T Ü R E V K A V R A M I

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I

http://slidepdf.com/reader/full/t-ue-r-e-v-k-a-v-r-a-m-i 1/26

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;

• türev kavramını anlayacak,

• türev alma kurallarını öğrenecek,

• türevin geometrik ve fiziksel anlamını kavrayacak,• çeşitli tipte fonksiyonların türevlerini bulabileceksiniz.

İçindekiler

• Giriş 225

• Fonksiyon Türevi 227

• Türev Alma Kuralları 236

• Teğet Denklemi 240• Yüksek Mertebeden Türevler 241

• Değerlendirme Soruları 243

ÜNİTE

9Türev Kavramı

Yazar

Prof.Dr. Vakı f CAFEROV

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I


A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ

Çalışma Önerileri

• Türev kavramını ve türev alma kurallarını iyi öğreniniz

• Çözümleri verilmiş örneklerin çözümlerini iyice inceleyiniz

• Türevin geometrik ve fiziksel anlamına dikkat ediniz

• Çok sayıda fonksiyon örneği alıp türevlerini (I. mertebeden, II.mertebeden, ...) bulunuz

• Çeşitli fonksiyon örnekleri alıp teğet denklemlerini yazınız.

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I


A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ

1. Giriş

Önce, denklemi y = f(x) olan bir eğrinin üzerindeki herhangi bir (x0 , f(x0))noktasındaki teğetinin bulunması problemini ele alalım. Bunun için önce teğetintanımını hatırlayalım.

Eğri üzerinde bir T noktası verilsin. Eğri üzerinde bu noktadan farklı herhangi T1

noktası seçip TT1 kirişini çizelim. T1 noktası eğri boyunca T noktasına yaklaştı-ğı zaman bu kiriş T noktası etrafında dönme hareketi yapar. TT1 kirişinin limitkonumuna (eğer varsa) bu eğrinin T noktasındaki teğeti denir. Teğetin x- ekseni ileoluşturduğu α açısının tanjantına ise teğetineğimi denir. Teğetin eğimini bulmak

için T1 noktasının apsisinin x0 + h olduğunu varsayalım. O zaman bu noktanın

ordinatı f(x0 + h) olur. TNT1 dik üçgeninden TN = h, T1 N = f(x0 + h) - f(x0),

olduğundan kirişin eğimi

olur.

T1 in eğri boyunca T ye yaklaşması h nin sıfıra yaklaşmasını gerektirdiğinden

h → 0 iken kirişin eğimi teğetin eğimine yaklaşır: Eğer limiti varsa,

olur. Buna göre, teğetin eğimini bulmak için yukarıdaki limiti hesaplamak gerek-mektedir.

T Ü R E V K A V R A M I 225

T1TN = β

tan β = T1 NTN

=f( x0 + h) - f( x0)

h

0

●

α β

N y = f (x)α β

x 0

T 1

.

x 0 + h

y

x

T1 NTN

limh → 0

teğetin eğimi = tan α = limh → 0

f( x0 + h) - f( x0)

h

Şekil 9.1

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



Örnek: 1) y = x3 ve 2) y = 1 + x2

eğrilerinin herhangi x0 apsisli noktadaki teğet eğimlerini hesaplayalım.

Çözüm: 1) Eğri üzerinde x0 apsisli nokta, (x0 , x03 ) noktasıdır.f(x0) = x0

3 , f (x0 + h) = (x0 + h)3 olduğundan

2) f(x0) = 1 + x02 , f(x0 + h) = 1 + (x0 + h)2

olur. Örneğin, (-2, 5) noktasındaki teğet eğimi 2 . (-2) = - 4 dür.

Şimdi ise hareketli bir cismin ani hızının hesaplanmasıproblemini ele alalım. Düz-lemde bir doğru boyunca harekette olan cisim, başlangıçta (t=0 anında) doğru üze-rindeki O noktasında olsun. t anında cismin bulunduğu nokta ile O noktası arasın-daki s(t) uzaklığı t zamanının bir fonksiyonu olup, cismin t zamanı içinde katettiğiyolu gösterir. s = s(t) fonksiyonuna cismin hareket denklemi denir.

Bu hareketin to anındaki ani hızını bulmak için t0 a∆t artması verelim. ∆t süresinde kate-

dilen yol, ∆s = s(t0 + ∆t) - s(t0) olur. Bu durumda oranı ise, [t0 , t0 +∆t] zaman

aralığındaki ortalama hız olur. t0 anındaki vani ani hızını bulmak için oranının

∆t → 0 iken limitini bulmamız gerekmektedir. Buna göre, ani hız

olur, dolayısıyla ani hızı bulmak için bu limiti hesaplamak gerekmektedir.

Örnek olarak hava direncinin hesaba alı

nmadı

ğı

ortamda serbest düşen cismin anihızını bulalım. t = 0 (sn) anında cisim O başlangıç noktasında ise o zaman t0 sa-niye içinde katedilen yol

formülü ile veriliyor. Burada g ≅ 9,8 m/sn2 dir.

