FUNDAMENTOSDECONTROLDESISTEMASLINEALESGrupodeInvestigaci onenControlIndustrialAreadeAutomaticaProfesores:JoseMiguelRamrezS.EstebanEmilioRoseroGarcaUNIVERSIDAD DELVALLEEscueladeIngenieraElectricayElectr onicaSantiagodeCali5defebrerode2008Contenido1. Introduccionalossistemasdecontrol 111.1. Importancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3. Clasicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4. Representacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5. Buclatpica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.1. BuclaTpicaAnaloga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.2. BuclaTpicaDigital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6. Analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7. Dise no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262. Modeladoanalogo 322.1. Sistemasanalogosen representacion entrada-salida . . . . . . 332.1.1. TransformadadeLaplace. . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.2. Funcion deTransferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.3. Trazadodediagramasdebloques . . . . . . . . . . . . 412.1.4.Algebradediagramasdebloques . . . . . . . . . . . . 432.1.5. Simplicaci onde undiagrama de bloques; entradasm ultiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1.6. Modeladodesistemasfsicos . . . . . . . . . . . . . . . 502.1.7. Gracosdeujodese nal (GFS) . . . . . . . . . . . . 542.2. Sistemasanalogosen representacion deestado . . . . . . . . . 612.2.1. Introducci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2.2. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.2.3. Representacion matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2.4. Representacion desistemasen elespaciodeestado . . 672.2.5. Diagramadeestado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8022.2.6. Ecuaci on caracterstica, valores propios y vectores pro-pios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.2.7. MatricesdeTransferencia . . . . . . . . . . . . . . . . 893. Modeladodigital 973.1. Modeladodelprocesadordigital . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.1.1. Secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.1.2. Representacion matematica desecuencias . . . . . . . . 1003.1.3. Representacion matematica delprocesodemuestreo. . 1003.1.4. TransformadaZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.1.5. Funcion detransferenciadiscreta . . . . . . . . . . . . 1073.1.6. Reconstrucci on deSe nales . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.1.7. Modelado de sistemas de datos muestreados con la fun-cion detransferenciadepulsos. . . . . . . . . . . . . . 1163.1.8. FdTdePulsosdeElementos en Cascada . . . . . . . . 1183.1.9. FdTdePulsosdesistemasRealimentados . . . . . . . 1203.2. Sistemasdiscretosen representacion deestado . . . . . . . . . 1234. Caractersticasdelossistemasrealimentados 1344.1. Sistemasen red abiertayen red cerrada . . . . . . . . . . . . 1354.2. Ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.3. Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.4. Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.4.1. Perturbacion en G(s) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.4.2. Perturbacion en H(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.5. ControldelaRespuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.5.1. RespuestaTransitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.5.2. RespuestaPermanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.6. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465. Analisisdelarespuestaeneltiempo 1535.1. Se nalesdePrueba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.2. RespuestaTransitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.2.1. SistemasdePrimerOrden . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.2.2. SistemasdeSegundoOrden . . . . . . . . . . . . . . . 1575.2.3. CaractersticasdeRespuestaTransitoria . . . . . . . . 1595.2.4. ExpresionesAnalticas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.2.5. Especicaciones defuncionamientoparalarespuestatransitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.2.6. SistemasconCerosydeOrden Superiora2. . . . . . . 1645.2.7. PolosDominantesdeLazoCerrado . . . . . . . . . . . 1655.2.8. SistemasdeTercerOrden con unpoloreal. . . . . . . . 1675.2.9. SistemasdeSegundoOrdenSubamortiguadosconuncero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.3. RespuestaPermanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.3.1. ErrorPermanente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.3.2. Clasicaci on delTipodeSistema . . . . . . . . . . . . 1705.3.3. Errorpermanentedebidoaunaentradaescal on . . . . 1715.3.4. Errorpermanentedebidoaunaentradarampa . . . . . 1715.3.5. Errorpermanentedebidoaunaentradaparabolica . . 1715.4. RespuestaTemporal,SistemasDiscretos . . . . . . . . . . . . 1735.4.1. Representacion en elplanoZdelasse nales. . . . . . . 1735.4.2. Correlaci on PlanoSaPlanoZ. . . . . . . . . . . . . . 1765.4.3. RespuestaalEscalondeSistemasDiscretos . . . . . . . 1835.4.4. RespuestaPermanente Discreta . . . . . . . . . . . . . 1875.4.5. Soluci on de las ecuaciones dinamicas; la matriz de tran-sicion deestadocontinua. . . . . . . . . . . . . . . . . 1895.4.6. Soluci on delasEcuacionesDinamicasDiscretas . . . . 1935.4.7. Discretizaci on de Ecuaciones Dinamicas de Tiempo Con-tinuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956. Accionesbasicasdecontrol 2046.1. Accion deControl-PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.1.1. Acci on Proporcional P. . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.1.2. Acci on Integral I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.1.3. Acci on ProporcionalIntegral PI. . . . . . . . . . . . 2106.1.4. Acci on ProporcionalDerivativa PD . . . . . . . . 2126.1.5. Acci on ProporcionalIntegralDerivativa PID . . . . . 2156.1.6. Implementaci on digitaldelaley decontrolPID . . . . 219Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226J.RamrezyE.Rosero 4 GICIFundamentosdeControldeSistemasLinealesIntroduccionLaIngeniera del ControlAutomatico juegaun papelfundamentalen lossistemasyprocesostecnol ogicosmodernos,ylosbeneciosqueseobtienencon un buen control incluyen productos de mejor calidad, menor consumo deenerga, minimizaci on de desechos, mayores niveles de seguridad y reducci ondelapolucion.Ladicultadesquealgunosdelosaspectosmasavanzadosdelateorarequierenunabasematematica. Sinembargo, suimpactopracticosolosepuede medir porlosbenecios quetraeen susaplicaciones. En estecursosepresentanlosfundamentosdecontrol parasistemaslinealesentiempodis-creto y continuo, muy utiles para posteriormente realizar analisis y dise no deestrategiasdecontrolaplicadasaun sistemareal.ObjetivosGeneral: Capacitaralestudianteparaelanalisisdesistemasdecontrollineales analogos y discretos, con representacion de entrada salida o de estado.EspeccosEmplearlaterminologautilizadaenlossistemasdecontrol an alogosydigitales.Identicar, diferenciaryanalizarloselementosyse nales delabuclatpica decontrolanalogaydigital.5Representar, simplicar, analizar y sintetizar un sistema de control pormedio de un diagramade bloques, diagrama de ujo de se naly diagra-madeestado.Deducirelmodelomatematicoenfunciondetransferenciayvariablesdeestadoparasistemasdecontrolanalogosydigitales.Analizar las diferentes interrelaciones entre las representaciones entrada-salidaydeestado.Analizar elefectodelarealimentacion en elfuncionamientodeunsis-temaanalogoydigital.Calcularyanalizarlarespuestaeneltiempodeunsistemaanalogoydigital.Determinar el efecto de las diferentes acciones de control en el compor-tamiento deunsistema.MapaconceptualFigura1:MapaconceptualdefundamentosdecontroldesistemaslinealesJ.RamrezyE.Rosero 6 GICIPresentaci ondelasunidadesAcontinuaci on sedescribeelcontenidodecadaunadelasunidadesdelcurso:Unidad1: IntroduccionalossistemasdecontrolDenici on, clasicaci on, representacion basica, bucla tpica analo-gaydigital, analisisydise nodesistemasdecontrol.Unidad2: Modelado:analogoSistemas analogos en representacion entrada-salida: ecuaciones di-ferenciales, Transformada de Laplace, funcionde transferencia,diagramas de bloques, algebra, modelado de sistemas an alogosfsicos, gracosdeujodese nal.Sistemas analogosen representacion de estado:introduccion, con-trol clasicovs. control moderno,deniciones,representacionma-tricial, representacion en elespaciodeestadoapartirdelsistemaydelaecuacionesdiferencialessistemasmonovariablesymulti-variables,diagramasdeestado,ecuaci oncaracterstica,valoresyvectores propios,matrices detransferencia.Unidad3: Modelado:digitalSistemas discretos en representacion entrada-salida:modelado delprocesadordigital:secuencias, representaci on delmuestreo, ecua-cionesdediferencia,transformadaZ,lafunci ondetransferenciadiscreta; modeladodelosconversores: muestreoyretencion, re-construcciondese nales, teoremadel muestreo;modeladodesis-temasdedatosmuestreados: funciondetransferenciadepulsos,elementos en cascadayen realimentacion.Sistemasdiscretosen representacion deestado.Evaluacion:Parcial1J.RamrezyE.Rosero 7 GICIUnidad4: CaractersticasdelossistemasrealimentadosEfectosdelarealimentacion enlaganancia,respuestatransitoriaypermanente, sensibilidad aloscambiosparametricos,perturba-ciones,estabilidad, comparacion.Unidad5: AnalisisdelarespuestaeneltiempoRespuestatemporaldesistemasanalogos: se nalesdeprueba,res-puestatransitoria,respuestapermanente.Respuesta temporal de los sistemas discretos: representacion en elplanoZde se nales,correlacion planoS aplanoZ, respuestatran-sitoria,respuestapermanente.Respuesta temporal de las ecuaciones dinamicas: la matriz de tran-sicion de estado continua, solucion homogenea y total, solucion delas ecuaciones dinamicas discretas, discretizacionde ecuacionesdinamicas.Unidad6: AccionesbasicasdecontrolControl proporcional, integral, derivativo y sus combinaciones; im-plementaciones analogaydiscreta.Evaluacion:Parcial2GlosarioSntesis: es el uso de un procedimiento explcito para encontrar un sistemaquefuncione demaneraespecicada.Parametros distribuidos: Muchos fenomenos se pueden describir matematica-menteporecuacionesdiferenciales parciales,ytienen comovariableinternalasvariablesdeespacio.J.RamrezyE.Rosero 8 GICIParametrosconcentrados: Estossepuedenmodelarporecuacionesdife-renciales ordinarias,y los eventos sepueden describir porn umerosnitosdecambiodevariables.Determinstico: si el modelotrabajaconunarelaci onexactaentrelasvariablesderivadasymedidasynohayincertidumbres.Estocastico: Unmodeloesestoc asticosi empleaconceptosdeprobabili-dadydeincertidumbre.Bibliografa1. TEXTOGUIA:KUOBENJAMIN,SistemasdeControlAu-tom atico,P.H.H.,1997.2. KUO BENJAMIN, Sistemas de Control Digital, CECSA, P.H.H., 1997.3. W.BOLTON, Ingeniera deControl,Alfaomega,2a.Edicion, 2001.4. ERONINI-UMEZ-ERONINI, Dinamica de Sistemas y Control, Thomp-sonLearning,2001.5. OGATA KATSUSHITO, Ingeniera de Control Moderno, P.H.H., 3 edi-cion, 1998.6. OGATAKATSUSHITO, Sistemas de Control en Tiempo Discreto. P.H.H,Mex.1996.7. PAUL H.LEWIS-CHANGYANG, SistemasdeControlen Ingeniera,P.H.H., Madrid 19998. DORFRICHARD, Sistemas Modernos de Control, Addison-WesleyIberoamericana, 2daedici on en espa nol,1989.9. GENEF. FRANKLIN, Control deSistemas Din amicosconretroali-mentacion, Addison-Wesley Iberoamericana,1991.J.RamrezyE.Rosero 9 GICI10. KARLJ. ASTROM-BJORNWITTENMARK, Computer-ControlledSystems, PenticeHall InformationandSystems Sciences Series. 3raEdicion.11. SCHULTZD. andMELSAJ.,Statefunctionsandlinearcontrol sys-tems, MacGraw-HillBookCompany.1967.12. SIGURDSKOGESTADandIANPOSTLETHWAITE, MultivariableFeedback Control,JhonWiley &SonsLtd,1996.J.RamrezyE.Rosero 10 GICICaptulo1IntroduccionalossistemasdecontrolIntroduccionElcontrolautomaticohadesempe nadounafuncion vitalen elavancedelaingenieraylaciencia,esunaparteimportanteeintegraldelosprocesosmodernos industriales y de manufactura.Practicamente, cada aspecto de lasactividades de nuestra vida diaria esta afectado por alg un tipo de sistema decontrol.Lossistemasde controlse encuentran en grancantidad en todoslossectores de la industria tales como control de calidad de los productosmanu-facturados,lneas de ensamble automatico, control de maquina-herramienta,sistemas de transporte, sistemas de potencia, robotica, etc., a un el control deinventariosylossistemasecon omicosysocialessepuedenanalizaratravesdelateoradecontrolautomatico.Debido a que los avances de la teora y la practica del control automaticoaportan los medios para obtener un desempe no optimo de los sistemas dinami-cos, talescomomejorarlaproductividadyeliminarmuchasdelas opera-ciones repetitivas yrutinarias, los ingenieros ycientcos debentener unbuen conocimiento deeste campo.Enestaunidadsepresentaranlasdeniciones,lasclasicaciones,lasre-presentaciones, labucla tpica analogay digital, y de formageneral, los pro-cesosdeanalisisydise nodelossistemasdecontrol.111.1. IMPORTANCIAObjetivos1. Conocerlaimportanciadelossistemasdecontrolen lasociedad.2. Emplearlaterminologautilizadaenlossistemasdecontrol analogosydigitales.