Embed Size (px)
Citation preview
SUPERFICIES MINIMAS COMPLETAS
MERGULHADAS DE CURVATURA TOTAL
FINITA E GENUS ZERO EM R3
EDILSON SOARES MIRANDA
Centro de Ciencias Exatas
Universidade Estadual de Maringa
Programa de Pos-Graduacao em Matematica
(Mestrado)
Orientador: Ryuichi Fukuoka
Maringa- Pr
2004
SUPERFICIES MINIMAS COMPLETAS
MERGULHADAS DE CURVATURA TOTAL
FINITA E GENUS ZERO EM R3
EDILSON SOARES MIRANDA
Dissertacao submetida ao corpo docente do Programa de Pos-Graduacao em Ma-
tematica da Universidade Estadual de Maringa - UEM-PR, como parte dos requisitos
necessarios a obtencao do grau de Mestre.
Banca examinadora:
Prof. Dr. Ryuichi Fukuoka - UEM ......................................................
(Orientador)
Prof. Dr. Francesco Mercuri - UNICAMP ......................................................
Prof. Dr. Armando Caputi - UEM ......................................................
Maringa
2004
ii
Aos meus pais e irmaos
iii
Agradecimentos
Meus sinceros agradecimentos a todos que de alguma forma contribuıram para
o exito deste trabalho, e em especial:
- A Deus, pelo Dom da vida e pela luz divina que sempre me acompanha.
- Aos meus pais, Osvaldo e Lucia, pelo contınuo apoio, ensinando-me, princi-
palmente, a importancia da construcao e coerencia de meus proprios valores. E
principalmente pelo “amor sem limites”.
- Aos meus Irmaos, Edirley e Eder, meus eternos companheiros, que souberam
entender minhas dificuldades e minhas ausencias.
- Ao Orientador, Professor Dr. Ryuichi Fukuoka, pela amizade e constante
incentivo, sempre indicando a direcao a ser tomada. E principalmente pela confianca
que depositou em mim. Minha eterna gratidao.
- Aos Professores, pelo valioso conhecimento que me forneceram.
- A Secretaria, Lucia, pela boa-vontade e pelos esclarecimentos sobre procedi-
mentos academicos.
- Aos Amigos, pelo prazer de suas amizades, conversas e trocas de conhecimentos,
futebol, e outras coisas mais.
- A Meire, pela forca e apoio em todos os momentos e tambem pelo computador.
- Ao CNPq, pela bolsa concedida durante os anos do curso.
iv
Resumo
Neste trabalho demonstra-se que o plano e o catenoide sao as unicas superfıcies
mınimas completas mergulhadas de curvatura total finita e genus zero em R3.
Para tal resultado utiliza-se a teoria de Geometria Diferencial, Topologia, Analise
Complexa e um pouco da teoria de Algebra e Equacoes Diferenciais Parciais.
v
Abstract
In this work it is demonstrated that the plane and the catenoid are the only embed-
ded complete minimal surfaces of finite total curvature and genus zero in R3.
For such a result Differential Geometry, Topology, Complex Analysis and a little
of Algebra and Partial Differential Equations are used.
vi
Conteudo
Introducao 1
1 Resultados Preliminares 2
1.1 Princıpio do maximo para equacoes diferenciais parciais e-
lıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Geometria diferencial local das superfıcies em Rn . . . . . . . 4
1.3 Estruturas em variedades diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 O fibrado tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Aplicacoes de recobrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 O grau de uma aplicacao entre variedades diferenciaveis fe-
chadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.1 Regularidade de aplicacoes diferenciaveis . . . . . . . . . . . . 18
1.6.2 O grau de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 A caracterıstica de Euler de uma variedade diferenciavel
fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Zeros de uma funcao algebrica de C× C em C . . . . . . . . . . 23
1.8.1 Superfıcies de Riemann associada a funcoes analıticas . . . . . 23
1.8.2 Funcoes algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
vii
2 Superfıcies Mınimas em Rn 28
2.1 Superfıcies que minimizam a area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Parametros isotermicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Superfıcies parametricas em R3. A aplicacao normal de Gauss . . . . 42
2.4 A formula de Jorge-Meeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Superfıcies mınimas completas mergulhadas de genus zero 53
3.1 Deformacoes de superfıcies mınimas mergulhadas . . . . . . . . . . . 56
3.2 Resultado principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Bibliografia 72
viii
Introducao
Superfıcies mınimas mergulhadas completas sao objetos interessantes em Geome-
tria Diferencial. Os planos, catenoides e helicoides sao exemplos desses objetos.
R. Osserman [15] mostrou que uma superfıcie mınima, completa e de curvatura
total finita e conformemente equivalente a uma superfıcie de Riemann compacta,
furada em um numero finito de pontos. Com esse resultado classico seria natural
tentar classifica-las.
Ate o comeco da decada de 80, os unicos exemplos mergulhados conhecidos eram
o plano e o catenoide.
Depois surgiram a Superfıcie de Costa, e exemplos com genus arbitrarios.
Nesse trabalho, analisamos um trabalho de Lopes e Ros que classifica as su-
perfıcies mınimas completas mergulhadas de genus zero e curvatura total finita.
Elas sao o plano e o catenoide.
No capıtulo 1, introduziremos pre-requisitos necessarios para o estudo das su-
perfıcies mınimas.
No capıtulo 2, desenvolveremos o estudo de superfıcies mınimas em R3 com
curvatura total finita. E mostraremos a formula de Jorge-Meeks usando a teoria de
campos de vetores.
No capıtulo 3, caracterizaremos as superfıcies mınimas completas mergulhadas
de curvatura total finita e genus zero em R3. Mais precisamente provaremos que as
superfıcies satisfazendo as hipoteses acima sao precisamente o plano e o catenoide.
1
Capıtulo 1
Resultados Preliminares
O objetivo deste capıtulo e apresentar alguns resultados basicos, os quais preci-
saremos nos capıtulos posteriores.
1.1 Princıpio do maximo para equacoes diferen-
ciais parciais elıpticas
Seja f : U → R uma aplicacao de classe C2 em U ⊂ Rn. Um operador elıptico
L na forma nao divergente e dado por
Lf = −m∑
i,j=1
aijfxixj+
n∑i=1
bi(x)fxi+ cf, (1.1)
onde aij, bi e c sao funcoes contınuas e det[aij(x)] > 0 para todo x ∈ U . Sem perda
de generalidade, podemos assumir que aij = aji, i = 1, ..., n, pois fxixj= fxjxi
.
Definicao 1.1 Dizemos que um operador diferencial parcial L e uniformemente
elıpitico, se existe uma constante θ > 0 tal que
m∑i,j=1
aij(x)ξiξj ≥ θ|ξ|2 (1.2)
para qualquer x ∈ U e todo ξ ∈ Rn.
2
secao1.1 3
Seja L um operador uniformemente elıptico. Funcoes que satisfazem Lf ≤ 0,
Lf ≥ 0 sao chamadas de subsolucoes e supersolucoes de (1.1) respectivamente.
A seguir apresentamos alguns resultados classicos dessas classes de funcoes.
Teorema 1.2 (Princıpio do maximo fraco) Suponhamos que f ∈ C2(U) ∩ C(U) e
que c(x) = 0 ∀x ∈ U .
(i) Se Lf ≤ 0 em U , entao
maxU
f = max∂U
f. (1.3)
(ii) Se Lf ≥ 0 em U , entao
minUf = min
∂Uf. (1.4)
Teorema 1.3 (Princıpio do Maximo Fraco com c ≥ 0). Suponhamos que f ∈
C2(U) ∩ C(U) e c ≥ 0 em U .
(i) Se Lf ≤ 0 em U , entao
maxU
f ≤ max∂U
f+.
(ii) Se Lf ≥ 0 em U , entao
minUf ≥ −max
∂Uf−.
Em particular, se Lf = 0 em U , entao
maxU
|f | = max∂U
|f |.
Um resultado que e interessante por si so, e e usado tambem na demonstracao
do princıpio do maximo forte (veja teoremas 1.5 e 1.6), e o lema de Hopf:
Lema 1.4 (Lema de Hopf). Suponhamos que f ∈ C2(U) ∩ C(U), c ≡ 0, Lf ≤ 0
em U e que existe x0 ∈ ∂U tal que
f(x0) > f(x), ∀x ∈ U. (1.5)
secao1.2 4
Alem disso suponha que U satisfaz a condicao da bola interior em x0, isto e,
existe uma bola aberta B ⊂ U com x0 ∈ ∂B.
(i) Entao ∂f∂w
(x0) > 0, onde w e um vetor normal exterior a B em x0.
(ii) Se c ≥ 0 em U , a mesma conclusao e valida desde que f(x0) ≥ 0.
Teorema 1.5 (Princıpio do Maximo Forte). Suponhamos que f ∈ C2(U) ∩ C(U)
e que c ≡ 0 em U , onde U e conexo, aberto e limitado.
(i) Se Lf ≤ 0 em U e f atinge um maximo no interior de U , entao f e constante
em U .
(ii) Se Lf ≥ 0 em U e f atinge um mınimo no interior de U , entao f e constante
em U .
Teorema 1.6 (Princıpio do Maximo Forte com c ≥ 0). Suponhamos que f ∈
C2(U) ∩ C(U) e c ≥ 0 em U , onde U e conexo.
(i) Se Lf ≤ 0 em U e f atinge um maximo nao negativo no interior de U , entao
f e constante em U .
(ii) Se Lf ≥ 0 em U e f atinge um mınimo nao positivo no interior de U , entao
f e constante em U .
Note que as funcoes harmonicas satisfazem o princıpio do maximo.
1.2 Geometria diferencial local das superfıcies em
Rn
Agora vamos desenvolver o estudo local de superfıcies em Rn, cujas demonstra-
coes podem ser encontradas em [15].
Seja x = (x1, ..., xn) um ponto no espaco euclidiano n-dimensional Rn e D um
domınio no plano parametrizado por u = (u1, u2). Definimos provisoriamente uma
secao1.2 5
superfıcie S em Rn como sendo uma aplicacao f : D → Rn. Se f ∈ Cr em D, entao
escrevemos S ∈ Cr. Denotaremos a matriz jacobiana da aplicacao f por
J = (Jij); Jij =∂fi
∂uj
, i = 1, ..., n; j = 1, 2.
Observe que a j-esima coluna de J e formada pelo vetor
∂f
∂uj
=
(∂f1
∂uj
, ...,∂fn
∂uj
). i, j = 1, 2.
Definimos a matriz g por
g = (gij) = J tJ ; gij =∂f
∂ui
· ∂f∂uj
. (1.6)
Lema 1.7 Seja f uma aplicacao diferenciavel de D em Rn. Em cada ponto de D,
as seguintes condicoes sao equivalentes:
a) Os vetores ∂f∂u1, ∂f
∂u2sao linearmente independentes;
b) A matriz jacobiana J tem posto 2;
c)Existe i, j, com 1 ≤ i < j ≤ n tal que∂(fi,fj)
∂(u1,u2)6= 0;
d) ∂f∂u1
∧ ∂f∂u2
6= 0;
e) detg > 0.
Definicao 1.8 Uma superfıcie S e regular em um ponto se as condicoes do lema
1.7 sao satisfeitas neste ponto; S e regular se ela e regular em cada ponto de D.
Seja S ∈ Cr uma superfıcie dada por f : D → Rn e ι : D → D e um difeomorfis-
mo de classe Cr. Dizemos que a superfıcie S definida por f ι : D → Rn e obtida de
S por uma mudanca de parametros. Dizemos que uma propriedade de S independe
secao1.2 6
dos parametros, se ela valida nos pontos correspondentes de todas as superfıcies S
obtida de S por uma mudanca de parametros.
Seja S uma superfıcie regular definida por f ∈ C2 em um domınio D. Suponha-
mos que Ω e um subdomınio de D tal que Ω ⊂ D, onde Ω e o fecho de Ω. Seja Σ a
superfıcie definida por f restrito a Ω. Definimos a area de Σ por
∫ ∫Ω
√detgdu1du2. (1.7)
Se f : Ω → R e uma funcao contınua, podemos definir a integral de f com respeito
ao elemento de area da superfıcie Σ como,
∫ ∫Ω
f(u)dA =
∫ ∫Ω
f(u)√
detgdu1du2. (1.8)
Pode-se mostrar que as integrais acima nao dependem da parametrizacao.
Definicao 1.9 Seja Ω um domınio cujo fecho esta em D. A superfıcie definida pela
restricao de f em Ω tem curvatura total dada por,∫ ∫Ω
KdA
onde K e a curvatura gaussiana de f .
Definicao 1.10 Sejam 1 ≤ i, j ≤ n dois inteiros fixos distintos e D um domınio do
plano parametrizado por (xi, xj), onde (x1, ..., xn) ∈ Rn. As equacoes
xk = ϕk(xi, xj), k = 1, ..., n k 6= i, j; (xi, xj) ∈ D, (1.9)
onde ϕk ∈ C2, definem uma superfıcie S em Rn que sera chamada de superfıcie na
forma nao parametrica ou forma explıcita.
Assumiremos que a superfıcie e definida por (1.9) com
x1 = f1(u1, u2) = u1, x2 = f2(u1, u2) = u2,
secao1.2 7
xk = fk(u1, u2) = ϕk(u1, u2), k = 3, ..., n. (1.10)
Entao
∂f
∂u1
=
(1, 0,
∂ϕ3
∂u1
, ...,∂ϕn
∂u1
),
∂f
∂u2
=
(0, 1,
∂ϕ3
∂u2
, ...,∂ϕn
∂u2
)(1.11)
e
g11 = 1 +n∑
k=3
(∂ϕk
∂u1
)2
, g12 = 1 +n∑
k=3
(∂ϕk
∂u1
∂ϕk
∂u2
),
g22 = 1 +n∑
k=3
(∂ϕk
∂u2
)2
. (1.12)
Observa-se claramente que os vetores ∂f∂u1
e ∂f∂u2
sao linearmente independentes.
Logo toda superfıcie na forma nao parametrica e automaticamente regular.
Em varias situacoes a representacao de uma superfıcie na forma nao parametrica
facilita os calculos. O lema seguinte e importante pois diz que todas as superfıcies
parametricas tem localmente uma representacao nao parametrica.
Lema 1.11 Seja S uma superfıcie na forma parametrica dada por f : D → Rn e
q um ponto regular de S. Entao existe uma vizinhanca Ω de q, tal que a superfıcie
Σ obtida pela restricao de f em Ω tem uma reparametrizacao Σ na forma nao
parametrica.
Agora vamos definir o plano tangente a uma superfıcie S em um ponto. Para isso,
primeiramente definimos uma curva em D como sendo uma aplicacao γ : [a, b] → D
continuamente diferenciavel.
Seja S uma superfıcie definida por f : D → Rn. Como estamos interessados no
estudo local de S, considere um ponto q ∈ D no qual S e regular. Restringindo S
a uma vizinhanca suficientemente pequena de q (que por comodidade continuamos
chamando de D) temos que f : D → Rn e injetora em D. Considere o conjunto
TqS = dfq(γ′(t0)); γ ∈ C,
secao1.2 8
onde C e o conjunto de todas as curvas que estao contidas em D com γ(t0) = q.
Definicao 1.12 O espaco vetorial TqS descrito acima e chamado de plano tangente
a superfıcie S no ponto q.
Assim uma superfıcie S tem um plano tangente em cada ponto regular e inde-
pende dos parametros.
Seja ν um vetor normal a S, entao ν e ortogonal aos vetores ∂f∂u1
e ∂f∂u2
. Defina
bij(ν) =∂2f
∂ui∂uj
· ν 1 ≤ i, j ≤ 2 (1.13)
Se TqS e o plano tangente a S em um ponto q, entao o seu complemento ortogonal
que denotaremos por T⊥q S, e chamado espaco normal de S em q.
Denote o fibrado normal de S por T⊥S (onde T⊥S = (q, ν); q ∈ D, ν ∈ T⊥q S).
