Sucesiones y Series de Potencias - personales.unican.espersonales.unican.es/gila/sucesionesyseriesR.pdfSucesiones y Series de Potencias. C alculo pr actico de l mites (2) Criterio

Sucesiones. Convergencia

Sucesion: Es una aplicacion de IN en IR :

f : IN → IRn → = f (n)

En vez de f (n) se escribe an, que se denomina “termino general” dela sucesion.A la sucesion se le representa por: {an}n∈IN .Sucesion Convergente: la sucesion {an}n∈N , tiende a l ∈ IR ; oconverge a l ∈ IR ; o tiene por lımite l ∈ IR ; o es convergente y sulımite es l ∈ IR ; o {an}n∈IN → l ; o lim

n→∞an = l , si

∀ε ∈ R+, ∃n0 ∈ N, n = n (ε), tal que ∀n > n0, n ∈ N ⇒ |an − l | < ε,o lo que es lo mismo: an ∈ (l − ε, l + ε),es decir fuera del entorno de centro l y radio ε quedan, a lo mas,un numero finito de terminos de la sucesion.En una sucesion convergente el lımite:

o es un punto de acumulacion del conjunto de las imagenes,

o es un punto aislado del conjunto de las imagenes.

Sucesiones y Series de Potencias

Sea la sucesion: {1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, · · · , 4, · · · }, esta sucesion esconvergente a 4, y el conjunto de las imagenes de la aplicacion esun conjunto finito, todos los terminos de la sucesion, excepto unnumero finito de ellos, toman el mismo valor, es este caso el lımitees un punto adherente, que es aislado, del conjunto de las imagenesde la sucesion.Si no existen infinitos terminos de la sucesion que toman el mismovalor el lımite es un punto de acumulacion del conjunto de las

imagenes de la sucesion. Ejemplo {an}n∈IN , an =1

n.

Puede suceder si infinitos terminos que toman el mismo valor einfinitos terminos que tomen distinto valor y que el lımite sea unpunto de acumulacion, en este caso el valor de los infinitos terminos

que valen lo mismo ha de ser el lımite. Ejemplo {an}n∈IN , a2n =1

n,

a2n−1 = 0, siendo el conjunto de las imagenes{0,

1

1, 0,

1

2, 0,

1

3, 0,

1

4, · · · , 0,

1

n, · · ·

}Las sucesiones que no tienen lımite se dicen no convergentes


Sucesion monotona y acotada

Una sucesion monotona creciente, decreciente, y acotada esconvergente y su lımite es el extremo superior, inferior.Si {an}n∈IN es creciente y su extremo superior es α, sea l el lımite,

si l > α, l − α = ε1. El E∗ (l , ε1) no contiene ningun terminode la sucesion.

si si l < α, α− l = ε2. El E∗(l , ε2

2

)contiene infinitos terminos

de la sucesion, sea uno de ellos an0 , por ser m.c.

an0 ≤ an0+1 ≤ · · · ≤ an ≤ l +ε22< α

contra la hipotesis de que α es el extremo superior, pues entrel + ε2

2 y α, hay cotas superiores de la sucesion contra lahipotesis de α era el sup {an}n∈IN


Sucesion Divergente

Una sucesion se dice divergente, o que tiene por lımite infinito, ∞, yescribimos

{an}n∈IN → ∞ o limn→∞

an = ∞

si ∀K ∈ R+, existe un n0 ∈ IN , n = n (K ), tal que para todo n > n0,n ∈ IN , se cumple que |an| > K , o lo que es lo mismoan ∈ (−∞, −K )

⋃(K , +∞), no perteneciendo a este conjunto un

numero finito de terminos de la sucesion.Sea la sucesion

{n2}

n∈Ncuyo lımite es ∞, y sea K = K0, entonces∣∣ n2

∣∣ > K0 ⇒ n >√

k0 → n0 = E[√

k0

]+ 1

Si se considera el conjunto de las imagenes, decimos que en unasucesion divergente ∞ es un punto de acumulacion de esteconjunto, definiendo

E (∞; r) = {x ∈ R ||x | > r } = (−∞,−r)⋃

(r ,+∞)


Sucesion Oscilante

Una sucesion es oscilante cuando no es convergente ni divergente.

