.22280415 -0.21759964 0.20369625
13 0.48069561 0.050000039 0.48069566 0.21992983 -0.22637558 0.21205322
14 0.49999958 0.050000042 0.49999961 0.23942679 -0.24165889 0.20576926
15 0.48472891 0.050000011 0.48472894 0.25973039 -0.27141944 0.22267784
16 0.49999943 0.05000009 0.49999952 0.30777783 -0.31400318 0.24970236
17 0.49983428 0.050000047 0.49983438 0.29196567 -0.29728563 0.23552279
18 0.47058721 0.050000054 0.47058724 0.24472775 -0.26276552 0.22353916
19 0.49999983 0.050000076 0.49999987 0.24469324 -0.24711257 0.20727781
20 0.4999998 0.050000002 0.49999983 0.22307318 -0.21704992 0.20369425
21 0.49999983 0.050000048 0.49999985 0.2606946 -0.26408643 0.21404775
22 0.49038675 0.050000012 0.49038676 0.23103015 -0.23470877 0.20859907
23 0.49548322 0.050000097 0.49548323 0.21353513 -0.20664979 0.20629629
24 0.46670755 0.050000039 0.46670759 0.21650421 -0.22681096 0.21854341
25 0.49999987 0.050000009 0.49999989 0.22862951 -0.22733258 0.20392717
26 0.49999981 0.050000075 0.49999985 0.24794331 -0.25032961 0.20839438
27 0.49577534 0.050000022 0.49577536 0.22368821 -0.22387079 0.20547865
28 0.4902182 0.050000041 0.49021821 0.23398427 -0.24062562 0.20923772
29 0.49999893 0.050000011 0.49999895 0.23107544 -0.23247348 0.20418947
30 0.49970063 0.050000031 0.49970064 0.26047509 -0.2640136 0.21410559
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Tabla 6.5 Datos estadísticos obtenidos del conjunto de resultados de la Tabla 6.4 para el segundo problema de optimización (minimización).
6.2 Discusión
De acuerdo a los experimentos preliminares realizados para obtener valores
adecuados para los parámetros del algoritmo BSO, pareciera que el valor inicial
k es el que ocasiona un mayor cambio en los resultados. Es importante recordar
que k se relaciona con el salto o tamaño de paso y se traduce en la velocidad
con que el algoritmo converge, es decir la rapidez con la que todas las ideas
(soluciones) comienzan a coincidir.
El tamaño de paso es usualmente un parámetro sensible en los algoritmos bio-
inspirados y parece ser que para BSO también se presenta tal fenómeno. Lo
que parece funcionar mejor es promover valores de k que favorezcan tamaños
de paso pequeños y acotados por los límites inferiores y superiores de las
variables de diseño del problema de optimización.
Un aspecto importante a considerar en BSO es el manejo de la diversidad, al
igual que el proceso humano de lluvia de ideas recomienda que participen
personas con conocimientos diferentes que generen el mayor número de ideas
posibles, el algoritmo funcionará mejor cuando las ideas se encuentren
dispersas durante la mayor parte del proceso de búsqueda y en cuanto a la
Mejor 0.203693595
Peor 0.249702362
Promedio 0.214228974
Mediana 0.210645471
Varianza 0.000122274
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modificación de ideas, es preferible combinar las de dos clusters diferentes que
combinar dos ideas del mismo cluster, ya que éstas tienden a ser parecidas.
La probabilidad P5a promueve la diversidad en el algoritmo, pues brinda la
posibilidad de generar un nuevo centroide de manera aleatoria y por lo tanto
trasladar un cluster de un lugar a otro, explorando así áreas nuevas donde
pueda buscarse y en el mejor de los casos encontrarse una solución mejor. Por
lo tanto es recomendable que P5a contenga valores relativamente altos,
recordando que las probabilidades pueden tomar valores entre 0 y 1, el valor
recomendado para P5a es 0.65; un valor más cercano a 1 provocaría el
constante movimiento de los clusters pero sin darles el tiempo necesario para
realizar una explotación satisfactoria de la región analizada.
P6b es el parámetro del que depende si se trabajará con un solo cluster o la
unión de ambos, por lo que representa la posibilidad de combinar ideas de
diferentes clusters, lo cual pareciera ser deseable. Sin embargo, trabajar con un
solo cluster ha brindado mejores resultados en el algoritmo para los problemas
de optimización resueltos en este trabajo de tesis. En contraste con P5a, que se
encarga de encontrar nuevos zonas sin explorar, P6b permite explotar zonas ya
conocidas, incluso combinando información de dos zonas ya exploradas más no
necesariamente explotadas.
P6bii controla la generación de una nueva idea a partir de un centroide o de una
solución aleatoriamente seleccionada de ese cluster. Una vez más, para
promover la diversidad es mejor derivar la nueva idea a partir de la escogida de
manera aleatoria en el cluster, pero que no sea el centroide, por lo cual se
recomienda que esta probabilidad sea baja. El valor seleccionado para el
algoritmo es de 0.25.
