T Ü R E V U Y G U L A M A L A R I

8/2/2019 T R E V U Y G U L A M A L A R I

1/32

Amalar

Bu niteyi altktan sonra;

trev kavram yardm ile fonksiyonun monotonluunu, eks-tremum noktalarn, konvekslik ve konkavln, bkm noktala-rn aratrabilecek,

fonksiyonun grafiinin iziminde trev kavramnn nasl kulla-nabileceini renecek,

ekstremum problemlerinin zmne dair rneklerle tana-caksnz.

indekiler

Giri 251

Fonksiyonun Artan, Azalan Olduu Aralklar ve

Ekstremum Noktalar 251 Konvekslik, Konkavlk ve Grafik izimi 259

Ekstremum Problemleri 273

Deerlendirme Sorular 276

NTE

10Trev Uygulamalar

Yazar

Prof.Dr. Vakf CAFEROV


2/32

A N A D O L U N V E R S T E S

alma nerileri

nitedeki testleri ve grafik izimi iin gereken ilemleri iyi re-niniz

Trevlerin iaret tablolarndan yararlanmay alkanlk halinegetiriniz

zlm rnekleri iyi inceleyiniz

eitli fonksiyon rnekleri alp, trev yardm ile gerekli zel-likleri aratrnz ve grafiklerini izmeye alnz.


3/32

A I K R E T M F A K L T E S

1. Giri

Basit geometri ve fizik problemlerinde trev kavramnn nasl ortaya ktn ge-en nitenin banda grdk. Biz bu nitede matematiin nemli bir kavram olantrev kavramnn, fonksiyonun artan, azalan olduu aralklarn belirlenmesinde,ekstremum noktalarnn bulunmasnda, konkav ve konveks olduu aralklarnaratrlmasnda, ksaca fonksiyon davrannn incelenmesinde ne kadar nemlibir ara olduunu greceiz.

2. Fonksiyonun Artan, Azalan Olduu Aralklar veEkstremum Noktalar

A, sonlu veya sonsuz bir aralk olmak zere f: A IR fonksiyonu verilsin.nite 5 de, eer her x1, x2 A, x1 < x2 iin f(x1) f(x2) ise f(x) fonksiyonuna Azerinde monoton artan fonksiyon, f(x1) < f(x2) ise kesin artan fonksiyon de-mitik.

Benzer ekilde, eer her x1, x2 A, x1 < x2 iin f(x1) f(x2) ise f(x) fonksiyonunaA zerinde monoton azalan fonksiyon, f(x1) > f(x2) ise kesin azalan fonksiyondemitik.

Grafii ekil 10.1 deki gibi verilmi y = f(x) fonksiyonu (a,b) ve (c,d) aralklarndakesin artan, (b, c) aralnda ise kesin azalandr.

ekilden de grld gibi eer y = f(x) fonksiyonu A aralnda kesin artan ise o za-man her bir xA iin (x, f(x)) noktasndaki teet dorusu apsis ekseni ile dar aolu-turur. Fonksiyonun kesin azalan olduu aralkta ise teet dorusu apsis ekseni ile ge-ni a oluturur. Buna gre, trevlenebilir y = f(x) fonksiyonu verildiinde:

T R E V U Y G U L A M A L A R I 251

ekil 10.1


4/32


Eer bir araln tm x noktalarnda f '(x) 0 ise fonksiyon bu aralkta mo-noton artan, eer f '(x) > 0 ise kesin artan fonksiyondur.

Eer bir araln tm x noktalarnda f'(x) 0 ise fonksiyon bu aralkta mo-noton azalan, eer f'(x) < 0 ise kesin azalan fonksiyondur.

Bu sonulara gre, trevlenebilir y= f(x) fonksiyonunun kesin artan olduu ara-lklar bulmak iin fonksiyonun f '(x) trevini bulup f'(x) > 0 eitsizliinin, ke-sin azalan olduu aralklar bulmak iin ise f '(x) < 0 eitsizliinin zm k-melerinin bulunmas gerekmektedir.

rnek:

1) y= x2

2) y= x2 - 2x

3) y= x3 - 3x + 3

4) y= 2x3 - 3x2 - 12x + 1

fonksiyonlarnn kesin artan ve azalan olduu aralklar bulalm.

zm:

1) f(x)= x2, f '(x) = (x2)' = 2x olduundan f '(x) trev fonksiyonunun iarettablosu aadaki gibidir (2. niteye baknz):

Buna gre, y = x2 fonksiyonu (0, ) aralnda kesin artan, (- , 0) aralndaise kesin azalandr.

2) f(x)= x2 - 2x, f'(x) = (x2 - 2x)' = 2x - 2 olduundan trev fonksiyonununiaret tablosu aadaki gibidir:

T R E V U Y G U L A M A L A R I252

x

f'(x) = 2x

- 0

- 0 +

x

f'(x) = 2x - 2

- 1

- 0 +


5/32


Buna gre, y = x2 - 2x fonksiyonu (1, ) aralnda kesin artan, (- , 1) aral-nda ise kesin azalandr.

3) f(x) = x3 - 3x + 3 , f ' (x) = (x3 - 3x + 3)' = 3x2 - 3; 3x2 - 3 > 0 x2 - 1 > 0.

Son eitsizliin zm kmesi (- , - 1) (1, ) dur (nite 2 ye baknz).

3x2 - 3 < 0 x2 - 1 < 0 ,

bu eitsizliin zm kmesi ise (- 1, 1) araldr.

Fonksiyon, (- , - 1) ve (1, ) aralklarnda kesin artan, (- 1, 1) aralnda ise kesinazalandr.

4) f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x + 1 , f ' (x) = (2x3 - 3x2 - 12x + 1)' = 6x2 - 6x - 12 ;6x2 - 6x - 12 = 0 x1 = - 1, x2 = 2.

aret tablosu aadaki gibidir:

Fonksiyon (- , - 1) ve (2, ) aralklarnda kesin artan, (- 1, 2) aralnda ise kesinazalandr.