Sea la sucesion

{(−1)n 3n − 17

n + 1

}n∈N

que no tiene lımite, es

oscilante.

Sea la sucesion an =

{1

nsi n = 2k

log n si n = 2k + 1que no tiene lımite,

es oscilante.Lımites de oscilacion:Sea la sucesion {an}n∈N , decimos que b ∈ R, ∞, es lımite deoscilacion de {an}n∈N si todo entorno de b ∈ R, ∞, contieneinfinitos terminos de la sucesion. En algunos textos en vez dehablar de lımites de oscilacion hablan de valores adherentes o valoresde acumulacion.

Sea an =

n si n = 2k, k ∈ N1

nsi n = 2k − 1, k ∈ N

, la sucesion es

{1, 2,

1

3, 4,

1

5, 6, · · · , −

1

2n − 1, 2n, · · ·

}

cualquier E (0; ε) , ε < 1 contiene infinitos terminos de la sucesion, todos los a2n+1 y cualquier entorno de

+∞ contiene infinitos terminos de la sucesion, todos los a2n .


Lımite superior e inferior de oscilacion

Si el conjunto de los lımites esta acotado

1 al mayor lımite superior de oscilacion: lim .n→∞

an,

2 al menor lımite inferior de oscilacion, lim .n→∞

an

Si el conjunto de los lımites no esta acotado

1 limn→∞

an = +∞2 lim

n→∞an = −∞

El lımite superior de oscilacion y el lımite inferior de oscilacion son

unicos. Otra definicion es:

{αβ

}es

{lımite superiorlımite inferior

}de

oscilacion si en cada intervalo de centro

{αβ

}y radio r existen

infinitos terminos de la sucesion y solo existe un numero finito que

son

{mayoresmenores

}que

{α + rβ − r

}.


Principio de sustitucion

El lımite de una sucesion convergente o divergente no se altera al sustituiruno de sus factores o divisores por otro asintoticamente equivalente.

Sea an <> bn o limn→∞

an

bn, y supongamos que estamos calculando el

lımite, que existe finito o infinito, de ancn

lim .n→∞

(ancn) = lim .n→∞

(ancn) lim .n→∞

(bn

an

)= lim .

n→∞

(ancn

bn

an

)= lim .

n→∞(bncn)

Sea an <> bn, y supongamos que estamos calculando el lımite, que

existe finito o infinito, dean

cn

lim .n→∞

(an

cn

)= lim .

n→∞

(an

cn

)lim .

n→∞

(bn

an

)= lim .

n→∞

(an

cn

bn

an

)= lim .

n→∞

(bn

cn

)

Una de las equivalencias mas usuales es:Si lim

n→∞an = a, entonces an <> a.

No hemos dicho que se pueda sustituir en una suma un sumandopor otro equivalente. La aplicacion de esta afirmacion, falsa, dalugar a veces a resultados erroneos.


Equivalencias elementales

Lista de infinitesimos equivalentes, an → 0• sen an <> an

• arc sen an <> an

• tg an <> an

• arc tg an <> an

• sh an <> an

• arg sh an <> an

• 1− cos an <>a2n

2

• 1− ch an <> −a2n

2• log (1 + an) <> an

Lista de infinitos equivalentes si n→ +∞• n ! <> e−nnn

√2πn

• a0np0 + a1np1 + a2np2 + · · · <> a0np0 si p0 > p1 > p2 > · · · ; p0 > 0• log (a0np0 + a1np1 + a2np2 + · · · ) <> log np0 sip0 > p1 > p2 > · · · ; p0 > 0, a0 > 0


