Sistemas muestreados y discretos

8/16/2019 Sistemas muestreados y discretos

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Tema 6. Sistemas muestreados y discretos1. Introducción:

1.1 Estructura de un sistema de control por computador

1.2 Muestreo y reconstrucción de señales

2. La transformada Z

3. Descripción externa de sistemas D.L.I (Discretos Lineales eInvariantes en el tiempo)

3.1 Función de transferencia pulsada

3.2 Función de transferencia de un sistema continuo muestreado con un ZOH

3.3 Diagramas de bloques

4. Respuesta temporal de sistemas muestreados4.1 Calculo de la respuesta temporal

4.2 Sistemas continuos y muestreados con comportamiento parecido

4.3 Estabilidad4.3.1 Criterio de Jury

4.3.2 Transformación bilineal y criterio de Routh4.4 Errores en estado estacionario

1.1 Estructura de un sistema de control por computador

• Realiza el muestreo y conversión a binario de la

señal de error continua

• Procesa la secuencia de señales de error y

genera la secuencia de señales de control a

aplicar

• Convierte la secuencia de señales de control

binarias en una señal continua (reconstrucción)

Instrumento de medida

Muestreador

Mantenedor Conversor

A/DMicroprocesador

Computador

Mantenedor

y Conversor

D/A

Actuador

y Proceso

Referencia SalidaControl

{ })()( k t et e →

{ } { })()( k k t ut e →

{ } )()( t ut u k →


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1.2 Muestreo y reconstrucción de señales

• Muestreo: es la acción de obtener muestrasdiscretas de una señal continua

Señal analógica

Pulsos de muestreo

Señal muestreada

Señal muestreada

y mantenida

Muestreo. Problemas• Error de redondeo, debida a la longitud de palabra

(resolución de la tarjeta de adquisición)

Tiempo de

conversión

LSB, error

de redondeo

Periodo de

muestreo

• Tiempo de conversión finito

• Selección del periodo de muestreo


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Muestreo. Filtrado• El problema es que muchas señales no tienen un espectro en

frecuencia que se anule fuera de un ancho de banda determinado

• Antes de muestrear una señal conviene pasarla

por un filtro continuo pasa bajo (filtro

“antialiasing”) para eliminar las frecuencias

superiores a π/T que distorsionarían la señalmuestreada con el ordenador.

– La solución más habitual es introducir unfiltro analógico antes de la señal a filtrar.

– Un filtro típico es el de Bessel, siendo ωB elancho de banda.

Filtrado

6129.1)ω/s(2098.2)ω/s(

6129.1

B

2

B ++

y(t)

t|Y(ω)|

π/T ω

|Yf (ω)|

π/T ω

yf (t)

t

Selección del periodo de muestreo T|Y*(ω)|

ω0 π/T

Criterio práctico: Escoger T de modo que corresponda a tomar entre 10 – 30

muestras en el tiempo de asentamiento

A partir del espectro en frecuencia de la señal a

muestrear, para que no haya pérdida significativa

de la información el teorema de Shannon indica

que el periodo de muestreo ha de cumplir ω0 < π/T.

Difícil de aplicar

T

t

y

Lazo abierto

Lazo cerrado

En lazo cerrado normalmente

los procesos son mas rápidos

que en lazo abierto

Si se escoge T para un sistema de control,

debe aplicarse la regla al tiempo de

asentamiento esperado en lazo cerrado


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• Reconstrucción: es la acción de obtener una señal

continua a partir de una señal muestreada (inversa

de la operación de muestreo).

{ } )t(f )kT(f r reconstrui →

• En el caso de control es necesario convertir lasseñales de control generadas por el ordenador en

una señal continua aplicable al proceso.