A curvatura media e uma aplicacao H : T⊥S → R dada por
H(ν) =g22b11(ν) + g11b22(ν)− 2g12b12(ν)
2 det(gij). (1.14)
Pode se mostrar queH nao depende da parametrizacao escolhida. H(ν) e chama-
do de curvatura media S em relacao a ν.
Segue imediatamente de (1.13) que bij(ν) e linear em ν e de (1.14) que H(ν) e
linear em ν. Portanto existe um unico vetor H ∈ T⊥q S tal que
H(ν) = H · ν ∀ν ∈ T⊥q S. (1.15)
O vetor H e chamado vetor curvatura media de S em q.
O lema a seguir sera utilizado no estudo de superfıcies que minimizam area.
Lema 1.13 Seja f : D → Rn uma superfıcie S ∈ Cr, q um ponto regular de S e
ν ∈ T⊥q S. Entao existe uma vizinhanca Ω de q e um campo normal Υ ∈ Cr−1 em Ω
tal que Υ(q) = ν.
secao1.3 9
1.3 Estruturas em variedades diferenciaveis
Para o estudo global das superfıcies, vamos dar algumas definicoes sobre varie-
dades diferenciaveis.
Definicao 1.14 Uma variedade (topologica) de dimensao n e um espaco de Haus-
dorff, onde cada ponto possui uma vizinhanca homeomorfa a um domınio em Rn.
Um atlas A de uma variedade de dimensao n e uma colecao de triplas (Oα, Uα, hα),
onde Oα e um domınio em Rn, Uα e um conjunto aberto de M , hα e um homeomor-
fismo de Oα em Uα, e a uniao de todos Uα e igual a M . Para cada α, hα e chamada
parametrizacao de M .
Dadas as parametrizacoes hα : Oα → Uα e hβ : Oβ → Uβ numa variedade M ,
tais que Uα ∩ Uβ 6= ∅, entao o homeomorfismo
h−1α hβ : h−1
β (Uα ∩ Uβ) → h−1α (Uα ∩ Uβ)
e chamado mudanca de parametros.
Definicao 1.15 Uma estrutura de classe Cr sobre M e um atlas para os quais as
mudancas de parametros h−1α hβ sao de classe Cr onde ela estiver definida.
Uma estrutura conforme sobre M e um atlas para os quais as mudancas de
parametros h−1α hβ sao aplicacoes conformes (aplicacoes que preservam angulos)
onde ela estiver definida.
Uma variedade M e orientavel, se ela possui um atlas para os quais as mu-
dancas de parametros h−1α hβ preservam orientacao onde ela estiver definida. Uma
orientacao de M e uma escolha de tal atlas.
secao1.3 10
Definicao 1.16 Uma variedade diferenciavel de dimensao n e classe Cke uma va-
riedade M de dimensao n, juntamente com uma estrutura de classe Ck sobre M .
Definicao 1.17 Sejam M e N variedades diferenciaveis de dimensoes finitas. Uma
aplicacao f : M → N e diferenciavel no ponto p ∈ M , se existem parametrizacoes
hα : Oα → Uα em M , hβ : Oβ → Uβ em N , com p ∈ Uα e f(Uα) ⊂ Uβ tais que
hβ h−1α : Oα → Oβ e diferenciavel em h−1
α (q).
Como as mudancas de parametros em M e N sao de classe Ck, segue que a defi-
nicao acima independe da parametrizacao. Dizemos que f : M → N e diferenciavel,
se f for diferenciavel em todos os pontos de M .
Definicao 1.18 Uma superfıcie S de classe Cr em Rn e uma variedade bidimen-
sional M com uma estrutura de classe Cr e uma aplicacao f : M → Rn de classe
Cr.
Seja S uma superfıcie de classe Cr em Rn e A = (Oα, Uα, hα) a estrutura de
classe Cr associada a S. Entao f hα : Oα → Rn define uma superfıcie local no
sentido da definicao da secao 1.2. Em particular, um ponto de S significa o par
(q0, f(q0)) onde q0 ∈ M . Daı e possıvel falar em um ponto regular de S, de plano
tangente e vetor curvatura media de S num ponto, etc.
Definicao 1.19 Uma superfıcie de Riemann M e uma variedade bidimensional,
conexa de Hausdorff com um atlas maximal A, onde as mudancas de parametros
sao aplicacoes conformes.
Por exemplo, o plano complexo C com um atlas maximal que contenha a funcao
identidade, e a esfera unitaria com um atlas maximal que contenha as projecoes
estereograficas pelos polos norte e sul respectivamente como coordenadas, sao su-
perfıcies de Riemann.
secao1.3 11
Definicao 1.20 Seja M uma variedade de dimensao n com uma estrutura de classe
Cr definida por um atlas (Oα, Uα, hα). Uma estrutura Riemanniana sobre M ou uma
metrica riemanniana de classe Ck, 0 ≤ k ≤ r − 1, e uma colecao de matrizes gα
onde:
1. Seus elementos sao funcoes de classe Ck em Uα;
2. Em cada ponto, gα e definida positiva;
3. Para qualquer α e β tal que a mudanca de parametros h−1α hβ esta definida,
a relacao
gβ = J⊥gαJ (1.16)
e satisfeita, onde J e a matriz jacobiana da transformacao h−1α hβ.
Uma variedade M com uma estrutura riemanniana e chamada de variedade Rie-
manniana.
Uma curva diferenciavel sobre M e uma aplicacao diferenciavel γ : [a, b] →M .
O comprimento de arco da curva γ : [a, b] → M em relacao a uma metrica
Riemanniana gα e definido como
∫ b
a
(n∑
i,j=1
gij(γ(t))u′i(t)u
′j(t)
)1/2
dt, (1.17)
onde para cada t0 ∈ [a, b], escolhemos um Uα tal que γ(t0) ∈ Uα, gα = [gij] e ui,
1 ≤ i ≤ n sao parametros de Oα. Por (1.16), a definicao do integrando acima
independe da escolha de Uα.
Um caminho divergente sobre M e uma aplicacao contınua γ : [a, b) → M tal
que para todo subconjunto compacto Π ⊂M , existe um t0 ∈ [a, b) tal que γ(t) /∈ Π
para t > t0.
secao1.4 12
Se um caminho divergente e diferenciavel, definimos seu comprimento de arco
como
limb−→b
∫ b−
a
(n∑
i,j=1
gij(γ(t))u′i(t)u
′j(t)
)1/2
dt. (1.18)
Definicao 1.21 Uma variedade M e completa com respeito a uma metrica rieman-
niana dada se a integral 1.18 diverge para cada caminho diferenciavel divergente
sobre M .
Seja S uma superfıcie regular de classe Cr definida por uma aplicacao f : M →
Rn. Entao esta aplicacao induz uma metrica em M , definida por
gij =∂f
∂ui
· ∂f∂uj
. (1.19)
Assim, cada superfıcie regular S em Rn esta em correspondencia com uma varie-
dade Riemanniana bidimensional M . Dizemos que S e completa se M for completa
com respeito a metrica Riemanniana dada por (1.19).
Se S e uma superfıcie regular de classe Cr definida por uma aplicacao f : M →
Rn, entao esta aplicacao induz tambem uma estrutura conforme em S, pois toda
metrica induz um conceito de angulo. Portanto toda superfıcie regular esta em
correspondencia com uma superfıcie de Riemann.
1.4 O fibrado tangente
Agora vamos definir o espaco tangente a M em um ponto p ∈M , onde M e uma
variedade diferenciavel de classe Ck. Para isso indicamos por Cp o conjunto de todos
os caminhos γ : (a, b) →M , onde 0 ∈ (a, b), tais que γ(0) = p e γ e diferenciavel em
0.
secao1.4 13
Se γ ∈ Cp e hα : Oα ⊂ Rn → Uα ⊂ M uma parametrizacao em M com p ∈ Uα,
toda vez que escrevemos h−1α γ estamos admitindo que o domınio (a, b) de γ e
suficientemente pequeno tal que γ((a, b)) ⊂ Uα.
Dizemos que dois caminhos γ, % ∈ Cp sao equivalentes, e escrevemos γ ∼ %,
quando existir uma parametrizacao
hα : Oα ⊂ Rn → Uα ⊂M
em M com p ∈ Uα, tal que
(h−1α γ)′(0) = (h−1
α %)′(0).
Observe que a relacao γ ∼ % define uma relaccao de equivalencia em Cp.
O vetor velocidade γ de um caminho γ ∈ Cp, e por definicao, a classe de equiva-
lencia de γ.
O conjunto quociente Cp/ ∼ sera indicado por TpM e sera chamado o espaco
tangente a variedade M no ponto p.
Observe que a definicao de espaco tangente acima coincide com a definicao an-
terior para superfıcies S no caso onde S e definida por f : D → Rn.
Seja Mn uma variedade de classe C∞ com uma estrutura diferenciavel dada pelo
atlas A. Considere
T (M) = ∪p∈MTpM,
e a projecao canonica
π : T (M) →M
dada por π(p, v) = p. Fazendo
hα = (hα1 , ..., hαn),
definimos a aplicacao
h−1α : π−1(Uα) → R2n
secao1.5 14
dada por
h−1α (p, v) = (h−1
α1(π(p, v)), ..., h−1
αn(π(p, ν)), dh−1
α1((p, v)), ..., dh−1
αn((p, v)))
A partir das consideracoes acima se verifica as seguintes propriedades:
1. Se (Oα, Uα, hα), (Oβ, Uβ, hβ) ∈ A, entao h−1β hα e de classe C∞.
2. A colecao
π−1(Uα); (Oα, Uα, hα) ∈ A
forma uma base para uma topologia sobre T (M).
3. Seja A o atlas maximal, contendo
((Oα × Rn), hα(Oα × Rn), hα); (Oα, Uα, hα) ∈ A.
Segue das propriedades acima que A e uma estrutura diferenciavel sobre T (M).
T (M) com esta estrutura diferenciavel e chamado de fibrado tangente de M , que
denotaremos por TM .
1.5 Aplicacoes de recobrimento
Agora veremos algums resultados, cujas demonstracoes podem ser encontradas
em [12].
Sejam X, Y espacos topologicos. Uma aplicacao π : X → Y chama-se uma
aplicacao de recobrimento quando cada ponto y ∈ Y pertence a um aberto V ⊂ Y
tal que π−1(V ) = ∪αUα, onde os Uα sao abertos dois a dois disjuntos e π|Uα : Uα → V
e um homeomorfismo para cada α.
O espaco X se chama espaco de recobrimento de Y , e para cada y ∈ Y , o
conjunto π−1(y) se chama fibra de y.
secao1.5 15
Um recobrimento π : X → Y , com X simplesmente conexo e localmente conexo
por caminhos, se chama um recobrimento universal.
Dizemos que uma aplicacao contınua e sobrejetiva f : X → Y goza da pro-
priedade de levantamento de caminhos, se dados arbitrariamente um caminho γ :
[t0, t1] → Y e um ponto x ∈ X tal que f(x) = γ(t0), existir um caminho γ : [t0, t1] →
X tal que γ(t0) = x e f γ = γ.
Se existir um unico γ como acima dizemos que f : X → Y goza da propriedade
de levantamento unico de caminhos.
Proposicao 1.22 Sejam M , N variedades diferenciaveis. Se uma aplicacao f :
M → N possui a propriedade de levantamento unico de caminhos, entao f e uma
aplicacao de recobrimento.
Proposicao 1.23 Seja X um espaco de Hausdorff. Se um homeomorfismo local
sobrejetivo f : X → Y e uma aplicacao fechada, entao f possui a propriedade de
levantamento unico de caminhos. Em particular, se alem disso f : X → Y e uma
aplicacao diferenciavel entre variedades diferenciaveis, entao f e uma aplicacao de
recobrimento.
Proposicao 1.24 Sejam M e N variedades riemannianas de mesma dimensao, a
primeira completa e a segunda conexa. Seja f : M → N uma aplicacao de classe C1
e suponha que exista uma cobertura de N por abertos V , a cada um dos quais esta
associado um numero εV > 0 tal que se x ∈ M e f(x) ∈ V entao |f ′(x)v| ≥ εV .|v|
para todo v ∈ TxM . Nessas condicoes f : M → N e uma aplicacao de recobrimento.
O teorema a seguir caracteriza o recobrimento universal de qualquer superfıcie
de Riemann.
Teorema 1.25 (Teorema da Uniformizacao de Koebe) O recobrimento universal de
qualquer superfıcie de Riemann e conformemente equivalente (difeomorfismo holo-
morfo) ao disco unitario, ao plano ou a esfera.
secao1.5 16
O teorema de uniformizacao foi demonstrado por P. Koebe e H. Poincare. (Ver
[8], [16] e [9]).
Uma funcao f : U ⊂ Rn → R de classe C2 e dita subharmonica se
∆f = −n∑
i=1
∂2f
∂x2i
≤ 0.
Esse conceito pode ser generalizado para variedades Riemaniannas com metrica
g. Neste caso temos que f : M → R de classe C2 e subharmonica se
∆f = − 1√detg
n∑j,k=1
∂
∂xj
(gjk√
detg∂f
∂xk
)≤ 0,
onde [gjk] denota a matriz inversa de [gij]
Um fato interessante e que a propriedade de uma funcao ser subharmonica
depende somente da estrutura conforme induzida pela metrica, ou seja, se duas
metricas forem conformemente equivalentes em M , entao uma funcao f sera sub-
harmonica em relacao a uma metrica se e somente se ela for subharmonica em relacao
a outra.
A definicao abaixo caracteriza superfıcies de Riemann de acordo com a existencia
de certas funcoes subharmonicas.
Definicao 1.26 Uma variedade M de dimensao 2 com uma estrutura conforme e
chamada hiperbolica, se existe uma funcao de valores reais nao constante, negativa
e subharmonica sobre M . Caso contrario M e chamada parabolica.
Denotando ζ = ζ1 + iζ2 ∈ C, funcao f(ζ) = ζ1 − 1, mostra que o disco unitario
|ζ| < 1 e hiperbolico.
O teorema a seguir e devido a Huber (ver [6]), e relaciona a parabolicidade de
uma superfıcie de Riemann com a existencia de certas metricas conformes.
Teorema 1.27 Se uma superfıcie de Riemann aberta S admite uma metrica con-
forme eu(z)|dz|, completa e com curvatura total finita, entao S e parabolica.
secao1.5 17
Necessitaremos das seguintes generalizacoes do teorema 1.27 mais adiante.
Corolario 1.28 Se uma superfıcie de Riemann aberta S admite uma metrica con-
forme gS = ef(z)|dz|, completa e com curvatura total finita, entao S − p1, . . . , ps
e parabolica.
Demonstracao: A ideia e construir uma metrica gS conforme, completa e com
curvatura total finita em S − p1, . . . , ps tal que gS = gS longe de p1, . . . , ps, e
com uma metrica completa de curvatura gaussiana nula em uma vizinhanca furada
de pi, 1 ≤ i ≤ s.
Sejam D1, . . . , Ds ⊂ S discos suficientemente pequenos contendo p1, . . . , ps res-
pectivamente. Coloque em Di − pi metricas conformes gi de modo que Di − pi
seja isometrico ao complementar de um disco no plano. Podemos escolher gi de
modo que gi(v, w) ≥ gS(v, w) para todo v e w em T (Di − pi), 1 ≤ i ≤ s.
Considere uma cobertura de S − p1, . . . , ps com abertos D1 − p1, . . . , Ds −
ps, S, onde o fecho de S em S e disjunto de p1, . . . , ps. Seja Φ1, . . . ,Φs, Φ uma
particao da unidade de S−p1, . . . , ps subordinado a cobertura D1−p1, . . . , Ds−
ps, S. Considere a metrica gS =∑s
i=1 Φigi + ΦgS. Entao:
1. A metrica gS tem curvatura total finita pois:
(a) a curvatura total e finita em S − (∪si=1Di) pois coincide com gS;
(b) a curvatura total e finita em S ∩Di, 1 ≤ i ≤ s, pois o fecho de S ∩Di e
compacto em S − p1, . . . , ps;
(c) a curvatura total e finita em Di−pi− S pois gS coincide com a metrica
do complemento de um disco no plano.
