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CÁLCULO EN VARIEDADES PARTE 3: Conexión, geodésicas y curvatura
Versión 2003-05-01 Copyright (c) 2003 by F. A. González de la Hoz. This material may be distributed only subject to the terms and conditions set forth in the Open Publication License, v1.1 or later (the latest version is presently available at http://www.opencontent.org/openpub/).
CONTENIDO
CONEXIÓN, GEODÉSICAS y CURVATURA Desplazamiento paralelo en el espacio euclídeo Conexión afín Derivada covariante de tensores Generalización del concepto de espacio tangente Derivada absoluta Geodésicas para una métrica Conexión métrica Tensor de Riemann Tensor de Ricci Escalar de Curvatura Tensor de Einstein Tensor de curvatura proyectiva Tensor de curvatura conforme
1. CONEXIÓN, GEODÉSICAS Y CURVATURA
1.1. DESPLAZAMIENTO PARALELO EN EL ESPACIO EUCLÍDEO Cuando una variedad esta sumergida en un espacio nR existe una forma natural de trasladar los vectores de un punto a otro: manteniendo sus componentes en la base usual de
nR . Si hacemos esta operación con un vector dado v MTpp ∈r
y lo llevamos a otro punto
, en general ocurrirá que el vector obtenido sea Mq∈ MTv qq ∉r
, puesto que el espacio tangente en un punto de la variedad no es necesariamente paralelo al espacio tangente en otro. No obstante, si los puntos p y q están muy próximos, los espacios tangentes lo estarán también, en el sentido de que el vector qvr casi coincidirá con su proyección en el espacio
. MTq
Se puede definir entonces una traslación de vectores consistente en ir llevándolos por
puntos cercanos mientras van siendo proyectados sobre el espacio tangente. Este concepto es el que se trata de definir como desplazamiento paralelo por un camino de la variedad. Podemos interpretarlo como un deslizamiento del vector por la variedad, sin salir de los espacios tangentes y manteniéndose en cada momento lo más parecido posible a su valor anterior.
De las consideraciones anteriores, en las cuales no se hace referencia a los sistemas
de coordenadas, se deduce que el desplazamiento paralelo habrá de ser una operación invariante.
Para encontrar su expresión explícita consideremos una curva c sobre )(t M , tal que
sea . Representaremos por v)0(cp = )(tr al resultado de trasladar por transporte paralelo al vector v desde el punto
r p hasta el punto )(tcq = . Puesto que rv T Mp∈ se podrá expresar
en un sistema de coordenadas ϕ como v )( pv iiΕ=
r y, de la misma forma, será
rv t c t( ) ( ( ))v t Eii( )= , y su variación infinitesimal será
dv tdt
E c tdv t
dtv t
dE c tdti
ii i
r( )( ( ))
( )( )
( ( ))= +
Como queremos que esta variación corresponda a una proyección sobre el espacio
tangente, exigimos que dv t
dt
r( ) sea perpendicular al espacio tangente, es decir, que no tenga
componentes en este espacio, y por tanto:
dttvdtcE k )()),((0
r
=
⇔ ))(()),(()()())(()),((0 tcEdtdtcEtv
dttdvtcEtcE i
kii
ik +=
⇔ dt
tcdEtcEtv
dttdv iki
k ))(()),(()()(0 +=
⇔ ))(()),(()()()( tcEDtcEdt
tdctvdt
tdvij
kj
ik
−=
⇔ ))(()),(()()()( tcEDtcEtTtvdt
tdvij
kjc
ik
−=
Definiendo )(),() qEDqEq ij
kkji ( =Γ , la expresión anterior se puede poner como
)()()()( qtTqvdt
tdv kji
jc
ik
Γ−=
donde se observa que la variación de las componentes del vector se descompone en tres factores:
1. el factor v , que simplemente indica que la variación del vector es proporcional a su valor, es decir, que los cambios a nivel diferencial ocurren linealmente.