(Conocimiento)3. Identicar, diferenciaryanalizarloselementosyse nales delabuclatpica decontrolanalogaydigital.(Comprension)Contenidos1.1. Importancia1. Lossistemasdecontrol hansidodegranimpactopara el desarrollodenuestrasociedadyaquehanpermitido:Automatizartareashumanasrepetitivas, tediosasy/opeligrosas.Trabajar con tolerancias mucho menores, mejorando la calidad delosproductos.Disminuir costosdeproducci onen manodeobraeinsumos.Mejorarlaseguridad deoperaciondelasmaquinasyprocesos.2. Lossistemasdecontrol tienenvastasareasdeaplicacionen:Industrias del transporte, incluyendo la aeroespacial; procesos qumicosy biologicos; sistemas mec anicos, electricos yelectromec anicos; agroin-dustria, industrias de procesos y de manufactura; sistemas econ omicos,polticosysociales.3. Losencontramosennuestracotidianidad:Desdelaneverahastaelsistemadecontroldecombustionelectronicadelosautomovilesyas comoennuestropropiocuerpo: controldelatemperaturacorporal,presion arterial, equilibrio,...Elsimple actodese nalarconeldedoesun sistemadecontrol.J.RamrezyE.Rosero 12 GICI1.2. DEFINICIONESAhora bien, su aplicacion requiere de varias tecnologas como la informatica,laelectrica, laelectronica y lascomunicaciones; tambien exige buenafunda-mentacion matematicayconocimientos delprocesoacontrolar.Deloanteriorsederivaquelossistemasdecontrol seanunareamulti-disciplinarytransversal alasingenierasyaotrasciencias.1.2. DenicionesSISTEMADECONTROL:Arreglodecomponentesfsicosinter-conectadosdeformaquesepuedancomandardinamicamente.ENTRADA: Estmuloaplicadoal sistemadecontrol paraproducirunarespuestaespecicada.SALIDA: Respuesta obtenida que puede ser diferente a la especicada.PERTURBACION: Es unaentradaqueafectaadversamentealasalida.EjemplosSistemadecontroldeexcitaci on digital, ver gura1.1.Entrada Voltaje dereferencia (Nominal)Salida Voltaje en terminalesPerturbacion Carga(Corrientedearmadura)Sistemadecontroldelavelocidad en unaturbina,ver gura1.2.Entrada Velocidad dereferencia (f=60Hz.)Salida Velocidad en elejePerturbacion Carga(Torqueelectrico)J.RamrezyE.Rosero 13 GICI1.3. CLASIFICACIONESFigura1.1:Sistemade controldeexcitaci on digital.Fuente: [R.C.Schaefer,2001]1.3. ClasicacionesSonmuchaslasclasicacionesposiblesderealizar;aqu sepresentanal-gunasdemayorinteres.DEACUERDOALAACCIONDECONTROL: Variablequeactivaelsistemaacontrolar.DELAZOABIERTO: Acci on de control independiente de la salida;parasubuendesempe noserequieredeunabuenacalibraci on;sielprocesoacontrolaresestable, nohayriesgodeinestabilidad.DELAZOCERRADO: Secomparalaentradaylasalidayusaladiferencia (error) como acci on de control; se requiere portanto deunarealimentaci on, la cualgeneraposibilidad deinestabilidad.J.RamrezyE.Rosero 14 GICI1.3. CLASIFICACIONESFigura1.2:SistemadecontroldefrecuenciaDEACUERDOALAFUENTEDEENERGIAdel elementoquegeneralaaccion decontrol:- Neumaticos(Aire apresion).- Hidraulicos (Aceite oaguaapresion).- Electricos -Electronicos (Electricidad).DEACUERDOACOMOSEGENERALAACCIONDECONTROLapartirdelerror:- Todo-Nada(ON-OFF).- Proporcional (P), Integral (I), Proporcional Integral (PI), Propor-cionalDerivativo (PD),ProporcionalIntegralDerivativo(PID).- Adelantoy/oAtrasodeFase.- RSTDEACUERDOALAFUNCION:J.RamrezyE.Rosero 15 GICI1.3. CLASIFICACIONESSERVOMECANISMO: Busca seguir una entrada variante; la salidaes la posicion y/o sus derivadas; por ejemplo, el sistema de controldeposicionhidraulico, gura1.3.Figura1.3:Servomecanismo deposicion.REGULADOR: Busca mantener constante la salida, principalmenteantecambiosdebidosadisturbios; por ejemplo, lossistemasdecontrol detensionyfrecuenciadelossistemasdegeneraci on; elsistema decontrolde temperatura, lagura1.4muestra un regu-ladordetemperatura.DEACUERDOALASPROPIEDADES del procesocontrolado:- ParametrosConcentrados-Distribudos.- Determinstico -Estocastico.- Continuo-Discreto(Flujodelproducto).- Estatico-Dinamico.- Variante-Invariante.- Lineal-Nolineal.DEACUERDOALAAPLICACIONINDUSTRIAL:- DeProcesos: temperatura, ujo, presion, PH, nivel,densidad,composicion,viscosidad,color,etc.J.RamrezyE.Rosero 16 GICI1.3. CLASIFICACIONESFigura1.4:Reguladordetemperatura.- De Manufactura: Producci on de partes: autos, equipos domesti-cos,etc.DEACUERDOALAESTRATEGIADECONTROL:- Directo(feedforward)-Realimentado (feedback).- Serie -Paralelo.- Centralizado-Distribudo- Cascada,sobrerrango,selectivo, etc.DEACUERDOALASSENALESINVOLUCRADASenelsistemadecontrol.- Monovariable,sielsistemacontrolaunasolavariable.- Multivariable, sitienem ultiples entradasysalidas.- Sistemadecontrol analogo, discreto,dedatosmuestreadosodi-gital,dependiendodeltipodese nalpresenteen elsistema.Paraesta ultimaclasicaci on, denamoslostiposdese nales:J.RamrezyE.Rosero 17 GICI1.3. CLASIFICACIONESSe naldetiempocontinuo: Sedenesobreunrangocontinuodeltiempo; su amplitud puede sercontinua ocuanticada; porejem-plo, la salida de un conversor D/A es una se nal de tiempo continuocuanticada.Ver gura1.5.kte*(t)Figura1.5:Se naldetiempocontinuoSe nalanaloga: Se nal detiempocontinuoconunrangocontinuodeamplitud; porejemplo, la salida del sistema de control. Ver gura1.6.te(t)Figura1.6:Se nalanalogaSe naldetiempodiscreto: Soloestadenidaeninstantesdiscretosdeltiempo; eltiempoestacuanticado.Se naldedatosmuestreados: Se nalde tiempo discreto en un rangocontinuo de valores; por ejemplo, el muestreo de una se nal analoga.Vergura1.7.Se naldigital: Se nal de tiempodiscretoconamplitudcuanticada;por ejemplo, la salida de un conversor A/D, la cual es una secuen-ciaden umerosbinarios.Vergura1.8.J.RamrezyE.Rosero 18 GICI1.3. CLASIFICACIONESkte*(t)Figura1.7:Se naldedatosmuestreadoskte*(t)Figura1.8:Se naldigitalAs, apartirdel tipodese nal presenteenel sistema, lossistemasseclasican en:SISTEMASANALOGOS:Solocontienen se nalesanalogas;sedescriben mediante ecuacionesdiferenciales.SISTEMASDISCRETOS: Solo contienen se nales discretas; sedescriben mediante ecuacionesdediferencia.SISTEMASDEDATOSMUESTREADOS:Tienen se nalesdiscretasyse nalesdetiempocontinuo.SISTEMASDIGITALES:Seincluyen se nalesdetiempocon-tinuoyse nalesdigitalesen formadecodigonumerico.En este curso se despreciaran los efectos de la cuanticacion de se nales enlos conversores A/D y en el c alculo de la ley de control en un procesador digi-tal; porello, aun sistema de controlgobernadoporun procesadordigitaldese nales(Computador, Microcontrolador, DSP, etc.)seledenominaraSIS-TEMADECONTROLDIGITALSCD.J.RamrezyE.Rosero 19 GICI1.4. REPRESENTACION1.4. Representaci onLarepresentacionmasusual esporDIAGRAMASDEBLOQUES;estancompuestosporbloques, sumadores, puntosdereparto, echasylasse nalesovariables.BLOQUESEntrada BLOQUE SalidaDentrodel bloquesetieneel nombre,ladescripcion,el dibujouoperacionmatematica querealiza.SUMADORES:Sumanorestan se nales.