2. A metrica gS e conforme a gS por construcao.
3. A metrica gS e completa. De fato, tome qj∞j=1 uma sequencia de Cauchy
em (S − p1, . . . , ps,gS). Entao essa sequencia sera de Cauchy em (S,gS),
secao1.6 18
pois gS ≤ gS. Portanto qj∞j=1 → q em (S,gS). Se q ∈ p1, . . . , ps entao a
sequencia nao e de Cauchy em (S − p1, . . . , ps,gS), o que e um absurdo. Se
q ∈ S − p1, . . . , ps, entao podemos escolher uma vizinhanca suficientemente
pequena de q tal que as metricas gS e gS sao equivalentes. Portanto qj∞j=1 →
q em (S − p1, . . . , ps,gS) e gS e completa.
Finalmente podemos utilizar o teorema 1.27, e concluir que S − p1, . . . , ps e
parabolico.
Corolario 1.29 Seja S e ef(z)|dz| como no teorema 1.27. Seja Σ uma superfıcie
de Riemann e f : Σ → S − p1, . . . , ps um recobrimento conforme finito. Entao Σ
e parabolico.
Demonstracao: Vimos no corolario 1.28 que S − p1, . . . , ps admite uma
metrica gS conforme, completa e com curvatura total finita. Podemos colocar uma
metrica gΣ em Σ de modo que f : (Σ,gΣ) → (S − p1, . . . , ps,gS) seja uma isome-
tria local. Entao gΣ sera uma metrica conforme, completa e com curvatura finita.
Portanto, pelo teorema 1.27, Σ e parabolico.
1.6 O grau de uma aplicacao entre variedades di-
ferenciaveis fechadas
1.6.1 Regularidade de aplicacoes diferenciaveis
Seja f : M → N uma aplicacao diferenciavel entre variedades diferenciaveis de
mesma dimensao.
Definicao 1.30 Um ponto x ∈M e chamado um ponto regular de f , se a derivada
dfx e nao singular. Um ponto y ∈ N e chamado um valor regular se f−1(y) contem
secao1.6 19
somente pontos regulares ou e vazio. Se dfx e singular, x e chamado ponto crıtico
de f . A imagem f(x) e chamado valor crıtico de f .
Proposicao 1.31 Se M e uma variedade compacta e y ∈ N e um valor regular,
entao f−1(y) e um conjunto finito.
Demonstracao: Como f−1(y) ⊂M e fechado com M compacto e de Hausdorff
entao f−1(y) e compacto. Agora seja x ∈ f−1(y). Entao pelo teorema da funcao
inversa, existe uma vizinhanca Vx ⊂M de x tal que f |Vx e um difeomorfismo.
Como (Vx)x∈f−1(y) e uma cobertura aberta para f−1(y) e acima vimos que f−1(y)
e compacto, entao tal cobertura admite uma subcobertura finita, ou seja, f−1(y) ⊂
∪ni=1Vxi
, onde xi ∈ f−1(y). Ja que f |Vxie um difeomorfismo, segue que Vxi
so contem
xi como ponto regular satisfazendo f(xi) = y. Portanto f−1(y) e finito.
O seguinte resultado classico foi provado por A. Sard em 1942. Sua demonstracao
pode ser encontrada em [14].
Teorema 1.32 (Teorema de Sard) Seja f : U → Rm uma aplicacao diferenciavel,
onde U e um aberto de Rn. Se C e o conjunto dos pontos crıticos de f , entao
f(C) ⊂ Rm tem medida nula.
Corolario 1.33 (A. B Brown) Sejam M e N variedades de dimensoes finitas.
Entao o conjunto dos valores regulares de uma aplicacao diferenciavel f : M → N
e denso em N .
Definicao 1.34 Sejam M , N variedades diferenciaveis. Duas aplicacoes diferen-
ciaveis f, g : M → N sao chamadas diferenciavelmente homotopicas (notacao f ∼
g), se existe uma aplicacao diferenciavel F : M × [0, 1] → N com
F (x, 0) = f(x), F (x, 1) = g(x) ∀x ∈M.
A aplicacao F e chamada de homotopia diferenciavel entre f e g.
secao1.6 20
1.6.2 O grau de Brouwer
Agora vamos definir o grau de uma aplicacao entre variedades diferenciaveis,
onde as provas dos resultados podem ser vistas em [14].
Definicao 1.35 A variedade e dita ser fechada se ela for compacta e nao possuir
pontos de bordo.
Para visualizarmos como devem ser tais objetos, observamos que o proprio disco
fechado de dimensao n e uma variedade compacta, mas nao fechada por possuir
pontos de bordo, enquanto que o disco aberto de dimensao n e uma variedade
sem pontos de bordo que nao e fechada, por nao ser compacta. A esfera e o toro
bidimensional, que sao variedades fechadas de dimensao 2, ilustram bem o aspecto
de tais objetos.
Seja f : M → N uma aplicacao diferenciavel, onde M , N sao variedades de
dimensao n, orientadas, com M fechada e N sem bordo e conexa. Considere tambem
x ∈M um ponto regular de f . Desse modo
dfx : TxM → Tf(x)N
e um isomorfismo linear entre espacos vetoriais orientados. Definimos o sinal de dfx
como sendo +1 ou −1 conforme dfx preserva ou inverte a orientacao, pois os espacos
vetoriais admitem exatamente duas orientacoes.
Pelo corolario do teorema de Sard, temos que cada funcao diferenciavel f : M →
N admite um valor regular, pois o conjunto dos valores regulares e denso em N .
Para um valor regular y ∈ N definimos
deg(f ; y) =∑
x∈f−1(y)
sign(dfx),
cuja soma e finita devido a proposicao 1.31. O proximo resultado nos permite definir
o grau de uma aplicacao diferenciavel entre variedades.
secao1.7 21
Teorema 1.36 O inteiro deg(f;y) nao depende da escolha do valor regular y.
Daı, pelo teorema anterior, definimos o grau de f (denotado por deg(f)) como
sendo
deg(f) = deg(f ; y),
onde y ∈ N e um valor regular qualquer de f .
Teorema 1.37 Duas aplicacoes diferencialmente homotopicas tem o mesmo grau.
1.7 A caracterıstica de Euler de uma variedade
diferenciavel fechada
Nesta secao, vamos obter a caracterıstica de Euler de uma variedade diferen-
ciavel fechada M em termos do ındice de um campo de vetores em M em suas
singularidades isoladas. As demonstrcoes dos resultados podem ser vistas em [17].
Definicao 1.38 Um campo de vetores ~X em uma variedade diferenciavel M e uma
corrrespondencia que associa a cada p ∈ M , um vetor ~X(p) ∈ TpM . Em termos
de aplicacoes, ~X e uma aplicacao de M em TM . O campo e diferenciavel se a
aplicacao ~X : M → TM for diferenciavel.
Seja Mn uma variedade diferenciavel e ~X um campo de vetores em M . Dizemos
que p e uma singularidade isolada de ~X, se existe uma vizinhanca V de p tal que
~X(q) = 0 e ~X(q) 6= 0 para todo q ∈ V − p.
Agora vamos definir o ındice de ~X em uma singularidade isolada p. Para isso
considere ~X um campo de vetores sobre um conjunto aberto U ⊂ Rn, com 0 ∈ U
sendo uma singularidade isolada de ~X. Seja Sn−1 a esfera unitaria em Rn com a
orientacao induzida de Rn, ou seja, se e1, . . . , en define uma base positiva de Rn
secao1.7 22
tal que e2, ..., en pertencem a TxSn−1 e e1 e um vetor normal apontando para “fora”
de Sn−1 em x, entao e2, . . . , en define uma orientacao positiva de Sn−1.
Definimos a aplicacao f ~X : U − 0 → Sn−1 dada por
f ~X(p) =~X(p)
| ~X(p)|.
Se iε : Sn−1 → U e dada por iε(p) = εp, entao a aplicacao
f ~X iε : Sn−1 → Sn−1
tem um grau que independe de ε para ε suficientemente pequeno, devido ao teorema
1.37, pois as aplicacoes f ~X iε1 e f ~X iε2 : Sn−1 → Sn−1 serao diferenciavelmente
homotopicas. Com isso podemos definir o ındice de ~X em 0 como sendo o grau de
f ~X iε.
Seja ~X um campo de vetores em uma variedade diferenciavel M com uma sin-
gularidade isolada em p. Considere um difeomorfismo h : U → V ⊂ Rn, onde U e
uma vizinhanca de p e h(p) = 0. Temos que, dh ~X e um campo de vetores em V
e 0 e uma singularidade isolada de dh ~X.
Lema 1.39 Se h0 : V1 ⊂ Rn → V2 ⊂ Rn e um difeomorfismo com h0(0) = 0 e ~X
tem uma singularidade isolada em 0, entao ındice de dh0 ~X em 0 e igual ındice de
~X em 0.
O lema 1.39 nos permite definir o ındice de um campo de vetores ~X de uma
variedade M em uma singularidade isolada p ∈ M . De fato, se ~X e um campo
de vetores em uma variedade M que tem uma singularidade isolada em p ∈ M ,
entao escolhemos um sistema de coordenadas (x, U), onde U e um aberto do Rn
com x(p) = 0 e definimos o ındice de ~X em p, denotado por I ~X(p), como sendo o
ındice de dx ~X em 0. Este ındice nao depende do sistema de coordenadas escolhido
devido ao lema 1.39.
secao1.8 23
Toda superfıcie compacta sem bordo S possui uma triangularizacao, e sua carac-
terıstica de Euler, denotada por χ(S), e dada por χ(S) = #V −#A+#F , onde #V ,
#A e #F sao os numeros de vertices, arestas e faces da triangularizacao respectiva-
mente. A caracterıstica de Euler pode ser estendida para variedades diferenciaveis
fechadas e e um invariante topologico. Podemos calcula-la via campo de vetores.
Teorema 1.40 Seja M uma variedade diferenciavel fechada e seja ~X : M → TM
um campo de vetores diferenciavel em M tal que p ∈M ; ~X(p) = 0 = p1, ..., pm.
Entao
χ(M) =m∑
i=1
I ~X(pi).
1.8 Zeros de uma funcao algebrica de C×C em C
1.8.1 Superfıcies de Riemann associada a funcoes analıticas
Nesta secao vamos desenvolver o conceito de superfıcie de Riemann, cujas de-
monstracoes dos resultados podem ser encontrados em [2].
Definicao 1.41 Sejam z0 ∈ C ∪ ∞, R > 0 e considere a serie de potencias
∞∑n=0
an(z − z0)n se z0 6= ∞ ou
∞∑n=0
bn(z)−n se z0 = ∞, (1.20)
cujo raio de convergencia e R. Considere f uma funcao analıtica cujo desenvolvi-
mento em serie de potencias numa vizinhanca de z0 e dada por (1.20), definida em
D = z ∈ C; |z − z0| < R se z0 6= ∞ ou em D = z ∈ C; |z| > R se z0 6= ∞.
Dizemos que (1.20) define um elemento de funcao analıtica de centro z0 e raio R e
secao1.8 24
escrevemos
E = (f, z0, R) =∞∑
n=0
an(z − z0)n.
Proposicao 1.42 Sejam E = (f, z0, R), z0 ∈ C, um elemento de funcao com
domınio D e z1 ∈ D tal que |z1 − z0| = ρ. Entao
F =∞∑
n=0
bn(z − z1)n =
∞∑n=0
an[(z − z1) + (z1 − z0)]n (1.21)
define um elemento de funcao F, com centro z1 e raio µ ≥ r−ρ. Alem disso, fazendo
z1 variar em D, os coeficientes bn = bn(z1) obtidos em (1.21) sao funcoes analıticas
de z1 para todo n, e o raio do elemento de funcao F obtido varia continuamente com
z1.
Definicao 1.43 O elemento de funcao F de centro z1 e raio µ da proposicao 1.42
e dito uma continuacao imediata do elemento de funcao E.
Definicao 1.44 Sejam E = (f, z0, R) com domınio D e seja γ(t), 0 ≤ t ≤ 1, um
caminho com γ(0) = z0, γ(1) = z1. Dizemos que o elemento de funcao E com centro
z1 e uma continuacao de E ao longo de γ(t), se para todo t existirem elementos de
funcoes Et centrados em γ(t), e domınios Dt tais que
(i) E0 = E, E1 = E e
(ii) se 0 ≤ t0 ≤ 1, entao existe δ > 0 tal que para todo t0 − δ < t < t0 + δ, Et e
uma continuacao imediata de Et0.
Dizemos tambem que Et e uma continuacao analıtica ao longo de γ ligando E a
E.
Considere um elemento de funcao E = (f, z0, R). Seja Ω ⊂ C ∪ ∞ o conjunto
de todos os pontos z tais que existem curvas γ(t) em Ω com γ(0) = z0, γ(1) = z e
continuacoes analıticas Eγ(t) de E ao longo de γ(t).
secao1. 8 25
Definicao 1.45 Ao conjunto M formado por todos os elementos Ez, z ∈ Ω, que sao
obtidos por continuacao analıtica de Ez0 ao longo de caminhos em Ω ligando z0 a z
e que chamamos de uma funcao analıtica no sentido de Weierstrass.
A todo z ∈ Ω e Ez = (f, z, R) ∈ M associamos F (z) = f(z). A proxima
proposicao implica que podemos munir naturalmente M de uma estrutura de su-
perfıcie de Riemann, onde F pode ser definida como uma funcao analıtica univalente.
Proposicao 1.46 Sejam M o conjunto acima, Ez ∈ M , Ez = (f, z, R) e ε ≤ R.
Entao os conjuntos Vε(Ez), formados por todos os elementos Ez ∈M tais que |z−z| <
ε e Ez e uma continuacao analıtica imediata de Ez, formam uma base de abertos para
uma topologia, conexa por caminhos, e Hausdorff em M . Alem disso as funcoes
h : Vε(Ez) → C definidas por h(Ez) = z fazem parte de um atlas A que define uma
estrutura de superfıcie de Riemann M .
1.8.2 Funcoes algebricas
Agora consideraremos as funcoes algebricas as quais sao casos especiais de funcoes
analıticas completas.
SejamQ(w, z) = Q0(z)wn+Q1(z)w
n−1+...+Qn(z) um polinomio a duas variaveis
(w, z) ∈ (C ∪ ∞)2, irredutıvel, isto e, nao existem dois polinomios nao constantes
P1(w, z), P2(w, z) tais que Q = P1P2.
Note que se Q0(z) = 0, com z0 ∈ C, entao o numero de raızes distintas de
Q(w, z0) = 0 e menor que n. O mesmo acontece se Q(z0) 6= 0 e Q(w, z0) = 0 possuir
uma raiz dupla em w1 ∈ C, o que ocorre se e somente se
Q(w1, z1) =∂Q
∂w(w1, z1) = 0. (1.22)
secao1. 8 26
O conjunto dos pontos z0 pontos que satisfazem uma das condicoes acima e
chamado de conjuntos de pontos singulares de Q(w, z) e sera denotado por C.
Para o ponto z = ∞, considere a mudanca de variaveis ζ = z−1 e o polinomio
Q(w, ζ) = Q0(ζ)wn + Q1(ζ)w
n−1 + Qn(ζ), (1.23)
onde Qj(z) = zmQj(ζ) e m e o maximo valor assumido pelo grau dos polinomios
Qj(z). Com isso, podemos dizer se ∞ ∈ C ou nao.
Se z0 6∈ C, o numero de raızes distintas de Q(w, z0) e igual a n. Mais precisa-
mente:
Proposicao 1.47 Sejam Q(w, z) um polinomio irredutıvel e C seu conjunto de pon-
tos singulares. Entao para todo z ∈ C−C, existem n-raızes distintas w1(z),..., wn(z)
da equacao Q(w, z) = 0.
Agora veremos que as solucoes wj(z) dadas pela proposicao 1.47 em C−C podem
ser agrupadas localmente em n funcoes analıticas distintas.