Grafii aadaki gibi olan bir y = f(x) fonksiyonu verilmi olsun.


x - - 1 1

+ 0 -

0 += 3x2

- 3f'(x)

x - - 1 2

+ 0 -

+

0 += 6x2 - 6x - 12f'(x)

ekil 10.2


6/32


Fonksiyonun azalanlktan artanla ve artanlktan azalanla getii B ve C nok-talarnele alalm. Bu noktalarn apsisleri b ve c dir.ekil 10.2 de grld gibi:

1) Eer x deikeni b nin "kk" bir komuluunda ise f(x) fonksiyon de-eri f(b) deerinden kk deildir.

2) Eer x deikeni c nin "kk" bir komuluunda ise f(x) fonksiyon de-eri f(c) deerinden byk deildir.

3) b noktasnn solunda y = f(x) fonksiyonu kesin azalan (f '(x) < 0), sandaise kesin artandr (f '(x) > 0).

4) c noktasnn solunda y = f(x) fonksiyonu kesin artan (f'(x) > 0), sanda

ise kesin azaland

r (f '(x) < 0).

5) B ve C noktalarndaki teetler apsis eksenine paraleldir ve buna gre

f '(b) = f '(c) = 0

dr. te x = b gibi noktalara yerel minimum, x = c gibi noktalara ise yerel maksi-mum noktalar denir.

f : A IR fonksiyonu ve x0A noktas verilsin. Eer yle bir > 0varsa ki (x0 - , x0 + ) A olmak zere, her bir x (x0 - , x0 + ) iin

f(x) f(x0)

ise, x= x0 noktasna y = f(x) fonksiyonunun (A kmesinde) yerel maksimumnoktasdenir.

Eer bu tanmda f(x) f(x0) eitsizliini

f(x) f(x0)

eitsizlii ile deitirsek x =x0 noktasna y = f(x) fonksiyonunun (A kmesin-

de) yerel minimum noktasdenir.

Yerel maksimum ve yerel minimum noktalarna fonksiyonun ekstremum nokta-lardenir. Fonksiyonun ekstremum noktasndaki deerine onun ekstremum de-eri denir.

f: A IR fonksiyonu verilsin. Eer bir x0A noktas fonksiyonun ekstre-mum noktas ise ve bu noktada trev varsa o zaman f'(x0)= 0 dr.



7/32


Bu nedenle trevin sfr olduu noktalar ekstremum noktas olmaya aday nokta-lardr. Bir noktann ekstremum noktas olup olmadna karar vermek iin aa-daki ilemler yaplr.

Birinci Trev Testi

A aral zerinde tanml bir y = f(x) fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyonun ekstre-mumlarn bulmak iin aadaki ilemler yaplmaldr.

1) Fonksiyonun f '(x) trevi alnr ve f ' (x) = 0 denkleminin tm kkleribulunur. Sonra (eer varsa) tanm kmesinden olan ve fonksiyonun srekli ol-duu, fakat f'(x) trevinin mevcut olmad x noktalar da belirlenir. Butr noktalara ve f'(x) = 0 denkleminin kklerinin hepsine kritik noktalar

denir. Kritik noktalar byklk s

ras

na gre x1 , x2 , x3 , ... olsun.

2) Trevin iaret tablosu oluturulur. Bunun iin f'(x) trevinin ifadesindex yerine x1 den kk herhangi deer, sonra ise x1 ile x2 arasndan her-hangi deer yazlarak trevin iaretleri belirlenir. Eer trevin iareti "+" dan "-" ye deiirse x1 noktas yerel maksimum, "-" den "+" ya deiirse x1 nok-tas yerel minimum noktasdr. Eer trevin iareti deimezse x1 noktasn-da ekstremum yoktur.

3) Sonra f'(x) trevinin ifadesinde x yerine x2 ile x3 arasndan herhangibir deer yazarak (x2 , x3) aralnda trevin iareti belirlenir ve x2 noktas-

nn ekstremum noktas olup olmadna karar verilir.

4) Tm kritik noktalar iin bu ilem tekrarlanr.

rnek:

1) y = x2 - 2x + 2

2) y = 2x3 - 3x2 - 12x + 1

3) y = x3 - 1

4)

fonksiyonlarnn ekstremum noktalarn bulalm.

zm:

1) f '(x) = (x2 - 2x +2)' = 2x -2 ;

f '(x) = 0 2x - 2 = 0 x= 1 .


y = x23

- 1


8/32


Tek kritik nokta x= 1 dir ve (- , 1) de fonksiyon azalan, (1, ) da ise artandr. Bu-nu tabloda ifade etmek iin " " ve " " iaretleri kullanlarak tabloya yenisatr eklenir:

x = 1 kritik noktasnda fonksiyon azalanlktan artanla getiinden x = 1 yerel mi-nimum noktas, f(1) = 12 - 2.1 + 2 = 1 ise yerel minimum deeridir.

2) f '(x) = (2x3

- 3x2

- 12x + 1)' = 6x2

- 6x - 12;

f '(x) = 0 6x2 - 6x - 12 = 0 x1 = - 1 , x2= 2.

Kritik noktalar iki tanedir: x1 = - 1, x2= 2. Tablo aadaki gibidir:

x = - 1 noktasnda f(x) artanlktan azalanla getiinden x = - 1 noktasyerel mak-simum noktasdr; x = 2 de ise f(x) azalanlktan artanla getiinden x = 2 noktasyerel minimum noktasdr.

f(- 1) = 2 (- 1)3 - 3 (- 1)2 - 12 (- 1) + 1 = 8 yerel maksimum deer,

f(2) = 2. 23 - 3. 22 - 12. 2 + 1 = - 19 yerel minimum deeridir.

3) f '(x) = (x3 - 1)' = 3x2 ;

f '(x) = 0 3x2 = 0 x = 0 .

x = 0 kritik nokta olduundan tablo aadaki gibidir:


x

f'(x)

- 1

- 0 +

f(x) 1

x

f'(x)

- - 1 2

+ 0 -

f(x) 8

+0

- 19

x

f'(x)

- 0

+ 0 +

f(x) - 1


9/32


x = 0 noktasnn solunda ve sanda fonksiyon artan olduundan x = 0 ekstremumnoktas deildir. Buna gre fonksiyonun ekstremumu yoktur.