)(qi
2. el factor dt
tdctj
jc
)()( =T , que es el vector tangente en la variedad correspondiente a la
curva , e indica que la variación se produce proporcionalmente al desplazamiento (contiene la dependencia del camino y la velocidad con que se produce el desplazamiento).
c
3. el factor Γ , que solo depende de la forma de la variedad en el punto considerado. Esta es la entidad geométrica que realmente define el desplazamiento paralelo.
jik q( )
Los (Γ se han definido para un sistema de coordenadas determinado, veamos cual es su ley de transformación:
)qkji
=
=
=Γ si
s
jr
r
k
jikk
ji Exx
xE
xx
xEE
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ ,,
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
xx
Exx x
xx
Ek
rr
u
j u
s
i s,
=
=
+= u
si
s
j
u
siu
s
j
ur
r
k
xE
xx
xxE
xxx
xxE
xx
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂ 2
,
( ) =
+ u
sri
s
j
u
r
k
sr
iu
s
j
u
r
k
xEE
xx
xx
xxEE
xxx
xx
xx
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂ ,,
2
rusi
s
j
u
r
krsiu
s
j
u
r
k
xx
xx
xx
xxx
xx
xx
Γ+=∂∂
∂∂
∂∂δ
∂∂∂
∂∂
∂∂ 2
rusi
s
j
u
r
k
ij
r
r
k
xx
xx
xx
xxx
xx
Γ+=∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂ 2
Aquí se observa que las Γ no son las componentes de un tensor, dado que el
término
)(qkji
ij
r
r
k
xxx
xx
∂∂∂
∂∂ 2
en general no será nulo.
Lo que si es invariante, dado que ha sido definido independientemente del sistema de referencia, es el valor:
=+=dt
dEv
dtdvE
dtvd ii
k
k
r( ) =
Γ−=+Γ− k
jc
kji
iiiijc
kji
ik ET
dtdE
vdt
dEvTvE
Γ− kkjij
ijc E
xE
T∂∂
= ◊vic
jijTiv
Dado que, según vimos, es un vector normal al espacio tangente, se deduce que los
vectores kkjij
iij E
xE
Γ−≡◊∂∂
son normales al espacio tangente, y por lo tanto, que la proyección
de ji
xE∂∂
al espacio tangente es precisamente , de modo que podremos considerar los
como los elementos que permiten calcular las proyecciones de los vectores
kkji EΓ
kjiΓ j
i
xE∂∂
sobre el
espacio tangente.
Dado que v y T son vectores cualesquiera, los i jc ij◊ se deben transformar como
componentes de un tensor, es decir:
klj
l
i
k
ij xx
xx
◊=◊∂∂
∂∂
(la relación anterior también se puede obtener directamente de la expresión kkjij
iij E
xE
Γ−≡◊∂∂
transformando ji
xE∂∂
a partir de y utilizando las leyes de transformación para ϕϕ o)( 1−ijDD Γji
k
y para ya conocidas). kΕ Consideremos ahora un campo vectorial vr cualquiera, no obtenido necesariamente por desplazamiento paralelo. Se tendrá:
=+=+=+= jcj
iijcj
i
ij
cjii
i
iii
i
i TxEvT
xvET
xEv
dtdvE
dtdEv
tvE
dtvd
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂r
ijj
cii
kjk
j
ij
cikkijij
jc
ij
ij
ci TvvxvTEETv
xvTE ◊+
Γ+=Γ+◊+=
∂∂
∂∂ )(
Este valor es un invariante, y también lo serán cada uno de los dos vectores
Γ+ i
kjk
j
ij
ci vxvTE
∂∂
y ijj
ciTv ◊
que representan respectivamente sus proyecciones paralela y normal al espacio . MTp
En la proyección de la derivada del vector sobre el espacio tangente los factores que
depende de se representan como vr ikj
kj
i
ji v
xvv Γ+≡
∂∂
; y es fácil de ver que son las
componentes de un tensor mixto. Este tensor se definirá como la derivada covariante del vector . Un vector se obtiene por desplazamiento paralelo sobre la variedad si su derivada
covariante es nula, vr