• Existen diversos tipos de reconstructores:

– Shannon

– Mantenedor de orden cero

– Mantenedores de orden superior

Reconstrucción de Shannon

• Problemas:

– No causal ⇒ no es útil para control por ordenador

– Formula compleja de utilizar (infinitos términos)

– Válida para muestreo periódico

Shannondefrecuencialaes

·2

Donde

2/)·(

)2/)·(()·()(

T

T k t

T k t senT k f t f

s

k

k s

s

π

ω

ω

ω

=

−

−= ∑

∞=

−∞=


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Mantenedor de orden cero. ZOH• Zero Order Hold

• Reconstrucción causal simple definida por:

1ttt),t(f )t(f +≤≤=

• Ventajas:

– Causal

– Permite el muestreo aperiódico

– Apto para el control por ordenador

– Implementado en las tarjetas de adquisición de datos

Mantenedor de orden cero. ZOH• Error de reconstrucción

– La señal reconstruida tiene errores

– Cota del error, si la derivada primera evoluciona

de forma suave es: eZOH≤Tmaxf´(t)

– Pueden usarse mantenedores de orden superior,

de modo que se tengan menores errores de

reconstrucción


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2. La transformada z• Problema: en control digital debemos encontrar una

relación matemática entre la secuencia de señales decontrol a aplicar en el sistema {u(tk )} y la secuencia desalidas del sistema {y(t

k

)}.

• En el caso de los sistemas continuos tenemos la f.d.tcontinua que relaciona u(s) con y(s).

• Solución: Ecuación en diferencias.

– Ecuación que permite calcular la salida de un sistema en uninstante determinado a partir de un número finito de valores

pasados de las señales de entrada y salida del sistema.• y(tk )=f(u(tk ), u(tk-1), u(tk-2),..., y(tk ), y(tk-1), y(tk-2),...)

– Si f es una función lineal y de coeficientes constantes tenemos

un sistema DLI (Discreto, Lineal e Invariante)

)(·)(·)(10

ik

n

i

iik

m

i

ik t yat ubt y −=

−=

∑∑ +=

• Problema: trabajar con secuencias {y(k·T)} o con

una ecuación en diferencias no parece lo más

adecuado, se precisa un formalismo similar a las f.d.t

continuas, por lo que se utiliza la transformada Z de

una secuencia de señales.

• Definición: – Dada una secuencia {y(tk )} se define la transformada z dela señal a la serie:

• Tablas de transformadas z

=++++++= −−−− ...)··(...)··3()··2()·()0()( 321 k z T K y z T y z T y z T y y z Y

∑∞

=

−=0

)··()(k

k z T K y z Y


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• Propiedades:

– Linealidad

– Traslación en el tiempo

– Valor inicial

– Valor final

))·((·))·((·))·(·)·(·( T k g Z bT k f Z aT k g bT k f a Z +=+

{ } )(lim)·(lim 0 z F T k f z k ∞→→ =

))·((·))·((())·((·))·(((

T k f Z z T ik f Z T k f Z z T ik f Z

i

i

=+

=− −

{ } )()·1(lim)·(lim 11 z F z T k f z k −

→∞→ −=


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• Transformada inversa Z:

– La utilidad de la transformada Z se incrementa si a partir de

la transformada Z de una señal podemos encontrar su

respuesta temporal (lo mismo que sucedía para el caso de la

transformada de Laplace)

– Métodos:

• Serie de potencias.

• Inversión fórmula.

• Convolución discreta.

• Descomposición en fracciones simples

– Dada una transformada Z, E(z), como el cociente de dos polinomios

en Z, E(z)=B(z)/A(z), la descomponemos en fracciones simples cuyas

transformadas inversas sean conocidas (de un modo similar a como se

hace para la transformada inversa de Laplace).

– En general la tabla de transformadas Z contiene un factor “z” en el

numerador de todas las transformadas. Por lo que es más útil

descomponer en fracciones simples la función E(z)/z.

• Ejemplo: determine la respuesta en el tiempo de una

secuencia de valores cuya transformada z es:

)25.0)·(5.0()(

−−=

z z

z z E

)25.0)·(5.0(

·5.0·25.0)·(

)25.0()5.0()25.0)·(5.0(

1)(

−−−−+

=−

+−

=−−

= z z

B A z B A

z

B

z

A

z z z

z E

)25.0(4

)5.0(4)(

)25.0(

4

)5.0(

4)(4;4

−−

−=⇒

−−

−=⇒−==

z

z

z

z z E

z z z

z E B A

Tablas: { }T a

T k a

e z

z z Y eT K y

·

·· )()·(−

−

−=⇒=

Así: { } ) ...3,2,1,0 para;·4)·( 25.0·ln5.0·ln =−= −− k eeT K E k k


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3. Descripción externa de sistemas D.L.I (Discretos

Lineales e Invariantes en el tiempo)

3.1 Función de transferencia pulsada:

– Sabemos que una Ecuación en diferencias de unsistema DLI es una función lineal y de coeficientesconstantes que permite calcular la salida del sistemaen un instante determinado a partir de un númerofinito de valores pasados de las señales de entrada ysalida del sistema.

