Tema 4: Corrientes Estacionarias

Electricidad y Magnetismo Curso 2010/2011

Tema 4: Corrientes Estacionarias EyM 4-1

J.L. Fernández JambrinaEyM 4-1

Tema 4: Corrientes Estacionarias.

• Definición.

• Comportamiento de los medios.

• Propiedades.

• Concepto de generador, f.e.m.

• Interpretación energética.

• Condiciones de contorno en interfases.

• Resolución de las ecuaciones en conductores.

• Concepto de resistencia.

• Dualidad Resistencia-Capacidad.


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

=⋅∇

=×∇=⋅∇

=×∇ρ=⋅∇

σ=µ=ε=

→ ≠

=∂∂

=∂

∂ρ+⋅∇

∂∂

+=×∇=⋅∇

∂∂

−=×∇ρ=⋅∇

σ=µ=ε=

0

0

00

0

0,

,

,,,0,

,,,,

,,,,,,

rJ

rJrHrB

rErrD

rErJrHrBrErD

Jt

t

trtrJ

t

trDtrJtrHtrB

t

trBtrEtrtrD

trEtrJtrHtrBtrEtrD

rr

rrrrrr

rrrrr

rrrrrrrrrrrr

r

rrr

rrrrrrrr

rrrrrrr

rrrrrrrrrrrr

Corrientes estacionarias: Definición

• Definición:

– No hay variación con el tiempo.

– Se admite el movimiento de cargas que respete la condición anterior.

• Obtención de las ecuaciones:

– Dos juegos de ecuaciones:

» Uno con las corrientes como campo dependiente de unas fuentes.

» Otro con las corrientes como fuente.

– Existe una relación entre ambos juegos de ecuaciones, la fuerza de Lorentz, pero se puede ignorar como se verá al hablar del efecto Hall y la Ley de Faraday.




44444 844444 76r

rrr

rrr444 8444 76

rr

rrriasEstacionar Corrientes

00

ticaElectrosta

0

0=⋅∇

σ=ρ=⋅∇

ε==×∇

=ρ=⋅∇

ε==×∇J

EJD

EDE

JD

EDE

( ) ( ) HBBrJrHrrrrrrr

µ==⋅∇=×∇ 0

Φ−∇=⇔=×∇ EErr

0

Definición (2)

• Ecuaciones de la Magnetostática:

– Se abordarán en el tema siguiente.

• Ecuaciones de las corrientes estacionarias:

– Las ecuaciones del campo eléctrico estacionario son similares a las de la Electrostática.

– Se puede seguir definiendo y utilizando el potencial como en Electrostática:


• Dieléctricos: σ=0, la situación es idéntica a la electrostática:

• Conductores reales:

– Si circula una corriente, existe campo en su interior, no son volúmenes equipotenciales.

– Si son homogéneos, no hay carga en su interior:

• Conductores perfectos:

– Son una idealización de los buenos conductores:

– La corriente puede circular sin necesidad de campo.

– Son equipotenciales:

0

000

0

=ρ=⋅∇

ε==×∇ →=σ

=⋅∇σ=ρ=⋅∇

ε==×∇

JD

EDEJ

EJD

EDErr

rrrr

rrr

rrr

( ) 00 =ρ⇒ρεσ

=⋅∇εσ

=ε

⋅∇σ=⋅∇σ=σ⋅∇=⋅∇= DD

EEJr

rrrr

∞=σ

≠

=

⇒

≠

→0

0

0

0J

E

J

Elim

r

r

r

r

( )∞→σ

cte0 =Φ⇔=Φ−∇=Er

Comportamiento de los medios.




• Las líneas de corriente estacionarias son cerradas:

– Divergencia nula = Líneas de corriente cerradas

» Si existiera una línea abierta de corriente desde V1 hacia V2 , la carga en V1 disminuiría y la de V2 aumentaría: No serían constantes en el tiempo y la situación no sería estacionaria.

0=⋅∇ Jr

Corrientes Estacionarias: Propiedades

V1V2

dQ

dt

1 0<dQ

dt

2 0>

rJ


• En conductores reales no pueden existir corrientes estacionarias bajo la influencia exclusiva de campos estacionarios.