1.2. CONEXIÓN AFÍN La conexión afín es el concepto que permite trasladar (y derivar) vectores paralelamente por la variedad. Daremos una definición algebraica invariante de ella que, como veremos, equivaldrá a definir los símbolos . k
jiΓ
Definiremos la conexión afín como una aplicación que asigna un campo vectorial a cada par de vectores y de T con las siguientes propiedades:
DwDvr
r vr wr Mpr zDwDzwD vvv
rrrrrr +=+ )( rrr wDwDwD zvzv rrrr +=+
rr wDfwD vvf rr •• = rrr wDfwvdfwfD vv
rrr ••)()•( +=
donde , y vr wr zr son vectores de T y es un campo escalar. Mp f
Se observa que las propiedades anteriores son precisamente las propiedades usuales de la derivación de vectores. (En el espacio euclídeo wDv
rr representaría el vector cuyas
componentes son las derivadas direccionales de las componentes de wr según el vector v ). r
Con un sistema de coordenadas ϕ dado, a partir de la conexión se puede definir el
símbolo como la k-componente contravariante del vector
DkijΓ ij
D ΕΕ , es decir:
kkijij
D ΕΓ=ΕΕ
por lo que se tiene: =Ε=Ε=Ε= )()()( j
jE
ij
jEvj
jEvv wDvwDwDwD
iii
ii
rr
jij
kik
i
ji
jj
kiki
ji
j
kEki
jiji vw
xwvwv
xwDwvEdwv
iΕ
Γ+=ΕΓ+Ε=Ε+Ε=
∂∂
∂∂)(
de modo que los Γ determinan completamente la conexión. ijk
Deduzcamos la ley de transformación de coordenadas:
( ) =
Ε+ΕΕ=
Ε=
Ε=Ε=ΕΓ ΕΕ
ΕΕ li
l
lki
l
j
k
li
l
j
k
li
l
xxik
kij kk
kj
kj
Dxx
xxd
xx
xxD
xx
xxDD
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
sr
sr
lki
l
j
k
sl
s
ij
l
rr
lki
l
j
k
lij
l
xx
xx
xx
xx
xxx
xx
xxE
xxx
ΕΓ+Ε=ΕΓ+=∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂ 22
luego, igualando las componentes,
rlkr
s
i
l
j
k
l
s
ij
ls
ij xx
xx
xx
xx
xxx
Γ+=Γ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂ 2
de modo que se vuelve a encontrar la misma ley que se obtuvo en el caso del espacio euclídeo. Aunque esta ley no es la de transformación de un tensor, la de s
jis
ijs
ij Γ−Γ≡Γ~ sí lo es, y el tensor que se determina lo denominaremos tensor de torsión. Este tensor permite definir una operación invariante entre dos vectores que da lugar a otro vector:
ss
ijjivwwvTor ΕΓ≡ ~),( rv
Observemos ahora que:
( ) kkij
jiki
ki
i
ki
kkji
kij
jiki
ki
i
ki
wv vwxvw
xwvvw
xvw
xwvvDwD ΕΓ+Ε
−=ΕΓ−Γ+Ε
−=− ~
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂rr
rr
de modo que definiendo
[ ] ki
ki
i
ki
xvw
xwvwv Ε
−=
∂∂
∂∂rr,
se llega a:
[ ]wvwvTorvDwD wvrrrrrr
rr ,),( +=−
El termino [ es un invariante, puesto que en la expresión anterior lo son todos los demás términos (Este hecho puede determinarse directamente comprobando que la expresión
]wv rr,
i
ki
i
ki
xvw
xwv
∂∂
∂∂
− se transforma como una componente contravariante). rr
El vector [ ]wv, así definido se denomina producto de Lie de los vectores v y . r wr
1.3. DERIVADA COVARIANTE DE TENSORES La conexión afín ha permitido definir una derivación para vectores del espacio tangente. Generalizaremos esta derivación para tensores arbitrarios. Sea T un campo tensorial de orden k y v )()1( ,, kvrL
r campos vectoriales, entonces ),( )()1( kvvT , rL
r=φ es un
invariante escalar. Deseamos definir la derivada tal que TDwr
),,(),,(),,()( )()1()()1()()1( kwkwkw vDvTvvDTvvTDwd r
Lr
Lr
Lrr
Lrr
rrr +++=φ
, es decir, de forma que se comporte como la derivada usual de una función multilineal. Expresando la relación anterior en función de las componentes en un sistema de referencia:
),,(),,()(),,( )()1()()1()()1( kwkwkw vDvTvvDTwdvvTD rL
rL
rL
rrrL