Teorema 1.48 Sejam Q(w, z) um polinomio irredutıvel e C seu conjunto de pontos
singulares e z0 ∈ C−C. Entao existe uma vizinhanca aberta V (z0) de z0 em C−C
e n funcoes analıticas w1(z),..., wn(z) definidas em V (z0) tais que Q(w(z), z) = 0 e
wi(z) 6= wj(z) para todo z ∈ V (z0) e i 6= j.
O proximo resultado mostra que as funcoes algebricas wi, 1 ≤ i ≤ n, representam
os ramos locais de uma funcao algebrica multivalente W (z) definida em C − C, o
qual e uma funcao analıtica completa no sentido de Weierstrass.
Teorema 1.49 Sejam w(z) = wj(z) como no teorema 1.48, associado ao polinomio
irredutıvel Q(w, z), definido numa vizinhanca de z0. Suponha que o elemento de
secao1. 8 27
funcao E = (w(z), z0, R) esteja definida em um domınio D como definido em (1.20).
Entao
a) E = (w(z), z0, R) pode ser continuado analiticamente atraves de todo caminho
γ(t) em C− C,
b) toda solucao local wj(z) dada pelo teorema 1.48 em vizinhancas de C − C e
atingida pela continuacao de E ao longo de algum caminho em C− C.
Em resumo, dado um polinomio irredutıvel Q(w, z) cujos pontos singulares sao
C = z1, ..., zk ⊂ C, o teorema 1.49 garante a existencia de uma funcao analıtica
completa no sentido de Weierstrass W (z) = w(z), tal que (w(z), z) sao todas as
solucoes de Q(w, z) para z ∈ C− C. Pela proposicao 1.46, obtemos a superfıcie de
Riemann M associada a Q.
Note que M e um recobrimento conforme de n folhas de C−C, isto e, a projecao
Z : M → C− C que associa a todo elemento de funcao a seu centro, e uma funcao
meromorfa. O mesmo vale para a funcao W : M → C−C que associa a todo elemento
de funcao∑∞
n=0 an(z−z0)n ao numero a0. Usando o teorema 1.48, podemos mostrar
que o conjunto
M = (w, z) ∈ C× (C− C);Q(w, z) = 0
esta em correspondencia biunıvoca com M , associando a cada (w(z), z0, r) ∈ M o
elemento (w(z0), z0) ∈ M . Isto induz uma estrutura de superfıcie de Riemann em
M , tornando-a conformemente equivalente a M .
O proximo resultado mostra que pode-se compatificar M .
Teorema 1.50 Seja C = z1, ..., zn os pontos singulares de Q(w, z) = 0. Entao
existem pontos wi, 1 ≤ i ≤ r, correspondentes a C, tal que a supefıcie de Riemann
M = M ∪ ∪wi, associada ao polinomio irredutıvel Q(w, z) de grau n em w, e
compacta.
Capıtulo 2
Superfıcies Mınimas em Rn
2.1 Superfıcies que minimizam a area
Vamos caracterizar as superfıcies que tem a menor area entre todas as superfıcies
com a mesma fronteira. Considere a seguinte situacao.
Seja S uma superfıcie regular de classe C2 definida por f : D → Rn. Considere
Γ uma curva fechada em D e Ω um subdomınio limitado por Γ. Seja Σ a superfıcie
definida por f restrito a Ω. Denotando a area de Σ por A(Σ) suponhamos que
A(Σ) ≤ A(Σ),
para toda Σ definida por f em Ω tal que f = f em Γ.
Primeiro vamos fazer a variacao normal de superfıcies e posteriormente vamos
considerar superfıcies nao parametricas e variacoes perpendiculares ao plano (x1, x2).
Seja ν ∈ C1 em D um campo de vetores normal a S, isto e
ν · ∂f∂ui
≡ 0 , i = 1, 2. (2.1)
Derivando (2.1) em relacao a uj temos
∂ν
∂uj
· ∂f∂ui
+ ν · ∂2f
∂ui∂uj
= 0.
28
secao2.1 29
Entao
∂ν
∂uj
· ∂f∂ui
= −ν · ∂2f
∂ui∂uj
= −bij(ν). (2.2)
Agora consideremos uma funcao arbitraria h ∈ C2 em D e para cada numero
real λ formamos a superfıcie
Sλ : f(u) = f(u) + λh(u)ν(u), u ∈ D.
Temos que
∂f
∂ui
=∂f
∂ui
+ λ
[∂h
∂ui
ν + h∂ν
∂ui
]. (2.3)
Como
gij =∂f
∂ui
· ∂f∂uj
,
de (2.1) e (2.3) temos
gij =
(∂f
∂ui
+ λ
[h∂ν
∂ui
+∂h
∂ui
ν
])·(∂f
∂uj
+ λ
[h∂ν
∂uj
+∂h
∂uj
ν
])
=∂f
∂ui
· ∂f∂uj
+∂f
∂ui
· λh ∂ν∂uj
+ λh∂ν
∂ui
· ∂f∂uj
+ λ2cij, (2.4)
onde cij e uma funcao contınua de u em D. De (2.2) e (2.4) segue-se que
gij = gij − 2λhbij(ν) + λ2cij. (2.5)
Como
det(gij) = g11g22 − g12g21, (2.6)
entao de (2.5) e (2.6) resulta que
det(gij) = a0 + a1λ+ a2λ2, (2.7)
secao2.1 30
onde a0 = det(gij), a1 = −2h(g11b22(ν) + g22b11(ν) − 2g12b12(ν)) e a2 uma funcao
contınua em D.
Como S e regular segue que a0 > 0. Portanto a0 tem um mınimo positivo em Ω
e existe ε > 0 tal que det(gij) > 0 para |λ| < ε, ou seja, para |λ| < ε as superfıcies
Σλ definidas pela restricao de f em Ω sao superfıcies regulares.
Queremos calcular a area de Σλ. Em cada u ∈ Ω, o desenvolvimento de√det(gij)
em serie de Taylor em torno de λ = 0 e dada por
√det(gij) =
√a0 +
a1
2√a0
λ+4a2a0 − a2
1
8a1/30
λ2 +O(λ3). (2.8)
Entao existe L > 0 tal que
∣∣∣∣4a2a0−a21
8a1/30
∣∣∣∣ < L em Ω, e de (2.8) segue-se que
∣∣∣∣√det(gij)−(√a0 +
a1
2√a0
λ
)∣∣∣∣ < Lλ2. (2.9)
De (1.7) e (2.9), temos que
A(0) = A (Σ) =
∫ ∫Ω
√a0du1du2.
Integrando (2.9), temos que
∣∣∣∣∫ ∫Ω
(√det(gij)−
(√a0 +
a1
2√a0
λ
))du1du2
∣∣∣∣ < L1λ2 ⇒
⇒∣∣∣∣A(λ)− A(0)− λ
∫ ∫Ω
(a1
2√a0
)du1du2
∣∣∣∣ < L1λ2 ⇒
⇒∣∣∣∣A(λ)− A(0)
λ−∫ ∫
Ω
(a1√a0
2a0
)du1du2
∣∣∣∣ < L1λ.
Fazendo λ tender a zero e usando as equacoes (1.14) e (2.7) obtemos
A′(0) = −2
∫ ∫Ω
H(ν)h(u)√detgijdu1du2 = −2
∫ ∫Ω
H(ν)h(u)dA. (2.10)
secao2.1 31
Note que A′(0) e o valor da variacao da area como funcao de λ.
Se escolhermos nossa famılia de superfıcies Sλ colocando h(u) ≡ 1, entao (2.10)
se reduz a
A′(0) = −2
∫ ∫Σ
H(ν)dA.
Afirmacao: Para que Σ minimize a area, a sua curvatura media devera ser
identicamente nula. De fato suponhamos por absurdo que existe p ∈ Ω e um vetor
normal ν(p) tal que H(ν(p)) 6= 0. Podemos assumir sem perda de generalidade que
H(ν(p)) > 0. Pelo lema (1.13) existe uma vizinhanca V1 de p e ν ∈ C1 em V1 tal
que ν e normal a S. Portanto H(ν) > 0 em uma vizinhanca V2 com p ∈ V2 ⊂ V1, e
se escolhermos a funcao h de modo que h(p) > 0, h(u) ≥ 0 ∀u e h(u) ≡ 0 se u nao
pertence V2, segue que a integral do lado direito de (2.10) sera estritamente positiva.
Se V2 e suficientemente pequeno de modo que V2 ⊂ Ω, entao f(u) = f(u) sobre Γ,
de modo que Σλ sera a superfıcie com a mesma fronteira de Σ. Como por hipotese
Σ minimiza area entao
A(λ) ≥ A(0) ∀λ,
o que implica A′(0) = 0, o que e uma contradicao com (2.10) e isto mostra a nossa
afirmacao.
Definicao 2.1 Uma superfıcie S e dita uma superfıcie mınima se a sua curvatura
media e nula em todo ponto.
Mostraremos agora que as superfıcies mınimas satisfazem o princıpio do maximo
fraco e o princıpio do maximo forte. Usando (1.14), as superfıcies mınimas na forma
parametrica sao caracterizadas pela equacao
g22b11(ν) + g11b22(ν)− 2g12b12(ν) = 0. (2.11)
secao2.1 32
Denotando
ϕ(x1, x2) = (ϕ3(x1, x2), ..., ϕn(x1, x2))
segue de (1.13),(1.11) e (1.12) que a equacao das superfıcies mınimas nao parametricas
e dada por
(1 +
∣∣∣∣ ∂ϕ∂x2
∣∣∣∣2)∂2ϕ
∂x21
− 2
(∂ϕ
∂x1
· ∂ϕ∂x2
)∂2ϕ
∂x1∂x2
+
(1 +
∣∣∣∣ ∂ϕ∂x1
∣∣∣∣2)∂2ϕ
∂x22
= 0. (2.12)
Fazendo a11 = 1 +∣∣∣ ∂ϕ∂x2
∣∣∣2, a12 = a21 = −(
∂ϕ∂x1
· ∂ϕ∂x2
)e a22 = 1 +
∣∣∣ ∂ϕ∂x1
∣∣∣2, entao
a11a22 − (a12)2 = 1 +
∣∣∣∣ ∂ϕ∂x2
∣∣∣∣2 +
∣∣∣∣ ∂ϕ∂x1
∣∣∣∣2 +
∣∣∣∣ ∂ϕ∂x2
∣∣∣∣2 ∣∣∣∣ ∂ϕ∂x1
∣∣∣∣2 − ( ∂ϕ∂x1
· ∂ϕ∂x2
)2
> 0.
Portanto as funcoes ϕk satisfazem os princıpios do maximo fraco e forte, pois elas
satisfazem a equacao (1.1), onde L e o operador uniformemente elıptico.
Facamos um novo tipo de variacao em torno de uma superfıcie fixa. Passemos a
considerar uma superfıcie na forma nao parametrica
fk = ϕk(x1, x2), k = 3, ..., n.
Os calculos feitos aqui serao utilizados para demonstrar a existencia de parametros
isotermicos.
Denotemos
ϕ = (ϕ3, ..., ϕn), p =∂ϕ
∂x1
, q =∂ϕ
∂x2
, r =∂2ϕ
∂x21
, s =∂2ϕ
∂x1∂x2
, t =∂2ϕ
∂x22
.
Entao a equacao da superfıcie mınima (2.12) pode ser escrita como
(1 + |q|2
) ∂p
∂x1
− (p · q)
(∂p
∂x2
+∂q
∂x1
)+(1 + |p|2
) ∂q
∂x2
= 0, (2.13)
ou como
(1 + |q|2
)r − 2 (p · q) s +
(1 + |p|2
)t = 0. (2.14)
secao2.1 33
De (1.12) temos que
g11 = 1 + |p|2, g12 = p · q, g22 = 1 + |q|2, (2.15)
de onde
det(gij) = 1 + |p|2 + |q|2 + |p|2|q|2 − (p · q)2.
Denote
W =√det(gij). (2.16)
Faremos agora uma variacao em nossa superfıcie
ϕk = ϕk + λhk k = 3, ..., n,
onde λ ∈ R e hk ∈ C1 no domınio D de ϕk. Seja h = (h3, ..., hn). Entao temos
ϕ = ϕ+ λh, p = p + λ∂h
∂x1
, q = q + λ∂h
∂x2
,
e
W2 = W2 + 2λX + λ2Y,
onde
X =[(
1 + |q|2)p− (p · q) q
]· ∂h∂x1
+[(
1 + |p|2)q− (p · q) p
]· ∂h∂x2
e Y e contınua em x1, x2. Daı
W = W + λX
W+ λ2Z,
onde Z e contınua.
Agora consideremos Γ uma curva fechada no domınio de definicao de ϕ(x1, x2)
e seja Ω a regiao limitada por Γ. Se a superfıcie fk = ϕ(x1, x2) sobre Ω minimiza
secao2.1 34
area entre todas as superfıcies com a mesma fronteira, entao para cada escolha de
h tal que h = 0 em Γ, temos
∫ ∫Ω
Wdx1dx2 ≥∫ ∫
Ω
Wdx1dx2
que e possıvel somente se
∫ ∫Ω
X
W= 0.
Substituindo X na integral acima, integrando por partes e escolhendo h tal que
h = 0 em Γ, temos que
∫ ∫Ω
[∂
∂x1
[(1 + |q|2)
Wp− (p · q)
Wq
]+
∂
∂x2
[(1 + |p|2)
Wq− (p · q)
Wp
]]hdx1dx2 = 0.
Pela mesma razao do argumento usado para o caso nao parametrico, segue que
a equacao
∂
∂x1
[(1 + |q|2)
Wp− (p · q)
Wq
]+
∂
∂x2
[(1 + |p|2)
Wq− (p · q)
Wp
]= 0 (2.17)
e satisfeita em toda a parte. Desenvolvendo (2.17), temos que,
[(1 + |q|2)
W
∂p
∂x1
− (p · q)
W
(∂q
∂x1
+∂p
∂x2
)+
(1 + |p|2)W
∂q
∂x2
]+
+
[∂
∂x1
((1 + |q|2)
W
)− ∂
∂x2
(p · qW
)]p
+
[∂
∂x2
((1 + |p|2)
W
)− ∂
∂x1
(p · qW
)]q. (2.18)
O primeiro termo de (2.18) e nulo por (2.13). Se nos expandirmos os coeficientes
de p no segundo termo de (2.13), temos que
secao2.2 35
[∂
∂x1
((1 + |q|2)
W
)− ∂
∂x2
(p · qW
)]
=1
W3
[(p · q)q−
(1 + |q|2
)p]·[(
1 + |q|2)r − 2(p · q)s +
(1 + |p|2
)t]
e a equacao acima e identicamente zero por (2.14). Trocando p e q, x1 e x2 vemos
que o coeficiente de q da equacao (2.18) tambem e zero. Isto mostra que
∂
∂x1
((1 + |q|2)
W
)=
∂
∂x2
(p · qW
)e
∂
∂x2
((1 + |p|2)
W
)=
∂
∂x1
(p · qW
). (2.19)
sao satisfeitas para toda superfıcie mınima dada pela equacao (2.14).
2.2 Parametros isotermicos
Quando estudamos propriedades de superfıcies que sao independentes da escolha
de parametros, e conveniente escolhe-los de modo que as propriedades geometricas da
superfıcie fiquem facilmente explicitadas em termos dos mesmos. Por exemplo, tome
um domınio D = (u1, u2) e uma superfıcie definida por uma aplicacao f : D → Rn.
Se o angulo entre dois vetores quaisquer v1 e v2 no plano coordenado (u1, u2) for igual
o angulo de suas imagens df(v1) e df(v2), entao f e conforme e essa parametrizacao
deve refletir propriedades da superfıcie. Analiticamente, esta condicao e expressa
em termos da primeira forma fundamental (1.2) por
g11 = g22, g12 = 0 (2.20)
secao2.2 36
ou
gij = λ2δij, λ = λ(u) > 0. (2.21)
Parametros u1, u2 satisfazendo estas condicoes sao chamados de parametros isoter-
micos.
