Upload
aditya-as-sawalany
View
253
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
8/16/2019 power point integrasi numerik
1/49
INTEGRASINUMERIK ADITYA YUDHA PERDANA
8/16/2019 power point integrasi numerik
2/49
INTEGRASI NUMERIK
Di dalam kalkulus, terdapat dua halpentin !aitu interal dan
turunan"deri#ati#e$ Peninteralan numerik merupakan
alat atau %ara !an diunakan &lehilmu'an untuk memper&leh (a'a)an
hampiran "apr&ksimasi$ daripeninteralan !an tidak dapatdiselesaikan se%ara analitik*
8/16/2019 power point integrasi numerik
3/49
INTEGRASI NUMERIK
+unsi !an dapat dihitun interaln!a
+unsi !an rumit misal
C x x xdx x
C xdx x
C baadxbax
C baa
dxbax
C a
edxe
C n
axdxax
axax
nn
+−=
+=
++=+
++−=+
+=
+
+
=
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ +
||ln||ln
||ln1
)sin(1)cos(
)cos(1)sin(
1
1
dxe
x
x x5.02
0
23
sin5.01
)1cos(2∫
+
++
8/16/2019 power point integrasi numerik
4/49
INTEGRASI NUMERIK
Perhitunan interal adalahperhitunan dasar !an diunakan
dalam kalkulus, dalam )an!akkeperluan*
diunakan untuk menhitun luasdaerah !an di)atasi &leh -unsi ! .
-"/$ dan sum)u /* Penerapan interal menhitun luas
dan #&lume0#&lume )enda putar
8/16/2019 power point integrasi numerik
5/49
Dasar Pengintegralan Numerik Dasar Pengintegralan Numerik
Penjumlahan berbobot dari nilaifungsi
)(...)()(
)()(
1100
0
nn
i
n
i
i
b
a
x f c x f c x f c
x f cdx x f
+++=
≈∑∫ =
x 0 x 1 x n x n-1 x
f ( x )
8/16/2019 power point integrasi numerik
6/49
0
2
4
6
8
10
12
3 5 7 9 11 13 15
Dasar PengintegralanDasar Pengintegralan
Numerik Numerik Melakukan peninteralan pada )aian0)aian ke%il,seperti saat a'al )ela(ar interal 1 pen(umlahan )aian0)aian*
Met&de Numerik han!a men%&)a untuk le)ih %epat danle)ih mendekati (a'a)an eksak*
8/16/2019 power point integrasi numerik
7/49
Formula Newton-Cotes
- Berdasarkan pada
dx x f dx x f I b
a n
b
a ∫≅ )()(
Nilai ampiran f ( x ) den!an polinomialn
n
1n
1n10n x a x a x aa x f )(
Dasar PengintegralanDasar Pengintegralan
Numerik Numerik
8/16/2019 power point integrasi numerik
8/49
INTEGRASI NUMERIK
2uas daerah !andiarsir 2 dapat
dihitun denan 2 .
( )∫ b
a
dx x f
8/16/2019 power point integrasi numerik
9/49
Metode Integral
Reimann
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
8/16/2019 power point integrasi numerik
10/49
Metode Integral
Reimann 2uasan !an di)atasi ! . -"/$ dan sum)u /
2uasan di)ai men(adi N )aian pada rane / .3a,)4
Kemudian dihitun 2i luas setiap perseipan(an dimana 2i.-"/i$*
i x∆
8/16/2019 power point integrasi numerik
11/49
Metode Integral
Reimann 2uas keseluruhan adalah (umlah 2i
dan dituliskan
Dimana
Didapat
( ) ( ) ( ) ( )
( ) in
i
i
n
n
x x f
x x f x x f x x f x x f L L L L L
∆=
∆++∆+∆+∆=++++=
∑=0
3221100
210
.....
