Statistique descriptive univariéecerim.univ-lille2.fr/fileadmin/user_upload/statistiques/michael_genin/Cours/Cours_IAE...variable non quantiﬁable décrivant une qualité d’un

Statistique descriptive univariée

Michaël Genin

Université de Lille 2EA 2694 - Santé Publique : Epidémiologie et Qualité des soins

[email protected]

Plan

1 Introduction

2 Variables qualitatives nominales

3 Variables qualitatives ordinales

4 Variables quantitatives discrètes

5 Variables quantitatives continues

6 Cas particulier

Michaël Genin (Université de Lille 2) Statistique descriptive univariée Version - 18 mai 2016 1 / 52

Plan

1 Introduction





6 Cas particulier


Plan

1 Introduction





6 Cas particulier


Plan

1 Introduction





6 Cas particulier


Plan

1 Introduction





6 Cas particulier


Plan

1 Introduction





6 Cas particulier


Introduction

Point étudié

1 Introduction





6 Cas particulier


Introduction

Objectif de la séance : analyse statistique univariée d’un échantillon statistique :caractérisation des variables par des paramètres statistiques qui dépendent de leurtype (qualitatif ou quantitatif)représentations graphiques (qui dépendent également du type)

Rappel : plan classique d’une étude1 Recueil et mise en forme des données ← étudié pendant le CM1

2 AnalyseDescription univariée□ dans l’échantillon ← aujourd’hui□ estimation□ intervalle de confiance

Analyse statistique inférentielle


Introduction

Rappels

CM2 : Analyse statistique descriptive

I. Introduction

Rappel : population / echantillon

Population : ensemble de referenceIndividu : chaque element de cet ensembleEchantillon : ensemble d’individus representatifs d’une population

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Population : ensemble de référenceIndividu : chaque élément de cet ensembleEchantillon : ensemble d’individus représentatifs d’une population


Introduction

Chaque individu est décrit par un ou plusieurs caractères, appelés aussi variables.

Modalités- différentes situations possibles de la variable- à la fois incompatibles et exhaustives

Chaque individu présente une et une seule modalité de la variable

Différents types de variables :- variables qualitatives

◦ nominale (modalités non ordonnées)◦ ordinale (modalités ordonnées)

- variables quantitatives◦ discrète◦ continue

- variables binaires- dates


Introduction

Variable qualitative = variable non mesurableEx 1 : la couleur des yeux (qualitative nominale)les différentes couleurs sont les modalités de cette variable qualitativeEx 2 : le niveau de scolarité "maternelle", "élémentaire", "collège" et "lycée"(qualitative ordinale)

Variable quantitative = variable mesurablepossibilité de sommer, de calculer une moyenne, etc.Ex 1 : la taille (quantitatif continu)Ex 2 : le nombre d’enfants (quantitatif discret)cas particulier du résultat obtenu avec une EVA réelle


Introduction

Pour chaque type de variables :a. définitionb. présentation des donnéesc. représentation graphiqued. calcul de paramètres sur l’échantillon à analyser


Variables qualitatives nominales

Point étudié

1 Introduction





6 Cas particulier



Définition

variable non quantifiable décrivant une qualité d’un individu à l’aide de k modalitésmutuellement exclusiveson parle aussi de variable qualitative non-ordonnéeEx : la couleur des cheveux


II. Variables qualitatives non ordonnees


a. definition

§ variable non quantifiable decrivant une qualite d’un individu a l’aide de kmodalites mutuellement exclusives

§ on parle aussi de variable nominale

§ Ex : la couleur des cheveux

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Présentation des données

Tableau statistiqueune ligne pour chacune des k modalités (i de 1 à k)

Modalité Effectif Fréquence· · · · · · · · ·xi ni fi = ni /N

· · · · · · · · ·Σ = N Σ = 1

Exemple : Dresser le tableau statistique correspondant à la couleur des cheveux




Tableau statistiqueune ligne pour chacune des k modalités (i de 1 à k)