4)

f '(x) = 0 denkleminin kk yoktur, x = 0 noktas tanm kmesinde olmasnakarlk f '(0) trevi mevcut deildir. Buna gre, x = 0 tek kritik noktadr. Tab-lo aadaki gibidir.

x = 0 yerel minimumdur, f(0) = - 1 ise yerel minimum deeridir.

Eer bir aralk tanm kmesine dahilse ve kritik nokta iermiyorsa bu aralktatrevin iaretini belirlemek iin bu aralktan herhangi bir deer alnarak tre-vin iareti belirlenebilir.

Eer y = f(x) fonksiyonu II. mertebeden trevlenebilir ise o zaman ekstremum

noktalarnn belirlenmesi iin ikinci trev testi uygulanabilir.

kinci Trev Testi

1) nce f'(x) = 0 denkleminin kkleri olan tm kritik noktalar belirlenir.

2) Fonksiyonun f "(x) II. mertebeden trevi bulunur.

Eer x0 kritik noktas iin f "(x0) < 0 ise x0 noktas yerel maksimum nokta-sdr.

Eer x0 kritik noktas iin f"(x0) > 0 ise x0 noktas yerel minimum noktasdr

rnek:

1) y = x2 - 6x + 8

2) y = x4 - 18x2 + 4

3) y = x2 - 2lnxfonksiyonlarnn ekstremum noktalarn bulalm.


f' x = x23

- 1'

= x23 - 1

'= 2

3x

- 13 = 2

3 x3

;

x

f'x)

- 0

- yoktur +

f(x) - 1


10/32


zm:

1) f'(x) = (x2 - 6x + 8)' = 2x - 6 ;f'(x) = 0 2x - 6 = 0 x = 3 kritik noktadr.

f"(x) = (f'(x))' = (2x - 6)' = 2 ,f"(3) = 2 > 0

olduundan ikinci trev testine gre, x = 3 noktas yerel minimum noktas,f(3) = 32 - 6.3 + 8 = -1 ise yerel minimum deeridir.

2) f'(x) = (x4 - 18x2 + 4)' = 4x3 - 36x ;f'(x) = 0 4x3 - 36x = 0 4x (x - 3) (x + 3) = 0 x1 = -3 , x2 = 0 , x3 = 3 kritik noktalardr.

f"(x) = (f'(x))' = (4x3 - 36x)' = 12x2 - 36 ,f"(-3) = 12(- 3)2 - 36 = 108 - 36 = 72 > 0 ,f"(0) = 12.0 - 36 = - 36 < 0 ,f"(3) = 12. 32 - 36 = 72 > 0

olduundan ikinci trev testine gre, x = 0 yerel maksimum, x = -3 ve x = 3 ise ye-rel minimum noktalardr. f(0) = 4 yerel maksimum, f(-3) = -77 , f(3) = -77 ise yerelminimum deerleridir.

3) Fonksiyonun tanm kmesi x > 0 deerleridir.

olduundan x = 1 noktas yerel minimum noktas, f(1) = 12 - 2ln1 = 1 ise ye-rel minimum deeridir.

Not: kinci trev testi birinci trev testine gre daha kullanl gzkebilir. Fakatbirinci trev testi ikinci trev testine gre daha geni snf problemlere uygulanabi-lir. rnein, eer f(x) fonksiyonu II. mertebeden trevlendirilebilir deilse veyafonksiyon II. mertebeden trevlenebilir, ancak x0 kritik noktas iin f"(x0) = 0ise ikinci trev testi uygulanamaz.


f' (x) = (x2 - 2 lnx)' = 2x - 2x

=2(x2 - 1)

x;

f' (x) = 0 2(x2 - 1)

x= 0 2(x2 - 1) = 0 x1 = -1 , x2 = 1 .

x = -1 noktas tanm kmesi dnda olduundan tek kritik nokta x = 1 dir.

f" (x) =2(x2 - 1)

x

'= 2 + 2

x2,

f" (1) = 2 + 212 = 4 > 0


11/32


rnein, f(x) = (x - 1)4 fonksiyonunun tek kritik noktas x = 1 dir. Bu nokta-da f"(x) trevi de sfr olduundan ikinci trev testi uygulanamaz. Buna kar-lk, birinci trev testi ile bu noktann bir yerel minimum noktasolduu kolayca g-

rlebilir.

3. Konvekslik, Konkavlk ve Grafik izimi

y = f(x) fonksiyonunun ekil 10.3 te verilen grafiini ele alalm. Grafiin, apsisi x0olan B noktasna kadar olan ksmnda herhangi bir kiri, grafik parasnn altnda,B noktasndan sonraki ksmnda ise stte kalr.

Bu durumda grafiin B ye kadar ksm konkav, B den sonraki ksm konveks, B

noktas

ise bkm noktas

olur.

y = f(x) fonksiyonu verilsin. Eer bir aralkta y = f(x) in grafiinin her kirii ilgiligrafik parasnn stnde kalyorsa fonksiyona bu aralkta konveks fonksiyon(veya yukar bkey fonksiyon), altnda kalyorsa konkav fonksiyon (veya aabkey fonksiyon) denir. Fonksiyonun konvekslikten konkavla veya konkavlk-tan konvekslie getii noktaya fonksiyonun bkm noktasdenir.

Konvekslik, Konkavlk ve Bkm Noktas Testi

y = f(x) fonksiyonu verilsin. Eer bir (a, b) aralnda f"(x) > 0 ise f fonk-siyonu bu aralkta konvekstir, eer (a, b) aralnda f"(x) < 0 ise f fonksiyo-nu bu aralkta konkavdr. Buna gre, fonksiyonun konveks ve konkav olduu ara-lk veya aralklarla bkm noktalarn bulmak iin u ilemler yaplr:

1) f(x) fonksiyonunun f "(x) ikinci trevi bulunur.