– Veamos que sucede si aplicamos la transformada Z a

ambos miembros de la ecuación, y utilizamos la propiedad de linealidad y traslación en el tiempo.

{ } { } { })(·)(·)(10

ik

n

i

iik

m

i

ik t yat ubt y −=

−=

∑∑ +=

{ }( ) { } { }

{ }( ) { }( ) { }( ) { }( ))(··)(··)(·)(·

)(·)(·)(

1010

10

k

n

i

i

ik

m

i

i

iik

n

i

iik

m

i

i

ik

n

i

iik

m

i

ik

t y Z z at u Z z bt y Z at u Z b

t yat ub Z t y Z

∑∑∑∑

∑∑

=

−

=

−−

=−

=

−=

−=

+=+

=

+=

∑∑=

−

=

− +=n

i

i

i

m

i

i

i z Y z a z U z b z Y 10

)(··)(··)(

Agrupando: )(··)(··1 01 z U z b z Y z a

m

i

i

i

n

i

i

i

=

− ∑∑ =−

=

−

( ) ( ) )(·······)(·······1 221102211 z U z b z b z bb z Y z a z a z a mmnn −−−−−− ++++=−−−−

)(·····

········

······1

······

)(

)(2

2

1

1

2

2

1

10

2

2

1

1

2

2

1

10 z H a z a z a z

z b z b z b z b

z a z a z a

z b z b z bb

z U

z Y

n

nnn

mn

m

nnn

n

n

m

m =−−−−

++++=

−−−−

++++=

−−

−−−

−−−

−−−

Así:


11/30


12/30

– Aplicando la transformada de Laplace:

– Definiendo la transformada estrellada como:

– Tenemos que:

– Por otro lado, haciendo el cambio de variable z=eT·s entonces:

···)··2()·(1

)·0()(~··3··2··2··

+

−+

−+

−=

−−−−−

s

e

s

eT u

s

e

s

eT u

s

e

su su

sT sT sT sT sT

[ ]···)··2()·()·0(·1)(~ ··2··

+++−

= −−−

sT sT sT

eT ueT uu

s

e su sT k

k

sT

eT k u

s

e su ··

0

·

·)·(·1

)(~ −∞

=

−

∑−

=

sT k

k

eT k u su ··

0

·)·()(* −∞

=∑=

)(*·1

)(~·

su s

e su

sT −−=

sT e z

k

k

sT k

k

z u su z u z T k ueT k u su ·)()(*)(·)·(·)·()(*

0

··

0

=

−∞

=

−∞

=

=⇒=== ∑∑

– Así:

– Se transforma en:

– Si hacemos el cambio de variable z=eT·s

– ¿Cuánto vale G(z)?

ZOH H(s)

u(s)

T

u*(s)

T

)(~ su y(s) y*(s)

H(s)

u(s)

T

u*(s)

T

)(~ su y(s) y*(s)

s

e sT ·1 −−

u(s)

T

u*(s)

T

y(s) y*(s))(

1 · s H

s

e sT −−u(s)

T

u*(s)

T

y(s) y*(s))( sG

( ) )(*)·(**)(*)·()(*)(*)·()( su sG su sG s y su sG s y ==⇒= Demostración enPhillips & Nagle

)()·()( z u z G z y =


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TS TS TS e z e z e z su sG s y su sG s y

=== =⇒= )(*·)(*)(*)(*)·(*)(*

)(·)(1

)())·(()(·

z u s H s

e Z z u sG Z z y

sT

−==

−

)(·)(

)(

)(

·

z u s H s

e

Z s

s H

Z z y

sT

−

=

−

, como eTs

=z

( ) )()·()(·)(·1)(·)()()( 11 z u z G z u s

s H Z z z u

s

s H Z z

s

s H Z z y =

−=

−

= −−

Así, ( )