Modalité Effectif Fréquence· · · · · · · · ·xi ni fi = ni /N

· · · · · · · · ·Σ = N Σ = 1

Exemple : Dresser le tableau statistique correspondant à la couleur des cheveux

Modalité Effectif FréquenceBruns 25 0.50Blonds 18 0.36Blancs 7 0.14

Σ = 50 Σ = 1



Représentation graphique

- Diagramme en secteur (= camembert)Modalité → portion d’aire proportionnelle à

sa fréqence fi

son effectif ni

l’angle au centre (en degrés : α = 360× fi)la surface du secteur



II. c. representation graphique

- Diagramme en secteur (= camembert)Modalite Ñ portion d’aire proportionnelle a

§ sa freqence fi

§ son e↵ectif ni

§ l’angle au centre (en degres : ↵ “ 360 ˆ fi )

§ la surface du secteur

- Diagramme en barres des e↵ectifs (= a batons) (details a la section suivante)

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- Diagramme en barres des effectifs (= à batons) (détails à la section suivante)



Calcul de paramètres

Un seul paramètre : le mode

Mode = modalité ayantle plus grand effectifla fréquence relative la plus élevée

Modalité Effectif FréquenceBruns 25 0.50Blonds 18 0.36Blancs 7 0.14

Σ = 50 Σ = 1

Sur notre exemple, le mode est "Bruns".

Remarques : le mode estsimple à calculersignification concrètedéfini pour tous les types de variables

MAIS il n’est pas nécessairement unique.


Variables qualitatives ordinales

Point étudié

1 Introduction





6 Cas particulier



Définition

= variables qualitatives ordonnéesles modalités ont un ordreEx

Variable ModalitésBrevet

BacDiplôme Licence

MasterDoctorat




Tableau statistique similaire à celui des variables nominales MAIStrier les lignes par xi croissantsajouter les effectifs cumulés et fréquences cumulées

Exercice : On interroge 50 personnes sur leur dernier diplôme obtenu (Sans diplôme,Primaire, Secondaire, Supérieur non universitaire, Universitaire). On a obtenu la sériestatistique suivante

Y Sd Sd Sd Sd P P P P P PP P P P P Se Se Se Se SeSe Se Se Se Se Se Se Se Se SuSu Su Su Su Su Su Su Su U UU U U U U U U U U U

Consigne : construire le tableau statistique correspondant à cette série.




EX : Le tableau statistique complet correspondant est

Modalité Effectif Effectif cumulé Fréquence Fréquence cumuléeSd 4 4 0.08 0.08P 11 15 0.22 0.30Se 14 29 0.28 0.58Su 9 38 0.18 0.76U 12 50 0.24 1.00

Σ = 50 Σ = 1




- Diagramme en secteur (voir section précédente)- Diagramme en barres des effectifs (ou fréquence)


III. Variables qualitatives ordonnees

c. representation graphique- Diagramme en secteur (voir section precedente)

- Diagramme en barres des e↵ectifs (ou frequence)

- Diagramme en barres des e↵ectifs cumules (ou frequence cumulee)

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- Diagramme en barres des effectifs cumulés (ou fréquence cumulée)



c. representation graphique- Diagramme en secteur (voir section precedente)

- Diagramme en barres des e↵ectifs (ou frequence)

- Diagramme en barres des e↵ectifs cumules (ou frequence cumulee)

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Médianevaleur de la variable qui partage en deux effectifs égauxles individus de la pop. supposés rangés par valeur croissante des modalités.s’applique aux variables admettant une relation d’ordre

Quelle est la médiane de l’exemple ?




Médianevaleur de la variable qui partage en deux effectifs égauxles individus de la pop. supposés rangés par valeur croissante des modalités.s’applique aux variables admettant une relation d’ordre

Sur notre exemple, médiane = Sesi on dispose du diag. des freq. cum., la médiane correspond à la première barre traversée parl’horizontale tracée à 50%



d. calcul de parametresMediane

§ valeur de la variable qui partage en deux e↵ectifs egauxles individus de la pop. supposes ranges par valeur croissante des modalites.

§ s’applique aux variables admettant une relation d’ordre

Sur notre exemple, mediane = Sesi on dispose du diag. des freq. cum., la mediane correspond a la premiere barre traversee

par l’horizontale tracee a 50%

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Mode (voir section précédente)Sur notre exemple, mode = ?