– Si se supone que existe una línea de corriente cerrada en un conductor real y que su origen está en el campo eléctrico, al calcular la circulación del campo eléctrico a lo largo de ella (en el sentido de la corriente):

– Contradicción:

» Si existe esa línea, el campo no puede ser estacionario.

» Si el campo es estacionario, tal línea no puede existir.

– Consecuencia:

» Hace falta una fuerza con otro origen.

Corrientes Estacionarias: Propiedades

rJ

dlr

C

0000

//

≠×∇⇒>⋅⇒>⋅⇒

σ=

>⋅ ∫ EldEldE

EJ

ldJ

Jld

C

rrrrr

rr

rr

rr




Concepto de fuerza electromotriz.

• Se puede definir un campo eléctrico equivalente que represente a todas las fuerzas aplicadas sobre las cargas:

• La ley de Ohm debe englobar a estas fuerzas:

• Definición:

– f.e.m. es la circulación de la fuerza por unidad de carga a lo largo de un contorno cerrado.

– En situaciones estacionarias las contribuciones de los campos y se anulan:

– Nota: En el resto del capítulo se omite:

Tg EqEBvEqFrrrrrr

=+×+= )(

∫∫ ⋅=⋅=C

T

C

ldEldq

Fmef

rrrr

...

( ) ( ) ( ) ∫∫

⋅=⇒

=⋅×⇒⊥×⇒

⊥×

=⋅⇒=×∇

C

g

C

ldEmefldBvldBv

vBv

ldv

ldEErr

rrrrrrrrr

rr

rrr

...0

||

00

Bvrr

×

TEJrr

σ=

Er

Br


• Normalmente, el campo sólo existe en una región bien delimitada: el generador.

– Dentro del generador el campo eléctrico y el del generador van en sentidos contrarios.

– La integral de la fuerza electromotriz se puedelimitar al interior del generador:

( ) 0

generador

... >⋅=⋅=⋅+=⋅= ∫∫∫∫+

−

48476

rrrrrrrrldEldEldEEldEmef g

C

g

C

g

C

T

rEg

rE

Concepto de generador, f.e.m.

gEr




f.e.m.: Interpretación.

• Si el generador está en circuito abierto (no circula corriente), en el interior del generadorel campo debe ser nulo:

– Calculando la circulación del campo total a lo largo delcontorno de la figura:

• La f.e.m.g. coincide con la diferencia de potencial entre los bornes del generador en circuito abierto.

– El concepto de es más general que su aplicación a los generadores.

– Las unidades de la f.e.m. son los Voltios (V).

I = 0

r rE Eg+

rE

σσσσ = 0

EEEEJ

JgT

T

rrrrr

r

−=⇒=⇒

σ=

≠σ=0

00

−+

+

−

−

+

−

+

+

−

Φ−Φ=⋅−=⋅=⋅+⋅=⋅= ∫∫∫∫∫

48476rr

48476rr

48476rr

48476rrrr

exteriorexteriorexteriorinterior

.... ldEldEldEldEldEgmef TTT

C

T

∫ ⋅=C

T ldEmefrr

...


Interpretación Energética.

• En el tema 2 se vio que la potencia disipada en un volumen es:

• En general representa la conversión de energía de tipo electromagnético en otro:

– Si la carga (positiva) circula de mayor a menor potencial: se desplaza a favor de la fuerza eléctrica que se aplica sobre ella.

» Se produce una disminución de la energía electromagnética.

» Se convierte en calor, energía mecánica, química, ...

– Si la carga (positiva) circula de menor a mayor potencial: se desplaza contra la fuerza eléctrica que se aplica sobre ella.

» Se produce un aumento de la energía electromagnética.

» El aumento se produce a costa de energía mecánica, química, ...

• El resultado es aplicable a otros tipos de fuerzas.

– En el generador, normalmente, , luego se producirá una pérdida de energía del generador. Una entrega de energía al campo electromagnético.

∫∫∫∫∫∫∫∫∫ σ=⋅σ=⋅=VVV

dVEdVEEdVEJ2

disipadaPotenciarrrrr

0>⋅ EJrr

0<⋅ EJrr

0>⋅ gEJrr




Interpretación Energética: (2)

• Dentro de un generador real: ya que σσσσ relaciona la densidad corriente con la fuerza que se ejerce por unidad de carga.