+r+brb++rbrb+rb+crb+cPUNTOSDEREPARTO:Permiten usarunase nalvariasveces.CCCCJ.RamrezyE.Rosero 20 GICI1.5. BUCLATIPICAFLECHAS:Representanladirecciondelasse nales; estadireccionco-rrespondealainformacion decontrol,nodepotencia.VARIABLES o se nales en el sistema; cuando haya lugar a confusion, seusaracomonotacion:Min usculas: Dominiodeltiempo.May usculas: Dominiodelafrecuencia compleja (S)En proyectos de automatizaci on, los sitemas de control se representan a partirde estandares como el Instrumentation Symbols and IdenticationspreparadoporlaInstrumentSocietyof America(ISA),el cual esunsistemadedesignaci onporsmbolosyc odigosdeidenticaci oncomosemuestraenlagura1.9.Identicaci on de lazoIdenticaci on funcional101TICFigura1.9:NormasISAEl crculo es el smbolo general del instrumento. Las letras y n umeros en suinterior, el c odigo de identicacion. En la identicacion funcional, la primeraletra corresponde ala variable medida dellazo; lasrestantes indican las fun-ciones del instrumento: Registrador, Indicador, Controlador, Transmisor, etc.El estandartambien dene los smbolos para los actuadores,sensores prima-rios, procesosy lneas de comunicacion de se nales.Lagura 1.10 muestra unejemplo deestosdiagramas.1.5. BuclatpicaVeremoslasbuclastpicasparalossistemasdecontrol analogosydigi-tales;comosunombreloindica, estasbuclasseencuentran ampliamente enlaindustria.J.RamrezyE.Rosero 21 GICI1.5. BUCLATIPICAFigura1.10:DiagramaISAdeun sistemadecontrol1.5.1. BuclaTpicaAnalogaLabuclatpicaanalogasemuestraen lagura1.11.Los elementos y se nales de la bucla tpica analoga, se describen a continua-cion.CONTROLADOR: Comparadormas elcompensador.El comparadorge-nerala se nalde erroryapartir deella, elcompensadordene lase nalde control apropiadapara compensar las deciencias de desempe no delsistema.ACTUADOR: (Elemento nalde control).Adec ua los niveles de potenciaentre lase nal decontrolylavariablemanipulada.J.RamrezyE.Rosero 22 GICI1.5. BUCLATIPICA+-Elementosderealimentaci onSe nalderealimentaci onCompensador Actuador PlantaBR E A MCerrorVariableManipuladaSe naldeControlDisturbioSalidaControladaControladorEntradadeReferenciaFigura1.11:Buclatpica analogaPLANTA: Representa lamaquinaoprocesoacontrolar.ELEMENTOSDEREALIMENTACION: Son dispositivos que permitenmedir la se nal de salida y entregar un valor de magnitud apropiada paraelcomparador;pueden incluir sensores(captadoresde lase nal),trans-ductores(adecuadoresdelase nal)otransmisoresdese nal.ENTRADAOREFERENCIA: Esunestmulodel sistemaquecorres-pondealvalordeseadodelasalida.ERROR: Esladiferencia entrelareferencia ylasalida.SENALDECONTROL: Eslase naldesalidadelcontrolador.VARIABLEMANIPULADA: Es lavariable del proceso que permitevariarlasalidacontrolada.DISTURBIOOPERTURBACION: Es una se nal de entrada al sistemade controlqueafecta adversamente la salidadelsistema; cuandoentraen larealimentaci on sele denominaRUIDO.SALIDAOVARIABLECONTROLADA: Eslacantidadocondici onquesemideytratadecontrolardel sistema; representalarespuestadelsistemaypuedeserdiferente delaentradadeseada.SENALDEREALIMENTACION: Eslase nalmedidadelaplanta.Ejemplo:1. SistemadecontroldelaTension:Ver gura1.12.J.RamrezyE.Rosero 23 GICI1.5. BUCLATIPICAPuentecontroladoexcitatrizGeneradorVoltajeenTerminalesVoltajedeCampoAngulodisparoCorrientedeamaduraTransformador,recticador,ltroVoltajeNominalReguladordetensionTensionDCFigura1.12:Buclatpica delcontroladordetension2. Sistemadecontroldevelocidad:Ver gura1.13.VelocidadReferencia60HzValvulasyservomotoresTurbinaVelocidadejePosicionalabesSe nalposicionv alvulaTensionDCderealimentacionTorqueelectricoSensorVelocidadGobernadorvelocidadFigura1.13:Bucla tpicadelcontroladordevelocidad1.5.2. BuclaTpicaDigitalLabuclatpicadigitalsemuestraen lagura3.1.5PROCESADORDIGITAL: Realiza el algoritmo de control; recibe, proce-sayentregase nalesdigitales.S/H: (Sampler and Holder) Muestreo y Retenci on: Convierte la se nal analo-gae(t)enunase nal dedatosmuestreadose(kT)yextrapolalase nalmuestreadaun ciertotiempo.A/D: (AnalogtoDigitalconversor)Conversoran alogoadigital:Convierteuna se nalanalogaen una digital; reliza el proceso de codicaci on. Nor-malmente elS/HesparteintegraldelA/D.J.RamrezyE.Rosero 24 GICI1.6. ANALISISS/H A/DProcesadorDigitalD/ARelojElementosderealimentaci onActuador Plantar(t)e(t) e*(Kt) e(Kt) a(Kt) a(t) m(t)d(t)y(t)b(t)SalidaControlada+Figura1.14:Buclatpica digitalD/A: (DigitaltoAnalogconversor)Conversordigitalaanalogo: Convierteunase nal digital enunaanaloga; realizael procesodedecodicaci on.Llevaimplcito elmantenimiento delase nal analoga.Reloj: Sincronizalosprocesosdecodicaci on ydecodicaci on.El A/Dpuedemedirdirectamenteb(t);ental caso,lacomparaci onlahaceelprocesadordigital.Sielsistemaesmultivariable, setendrancircuitosmultiplexoresydemulti-plexores.1.6. An alisisANALIZARun sistema es determinarle sus caractersticas de funcionamien-toque cuantiquen:Lavelocidad derespuestaSu exactitud permanenteElgradodeestabilidadSe consideraran tres pasos generales para el analisis de un sistema de control:1. Obtenerunaideacualitativadesufuncionamiento; basicamente selo-graobteniendoloselementos yse nalesdelabucla tpicay observandolasecuenciadeeventos,luegodeunavariacionenlaentradadeseadaodeldisturbio.J.RamrezyE.Rosero 25 GICI1.7. DISENO2. Establecerun modelomatematicoquerepresente alsistema:- Enunarepresentacion entrada-salida,losdiferentes componentesdel sistemase representanpor funciones de transferencia yseinterconectanconstruyendose as undiagramadebloques oungracodeujodese nal.(Controlclasico)- Enunarepresentaciondel estadointernodel sistemautilizandovariablesdeestado.