Lımite de expresiones racionales

αn =a0np0 + a1np1 + · · ·+ aknpk

b0nq0 + b1nq1 + · · ·+ bknqk:∞∞

;

{p0 > p1 > · · · ; p0 > 0 a0 6= 0q0 > q1 > · · · ; q0 > 0 b0 6= 0

• p0 < q0 Si dividimos numerador y denominador por np0

a0 + a1np1−p0 + · · ·+ aknpk−p0

b0nq0−p0 + b1nq1−p0 + · · ·+ bknqk−p0→ a0

∞= 0

• p0 > q0 Si dividimos numerador y denominador por nq0

a0np0−q0 + a1np1−q0 + · · ·+ aknpk−q0

b0 + b1nq1−q0 + · · ·+ bknqk−q0→ ∞

b0=∞

• p0 = q0 Si dividimos numerador y denominador por np0

a0 + a1np1−q0 + · · ·+ aknpk−q0

b0 + b1nq1−q0 + · · ·+ bknqk−q0→ a0

b0


Lımite de expresiones irracionales

ap − bp

a− b=[ap−1 + ap−2b + · · ·+ abn−2 + bp−1

]• si: a = p

√f (n) y b = p

√g (n), sera

f (n)− g (n)(p√

f (n)− p√

g (n)) =

j=p−1∑j=0

p

√[f (n)]p−1−j [g (n)]j

p√

f (n)− p√

g (n) =f (n)− g (n)

j=p−1∑j=0

p

√[f (n)]p−1−j [g (n)]j

• si a = r√

f (n) y b = s√

g (n), si t = m.c.m. {r , s}, sera:

r√

f (n)− s√

g (n) =t

√[f (n)]

tr − t

√[g (n)]

ts

diferencia de raıces del mismo ındice.


Calculo practico de lımites (1)

Lımite de expresiones 1∞, ∞0 y 00: Su calculo se realiza obuscando el numero “e” o tomando logaritmos y resolviendo laindeterminacion ∞ · 0Criterio de Stolz-Cesaro:Sea una sucesion cn, tal que, cn =

an

bn,

Si la sucesion bn es creciente y divergente y si la fraccion

an − an−1

bn − bn−1

tiene lımite finito o infinito de signo determinado, se verifica

lim .n→∞

an − an−1

bn − bn−1

= lim .n→∞

an

bn= lim .

n→∞cn

El criterio de Stolz-Cesaro tambien se cumplesi las sucesiones an y bn son infinitesimas, siendo bn decreciente.


Calculo practico de lımites (2)

Criterio de la media aritmetica

Si {cn} tiene lımite finito o infinito, de signo determinado, se verifica

lim .n→∞

j=n∑j=1

cj

nlim .n→∞

cn

Criterio de la media geometricaSi {cn} es una sucesion de terminos positivos, convergente odivergente, se verifica

lim .n→∞

n√

c1c2 · · · cn = lim .n→∞

cn

Lımites de la razon y de la raız

Sea {an} de terminos positivos; si la razonan

an−1es convergente o

divergente, se verifica

lim .n→∞

n√

an = lim .n→∞

an

an−1


Series potenciales o de potencias

Son:∞∑

n=0

an (x − x0)n, an ∈ IR , y en general an = f (n), x0 ∈ IR y fijo.

Si x = x1 ∈ IR , obtenemos la serie numerica:∞∑

n=0

an (x1 − x0)n.

Todos los valores de x , que hacen que la serie numericacorrespondiente sea convergente, forman el subconjunto de IR enel que existe convergencia, subconjunto que se denomina campo deconvergencia.El campo de convergencia al menos contiene un punto: el x0 →∞∑

n=0

an (x0 − x0)n = a0.