– Luego:

» La potencia disipada o aumento de energía térmica por unidad de tiempo:

» El aumento de energía electromagnética por unidad de tiempo:

» El aumento de la energía del generador por unidad de tiempo:

– Evidentemente se cumple el principio de conservación de la energía:

» La energía entregada por el generador se transforma en energía eléctrica y calor.

( )gT EEEJrrrr

+σ=σ=

0=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

⇔=++ggg

gggV

calor

V

g

V

EM

VcalorVgVEMt

W

t

W

t

WcteWWW

0≥⋅−=∂

∂∫∫∫

gg VV

EM dVJEt

W rr

0≤⋅−=∂

∂∫∫∫

gg V

g

V

gdVJE

t

W rr

( ) 0≥⋅+=∂

∂∫∫∫

gg V

g

V

calor dVJEEt

W rrr


Condiciones de contorno en las interfases.

• Dieléctrico-Dieléctrico:

– Como en Electrostática.

• Conductor-Conductor:

– Es más simple la condición de que la de ,

» Existe una densidad superficial de carga constante en el tiempo.

Medio 1

Medio 2ε µ σ2 2 2

2 2 2 2 2

, ,

, , , ,r r r r rE D H B J

ε µ σ1 1 1

1 1 1 1 1

, ,

, , , ,r r r r rE D H B J

$n

( ) ( )0

0ˆˆ

121

12

2

1212

=Φ−Φρ=∂Φ∂

ε+∂Φ∂

ε−

=−×ρ=−⋅

SSS

SS

SS

S

nn

EEnDDnrrrr

rJ

rD

( ) ( ) ( )00

0ˆ0ˆˆ

121

12

21

12

2

121212

=Φ−Φ=∂Φ∂

σ+∂Φ∂

σ−ρ=∂Φ∂

ε+∂Φ∂

ε−

=−×=−⋅ρ=−⋅

SSSS

S

SS

SSS

S

nnnn

EEnJJnDDnrrrrrr




Condiciones de contorno en las interfases. (2)

• Conductor-Dieléctrico:

– Suponiendo que el conductor es el medio 1:

– Las líneas de corriente no cruzan la interfase:

• Conductor-Conductor Perfecto:

– Dentro del conductor perfecto, medio 1, los campos son nulos y el potencial constante.

( )00

0ˆ0ˆˆˆ

1212

2

12112

=Φ−Φ=∂Φ∂

ρ=∂Φ∂

ε−

=−×=⋅=⋅ρ=⋅

SSS

S

S

SSSS

S

nn

EEnDnJnDnrrrrr

( )

122

2

2122 0ˆ0ˆˆ

Φ=Φρ=∂Φ∂

ε−

=×=−⋅ρ=⋅

SS

S

SSS

S

n

EnJJnDnrrrr

Dieléctrico

Conductor

rJ1

rJ 2 0=

0ˆˆˆ111 =⋅=⋅=⋅

SSSDnEnJnrrr


Condiciones de contorno en las interfases. (3)

• Conductor recubierto de un conductor perfecto.

– Es una aproximación de un conductor recubierto de un conductor mucho mejor.

– La diferencia con el desarrollo conocido es que existe una corriente superficial:

– Por tanto:

σσσσ σσσσ= 0

σσσσ = ∞∆∆∆∆h

rJ


σσσσ = ∞

rJ

rJS

rJ S

∫∫∫∫

∫ ∫∫∫

⋅∇=⋅=⋅∆≈

≈

⋅=⋅

→∆

∆→∆→∆

S

SS

C

lS

C

lh

h C

lh

Sh

dSJdlnJdlnJh

dhdlnJSdJ

latlat

latlat

rrr

rrr

ˆˆlim

ˆlimlim

0

00

( ) 0ˆ12 =⋅∇+−⋅ SS

SJJJnrrr

$n

∆∆∆∆h


σσσσ σσσσ= 2 σσσσ = ∞

Medio 1

Medio 2$nl

$nl




Resolución de las ecuaciones en conductores.