T Ü R E V K A V R A M I226

tan α = limh → 0

(x0 + h)3 - x0

3

h= lim

h → 0 x0

3 + 3x02 h + 3x0 h 2 + h 3 - x0

3

h

= limh → 0

3x02 + 3x0 h + h2 = 3x0

2 + 0 + 0 = 3x02 olur.

tan α = limh → 0 1 + (x0 + h)2 - (1 + x0

2)

h = limh → 0 (2x0 + h) = 2x0

∆s∆t

∆s∆t

vani =s t0 + ∆t - s t0

∆tlim∆t → 0

s (t0) =g t0

2

2(metre)

Buna göre, s t0 + ∆t =g . t0 + ∆t 2

2,

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



Örnek: Hava direncinin hesaba alınmadığı ortamda yeteri kadar yüksekten serbest düşen cismin, düşmeye başladıktan 10 saniye sonraki ani hızını bulunuz.

Çözüm: vani = gt0 , t0 = 10 sn , g ≅ 9,8 m/sn2 olduğundan aradığımız hız,vani ≅ 9,8.10 m/sn = 98 m/sn olur.

Not: ∆t yi ∆ ile t nin çarpımı olarak düşünmeyiniz, küçük artmaları göster-mek için kullanılan bir gösterimdir.

2. Fonksiyon Türevi

Yukarıda incelediğimiz her iki örnekte, fonksiyon artması denilen f(x0 + h) - f(x0)ve s(t0 + ∆t) - s(t0) ifadeleri, bağımsız değişken artmaları olan h ve ∆t ye bölü-nüp, bölümün bu artmalar sıfıra yaklaşırken limitleri alındı. Bu limitlerin hesap-lanması bizi türev kavramına getirir.

A ⊂ IR aralığı üzerinde tanımlı , gerçel değişkenli f: A→ IR, y = f(x) fonksiyonu ve-rilsin. x0 ∈ A olmak üzere x0 a ∆x kadar artma verelim. x0 + ∆x sayısının da ∆x in

küçük değerleri için yine A aralığı içinde kaldığını varsayalım (burada ∆x > 0

veya ∆x < 0 olabilir). O zaman ∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0) a y = f(x) fonksiyonu-

nun x0 noktasındaki artması, ifadesine ise fonksiyonun

[x0, x0 + ∆x] aralığında ortalama değişme hızı denir, (burada, eğer ∆x < 0

ise [x0 + ∆x, x0] aralığından sözetmeliyiz).

limiti varsa, bu limite y = f(x) fonksiyonunun x0

noktasındaki türevi denir. Bu durumda y = f(x) fonksiyonuna da x0 nok-tasında türevlenebilir fonksiyon denir.

Buna göre türev, fonksiyon artması ∆y nin bağımsız değişken artması olan ∆x eoranının ∆x sıfıra yaklaşırken limitidir.

olduğuna dikkat ediniz.


vani =

g . t0 + ∆t 2

2-

g . t02

2

∆t=

g

2lim∆t → 0

(t 0 + ∆t) 2 - t0

2

∆t lim

∆t → 0

=g

2

t02 + 2t0 . ∆t + ∆ t2 - t0

2

∆t=

g

22 t0 + ∆tlim

∆t → 0= gt0 ,lim

∆t → 0

vani = gt0 olur.

∆y

∆x=

f( x0 + ∆x) - f(x0)

∆x

Eğer f x0 + ∆x - f x0

∆xlim∆x → 0

f x0 + ∆x - f x0

∆x =

f x - f x0

x - x0 lim

x → x0lim∆x → 0

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



Eğer y = f(x) fonksiyonunun her x ∈ A noktasında türevi varsa, o zaman bu fonksi-yona "A üzerinde (veya A kümesinde) türevlenebilir" veya "A üzerinde türevivardır" denir. Bu durumda A üzerinde yeni bir fonksiyon, türev fonksiyonu

tanımlanmış olur. Bu fonksiyon her x ∈ A sayısını fonksiyonun x noktasındakitürevi ile eşler.

Türev Fonksiyonu

gibi, x0 noktasındaki türev ise

gibi sembollerle gösterilir. Böylece,

yazılabilir. Türev alma işlemine bazen diferansiyelleme işlemi de denir. f '(x)türevine bazen f(x) fonksiyonunun x değişkenine göre türevi veya sadece f(x)fonksiyonunun türevi denir.

Yukarıdaki örneklerde bulduğumuz sonuçları şöyle ifade edebiliriz:

x0 noktasında türevlenebilir y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin (x0 , f(x0)) nok-tasındaki teğetinin eğimi olan tan αααα değeri f '(x0) türevine eşittir.

Doğru boyunca hareket eden ve denklemi s = s(t) ile verilen cismin hareketindeherhangi t0 anındaki ani hız s'(t0) türevine eşittir.

Giriş kesimindeki 1). ve 2). örneklere göre, y = x3 fonksiyonu için y'(x0) =3x0

2 ve y = x2 + 1 fonksiyonu için y'(x0) = 2x0 diyebiliriz.

