測定における不確かさ感度係数について

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産業技術総合研究所 物質計測標準研究部門

計量標準基盤研究グループ

城野 克広 <k.shirono@aist.go.jp>

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モデル式、そして感度係数

不確かさの評価をするために下のようなバジェット表と呼ばれる表が準備されることが好ましい。これを用いた不確かさの概要を説明しよう。

バジェット表バジェット表

不確かさ要因 記号標準不確かさ

u(xi)感度係数

ci

測定量の標準不確かさ|ci|u(xi) (単位) 備考

合成標準不確かさ

uc(v)

拡張不確かさ

U

3

例 ある液体の体積vを、その質量と密度から求めることにした。まず、液体の質量を質量計で5回反復測定し、測定データ｛100.0,100.3, 99.9, 99.7, 100.1 g}を得た。一方液体の密度については「この液体の密度の値は2.00 g/cm3である。この値の誤差は±0.01 g/cm3を越えない。」という情報をハンドブックから得た。

不確かさの見積もり例不確かさの見積もり例

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今回の講習で省略する「感度係数以外」の説明については、不確かさWebの「不確かさ文献http://www.nmij.jp/~mprop-stats/stats-partcl/uncertainty/docs.html 」から「不確かさ評価入門」をご覧ください。同じ例で説明を加えています。

例 ある液体の体積vを、その質量と密度から求めることにした。まず、液体の質量を質量計で5回反復測定し、測定データ｛100.0,100.3, 99.9, 99.7, 100.1 g}を得た。一方液体の密度については「この液体の密度の値は2.00 g/cm3である。この値の誤差は±0.01 g/cm3を越えない。」という情報をハンドブックから得た。

液体の体積v、液体の質量m、液体の密度0の間にどのような関係があるか?

4.1.1 多くの場合、測定量Yは直接には測定されず、他のN個の量X1、X2、…、XNから次の関数関係fにより決定される。

Y=f(X1、X2、…、XN) …(1)

測定量の定義と不確かさ要因測定量の定義と不確かさ要因

5

測定量の定義と不確かさ要因測定量の定義と不確かさ要因

0

0,

mmfv

m:5回測った重さの平均値0:ハンドブックから得られた密度

まず体積v を求める式を立てる。

この定式化を「測定のモデル化」と言う。立てられた式は、測定のモデル式と呼ばれる。

まず、どの値の標準不確かさを求めるのか明確化する上でモデル式は、重要である。ここでは、mと0の標準不確かさを求める。

4.1.1(の要約) Y=f(X1、X2、…、XN)

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不確かさ要因 記号標準不確かさ

u(xi)感度係数

ci

測定量の標準不確かさ|ci|u(xi) (cm3) 備考

質量測定の繰返し性

u(m)

密度の値の不確かさ

u(0)

合成標準不確かさ

uc(v)

拡張不確かさ

U

0

0,

mmfv m:5回測った重さの平均値0:ハンドブックから得られた密度

測定量の定義と不確かさ要因測定量の定義と不確かさ要因

体積v のモデル式

モデル式を立てて、不確かさの要因を明らかにする。それに相当する枠を作る。(それ

ぞれの入力が複数の不確かさ要因をもつときには、段組みを工夫する必要がある。)

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8

測定値の計算測定値の計算

g 0.1001.1007.999.993.1000.100511

1

n

kkm

nm

平均値を求める

30 cmg 00.2

密度はハンドブックから得られている。

3

0

cm 00.5000.2

0.100

mv

モデル式を用いて測定値を計算する。

標準不確かさの評価標準不確かさの評価

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不確かさ要因 記号標準不確かさ

u(xi)感度係数

ci

測定量の標準不確かさ|ci|u(xi) (cm3) 備考

質量測定の繰返し性

u(m) 0.1000 g 5回繰返し

密度の値の不確かさ

u(0)

合成標準不確かさ

uc(v)

拡張不確かさ

U

m:5回測った重さの平均値

g 2236.01

11

2

n

kkk mm

nms

g 1000.0nmsmsmu

Aタイプ評価ではこの

欄に算出された平均値の実験標準偏差を単位付きで書き込む。

特記事項を備考欄に記入しておく。

標準不確かさの評価標準不確かさの評価

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不確かさ要因 記号標準不確かさ

u(xi)感度係数

ci

測定量の標準不確かさ|ci|u(xi) (cm3) 備考

質量測定の繰返し性

u(m) 0.1000 g 5回繰返し

密度の値の不確かさ

u(0)0.005774

g/cm3 ハンドブック

合成標準不確かさ

uc(v)