(Controlmoderno)3. Analizar elsistemamediante:Enfoque Cl asico :___ La respuesta en el tiempo. El lugar geom etrico de las raices. La respuesta en frecuencia.Enfoque Moderno:_ V alores y vectores propios. Respuesta en el tiempo.1.7. Dise noDISENARunsistemadecontrol,esobtenerunoquecumpladetermi-nadas especicaciones de funcionamiento; las especicaciones de funcionamien-to son los lmites, rangos o cotas de las caractersticas. Esto se logra ajustandoelcontrolador.En el enfoque clasico, el dise no mas usual es por analisis; con cuatro pasosgenerales:1. Conocerlasespecicacionesyexpresarlasen terminosmatematicos.2. Analizar el sistema; mediante tanteos con la gua de un metodo de com-pensacion, ajustar el controlador hasta cumplir con las especicaciones.3. Vericar el funcionamientomediante simulaciondigital para incluirdinamicasnomodeladas,nolinealidades,perturbaciones,etc,realizarreajustes.4. Ajusteen sitio, realizarreajustes.J.RamrezyE.Rosero 26 GICI1.7. DISENOEnelenfoquemoderno,eldise noserealizaporunprocedimientoanaltico,loqueseconocecomoSntesis.ResumenEnestaunidadexpusimoslosconceptosbasicosdeloqueesunsistemade control. Describimos sus componentes basicos, los clasicamos de acuerdoalasse nalesquemanejan,objetivosdecontrol,dimosvariosejemplosdelavidareal,ydeformageneraldescribimosel procesodeanalisisydise nodeun sistema de controlque puede ser aplicado a diferentes ramas de la cienciaylaingeniera.Actividadesdeaprendizaje1. Realice unalecturareexiva ycrtica delmaterialdelcurso.2. Realice laslecturascomplementarias.3. Unaconsultaeninternet sobreavancesdelatecnologaylossistemasdecontrolparadiscutir en clase.4. La gura 1.15 muestra el diagrama de un sistema de control (Evaluaci ona no2003).Eldesplazamiento de lapoleamovil es perpendicular aldelindicadoryeldelobjeto;x1,x2yx3sonlasposicionesdelindicador,objeto y polea movil respectivamente; la tension V1 entre el punto movildel potenci ometro y la conexi on entre las resistencias R, es proporcionalal desplazamiento x3 en el factor k1; la tension de salida del amplicadoresk2vecessutensiondeentrada; ladinamicaparalavelocidaddelmotorserige porlasegundaley deNewton rotacional:Jd(t)dt= k3V3(t) tL(t) (1.1)dondeJeselmomentodeinerciaequivalente delmotorylacarga,k3esunaconstanteytL(t)esunpararbitrarioydesconocidodecarga.El pi nontieneunradior. Todoslosparametrosyvariablesestanenunidadesdelsistemainternacional.J.RamrezyE.Rosero 27 GICI1.7. DISENOFigura1.15:Sistema decontrolIdentique los elementos y se nales de la bucla tpica realimentada.5. Identicar los diferentes elementos y se nales de la bucla de realimentaciontpica para:a) ReguladordeVelocidad deWatt.(gura1.16)Figura1.16:Reguladordevelocidad deWattJ.RamrezyE.Rosero 28 GICI1.7. DISENOb) DiagramaesquematicodeunsistemadeseguimientodelSol,sinconsiderareltacometro,(gura1.17).Figura1.17:Sistemadeseguimiento delsol.Fuente:[Kuo,1996]6. Una Universidad desea establecer un modelo del sistema de control querepresente la poblaci on estudiantil como salida, con la poblacion estudi-antil deseada como entrada. La administracion determina el porcentajede admisiones al comparar la poblaci on estudiantil actual y la deseada.Laocinadeadmisionesutilizaentonceseseporcentajeparaadmitirestudiantes. Traceundiagramadebloques funcional quemuestrelaadministracionylaocinadeadmisiones comobloquesdel sistema.Tambien muestre lassiguientes se nales:la poblacionestudiantil desea-da,lapoblaci onestudiantilreal,elporcentajedeseadodeestudiantesdeterminandoporlaadministracion,elporcentajereal deestudiantesgenerado porla ocina de admisiones, el porcentaje de deserciones y elporcentajenetodeinujo.[Nise, 2004]7. Duranteunaoperaci on medica, un anestesistacontrola laprofundidadJ.RamrezyE.Rosero 29 GICI1.7. DISENOde inconciencia alcontrolar la concentracion de isouranoen unamez-cla vaporizada con oxgeno y oxido nitroso, la profundidad de anestesiaesmedidaporlapresionsanguneadel paciente. El anestesistatam-bien regulala ventilacion, el equilibrio de uido y la administracion deotrosmedicamentos. Paraliberaral anestesistadededicarmastiem-poaestas ultimastareas,yenelinteresdelaseguridaddelpaciente,deseamos automatizarla profundidad de la anestesiaalautomatizarelcontrolde concentracion de isourano.Dibuje un diagramade bloquesfuncionaldelsistema, mostrandolasse nalesy subsistemaspertinentes(Meier,1992).[Nise, 2004]8. Un sargentosedetena en unajoyera cadama nanaalas9en puntoyajustabasurelojcomparandoloconelcronometrodelescaparate. Unda el sargentoentro en el comercio y felicito aldue noporla exactituddelcronometro. EstaajustadoconlahoradeArlington?-preguntoelsargento-. No -contesto el due no- lo ajusto seg un el ca nonazodel fuertealas5p.m. Dgame, sargentoporque se detiene todoslosdasy com-pruebalahoradesureloj?.Elsargentolecontesto,yosoyelartillerodelfuerte.Eslaretroalimentacion positivaonegativa?.Elcronometrodeljoyeroseatrasaunminutocada24horasyelrelojdelsargentoseatrasaunminutocada8horas. Cual esel errortotal enlahoradelca nondelfuertedespuesde15das?.[Dorf,1989]9. AdamSmith(1723-1790)analiz oeltemadelalibre competenciaentrelosparticipantesdeunaeconomaensulibroLariquezadelasNa-ciones.Puededecirse queSmith sugirioque:1) los trabajadores, comountodo, comparanlos diferentes empleosposiblesytomanaquellosqueofrecen mayorremuneraci on, y2) en cualquier empleo el pagodisminuye seg un aumentael n umerodetrabajadoressolicitantes.Supongamosquer=totalpromediodepagosen todaslas actividades, c=totalde pagosen unaactividad particular;q=auencia de trabajadoresdentro de una actividad especca. Dibujeun ciclo deretroalimentacion querepresente estesistema.[Dorf,1989]J.RamrezyE.Rosero 30 GICI1.7. DISENOLecturascomplementariasAbrief historyof feedbackcontrol, Captulo1: IntroductiontoModern ControlTheory,en: F.L.Lewis,Applied Optimal ControlandEstimation,Prentice-Hall, 1992.Computer Technology, captulo 1, secci on 1.2: Computer ControlledSystems, TheoryandDesign, Karl AstromandBjornnWittenmark,Prentice Hall,1997.ReferenciasKUOBENJAMIN, Sistemas de Control Automatico, Prentice Hall1997.DORFRICHARD, Sistemas Modernos de Control, Addison-WesleyIberoamericana, 2daedici on en espa nol;1989.NISE, NORMAN, Sistemas de Control para Ingeniera, Editorial CEC-SA, 3raEdicion.J.RamrezyE.Rosero 31 GICICaptulo2ModeladoanalogoIntroduccionParaanalizar y dise narsistemas de controlde altas prestaciones, se debeconocer lo mejor posible la dinamica del sitema obteniendo su modelo matematico.El comportamientodinamicosedescribegeneralmentepormediodeecua-ciones diferenciales. Adem as, si estas ecuaciones pueden linealizarse, entoncessepuedeutilizarlaTransformadadeLaplaceparaobtenerlasrelacionesdeentrada-salida para los componentes del sistema y los subsistemas en la formadefuncionesdetransferencia.Losbloquesdelasfuncionesdetransferenciase puedenorganizar endiagramas debloques oendiagramas de ujodese nal pararepresentarlasinterconexionesdeunamaneragraca. Los dia-gramas debloquesydeujodese nal sonherramientasmuyconvenientesparadise naryanalizarsistemasdecontrol dealtasprestaciones. Notemosqueesunarepresentaci ondeEntrada-Salida. Enel modeladodesistemasfsicosconsideraremos enestaUnidadlos sistemas mecanicos, hidraulicos,neumaticos, termicosyelectricos.La teora moderna de control esta basada en el conocimiento del com-portamientointernodelossistemas, reejadoenlasvariablesqueinuyenensudinamica.El conocimientodelaevoluci ondetodaslasvariablesqueinuyenenladinamicadel sistema, permiteefectuarunmejorcontrol delsistema y su utilizaci on en el controlde sistemas mascomplejos.Estarepre-sentacionseaplicadeformadirectaasistemasmultivariables,no-linealesocon parametrosvariantes.En esta unidad se presentara el modelado de los sistemas analogos tanto para322.