Tanımdan görüldüğü gibi y = f(x) fonksiyonu için x = x0 noktasındaki f '(x0)

türevinin sonucu bir sayıdır. Bu sayıyı bulmak için ya

limiti hesaplanır ya da eğer mümkünse, f ' (x) türev fonksiyonu hesaplanıp x yeri-ne x0 yazılır.

Örnek: y = x birim fonksiyonun türevini bulalım.


y' , f' x , dy

dx ,

d f x

dx

y' x0 , f' x0 , dy

dx

x = x0 ,

d f x0

dx

y' x0 = f' x0 = dy

dx

x = x0 =

d f x0

dx =

f x0 + ∆x - f x0

∆xlim∆x → 0

f x0 + ∆x - f x0

∆xlim∆x → 0

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



Çözüm: f(x) = x, f(x +∆x) = x + ∆x olduğundan

Örnek: y = 2x2 - 3x + 5 fonksiyonunun türevini bulalım.

Çözüm: f(x) = 2x2 - 3x + 5 , f(x + ∆x) = 2(x + ∆x)2 - 3(x + ∆x) + 5

= 2 ( x2 + 2x . ∆x + ∆x2) - 3x - 3 ∆x + 5 = 2x2 + 4x . ∆x + 2∆x2 - 3x - 3∆x + 5

olduğundan

= 4x + 2 . 0 - 3 = 4x - 3, buna göre (2x2 - 3x + 5)' = 4x - 3 dir.

Örnek: f(x) = x + x3 fonksiyonunun x = -2 noktasındaki f ' (-2) türevini bulalım.

Çözüm:

f(-2) = -2 + (-2)3 = -2 -8 = -10

f(-2 + ∆x) = -2 + ∆x + (-2 + ∆x)3 = -2 + ∆x + (-8 + 12 ∆x - 6 ∆x2 + ∆x3)= ∆x3 - 6 ∆x2 + 13 ∆x - 10

olduğundan

bulunur.

Örnek:

Çözüm:

elde edilir.


y' =x + ∆x - x

∆x

= 1 = 1 ve dolayısıyle x ' = 1 elde edilir.lim∆x → 0

lim∆x → 0

y'

=

2x2 + 4x . ∆x + 2 ∆x2 - 3x - 3 ∆x + 5 - 2x2 + 3x - 5

∆x = 4x + 2 . ∆x - 3lim∆x → 0lim∆x → 0

f' -2 =f -2 + ∆x - f -2

∆xlimitini (eğer varsa) bulmamız gerekiyor.lim

∆x → 0

f' (-2) =∆x3 - 6∆x2 + 13 ∆x - 10 + 10

∆xlim∆x → 0

= ∆x2 - 6 ∆x + 13lim∆x → 0

= 0 - 0 + 13 = 13

y = 1x (x ≠ 0) fonksiyonunun türevini bulalım

f(x) = 1x

, f(x + ∆x) = 1x + ∆x

olduğunda

y' =

1x + ∆x

- 1x

∆xlim∆x→ 0

=

x - x - ∆x

x (x + ∆x)

∆xlim∆x→ 0

= - 1x (x + ∆x)

lim∆x→ 0

= - 1x (x + 0)

= - 1x2

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



Fonksiyonların süreklilik kavramını geçen ünitede tanımlamıştık. Süreklilik kav-ramı ile türev kavramı arasında aşağıdaki ilişki vardır:

Eğer y = f(x) fonksiyonunun x = x0 noktasında türevi varsa o zaman bufonksiyon bu noktada süreklidir.

Not: y = f(x) fonksiyonu verilsin. x değiştikçe buna bağlı olarak y de değişir.

Farklı f(x) fonksiyonları için bu değişim farklıdır. İşte f '(x) türevi, y nin x

e göre değişme hızını ifade eder. Gerçekten, fonksiyon artmasının bağımsız de-

ğişken artmasına oranı olan oranı fonksiyonun [x, x+∆x] veya

[x+ ∆x, x] aralığındaki ortalama değişme h ızını ,

limiti ise fonksiyonun x noktasındaki değişme hızını gösterir. Türevin bu anla-

mı uygulama açısından çok önemlidir.

Örnek: y = x2 fonksiyonunun x = 3 noktasında değişme hızını bulalım.

Çözüm: y' = f'(x) = 2x olduğundan x = 3 noktasında değişme hızı f'(3) = 2.3 = 6olur.

Örnek:

Çözüm:

Burada hızın negatif olması , fonksiyonun x = -2 noktası civarında azaldığına işareteder.

Şimdi türevi olmayan bir fonksiyon örneği verelim.

Örnek: y = |x| fonksiyonunun x0 = 0 noktasında türevinin olmadığını göste-relim.

Çözüm: x ≥ 0 ise |x| = x , x < 0 ise |x| = -x olduğunu hatırlayalım. Buna göre,

f(x0) = |x0| = |0| = 0, f(x0 + ∆x) = |0 + ∆x| = |∆x|

olur. Sonuncu limit yoktur, çünkü


f(x + ∆x) - f(x)

∆x

f' (x) =f(x + ∆x) - f(x)

∆xlim∆x → 0

y = 1x

fonksiyonunun x = -2 noktasında değişme hızını bulalım.

y' = f ' (x) = - 1

x2

olduğundan f' (-2) = - 1

(-2) 2

= -1

4

olur

f( x0 + ∆x) - f(x0)

∆xlim∆x → 0

=|∆x|

∆xlim∆x → 0

|∆x|

∆xlim

∆x → 0+=

∆x

∆xlim

∆x → 0+= 1

|∆x|

∆xlim

∆x → 0- =-∆x

∆xlim

∆x → 0- = -1

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



olduğundan sağdan limit soldan limite eşit değildir. O zaman bu fonksiyonunx0 = 0 da türevi yoktur.