rrrr −−−= φ =
= ( ) LLL LL −
Γ+− k
kk
k ik
ijqiqjj
i
iiiiik
ij
j vvwvxv
TTvvx
w )()2()1()1(
)()1(21
1
11
1
∂∂
∂∂
jqk
iqjj
iki
ki
ii wvxv
vvTk
k
k
Γ+− −
− )()(
)1()1(111
1 ∂∂
LL L =
= −+++ jjiii
ki
iij
ikij
iiikj
ij w
xT
vvTxv
vwTvxv
w kk
k
k
k
k
∂∂
∂∂
∂∂ L
LL LLLL 11
1
1
1
1
)()1()(
)1()()1(
jqk
iqjj
iki
ki
iiik
ijqiqjj
i
ii wvxv
vvTvvwvxv
Tk
k
k
k
k
Γ+−−
Γ+− −
− )()(
)1()1()()2()1()1( 111
1
21
1
1 ∂∂
∂∂
LLL LL =
= jqk
iqj
ik
iii
ik
ijqiqjii
jik
ijii wvvvTvvwvTwvv
xT
k
k
k
k
kk)()1()1()()2()1()()1(
111
1
21
1
11 Γ−−Γ− −−LLLL LL
L
∂∂
=
= jik
iqjiqii
qjiiqij
ii wvvTTx
Tk
kkk
k)()1(
1
1112
1 LL LL
L
Γ−−Γ−
−∂∂
Se puede apreciar que esta función es lineal en wr y corresponde a la acción de un tensor de componentes
qjiqii
qjiiqij
iijii kkk
k
kTT
xT
Γ−−Γ−=−1112
1
1 ; LL
L
L L∂
T∂
este tensor se denomina derivada covariante del tensor T . Obsérvese, por ultimo, que la derivada covariante de una función escalar, considerada como un tensor de orden 0, es, conforme la definición anterior, su diferencial usual
)(wdDwr
r φφ =
1.4. GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE ESPACIO TANGENTE En el caso de una variedad euclídea definimos los símbolos
11
1211
−−
=≡ ϕ∂∂
ϕ∂kk iiii
k
ii Dxx
E LLL
.
Representaremos por S el subespacio vectorial generado por los vectores ,
con . Estos subespacios son invariantes, ya que ante un cambio de coordenadas las derivadas de orden
Mrp kiiE L1
rk ≤<0r de ho1ϕ 1 −− =ϕ se pueden expresar como una combinación de las
derivadas de orden k con 0 de . rk ≤< ϕ 1−
Si se desarrollan estas derivadas se puede comprobar fácilmente por inducción que
MSdenostermiDhDhDhDDE kpjj
ji
jiiiiiii k
k
kkkk
11111
1
1111)( −−−− +=== ϕϕϕ LLLL Lo
Representemos por C
E
1 el operador proyector sobre el subespacio , y definamos E
C LLL
MSiiiiii
kp
kkkEE
1111
−
−≡◊
se tiene entonces:
=−=−=◊−−CC LLLLL LL
MSjj
ji
jijj
ji
ji
MSiiiiii
kp
k
k
kk
k
kkp
kkkEhDhDEhDhDEE
11
1
11
1
11
111
k
k
kkp
kk
k
k jjj
ij
iMS
jjjjj
ij
i hDhDEEhDhD LLL LL C 1
1
11
11
1
1◊=
−=
−
de modo que la ley de transformación es la de un tensor:
kk
k
k jji
j
i
j
ii xx
xx
LL L11
1
1◊=◊
∂∂
∂∂
El subespacio generado por los
kii L1◊ para un determinado valor de k es también,
según se deduce de la expresión anterior, un invariante. Representaremos este subespacio de nR por T . Obsérvese que T y que .
Vemos también que las nuevas definiciones son compatibles con la ya presentada
anteriormente
Mpk MTM pp =1 MS p= 1 MTMTMS k
ppkp ⊕= L1 ⊕
kkjij
iij E
xE
Γ−=◊∂∂
.
1 Nota: esta notación que utilizamos aquí no sigue ningún convenio normalizado
Los símbolos ◊i ik1L permiten definir una nueva función vectorial lineal invariante:
k
k
ik
iiik
k vvv,vN )()1()()1(1
1),( L
rL
rL◊=
Si c y c son dos curvas de la variedad que se cortan en el punto 1 2 p y que tienen
vectores tangentes vr y , entonces wr )( w,vN 2 rr es un vector normal a la variedad y a las dos
curvas simultáneamente.
1.5. DERIVADA ABSOLUTA
Consideremos una curva c y sea )(t MTtv tc )()( ∈r
una función vectorial que solo está definida sobre la curva. Entonces se tiene:
=Ε
=+= jij
ci
i
i
ii
i
i
xTv+E
dtdvE
dtdvE
dtdv
dtvd
∂∂r
),( vTNtvTvETv
dtdv
c2
ijj
ci
kkij
jc
ik
rr+=◊+
Γ+=
δδ
Se define la derivada absoluta de vr respecto a t como
kkij
jc
ik
MT
ETvdt
dvdtvd
tv
tc
Γ+== C
rr
)(δδ
Si vr es un campo vectorial se tiene vDtv
cTr
r
=δδ
.