2) f "(x) > 0 eitsizlii zlerek f fonksiyonunun konveks olduu aralk-lar;f "(x) < 0 eitsizlii zlerek de konkav olduu aralklar bulunur.


ekil 10.3


12/32


3) Eer x0 noktasnda f"(x0) = 0 ise ve x0 noktasnn solunda ve sanda f"(x) ikinci trevi zt iaretli deerler alyorsa o zaman x0 noktas bkmnoktasdr.

Eer bir x1 noktasnda fonksiyon srekli ve bu noktada f '(x1) ve f "(x1) t-revlerinden en az biri yoksa ve bu noktann solunda ve sanda f "(x) ikincitrevi zt iaretli deerler alyorsa, o zaman x1 noktas yine bkm noktas-dr.

rnek:

1) y = x2

2) y = x3

3) y = x4

4) y = x4 - 2x3 - 12x2 + 12

fonksiyonlarnn konvekslik, konkavlk aralklarn ve bkm noktalarn bulalm.

zm:

1) f(x) =x2 , f ' (x) = 2x , f '' (x) = 2

dir. Tm x IR iin f'' (x) > 0 olduundan fonksiyon her yerde konvekstir vebkm noktas yoktur.

2) f(x) = x3, f'(x) = 3x2 , f ''(x) = 6x ;

f ''(x) = 0 6x = 0 x = 0.

f'' ikinci trevi iin iaret tablosu aadaki gibidir:

Buna gre (- , 0) aralnda fonksiyon konkav, ( 0, ) da konvekstir. x = 0noktasnda f'' (0) = 0 , x = 0 n solunda f ''(x) < 0 , sanda f''(x) > 0 olduun-dan x = 0bkm noktas 3) f (x) = x4 , f ' (x) = 4x3, f'' (x) = 12x2 0 olduundan fonksiyon her yer-de konvekstir ve bkm noktas yoktur.


x

f'' (x)

- 0 +

- 0 +


13/32


4) f(x) = x4 - 2x3 - 12x2 + 12 , f '(x) = 4x3 - 6x2 - 24x , f ''(x) = 12x2 - 12x - 24 ;

f''(x) = 0 12x2 - 12x - 24 = 0 x1 = -1 , x2 = 2.

Buna gre f'' nn iaret tablosu aadaki gibidir:

Tabloya gre, (- , -1) ve ( 2, ) aralklarnda fonksiyon konveks, (-1, 2) aral-nda ise konkavdr. x = -1 ve x = 2 noktalarnda f ''(x) trevi iaret deitir-diinden x = -1 ve x = 2 noktalar bkm noktalardr.

y = x4 - 24 x2 + x + 1 fonksiyonunun konvekslik , konkavlk aralklarn ve b-km noktalarn bulunuz.

Cevabnz yle olmaldr: (- , -2) ve ( 2, ) aralklarnda fonksiyon kon-veks, (-2, 2) aralnda konkav, x = -2 ve x = 2 noktalar bkm noktalardr.

rnek:

fonksiyonlarnn konvekslik, konkavlk aralklarn ve bkm noktalarn bula-lm.

zm:

f ''(x) = 0 denkleminin kk yoktur, fakat x = 0 noktas tanm kmesindedir vebu noktada f' (0) ve f''(0) trevleri mevcut deildir. f '' nn iaret tablosu aa-daki gibidir:

Yukardaki teste gre fonksiyon (- , 0) da konveks (0, ) da konkavdr, x = 0noktas bkm noktasdr.


x

f'' (x)

- -1

+ 0 -

2

0 +

1) y = x3

+ 1

2) y = x- 153

?

1) f (x) = x3

+ 1 , f' (x) = x3

+ 1'

= x13 + 1

'

= 13

x- 2

3 = 1

3 x23

; f" x = 13

x- 2

3'

= 13

. - 23

x- 5

3 = - 2

9 x53

;

x

f'' (x)

- 0

+ yoktur -


14/32


2)

f ''(x) = 0 denkleminin kk yoktur. x = 1 noktas tanm kmesindedir ancakbu noktada f ''(1) trevi mevcut deildir.

Fonksiyon (- , 1) da konkav, (1, ) da konvekstir, x = 1 bkm noktasdr.

fonksiyonlarnn konveks, konkav olduu aralklar ve bkm noktalarnaratrnz.

Cevaplarnz u ekilde olmalyd.

1) Tm tanm kmesinde konkavdr ve bkm noktas yoktur,

3) IR zerinde konvekstir, bkm noktas yoktur.

Fonksiyonlarn monotonluk, ekstremum, konvekslik ve konkavl gibi zellikle-ri onun grafiinin iziminde nemli rol oynarlar. Grafik izimi iin gereken ilem-ler aadaki gibi verilebilir.

Grafik izimi

1) Fonksiyonun tanm kmesi ak olarak verilmemise nce tanm kmesibulunur.

2) Tanm kmesini oluturan aralklarn ularnda fonksiyonun soldan vesadan limitleri bulunur.


?

f x = x- 1 53

= x - 153 , f' (x) = 5

3x - 1

23 ;

f" x = 53 . 23 x - 1- 1

3 = 109 x - 1

3 ;

x

f'' (x)

- 1

- yoktur +

1) f: 0, IR, f x = lnx2) f: -

2,

2IR, f x = sin

3) f: IRIR, f x = ex

2) - 2

, 0 aralnda konveks , 0 , 2

de konkav, x = 0 bkm noktasdr


15/32


3) Fonksiyonun trevi bulunur, kritik noktalar belirlenir ve trevin iarettablosu oluturulur.

4) aret tablosuna gre fonksiyonun artan, azalan olduu aralklar ve eks-tremum noktalar belirlenir.

5) kinci trev bulunur ve ikinci trevin iaret tablosu oluturulur.

6) kinci trevin iaret tablosuna gre fonksiyonun konveks ve konkav ol-duu aralklar ve bkm noktalar bulunur.