( ) ( )
∑∫ ==
n
ii
b
a
x f hdx x f 0
h x x x x n =∆==∆=∆=∆ ...210
8/16/2019 power point integrasi numerik
12/49
5&nt&h
Hitun luas !an di)atasi ! . /6 dansum)u / untuk rane / . 37,84
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x**2
∫ 1
0
2dx x2 .
8/16/2019 power point integrasi numerik
13/49
5&nt&h
Denan menam)il h.7*8 maka diper&leh ta)el
Se%ara kalkulus
Terdapat kesalahan e . 7,9:;07,999 . 7,7;6
( )
( )( ) 3"5#0"5#31.0
00.1"1.0$%.0%&.03$.025.01$.00&.00%.001.001.0
)(.10
0
==++++++++++=
= ∑=i
i x f h L
.....3333#0|3
1 10
31
0
2 === ∫ xdx x L
8/16/2019 power point integrasi numerik
14/49
Algoritma Metode
Integral Reimann: De
8/16/2019 power point integrasi numerik
15/49
Metode Integrasi Trapezoida Aproksimasi garis lurus (linier
)()(
)()()()(
10
1100i
1
0i
i
b
a
x f x f 2
h
x f c x f c x f cdx x f
∑
=
x 0 x 1 x
f ( x )
L(x)
8/16/2019 power point integrasi numerik
16/49
Aturan !omposisiAturan !omposisiTrapesiumTrapesium
)()()()()(
)()()()()()(
)()()()(
n1ni 10
n1n2110
x
x
x
x
x
x
b
a
x f x f 2 x 2f x f 2 x f 2
h
x f x f 2
h x f x f
2
h x f x f
2
h
dx x f dx x f dx x f dx x f
n
1n
2
1
1
0
∫
x 0 x 1 x
f ( x )
x 2h h x 3h h x 4
n
abh
=
8/16/2019 power point integrasi numerik
17/49
Metode Integrasi
Trapezoida
++= ∑
−
=n
n
ii f f f
h L
1
10 2
2
( ) ( )( )
( ) iiii
iiii
x f f L
atau
x x f x f L
∆+=
∆+=
+
+
.21
.2
1
1
1
∑−
==
1
0
η
ii L L
( ) ( )nnn
i
ii f f f f f h
f f h L +++++=+= −−
=+∑ 1210
1
0
1 2...22
22
1
8/16/2019 power point integrasi numerik
18/49
Algoritma Metode
Integrasi Trapezoida De
8/16/2019 power point integrasi numerik
19/49
Aturan "impson #$%Aturan "impson #$% Aproksimasi dengan fungsi parabola
)()()(
)()()()()(
210
221100i
2
0i
i
b
a
x f x f 4 x f 3
h
x f c x f c x f c x f cdx x f
∑
=
x 0 x 1 x
f ( x )
x 2h h
L( x )
8/16/2019 power point integrasi numerik
20/49
=
=
===
=
=
1 x x
0 x x
1 x x
h
dx d
h
x x
2
abh
2
ba
x b x a x let
x f x x x x
x x x x
x f x x x x
x x x x x f
x x x x
x x x x x L
2
1
0
1
120
2
1202
10
1
2101
200
2010
21
,,
,,
)())((
))((
)())((
))(()(
))((
))(()(
)()(
)()()()(
)( 212
0 x f
2
1 x f 1 x f
2
1 L
=
Aturan "impson #$%Aturan "impson #$%
8/16/2019 power point integrasi numerik
21/49
)(
)(
)()()(
)(
)( 212
0 x f 2
1
x f 1 x f 2
1
L
=
1
1
23
2
1
1
3
1
1
1
23
0
1
12
1
0
2
1
1
10
1
1
)23
(2
)(
)3
()()23
(2
)(
)1(2)()1)(
)1(2
)()()(
−
−−
−
−−
++
−+−=
++−+
−=≈
∫ ∫
∫ ∫ ∫
ξ ξ h x f
ξ ξ h x f
ξ ξ h x f
dξ ξ ξ
h
x f dξ ξ ( h x f
dξ ξ ξ h
x f dξ Lhdx x f b
aξ
)()()()(210
b
a
x f x f 4 x f 3
hdx x f
Aturan "impson #$%Aturan "impson #$%
8/16/2019 power point integrasi numerik
22/49
Aturan !omposisiAturan !omposisi
"impson"impson
x 0 x 2 x
f ( x )
x 4h h x n-2h x n
n
abh
=
…...