1.6. GEODÉSICAS PARA UNA CONEXIÓN AFÍN Este concepto de geodésica hace referencia a la curva más recta. La condición que impondremos es que la dirección de variación del vector tangente (su derivada) sea lo más paralela posible al propio vector tangente, y de esta forma obligamos a que la curva se aparte lo menos posible de la dirección inicial. Esta condición se puede expresar también diciendo que la curva se crea trasladando el vector tangente paralelamente a su propia dirección. Sea c la curva que buscamos. La condición de que sea una geodésica se expresa como:
)(t )(tc
cc
MT
c Tt
TdtTd
p
•φδδ
==C
para alguna función )(tφφ ≡ . La razón de tomar la proyección sobre el espacio tangente se
debe a que dtvdr
puede tener componentes normales a la variedad mientras que v MTp∈r
, de
modo que ignoraremos esas componentes. Puesto que la geodésica como tal es un lugar geométrico, el parámetro con que se defina no tiene transcendencia, y podremos seleccionar otro cualquiera obteniéndose una nueva representación c t
tc t' ( ' ) ( ( ' ))= µ de la misma curva,
donde tt =)'(µ es la función que determina el cambio de parámetro. En esta nueva representación se tendrá un vector tangente
='
dtTd
MT
c
p
C
)(st= σ( )
MTp
=C
cc Tdtd
dtd
dtdc
dtdc
dtdcT
'''''
'µµµ
====o
y por tanto:
=+=+=
=
'''''''''' 2
2
2
2'
dtd
dtTd
dtdT
dtd
dtTd
dtdT
dtdT
dtd
dtd
tT
MT
cc
MT
cc
MTc
c
ppp
µµµµµµδδ
CCC
cTdtd
dtd
+= φµµ 2
2
2
''
Si se encontró una solución cumpliendo cMT
c TdtTd
p
•φ=C , se puede encontrar otra
solución haciendo un cambio de parámetro tal que se cumpla la ecuación:
0))'(('
)'('
)( 2
2
2
=
+
′ tdt
tddt
td µφµµ
de modo que en esta nueva representación se obtiene
0'''' ==C
MT
cc
ptT
tT
δδ
δδ
Esta ecuación simplifica la definición: una geodésica será una curva tal que, con alguna representación paramétrica, la derivada de su vector tangente no tiene componentes tangentes a la variedad. La parametrización en la que se cumple la condición anterior se denomina parametrización natural de la geodésica. Sea c una geodésica siendo s el parámetro natural y sea un nuevo parámetro tal que s y tal que define la curva c' con
t))(()(' tctcp σ== . Entonces:
=
+=
= CCC
MTc
c
MTc
MT
c
pppdtdT
dtd
dsTd
dtdT
dtd
dtTd
2
2' • σσσ
dtd
dtdT
dtdT
dtdT
dtdT
dtd
dsTd
ccMT
ccc
p
σσσσσσ2
2
'2
2
2
2
2
22
===
+
C
En la relación anterior se observa que es un nuevo parámetro natural sí y solo sí 't
bastdtd
+=⇔= 02
2σ
con y b constantes. Es decir, todos los parámetros naturales y están relacionados linealmente.
a t s
Por ultimo, la ecuación general de las geodésicas se suele expresar como
cc T
ss
tT
&
&&=
δδ
donde es un parámetro natural y con un punto se indica la derivación respecto al parámetro con el que se define la curva .
sc
Debe observarse que las expresiones anteriores solo dependen de la parte simétrica de la conexión afín: se obtiene la misma condición si en lugar de tomamos definida por D D̂
)(21ˆ vDwDwD wvv
rrrrrr += , o de forma equivalente, tomado )
21 i
kjijk Γ+=∨
( ijkΓΓ .
Otra cuestión, relacionada con la anterior, es encontrar nuevas conexiones simétricas que conserven las geodésicas (aunque no necesariamente el parámetro natural). Ese resultado, que no se demuestra aquí, fue encontrado por Weyl, y afirma que esto ocurre si y solo sí la diferencia entre las conexiones está dada por (
ikjj
ki
kij
kij ηδηδ +=Γ−Γ
donde iη es cualquier cantidad que se transforme como un tensor covariante.