−= −

s

s H Z z z G

)(·1)( 1

3.3 Operaciones con bloques:

– Elementos en cascada. Consideremos dos plantas en cascada y

diferentes estructuras en función de los muestreadores y

mantenedores (reconstructores) que se sitúen:

H1(s)u(s) y(s)H2(s)a(s)

ZOH H1(s)

u(s)

T

u*(s)

T

a(s) a*(s)

ZOH H2(s) T

y(s) y*(s)

ZOH H1(s)

u(s) u*(s)

T

a(s)

H2(s) T

y(s) y*(s)

H1(s)u(s)

T

a(s) a*(s)

ZOH H2(s) T

y(s) y*(s)


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ZOH H1(s)

u(s)

T

u*(s)

T

a(s) a*(s)

ZOH H2(s) T

y(s) y*(s)

)()·()·()()()·()()(*)·(*)(*

)()·()()(*)·(*)(*21

11

22 z u z G z G z y

z u z G z a su sG sa

z a z G z y sa sG s y=⇒

=⇒=

=⇒=

)(1

)( 11 s H s

e sG

Ts−−= )(

1)( 22 s H

s

e sG

Ts−−=

( )

−= − s

s H Z

s

s H Z z z G

)(·

)(·1)( 21

21

[ ]

)(·)()·(1

)(

)(**·)()·()(*

)(*)·()·()()(*)·()(

)()·()(

21

21

21

1

2

z u s H s H s

e Z z y

su s H sG s y

su s H sG s y su sG sa

sa s H s y

Ts

−=

=⇒

=⇒

=

=

−

)(1

)( 11 s H s

e sG

Ts−−=

( )

−= − s

s H s H Z z z G

)()·(1)( 211

ZOH H1(s)

u(s) u*(s)

T

a(s)

H2(s) T

y(s) y*(s)


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[ ]

[ ] ( )

( ))()·()(

)·1()(

)()·()·()()()·()·(*)(*

)()·()(*)()·()(

)(*)·(*)(*)(*)·()(

121

12*

12

*11

22

su s H Z s

s H Z z z y

su s H Z z G z y su s H sG s y

su s H sa su s H sa

sa sG s y sa sG s y

−=

=⇒=⇒

⇒

=⇒==⇒=

−

)(1

)( 22 s H s

e sG

Ts−−=

?)(

)()(¿

z u

z y z G =

H1(s)u(s)

T

a(s) a*(s)

ZOH H2(s) T

y(s) y*(s)

En general, si la entrada a un sistema de

datos muestreados se aplica directamente a

una parte en tiempo continuo antes de ser

muestreada, la transformada z de la salida

del sistema no puede expresarse como producto de la transformada z de la entrada

multiplicada por una f.d.t pulsada.

– Sistemas en lazo cerrado. Consideremos dos sistemas

muestreados en lazo cerrado y veamos el efecto del sensor.

R(z)e*(s)

T

u(s) u*(s)

ZOH H(s)T

y(s) y*(s)

x+

-

w(s)

R(z)e*(s)

T

u(s) u*(s)

ZOH H(s)T

y(s) y*(s)

x+

-

w(s)

F(s)


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)()()()(*)(*)(*)()()(

)()·()(

)()·()()(*)·(*)(*)(*)·()(

z y z w z e s y sw se s y sw se

z e z R z u

z u z G z y su sG s y su sG s y

−=⇒−=⇒−=

=

=⇒=⇒=

)(1

)( s H s

e sG

Ts−−=

)()()·(1

)()·()( z w

z R z G

z R z G z y

+=

R(z)e*(s)

T

u(s) u*(s)

ZOH H(s)T

y(s) y*(s)

x+

-

w(s)

Entonces:

Siendo: ( )

−= −

s

s H Z z z G

)(1)( 1

( ) ( ))()·()()()·()(*)()·()()()()()(*)(*)(*)()()(

)()·()(

)()·()()(*)·(*)(*)(*)·()(

* s y s F Z z x s y s F s x s y s F s x

z x z w z e s x sw se s x sw se

z e z R z u

z u z G z y su sG s y su sG s y

=⇒=⇒=−=⇒−=⇒−=

=

=⇒=⇒=

[ ]( ))()·()()·()·()( s y s F Z z w z R z G z y −=Entonces:Siendo: ( )

−= −

s

s H Z z z G

)(1)( 1

)(1

)( s H s

e sG

Ts−−=

R(z)e*(s)

T

u(s) u*(s)

ZOH H(s)T

y(s) y*(s)

x+

-

w(s)

F(s)x(s)

?)(

)()(¿

z w

z y z T =


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4. Respuesta temporal de sistemas muestreados

4.1 Obtención de la respuesta temporal de unsistema muestreado:

– Usando la transformada z y su inversa.