Ejemplos:∞∑

n=0

(n !) (x − x0)n;∞∑

n=0

(n + 1) (x − x0)n;∞∑

n=0

1

n !(x − x0)n

Por comodidad se estudian para x0 = 0.

x − x0 = z →∞∑

n=0

an (x0 − x0)n =∞∑

n=0

anzn


Serie geometrica o Progresion geometrica

Sea {an}n∈N definida del modo siguiente: a1 = k, an+1 = ran; con la

que se genera la serie∞∑

n=1an, cuyas sumas parciales son:

S1 = a1 = kS2 = a1 + a2 = k + krS3 = a1 + a2 + a3 = k + kr + kr2

· · · · · · · · ·Sn = a1 + a2 + · · ·+ an = k + kr + kr2 + · · ·+ krn−1

Estudiemos Sn en los casos |r | 6= 1, es decir r 6= ±1, tenemos

Sn = k + rk + kr2 + kr3 + · · ·+ krn−2 + krn−1

rSn = kr + kr2 + kr3 + kr4 + · · ·+ krn−1 + krn

restandolas: Sn − rSn = k − krn =⇒ Sn =k − krn

1− r


tomando lımite: limn→∞

Sn = limn→∞

k − krn

1− r=

k

1− r− lim

n→∞

krn

1− r.

Presentandose los casos

|r | < 1, que es limn→∞

krn = 0, y por tanto limn→∞

Sn =k

1− r→

convergentes.

|r | > 1, que es limn→∞

krn =∞, y por tanto limn→∞

Sn =∞→divergentes.

Si |r | = 1.

r = 1, entonces Sn = nk y limn→∞

Sn =∞→ divergente.

r = −1, entonces

S1 = a1 = k = kS2 = k − k = 0S3 = k − k + k = kS3 = k − k + k − k = 0· · · · · · · · ·

S2n−1 = k − k + k − · · ·+ k (−1)2n−2 = k

S2n = k − k + k − · · ·+ k (−1)2n−1 = 0

por lo que la serie resulta oscilante.


Campo de convergencia absoluta

Si∞∑

n=0

anxn converge para x = x1 entonces es absolutamente convergente

en el conjunto: {x ∈ R | |x | < |x1| }; es decir converge∞∑

n=0|anxn|.

Si diverge para x = x1 entonces es divergente en el conjunto:{x ∈ R | |x1| < |x | }.

Por la convergencia de∞∑

n=0

anxn1 , su termino general, anxn

1 → 0, por

lo tanto la sucesion {anxn1 } esta acotada, por lo que,

∃K ∈ R+ | |anxn1 | < K , n = 0, 1, 2, · · ·

Sea x tal que |x | < |x1|:∣∣∣∣ x

x1

∣∣∣∣ = r < 1 → |anxn| =

∣∣∣∣anxn1

xn

xn1

∣∣∣∣ =

|anxn1 |∣∣∣∣ x

x1

∣∣∣∣n < Krn ⇒∞∑

n=0

|anxn| ≤∞∑

n=0

Krn, luego la serie∞∑

n=0

|anxn|

esta acotada por una progresion geometrica convergente.


Si∞∑

n=0

anxn1 es divergente y existe un x = x0, |x1| < |x0|, para la cual

la serie∞∑

n=0

anxn0 converge, entonces:

por la primera parte,∞∑

n=0

anxn1 sera absolutamente convergente,

contra la hipotesis de que es divergente.


Intervalo de convergencia

Dada una serie de potencias∞∑

n=0

anxn, denominemos A al conjunto

de puntos para los cuales converge.

Se llama radio de convergencia de la serie∞∑

n=0

anxn al numero real

R≥ 0, definido a continuacion:

R = 0 si∞∑

n=0

anxn converge solamente para x = 0.

R = +∞ si∞∑

n=0

anxn converge ∀x ∈ IR .

R = supx∈A|x | para todos los puntos en los que

∞∑n=0

anxn converge.

Al intervalo (−R, R) se le denomina intervalo de convergencia.