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDAlarepresetacion entrada-salidaydeestado.Objetivos1. Representar, simplicar yanalizar unsistemade control por mediodeundiagramadebloques,diagramadeujodese nal ydiagramadeestado.Aplicacion2. Deducirelmodelomatematicoenfunciondetransferenciayvariablesde estado para sistemas de control analogos y digitales. Conocimiento3. Analizar las diferentes interrelaciones entre las representaciones entrada-salidaydeestado.AnalisisContenido2.1. Sistemas an alogos en representaci on entrada-salida2.1.1. TransformadadeLaplaceLos sistemas fsicosconalmacenamientodeenerga, sondenaturalezadinamica. Los sistemasdinamicossedescribenmedianteEcuaciones Dife-rencialesobtenidas al aplicar las leyes fsicas que los rigen. Si son lineales einvariantes en eltiempo, podemosaplicarles alasecuaciones diferenciales laTransformadadeLaplace(T.L) parasimplicar su solucion. Estatrans-formadasedenepor:[f(t)] _0es tf(t) dt F(S)La Trasformada de Laplace existe si y solo si se cumplen las tres condiciones:f(t) = 0 t < 0;f(t) es continua a tramos;f(t) es acotada exponencialmente : R[ lmt[etf(t)[ = 0J.RamrezyE.Rosero 33 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDACaractersticasdelaTransformadadeLaplace:1. La Transformada de Laplace convierte las se nales temporales en se nalesfrecuenciales, funcion delavariablecomplejas = +j.2. Esunatransformacionlineal.3. La operaci on derivada temporal, se convierte en la multiplicacion por sen frecuencia. La integraci on en la multiplicaci on por 1/s en frecuencia;porelloal aplicarlaaunaecuaci onintegrodiferencial,seobtieneunaecuaci on algebraicaen s.4. Es invertible y se puede regresar aldominio temporalusandola Trans-formadaInversa deLaplace(TIL):TL f(t) F(S)TILVerlatabladetransformadasdeLaplace,tabla2.1yladepropiedades,tabla2.2.J.RamrezyE.Rosero 34 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDAf(t) F(s)1 Impulsounitario(t) 12 Escalonunitario(t)1s3 t1s24 eat 1s+a5 teat 1(s+a)26 sints2+27 cos tss2+28 tn(n = 1, 2, 3, . . .)n!sn+19 tneat(n = 1, 2, 3, . . .)n!(s+a)n+1101ba_eatebt_1(s+a)(s+b)111ba_bebtaeat_s(s+a)(s+b)121ab_1 +1ab_beataebt__1s(s+a)(s+b)13 eatsint(s+a)2+214 eatcos ts+a(s+a)2+2151a2_at 1 +eat_1s2(s+a)16n12entsin_n_1 2_t2ns2+2ns+217112entsin_n(_1 2)t _ss2+2ns+218 1 112entsin_n(_1 2)t +_2ns(s2+2ns+2) = arctan12Tabla2.1:ParesdetransformadasdeLaplaceJ.RamrezyE.Rosero 35 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDA1 [Af(t)] = AF(S)2 [f1(t) f2(t)] = F1(S)F2(S)3 [ddtf(t)] = sF(S) f(0)4 [d2dt2f(t)] = s2F(S) sf(0) dfdt(0)5 [dndtnf(t)] = snF(S)

nk=1snkfk1(0)dondefk1(t) =dk1dtk1f(t)6 [_f(t) dt] =F(S)s+[

f(t)dt]t=0s7 ___f(t) dt dt_ =F(S)s2+[

f(t) dt]t=0s2+[

f(t) dt]t=0s8 __. . ._f(t) (dt)n_ =F(S)sn+

nk=11snk+1__. . ._f(t) (dt)n_t=09 [eatf(t)] = F(s +a)10 [f[(t a)](t a)] = easF(s)11 [tf(t)] = dF(s)s12 [1tf(t)] =_sF(s) ds13 [f_1a_] = aF(as)14 Valorinicial: lmt0f(t) = lmssF(s)15 Valornal:lmtf(t) = lms0sF(s)Tabla2.2:PropiedadesdelatransformadadeLaplaceEjemplo:Sistemamec anico derotacion:JfTURBINA tmFigura2.1:Sistematurbina-masaJ:MomentodeInercia [Kg-m2]f:Coeciente defriccion viscosa[N-m-s/rad]f=dpd=377x103J.RamrezyE.Rosero 36 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDA:Velocidad angular[rad/s]; (0)=16.96(162rev/min)m:Torqueaplicado[N-m] =7.1x106u(t)Leyfsica(Segundaley deNewton):J w =

Jdwdt= mfwSeobtienelaecuaci on diferencial:m= Jdwdt+fwAplicandolatransformadadeLaplace:Tm(s) = J[sW(s) (0)] +fW(s)ydespejandoW(s)seobtiene:W(s) =Tm(s)Js +f. .Respuesta forzada+J(0)Js +f. .Respuesta naturalReemplazando:W(s) =71 + 124,6s(7,35s + 3,77)s=16,95(s + 0,57)s(s + 0,512)N(s)D(s)NOTACION:D(s) = 0 Ecuacion caractersticas = 0,s = 0,512 Polosdelsistemas = 0,57 CerosdelsistemaRepresentacion depolosycerosen elplanocomplejo:J.RamrezyE.Rosero 37 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDAjFigura2.2:Representacion dePolosyCeros.Paraobtenerlaevolucion temporal:Fracciones parciales :W(s) =k1s+k2s+0,512k1, k2: Residuos.k1=16,95(s+0,57)s+0,512s = 0= 18,8k2=16,95(s+0,57)ss = 0,512= 1,92(t) = 118,8s1,92s+0,512(t) =_18,8..Respuesta permanente 1,92e0,512t. .Respuesta transitoria_u(t)Los teoremas del valor inicial y valor nal permiten obtener directamenteestosvaloresen frecuencia:(t)t= lms0sW(s) =71 + 124,6s7,35s + 3,77s=0= 18,83 (180 rev/min.)J.RamrezyE.Rosero 38 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDA(t)t0=lmssW(s) =124,67,35= 16,95 (162 rev/min.)Lagura2.3muestralarespuestatemporal.w(t)[rpm]t [s]2 4 6 8 10162180Figura2.3:Respuestatemporaldelsistematurbina-masaNotemosquehayunarelaciondirectaentrelaubicaciondelospolosycerosylaformadelarespuesta.2.1.2. Funci ondeTransferenciaCaracteriza larelacion entrada-salida de sistemaslineales e invariantes;se dene la Funci on de Transferencia (FdT), como la relaci on entre la Trans-formada de Laplace de la salida a la Transformadade Laplace de la entrada,con condicionesiniciales nulas.FdT =[Salida][Entrada]condiciones iniciales=0J.RamrezyE.Rosero 39 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDAFormageneral:G(s) =bmsm+bm1sm1+. . . +b1s +b0ansn+an1sn1+. . . +a1s +a0Si: n = m Funcion de transferencia propian < m Funcion de transferencia impropian > m Funcion de transferencia estrictamente propiaParaelsistemamec anicoderotacion:(0) = 0 W(s) =Tm(s)Js +fFdT =W(s)Tm(s)=1Js +fCaractersticas:Describeladinamicadel sistema: tenerlafunciondetranferenciaesequivalente atener laecuaci on diferencial.Soloseaplicaasistemaslineales einvariantes.Esunapropiedaddelsistema, nodependedelaentrada.Variossistemaspueden tenerlamismaFdT.Nodainformacion delaestructurainternadelsistema.Enundiagramadebloques,permiterepresentarladinamicadecadacomponente.Ejemplo: ver gura 2.4, el diagrama de bloques de la buclade reali-mentacion tpicaen eldominiodelafrecuencia:LasdistintasGiyHsonlasfuncionesdetransferenciadeloselementos;R,E,A, M,DyB, sonlasT.L.delasse nales.J.RamrezyE.Rosero 