7) x = 0 iin fonksiyon deeri hesaplanarak y - ekseni ile kesiim noktasbulunur. Sonra, eer mmknse, f(x) = 0 denklemi zlerek x - ekseni ile

kesiim noktalar

bulunur.

Bu ilemleri yaptktan sonra fonksiyonun grafiinin izimi olduka kolaylar.

Not: 2). ktaki ilemler yaplrken fonksiyon grafiinin (eer varsa) asimptotla-r da bulunmu olur. yle ki: Eer x a- veya x a+ iken f(x) in limitisonsuz ise (ister art sonsuz, isterse de eksi sonsuz) o zaman x = a dorusu bir (d-ey) asimptottur.

Eer x - veya x iken f(x) b ise o zaman y = b dorusu bir(yatay) asimptottur.

rnek:

1) y = x3 - 3x - 2

2) y = ax2 + bx + c, a > 0, b2 - 4 ac < 0

fonksiyonlarnn grafiklerini izelim.

zm:

1) f(x) = x3 - 3x - 2 fonksiyonu polinom fonksiyon olduundan tanm k-mesiIR = (- , ) dur.

f '(x) = 3x2 - 3 , 3x2 - 3 = 0 x = -1, x = 1

trevin kkleridir. Trevin iaretini inceleyerek fonksiyonun artan ve azalan ol-duu aralklar belirleyelim.


(x3 - 3x - 2) = - velimx -

(x3 - 3x - 2) = dur. Yatay ve dey asimptotlimx

yoktur.


16/32


Tabloya gre fonksiyon (- , -1), (1, ) aralklarnda kesin artan, (-1, 1) aralndakesin azalandr. x = -1 noktas yerel maksimum, f(-1) = (-1)3 - 3(-1) - 2 = 0 ye-rel maksimum deeridir. x = 1 yerel minimum noktas, f(1) = 13 - 3. 1 - 2 = - 4yerel minimum deeridir.

f ''(x) = 6x, 6x = 0 x = 0 ikinci trevin kkdr. kinci trevin iaretini in-celeyerek fonksiyonun konveks ve konkav olduu aralklar belirleyelim.

Tabloya gre, fonksiyon (- , 0) aralnda konkav, (0, ) aralnda konvekstir.x = 0 bkm noktasdr.

x = 0 iin f(0) = -2 dir.

y = 0 iin x3 - 3x - 2 = 0 x = 2, x = -1 ;

Fonksiyon x-eksenini x = - 1 ve x = 2 de kesmektedir. (x = -1 in iki kat kk olduunadikkat ediniz). Btn bu bilgileri tek bir tabloda berlitirip bu tabloya gre grafiiizelim.


x - -1

0f(x)

+ 0 +f'(x)

1

-4

0

-

-

x - 0

-2f(x)

- 0 +f''(x)

konkav konveks

x - -1

0

f"(x)

+ 0 +f'(x)

0

f(x)

-

- -2

- +

0

-

1

-

-4

0

2

0

+

+

+


17/32


2) y = f(x) = ax2 + bx + c, a > 0, b2 - 4ac < 0 fonksiyonu da polinom fonksiyon oldu-undan tanm kmesi IR = (-, ) dir. a > 0 olduundan

dur. Yatay ve dey asimptot yoktur.

trevin kkdr. Trevin iaret tablosu aadaki gibidir.

Tabloya gre fonksiyon aralnda azalan, aralnda ar-

tandr. yerel minimum noktas, yerel minimum de-

eridir.


ekil 10.4

(ax 2 + bx + c) = ,limx -

(ax2 + bx + c) = limx

f' (x) = 2ax + b, 2ax + b = 0 x =- b2a

x -

f(x)

- 0 +f'(x)

- b2a

4ac - b2

4a

- , - b2a

- b2a

,

x = - b2a

f - b2a

= 4ac - b2

4a


18/32


f ''(x) = 2a > 0 olduundan fonksiyon tanm kmesi zerinde konvekstir ve b-km noktas yoktur.

x = 0 iin f(0) = c,

y = 0 iin ax2 + bx + c = 0,

b2 - 4ac < 0 olduundan gerel kk yoktur. Eri x - eksenini kesmemektedir.Bu bilgileri bir tabloda birletirip grafiini izelim.

a > 0 ve b2 - 4 ac < 0 olduundan c > 0 olmak zorunda olduunu grnz.

y = ax2 + bx + c fonksiyonunda minimun noktasnn paraboln tepe noktasolduuna ve tepe noktasnn apsisinin trevin kk, ordinatnn ise fonksiyo-nun bu noktadaki deeri olduuna dikkat ediniz.

y = ax2 + bx + c fonksiyonunda a < 0 ise fonksiyonun yerel minimum nok-

tasnn olduunu ve fonksiyonun konkav olduunu gsteriniz.

Yukardaki rneklerde olduu gibi polinom fonksiyonlarn yatay ve deyasimptotlar yoktur.


x -

f''(x)

- 0 +f'(x)

- b2a

f(x) 4ac - b2

4a

+ +

ekil 10.5

x =- b2a

?


19/32


Daha nceki nitelerde rasyonel, stel, logaritmik ve trigonometrik fonksiyonla-rn grafiklerini fazla ayrntya girmeden sezgisel bir yaklamla izmitik. Trevkavram, bu fonksiyonlarn grafii dediimiz erilerin iziminin ve fonksiyon

davranlarnn daha ayrntl incelenmesine imkan verir.

rnek:

Aadaki fonksiyonlarn, tanm kmelerini, artan, azalan olduklar aralklar,ekstremum noktalarn, konveks ve konkav olduklar aralklar, bkm noktalar-n ve asimptotlarn aratrarak grafiklerini izelim:

zm:

Hem birinci ve hem de ikinci mertebeden trevlerin kk yoktur ve bu trevleriniaret tablosu aadaki gibidir:


1) y =2x + 3x - 1

3) y =e- x

5) y = sin x

2) y = 1,5 x

4) y= ln x6) y = tan

1) f(x) = 2x + 3x - 1

fonksiyonu paydann kk olan x = 1 noktasnda tanm

olmadndan tanm kmesi, (- , 1) (1 ,) dur.

limx -

2x + 3

x - 1= 2 olduundan y = 2 yatay asimptottur. lim

x 1- 2x + 3

x - 1= -

olduundan x = 1 dey asimptottur. lim

x 2x + 3

x - 1= 2 ve lim

x 1+ 2x + 3

x - 1=

dur. Bu sonulara gre de x = 1 dey asimptot, y = 2 yatay asimptottu

f' (x) = 2x + 3x - 1

'=

2x + 3 ' x - 1 - 2x + 3 x - 1 '

x - 1 2= - 5

x - 1 2

f" (x) = - 5

x - 12

'= - 5 x - 1 -2 ' = - 5 - 2 x - 1 -3 . 1

=10

x - 1 3;


20/32


Yukardaki tablolara gre, fonksiyon (- , 1) , (1 , ) aralklarnda kesin azalandrve ekstremum noktas yoktur. Fonksiyon (- , 1) aralnda konkav, (1 , ) aral-nda konvekstir. x = 1 noktasnda fonksiyon tanml ve dolaysyla srekli olma-dndan, bu noktada ikinci trev iaret deitirmesine ramen x = 1 bkm nok-tas deildir. Fonksiyonun bkm noktas yoktur. Grafiin eksenleri kestii nok-talar,

dir. Tm bilgileri topladmz tabloyu oluturup grafii izelim.


x

f'(x)

- 1

- -

2 - + 2f(x)

x

f''(x)

- 1

- +

f(x) konkav konveks

x = 0 iin y=

=2 . 0 + 3

0 - 1 = - 3y = 0 iin 2x + 3

x - 1= 0 2x + 3 = 0 , x = -3

2

x

f'(x)

- - 3/2

- -

2 -

0 1

- -

f''(x)

0 -3 2

- - - +

f(x)

ekil 10.6


21/32


2)

f '(x) = (1,5)x ln 1,5 , f ''(x) = (1,5)x (ln 1,5)2 ;

Her x IR iin (1,5)x > 0 olduundan birinci ve ikinci mertebeden trevinkk yoktur. Ayrca ln 1,5 > 0 olduundan her x IR iin f'(x) > 0 ve f''(x) > 0 dr.

Fonksiyon kesin artan ve konvekstir. Ekstremum ve bkm noktas yoktur.

x = 0 iin y = (1,5)0

= 1 , y = 0 iin (1,5)x

= 0 denklemi elde edilir,bunun ise kk yoktur.Bu bilgilere gre, tablo ve grafik aadaki gibidir.

3)

f '(x) = - e-x , f ''(x) = e- x

dir. Her x IR iin e- x > 0 olduundan, her x IR iin f'(x) < 0 ,f''(x) > 0 dr. Buna gre fonksiyon kesin azalan ve konvekstir. Ekstremum vebkm noktas yoktur.

x = 0 iin e-0 = 1 , e-x = 0 denkleminin kk yoktur. Tablo ve grafik aa-daki gibidir.


f(x) = (1 , 5) x fonksiyonu stel fonksiyondur ve tanm kmesi IR = (- , )

dur. limx - 1 , 5

x = 0 olduundan y = 0 (x-ekseni) yatay asimptottu

Ayr

ca limx 1 , 5

x

=

dur.

x

f'(x)

- 0

+ +

f'' (x)

1

+ +

f(x) 0

ekil 10.7

f(x) = e- x fonksiyonunun tanm kmesi IR = (- , ) dur. lim x - e- x = ,lim

x e- x = 0 olduundan y = 0 dorusu yatay asimptottur.

ekil 10.8

x

f'(x)

- 0

- -

f'' (x)

1 0

+ +

f(x)


22/32


y = (1,5)x , fonksiyonlarndan birincisinde a = 1,5 > 1 , ikinci-

sinde dir. y = (1,5)x in kesin artan, y = e-x in kesin azalan olduu-

nu grdk. Bu bilgilerin nite 5 de grdnz, "y = ax fonksiyonunda a >1 ise fonksiyon kesin artan, 0 < a < 1 ise fonksiyon azalandr" bilgisini dorula-

dna dikkat ediniz.

4)

x = 0 iin y tanmszdr. y = 0 iin ln x = 0 x = 1 dir.

Tablo ve grafik aadaki gibidir.

5)

f(x) = sin x , f '(x) = cos x , f "(x) = - sin x ;

Birinci ve ikinci trevler iin iaret tablolar aadaki gibidir.


y = e-x= 1e

x

a =1e

< 1

f' (x) = 1x

, f" (x) = - 1x2

;

x 0 , iin f' (x) = 1x

> 0 , f" (x) = - 1x2

< 0 dr. Buna gre fonksiyon kesin

artan ve konkavdr. Trevlerin kk olmadndan ekstremum ve bkm noktasyoktur.

xf'(x)

1 + +

f'' (x)

0

- -

f(x) -

0

ekil 10.9

f(x) = ln x fonksiyonunun tanm kmesi (0 ,) araldr. limx 0+

ln x = -

olduundan x = 0 dey asimptottur. lim

x ln x = dur.

f(x) = sin x fonksiyonu her yerde tanml olup 2 periyotlu olduundax i 0 , 2 aralndan alacaz. limx 0 sin x = 0 , limx 2 sin x = 0 d

r.

Yatay ve dey asimptot yoktur.

f' x = 0 cosx = 0 , x1 =2

, x2 = 32

birinci trevin kkleri,

f" x = - sinx = 0 x1 = 0 , x2 = , x3 = 2 ikinci trevin kkleridir.