Mode (voir section précédente)Sur notre exemple, mode = Se

Modalité Effectif Effectif cumulé Fréquence Fréquence cumuléeSd 4 4 0.08 0.08P 11 15 0.22 0.30Se 14 29 0.28 0.58Su 9 38 0.18 0.76U 12 50 0.24 1.00

Σ = 50 Σ = 1


Variables quantitatives discrètes

Point étudié

1 Introduction





6 Cas particulier



Définition

variable numérique ne pouvant prendre qu’un nombre fini de valeursrelation d’ordresouvent issues d’un décompteen pratique : nombreux ex-aequoEx 1 : nombre d’enfants d’une familleEx 2 : nombre de rechutes d’une maladie




Tableau statistiqueune ligne pour chacune de k valeurs différentes triées de X (i de 1 à k)

Valeur Effectif Effectif cumulé Fréquence Fréquence cumulée· · · · · · · · · · · · · · ·xi ni Ni =

∑ij=1 nj fi = ni /N Fi =

∑ij=1 fj

· · · · · · · · · · · · · · ·xk nk N fk 1

Σ = N Σ = 1

Ex : Série du nombre de personnes formant le ménage :1 - 6 - 2 - 3 - 3 - 1 - 4 - 1 - 2 - 4 - 2 - 3 - 1 - 1 - 3 - 2 - 4 - 1 - 4 - 1

Série triée du nombre de personnes formant le ménage :1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 2 - 2 - 2 - 3 - 3 - 3 - 3 - 4 - 4 - 4 - 4 - 6




Tableau statistique correspondant à la composition du ménage :

Valeur Effectif Effectif cumulé Fréquence Fréquence cumulée

Σ = Σ =




Tableau statistique correspondant à la composition du ménage :

Modalité Effectif Effectif cumulé Fréquence Fréquence cumulée1 8 8 0.40 0.402 3 11 0.15 0.553 4 15 0.20 0.754 4 19 0.20 0.956 1 20 0.05 1.00

Σ = 20 Σ = 1




- Diagramme en barres des effectifs (ou fréquence)- Diagramme en barres des effectifs cumulés (ou fréquence cumulée)


IV. Variables quantitatives discretes

c. representation graphique- Diagramme en barres des e↵ectifs (ou frequence)- Diagramme en barres des e↵ectifs cumules (ou frequence cumulee)

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c. representation graphique- Diagramme en barres des e↵ectifs (ou frequence)- Diagramme en barres des e↵ectifs cumules (ou frequence cumulee)

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Minimum : valeur la moins élevée de la sérieSur notre exemple, min = ??

Maximum : valeur la plus élevée de la sérieSur notre exemple, max = ??

Etendue : différence entre maximum et minimumSur notre exemple, Etendue = ??

Mode (vu précédemment)Sur notre exemple, Mode = ??




Minimum : valeur la moins élevée de la sérieSur notre exemple, min = 1

Maximum : valeur la plus élevée de la sérieSur notre exemple, max = 6

Etendue : différence entre maximum et minimumSur notre exemple, Etendue = 6 - 1 = 5

Mode (vu précédemment)Sur notre exemple, Mode = 1

Mediane, quantiles (cf. ci-après)

Moyenne (cf. ci-après)

Variance et écart-type (cf. ci-après)



Calcul de paramètres - Médiane

valeur seuil qui partage l’échantillon en 2 sous-groupes d’effectif identiqueSi N impair : soit N=2p +1, médiane = xp+1Si N pair : soit N=2p, médiane = (xp + xp+1)/2

robuste aux valeurs extrêmes

Déterminer la médiane de l’exemple précédent.




valeur seuil qui partage l’échantillon en 2 sous-groupes d’effectif identiqueSi N impair : soit N=2p +1, médiane = xp+1Si N pair : soit N=2p, médiane = (xp + xp+1)/2

robuste aux valeurs extrêmes

Exemple :xi : 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 2 - 2 - 2 - 3 - 3 - 3 - 3 - 4 - 4 - 4 - 4 - 6N = 20 → série paire.On a N = 2× 10, donc médiane = (x10 + x11)/2x10 = 2 et x11 = 2, d’o médiane = (2 + 2)/2 = 2




Graphiquement :



Graphiquement :

Interpretations :

§ au moins la moitie des menages interroges sont composes de 2 personnes oumoins

§ au moins la moitie des menages interroges sont composes de 2 personnes ouplus

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Interprétations :au moins la moitié des ménages interrogés sont composés de 2 personnes ou moinsau moins la moitié des ménages interrogés sont composés de 2 personnes ou plus



Calcul de paramètres - Quantiles

Quantiles = valeurs qui divisent une série statistique ordonnée en plusieurs groupescomprenant la même proportion d’individus.