Şimdi bazı fonksiyonların türevlerini hesaplayalım.

1) y = c sabit fonksiyonunun türevi sıfırdır: y' = (c)' = 0.f(x) = c , f(x + ∆x) = c olduğundan

2) a gerçel sayı olmak üzere, y = xa fonksiyonunun türevi y' = a xa-1 dir.

Bu formülü a nın doğal sayı olması durumda ispatlayacağız. (Genel durumdakarmaşık limitler kullanılır). f(x) = xa , f(x + ∆x) = (x + ∆x)a dır. 2. ünitedekiBinom formülüne göre,

yazabiliriz. Buradan

bulunur.

Örnek : fonksiyonlarının tü-

revlerini bulalım.

Çözüm: 1) y = x5 fonksiyonu için a = 5 dir. Buna göre y' = (x5)' = 5x5-1 = 5x4

dür.

olur.


y' =f(x + ∆x) - f(x)

∆xlim∆x → 0

= c - c∆x

lim∆x → 0

= 0∆x

lim∆x → 0

= 0 = 0lim∆x → 0

dır.

f(x + ∆x) = xa + axa-1 . ∆x +a (a-1)

2xa-2 ∆x2 + ... + ∆xa

f(x + ∆x) - f(x) = xa + axa-1. ∆x +a (a-1)

2xa-2 ∆x2 + ... + ∆xa - xa

= a xa-1 ∆x +a (a-1)

2

xa-2 ∆x2 + ... + ∆xa ,

y' = xa ' =a xa-1 . ∆x +

a (a - 1)

2xa-2 ∆x2 + ... +∆xa

∆x lim

∆x → 0

= a xa-1 +a (a - 1)

2xa-2 ∆x + ... +∆xa-1 = axa-1 + 0 + ... + 0 =axa-1 lim

∆x → 0

1) y = x5 , 2) y =1x

, 3) y = x , 4) y = x35

2) 1x

= x-1 yazılabildiğinden bu örnekte a = - 1 dir. Buradan

y' = 1x

'= (-1) . x-1 -1 = (-1) x-2 = -x-2 = - 1

x2

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



elde edilir.

bulunur.

3) a > 0 , a ≠ 1 gerçel sayı olmak üzere, y = f(x) = ax üstel fonksiyonunun

türevi y' = ax ln a dır.f(x) = ax , f(x + ∆x) = ax+∆x olduğundan

yazılabilir (limit ∆x değişkenine göre hesaplandığından ax sabittir ve limitinönüne çıkarılabilir).


?

3) x = x12 olduğundan yukarıdaki formülde a =1

2olur.

y' = x ' = 12

. x12 -1 = 1

2x-

12 = 1

2 x

4) x35= x

35 gibi yazılabildiğinden, bu örnekte a = 3

5dir.

y' = x35 '= 3

5x

35

-1

= 35

x- 2

5 = 3

5 x25

f(x) = x23 ise f' (8) = ?

g(x) = 1

x3

ise g' (8) = ?

h(x) = x x ise h ' (4) = ?

Cevaplarınız 13

, - 148

ve 3 olmalıydı.

y' = ax + ∆x - ax

∆xlim∆x → 0

= ax . a∆x - ax

∆xlim∆x → 0

=ax a∆x - 1

∆xlim∆x → 0

= ax . a∆x - 1

∆xlim∆x → 0

Öte yandan a - 1∆x

lim∆x → 0

limitini bulmak için a∆x - 1 = 1u

diyelim. Buradan,

∆x = loga 1 + 1

ubulunur. Diğer taraftan ∆x → 0 için u→ ∞ olduğundan

a∆x - 1∆x

lim∆x → 0

= 1/u

loga 1 + 1u

limu → ∞

= 1

loga 1 + 1u

ulim

u → ∞= 1

loga e= ln a

bulunur.

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



Buna göre y' = (ax )' = ax . lna bulunur. Özel olarak, a = e alınırsa lne = 1olduğundan (ex )' = ex olur:

(ax )' = ax ln a , (ex)' = ex .

Örnek: fonksiyonlarının türevlerini bu-lalım.

Çözüm:

Örnek: 1) y = 4x 2) y = ex fonksiyonlarının x = -1 noktasındaki türev-lerini bulalım.