Una serie de potencias∞∑

n=0

anxn :

converge absolutamente ∀x ∈ (−R, R).

diverge para |x | > R.

Si R = 0 no hay nada que probar.Si R 6= 0, sea un x tal que |x | < R, por la densidad de los numerosreales, ∃x0 ∈ R tal que |x | < |x0| < R para el que la serie, pordefinicion de R, converge y por lo visto anteriormente convergeabsolutamente en |x | < R.

Si la serie no diverge para un x0 tal que |x0| > R significa que laserie converge para x0, en contradiccion con que R es el sup A.


Determinacion del radio de convergencia

El radio de convergencia de una serie de potencias∞∑

n=0

anxn viene

dado por:

R = 0 si limn→∞

n√|an| = +∞.

R = +∞ si limn→∞

n√|an| = 0.

R =1

limn→∞

n√|an|

si limn→∞

n√|an| < +∞

Si aplicamos el criterio de la raız a la serie∞∑

n=0

anxn, sabemos que

existe convergencia, si

limn→∞

n√|anxn| < 1⇒ |x | lim

n→∞n√|an| < 1

por lo que si


limn→∞

n√|an| = 0 habra convergencia ∀x ∈ R.

limn→∞

n√|an| = +∞ habra convergencia solo si x = 0.

0 < limn→∞

n√|an| < +∞ habra convergencia solo si

|x | < 1

limn→∞

n√|an|

.

Por lo estudiado en sucesiones, sabemos que:• Si existe lim

n→∞n√|an| tambien existe lim

n→∞n√|an|, luego en ciertos

casos podemos ası determinar el radio de convergencia.

• Si existe limn→∞

∣∣∣∣ an

an−1

∣∣∣∣ tambien existe limn→∞

n√|an| y son iguales,

luego en ciertos casos podemos ası determinar el radio deconvergencia.


Campo de convergencia

Una vez determinado el intervalo de convergencia, si R 6= +∞, seha de estudiar la convergencia de las series numericas:

∞∑n=0

anRn;∞∑

n=0

an (−R)n

• si ambas convergen, el campo de convergencia es [−R, R].• si ambas series divergen, el campo de convergencia es (−R, R).

• si solo converge∞∑

n=0

anRn, el campo de convergencia es (−R, R].

• si solo converge∞∑

n=0

an (−R)n, el campo de convergencia es

[−R, R).


Justificacion del criterio de la raız

Sea∞∑

n=0

bn, ∀n→ bn ≥ 0. Sea limn→∞

n√

bn = α < 1. Por las

propiedades de los lımites: dado ε < 1− α, ∃n0 ∈ IN tal que ∀n ≥ n0n√

bn < α + ε = α1 < 1 → bn < αn1 luego

∞∑n=n0

bn ≤∞∑

n=n0

αn1

Por lo que la suma de infinitos terminos de la serie esta acotadapor una progresion geometrica convergente


En el interior del campo de convergencia uniforme, se cumple:

Si S (x) =∞∑

n=0

anxn, S (x) es continua.

Si S (x) =∞∑

n=0

anxn → S (1 (x) =∞∑

n=1

nanxn−1 =∞∑

n=0

(n + 1) an+1xn

Campo de convergencia uniforme es: cualquier intervalo cerrado

que este contenido en el campo de convergencia.


Desarrollo de una funcion en serie de potencias

Sabemos que a una funcion que sea indefinidamente derivable,podemos aplicarle la formula de Taylor o MacLaurin, segun elpunto que estemos considerando y obtendremos:

f (x) =n=n∑n=0

anxn + Tn (x) = Sn (x) + Tn (x)

y sera

f (x) =∞∑

n=0

anxn = limn→∞

Sn (x)

cuando

limn→∞

Tn (x) = 0

Por lo que el desarrollo en serie de MacLaurin es lıcito para todovalor de x que, sustituido en el termino complementario, cumpla lacondicion anterior.


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