h x 3 x 1 x n-1
8/16/2019 power point integrasi numerik
23/49
Metode Integrasi
"impsonDenan menunakan aturan
simps&n, luas dari daerah !an
di)atasi -unsi !.-"/$ dan sum)u> dapat dihitun se)aai )erikut
atau dapat dituliskan denan
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnn f f
h
f f
h
f f
h
f f
h
f f
h
f f
h
L ++++++++++++=
−−− 112%3322110 2
32
3...2
32
32
32
3
+++= ∑∑ n
genapi
i
ganjil i
i f f f f h
L
0 2%3
N . 7 1 n
2 . 28 ? 29 ? 2; ? * * * ? 2n
5
8/16/2019 power point integrasi numerik
24/49
5ara II"@uku Rinaldi Munir$
P&lin&m interp&lasi Ne't&n0Gre&r!dera(at 6 !an melalui ketia titik ts)
0
2
2000
2
2002 '2
)()(
'2
)()()( f
h
h x x f
h
x f x f
h
h x x x f
h
x x f x p ∆
−++=∆
−+∆+=
8/16/2019 power point integrasi numerik
25/49
5ara II
"@uku Rinaldi Munir$ Interasikan p6"/$ pd selan 37,6h4
02
00
0
2
00
0
22
2
3
0
2
0
2
00
2
2
2
2
3
0
2
0
2
0
0
2
200
2
0
2
2
0
322
3
%22
%
%
$
"
2
%2
|%$2
'2
)(
)(
f h f h xhf L
f hh
f h xhf L
f h
h
h
h f
h
h xhf L
f h
x
h
x f
h
x x f L
dx f h
h x x f
h
x f L
xdx pdx x f L
h x
x
h
hh
∆+∆+=
∆
−+∆+=
∆
−+∆+=
∆
−+∆+=
∆
−+∆+=
==
==
∫
∫ ∫
8/16/2019 power point integrasi numerik
26/49
5ara II"@uku Rinaldi Munir$ Meninat
Maka selan(utn!a
010 f f f −=∆
)%(3
33
%
3
33
2
3222
)2(3
)(22
210
210
012010
012010
f f f h
L
f h
f h
f h
L
f h
f h
f h
hf hf xhf L
f f f h
f f h xhf L
++=
++=
+−+−+=
+−+−+=
0120112010
2 2)()( f f f f f f f f f f +−=−−−=∆−∆=∆
8/16/2019 power point integrasi numerik
27/49
Aturan "impson %$&Aturan "impson %$& Aproksimasi dengan fungsi kubik
)()()()(
)()()()()()(
3210
33221100i
3
0i
i
b
a
x f x f 3 x f 3 x f 8
h3
x f c x f c x f c x f c x f cdx x f
∑
=
x 0 x 1 x
f(x)
x 2h h
L(x)
x 3h
8/16/2019 power point integrasi numerik
28/49
)())()((
))()(()(
))()((
))()((
)())()((
))()(()(
))()((
))()(()(
3
231303
2102
321202
310
1312101
320
0302010
321
x f x x x x x x
x x x x x x x f
x x x x x x
x x x x x x
x f x x x x x x
x x x x x x x f
x x x x x x
x x x x x x x L
=
)()()()( 3210
b
a
b
a
x f x f 3 x f 3 x f 8
h3
3abh ; L(x)dx f(x)dx
=
∫
Error Pemenggalan
3
abh ; f
6480
ab f h
80
3 E 4
545
t
= )()(
)( )()(
Aturan "impson %$&Aturan "impson %$&
8/16/2019 power point integrasi numerik
29/49
Metode Integrasi
'auss Met&de Ne't&n 5&de "Trape&ida, Simps&n$
)erdasarkan titik6 data diskrit* Denan)atasan
H sama
2uas dihitun dari a sampai )
Menaki)atkan err&r !an dihasilkan %ukup)esar*
8/16/2019 power point integrasi numerik
30/49