Varios conceitos basicos considerados na teoria de superfıcies simplificam con-
sideravelmente quando referidas em parametros isotermicos. Por exemplo, de (2.21)
temos
det(gij) = λ4 (2.22)
e por (1.14) a curvatura media e dada por
H(ν) =b11(ν) + b22(ν)
2λ2. (2.23)
Lema 2.2 Seja S uma superfıcie regular definida por f ∈ C2 onde u1, u2 sao
parametros isotermicos. Entao
∆f = 2λ2H (2.24)
onde ∆f = ∂2f∂u2
1+ ∂2f
∂u22
e H e o vetor curvatura media.
Demonstracao. Podemos escrever (2.20) da seguinte forma:
∂f
∂u1
· ∂f∂u1
=∂f
∂u2
· ∂f∂u2
,∂f
∂u1
· ∂f∂u2
= 0.
Logo
∂
∂u1
(∂f
∂u1
· ∂f∂u1
)=
∂
∂u1
(∂f
∂u2
· ∂f∂u2
)∂
∂u2
(∂f
∂u1
· ∂f∂u2
)= 0,
ou seja,
secao2.2 37
∂2f
∂u21
· ∂f∂u1
=∂2f
∂u2∂u1
· ∂f∂u2
∂2f
∂u1∂u2
· ∂f∂u2
= − ∂f
∂u1
· ∂2f
∂u22
.
Combinando as equacoes acima temos que
∆f · ∂f∂u1
= 0
De maneira analoga
∆f · ∂f∂u2
= 0
Assim ∆f e um vetor perpendicular ao plano tangente de S. Mas se ν e um
vetor normal arbitrario de S, de (2.23) segue que
∆f
2λ2· ν =
1
2λ2
(∂2f
∂u21
· ν +∂2f
∂u22
· ν)
=b11(ν) + b22(ν)
2λ2= H(ν).
Pela unicidade do vetor H definido em (1.15) segue que ∆f = 2λ2H.
Lema 2.3 Seja S uma superfıcie regular definida por f ∈ C2, onde u1, u2 sao
parametros isotermicos. Entao as funcoes coordenadas fk(u1, u2) sao harmonicas se
e somente se S e uma superfıcie mınima.
Demonstracao. Como ∆f = 2λ2H entao S e supefıcie mınima ⇔ H = 0 ⇔
∆f = 0 ⇔ fk sao harmonicas.
Dada uma superfıcie f , consideremos as seguintes funcoes a valores complexos,
φk(ζ) =∂fk
∂u1
− i∂fk
∂u2
; ζ = u1 + iu2. (2.25)
Temos que
secao2.2 38
n∑k=1
φ2k(ζ) =
n∑k=1
(∂fk
∂u1
)2
−n∑
k=1
(∂fk
∂u2
)2
− 2in∑
k=1
∂fk
∂u1
∂fk
∂u2
=
∣∣∣∣ ∂f∂u1
∣∣∣∣2 − ∣∣∣∣ ∂f∂u2
∣∣∣∣2 − 2i∂f
∂u1
· ∂f∂u2
= g11 − g22 − 2ig12 (2.26)
e
n∑k=1
|φk(ζ)|2 =n∑
k=1
(∂fk
∂u1
)2
+n∑
k=1
(∂fk
∂u2
)2
= g11 + g12. (2.27)
Agora verificaremos algumas propriedades das funcoes φk:
a) φk e analıtica em ζ ⇔ fk e harmonica em u1, u2;
De fato, φk e analıtica em ζ ⇔ ∂2fk
∂u1∂u2= −
(− ∂2fk
∂u2∂u1
)e ∂2fk
∂u21
+ ∂2fk
∂u22
= 0 ∀k devido
as equacoes de Cauchy-Riemann. Isto mostra a).
b) u1, u2 sao parametros isotermicos se e somente se
n∑k=1
φ2k(ζ) ≡ 0. (2.28)
Segue diretamente de (2.26)
c) Se u1, u2 sao parametros isotemicos, entao S e regular se, e somente se
n∑k=1
|φk(ζ)|2 6= 0. (2.29)
De fato, como g11 = g22 e g12 = g21 = 0, de (2.27) segue que
det(gij) = g11g22 − g12g21 6= 0 ⇔ g11 = g22 6= 0 ⇔n∑
k=1
|φk(ζ)|2 6= 0,
o que mostra c).
secao2.2 39
Daqui em diante, denotaremos a funcao que define uma superfıcie mınima regular
em Rn por ψ.
Lema 2.4 Seja S uma superfıcie mınima regular definida por ψ com parametros
isotermicos u1, u2. Entao as funcoes φk definidas por (2.25) sao analıticas e elas
satisfazem (2.28) e (2.29). Reciprocamente, sejam φ1,...,φn funcoes analıticas de ζ
satisfazendo (2.28) e (2.29) em um domınio simplesmente conexo D. Entao existe
uma superfıcie mınima regular ψ definida sobre D, tal que as equacoes (2.25) sao
satisfeitas.
Demonstracao. A primeira parte segue imediatamente das propriedades a),
b), c) e do lema (2.3). Para mostrar a recıproca definimos
ψk = Re
∫φk(ζ)d(ζ). (2.30)
As funcoes ψk sao harmonicas satisfazendo (2.25) e aplicando a), b) e c) na
direcao oposta o resultado segue do lema (2.3).
Os proximos resultados ilustram o fato de que certas superfıcies podem ser repre-
sentadas localmente em termos de parametros isotermicos. No caso de superfıcies
mınimas temos o seguinte lema:
Lema 2.5 Seja S uma superfıcie mınima. Entao cada ponto regular de S possui
uma vizinhanca na qual existe uma reparametrizacao de S em termos de parametros
isotermicos.
Demonstracao. Pelo lema 1.11, para cada ponto regular em S podemos en-
contrar uma vizinhanca na qual S pode ser representada na forma nao parametrica.
Entao (2.19) e satisfeita em algum disco (x1−p1)2 +(x2−p2)
2 < R2. Estas equacoes
implicam a existencia de funcoes
F (x1, x2) =
∫p · qW
dx2, G(x1, x2) =
∫p · qW
dx1
secao2.2 40
neste disco, satisfazendo
∂F
∂x1
=1 + |p|2
W,
∂F
∂x2
=p · qW
;
∂G
∂x1
=p · qW
,∂G
∂x2
=1 + |q|2
W. (2.31)
Seja,
u1 = x1 + F (x1, x2), u2 = x2 +G(x1, x2). (2.32)
Entao
∂u1
∂x1
= 1 +1 + |p|2
W,
∂u1
∂x2
=p · qW
,
∂u2
∂x1
=p · qW
,∂u2
∂x2
= 1 +1 + |q|2
W.
Como
W2 = 1 + |p|2 + |q|2 + |p|2|q|2 − (p · q)2
entao
J =∂(u1, u2)
∂(x1, x2)= 2 +
2 + |p|2 + |q|2
W> 0.
Assim a transformacao (2.32) tem uma inversa local
(u1, u2) → (x1, x2)
e fazendo, ψk = ϕk(x1, x2) para k = 3, ..., n, ψ1 ≡ x1 e ψ2 ≡ x2, podemos representar
a superfıcie em termos dos parametros u1, u2. Com isso,
secao2.2 41
∂ψ1
∂u1
=∂x1
∂u1
=W + 1 + |q|2
JW,
∂x2
∂u1
= −p · qJW
,
∂ψk
∂u1
=W + 1 + |q|2
JWpk −
p · qJW
qk, k = 3, ..., n;
∂ψ1
∂u2
=∂x1
∂u2
= −p · qJW
,∂x2
∂u2
=W + 1 + |p|2
JW,
∂ψk
∂u2
=W + 1 + |p|2
JWqk −
p · qW
pk, k = 3, ..., n.
Com respeito aos parametros u1, u2, temos
g11 = g22 =
∣∣∣∣ ∂ψ∂u1
∣∣∣∣2 =
∣∣∣∣ ∂ψ∂u2
∣∣∣∣2 =W
J=
W2
2W + 2 + |p|2 + |q|2
e
g12 =∂ψ
∂u1
· ∂ψ∂u2
= 0. (2.33)
Portanto u1, u2 sao coordenadas isotermicas.
Corolario 2.6 Seja ψk = ϕk(x1, x2), k = 3, ..., n funcoes definindo uma superfıcie
mınima na forma nao parametrica. Entao fk sao funcoes analıticas reais de x1, x2.
Demonstracao. Na vizinhanca de cada ponto podemos introduzir a aplicacao
(2.32) que da localmente a superfıcie em termos de parametros isotermicos u1, u2.
Pelo lema 2.3, x1, x2 sao harmonicas, portanto funcoes reais analıticas de u1, u2. As-
sim a inversa (x1, x2) 7→ (u1, u2) tambem e real analıtica. Mas cada ψk e harmonica
em (u1, u2) e portanto uma funcao analıtica real de x1, x2.
Lema 2.7 Uma superfıcie mınima nao pode ser compacta.
secao2.3 42
Demonstracao. Seja S uma superfıcie mınima definida pela aplicacao ψ :
M → Rn. Entao cada coordenada ψk(p) de ψ e uma funcao harmonica sobre M .
Se M fosse compacto ψk(p) atingiria um maximo, portanto seria uma constante,
contradizendo a hipotese de que a aplicacao ψ(p) nao e constante.
Lema 2.8 Cada superfıcie mınima S simplesmente conexa possui uma reparametrizacao
na forma ψ : D → Rn, onde D e o disco |ζ| < 1 ou o plano C.
Demonstracao: Segue do lema anterior e do teorema de uniformizacao de
Koebe.
Lema 2.9 Seja S uma superfıcie definida por ψ com parametros isotermicos u1,
u2 e seja S obtida de S por uma mudanca de parametros u. Entao u1, u2 sao
parametros isotermicos se, e somente se, a mudanca de parametros u e conforme
ou anti-conforme.
Demonstracao. Como u1, u2 sao parametros isotermicos entao gij = λ2δij.
Denote a matriz jacobiana da transformacao u(u) por J = (Jij). Fazendo alguns
calculos temos g = J⊥GJ , onde g e dado por (1.6). Entao
g = λ2J⊥J = λ2J⊥J,
Portanto u1, u2 sao parametros isotermicos ⇔ gij = λ2δij ⇔ λ2J⊥J = λ2I ⇔(λ
λJ⊥).(
λ
λJ)
= I ⇔(
λ
λJ)
e ortogonal ⇔ u(u) e conforme ou anti-conforme.
2.3 Superfıcies parametricas em R3. A aplicacao
normal de Gauss
Veremos agora varios resultados validos para superfıcies mınimas em R3, os quais
nao foram estendidos para dimensoes arbitrarias, ou que requerem uma discussao
mais elaborada para tal. Comecaremos explicitando todas as solucoes da equacao
secao2.3 43
φ21 + φ2
2 + φ23 = 0. (2.34)
Lema 2.10 Seja D ⊂ C um domınio, g uma funcao meromorfa arbitraria em D e
ω uma funcao analıtica tendo a propriedade que em cada ponto onde g tem um polo
de ordem r, ω tem um zero de ordem maior ou igual a 2r. Entao as funcoes
φ1 =1
2ω(1− g2
), φ2 =
i
2ω(1 + g2
), φ3 = ωg (2.35)
serao analitıcas em D e satisfazem (2.34). Reciprocamente, cada tripla de funcao
analıtica em D satisfazendo (2.34), pode ser representada na forma (2.35), exceto
para φ1 = iφ2, φ3 = 0.
Demonstracao. As funcoes (2.35) claramente satisfazem (2.34). Reciproca-
mente suponhamos que temos uma tripla φ1, φ2, φ3 de funcoes analıticas em D
satisfazendo (2.34). Definimos
ω = φ1 − iφ2, g =φ3
φ1 − iφ2
. (2.36)
Como
0 = φ21 + φ2
2 + φ23 = (φ1 − iφ2) (φ1 + iφ2) + φ2
3 (2.37)
temos que
φ1 + iφ2 = − φ23
φ1 − iφ2
= −ωg2. (2.38)
De (2.36) e (2.38) resulta,
2φ1 = ω − ωg2 ⇒ φ1 =1
2ω(1− g2
),
2iφ2 = −ω − ωg2 ⇒ φ2 =1
2i
(−ω − ωg2
)=i
2ω(1 + g2
)
secao2.3 44
e
φ3 = ωg.
Portanto (2.35) e satisfeita. Agora seja z0 um polo de ordem r de g. Em alguma
vizinhanca de z0 temos
g(z) =h(z)
(z − z0)r,
onde h(z0) 6= 0, h e analıtica nesta vizinhanca e z0 e um polo de ordem 2r de 1− g2.
Como φ1 = 12ω (1− g2) e analıtica, entao z0 e um zero de ω de ordem maior ou igual
a 2r, caso contrario φ1 teria um polo em z0. Esta representacao nao e valida se, e
somente se, φ1− iφ2 = 0, onde a equacao (2.37) implica que φ3 = 0, que e a excecao
de nossa hipotese. Isto mostra o lema.
Lema 2.11 Cada superfıcie mınima simplesmente conexa em R3 pode ser represen-
tada na forma
ψk = Re
∫ ζ
0
φk(z)dz
+ ck, k = 1, 2, 3, (2.39)
onde φk sao definidos por (2.35), as funcoes ω e g tem as propriedades fixadas no
lema (2.10), o domınio D sendo o disco unitario ou o plano inteiro, e a integral sendo
calculada sobre um caminho arbitrario ligando a origem ao ponto ζ. A superfıcie
sera regular se e somente se os zeros de ω coincidem com os polos de g e alem disso
a ordem desses zeros e exatamente duas vezes a ordem dos polos de g.
Demonstracao. Pelo Lema 2.8, superfıcie pode ser representada na forma ψ :
D → R3 onde D e o disco ou o plano C e as coordenadas ψk sao harmonicas em ζ.
Seja
φk =∂ψk
∂ζ1− i
∂ψk
∂ζ2, ζ = ζ1 + iζ2.
secao2.3 45
Estas funcoes sao analıticas e satisfazem (2.39) (a integral independe do caminho).
Para uma superfıcie mınima, (2.34) e valida e pelo lema 2.10 temos (2.35).
A superfıcie nao sera regular, se e somente, se todos os φk se anularem simultane-
amente, que acontece exatamente nos pontos onde ω = 0 e g e regular ou quando
ωg2 = 0 e g tem um polo.
Definicao 2.12 O par (g, ω) acima, juntamente com a equacao (2.39), e chamado
de representacao de Weierstrass de ψ = (ψ1, ψ2, ψ3).
Por exemplo, se escolhermos ω ≡ 1 e g(ζ) = ζ, a superfıcie mınima obtida e
chamada superfıcie de Enneper.
A funcao g e essencialmente a aplicacao normal de Gauss, isto e, se π : S2 −
(0, 0, 1) → C e a projecao estereografica e gν : D → S2 e a aplicacao normal de
Gauss, entao g = π gν . Para ver isto, note que localmente gν e dado por
gν =
(2Reg|g|2 + 1
,2Img|g|2 + 1
,|g|2
|g|2 + 1
)isto e, gν = π−1 g. Portanto g = π gν .
Agora veremos alguns resultados importantes, cujas demonstracoes podem ser
vistas em [15].
Proposicao 2.13 Seja Ω um domınio cujo fecho esta em D. A curvatura total de
uma superfıcie definida pela restricao de ψ em Ω e o negativo da area da imagem
da aplicacao normal de Gauss.
Teorema 2.14 Seja M uma variedade Riemanniana bidimensional completa com
K ≤ 0 e ∫ ∫Ω
|K|dA <∞.
Entao existe uma superfıcie compacta M e um numero finito de pontos p1, ..., pk em
M tal que M e conformemente equivalente a M − p1, ..., pk.
secao2.4 46
Como a aplicacao normal de Gauss g e uma funcao meromorfa, entao g nao
inverte orientacao porque suas singularidades sao isoladas. Portanto deg(g) e numero
de elementos de g−1(y), onde y e valor regular de g.