– Usando la ecuación en diferencias

• Ejemplo:

– Calcule la respuesta del siguiente sistema ante unaentrada w(t) de tipo escalón

T=1 s.ZOH 1/(s2+s)

T

y(s) y*(s)

x+

-

w(s)

)()(1

)()( z w

z G

z G z y

+=

Entonces:

Siendo: ( ) ( )

+

−=

−= −− s

s s Z z

s

s H Z z z G

)1·(

1

1)(

1)( 11

T=1 s.ZOH 1/(s2+s)

T

y(s) y*(s)

x+

-

w(s)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )T

T T T

e z z

eT e z eT z z

s s Z z z G

·12

·1·1·11

2

1

·)1·(1

··11·1·1··1

)1·(

1·1)(

−

−−−−−

−−−−++−−=

+

−=

Como T=1: ( ) ) )( )

) )( )

( )[ ]( ) 368.0·368.1

264.0·368.0

)·1(

·21·

·)1(

·21··1

·)1·(1

1·11·1)(

21

11

12

11

12

1111

+−

+=

−−

−+=

=−−

−+

−=−−

−−++−−=

−

−−

−

−−

−

−−−−

z z

z

e z z

e z e

e z z

e z e z

z

z

e z z

ee z e z z z G

Así: )(632.0

264.0·368.0)(

368.0·368.1

264.0·368.01

368.0·368.1

264.0·368.0

)()(1

)()(

2

2

2

z w z z

z z w

z z

z z z

z

z w z G

z G z y

+−

+=

+−

++

+−

+

=+

=


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19/30

( ))·8906.0sen(2136.0)·8906.0cos(1)( ·2294.0 k k ek y k +−= −

k=0; y(0)=0

k=1; y(1)=0.3680

k=2; y(2)=1.0000

k=3; y(3)=1.3995

k=4; y(4)=1.3995

k=5; y(5)=1.1470k=6; y(6)=0.8945

k=7; y(7)=0.8016

k=8; y(8)=0.8683

k=9; y(9)=0.9936

k=10; y(10)=1.0769

k=11; y(11)=1.0809

k=12; y(12)=1.0323

k=13; y(13)=0.9812

k=14; y(14)=0.9607

k=15; y(15)=0.9726

k=16; y(16)=0.9975

k=17; y(17)=1.0147k=18; y(18)=1.0164

k=19; y(19)=1.0070

k=20; y(20)=0.9967

Dividimos numerador y

denominador por z-2:

Usemos la ecuación en diferencias:

Como: )(632.0

264.0·368.0)(

2 z w

z z

z z y

+−

+=

Utilizando el operador desplazamiento pasamos a la ecuación en diferencias:

)(·632.01

·264.0·368.0)(

21

21

z w z z

z z z y

−−

−−

+−

+=

)(·264.0·368.0)(··632.012121

z w z z z y z z −−−− +=+−

))·2((·264.0))·1((·368.0))·2((·632.0))·1(()·( T k wT k wT k yT k yT k y −+−=−+−−

))·2((·264.0))·1((·368.0))·2((·632.0))·1(()·( T k wT k wT k yT k yT k y −+−+−−−=

Si w(t) es una señal salto entonces:

w(k·T)=0 si k


20/30

Entonces:

368.00·264.01·368.00·632.00)1(·264.0)0(·368.0)1(·632.0)0()1(;1 =++−=−++−−== ww y y yk

000.11·264.01·368.00·632.0368.0)0(·264.0)1(·368.0)0(·632.0)1()2(;2 =++−=++−== ww y y yk

3994.1632.0368.0·632.0000.1632.0)1(·632.0)2()3(;3 =+−=+−== y y yk

Además, como w(k)=1 para k ≥0entonces podemos poner: 632.0)2(·632.0)1()(;2 +−−−=≥ k yk yk yk

3994.1632.0000.1·632.03994.1632.0)2(·632.0)3()4(;4 =+−=+−== y y yk

...