Çözüm: 1) y' = 4x ln 4 olduğundan

2) y' = ex olduğundan

4) a > 0 , a ≠ 1 gerçel sayı olmak üzere y = f(x) = loga x logaritmik

fonksiyonunun türevi

f(x +∆x) = loga (x +∆x) olduğundan 5. üniteden logaritmik fonksiyonun özel-liklerini kullanırsak

elde ederiz.

olduğunu ve logaritmik fonksiyonun sürekliliğini

gözönüne alırsak

bulunur. Eğer a = e alınırsa ln e = 1 olduğundan


1) y = 2x 2) y = 13

x, 3) y = 5

x

1) y' = 2x ln 2 , 2) y' = 13

xln 1

3= - 1

3

xln 3 ,

3) y' = 5x

ln 5 = 5x

ln 512 =

5x

2ln 5 .

f' (-1) = 4-1 ln 4 = ln 44

≅ 0,347

f' (-1) = e-1 = 1e

≅ 0,368 olur

y' = 1x lna

= 1x

logae dir.

y' =loga (x + ∆x) - loga x

∆xlim∆x → 0

=loga

x + ∆xx

∆xlim∆x → 0

=1x

. loga 1 +∆xx

∆xx

lim∆x → 0

= 1x

. lim∆x → 0

loga 1 +∆xx

x∆x

1 + ∆xx

x

∆xlim∆x → 0 = e

y' = 1x

loga e = 1x . ln a

(ln x) ' = 1x

çıkar. Böylece,

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



dir.

Örnek: 1) y = log5 x ve 2) y = ln x fonksiyonlarının x = 3 noktasındakitürevlerini bulalım.

Çözüm: olduğundan, x yerine 3 yazarsak

bulunur.

f(x) = log2x ise f'(4) = ?

g(x) = lnx ise g'(1) = ?

k(x) = logx ise k'(10) = ?

5) Trigonometrik fonksiyonları

n türevi. y = sin x fonksiyonunun türevini bulalım. f(x) = sin x , f(x +∆x) = sin (x +∆x) olduğundan f(x +∆x) - f(x) =sin (x + ∆x) - sin x olur. 6. ünitedeki formüllerden dolayı

yazabiliriz. Buna göre

yazılabilir.

y = cosx fonksiyonunun sürekliliğinden ve geçen ünitede ispatladığımız

limitinden yararlanırsak


?

loga x ' = 1x ln a

, (ln x)' = 1x

1) y' = log5 x ' = 1x ln 5

f' (3) = 13 ln 5

≅ 0,207

2) (ln x) ' = 1x ve x yerine 3 yazarsak f '(3) = 13

bulunur

Cevaplarınız 14

log2e , 1 ve 110 ln10

= 110

log10e olmalıydı.

sin (x + ∆x) - sinx = 2sinx + ∆x - x

2. cos

x + ∆x + x

2

y' =sin (x + ∆x) - sinx

∆xlim

∆x → 0=

2sin ∆x2

. cos (x + ∆x2

)

∆x lim

∆x → 0

=

sin ∆x2

. cos (x + ∆x2

)

∆x2

=lim∆x → 0

sin ∆x

2

∆x2

. cos (x +∆x2

)lim∆x → 0

lim∆x → 0

sinxx

=limx → 0

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I




y' = (sinx)' = cosx

bulunur.

Benzer yolla y = cosx fonksiyonu için

y' = (cosx)' = -sinx

bulabiliriz.

Şimdi y = tanx fonksiyonunun türevini bulalım.

dir. 6. ünitedeki formüllerden dolayı

sin(x + ∆ x) . cosx - cos(x + ∆ x) . sinx = sin (x + ∆ x - x) = sin(∆ x)


bulunur. Böylece

olur.


y' = (tanx) ' =tan (x + ∆x) - tanx

∆xlim

∆x → 0=

sin (x + ∆x)

cos (x +∆x)- sinx

cosx

∆xlim

∆x → 0

=

sin (x + ∆x). cosx - cos (x +∆x) sinx

cos (x +∆x) . cosx

∆xlim

∆x → 0

= sin (x +∆x) . cosx - cos (x +∆x) .sinx∆x. cos (x +∆x) . cosx

lim∆x → 0

y' =sin (∆x)

∆x . cos (x + ∆x) . cosxlim∆x → 0

=sin∆x

∆x. 1

cos (x + ∆x) . coslim∆x → 0

lim∆x → 0

= 1 . 1cos (x + 0) . cosx

= 1cos2x

= 1 +tan2x

y' = (tanx)' = 1cos2x

= 1 + tan2x

sin∆x

2

∆x

2

lim∆x → 0

= 1 , cos (x +∆x2

)lim∆x → 0

= cos (x + 0) = co

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



Benzer yolla, y = cotx fonksiyonu için

bulunur.

3. Türev Alma Kuralları

Geçen bölümde bazı fonksiyonların türevlerini türev tanımından yararlanarak hesapladık. Şimdi bu bilgilerden yola çıkarak daha geniş bir sınıf fonksiyonlarıntürevlerini hesaplamak için aşağıdaki kuralları (teoremleri) ispatsız vereceğiz (Buispatlar tanımdan yararlanarak kolayca yapılabilir).

1) f(x) ve g(x) fonksiyonları türevlenebilir ise f(x) ± g(x) fonksiyonu da tü-revlenebilirdir ve

[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)


(sinx)' = cosx , (cosx)' = - sinx , (tanx)' = 1cos2x

, (cotx)' = - 1sin2x

.