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Un valor alto del parámetro P6c indica que se generará una idea nueva a partir
de la combinación de dos centroides. En el caso contrario (un valor bajo)
implica que se usarán dos soluciones escogidas aleatoriamente, una por cada
cluster. Lo recomendable en este caso para favorecer diversidad sería que la
idea nueva se generara a partir de la combinación de dos ideas escogidas
aleatorias, una de cada cluster, por lo que para este parámetro también se
recomienda que tenga un valor bajo.
Como se ha analizado, los valores de los parámetros se enfocaron en promover
la diversidad, es decir la exploración de nuevas zonas para evitar óptimos
locales y así omitir alguna buena solución. Esto lleva a pensar que el algoritmo
BSO, al menos para el tipo de problemas de optimización aquí resueltos, tiende
a converger prematuramente si no se controlan adecuadamente sus
parámetros.
6.3 Comparativa
Con anterioridad, se ha tratado de resolver el problema mecatrónico objeto de
interés en el presente trabajo mediante un algoritmo evolutivo llamado evolución
diferencial [16], obteniendo una aptitud de 1.60251619 en el conjunto de datos
reportado como el mejor obtenido usando también 50,000 evaluaciones. A
continuación en la Tabla 6.7 se presentan los valores sugeridos tanto para las
longitudes de los cuatro eslabones (p1 a p4), como para el ángulo (p5).
Tabla 6.6 Valores Obtenidos con Evolución Diferencial para el problema de maximización.
p1 p2 p3 p4 p5 Func_obj
0.49999999984790 0.11671204534865 0.49999999985041 0.20000000004315 -0.16931779839141 1.60251619195312
Página 54
En cambio BSO ofrece una aptitud de 1.99910696 y sugiere las siguientes
longitudes y ángulo (ver Tabla 6.7):
Tabla 6.7 Valores Obtenidos con BSO para el problema de maximización.
Retomando el Capítulo 3, la función de maximización representa el
desplazamiento del balancín, y precisamente lo ideal es que éste sea lo más
grande posible con el fin de maximizar la transferencia de energía de entrada
del motor, como se puede apreciar en las Tablas 6.6 y 6.7, BSO aporta un
resultado considerablemente mejor que la evolución diferencial.
La aptitud obtenida mediante evolución diferencial para la función de
minimización del problema mecatrónico es de 0.20369337, y las
correspondientes medidas para las longitudes de los eslabones y el ángulo de
dicho problema se aprecian en la Tabla 6.8:
Tabla 6.8 Valores Obtenidos con Evolución Diferencial para el problema de minimización.
Mientras que la aptitud obtenida con BSO es de 0.20369359, en este caso, los
dos algoritmos ofrecen una solución muy similar, por lo que en este caso
particular no se puede decir que uno se comporte mejor que el otro (ver Tabla
6.9).
Tabla 6.9 Valores Obtenidos con BSO para el problema de minimización.
p1 p2 p3 p4 p5 Func_obj
0.40958772876021 0.05661671985166 0.40958778149574 0.08745890030250 -0.08376817167463 1.99910696096319
p1 p2 p3 p4 p5 func_obj
0.50000000000000 0.05000000000000 0.50000000000000 0.22335685188079 -0.21660995419566 0.20369337272871
p1 p2 p3 p4 p5 func_obj
0.49999998507702 0.05000003511475 0.49999998943171 0.22327689282280 -0.21566097005284 0.20369359524221
Página 55
7. Conclusiones y Trabajo Futuro
En este trabajo se implementó el algoritmo BSO para optimizar el diseño de un
mecanismo de cuatro barras. El algoritmo se adaptó para poder resolver dos
problemas de optimización con restricciones usando tres reglas de factibilidad
encontradas en la literatura especializada. Se realizó un análisis empírico para
determinar valores adecuados de los parámetros del algoritmo, donde se
concluyó que tales valores deben apuntar a mantener diversidad en la mayor
parte del proceso de optimización y así evitar caer en óptimos locales.
Finalmente, se compararon los resultados obtenidos contra los reportados por
otros autores usando el algoritmo de evolución diferencial, considerando un
número similar de evaluaciones. De dicha comparación se concluyó que BSO
fue capaz de obtener mejores resultados en el problema de maximización de la
transferencia de energía del sistema e igualar los resultados en el problema de
minimización que tiene que ver con la calidad del funcionamiento del sistema.
Es importante remarcar que evolución diferencial es un algoritmo evolutivo
altamente competitivo, por lo que es meritorio que un algoritmo relativamente
nuevo como BSO provea de resultados iguales, e incluso mejores, con respecto
a los obtenidos con dicho algoritmo evolutivo.
Finalmente, quedan aspectos que no fueron atendidos y que dejan un espacio
abierto para futuros trabajos, tales como la calibración de parámetros con
herramientas especializadas como iRace [24], así como aplicar una técnica
diferente para formar clusters. Finalmente se pretende utilizar diferentes
distribuciones para generar números aleatorios en la conformación de nuevas
ideas.
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