8017.0)7(;7

8946.0)6(;6

1470.1.1)5(;5

==

==

==

yk

yk

yk

Calculo del valor final:

Usando la transformada inversa z obtuvimos que:

( ))·8906.0sen(2136.0)·8906.0cos(1)( ·2294.0 k k ek y k +−= −

( ) .1acotadoalgo01)(k si =−=∞⇒∞= y

Usando el teorema del valor final:

1632.0

264.0368.0

1632.0264.0368.0)1()()·1()(

21

211

=+−

+=

=−+− +−=−=∞

→

→→

z z z

z lim

z z

z z z z lim z y z lim y

z

z z

Lo cual concuerda

con la gráfica obtenida:


21/30

4.2 Sistemas continuos y muestreados concomportamiento parecido (transformación z=eT·s):

– Conocidos los polos y ceros de la f.d.t de un sistemacontinuo podemos conocer su respuesta en el tiempo

– ¿Podemos hacer lo mismo para sistemas discretos?• Si, fijaros en la tabla de transformadas z y s.

– Una f.d.t. continua con un polo en s=-a, aparece el poloen la f.d.t discreta equivalente en z=e-a·T

– Una f.d.t. continua con un polo en s=0, aparece el poloen la f.d.t discreta equivalente en z=1

– Una f.d.t. continua con un polo en s=±a·j, aparece el polo en la f.d.t discreta equivalente en z=e-a·j·T=cos a·T ± j·sen a·T

• Así los polos en s se transforman en polos en zsituados en eT·s

Veamos la transformación del plano s al plano z graficamente:

10;·


22/30

La transformación se repite en intervalos de la parte compleja ((2·k-1) π /T,(2·k+1) π /T). Siendo k=- ∞ ,…,-2,-1,0,1,2,.., ∞

-π/T

-3·π/T

3·π/T

π/T

Sistemas estables en s polos en el semiplano izquierdo.

Sistemas estables en z polos en el interior del circulo unidad.

···⇑

···⇓

Sistemas con la misma rapidez de respuesta en s y z:

•Sistemas con la misma rapidez de respuesta tienen polos con

el mismo valor de la parte real. Recta paralela al eje

imaginario en s que se transforma en circulo de radio menor a

la unidad en z.

•Sabemos que cuanto más a la izquierda estén los polos en s

más rápido es el sistema, entonces cuanto más cerca estén los

polos en z del origen más rápido es el sistema.

jba s ·±−= ( )T jsenbT be z T a

··cos

·

±=

−


23/30

Sistemas con la misma frecuencia de oscilación en s y z:

•Los sistemas de 2º orden con la misma frecuencia de oscilación tienen polos

cuya parte compleja es la misma (b=cte). Ya que los polos de un sistema de 2º

orden se ubican en:

•Se transforman en polos en:

oscilacióndefrecuenciala·1Siendo

··1··

2

2

n

nn j s jba s

ω δ ω

ω δ ω δ

−=

−±−=⇒±−=

constanteargumento· ··· ⇒= −− jT bT a ee z

π/T

-π/T

ω=0.ω=0.ω= π/T

ω↑

δ=0.9

Sistemas con el mismo coeficiente de amortiguamiento en s y z:

•Los sistemas de 2º orden con el mismo

amortiguamiento tienen los polos en s

situados sobre dos bisectrices:

cteánguloyvariableesmóduloel,Si

11

;

··1··

2

2

cte

arctg s

j s jba s

n

nn

=

−==

−±−=⇒±−=

δ

δ θ ω

ω δ ω δ

θ

•Las bisectrices en s se transforman en

espirales en z.

•Cuanto menor es el amortiguamiento

más vertical es la bisectriz y más

próxima a la circunferencia unidad es la

elipse.

δ=0.9

δ=0.1 δ=0.1


24/30

Respuesta ante una entrada impulso unitario

4.3 Estabilidad de sistemas discretos

• La estabilidad de sistemas dinámicos lineales discretos estádeterminada por la ubicación de sus polos. – La condición de estabilidad consiste en que éstos deben estar ubicados en

el interior del círculo unitario.