拡張不確かさ

U

Bタイプ評価では統計的以

外の何らかの方法で求めた標準偏差相当の値を単位付きで記入する。

0:ハンドブックから得られた密度

30 g/cm 005774.0

301.0

u

特記事項を備考欄に記入しておく。

例 ある液体の体積vを、その質量と密度から求めることにした。まず、液体の質量を質量計で5回反復測定し、測定データ｛100.0,100.3, 99.9, 99.7, 100.1g}を得た。一方液体の密度については「この液体の密度の値は2.00g/cm3である。この値の誤差は±0.01g/cm3を越えない。」という情報をハンドブックから得た。

不確かさの合成不確かさの合成

0

0,

mmfv

m:重さの平均値

体積v のモデル式

g 1.0mu

30 g/cm 005774.0u

体積ｖの影響量の評価はできた。vの不確かさ自体はどのように求めるか?

g 0.100m3

0 g/cm 00.20:密度

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不確かさの合成不確かさの合成

xがu(x)だけ変わるとき、xに関係する量y=f(x)はどれだけ変わるだろうか?

u(y)=c×u(x) 係数cを感度係数という。

x

y例えばy = 0.5×x + bなら、c = 0.5。(右図参照) u(x)

b

u(y)=0.5×u(x)

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不確かさの合成不確かさの合成

しかし、普通は変化量を計算しようとすると、方向が二つある。

f(x+u(x))-f(x)

u(x)

f(x)-f(x-u(x))

u(x)

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yとxの関係が直線(前ページの例)でない限り、方向によって、感度係数cの値が変わってしまう！！

不確かさの合成不確かさの合成

u(x)

c×u(x)

そこで、

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読み値の点で接線を引くと、両方向の中間の特徴を持つ。

接線の傾きを感度係数とする。

こちらの方向で言えば、接線の変化は過小評価

こちらでは過大評価

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感度係数cはモデル式の微分f'(x)で表わされる。

不確かさの合成不確かさの合成

接線の傾きは微分で表わされるから、

z = f(x,y) = 3x+y は、xがu(x)だけ変わるとき、zは

3

xfcx

いくつも変数がある場合の微分の記号は、

ではなく、 と書く。 dxyxdf , xyxf ,

から、 xuxuczux 3

としたのと同じ。

これは、

ux(z) = f(x+u(x),y) – f(x,y) = 3u(x) だけ変わる。

例えば、

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m

v

u(m)

um(v)=1/0×u(v)

m:重さ測定の平均値 g 1000.0mug 0.100m

不確かさの合成不確かさの合成

0

0,

mmfv 0

0 1,

mmf

m:重さ測定の平均値

不確かさの合成不確かさの合成

33 cm 05000.0g 1000.0gcm 5000.0

mucvu mm

「重さ測定の繰り返し」 （不確かさ要因）に由来する液体の体積（測定量）の標準不確かさは、

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g 1000.0mug 0.100m

0=2.00cm3から、感度係数は、cm = 0.5000 cm3/g。

0

0 1,

m

mfcm感度係数には単位がある。

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0

v

u(0)

u0(v)= -m/0

2×u(0)

0:引用された密度

0

0,

mmfv 2

00

0,

mmf

不確かさの合成不確かさの合成

30 g/cm 005774.0u3

0 g/cm 00.2

不確かさの合成不確かさの合成

33

6

cm 1444.0cmg 005774.0

gcm 0.2500

mucvu

「密度のずれ」 （不確かさ要因）に由来する液体の体積（測定量）の標準不確かさは、

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m=100.0g、0=2.00cm3から、感度係数はc0 = -25.0 cm6/g 。

2

00

0,0

mmfc

0:引用された密度 30 g/cm 005774.0u3

0 g/cm 00.2

不確かさ要因 記号標準不確かさ

u(xi)感度係数

ci

測定量の標準不確かさ|ci|u(xi) (cm3) 備考

質量測定の繰返し性

u(m) 0.10 g 0.50 cm3/g 0.05000 5回繰返し

密度の値の不確かさ

u(0)0.005774

g/cm3-25.0cm6/g 0.1444 ハンドブック

合成標準不確かさ

uc(v)