Les quantiles les plus connus sont les :

quartiles (Q1, Q2, Q3)- 3 valeurs qui partagent l’échantillon en 4 sous-groupes d’effectif identique- chaque sous-groupe comprend 25% des données de la série- Distance inter-quartile = Q3 − Q1- Interprétation : 75% des données sont inférieures à Q3

déciles (D1, . . . , D9)- 9 valeurs qui partagent l’échantillon en 10 sous-groupes d’effectif identique

centiles ou percentiles (C1, . . . , C99)- 99 valeurs qui partagent l’échantillon en 100 sous-groupes d’effectif identique

Remarque : médiane = Q2 = D5 = C50



Calcul de paramètres - Moyenne

La moyenne arithmétique

x =k∑

i=1

xi × fi

x = 1n

n∑i=1

xi

Contrairement à la médiane, la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes

Exemple :x = 1× 0.40 + 2× 0.15 + 3× 0.20 + 4× 0.20 + 6× 0.05x = 2.4120 × (1 + 6 + 2 + 3 + 3 + 1 + 4 + 1 + 2 + 4 + 2 + 3 + 1 + 1 + 3 + 2 + 4 + 1 + 4 + 1)x = 2.45



Calcul de paramètres : variance et écart-type

Variance sur un échantillon (estimateur biaisé)

s2ech =

k∑i=1

(xi − x)2 × fi

ou

s2ech =

k∑i=1

(x2i × fi)− x2

Variance sur un échantillon (estimateur NON biaisé)

S2 = s2ech

NN − 1

Ecart-type (biaisé et non biaisé)

sech =√

s2ech s = sech

√N

N − 1

Déterminer la variance et l’écart-type de notre exemple



Calcul de paramètres - Variance et écart-type

Variance sur un échantillon (estimateur biaisé)

s2ech =

k∑i=1

(xi − x)2 × fi

(1− 2.4)2 × 0.40 + · · ·+ (6− 2.4)2 × 0.05 = 2.04ou

s2ech =

k∑i=1

(x2i × fi)− x2

((12 × 0.40) + · · ·+ (62 × 0.05)

)− 2.42 = 2.04

Variance sur un échantillon (estimateur NON biaisé)

S2 = s2ech

NN − 1 2.04× 20

19 ≈ 2.15

Ecart-type (biaisé et non biaisé)

sech =√

s2ech

√2.04 ≈ 1.43 s = sech

√N

N − 1 1.43×√

2019 ≈ 1.46


Variables quantitatives continues

Point étudié

1 Introduction





6 Cas particulier



Définition

variable numérique pouvant prendre un nombre infini de valeursen théorie, aucun ex-aequo (sauf arrondi)Ex : taille d’un individu, poids d’un individu




Discrétisation : constructions de classes jointives et mutuellement exclusives

on regroupe les valeurs des modalités en classeset on définit de la même manière que précédemment les effectifs et fréquencesrelatives

Tableau statistiqueune ligne pour chacune des k classes triées de X (i de 1 à k)

Classe de X Centre de classe ni Ni fi Fi

· · · · · ·[Zi ; Zi+1[ Ci = (Zi + Zi+1)/2

· · · · · ·

Z = valeurs des débuts de classesi = numéro de la classe




Ex : Voici les 20 réponses qui contiennent la taille des individus1.47 - 1.48 - 1.53 - 1.54 - 1.54 - 1.55 - 1.56 - 1.57 - 1.58 - 1.59 - 1.60 - 1.64 - 1.65 -1.67 - 1.67 - 1.67 - 1.73 - 1.78 - 1.79 - 1.86

Classe de X Centre ni Ni fi Fi

[1.40; 1.50[[1.50; 1.60[[1.60; 1.70[[1.70; 1.80[[1.80; 1.90[

Remarque : la largeur des classes peut être différente que celle affichée et les résultatspourront donc varier




Ex : Voici les 20 réponses qui contiennent la taille des individus1.47 - 1.48 - 1.53 - 1.54 - 1.54 - 1.55 - 1.56 - 1.57 - 1.58 - 1.59 - 1.60 - 1.64 - 1.65 -1.67 - 1.67 - 1.67 - 1.73 - 1.78 - 1.79 - 1.86

Classe de X Centre ni Ni fi Fi

[1.40; 1.50[ 1.45 2 2 0.10 0.10[1.50; 1.60[ 1.55 8 10 0.40 0.50[1.60; 1.70[ 1.65 6 16 0.30 0.80[1.70; 1.80[ 1.75 3 19 0.15 0.95[1.80; 1.90[ 1.85 1 20 0.05 1.00




L’intervalle de classe, également appelé amplitude, est la différence entre la bornesupérieure et la borne inférieure.