23/32


28 sayfa

5)


x

f'(x) + -

f(x)

0

2

+0 0

32

1 -1 00

x

f"(x) - +

0

0

konkav konveks

2

f(x)

2

Fonksiyon 0 , 2

ve 32

, 2 de kesin artan, 2

,

32

de kesin azalandr,

0 , de konkav, , 2 de konvekstir. x =2

yerel maksimum, x =32

yerel

minimumdur. x = noktas ise bkm noktasdr.

ekil 10.10

f(x) = tan x fonksiyonunun tan m kmesix IR | x 2

+ k , k Z dir.

tan x fonksiyonu periyotlu olduundan x i -

2,

2ak aralndan

alacaz.

limx -

2+ tanx = - , limx

2- tan x =

olduundan x =-2

ve x =2

dorular dey asimptottur.

f(x) = tan x , f' (x) = 1cos2x

, f" (x) = cos-2x ' = -2 . cos-3x . cos x ' =

= -2 cos-3x . -sin x = 2 sin x

cos3x;

Her x - 2

, 2

iin f' (x) = 1cos2x

> 0 olduundan fonksiyon bu aralkta

kesin artandr ve ekstremumu yoktur. Birinci ve ikinci trevlerin iaret tablolaryledir:


24/32


x = 0 iken y = 0 ve y = 0 iken x = 0 d r.

1) y = logax (a >1) fonksiyonunun kesin artan ve konkav olduunu gsteri-niz.2) y = cosx (0 < x < 2) fonksiyonunun kesin artan ve azalan olduu aralk-lar, konveks ve konkav olduu aralklar, ekstremumlarn ve bkm noktala-rn bulunuz.Cevaplarnz yle olmaldr:


?

x

f"(x) - +

f(x)

0

0

konkav konveks

2

2

0

-x

f'(x) +

f(x) -

2

2-

- 2

,2

aralnda cos x > 0 olduunu hatrlaynz . II. trev tablosuna gre,

-

2, 0 da fonksiyon konkav, 0 , -

2de konveks, x = 0 bkm noktasdr.

x

f'(x)

0

+ +

f"(x)

-

2

2

f(x)

- +

-

ekil 10.11

2) Fonksiyon (0,) de kesin azalan, ( , 2) de kesin artandr; 0 , 2

ve

32

, 2 de konkav, 2

, 32

de konvekstir , x =2

ve x =32

noktalar

bkm noktalar

d

r.


25/32


4. Ekstremum Problemleri

Bu blmde trev yardm ile zlebilen bir ka ekstremum problemini ele ala-

caz.

rnek:

Toplamlar 100 olan yle iki say bulunuz ki birincinin kb ile ikincinin arpmmaksimum olsun.

zm:

Birinci say x ise ikinci say 100 - x olur. O zaman x3 (100 - x) ifadesi maksimum ol-

mal

d

r. f(x) fonksiyonu olarak x3

(100 - x) i al

rsak o zaman f(x) in maksimumdeerini bulmamz gerekmektedir.

f(x) = 100 x3 - x4, f'(x) = 300 x2 - 4x3, f"(x) = 600x - 12x2 ;

f '(x) = 0 300 x2 - 4x3 = 0 4x2 (75- x) = 0 x = 0 ve x = 75.

Kritik deerler x = 0 ve x = 75 dir. x = 0 problemin zm olamayacandan x = 75iin

f"(75) = 600. 75 - 12. 752 = 45000 - 67500 = -22500 < 0

olduundan x = 75 maksimum noktasdr.

Cevap olarak bu saylar 75 ve 100 - 75 = 25 olmaldr.

rnek:

evresinin uzunluu 20 m olan bir dikdrtgenin alannn maksimum olmas iinbu dikdrtgenin boyutlar ne olmaldr?

zm:

Boyutlar x ve y ise 2(x + y) =20 ve S = xy alan maksimum olmaldr.x + y = 10 ; y = 10 - x olduundan

S(x) = x(10 - x) = 10x - x2 fonksiyonunun maksimumu bulunmaldr.

S'(x) = 10 - 2x , S"(x)= -2 ;

S'(x) = 0 10 2x= 0 2x= 10x= 5.


5 m

5 m


26/32


S"(5) < 0 olduundan x = 5 maksimum noktasdr. O zaman y = 10 - x = 10 - 5 = 5bulunur ve dolaysyla evre uzunluu verildiinde alann maksimum olmas iindikdrtgen kare olmaldr.

rnek:

Bir odann bir penceresinin aas dikdrtgen, yukars ise yarm daire eklinde-dir. Pencerenin evresinin uzunluu 7 m dir. Pencereden odaya maksimum kdebilmesi iin onun boyutlar ne olmaldr?

zm:

Den n maksimum olmas iin pencerenin S alan maksimum olmaldr. S1

dikdrtgenin alan

, S2 ise yar

mdairenin alan

olmak zere, S = S1 + S2 dir.

Dikdrtgenin boyutlar x ve y olsun. O zaman pencere evresinin uzunluu

olur. S1 = xy,

olur. evre uzunluu 7 m olduundan

buradan

elde edilir. Bylece, pencerenin S alan onun x tabannn fonksiyonu olarak bulun-mu oldu. Bu fonksiyonun x e gre maksimumunu bulmamz gerekiyor. Fonksi-yonun trevlerini alalm:


y

x

S 2

S 1

x + 2y +12 . 2. x2

S2 = 12

. x2

2olduunda

S = S1 + S2 = xy +x2

8

x + 2y +x2

= 7 2y = 7 - x2

-x y =7 - x

2-x

2,

S x = x .7 - x

2-x

2+x

2

8=

7x - x2

2-x2

2+x

2

8=

4 7x - x2

2-x2 +x2

8=

= 28x - 2x2 - 4x2 +x2

8= 28x - 4x

2 - x2

8


27/32


Kritik noktada S" ikinci trev negatif olduundan (aslnda S" her yerde negatif

tir) x 1,96 maksimum noktasdr.

Cevap olarak x 1,96 m , y 0,98 m bulunur.

rnek:

Hacmi 1500 cm3

olan silindir eklinde st kapal

metal kutu yap

lacakt

r. Ge-rekli metal miktarnn minimum olmas iin silindirin boyutlar (taban yarap veykseklik) ne olmaldr?

zm:

Silindirin taban yarap r, ykseklii h olsun. Silindirin hacmi V =r2.h = 1500cm3 dr. Metal miktarnn minimum olmas iin toplam yzey alan (yan yze-yinin alan art taban alanlar) minimum olmaldr.