拡張不確かさ

U

不確かさの合成不確かさの合成

感度係数を微分を計算することで、求める。

感度係数と標準不確かさを掛け合わせた値。これによって、測定量の単位に変換された標準不確かさが求まる。

0の感度係数 c0= -25.0 cm6/gmの感度係数 cm = 0.50 cm3/g

測定量の単位を( )内に記載しておくなどする。

20

不確かさの合成不確かさの合成

21

1528.01444.00500.0 220

20

2 umuvu mc

合成標準不確かさ

不確かさ要因 記号標準不確かさ

u(xi)感度係数

ci

測定量の標準不確かさ|ci|u(xi) (cm3) 備考

質量測定の繰返し性

u(m) 0.10 g 0.50 cm3/g 0.050 5回繰返し

密度の値の不確かさ

u(0)0.005774

g/cm3-25.0cm6/g 0.1444 ハンドブック

合成標準不確かさ

uc(v) 0.1528

拡張不確かさ

U

に従って、合成標準不確かさを求めて記入する。

N

iiic xuyu

1

2

不確かさの拡張不確かさの拡張

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不確かさ要因 記号標準不確かさ

u(xi)感度係数

ci

測定量の標準不確かさ|ci|u(xi) (cm3) 備考

質量測定の繰返し性

u(m) 0.10 g 0.50 cm3/g 0.050 5回繰返し

密度の値の不確かさ

u(0)0.005774

g/cm3-25.0cm6/g 0.1444 ハンドブック

合成標準不確かさ

uc(v) 0.1528

拡張不確かさ

U 0.31 k=2

標準不確かさに包含係数kを掛けた値を拡張不確かさとして記入する。

包含係数kに関する

情報は書きとめておく必要がある。

3cm 3056.02 vuvU c

拡張不確かさ(k=2)

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モデル式の実際

例 ある液体の体積vを、5回反復測定し、測定データ｛100.0,100.3, 99.9, 99.7, 100.1 cm3}を得た。実験の最中に、温度は一定であったが、設定温度の20.0 ºCから、1 ºCを越えない範囲でず

れていることが分かっている。この液体の体積膨張係数が5.0×10-3 /ºCである。この液体の20.0 ºCでの体積を報告する。

モデル式の実際モデル式の実際

24

このモデル式がどうなるか考え、そこから感度係数を計算してみる。

25

モデル式の実際モデル式の実際

3

1cm 0.100 1

n

kkv

nv

この場合、温度の影響は補正できない。5回の反復測定についてのみ考えて、

モデル式は以下のように思える。

vvfv m:5回測った重さの平均値 (g)

温度のずれは?

モデル式の実際モデル式の実際

このとき、温度のずれTは、「0であ

ることが期待されるが、不確かさはある」という特徴をもっている。

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不確かさ評価を行おうとするときに、非常によく使われる。 T/ oC

温度のずれを考慮するために、以下のように書くとよい。

TvvTvfv ,v: 5回測った体積の平均値 (cm3): 体積膨張係数 (/oC)T: 温度のずれ (oC)

0

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モデル式の実際モデル式の実際

Tv

TvfcV

1,

温度のずれTは0であることが期待される。

1Vc

モデル式を微分すると感度係数が求まる。

vT

Tvfc T

,

= 5.0×10-3 /ºC、v = 100.0 cm3を代入

Ccm 5000.0 o3Tc

繰返し

温度

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まとめ

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まとめまとめ

物理的に曖昧なモデルほど、感度係数を求めるために調査や実験が必要であったり、感度係数が1の原因不

明のばらつきを実験によって確かめたりすることが必要になる。計測のコストをなるべく小さくするように、モデル式を立て、実験を計画するのがよい。

（時に工夫が必要だが、）感度係数はモデル式の微分で表わされ、不確かさ要因の測定値への影響の尺度になる。

モデル式を立てることは測定量を定義することとも言える。これは計測において不確かさ評価以前に本質的な作業であり、モデル式を立てることがいつも勧められる。