Teknik integrasi

1

TEKNIK PENGINTEGRALAN

Integral Parsial (Integration by parts)

Jika f dan g fungsi differensiabel, maka

Dengan mengintegralkan kedua ruas, menjadi

)(')()(')()()( xfxgxgxfxgxfdx

d

dxxfxgdxxgxfdxxgxfd )(')()(')()()(

)(')()(')()()( dxxfxgdxxgxfCxgxf


Saat integral di ruas kanan menghasilkan konstanta lain, maka dapat dinyatakan

Rumus ini merupakan Integral Parsial.

Misalkan: u = f(x) du = f (x) dx

v = g(x) dv = g(x) dx

Cdxxfxgxgxfdxxgxf )(')()()()(')(

dxxfxgxgxfdxxgxf )(')()()()(')(


Sehingga bentuk tersebut menjadi

Integral parsial untuk integral tertentu:

Contoh: Selesaikan integral

a. b.

duvuvdvu

b

a

b

a

duva

buvdvu

dxex x dxex x2

5

Integral Fungsi Trigonometri

• Bentuk : * Untuk n ganjil, Tuliskan :

dan gunakan identitas

contoh :

* Untuk n genap, Tuliskan :

dan gunakan identitas:

cos & sinn n

x dx x dx

dansinsinsin 1 xxx nn xxx nn 1coscoscos

sin cos2 2

1x x

sin sin sin cos cos cos cos3 2 2 311

3x dx x x dx x d x x x C

xxxxxx nnnn 2222 coscoscosdansinsinsin

cos cos sin2 2 1 1 22 2

x x x

6

Contoh :

Bentuk

a). Untuk n atau m ganjil, keluarkan sin x atau cos x dan

gunakan identitas

b). Untuk m dan n genap, tuliskan

menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan

identitas

Contoh :

cos cos sin2 1

21 2

1

2

1

42x dx x dx x x C

sin cosm n

x x dx

sin cos2 2

1x x

cos cos sin2 2 1 1 22 2

x x x

.

sin cos sin cos sin cos cos cos3 2 2 2 2 2

1x x dx x x x dx x x d x

1

5

1

3

5 3cos cosx x C

sin coscos cos2 2 1 2

2

1 2

2x x dx

x xdx

xx nm cosdansin

7

• Bentuk

Untuk m=0 atau n=0, keluarkan faktor

sehingga didapat :

contoh :

dan1sectan 22 xx

1csccot 22 xx

dxxxdxxx nmnm csccotdansectan

dxxxdxxxdxx mmm 1sectantantantan.1 2222

dxxxxdxxdxx mmm )1(csccotcotcotcot.2 2222

xdxdxxxdxx nnn tansecsecsecsec.3 222

.

?sectan 42 dxxx

duuudxxxxdxxx 1secsectansectan 2222242

1

5

1

3

1

5

1

3

5 3 5 3u u C x x Ctan tan

8

Substitusi Trigonometri

• Fungsi integran memuat

misalkan

Contoh : misalkan

22 xa

tax sin

dxx

x

2

225

tx sin5

.5

sin2525 1

2

2

2

Cx

x

xdx

x

x

9

Fungsi Integran memuat , misalkan

Contoh: misalkan

Fungsi Integran memuat misalkan

Contoh : misalkan x = 5 sec t

22 xa tax tan

92xx

dxtx tan3

22 ax

tax sec

x

xdx

225

Cxx

x

xx

dx

39ln

3

1

9

2

2

Cx

x

5sec525 12

10

Substitusi Bentuk Akar

Fungsi Integran memuat bentuk

misalkan

contoh : misalkan

ax bn

n baxu

dx

x2 2

dxduuxu 2dan2

dx

x

u

udu

udu u u C

2 2

2

2 21

1

11

ln

x x Cln 1

11

Integral Fungsi Rasional

Fungsi Integran berbentuk rasional : , der (P)< der(Q)

Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu :

1. Faktor linear dan tidak berulang.

2. Faktor linear dan berulang.

3. Faktor kuadratik dan tidak berulang.

4. Faktor kuadratik dan berulang.

Kasus 1 ( linier tidak berulang )

Misal

maka,

dengan konstanta yang dicari.

f x

P x

Q x

Q x a x b a x b a x bn n 1 1 2 2 ...

P x

Q x

A

a x b

A

a x b

A

a x b

n

n n

1

1 1

2

2 2...

A A An1 2, , ... ,

12

contoh :

Sehingga,

Kasus 2 ( linier berulang )

Misal

maka,

dengan konstanta yang dicari

1

4 92xdx

323294

12

x

B

x

A

x

32321 xBxA

BAxBA 33221

6

1dan

6

1diperolehsehingga133dan022 BABABA

dx

xdx

xdx

x 32

61

32

61

94

12

Q x a x bi ip

p

ii

p

p

ii

p

iiii bxa

A

bxa

A

bxa

A

bxa

A

xQ

xP

1

1

2

21 ...

pp AAAA ,,...,, 121

Cxx 32ln12

132ln

12

1

13

• Contoh :

• Kasus 3 ( kuadratik tidak berulang )

Misal


1

2 12

x xdx

12212

122

x

C

x

B

x

A

xx

9

1dan

9

1,

3

1diperoleh CBA

1

2 1

13

2

19

2

19

12 2x x

dxx

dxx

dxx

dx

Q x a x b x c a x b x c a x b x cn n n 12

1 1 22

2 22...

P x

Q x

A x B

a x b x c

A x B

a x b x c

A x B

a x b x c

n n

n n n

1 1

12

1 1

2 2

22

2 22

...

nn BBBAAA ,...,,dan,,...,, 2121

.)1|ln9

1)2|ln

9

1

)2(3

1Cxx

x

14

Contoh :

sehingga,

Kasus 4 ( kuadratik berulang)

Misal

maka,


12xx

dx

11

122

x

CxB

x

A

xx

0dan1,1diperoleh CBA

dx

x

xdx

xdx

xx 1

1

1

122

.|1|ln2

1||ln 2 Cxx

Q x a x b x ci i i

p 2

p

iii

pp

p

iii

pp

iiiiii cxbxa

BxA

cxbxa

BxA

cxbxa

BxA

cxbxa

BxA

xQ

xP

212

11

22

22

2

11 ...

pppp BBBBdanAAAA ,,...,,,,...,, 121121

15

Contoh :

Sehingga,

6 15 22

3 2

2

2 2

x x

x x

dx

22222

2

22323

22156

x

EDx

x

CxB

x

A

xx

xx

0dan5,3,1,1diperoleh EDCBA

dx

x

xdx

x

xdx

xdx

xx

xx22222

2

25

2

3

3

1

23

22156

6 15 22 2 3 2 32 2 2 2x x A x Bx C x x Dx E x

dx

x

x

x

dxdx

x

x

x

dx2222 )2(

2

2

5

23

2

2

2

1

3

.)2(2

5

2tan

2

3)2ln(

2

1|3|ln

2

12 Cx

xxx

Documents

Teknik integrasi