1.7. GEODÉSICAS PARA UNA MÉTRICA Desde el punto de vista métrico, una geodésica se define como la distancia más corta entre dos puntos. Este problema admite un planteamiento variacional. Sean p y dos puntos y consideremos el conjunto de curvas que los unen, con una parametrización tal que
y c . Definimos un funcional en el conjunto de estas curvas asignando a cada una de ellas su longitud entre los puntos
q)(tc
ptc =)( 1 qt =)( 2p y : q
∫∫ ==2
1
2
1
)(•)(•))(()(t
t
jiij
t
t
jc
icij dttDctDctcgdtTTgcs ϕϕϕ
Las ecuación de las geodésicas que buscamos son las condiciones que hacen extremal el funcional anterior. La obtendremos aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange a la función
jiij xxxgxxs &&&& ••)(),( =
Se tiene:
jikijji
kij
jiij
k xxxg
sxx
xg
xxgxs
&&&
&&&&
&
∂∂
∂∂
∂∂
21
••21
==
iik
jk
ijikij
jikijji
ijk xg
sxxg
sxx
xg
xxgxs
&&
&&&
&&&&&
& 1)(21)(
••21
=+== δδ∂∂
∂∂
=++−=dtxdg
sx
dtdx
xg
sxg
dtsd
sxs
dtd i
iki
r
riki
ikk
&
&&
&&
&
&&
& 1112 ∂
∂∂∂
iik
irriki
ki xgs
xxxg
sxg
ss
&&&
&&&
&&
&& 112 ++−=
∂∂
luego
⇔−+
++−=−= ji
kiji
ikir
rki
riki
ikik xxxg
sxg
sxx
xg
xg
sxg
ss
xs
xs
dtd
&&&
&&&
&&&
&&
&&&
&
&
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
211
210 2
⇔+
−++−= i
ikir
kri
rki
irki
ik xgs
xxxg
xg
xg
sxg
ss
&&&
&&&
&&
&& 1210 2 ∂
∂∂∂
∂∂
iik
irkri
rki
irki
ik xgxxxg
xg
xgxg
ss
&&&&&&
&&+
−+=
∂∂
∂∂
∂∂
21
⇔
qirkri
rki
irkqkq xxx
xg
xg
xggx
ss
&&&&&&
&&+
−+=
∂∂
∂∂
∂∂
21
y definiendo el símbolo
{ }
−+= k
rirki
irkqkq
ri xg
xg
xgg
∂∂
∂∂
∂∂
21
la ecuación de las geodésicas se puede poner como
{ } kirkri
k xxxxss
&&&&&&
&&+=
o bien, observando que son las componentes del vector tangente ic
i Tx =&
{ } kc
ic
rc
kri
kc T
dtdTTT +=
ss&
&&
Cuando la curva se representa en función del parámetro natural, , la ecuación anterior se expresa como:
st =
{ } kc
ic
rc
kri T
dsdTT +=0
Se observa que las ecuaciones anteriores son la mismas que la de las geodésicas para una conexión afín definida por { }j
rij
ri =Γ .
1.8. CONEXIÓN MÉTRICA Se estudia aquí la compatibilidad entre una métrica y la conexión afín. Esta compatibilidad puede obtenerse con distintos puntos de vista. a) Invarianza en del producto métrico por transporte paralelo. Diremos que una métrica y una conexión afín están asociadas cuando el producto métrico de dos vectores que se trasladan paralelamente se mantiene constante. Esto implica que para cualquier curva c y vectores ur y vr se debe tener
=++==dt
dvugvdt
dugvuTxg
vugdtd j
iij
ji
ijjik
ckij
∂∂
),(0 rr
=Γ−Γ−= sc
rjrs
iij
jsc
rirsij
jikck
ij TvugvTugvuTxg∂∂
kc
jikij
kc
jiqjkiq
qikqjk
ij TvugTvuggxg
;=
Γ−Γ−=
∂∂
de modo que la condición anterior se puede expresar como 0; =kijg .