Seja ψ : M = M −p1, ..., pk → R3 uma superfıcie mınima, regular e completa.
Para cada aberto simplesmente conexo de M , existem g e ω tal que ψ e dada
por (2.39). Em geral a funcao ω nao se estende a M , mas a 1-forma ω, definido
localmente por ωdz se estende a M . Mais precisamente
Teorema 2.15 Seja ψ : M → R3 uma superfıcie mınima, regular e completa S. Se
a curvatura total de S e finita, entao a conclusao do teorema anterior e valida e a
aplicacao de normal de gauss g e a 1-forma ω se estendem meromorficamente a M .
Alem disso a curvatura total de ψ e dada por −4πdeg(g).
Definicao 2.16 Os pontos omitidos p1, ..., pk sao chamados de fins da imersao
ψ. As vezes ψ(M ∩ Dj) tambem sao chamados de fins de ψ, onde Dj e um disco
pequeno contendo pj.
O teorema abaixo classifica as superfıcies mınimas completas cujas aplicacoes
normal de Gauss sao injetivas.
Teorema 2.17 O catenoide e a superfıcie de Enneper sao as unicas superfıcies
mınimas regulares completas cuja curvatura total e −4π.
2.4 A formula de Jorge-Meeks
Nesta secao vamos mostrar a formula de Jorge-Meeks calculando a caracterıstica
de Euler atraves de campos de vetores.
secao2.4 47
Considere ψ : M − p1, ..., pk → R3 uma superfıcie mınima completa com
curvatura total finita, onde pi, 1 ≤ i ≤ k, sao os fins de M .
Seja ξ ∈ S2(1) ⊂ R3, um vetor fixo. A funcao altura na direcao de ξ e dada por
hξ(p) = 〈ψ(p), ξ〉. O gradiente ~Xξ de hξ e a projecao ortogonal de ξ em TxM . Mais
precisamente
~Xξ = ξ − 〈ξ, gν(x)〉gν(x),
onde gν(x) e um campo normal a superfıcie. Esses campos de vetores ~Xξ em su-
perfıcies em R3 sao chamados de gradiente da funcao altura, e a mesma construcao
pode ser estendido para hipersuperfıcies.
Proposicao 2.18 Seja ψ : M → R3 uma superfıcie mınima e considere ξ um vetor
unitario em R3 tal que ξ /∈ g(pi) tal que pi e um fim de M. As singularidades de
~Xξ sao os pontos g−1ν (ξ,−ξ). Se ξ e valor regular de gν, entao o ındice de ~Xξ em
p ∈ g−1ν (ξ) e −1.
Demonstracao. Claramente ~Xξ(p) = 0 ⇔ g(p) ∈ ξ,−ξ.
Se ξ e um valor regular de gν , entao g−1ν (ξ,−ξ) consiste de pontos isolados.
Alem disso,
D ~Xξ(x) = 〈Dgν(x), ξ〉gν(x)−Dgν(x)〈ξ, gν(x)〉 = −〈ξ, gν(x)〉Dgν(x),
onde Dgν representa a segunda forma fundamental. Mas em uma superfıcie mınima
Dgν =
[k 00 −k
]em um sistema de coordenadas adequado, onde k e a curvatura principal. Como
I ~Xξ(p) = sign(det(Dgν)), entao I ~Xξ
(p) = −1.
Considere ψ : M2 → R3 uma superfıcie mınima completa com curvatura total
finita. Pelo teorema 2.15 existe uma superfıcie de Riemann compacta M2
tal que
M e conformemente equivalente a M − p1, ..., pk.
secao2.4 48
Teorema 2.19 Seja ψ : M − p1, ..., pk → R3 uma superfıcie mınima completa
com curvatura total finita, onde pi, 1 ≤ i ≤ k, sao os fins de ψ.
Seja g⊥ν (pi) o plano perpendicular aplicacao normal de Gauss em pi e π : R3 →
g⊥ν (pi) a projecao canonica. Entao para cada pi, existe uma vizinhanca Vpi3 pi tal
que
π ψ|Vpi: Vpi
→ g⊥(pi),
da I(pi) voltas em torno de π(ψ(Vpi)), ou seja, π ψ|Vpi
e uma aplicacao de recobri-
mento.
Demonstracao: Fixe j com 1 ≤ j ≤ k, P = limq→pjg(q). Considere E ⊂ M
um disco fechado perfurado em pj. Como a ∂E e compacto, existe r suficientemente
grande tal que π ψ(∂E) ⊂ B2r (0).
Considere E ′ = (π ψ)−1(D), onde D = R2 − B2
r(0). Obviamente E ′ e sub-
variedade de E. Observe que o fecho E ′ de E ′ em E e uma variedade com bordo
completa. Para mostrar que
f = π ψ|E′ : E ′ → f(E ′) = D,
basta mostrar que f levanta caminhos diferenciavel por partes.
Seja y ∈ D e x ∈ (π ψ)−1(y) e γ : [0, 1] → D tal que γ(0) = y. Queremos
levantar γ a uma curva γ em E ′ onde γ(0) = x.
Seja A ⊂ [0, 1] o conjunto maximal onde γ pode ser levantado. O fato de π ψ
ser um difeomorfismomo local e D ser aberto implica que o intervalo maximal onde
γ pode ser levantado e do tipo [0, t0), isto e um aberto em [0, 1]. Se mostrarmos que
γ pode ser levantado inclusive ate t0, teremos provado que o intervalo maximo de
levantamento de γ e fechado em [0, 1]. Portanto o intervalo maximo de levantamento
devera ser [0, 1] pela conexidade de [0, 1].
Considere (tn) uma sequencia crescente de A, tal que limn→∞ tn = t0, an =
(γ(tn)) ⊂ D e bn = (γ(tn)) ⊂ E ′. Como (tn) e convergente e γ e contınua, entao
secao2.4 49
(an) e convergente e portanto de Cauchy.
Como ‖v‖ ≤ ‖dfx(v)‖ para todo x ∈M e v ∈ TxM , segue que (bn) e de Cauchy.
De fato,
dist(bm, bn) ≤∫ tm
tn
‖γ′(t)‖dt ≤∫ tm
tn
‖γ′(t)‖dt ≤ H|tm − tn|
onde H = sup0≤t≤1 ‖γ′(t)‖ <∞. Portanto (bn) e de Cauchy. Ja que E ′ e completa,
segue que (bn) converge a b ∈ E ′. Alem disso, π ψ(b) = limn→∞ π ψ(bn) =
limn→∞ an = a ∈ D.
Ja que π ψ(∂E ′) ⊂ ∂D temos b ∈ E ′.
Considere V ⊂ E ′ uma vizinhanca de b tal que f |V e difeomorfismo. Entao
γ(t0) ∈ f(V ) e por continuidade, existe um intervalo I ⊂ [0, 1], t0 ∈ I, tal que
γ(I) ⊂ f(V ). Escolha um ındice n tal que γ(tn) ∈ V e considere o levantamento l
de γ em I passando por b. Os levantamentos l e γ coincidem em [0, tn)∩ I, pois f |V
e biunıvoca. Portanto, l e uma extensao de γ em I, donde γ esta definido em t0 e
t0 ∈ A. Daı f |E′ e uma aplicacao de recobrimento.
Para mostrar que tal recobrimento e finito, como D e conexo seja z ∈ D com
|z| < ∞. Se a cardinalidade do conjunto (π ψ)−1(z) e infinita, entao o conjunto
(π ψ)−1(z) tem um ponto de acumulacao y ∈ E ′ ⊂ E. Entao existe uma sequencia
en em (π ψ)−1(z) convergindo para y. Daı
limn→∞
|π ψ(en)| = limn→∞
|z| <∞.
Entao y 6= pi. Portanto π ψ nao e homeomorfismo para qualquer vizinhanca de y,
o que e um absurdo. Portanto π ψ e um recobrimento finito
Observe que (π ψ)−1(∂D) = ∪ni=1Ci, onde Ci sao circunferencias disjuntas duas
a duas, contidas em E.
Para concluir a demonstracao do teorema, basta mostrar que ∂E ′ = ∪ni=1Ci tem
apenas uma componente conexa, e que ∂E ′ limita um disco perfurado em pj. De
secao2.4 50
fato, considere Ei o disco fechado com fronteira Ci. Se para algum i com 1 ≤ i ≤ n,
Ei nao for perfurado em pj, entao a funcao distancia, d(y) = d(0, π ψ(y)) atinge
um maximo em algum x ∈ Ei. Daı π ψ nao e homeomorfismo local para toda
vizinhanca de x, o que e um absurdo. Portanto Ei e perfurado em pj para todo i.
Suponha que existem i, k com 1 ≤ i, k ≤ n tal que Ci 6= Ck. Suponha que
Ei ⊂ Ek. Entao a funcao distancia d(y) = d(0, πψ(y)) atinge um maximo em algum
x ∈ Ek − int(Ei). Daı π ψ nao e homeomorfismo local em qualquer vizinhanca de
x, o que e uma contradicao. Portanto nao existem duas componentes Ci e Cj da
∂E ′, com i 6= j.
Logo (π ψ)−1(R2 − B2
r(0)) = E ′ e um disco perfurado em pj, o que conclui a
demonstracao.
Seja Vpiuma vizinhanca de um fim pi tal que πψ|Vpi
e uma aplicacao de recobri-
mento. Seja ξ um vetor unitario de R3 tal que ξ /∈ g(pi) tal que pi e um fim de M.
Se escolhermos Vpisuficientemente pequeno, entao o campo d(π ψ)( ~Xξ) sera quase
constante em π ψ(Vpi). Em particular, ~Xξ nao se anulara em Vpi
.
Considere γ ⊂ Vpiuma curva simples e fechada em torno de pi tal que ~Xξ e
tangente a γ apenas em um numero finito de pontos. Sempre podemos obter γ com
essas propriedades fazendo-se eventualmente pequenas deformacoes em γ.
Seja ne o numeros de pontos de γ onde a curva integral de d(π ψ)( ~Xξ) e
(localmente) exterior a γ e ni o numeros de pontos de γ onde a curva integral do
campo de vetores e (localmente) interior a γ. Entao o ındice do campo vetorial e
dada por
I ~Xξ(p) =
2 + ni − ne
2(Ver[5]).
Agora observe que para cada volta, o campo de vetores projetado e quase cons-
tante e tem ındice 0 = 2+ni−ne
2, ou seja ni − ne = −2 para cada volta completa.
Observe que o tangenciamento externo (respectivamente interno) do fluxo de
d(π ψ)( ~Xξ) ao longo de α := π ψ(γ), corresponde ao tangenciamento interno
secao2.4 51
(respectivamente externo) ao longo de γ do fluxo de ~Xξ. Consequentemente o ındice
de ~Xξ, e dado por
I ~Xξ(p) =
2 + ne − ni
2=
2 + 2I(p)
2= 1 + I(p), (2.40)
pois para cada volta, ni − ne = −2, e neste caso temos I(p) voltas.
Teorema 2.20 Seja ψ : M − p1, ..., pk → R3 uma superfıcie mınima completa
com curvatura total finita, onde pi, 1 ≤ i ≤ k, sao os fins de M . Entao
χ(M) =k∑
i=1
(1 + I(pi))− 2m, (2.41)
onde m e o grau de g. A equacao (2.41) e conhecida como a formula de Jorge-Meeks.
Demonstracao: Podemos escolher um ponto ξ ∈ S2(1) tal que ele e valor
regular de gν com ξ fora do conjunto gν(pi) tal que pi e um fim de M. Considere
o gradiente funcao altura ~Xξ. Pelo teorema 1.40
χ(M) =k∑
i=1
(I ~Xξ(pi)) +
∑p∈g−1
ν (ξ,−ξ)
I ~Xξ(p).
Como ~Xξ tem 2m singularidades em M , cada uma com ındice −1 (veja a
proposicao 2.18), temos que
∑p∈g−1
ν (ξ,−ξ)
I ~Xξ(p) = −2m. (2.42)
Tambem por (2.40)k∑
i=1
(I ~Xξ(pi)) =
k∑i=1
1 + I(pi). (2.43)
De (2.42) e (2.43) resulta que
χ(M) =k∑
i=1
(1 + I(pi))− 2m.
secao2.4 52
Se ψ e um mergulho, entao I(pi) = 1, e por (2.41) temos que
χ(M) = −2m+ 2k, (2.44)
onde k e o numero de fins de ψ. Como
genus(M) =2− χ(M)
2,
segue de (2.44) que
genus(M) =2− (−2m+ 2k)
2= 1 +m− k.
Portanto
deg(g) = m = genus(M) + k − 1. (2.45)
Capıtulo 3
Superfıcies mınimas completasmergulhadas de genus zero
Nesta secao mostraremos o principal resultado deste trabalho que e um teorema
devido a Lopes e Ros: O Catenoide e o Plano sao as unicas superfıcies mergulhadas
com curvatura total finita e genus zero em R3. (Vide [13]).
Recordemos alguns resultados basicos sobre superfıcies mınimas completas de
curvatura total finita em R3 vistos anteriormente.
Do lema 2.11 considere ψ : M → R3 definindo uma superfıcie mınima completa
orientavel de curvatura total finita e nao plana. Seja g uma funcao meromorfa e ω
uma-forma sobre M que determinam a representacao de Weierstrass, isto e
ψ = Re
∫ ((1− g2
) ω2,(1 + g2
) iω2, gω
). (3.1)
Pelo teorema 2.15, M e conformamente equivalente a M − p1, ..., pn, onde M
e uma superfıcie de Riemann compacta, os pj correspondem aos fins de M e alem
disso g e ω podem ser estendidas a uma funcao meromorfa em M . Sendo ψ um
mergulho, isto implica que os fins de M sao paralelos e que cada fim e mergulhado.
Consequentemente a equacao (2.45) e valida.
Por rotacao podemos supor que g(pj) = 0 ou ∞ para j = 1, ..., k.
Seja pj um fim de M . Podemos supor sem perda de generalidade que pj = 0.
53
secao3.0 54
Como pj e um fim mergulhado segue-se que
∫ (1− g2
) ω2
e
∫ (1 + g2
) iω2
(3.2)
tem polo de ordem 1 em pj = 0.
Afirmacao 1: Se g(pj) = 0, entao ω tem um polo de ordem 2 Alem disso g2ω
e holomorfa em pj e ω nao tem resıduo em pj.
Seja ω(z) = a−sz−s + a−(s−1)z
−(s−1) + . . . em uma vizinhanca de zero. Entao
(1− g2) e holomorfa em uma vizinhanca de 0 e
∫ (1− g2
) ω2dz =
(d0z
−s+1 + d1z−s+2 + ...
), d0 6= 0.
Portanto s = 2, o que prova a afirmacao 1.
Analogamente mostra-se a proxima afirmacao.
Afirmacao 2: Se g(pj) = ∞, entao g2ω tem um polo de ordem 2 sem resıduo
em pj e ω e holomorfa em pj.
Podemos assumir sem perda de generalidade que pj = 0 e g(pj) = 0.
Considere g(z) = a0zr + a1z
r−1 + ..., com a0 6= 0.
Afirmacao 3: Se pj nao e um ponto de ramificacao de g, ou seja se r = 1,
entao gω tem um polo simples em pj com resıduo real.
De fato, segue da afirmacao 1 que k = 2. Daı r − k = −1 e gω tem um polo
simples em pj. Alem disso, como (3.1) esta bem definido, entao
Re
∫C
gωdz = 0, (3.3)
onde C e um caminho fechado contendo apenas pj em seu interior. Por outro lado
Re
∫C
gωdz = Re(2πires(gω; pj)), (3.4)
secao3.0 55
onde res(gω; pj) e o resıduo de gω em pj. De (3.3) e (3.4) resulta que res(gω; pj) ∈ R,
o que mostra a afirmacao.