Türev Tablosu

1. y = c y' = 0

2. y = xa y' = a xa- 1

y = x y' = 1

y = 1x

y' = - 1

x2

y = x y' = 1

2 x

3. y = a x y' = a x lna

y = e x y' = e x

4. y = loga x y' = 1

x lna

y = ln x y'=

1x

5. y = sinx y' = cosx

6. y = cosx y' = - sinx

7. y = tanx y' = 1

cos2x

8. y = cotx y' = - 1

sin2x

y' = (cotx)' = - 1

sin2x

= - (1 + cot2x)

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



dir. Bu formül ikiden fazla fonksiyonlar için de geçerlidir: Eğer f1(x) , f2(x),........, fn(x) türevlenebilir fonksiyonlar ise o zaman

[f1(x) ± f2(x) ± ....... ± fn(x)]' = f'(x) ± f'2 (x) ± ...... ± f'n (x)

dır.

Örnek: (sinx + x5 )' = (sinx)' + (x5 )' = cosx + 5x4 ,

( x3 - x2 + 5)' = ( x3)' - (x2)' + (5)' = 3x2 - 2x,

2) f(x) ve g(x) fonksiyonları türevlenebilir ise f(x). g(x) çarpım fonksiyonu

da türevlenebilirdir ve

[f(x) . g(x)]' = f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x)

dir. Eğer g(x) = c (sabit) alırsak g'(x) = 0 olduğundan

[c f(x)]' = c f'(x)

bulunur. Yani sabiti türev işareti dışına çıkarmak mümkündür. İkiden fazlafonksiyonun çarpımı için de benzer formül geçerlidir: Eğer f1(x) , f2(x), f3(x),..., fn(x) fonksiyonları türevlenebilir ise o zaman

[f1(x) . f2(x) . f3(x) . ... . fn(x)]' = [f1'(x) . f2(x) . f3(x) . ... . fn(x)] +[f1(x) . f2 '(x) . f3(x) . ... . fn(x) ] + [f1(x) . f2(x) . f3'(x) .

... . fn(x)]+ ...... + [f1(x) . f2(x) . f3(x) . ... . fn'(x)]

dir.

Örnek: (5 x2 cosx)' = 5 (x2 cosx)' = 5 [(x2 )' cosx + x2 (cosx)'] = 5 (2x cosx - x2sinx),

(x ex

ln x)' = (x)' ex

ln x + x . (ex

)' . lnx + x ex

. (ln x)' = 1. ex ln x + x. ex ln x + x ex.

= ex ln x + x ex ln x + ex .

3) f(x) ve g(x) fonksiyonları türevlenebilir ve g(x) ≠ 0 ise o zaman

fonksiyonu da türevlenebilirdir ve

dır.


(ex + lnx - x) ' = (ex)' + (lnx)' - ( x)' = ex + 1x

- 12 x

.

1x

f xg x

f xg x

' =

f' x . g x - f x . g' x

g2 x

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



Örnek:

4) Bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı)

Eğer y = f(u) fonksiyonu u değişkenine göre türevlenebilir ve u= g(x)fonksiyonu ise x değişkenine göre türevlenebilir ise o zaman y= f[g(x)] bileşke

fonksiyonu x değişkenine göre türevlenebilir fonksiyondur ve

[f(g(x)]' = f'(g(x)) . g'(x)

dir.

Zincir kuralı türev alma işleminde önemli araçlardan biridir.

Örnek:


1) x + 1 ' = 1

2 x + 1. x + 1 ' = 1

2 x + 1, y = f (u) = u , u = x + 1

2) x2 - 4x + 23 '

= 3 x2 - 4x + 22

. x2 - 4x + 2 ' = 3 x2 - 4x + 22

. 2x - 4

= 6x - 12 x2 - 4x + 22

, y = f(u) = u3 , u =x2 - 4x + 2

3) sin 2x ' = cos 2x . 2x ' = 2 cos 2x , y = f(u) = sinu , u = 2x

4) tan 1 + x2 ' = 1cos2 1 + x2

1 + x2 ' = 2xcos2 1 + x2

, y = f(u) = tanu ,u =1 + x2

5) x2 - x23 '

= x2 - x

23

'= 2

3x2 - x

23

- 1

. x2 - x '

= 23

x2 - x- 1

32x - 1 =

2 2x - 1

3 x2 - x3

, y = f(u) = u23 , u = x2 - x

6) ln 1 + x2 ' = 11 + x2

. 1 + x2 ' = 2x1 + x2

, y = f(u) = lnu , u = 1+ x2

2x + 3x + 1

'=

2x + 3 ' x + 1 - 2x + 3 . x + 1 '

x + 1 2=

2 . x + 1 - 2x + 3 . 1

x + 1 2

= 2x + 2 - 2x -3x + 1 2

= - 1x + 1 2

,

sin xx

'=

sin x ' . x - sin x . x '

x2= x . cos x - 1 . sin x

x2= x cos x - sin x

x2.

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



Zincir kuralında türevin diğer sembolünü kullanırsak ,

yazabiliriz.

Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.

Cevaplarınız aşağıdaki şekilde olmalıydı.

Türevlenebilir y = f(x) fonksiyonu verilsin. f'(x) türevi ile dx in çarpımına f(x) indiferansiyeli denir ve dy ile gösterilir:

dy = f'(x) dx .

u= u(x) ve v= v(x) türevlenebilir fonksiyonları verilsin. O zaman

d(u ± v) = du ± dv, d(u.v) = udv + vdu,


?1) y = 1 + sinx

1 - sinx

2) y = cosππππx

3) y = ln(tanx)

4) y = esinx

5) y = lnx

6) y = 2x + 1

x - 3

7) y = e1/x

8) y = e- x2

9) y = sinx ecosx

10) y = lnx

x

1) y' = 2 cosx(1 - sinx)2

, 2) y' = - π sin πx2 cosπx

, 3) y' = 1 + tan2 xtanx

,

4) y' = cosxesinx , 5) y' = 1

2x lnx, 6) y' = -7

(x - 3)2,

7) y' = - 1

x2e1/x , 8) y' = - 2xe

- x2 , 9) y' = (cosx -sin2x) ecosx ,

10) y' = 2 - lnx2x x

dy

dx

= dy

du

. du

dx

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



formülleri doğrudur.

Örnek:

1) y = cos 2x için dy = (cos 2x)' dx = -2 sin 2x dx

2) y = 5x3 + x - 8 için dy= (5x3 + x - 8)' dx = (15x2 + 1) dx

3) y = x . tanx için dy = (x . tanx)' dx =

Diferansiyel kavramı yaklaşık hesaplarda oldukça faydalı bir araçtır.

4. Teğet Denklemi

Yukarıda, türevlenebilir y = f(x) fonksiyonunun grafik eğrisi üzerindeki herhangi bir (x0 , f(x0)) noktasındaki teğetinin eğiminin f'(x0) olduğunu bulmuştuk.Analitik geometriden bildiğimize göre, bir (x0 , y0) noktasından geçip, eğimim olan doğrunun denklemi

y - y0 = m (x - x0)

dir. Burada y0 yerine f(x0) , m yerine ise f'(x0) yazarsak y = f(x) fonksi-yonunun (x0 , f(x0)) noktasındaki teğet denklemini aşağıdaki gibi bulmuş olu-ruz:

y - f(x0) = f '(x0) (x - x0) .


tanx + xcos2 x

dx

d uv

= v du - u dvv2

Şekil 9.2

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



Örnek: y = 2x2 - 5x + 6 parabolünün (-1 , 13) noktasındaki teğet denklemini bulalım.

Çözüm: x0 = -1 , f'(x) = (2x2 - 5x + 6)' = 4x - 5 olduğundan

f '(-1) = 4 (-1) - 5 = -9

dur. Buna göre, teğet denklemi

y - 13 = -9 (x+1) veya y + 9x - 4 = 0

olarak bulunur.

Örnek: y = cosx fonksiyonun grafiğinin noktasındaki teğet denk-lemini bulalım.

Çözüm:

olarak bulunur.

1) f(x) = ex eğrisinin x = 0 apsisli noktasındaki teğetinin denklemini bulu-nuz.

2) g(x) = lnx eğrisinin x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin denklemini bu-lunuz.

Cevaplarınız1) y = x + 1 2) y = x - 1 olmalıydı.

5. Yüksek Mertebeden Türevlerf: A → IR , y = f(x) fonksiyonunun her bir x ∈ A için türevi varsa bu f '(x)türevi x in yeni bir fonksiyonudur. Eğer f '(x) türev fonksiyonunun her bir xiçin (f '(x))' türevi varsa, f(x) fonksiyonuna II. mertebeden türevlenebilirfonksiyon, (f'(x))' türevine ise f(x) in II. mertebeden türevi denir ve

gibi sembollerle gösterilir.


?

y" , f" (x) , d2y

dx2 ,

d2 f(x)

dx2

π

4 , 2

2

x0 = π

4 , f x0 = cos π

4 = 2

2, f' (x) = cos x ' = - sin x olduğundan

f ' π

4= - sin π

4= - 2

2. Buradan, teğet denklemi y - 2

2= - 2

2x - π

4 veya 2y + 2 x - 2 - 2

4 π = 0 , 8y +42 x - 4 2 - 2 π = 0

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



Örnek:

1) y = 3x4 - 4x2 + 5 için

y' = 12x3 - 8x , y'' = (12x3 - 8x)' = 36x2 - 8

3) y = sin3x için y' = 3 cos3x , y'' = (3 cos3x)' = -3 sin3x . (3x)' = -9 sin3x.

f : A → IR fonksiyonu, her x ∈ A için ikinci mertebeden türevi olan bir fonksi-yon olsun. Bu durumda f'' : A → IR fonksiyonundan söz etmek mümkün-dür. Eğer f'' fonksiyonunun her bir x ∈ A noktasında türevi varsa, bu türeve fnin üçüncü mertebeden türevi denir ve

gibi sembollerle gösterilir. f''' fonksiyonuna f nin üçüncü mertebeden türev fonk-siyonu denir.