Permutando índices y sumando a partir de la expresión 0=Γ−Γ− qjkiq
qikqjk
ij ggxg∂∂
se
obtiene:
=Γ+Γ+Γ−Γ−Γ−Γ−
−+= q
jkiqqikqj
qijkq
qkjqi
qkijq
qjiqkk
ijj
kiijk gggggg
xg
xg
xg
21
21
21
21
21
21
210
∂∂
∂∂
∂∂
( ) ( ) +Γ−+Γ+Γ−
−+= q
ikjqqjqij
qjiqkk
ijj
kiijk ggg
xg
xg
xg
21
21
21
∂∂
∂∂
∂∂
( ) ( ) ( ) =Γ−Γ+Γ−+Γ−Γ+ qkj
qjkqi
qjkqiiq
qki
qikjq gggg
21
21
21
qjkqi
qikjq
qjkiq
qikqj
qjiqkk
ijj
kiijk ggggg
xg
xg
xg
∨∨∨∨
Γ+Γ+Γ+Γ+Γ−
−+=∂∂
∂∂
∂∂
21
b) Coincidencia del lugar geométrico de las geodésicas. Pongamos para el parámetro natural de la conexión y s para el de la métrica. Con un punto indicamos derivación respecto a .
tt
0=Γ+ kij
jc
jc
kc TT
dtTd
{ } kc
kc
kc
kri
kc T
dtdTTT
ss
+=&
&&
luego:
{ }( ) ic
rc
kij
kri
kc TTT
ss
Γ−=&
&&
a
La condición anterior solo afecta a las componentes simétricas de la conexión. b) Condiciones que se deben cumplir para que las geodésicas de la conexión sean también geodésicas métricas y además den lug r a los mimos parámetros naturales
{ }( ) 0=Γ jc
jc
kij
kij TT-
c) Deseamos establecer la condición necesaria y suficiente para que una distancia métrica
coincida con el parámetro natural afín a lo largo de cada geodésica afín (aunque las geodésicas afines no coincidan con las geodésicas de la métrica) .
jiij dxdxgds =2
Estableceremos un resultado preliminar: c1) Una condición suficientes es que el valor ji
ij vvgvv =),( vr se conserve invariante cuando vr
se desplaza paralelamente (es decir, se conserva para toda curva c tal que 0=vDcTr
). Supongamos que se cumple la condición anterior, entonces, si es una geodésica afín siendo su parámetro natural, se tiene:
)(tct
0=cT TD
c
luego, si se cumple la condición anterior, se tendrá
( , )T T T Tc c ij ci
cjg k= =
para alguna constante k . Se deduce entonces que la distancia métrica vale y puesto que esta es una relación lineal, s es también un parámetro natural afín.
tks •=
La condición anterior puede expresarse como
−=+== jc
ic
kck
ijjc
ic
ijj
ci
ck
ckij
cc TTTxg
TdtTdgTTT
xg
T,Tgdtd
∂∂
∂∂
2)(0
jc
ic
kckij
jc
ic
kc
qjiqkk
ijjc
sc
rc
irsij TTTgTTTg
xg
TTTg ;22 =
Γ−=Γ−
∂∂
es decir
0)( =ccT T,TgDc
y la condición anterior se cumple si
0=Γ−Γ− qjkqi
qikqjk
ij ggxg∂∂
1.9. TENSOR DE RIEMANN
El tensor de curvatura de una conexión afín es un campo tensorial definido por D
( ) [ ]uDuDDuDDuwvR wvvwwvrrrrrr
rrrrrr ,,, −−=
Observemos que =− uDDuDD vwwv
rrrrrr
( )r ( )=−= uDvDwuDwDvijji E
iE
jE
jE
i rrrrr
=−−+= uDDvwuDxvwuDDwvuD
xwv
ijijij EEij
Ej
ij
EEji
Ei
ji rrrr
rrrrrr
∂∂
∂∂
( )=−+
−= uDDuDDwvuD
xvw
xwv
ijjij EEEEji
Ei
ji
i
ji rrr
rrrrr
∂∂
∂∂
( )rrr[ ] uDDuDDwvuD
ijji EEEEji
wvrrrrrr −+= ,
luego ( ) ( ) ( ) kji
kij
kjiEEEE
ji EuuwvuDDuDDwvuwvRijji
rrrrrrrrrr ;;;;,, −=−=
La expresión anterior muestra que ( )uwvR rrr ,, es lineal en vr y en wr .