Metode Integrasi
'auss Misal menhitun 2uas denan met&de trape&ida denan
selan 308,84
Persamaan ini dapat ditulis "dise)ut pers Kuadratur Gauss$
Misal /8.08, /6.8 dan %8.%6.8 men(adi m* trape&ida
Karena /8, /6,,%8 dan %6 sem)aran maka kita harus memilih
nilai terse)ut sehina err&r interasin!a min
( )
2
)1()1()1()1(
2
)(
1
1
=
−+≈−+≈= ∫ −
h
f f f f h
dx x f I
)()()( 2211
1
1
x f c x f cdx x f I +≈=
∫ −
8/16/2019 power point integrasi numerik
31/49
Metode Integrasi 'auss
@aaimana men%ari /8, /6,,%8 dan %6Persamaan di)a'ah
ini dianap memenuhi se%ara tepat )ila empatp&lin&m )erikut di(adikan -unsi interal pada inter#al
interasi 308, 84 -"/$ . 8 B -"/$ . / B -"/$ . /6 B -"/$ . /9
)()()( 2211
1
1
x f c x f cdx x f I +≈= ∫ −
0
32
0
21
1
1
33
22
3
11
1
1
22
22
2
11
1
12211
1
1
21
==+
==+
==+
==+
∫
∫ ∫
∫
−
−
−
−
dx x xc xc
dx x xc xc
dx x xc xc
dxcc
Didapat
3
1
3
1
1
21
21
−==
==
x x
cc
8/16/2019 power point integrasi numerik
32/49
Metode Integrasi
'auss Persamaan di)a'ah ini dinamakan met&de
Gauss 2eendre 6 titik
)3
1()
3
1()(
1
1
−+=∫
−
f f dx x f
8/16/2019 power point integrasi numerik
33/49
Transformasi
Rane 3a,)4 308,84
> u -"/$ "u$ d/ du∫
=b
a
i dx x f L )( ∫
−
=1
1
)( duu g Li
8/16/2019 power point integrasi numerik
34/49
Transformasi
duab
dx
uabba x
aububa x
aabu x
abua x
u
ab
a x
−=
−++=
−++=
+++=++=−
+=
−−
2
2)()(
2
2))(1(2
))(1(22
2
1
a )/
08 8u
8/16/2019 power point integrasi numerik
35/49
Transformasi
du
uabba
f abduu g ∫ ∫ −−
−++
−=
1
1
1
1 2
)()(
)(2
1
)(
( ))()()(2
1)(
21
21 abuab f abu g ++−−=
∫ −
=1
1
)( duu g Li
8/16/2019 power point integrasi numerik
36/49
Analisa
Di)andinkan denan met&de Ne't&n05&tes "Trape&ida, Simps&n 8=9, 9=:$met&de Gauss02eendre 6 titik le)ih
sederhana dan e
8/16/2019 power point integrasi numerik
37/49
Al&ritma Interasi
Kuadratur Gauss denanPendekatan 6 titik De
8/16/2019 power point integrasi numerik
38/49
5&nt&h S&al
8/16/2019 power point integrasi numerik
39/49
Met&de Gauss 2eendre
9 Titik
Parameter /8, /6 , /9 ,%8 ,%6 dan %9dapat di%ari
denan mem)uat penalaran )ah'akuadratur Gauss )ernilai tepat untuk C)uah -unsi )erikut
Denan %ara !an sama didapat
)()()()( 332211
1
1
x f c x f c x f cdx x f I ++≈= ∫ −
5%3
2
)()()(
)()(1)(
x x f x x f x x f
x x f x x f x f
===
===
53053
&
5
&
"
&
5
321
321
==−=
===
x x x
ccc
8/16/2019 power point integrasi numerik
40/49
Met&de Gauss 2eendre
9 Titik
( )
++
−=
∫ − 53
&
50
&
"
5
3
&
5)(
1
1
g g g duu g