En règle générale, on choisit des classes de même amplitude.

Si l’amplitude n’est pas constante, il faut calculer la densité de fréquence :

di = fi

amplitudei

La densité de fréquence permet de comparer les fréquences d’une classe à l’autre.



ExempleTailles des individus en cm :

Classe Centre ni fi di Ni Fi[140− 160[ 10[160− 165[ 20[165− 170[ 30[170− 175[ 172.5 45 0,225 0,045 105 0,525[175− 180[ 40 145 0,725[180− 185[ 35 180 0,9[185− 190[ 15 0,075 0,015[190− 200[ 5 0,025 0,0025

Compléter le tableau



ExempleTailles des individus en cm :

Classe Centre ni fi di Ni Fi[140− 160[ 150 10 0,05 0,0025 10 0,05[160− 165[ 162,5 20 0,1 0,02 30 0,15[165− 170[ 167,5 30 0,15 0,03 60 0,3[170− 175[ 172,5 45 0,225 0,045 105 0,525[175− 180[ 177,5 40 0,2 0,04 145 0,725[180− 185[ 182,5 35 0,175 0,035 180 0,9[185− 190[ 187,5 15 0,075 0,015 195 0,975[190− 200[ 195 5 0,025 0,0025 200 1




Histogramme en fréquence


V. Variables quantitatives continues

c. representation graphique

Histogramme en frequence

Histogramme en e↵ectif

Diagramme des frequences cumulees

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Principe :

Découpage de la variable quantitative en classesL’aire de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectifde la classeSi amplitudes égales : hauteur du rectangle égale àl’effectif (ou fréquence) de la classeSi amplitudes non égales : hauteur du rectangle égale àla densité d’effectif (ou de fréquence)Représentation sous forme d’histogramme pour avoirune idée de la distribution des données

Histogramme en effectif

Diagramme des fréquences cumulées




Boîte à moustache (boxplot)

→ Données détaillées

1.5

1.6

1.7

1.8

Répartition de la taille des individus

Taill

e (m

)




Boîte à moustache (boxplot)

→ Données détaillées




En pratique, sur un échantillon,mêmes paramètres calculables que pour les variables discrètesMAIS en pratique le mode n’est pas calculableon identifiera plutôt une classe modale

Si données détaillées (tableau statistique sans ex-aequo = un individu par ligne) → onutilise les mêmes formules MAIS fi = 1

N pour tout i

Si données agrégées par classe→ on utilise les centres des classes Ci au lieu des xi→ on utilise les mêmes formules mais le calcul est approximatif

Exercice : Déterminer les paramètres de l’exemple.




Ex :Classe modale : [1.50, 1.60[

Médiane : (1.59 + 1.60)/2 = 1.595

Moyenne : x = 1.45× 0.10 + 1.55× 0.40 + · · ·+ 1.85× 0.05 = 1.615ou (1.47 + 1.48 + 1.53 + · · ·+ 1.79 + 1.86)/20 ≈ 1.62

Variance : (1.452 × 0.10 + 1.552 × 0.40 + · · ·+ 1.852 × 0.05)− 1.6152 = 0.01

Ecart type :√

0.01 = 0.10


Cas particulier

Point étudié

1 Introduction





6 Cas particulier


Cas particulier

Les variables binaires :cas particulier de variables qualitatives à 2 modalitésExemple : Sexe {F , H}est identique à : "est masculin ?" {0 ;1}on parle d’expérience de Bernouilli = expérience aléatoire comportant deux issuespossibles "succès" et "échec"selon les cas, utilisables comme des quantitatives ou comme des qualitatives

Id_patient Malade1 12 03 14 15 06 17 08 0

Variable qualitative→ calcul de la fréquence de maladie :f1 = 4/8 = 0.5

Variable quantitative→ calcul de la moyenne(1 + 1 + 1 + 1︸︷︷︸

Nb malades

+0 + 0 + 0 + 0)/8 = 0.5

Variables binaires 0/1

Fréquence = Moyenne


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