Assim, gω(z) = a−1
z+ a0 + a1z + a2z
2 + ..., com a−1 ∈ R− 0. Portanto
h(z) = Re
∫ z
z0
gω(z)dz + c = a−1 log |z|+ h1(z) (3.5)
onde h1(z) e uma funcao harmonica na vizinhanca de 0 ∈ C e h1(0) = 0. O numero
real (−a−1) e chamado o crescimento logarıtmico do fim pj.
Observacao 3.1 Se pj e um ponto de ramificacao de g, isto e r > 1, entao segue
diretamente que gω e holomorfa em pj.
Assim,
limz→pj
Re
∫ z
z0
gω(z)dz = L ∈ R, (3.6)
isto e, o fim pj se aproxima do plano x3 = L em R3.
Definicao 3.2 Se pj esta nas condicoes da afirmacao 3, dizemos que pj e um fim
catenoidal. Caso contrario, pj e chamado de fim planar.
A partir de agora assuma que M e de genus zero, isto e, M = C. Portanto ω,
g2ω sao exatas, ou seja,∫ω e
∫g2ω independem do caminho.
Defina F =∫
ω2, G =
∫g2ω2
, η = F − G e h = Re∫gω. Entao a imersao ψ e
dada por
ψ(x) = (η(x), h(x)) ∈ C× R = R3 ∀x ∈M,
pois
ω − g2ω
2= Re
(ω
2(1− g2)
)−Im
(ω
2(1 + g2)
)= Re
(ω
2(1− g2)
)+Re
(iω
2(1 + g2)
).
secao3.0 56
F (respectivamente G) tem polos simples nos fins pj com g(pj) = 0 (respectiva-
mente g(pj) = ∞) e ela e holomorfa nos outros pontos de C. De fato, se g(pj) = 0,
podemos supor pj = 0. Pela afirmacao 1, ω tem polo de ordem 2 em pj sem resıduo.
Daı, localmente em 0, temos
ω(z) = a−2z−2 + a0 + a1z + a2z
2 + ...,
e
F =
∫ω
2dz = −a−2z
−1
4+a0z
2+a1z
2
4+ ....
Portanto F tem polo simples no fim pj = 0. O outro caso e analogo.
Note que gω e holomorfa fora do conjunto dos fins catenoidais de M . Daı (3.5)
e (3.6) implicam que a coordenada h e nao limitada somente nos fins catenoidais de
M .
Assumiremos o seguinte resultado, que pode ser encontrado em [10].
Teorema 3.3 (Princıpio do maximo no infinito): Seja M1 e M2 superfıcies mınimas
completas com curvatura total finita e fronteira compacta em R3. Se dist(M1,M2) =
0 entao M1 ∩M2 6= ∅.
3.1 Deformacoes de superfıcies mınimas mergu-
lhadas
Se λ > 0, podemos ver facilmente que a aplicacao meromorfa gλ = λg e a 1-
forma ωλ = 1λω determinam, via representacao de Weirstrass, uma imersao mınima
completa ψλ : M → R3 com cuvatura total finita.
Sendo ηλ = 1λF − λG, entao ψλ e dada por
ψλ(x) = (ηλ(x), h(x)) ∈ C× R ∀x ∈M.
secao3.0 57
Note que gλ(pj) ∈ 0,∞, j = 1, ..., k, e que cada fim pj de ψλ e mergulhado,
sendo do tipo catenoidal ou planar independentemente de λ.
Seja ψ : M → R3 uma superfıcie mınima nao plana, completa, mergulhada, de
genus zero e curvatura total finita, e ψλ : M → R3, λ > 0 a deformacao escrita
acima. Vamos mostrar que ψλ e um mergulho para todo λ > 0.
Lema 3.4 Dado x0 ∈ C e λ0 ∈ (0,∞), existe uma vizinhanca U de x0 em C e ε > 0
tal que, se | λ− λ0 |< ε entao ψλ |U∩M e injetora.
Demonstracao. Se x0 ∈M o resultado e obvio.
Se x0 ∈ C −M e um fim de M , podemos assumir que x0 = 0 e que G tem um
polo simples na origem. Daı existem uma vizinhancas D de x0 e I de λ0 tal que
G(x) =a
x+G1(x),
com a ∈ C − 0, G1 e F sao funcoes holomorfas definidas em D, e ηλ 6= 0 para
todo x ∈ D − 0 e λ ∈ I.
Entao f : (D − 0)× I → C, definida por
f(x, λ) =1
ηλ
=1
1λF (x)− λG1(x)− λa
x
=x
xλF (x)− λxG1(x)− λa0
,
estende-se diferenciavelmente a D × I. Alem disso,
fx =
xλF (x)− λxG1(x)− λa0 − x
(F (x)
λ− λG1(x)− λxG′
1(x))
(xF (x)
λ− λxG1(x)− λa0
)2
fx =−x(
∂F∂x
xλ
)(xF (x)
λ− λxG1(x)− λa0
)2
fλ =−x(−xF (x)
λ2 − xG1(x)− a0
)(xF (x)
λ− λxG1(x)− λa0
)2 ,
secao3.0 58
e
df(0,λ0)(v, 0) = (fx(0, λ0), fx(0, λ0), fλ(0, λ0))
vv0
, (3.7)
o que implica
df(0,λ0)(v, 0) =−vλ0a
. (3.8)
Considere κ : D × I → C× R dado por
κ(x, λ) = (f(x, λ), λ).
Sendo x = x1 + ix2 e f = f1 + if2 temos que
J = dκ(0,λ0) =
∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
∂f1
∂λ∂f2
∂x1
∂f2
∂x2
∂f2
∂λ
0 0 1
=
−1λ0a
0 ∂f1
∂λ
0 −1λ0a
∂f2
∂λ
0 0 1
devido a (3.8).
Portanto κ e injetiva U × I1, onde U ⊂ D e uma vizinhanca de 0 e I1 = (λ0 −
ε, λ0 + ε), para algum ε > 0.
Para qualquer λ ∈ I1 fixo, temos que f(x, λ) e injetora em U . De fato, seja x1,
x2 ∈ U com f(x1, λ) = f(x2, λ). Entao (f(x1, λ), λ) = (f(x2, λ), λ) = ψ1(x, λ) =
ψ1(x, λ), o que implica x1 = x2, pois ψ1 e injetora em U × I1.
ηλ|U e injetora para todo λ ∈ I1. De fato, seja x1, x2 ∈ U nao nulos com
ηλ(x1) = ηλ(x2). Entao 1ηλ(x1)
= 1ηλ(x2)
⇒ f(x1, λ) = f(x2, λ) o que implica x1 = x2.
Portanto ηλ|U∩M e injetora se |λ − λ0| < ε. Estamos agora em condicoes de
concluir a demonstracao do lema. Seja x1, x2 ∈ U ∩M e |λ− λ0| < ε. Se ψλ(x1) =
ψλ(x2), entao (ηλ(x1), h(x1)) = (ηλ(x2), h(x2)) e segue-se que ηλ(x1) = ηλ(x2). Daı
x1 = x2, pois ηλ|U∩M e injetora. Portanto ψλ|U∩M e injetora para |λ− λ0| < ε.
secao3.0 59
O lema seguinte juntamente com o princıpio do maximo no infinito, tem um
papel importante na demonstracao da proposicao 3.6.
Lema 3.5 Seja pj ∈ C−M um fim de M, λ0 > 0 e λnn∈N ⊂ (0,∞), xnn∈N ⊂M
sequencias tais que λn → λ0 e xn → pj. Entao existe uma sequencia x′nn∈N ⊂ M
satisfazendo x′n → pj e
|ψλn(xn)− ψλ0(x′n)| → 0.
Demonstracao. Podemos assumir que pj = 0 e que G tem um polo simples
neste ponto. A serie de Laurent de gω em torno de pj e dado por gω(x) = bx
+ b0 +
b1x+ b2x2 + ... com b ∈ R (eventualmente zero se o fim for planar). Entao podemos
escolher uma vizinhanca D da origem tal que em D − 0 temos
G(x) =a
x+G1(x) e h(x) = Re
∫gωdx = b log |x|+ h1(x),
com a ∈ C− 0, b ∈ R, G1 e F holomorfas e h1 harmonica em D.
Como G e invertıvel perto da origem podemos considerar a sequencia x′n =
G−1(
λnG(xn)λ0
).
Observe que x′n → 0 e λ0G(x′n)− λnG(xn) = 0. Tambem temos que
ηλn(xn)− ηλ0(x′n) =
1
λn
F (xn)− 1
λ0
F (x′n) → 0,
pois F e holomorfa. Alem disso, para n fixo temos que
a
x′n+G1(x
′n) =
λn
λ0
a
xn
+λn
λ0
G1(xn),
o que implica
xn
x′n+xn
aG1(x
′n) =
λn
λ0
+λn
λ0
G1(xn)xn
a.
Fazendo n→∞ na equacao acima, resulta que xn
x′n→ 1. Finalmente temos que
h(xn)− h(x′n) = a−1 log
∣∣∣∣xn
x′n
∣∣∣∣+ h1(xn)− h1(x′n) → 0.
Portanto ψλn(xn)− ψλ0(x′n) → 0, como querıamos demonstrar.
secao3.0 60
Proposicao 3.6 Seja ψ : M → R3 uma superfıcie mınima completa mergulhada de
curvatura total finita e genus zero. Entao ψλ e um mergulho para qualquer λ > 0.
Demonstracao: Suponhamos por absurdo que existe um λ > 1 (o caso 0 < λ < 1
e analogo) tal que ψλ nao e injetiva. Considere
λ0 = infλ > 1;ψλ nao e injetiva.
Vamos analisar os seguintes casos:
(i) ψλ0 e injetiva.
Por definicao de λ0, existe uma sequencia λnn∈N ⊂ (0,∞), xnn∈N e ynn∈N ⊂
M tal que
λn > λ0, λn → λ0, xn 6= yn e ψλn(xn) = ψλn(yn) ∀n ∈ N. (3.9)
Sem perda de generalidade suponha que xn e yn tem limites em C, xn → x,
yn → y. Neste caso temos as seguintes situacoes:
a) Se x = y, entao pelo lema 3.4, existe uma vizinhanca U de x = y e N ∈ N tal
que
ψλn|U∩M e injetora para todo n ≥ N. (3.10)
Mas temos xn 6= yn e
ψλn(xn) = ψλn(yn) ∀n ∈ N, (3.11)
o que nos da uma contradicao.
b) x 6= y com x, y ∈M contraria a injetividade de ψλ0 , pois
ψλ0(x) = limn→∞
ψλn(xn) = limn→∞
ψλn(yn) = ψλ0(y).
secao3.0 61
c) Se x ∈M e y ∈ C−M , temos que
|ψλn(xn)| → |ψλ0(x)| e |ψλn(yn)| → ∞,
o que e uma contradicao com (3.9).
d) Finalmente se x e y sao fins distintos de M , entao pelo lema 3.5 podemos
construir sequencias x′nn∈N e y′nn∈N ⊂M com x′n → x e y′n → y tal que
|ψλn(xn)− ψλ0(x′n)| → 0 e |ψλn(yn)− ψλ0(y
′n)| → 0.
Portanto
|ψλ0(x′n)− ψλ0(y
′n)| → 0,
o que contraria o princıpio do maximo no infinito. De a), b), c) e d) concluimos que
ψλ0 nao pode ser injetiva.
(ii) ψλ0 nao e injetiva.
Neste caso λ0 > 1 e ψλ e um mergulho para λ ∈ [1, λ0). Sejam z1, z2 ∈ M com
z1 6= z2 tais que
q = ψλ0(z1) = ψλ0(z2).
Considere as vizinhancas Ui de zi, i = 1, 2, suficientemente pequenas tais que
ψλ0|Uje injetiva. Entao ψλ0(U1) nao pode encontrar transversalmente ψλ0(U2) em q,
pois a transversalidade e preservada por pequenas pertubacoes e ψλ e injetiva para
λ < λ0. Pelo mesmo motivo acima ψλ0(U1) deve estar “do mesmo lado” de ψλ0(U2).
Entao ψλ0(U1) tangencia ψλ0(U2) em q. Sejam ψu1 e ψu2 funcoes definidas em
um mesmo conjunto tal que ψλ0(U1) e ψλ0(U2) contem os graficos de ψu1 e ψu2
respectivamente. Daı ψu1 , ψu2 e ψu1 − ψu2 satisfazem a equacao das superfıcies
mınimas (2.12), e o princıpio do maximo forte e valido para ψu1 − ψu2 . Podemos
supor que ψu1 ≥ ψu2 . Entao ψu1 − ψu2 assume o mınimo zero no interior do seu
secao3.0 62
domınio e ψu1 ≡ ψu2 em alguma vizinhanca de q. Daı ψλ0(U1) coincide localmente
com ψλ0(U2) em q. Entao concluimos que N = ψλ0(M) e uma superfıcie mınima
completa mergulhada orientavel em R3 de curvatura total finita, conformemente
equivalente a N − q1, ..., qs, onde N e uma superfıcie de Riemann compacta.
A aplicacao
ψλ0 : M → N
e um recobrimento de Riemann pela proposicao 1.24. Agora vamos mostrar que
tal recobrimento e finito. De fato suponhamos por absurdo que a cardinalidade de
ψ−1λ0
(y) e infinito. Entao existe uma sequencia de elementos distintos xnn∈N, onde
xn ∈ ψ−1λ0
(y), tal que
limn→∞
xn = x ∈ C.
Se x ∈ C −M entao ψλ0(x) = limn→∞ ψλ0(xn) = y, o que e uma contradicao,
pois |ψλ0(x)| = ∞.
Se x ∈M , entao ψλ0(x) = limn→∞ ψλ0(xn) = y e x ∈ f−1(y). Segue que qualquer
vizinhanca Vx de x contem algum z 6= x ∈ f−1(y). Daı
ψλ0 : Vx → ψλ0(Vx)
nao e homeomorfismo, o que e uma contradicao. Portanto ψλ0 : M → N e um
recobrimento de Riemann finito.
Seja V uma vizinhanca distinguida de ψλ0 contendo um fim qj de N . Como
ψλ0 : M → N e um recobrimento de Riemann finito e conforme, entao ψ−1λ0
(V )
e uma uniao finita de vizinhancas disjuntas Ui, onde cada Ui e isometrica a V .
Portanto podemos estender ψλ0 conformemente a pj ∈ U i e com isso ψλ0 se estende
conformemente a M , resultando num recobrimento
ψλ0 : M → N.
secao3.0 63
Como M e simplesmente conexo, entao ψλ0 e um difeomorfismo conforme e ψλ0
e injetiva, o que e um absurdo.
De (i) e (ii) resulta que λ0 nao pode ser finito, portanto ψλ e injetiva para todo
λ > 1, consequentemente um mergulho.
3.2 Resultado principal
Agora vamos mostrar que o plano e o catenoide sao as unicas superfıcies mınimas
mergulhadas com curvatura total finita e genus zero em R3.
Observe que se x, y ∈M sao tais que F (x) 6= F (y) e λ ∈ (0,∞) temos que
ηλ(x) = ηλ(y) ⇔1
λF (x)− λG(x) =
1
λF (y)− λG(y)
⇔ 1
λ
(F (x)− F (y)
)= λ (G(x)−G(y))
⇔ 1
λ2
(F (x)− F (y)
)(F (x)− F (y)) = (F (x)− F (y)) (G(x)−G(y))
⇔ |F (x)− F (y)|2
λ2= (F (x)− F (y)) (G(x)−G(y)) . (3.12)
Primeiramente demonstraremos uma versao fraca do teorema 3.8.
Lema 3.7 Seja ψ : M → R3 uma superfıcie mınima mergulhada de curvatura
total finita e genus zero, com dois fins catenoidais (possivelmente com outros fins
planares). Entao ela e o catenoide.
Demonstracao: Apos uma mudanca de coordenadas holomorfa, podemos supor
que 0, ∞ ∈ C −M sao os fins catenoidais de M . Entao gω tem um polo simples
com resıduo real em 0 e ∞ e sua serie de Laurent em torno de z = 0 fica:
gω(z) =(a−1
z+ a0 + a1z + a2z
2 + ...)dz, a−1 ∈ R− 0. (3.13)
Observe que o seu raio de convergencia e ∞, pois gω e holomorfa fora dos fins
catenoidais.
secao3.0 64
De modo analogo, temos que a serie de Laurent em torno de z = ∞, apos uma
mudanca de coordenadas u = z−1, fica
gω(u) =
(b−1
u+ b0 + b1u+ b2u
2 + ...