– Si algún polo está situado sobre la circunferencia unitaria el sistema escríticamente estable

– Los ceros no afectan a la estabilidad con lo cual pueden localizarse encualquier lugar del plano z

• Ceros en el interior del circulo unitario, sistema de fase mínima

• Ceros en el exterior del circulo unitario, sistema de fase no mínima

• Debido a que esta condición es diferente a la que existe para lossistemas continuos, las herramientas presentadas en el tema 5 no

pueden emplearse directamente, sino que es necesario efectuaralgún tipo de adecuación: – Adecuar el sistema discreto para que parezca un sistema continuo, usando

la transformación bilineal .

– Diseñar estrategias específicas para sistemas discretos: el criterio de Jury.


25/30

• Transformación bilineal

– Transforma el plano complejo z en otro plano complejo w

– Esta transformación transforma

• El circulo unidad en el semiplano complejo de parte real negativa

• La circunferencia unidad en el eje imaginario

– Así se plantea la ecuación característica en z (D(z)=0), se

aplica la transformación bilineal de z a w (se obtiene

D(w)=0) y se aplica e criterio de Routh-Hurwitz a

D(w)=0.

1

1

−+

=w

w z


– Demostremos que transforma la circunferencia unitaria en el eje

imaginario

( )( )

( )( ) 1cos

sin

cos22

sin2

sincos1sincos1

sincos1sincos1

sincos1

sincos1

1sincos

1sincossincos

1

1

1

1

−

=

−

−=

−+−++−

−+−++=

=++−

++=

−+++

=⇒+=

−+

=⇒−+

=

φ

φ

φ

φ

φ φ φ φ

φ φ φ φ

φ φ

φ φ

φ φ

φ φ φ φ

j j

j j

j j

j

j

j

jw j z

z

z w

w

w z


26/30


– Demostremos que transforma el circulo unidad en el

semiplano complejo negativo

– Consideremos cualquier numero complejo del plano w=a+bj

– ¿Cuáles son los números de w que corresponden al circulo

unitario en z?

• Aquellos en que |z|


27/30

• Arreglo de Jury – El criterio de Jury permite determinar cuántas raíces tiene un

polinomio en el interior del círculo unitario. Cumple, para el casodiscreto, un papel análogo al que cumple el criterio de Routh-Hurwitzen el caso continuo.

– Dado un polinomio:

– En donde los coeficientes ai son reales y an es positivo, es posibleconstruir el Arreglo de Jury de p(z) a partir de los coeficientes ai queaparecen en p(z):

0

1

1 ...)( a z a z a z p n

n

n

n +++= −

−

• La primera línea contiene los coeficientes de p(z) en orden, desde a0 hasta an, yen la segunda línea en orden inverso.

• En general, cada línea par contiene los mismos coeficientes que la líneainmediatamente anterior pero en el orden inverso.

• Los elementos de las líneas impares se construyen así:

– El primer elemento de una fila impar se calcula como el determinante de la matrizconstruida tomando de las dos líneas inmediatamente anteriores la primera y laúltima columna; el segundo elemento de forma similar pero con la primera y la penúltima columnas; el tercero con la primera y la antepenúltima, y asísucesivamente. Dado que el último elemento sería el determinante de la matrizformada con dos columnas iguales (la primera dos veces), este valor será siemprecero, y por tanto no se escribe en el arreglo (se ha eliminado).

• Sólo se construyen 2n-3 filas.

• Problemas en la construcción del arreglo de Jury – Es posible que algunos o todos los elementos de una fila en el arreglo de Jury sean

cero, en cuyo caso se considera que el arreglo ha terminado de forma prematura. La

solución a este inconveniente se considera fuera del alcance del curso


28/30

• Ejemplo: 12345)( 234 ++++= z z z z z p

• Criterio de Jury

– Las condiciones necesarias y suficientes para que p(z) tenga todas sus

raíces en el interior del círculo unitario del plano z son:

– Para el caso de polinomios de segundo orden (n=2) las condiciones son:

0)1( > p


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• Ejemplo:

– Por lo que p(z) tiene todas sus raíces en el

interior del circulo unitario

– Si calculamos las raíces resultan ser:

• 0.1378 + 0.6782i

• 0.1378 - 0.6782i

• -0.5378 + 0.3583i

• -0.5378 - 0.3583i

12345)(234 ++++= z z z z z p

0)1( > p

0151)1(2)1(3)1(4)1(5)1( 234 >=++++= p

Error estacionario

{ } )()(1

1)1(lim)()1(lim)(lim

11 z w

z GH z z E z k ee

z z k ss +

−=−==→→∞→

Uno de los objetivos de los esquemas de control como el que se muestra en la figura

suele ser el asegurar que la señal de error sea nula, al menos después de que las

respuestas transitorias hayan desaparecido. Por ese hecho, se estudia la respuesta de

estado estacionario de la señal de error, comúnmente denominada el error de estado

estacionario.

Se denomina error en estado estacionario a:

El error en estado estacionario se determina ante entradas de tipo:

Salto Rampa

Parábola

hablándose de errores estáticos de posición (essp), velocidad (ess

v) y aceleración

(essa).

−=

+=

−

s

s H sG Z z z GH

z w z GH

z e

)()·()1()(

)()(1

1)(

1

{ } { }1

·)()(·)(

−=⇒=

z

z A z u KT A KT u δ

{ } { }( )21

··)()(1·)(

−=⇒=

z

z T A z u KT A KT u

{ } ( ) ( )

( )322

1

1··

2

1)(

2

··)(

−

+⋅=⇒

= z

z z T A z u

T K A KT u

G(s)+-

y(z)w(z)

e(z)H(s)

ZOH

T

T


30/30

Error estático de posición,

velocidad y aceleración

K p se denomina coeficiente de error de posición y depende de las características propias del sistema.

)(lim1

z GH K z

p→

=

K v se denomina coeficiente de error de velocidad y depende de las características propias del sistema.

( )T

z GH z K

z v

)(·1lim

1

−=

→

K a se denomina coeficiente de error de aceleración y dependede las características propias del sistema.

p z

ssp K

A

z

z A

z GH z e

+=

−+−=

→ 11)(1

1)1(lim

11

·)(

−=

z

z A z w

( )21··

)(−

= z

z T A z w

( )( )3

2

1·2

1··)(

−

+⋅=

z

z z T A z w

( ) v z ssv

K

A

z

z T A

z GH z e =

−+−=

→ 21 1

·

)(1

1)1(lim

( )( ) a z

ssa K

A

z

z z T A

z GH z e =

−

+⋅+

−=→ 3

2

1 1·2

1·

)(1

1)1(lim

( )2

2

1

)(·1lim

T

z GH z K

z a

−=→

−=

+=

−

s

s H sG Z z z GH

z w z GH

z e

)()·()1()(

)()(1

1)(

1

G(s)+-

y(z)w(z)

e(z)

H(s)

ZOH

T

T

Tipo de sistema y errores estacionarios

• Dado el sistema en lazo cerrado se define el tipo del sistema como el número de polos

en z=1 que tenga GH(z)

• Si:

– Tipo 0, GH(z) no tiene polos en z=1, (i=0)

– Tipo 1, GH(z) tiene un polo en z=1, (i=1)

– Tipo 2, GH(z) tiene dos polos en z=1, (i=2)

( ) ))···()((1))···()((

)(21

21

n

im

p z p z p z z

z z z z z z K z GH

+++−+++=

• Si Tipo 0,

– Kp=valor finito,

essp=valor finito

Kv=0 ess =∞

• Si Tipo 1,

– Kp=∞, essp=0

– Kv =valor finito,

ess =valor finito

• Si Tipo 2,

– Kp=∞, essp=0

– Kv =∞, essv=0

K l fi i

−=

+=

−

s

s H sG Z z z GH

z w z GH

z e

)()·()1()(

)()(1

1)(

1

G(s)+-

y(z)w(z)

e(z)

H(s)

ZOH

T

T

)(lim1 z GH K z p →=( )

T

z GH z K

z v

)(·1lim

1

−=

→

( )2

2

1

)(·1lim

T

z GH z K

z a

−=

→

p ssp K

A

e += 1

v

ssv K

Ae =

a

ssa K

Ae =

Documents

Sistemas muestreados y discretos