Yan yzeyi alan2rh, taban alanlar toplam2r2dir. Buna gre toplam yzey ala-n

A = 2r2 + 2rh

olur. bulunur. Bunu yukarda yazarsak

olur. A yzey alan r nin bir fonksiyonudur. Bu fonksiyonun r ye gre minimumubulunmaldr. Trevleri alalm:


S' x = 28x - 4x2 - x2

8

'= 28 - 8x - 2x

8, S" x = 28 - 8x - 2x

8

'= - 8 - 2

8= - 4 +

4;

S' x = 028 - 8x - 2x8

= 0(8 + 2) x = 28 x = 288 + 2

= 144 +

1,96 .

r

h

r2. h = 1500 h = 1500r2

A r =2r2 + 2r . 1500r2

= 2r2 + 3000r


28/32


1) Hangi gerel say iin bu say ile onun karesi fark en byk olur?2) Odann penceresinin aas dikdrtgen, yukars ise ekenar gen eklin-

dedir. Pencerenin evre uzunluu 3 m olduuna gre pencere alan

n

n maksi-mum olmas iin taban uzunluu ne olmaldr?

Cevaplarnz 0,5 ve 0,7 m olmaldr.

Deerlendirme Sorular

1. y = 2x3 - 9x2 - 24x + 6 fonksiyonunun yerel ekstremum noktalar aada-kilerden hangisidir?A. x = -1

B. x = 2C. x = -1 ve x = 2D. x = -1 ve x = 4E. x = -2 ve x = 2

2. y = 2x3 - 3x2 - 12x + 6 fonksiyonunun bkm noktas aadakilerden han-gisidir?


A' r = 4r - 3000r2

, A" r = 4+ 6000r3

,

A' r = 0

4

r -3000

r2 = 0

r

3

=30004

r =30004

3

6,2 .

kinci trev testine gre r 6,2 cm minimum noktasdr. Ykseklik iseh = 1500

r2 1500. 38,4

12,4 cm

olarak bulunur.

?

A. x = 32

B. x = 1

2C. x = -1

2D. x = -3

2E. Yoktur


29/32


3. y = xlnx fonksiyonunun kesin artan olduu aralk aadakilerden hangi-sidir?

4.

5.

6.


A. (0,

)B. (0, 1

e)

C. (e , )D. (1

e,)

E. (1, )

y = 2 - 3xx + 2

fonksiyonunun grafiinin tm asimptotlar aadakilerden

hangisidir?

A. x = -2 dorusu

B. x = -3 dorusu

C. x = -2 ve y = 0 dorular

D. x = -2 ve y = -3 dorular

E. x = 0 ve y = -3 dorular

Aadakilerden hangisi y = (x + 2)23

+ 5 fonksiyonunun yerel minimmudur?

A. x = 0

B. x = 0 ve x = -2

C. x = -2

D. x = 1

E. Yoktur

y = (x + 2)23

+ 5 fonksiyonunun bkm noktas aadakilerden hangisi

dir?A. x = -2

B. x = -1

C. x = 0

D. x = 1

E. Yoktur


30/32


7. y = x + lnx fonksiyonunun konkav olduu en geni aralk aadakilerdenhangisidir?A. (0, 1)

B. (0, e)C. (e, )D. (0, )E. (1/e , )

8.

9.

10.


y = cos2x fonksiyonu aadaki aralklarn hangisinde konvekstir?

A. 4

,

2

B. - 2

,

2C. 0 ,

2

D. 0 ,

E. 0 , 2

y = cot2x fonksiyonu aadaki aralklarn hangisinde kesin azalandr?

A. 0 ,

B. 0 , 2

C. 2

,

D. 0 , 23

E. 4

, 34

y = x +1x

fonksiyonunun tm kritik noktalar kmesi aadakilerden

hangisidir?

A. {-1}

B. {1}

C. {0, -1, 1}

D. {0, 1}

E. {-1, 1}


31/32


11.

12. y = xex fonksiyonunun bkm noktas aadakilerden hangisidir?A. x = -2

B. x = -1C. x = 0D. x = 1E. x = 2

13. Hacmi 1500 cm3 olan silindir eklinde st ak metal kutu yaplacaktr.Gerekli metal miktarnn minimum olmas iin silindirin boyutlar ( r taban ya-rap ve h ykseklii) ne olmaldr?A. r 5,81 cm , h 10 cmB. r 6,81 cm , h 8,92 cmC. r 6,92 cm , h 8,71 cm

D. r 7,01 cm , h 8,21 cmE. r 7,82 cm , h 7,82 cm

14. Kenar 6 cm olan ekenar gen iine ekildeki gibi dikdrtgen izilmitir.Dikdrtgenin alannn maksimum olmas iin onun x ve y boyutlar ka olma-ldr?


y = x2 (1 - x)13 fonksiyonunun tm kritik noktalar kmesi aadakiler-

den hangisidir?

A. 0 , 2

B. 0

C. 2

D. 0 , 67

, 1

E.

y

x

6

6

6

A. x = 3 cm , y = 3 cmB. x = 3 3 cm , y = 3 cC. x = 3 cm , y =3 3

2

cm

D. x = 3

2cm , y = 3 3 cm

E. x = 3 cm , y = 3 cm


32/32


15. Pozitif iki saynn arpm 384 dr. Birincinin iki kat ile ikincinin kbnntoplamnn minimum olmas iin bu saylar aadakilerden hangisi olmal-dr?

A. 12 ve 32B. 24 ve 16C. 48 ve 8D. 96 ve 4E. 192 ve 2

Deerlendirme Sorularnn Yantlar

1. D 2. B 3. D 4. D 5. C 6. E 7. D 8. A 9. B 10. E

11. D 12. A 13. E 14. C 15. D


Documents

T Ü R E V U Y G U L A M A L A R I