)du, b−1 ∈ R− 0
Como du = −dzz2 , entao
gω(z) =
(b−1
z+b0z2
+b1z3
+b2z4
+ ...
)(−dz). (3.14)
Igualando (3.13) e (3.14) temos que a−1 = −b−1, ai = 0 para 0 ≤ i ≤ ∞ e bi = 0
para 0 ≤ i ≤ ∞. Portanto
h = Re
∫gω = b log |z|, b ∈ R− 0. (3.15)
Agora para cada θ ∈ C defina a funcao meromorfa Sθ : C → C dada por
Sθ(x) = (F (x)− F (θx)) (G(x)−G(θx)) .
Afirmacao: Sθ e uma funcao constante para cada θ ∈ C com |θ| = 1.
De fato, suponhamos por absurdo que Sθ nao e uma funcao constante para algum
θ ∈ C com |θ| = 1. Entao Sθ e sobrejetora, pois caso contrario existiria x ∈ C tal
que x nao pertence a ψλ0(C). Como a diferencial de uma funcao meromorfa sempre
preserva a orientacao entao grau de Sθ e igual a cardinalidade de S−1θ (x) que e zero.
Absurdo pois Sθ nao e constante. Portanto Sθ e sobrejetora, e existe x0 ∈M−θx0
com θx0 ∈M tal que Sθ(x0) = R2 para algum R > 0. Fazendo
λ =1
R|F (x0)− F (θx0)|
segue-se que
ψλ(x0) = ψλ(θx0).
De fato, como
ψλ(x0) = (ηλ(x0), h(x0))
secao3.0 65
basta mostrar que
ηλ(x0) = ηλ(θx0) e h(x0) = h(θx0). (3.16)
Como
|F (x0)− F (θx0)|2
λ2= R2 = Sθ(x0)
e por definicao
Sθ(x0) = (F (x0)− F (θx0)) (G(x0)−G(θx0)) ,
segue da equacao (3.12) que
ηλ(x0) = ηλ(θx0). (3.17)
Alem disso
h(θx0) = b log |θx0| = b log |θ||x0| = b log |x0| = h(x0), (3.18)
e de (3.17) e (3.18) resulta que (3.16) e valida. Portanto
ψλ(x0) = ψλ(θx0).
Como x0 6= θx0 entao ψλ nao e mergulho. O que e um absurdo e isto mostra a
afirmacao.
Suponha que M tem um fim planar pj ∈ C. Podemos supor sem perda de
generalidade que g(pj) = ∞ e que G tem um polo simples em pj.
Portanto podemos escrever
G(z) =c−1
(z − pj)+ c0 + c1(z − pj) + c2(z − pj)
2 + ... com c−1 6= 0
Consequentemente
secao3.0 66
G(z)−G(θz) =c−1
(z − pj)− c−1
(θz − pj)+ c1 [(z − pj)− (θz − pj)] + .... (3.19)
Sabemos tambem que se g(pj) = ∞, entao F e holomorfa. Entao F (z)− F (θz)
tambem e holomorfa. Com isso
Sθ(z) = (F (z)− F (θz))
(c−1
(z − pj)− c−1
(θz − pj)+ h1(z)
)(3.20)
onde h1 e analıtica em z.
Por (3.20) podemos escolher um θ com |θ| = 1 tal que Sθ tem um polo simples
em pj. Daı Sθ nao seria constante para todo θ ∈ C com |θ| = 1, o que contradiz a
afirmacao anterior. Entao M nao tem fim planar e com isso M tem precisamente
dois fins. Por (2.45) temos
deg(g) = genus(M) + k − 1, entao deg(g) = 0 + 2− 1 = 1.
Portanto pelo teorema (2.17), ψ : M → R3 e o catenoide, pois a superfıcie de
Enneper nao e mergulhada.
Teorema 3.8 Seja ψ : M → R3 uma superfıcie mınima completa nao plana mer-
gulhada de curvatura total finita e genus 0. Entao ψ : M → R3 e o catenoide.
Demonstracao: Temos que G, F sao funcoes meromorfas em C. Considere a
equacao
[G(x)−G(y)][F (x)− F (y)] = 1, (x, y) ∈ C× C. (3.21)
A equacao (3.21) da origem a uma equacao polinomial Q(x, y) = 0. De fato, sendo
G : C → C uma funcao meromorfa, entao
1. G(∞) = u ∈ C.
2. Sendo T (z) = az+bcz+d
uma transformacao de Moebius tal que T (u) = 0, entao
G = T G e uma funcao meromorfa e G(∞) = 0.
secao3.0 67
3. Sejam z1, ..., zk ∈ C os polos distintos de G. Considere Pj
(1
z−zj
)a parte
principal do desenvolvimento de Laurent de G em zj, onde Pj sao polinomios
em C, 1 ≤ j ≤ k. Assim a aplicacao holomorfa
G(z) = G(z)−k∑
j=1
Pj
(1
z − zj
)nao tem polos, e portanto e uma constante.
4. Entao G e uma funcao racional.
5. Portanto G (e F ) sao funcoes racionais e (3.21) da origem a uma equacao
algebrica Q(x, y) = 0.
Seja Q(x, y) uma componente irredutıvel de Q(x, y). Do teorema 1.50, considere
Σ como sendo a superfıcie de Riemann compacta associada a Q, ou seja,
Σ = (x, y) ∈ C× C;Q(x, y) = 0.
As funcoes
F (x), F (y), G(x), G(y) : Σ → C
sao funcoes meromorfas, pois as projecoes x, y : Σ → C sao funcoes meromorfas.
Considere C ⊂ Σ o conjunto finito formado pelos polos das seis funcoes acima e
pelos pontos de ramificacoes de x. Seja
M ′ = C− x(C) ⊂M e Σ′ = x−1 (M ′) .
Portanto x : Σ′ →M ′ e um recobrimento conforme finito e Σ′, M ′ sao superfıcies
de Riemann compactas finitamente furadas. Alem disso x, y, F (x), F (y), G(x),
G(y), h(x) e h(y) sao funcoes com valores finitos em Σ′. Mais ainda x (Σ′), y (Σ′) ⊂
M , pois se p ∈ Σ′ e x(p) ou y(p) e um fim de M , entao F ou G teria um polo em
x(p) ou y(p), daı p nao pertence a Σ′, o que seria um absurdo.
secao3.0 68
Segue diretamente de (3.21) que para cada p ∈ Σ′ tem-se
x(p) 6= y(p) e F (x(p)) 6= F (y(p)).
Afirmacao: a funcao harmonica h(x) − h(y) nao se anula em Σ′, ou seja, ela
e positiva ou negativa.
De fato, supohamos por absurdo que existe p ∈ Σ′ tal que h(x(p)) = h(y(p)).
Faca
λ = |F (x(p))− F (y(p))| > 0.
Como ∣∣∣∣F (x(p))− F (y(p))
λ2
∣∣∣∣2 = 1 = [G(x)−G(y)][F (x)− F (y)],
entao (3.12) implica que
ηλ(x(p)) = ηλ(y(p)), (3.22)
o que contradiz a proposicao 3.6. Isto mostra a afirmacao.
Pelo corolario 1.29 do teorema 1.27, Σ′ e um domınio parabolico. Daı a afirmacao
anterior implica que h(y) = h(x) + c para algum c ∈ R − 0. Em particular para
p, q ∈ Σ′ tal que x(p) = x(q), temos
h(y(q)) + c = h(x(q)) = h(x(p)) = h(y(p)) + c,
e portanto
h(y(p)) = h(y(q)). (3.23)
Considere agora a funcao f : Σ′ → (0,∞) dada por
f(p) = |F (x(p))− F (y(p))|.
Sejam p, q em Σ′ com x(p) = x(q) e f(p) = f(q). Fazendo λ = f(p) = f(q)
temos
∣∣∣∣F (x(q))− F (y(q))
λ
∣∣∣∣2 =
∣∣∣∣F (x(p))− F (y(p))
λ
∣∣∣∣2 =f(p)2
f(p)2= 1,
secao3.0 69
e segue de (3.12) que
ηλ(x(p)) = ηλ(y(p)) e ηλ(x(q)) = ηλ(y(q)).
Como x(p) = x(q), entao
ηλ(y(q)) = ηλ(y(p)).
De (3.23) temos h(y(p) = h(y(q)), o que implica
ψλ(y(p)) = ψλ(y(q)).
e da proposicao (3.6) resulta que y(p) = y(q) e portanto p = q.
Dessa forma f e uma funcao contınua que separa os pontos nas fibras do reco-
brimento finito x : Σ′ →M ′.
Agora vamos mostrar que qualquer fibra x−1(a) com a ∈ M ′ possui um unico
elemento. De fato, suponhamos por absurdo que x−1(a) = a1, a2, com a1 6= a2.
Observe que neste caso, todas as fibras terao dois elementos distintos. Como f
separa os pontos nas fibras do recobrimento finito x : Σ′ →M ′, entao f(a1) 6= f(a2).
Suponha f(a1) > f(a2).
Considere a curva γa1,a2 : [0, 1] → Σ′, onde γa1,a2(0) = a1 e γa1,a2(1) = a2.
Observe que xγa1,a2 e uma curva em M ′ tal que xγa1,a2(0) = xγa1,a2(1) = a.
O levantamento de xγa1,a2 em Σ′, sao duas curvas: γa1,a2 e γa2,a1 : [0, 1] → Σ′, onde
γa2,a1(0) = a2 e γa2,a1(1) = a1.
Seja % : [0, 1] → R dada por
%(t) = f(γa1,a2(t))− f(γa2,a1(t)).
Observe que %(t) > 0 para todo t pois:
a) f separa fibras de x,
b) γa1,a2(t) e γa2,a1(t) estao na mesma fibra de x γa1,a2(t),
secao3.0 70
c) f(a1) = f(γa1,a2(0)) > f(a2) = f(γa2,a1(0)).
Daı f(γa1,a2(1)) > f(γa2,a1(1)), entao f(a2) > f(a1) o que e um absurdo. Por-
tanto x−1(a) 6= a1, a2.
Analogamente, mostra-se que x−1(a) 6= a1, a2, ..., an, n ≥ 3. Portanto x−1(a)
tem somente um elemento.
Daı x tem inversa, obviamente esta inversa e diferenciavel, entao x e um difeo-
morfismo conforme.
Portanto a extensao x : Σ → C nao possui pontos de ramificacao, consequente-
mente x : Σ → C tambem e um difeomorfismo conforme de grau um.
Trocando x por y, com a mesma ideia usada anteriormente, obtemos que a funcao
meromorfa y : Σ → C tambem e de grau um. Como os difeomorfismos conformes
entre esferas de Riemann sao dados pelas transformacoes de Mobius, concluımos que
T = y x−1 : C → C
e uma transformacao de Mobius que satisfaz
[G(x)−G T (x)][F (x)− F T (x)] = 1, (3.24)
e
h T (x) = h(x) + c para cada x ∈ C, (3.25)
onde c 6= 0. De (3.25) segue-se que T preserva o conjunto dos fins catenoidais. De
fato, seja x um fim catenoidal de M , e suponha x = 0. Entao gw tem polo simples
com resıduo real e segue-se que
h(x) + c = a−1log|x|+ h1(x). (3.26)
Se T (x) nao fosse fim catenoidal entao gw seria holomorfa em T (x). Daı
h(T (x)) = h2(x), (3.27)
secao3.0 71
onde h2(x) e harmonica. Absurdo pois h(T (x)) = h(x) + c.
Tambem T n nao pode ser a funcao identidade em C para nenhum n ∈ N.
De fato, se T n for identidade para algum n ∈ N, entao
h(x) = h(T n(x)) = hT (T n−1(x)) = h(T n−1(x)) + c
= h(T n−2(x)) + 2c = h(x) + nc, para todo x ∈ C.
Portanto
nc = 0 ⇒ c = 0
o que nos da uma contradicao.
Alem disso, a superfıcie mınima tem no maximo dois fins catenoidais. De fato
suponha por absurdo que z1, ..., zj sao fins catenoidais de M com j ≥ 3. Como T
preserva o conjunto dos fins catenoidais, entao T n seria identidade nesse conjunto
para algum n ∈ N, (teoria de grupos de permutacao). Mas tres pontos determinam
uma aplicacao de Mobius. Portanto T n seria a aplicacao identidade, o que seria um
absurdo.
Por outro lado, ela tem no mınimo dois fins catenoidais. De fato suponha por
absurdo que ela tenha no maximo um fim catenoidal 0 ∈ C. Daı a funcao harmonica
h : C − 0 ≈ C → R seria limitada superiormente ou inferiormente. Portanto o
teorema de Liouville implica que f e constante, o que e uma contradicao.
Pelos dois paragrafos anteriores, concluimos que a superfıcie tem exatamente
dois fins catenoidais, e pelo lema 3.7, temos o desejado
Bibliografia
[1] J. L. M. Barbosa, R. Fukuoka e F. Mercuri. Immersions of Finite Geometric
Type in Euclideam Spaces. Annals of Global Analysis and Geometry 22: 301-
315, 2002.
[2] C. J. Costa. Funcoes Elıpticas, Algebricas e Superfıcies Mınimas. 18 Coloquio
Brasileiro de Matematica, 1991.
[3] L. C. Evans. Partial Differential Equations. 18 Graduat Studies in mathe-
matics,19. A.M.S. Providence, RI, 1998 XViii+662pp, ISBN: 0-8218-0772-2.
[4] B. A. Fucks, V. I. Levin. Functions of a Complex Variable. Vol. 2, Addison
Wesley, 1961.
[5] P. Hartman. Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons, 1964.
[6] A. Huber. On Subharmonic Functions e Differential Geometry in the Large.
Comment. Math. Helv. 32(1957), 13-72.
[7] L. Jorge & W. H. Meeks III. The Topology of Complete Minimal Surfaces of
Fnite Total Gaussian Curvature. Topology 22 (1983) 203-221.
[8] P. Koebe. Uber die Uniformisierung Reeler Algebraischaer Kurven. I. Nachr.
Akad. Wiss. Gottingen (1907), 191-210 FM 38, 454.
[9] P. Koebe. Uber die Uniformisierung Beliebiger Analytischer Kurven II. Nachr.
Akad. Wiss. Gottingen (1907), 633-669 FM 38, 455.
72
secao3.0 73
[10] R. Langevin, H. Rosenberg. A Maximun Principle at Infinity for Minimal
Surfaces and Applications. Duke Math. J., 57, (1988).
[11] E. L. Lima. Curso de Analise, vol. 2. Rio de Janeiro, Instituto de Matematica
Pura e Aplicada, CNPq, 1985. 557pp (Projeto Euclides).
[12] E. L. Lima. Grupo Fundamental e Espacos de Recobrimento. Rio de Janeiro,
Instituto de Matematica Pura e Aplicada, CNPq, 1993. 214pp (Projeto Eu-
clides).
[13] F. J. Lopez & A. Ros. On Embedded Complete Minimal Surfaces of Genus
Zero. J. Dfferential Geometry 33 (1991) 293-300.
[14] J. W. Milnor. Topology from the Differentiable Viewpoint. 18 Based on notes
by David W. Weaver the University Press of Virginia, Charlottesville, Va 1995
ix+65 pp. (Reviever: W. S. Pifer) 5710
[15] R. Osserman. A Survey of Minimal Surfaces. New York: Van Nostrand
Rienhold, 1969.
[16] H. Poincare. Sur I’uniformisation des Fonctions Analytiques. Acta Math. 31
(1907), 1-64 FM 38,452.
[17] M. Spivak. A Comprehensive Introduction to Diferential Geometry, Volume
1. Publish or Perish, Inc., Berkeley, 1979.