Bu şekilde devam ederek, f(n-1) : A→ IR, (n ∈ IN) fonksiyonunun eğer varsa,

türev fonksiyonuna f nin n. mertebeden türev fonksiyonu denir ve

gibi sembollerle gösterilir.

Örnek: y = f(x) = x4 - 5x3 + 2x2 - 4 polinom fonksiyonu verilsin. Bu durumda

f '(x) = 4x3 - 15x2 + 4x

f''(x) = 12x2 - 30x + 4

f'''(x) = 24x - 30

f(v))(x) = 24

f(v)(x) = 0

f(n) (x) = 0 , n ≥ 5

dir.


2) y = ln x için y' = 1x

, y" = 1x

'= - 1

x2

y"' , f"' (x) , d3 y

dx3 ,

d3 f(x)

dx3

y(n) , f(n)(x) , dn

ydxn

, dn

f(x)dxn

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



Örnek: f (x) = lnx ise

dir.

Değerlendirme Soruları

1. f(x) = (2x + 1)5 ise f '(1) = ?A. 15

B. 243C. 405D. 810E. 1225

2.

3. f(x) = x lnx ise f '(e) = ?

A. e2

B. e

C. e + 1

D. 2

E. 1


?

1) f(x) = x ise f(v)(4) = ? 2) g(x) = sin3x g"' ππππ

2 = ?

3) h(x) = lnx

xh"(1) = ?

Cevaplarınız,

1) - 105

2142) 0 3) -3 olmalıydı.

f (x) = 3x - 1

x + 2ise f ' (0) = ?

A. 72

B. 7

4 C. 3 D. 1

E. - 1

2

f' (x) = 1x

, f" (x) = - 1

x2

, f'''(x) = 2

x3

f(ıv)(x) = - 6x4

, ... , f(n)(x) = (-1) n-1 (n-1) !

xn

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



4.

5.

6. f(x) = tan 3x f '(π) = ?A. 0B. 1

C. 2D. 3

E. 6

7.

A. 0B. 1

C. 2D. 6

E. 12


f (x) = x e-2x ise f' (0) = ? A. -1

e2

B. -2

e2

C. 1 D. 2

e E. 2

e2

f (x) = e x ise f'(4) = ?

A. e2

B. 1

2e2

C. 1

4e2

D. 1

2e

E. 1

4e

f (x) = sin2 3x ise f' π

2= ?

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



8.

9. f(x) = 22x ise f '(0) = ?A. ln2B. 2ln2

C. 4ln2D. 4

E. 8

10. f(x) = x (1 - 3x)5 fonksiyonunun x = 1 noktasında değişme hızı aşağıdaki-lerden hangisidir?A. -272

B. -112

C. -32D. -16E. -8

11.


f (x) = 4x2 - 7x3

ise f' (2) = ? A. 1

43

B. 3

43

C. 9

43

D. 9

2 43

E. 3

2 23

f (x) = lnxx x

fonksiyonunun x = e noktasında değişim hızı aşağıdakilerden

hangisidir?

A. -12e2 e

B. 2e2

- 32e2 e

C. 2

3e D. 2

3 e E. 2 - 3e

e e

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



12. f(x) = x3 - 2x + 1 fonksiyonunun x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin

denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A. y = x

B. y = -x

C. y = x - 1

D. y = x + 1

E. y = -x + 1

13. f(x) = sin2x - cosx fonksiyonu apsisli noktasındaki teğetinin eğimi

aşağıdakilerden hangisidir?

A. -2

B. -1

C. 0D. 1

E. 2

14.

15. f(x) = e2lnx , (x > 0) ise f'(x) = ?

A. 2

B. 2x

C. 2lnxD. e2lnx

E. x2


x = π

2

f (x) = 1

x3

ise f' (8) = ?

A. - 1

96 B. - 1

48

C. - 116 D. 1

16 E. 1

48

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



16.

17. f(x) = x lnx ise df(x) = ?A. lnx dxB. x dxC. (1 + lnx) dxD. (x + lnx) dxE. (1 + x lnx) dx

18.

19. f(x) = sinx ise f(v)(x) = ?A. cosxB. -cosxC. sinxD. -sinxE. sin2x


f (x) = xx + 1

ise f''(x) = ?

A. 1

x + 1 3

B. 2

x + 1 3

C. - 2

x + 1 3

D. - 1

x + 1 3

E. -3

x + 1

4

f (x) = x ise f''' (x) = ?

A. 34 x B. 3

8x x C. 3

8x3 x D. x2 x E. 3

8x2 x

8/2/2019 T Ü R E V K A V R A M I



20. f(x) = esinx ise f"(x) = ?A. esinx

B. ecosx

C. cosx esinx

D. sin2xesinx

E. (cos2x - sinx) esinx

Değerlendirme Sorularının Yanıtları

1. D 2. B 3. D 4. C 5. C 6. D 7. A 8. B 9. B 10. A

11. A 12. C 13. B 14. B 15. B 16. C 17. C 18. E 19. A 20. E


Documents

T Ü R E V K A V R A M I