Demostremos que también es lineal en ur . Para ello observamos que
( ) ( )=−=− kk
EEkk
EEEEEE EuDDEuDDuDDuDDijjiijji
vvrrrrrrrrrr
=
+−
+= kE
kki
k
EkEk
kj
k
E EDuExuDEDuE
xuD
ijji
vvvvrrrr
∂∂
∂∂
−+++= kEEk
kEi
k
kEj
k
kji
k
EDDuEDxuED
xuE
xxu
jiji
vvvvrrrr
∂∂
∂∂
∂∂∂ 2
kEEk
kEj
k
kEi
k
kij
k
EDDuEDxuED
xuE
xxu
ijij
vvvvrrrr −−−−
∂∂
∂∂
∂∂∂ 2
=
( )vvkEEkEE
k EDDEDDuijjirrrr −=
y por tanto ( ) ( )kEEkEE
kji EDDEDDuwvuwvRijji
vvrrrrrrr −=,,
Es evidente que kEEkEE EDDEDD
ijji
vvrrrr − es un vector de T . Mp
Por ultimo, representamos su k-componentes contravariante mediante el símbolo . Es decir:
kijsR
=skijs ERr
=− kEEkEE EDDEDDijji
vvrrrr ( ) ( )=Γ−Γ r
rkiEr
rkjE EDED
ji
rrrr
=Γ− rErkir EDE
j
rrr
Γ−Γ+
Γ
j
rki
rErkjr
i
rkj
xEDE
x i
rrr
∂∂
∂∂
=ΓΓ−Γ
−ΓΓ+Γ
= ssrj
rkir
j
rki
ssrj
rkjr
i
rkj EE
xEE
xrrrr
∂∂
∂∂
ssrj
rki
j
skis
rjrkj
i
skj E
xxr
ΓΓ−
Γ−ΓΓ+
Γ∂∂
∂∂
de modo que
srj
rki
j
skis
rjrkj
i
skj
kijs
xxR ΓΓ−
Γ−ΓΓ+
Γ=
∂∂
∂∂
Por la forma en que han sido definidos, es evidente que los símbolos se transforman como las componentes mixtas de un tensor de cuarto orden. Este tensor se denomina tensor de curvatura de Riemann-Christoffel.
ijksR
( ) skij
sjik ERwvuuwvRrrrr
=,,
La importancia de este tensor radica en que la condición necesaria y suficiente para que exista un sistema de coordenadas para el cual en el entorno de un punto sean todas las componentes de la conexión afín nulas es que este tensor se anule en ese punto.
1.10. TENSOR DE RICCI Mediante una contracción del tensor de Riemann se obtiene un tensor de orden 2 denominado tensor de Ricci:
kiss
ki RR = que opera conforme la ley:
( ) kikis
s uvRuvR =rr,
Si hay definida una métrica, se puede poner
( ) ),,(,),,(,, uEvREuEvREguvR kk
kjkj rrrrrrrrrr ==
1.11. ESCALAR DE CURVATURA El escalar de curvatura se define mediante contracción del tensor de Ricci
),,(,),( lkjijlik
iii
ikiki EEEREggEERRRgR
rrrrrr====
1.12. TENSOR DE EINSTEIN El tensor de Einstein se define como
RgR ijijij 21G −=
y tiene la particularidad que tanto su divergencia como su contracción son nulas.
1.13. TENSOR DE CURVATURA PROYECTIVA Las componentes de este tensor, que fue definido por Weyl, son:
)(1
1kj
siki
sjkij
skij
s RRn
RW δδ −−
−=
Definiendo la función vectorial multilineal
( )),(•),(•1
1),,(),,( uvRwuwRvn
uwvRuwvW rrrrrrrrrrrr −−
+=
se puede poner
),,(, uwvWtwvutW jiksskij
rrrv= El interés de este tensor radica en que la condición necesaria para que una aplicación entre dos variedades, cada una con su respectiva métrica, conserve las geodésicas, es que conserve el tensor de Weyl.
1.14. TENSOR DE CURVATURA CONFORME Las componentes de este tensor, también estudiado por Weyl, son:
)()2)(1(
)(2
1iljkikjlikjliljkjkiljlikijklijkl gggg
nnRRgRgRgRg
nRC −
−−+−−−
−−=
La contracción de este tensor es nula. Si M es una variedad con su respectiva métrica g y M
( es otra variedad, una
aplicación MMf(
→: se dice que es conforme si la métrica inducida gfg ∗=( es de la forma gg λ=( donde λ es una función real positiva. Esto quiere decir que la función conserva los ángulos.
f
Las métricas conformes tienen asociadas unas conexiones que cumplen la relación:
tjkit
jikk
ij
ijk
ijk gg ψψδψδ −++Γ=Γ~
donde iψ es la 1-forma diferencial dada por
ii x∂∂
=λ
λψ
21
La condición necesaria para que una aplicación MMf
(→: sea conforme es que
conserve el tensor de curvatura conforme.