• Existe redundancia debido a que:

– Por la mayor simplicidad de las condiciones de contorno es conveniente resolver primero el sistema:

– Posteriormente puede calcularse y a continuación las densidades de carga.

• Las técnicas son similares a las de Electrostática:

– Se puede utilizar el potencial eléctrico:

– es equivalente a la Ley de Gauss y se puede

aplicar en condiciones similares.

– Además en las interfases dieléctrico-conductor:lo que permite resolver primero el problema delos conductores con independencia del problema de los dieléctricos.

– Esta condición minimiza el efecto de bordes.

00ˆ =∂Φ∂

⇒=⋅S

S nJnr

EJEDrrrr

σ=ε=

EJJErrrr

σ==⋅∇=×∇ 00 rD

00

:0=∆Φ⇒

=⋅∇σ=σ⋅∇=⋅∇

=Φ∇−Φ∃⇒=×∇

EEJ

EErrr

rr

00 =⋅⇒=⋅∇ ∫∫S SdJJrrr


Resolución de las ecuaciones en conductores.

• Teorema de Unicidad:

– La solución en los conductores es única e independiente de la solución en los dieléctricos.

σ

ε

Generador

+

-

+

+=Φ V

S

−

−=Φ V

S

0=∂Φ∂

Scn




• Sea una estructura conductora excitada a través de dos electrodos conductores perfectos.

– Supóngase que como respuesta a una excitación el campo eléctrico es:

– Bajo estas condiciones:

– Si se multiplica la excitación por un factor α, la solución será y:

• Resulta claro que existe una relación de proporcionalidad entre corriente y diferencia de potencial: La resistencia de la estructura

– La resistencia depende de la forma de excitación/conexión.

Er

[ ] S

SS

SAB

b

a

b

a

AB ISdESdJIVVldEldEVV αασαα =⋅=⋅′=′−=⋅−=⋅′−=′−′ ∫∫∫∫∫∫rrrrrrrr

∫∫∫∫∫ ⋅=⋅=⋅−=−SS

S

b

a

AB SdESdJIldEVVrrrrrr

σ

EErr

α=′

AB

AB

BA

BAAB

I

VV

I

VVR

→→

−=

−=


ΦΦΦΦ =VA

ΦΦΦΦ =VB

I A B→

SASB

$n

Concepto de resistencia:


Dualidad Resistencia-Capacidad.

• Si sobre una misma estructura se definen dos problemas equivalentes, uno de capacidad y otro de resistencia, si la relación ε/σ es constante, entonces:

– Si para unas determinadas condiciones de contorno la solución para es :

– Si se cambian los medios de forma que , la solución seguirá siendo ya que las condiciones de contorno serán las mismas a excepción de:

– que se transforma en:

– y sigue siendo la misma.

σε

=RC

AA

SV=Φ

0=∂Φ∂

LatSn

SASB

BB

SV=Φ

σ ,ε,ε,ε,ε

Er,Φ( )rfK

rεε =

( )rfKr

σσ =Er,Φ

011

22 =

∂Φ∂

+∂Φ∂

−SS nn

εε

011

22

11

22

11

22 =

∂Φ∂

ε+∂Φ∂

ε−=

∂Φ∂

ε+∂Φ∂

ε−=∂Φ∂

σ+∂Φ∂

σ−ε

σ

SSSSSS nnnnK

K

nn




Dualidad Resistencia-Capacidad.

• En el caso del condensador:

• En el caso de la resistencia:

• Y, por tanto:

• Este resultado se aplica en el estudio de líneas de transmisión.

σε

σ

ε ==K

KRC

0=∂Φ∂

LatSn

AA

SV=Φ

SASB

BB

SV=Φ

( )rfr

0εε =

AA

SV=Φ

0=∂Φ∂

LatSn

SASB

BB

SV=Φ

( )rfr

0σσ =

( )

∫∫∫

⋅−

⋅=

Φ−Φ=

B

A

S

BS

AS

AS

ldE

SdErfK

QC rr

rrr

ε

( )∫∫∫

⋅

⋅−=

Φ−Φ=

→S

B

A

BS

AS

BS

AS

SdErf

ldE

KIR rrr

rr

σ

1

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