8/16/2019 power point integrasi numerik
41/49
8/16/2019 power point integrasi numerik
42/49
Met&de Gauss n0Titik
8/16/2019 power point integrasi numerik
43/49
eberapa PenerapanIntegrasi Numerik
Menghitung )uas Daerah erdasarkan'ambar
Menghitung )uas dan *olume enda Putar
8/16/2019 power point integrasi numerik
44/49
Menghitung )uas Daeraherdasarkan 'ambar
Untuk menhitun luas interal di peta di atas, !an perlu dilakukan adalahmenandai atau mem)uat aris rid pada setiap step satuan h !andin!atakan dalam satu k&tak* @ila satu k&tak me'akili 8 mm, denan skala!an tertera maka )erarti pan(ann!a adalah 877*777 mm atau 877 m*
Pada am)ar di atas, mulai sisi kiri denan rid ke 7 dan sisi kanan rid ke n"dalam hal ini n.66$* Tini pada setiap rid adalah se)aai )erikut
Skala 8877777
7 87;
C
9
8;
8/16/2019 power point integrasi numerik
45/49
Menghitung )uas Daeraherdasarkan 'ambar
Dari ta)el di atas, luas area dapatdihitun denan menunakan 9ma%am met&de
Denan menunakan met&de interasi Reimann
Denan menunakan met&de interasi
trape&ida
Denan menunakan met&de interasi Simps&n
5.322
15
11$0 =
++= ∑=i i y y y
h L
5.31$
0
== ∑=i
i yh L
%2%3
1$0 =
+++= ∑∑
== genapii
ganjil i
i y y y yh
L
8/16/2019 power point integrasi numerik
46/49
Menghitung )uas dan*olume enda Putar
2uas )enda putar
&lume )enda putar ∫ =b
a p dx x f L )(2π
[ ]∫ =b
a
p dx x f V 2
)(π
8/16/2019 power point integrasi numerik
47/49
5&nt&h
Ruan )enda putar dapat di)edakan men(adi F)aian )aian I dan III merupakan )entuk silinder !an tidak
perlu dihitun denan mem)ai0)ai kem)ali ruann!a, )aian II dan I perlu diperhitunkan kem)ali*
@aian I
@aian II
F%m
C %m
%m
86%m
%
m
;%m
I II III I*
satuan dalam%m
π π 5$))(%(2 == I L
π π 1&$))(%( 2 == I V
( ) π π 2"")12(122 == II L
( ) ( ) π π 3%5$12122 2 == II V
h
8/16/2019 power point integrasi numerik
48/49
5&nt&h
Sedankan untuk menhitun )aian II dan I diperlukanpem)aian area , misalkan denan menam)il h.8 diper&leh
Pada )aian II dan I dan
Denan menunakan interasi trape&ida dapat diper&leh
π π 10"22
2)(%
150 =
++=
∑=ii IV II y y y
h L L
( ) π π 5.11"22
%
1
225
20 =
++== ∑
=ii IV II y y y
hV V
IV II L L = IV II V V =
8/16/2019 power point integrasi numerik
49/49
5&nt&h
2uas permukaan dari )&t&l adalah
2uas . 8;:*F %m6
&lume )&t&l adalah
&lume . 8:6F*: %m9
%.15"
5$0
10"2""10"5$
==
+++=+++=
π
π π π π
IV III II I L L L L L
π π π π π
$02%
5.11"3%5$5.11"1&$
=+++=
+++= IV III II I V V V V V