40 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDAEG1HCA R+G2G3M++DG4BFigura2.4:Buclatpica en frecuencia2.1.3. TrazadodediagramasdebloquesSerealizamediante trespasosprincipales:Aplicar la transformadade Laplace a cada componente o ecuaci on, concondicionesiniciales nulas.Reemplazar loselementos transformadosporbloquessimples.Interconectar losbloques.Ejemplo:Excitatrizdecorrientecontinua(Figura2.5), considerandolavelocidadconstanteyexcitaci on en elrangolineal.RfLfif+efRaetiaegJFigura2.5:Excitatriz deCorrienteContinuaJ.RamrezyE.Rosero 41 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDAEcuaciones:ef= Rfif+ Lfdifdtet = egRaiaeg= kgifTRANSFORMANDO: BLOQUE:1 Ef(s) = If(s)_Rf+Lfs_1Rf+sLfEf(s) If(s)2 Et(s) = Eg(s) RaIa(s)RaEg(s) Et(s)Ia(s)3 Eg(s) = KgIf(s)KgIf(s) Eg(s)INTERCONECTANDO:KgEg(s) Et(s)Ia(s)Ra1Rf+sLfIf(s) Et(s)+Ejercicio:Obtengael diagramadebloques que representaal motor de corrientecontinua,considerandocomosalidaslaposicion,lavelocidad angularylacorriente dearmaduraia.J.RamrezyE.Rosero 42 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDA2.1.4.AlgebradediagramasdebloquesSimplica un diagrama de bloques complejo. Las reglas parten de escribirunamisma ecuaci on en formadiferente.Diagramasdebloquesoriginales Diagramasdebloquesequivalentes1A+A-BBA-B+CC++A++A+CBA-B+CC+2ABA-B+CC++A+A-BBA-B+CC++3G1AG1G2AG1G2 AG2AG2G1AG1G2 A4G1AG1G2AG1G2 AG1G2AG1G2 A5G1AG1 A AG1+AG2++G2G1 +G2AG1+AG2 A6GA AGB+BAGGABG A AGB+1GBBG7GAB A AGBG+BGA AG+BAGBGGBG8GAG AAGGAG AGAG9GAG AAGAG AAG 1GA10G1AG1 A AG1+AG2++G2++AG1+AG2 AG21G2G111+AG2G1B+AG2 G11G2B12+AG2G1BA G11+G1G2BTabla2.3:PropiedadesdelalgebradediagramasdebloquesJ.RamrezyE.Rosero 43 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDAEjemplo:Obtengamoselbloqueequivalente debloquesencascadasincargadelagura2.6:G1(s)X1X3X2G2(s)Figura2.6:DiagramadebloquesSoluci on :G1(s) =X2X1G2(s) =X3X2Se requiereX3X1 X2= G1(s)X1X3= G2(s)X2= X3= G2(s)G1(s)X1=X3X1= G1(s)G2(s)G1(s)X1X3X2G2(s)=G1G2X1X3Ejemplo:EG1HCAR+G2G3MFigura2.7:DiagramadebloquesdeunabuclatpicaHallarC/Rparalabuclatpica; D(s) = 0verlagura2.7.Solucion:LlamandoG=G1G2G3tenemoslagura2.8queeslaformacanonicadeun sistemadecontroldelazocerrado.J.RamrezyE.Rosero 44 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDAG(s)R+ECH(s)BFigura2.8:FormaCanonicadeun SistemadeControldelazocerradoDEFINICIONES:G(s)=C(s)E(s): Funci on de Transferencia Directa.H(s)=B(s)C(s): Funci ondeTransferenciadeRealimentaci on.G(s)H(s) = GH(s)=B(s)E(s): Funci onde Transferenciade Lazo Abierto.T(s)=C(s)R(s): Funci ondeTransferenciadeLazoCerrado.OperamosparacalcularlaFdTdeLazoCerrado:E(s) = R(s) B(s) = R(s) H(s)C(s)C(s) = G(s)E(s) = G(s)_R(s) H(s)C(s)= C(s) +GH(s)C(s) = G(s)R(s)J.RamrezyE.Rosero 45 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDAFdT =C(s)R(s)=G(s)1 +GH(s). .FdT equivalente de un lazo de realimentaci onSimplicaciondeundiagramadebloques,unaentradaParasimplicarundiagramadebloques serecomiendarealizar los si-guientes pasos:1. Combinarbloquesencascaday/oen paralelo.2. Desplazareintercambiar puntosdetomaysuma.3. Recombinar pasos1,2,etc.Ejemplo:Diagramadebloquesdeunsistemadecontrol delaexcitaci onconredestabilizadorayautoexcitacion,gura2.9R(s)+C(s)H1H2G1G2G3++++Figura2.9:DiagramadebloquesG1: Dinamicadelacompensacionydelactuador.G2: Dinamicadelaexcitatriz.G3: Dinamicadelgenerador.J.RamrezyE.Rosero 46 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDAH1: Dinamicadelared estabilizadora.H2: Dinamicadelamedidadetension.R(s)+C(s)H1H2G1G2G3++1G31G1+R(s)R(s)+C(s)H2G1G2G3++H1G31G1R(s)+C(s)H2 +H1G3 1G1G1G2G3G1G2G31+G1G2G3(H2+H1G31G1)R(s)C(s)J.RamrezyE.Rosero 47 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDA2.1.5. Simplicaci ondeundiagramadebloques; en-tradasm ultiplesComoel sistemaes lineal, parasimplicarundiagramaconm ultiplesentradas,sepuedeaplicarelprincipio desuperposicion.1. Llevar,siesposible,lasentradasaun mismopuntodesuma.2. Reducir.3. Calcularlarespuestadebidaacadaentrada.4. Sumarlasrespuestasparciales paraobtenerlatotal.Ejemplo:Buclatpica con perturbacion,ver gura2.10.G1R(s)+G2HC(s)D(s)++Figura2.10:Bucla tpicacon realimentacion1. Paso1G1R(s)+G2H+1G1D(s)C(s)Figura2.11:Figura1J.RamrezyE.Rosero 48 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDA2. Paso2G1G21+G1G2HR(s)++C(s)1G1D(s)Figura2.12:Figura23. Paso3ConD(s) = 0CR(s) =G1G2(s)1+G1G2H(s)R(s)ConR(s) = 0CD(s) =G2(s)1+G1G2H(s)D(s)4. Paso4Seobtiene:C(s) = CR(s) +CD(s) =G2(s)1+G1G2H(s)[G1R(s) +D(s)]J.RamrezyE.Rosero 49 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDAEjercicio:Resuelvaelejercicio 2propuestoen lasactividades deaprendizaje.2.1.6. ModeladodesistemasfsicosMuchos sistemas fsicos se pueden modelar usando las leyes fsicas que losrigen, utilizandocomo:VARIABLES:Elvolumen ocantidad elemental delsistema.Laratadevariaci on deestacantidad (Flujo).Laenergapotencialofuerzaactuanteenelsistema.PARAMETROS:Laresistencia (R)alpasodelujo.Lacapacitancia(C)orelacionvolumenfuerza actuante.Lainductancia(L)orelacionfuerza actuanteRata de flujo .Laconstantedetiempo();= RC;LR.SISTEMA VARIABLES PARAMETROSCantidad Potencial Flujo Resist. Capacit. Induct.GAS Volumen Presion F. gas RgCgTERMICO Calor Temperatura F. calor RtCtFLUIDO Volumen Nivel Caudal RfCfInertanciaTRASLACION Momentum Velocidad Fuerza f m1KROTACION Momentum Velocidad Torque f J1KELECTRICO Carga Voltaje Corriente ReCeLeTabla2.4:VariablesyParametrosempleadosen sistemasfsicoscomunesJ.RamrezyE.Rosero 50 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDAEjemplo1:qiChRq0Figura2.13:SistemahidraulicoParael sistemahidraulicode lagura 2.13, hallarH(s)Qi(s). Asumaujolaminar.C :V olumennivel h=Area de la secci on recta.R :nivel hcaudal de salida=hq0= Resistencia de salida.Leyfsicaempleada:Leydeconservaciondelamasa:Lquidoqueentramenosel quesaleesel lquidoacumulado.qidt qodt = CdhqihR= CdhdtRqih = RC..ldhdt H(s)Qi(s)=Rls + 1J.RamrezyE.Rosero 51 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDAEjercicio:Supongaqueestetanquedescargaen otrocon capacitanciaC2yresistenciade descarga R2; calcule la FdT entre el nivel del segundo tanque y el caudal qi.Ejemplo2:PiCPoqFigura2.14:Sistemaneum aticoHallarPo(s)Pi(s)parael sistemadegasdelagura2.14. Asumavariacionesdepeque nase nal ytemperaturaconstante.C :Cantidad de gasPresi on=Gas en el volumenPoR :Presi onCaudal=(PiPo)qLeyfsicaempleada:Leydeconservaciondelamasa:Gasa nadidomenosel quesale(cero)igual al gasalmacenado.qdt = CdPo(PiPo)R= CdPodtRC..gdPodt= (PiPo)J.RamrezyE.Rosero 52 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDA Po(s)Pi(s)=1gs + 1Ejercicio:CalculeP0(s)Pi(s)siexiste una resistencia de descarga R en el sistema neumatico.Ejemplo3:Intercambiador de calor en un recipiente termicamente bien aislado, donde:M: Mezclador, H: calentador y el lquido entra fro con ujo caa temperatu-raiysalecaliente atemperatura0.ca0q0MHqi2iqi1Figura2.15:Intercambiador decalorHallar o(s) parael sistemadelagura2.15. Asumaque soloexistetransferenciadecalorporconducci on(ujodecalorproporcional aladife-renciadetemperatura).C :Calor acumuladoTemperatura= mcpcp:calorespecco dellquido, m:masadellquido en eltanque.R :TemperaturaFlujo neto de calor=1cacpca:Velocidad deujodellquidoen estadoestableJ.RamrezyE.Rosero 53 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDALeyfsicaempleada:Leydeconservaciondecalor:Calorqueentramenosel quesaleeselqueseacumula.qi1dt +qi2dt q0dt = Cd0(2.1)cacpi +qi2cacp0= Cd0dt(2.2)i0 +Rqi2= RCd0dt(2.3)dondeRC= c o(s) =i(s)cs + 1+Rcs + 1Qi2(s)Ejercicio:Obtener los diagramas de bloque y la FdT para el sistema de seguimientodelsol descritoenelejercicio 4-10delapagina197dellibrodeKuo.([Kuo,1996]).2.1.7. Gracosdeujodese nal(GFS)Esunprocedimientoalternoparahallarlasrelacionesentre variablesdeunsistema.Suventajafrenteal algebradebloquesestribaenqueexistelaFORMULADEGANANCIADEMASONconlacualsepuedenencontrarestas relaciones sin necesidad de reducir el gr aco; cuando se tengan sistemascomplejos, es recomendable usaresta tecnica parael calculo de las funcionesdetransferencia.CaractersticasRepresentan un conjunto de ecuaciones algebraicas simultaneas Aplicarprimero laTransformadadeLaplace.Es una red en la cual los NODOS estan conectados por RAMAS condirecci on ysentido.J.RamrezyE.Rosero 54 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDACada nodo representa una variable del sistema y cada rama act ua comoun multiplicador dese nal.Unnodosumatodaslasse nalesdeentradaytransmiteestasumaatodaslasramasdesalida:Graco Y= a1X1 +a2X2 +a3X3 +a4Ya1X2X1b1YY1Y2b2a2a3X3a4Y1= b1Y Y2= b2YUnNODOMIXTO: (Nodoconramasdeentradaysalida)sepuedeconsiderar como un NODO DE SALIDA (Solo tiene ramas de entrada)a nadiendo unramaconTRANSMITANCIA(Gananciade larama)unitaria; estonoesvalidoparaun NODODEENTRADA (Nodosolocon ramasdesalida).Paraun sistemaelGFS noes unico.Las reglas del algebra de los diagramasde bloques se cumplen tambienparalosGFS:J.RamrezyE.Rosero 55 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDAX3a bX2X1=abX3X1aX2X1b =a+bX2X1aX2X1bcX3X4=acX2X1bcX4Ejemplo:G(s)R(s)+E(s) C(s)H(s)Figura2.16:DiagramadebloquesHallaryreducir elGFSdelagura2.16paralaformacan onica.J.RamrezyE.Rosero 56 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDASolucion:R(s) E(s)1G(s)1C(s)H(s)C(s)=R(s)G(s)1C(s)GH(s)C(s)C(s) = G(s)R(s) + (GH(s))C(s) =CR=G(s)1 +GH(s)DenicionesRuta: Cualquier conjunto de ramas en sucesion continua que se puede recorreren elmismosentido.Circuito: Rutaque partey termina en un mismo nodosin que ning un otronodoseencuentre masdeunavez.Rutadirecta: Es aquella que empieza en un nodode entrada y termina enun nododesalidasinpasarporning unnodomasdeunavez.Ejemplo:Formacanonica,gura2.17:FORMULA DEGANANCIA DEMASON:M=salent=N

k=1MKKDonde:M: Gananciaentre salyent.J.RamrezyE.Rosero 57 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDAR(s) E(s) 1G(s)1C(s)H(s)C(s)CircuitoRutaRuta DirectaFigura2.17:Formacanonicasal, ent: Variablesdelosnodosdesalidayentrada.N: N umerototalderutasdirectas.MK: Gananciadelak-esima rutadirecta. =_1 P11+

mPm2

mPm3+. . .Pmr: Gananciadelproductode la m-esima combinacion posible decircuitosquenosetoquen.En otrosterminos:=1 - (Suma de todas las ganancias de los circuitos individuales) + (Sumadelagananciadeproductos detodas las combinaciones posibles deparesdecircuitosquenosetoquen)- (Sumadelagananciadepro-ductosdetodaslascombinacionesposiblesdetrescircuitosquenosetoquen)+. . ..K: La para la parte del GFS que no se toque con la ruta directa k-esima.Ejemplo:AplicarlaformuladeMasonalaformacan onicaparahallarCR. delagura2.18Solucion:1. Unasolarutadirecta N=1,MK= M1= G(s)2. Un solocircuito Ganancia:P11=-GH(s).J.RamrezyE.Rosero 58 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDAR E1G1C-HCFigura2.18:Formacanonica3. Nohaycircuitosque nosetoquen Pmr=0.4. Larutadirecta setocaconel unicocircuito; 1=1.=CR=M11=G(s)1 P11=CR=G(s)1 +GH(s)Ejemplo:Aplicar laformuladeMasonalGFSdelagura2.19parahallarY3Y1.Y1 Y2 Y3-da-ge 1c bFigura2.19:Diagramadeujodese nalSolucion:J.RamrezyE.Rosero 59 GICI2.1. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONENTRADA-SALIDADostrayectorias orutasdirectas N=2,M1= ae; M2 = abcTrescircuitoscon ganancias:C1=-eg; C2=-bcg;C3=-d.C1yC3nosetocan. =_1 (eg bcg d) + deg..1 solo par de circuitosComohayunsolopardecircuitos unasolacombinacionposible. Si lostrescircuitosnosetocaran,habratrescombinacionesdeparesdecircuitosque no se tocan:C1C2, C1C3y C2C3y una combinacion de tres circuitos quenosetocan:C1C2C3. = 1 +eg +bcg +d +degElcircuitoC3notocalarutadirectaM1 existe1paralapartequenotocalarutadirecta 1:-d1 = 1 (d) =1 = 1 +dM2tocatodoelGFS 2 = 1=Y3Y1=M11+M22=Y3Y1=ae(1 +d) +abc1 +eg +bcg +d +degEjercicio:Resuelvaelejercicio 3propuestoen lasactividades deaprendizaje.J.RamrezyE.Rosero 60 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADO2.2. Sistemas an alogos enrepresentaci ondeestado2.2.1. IntroduccionLosmetodosclasicossebasanenrepresentacionesdeEntrada- Salida,como la funcion de transferencia (FdT) y los gracos de ujo de se nal (GFS).Unaalternativaeslarepresentacion mediante VARIABLESDEESTADO.El estadodeunsistemasereereasuscondicionespresente, pasadoyfuturo. El estado se puede describir por cifras, curvas, tablas, ecuaciones, etc;paraanalizarsistemasesconvenienterepresentarlosmedianteunconjuntoadecuado de variablesyecuacionesdeestado. Las variablesdeestado(V.E)deben cumplir lassiguientescaractersticas:En t = t0,laslasvariablesdeestadodenen losestadosiniciales.Dadaslasentradasparat>t0ylosestadosiniciales, lasV.Edenenporcompletoelcomportamientofuturodelsistema.Las variables deestadonosonlas salidas del sistema; las salidas sonlasvariables medibles y seran funcion de lasvariables de estado.No siempre lasvariablesdeestadosepuedenmedir;lalibertaddeelecci on delasvariablesdeestadoesunaventaja paraelanalisis.Ejemplo:CalcularlaevoluciondelacorrienteporelcircuitoRLdelagura2.20;siseaplicaunatension escal on demagnitudEi.EnestaredRLlahistoriaestaespecicadaporlacorrienteinicialdelabobinail(0+).Sie(t) = Ei(t)entonces, aplicandolaley devoltajesdeKircho:e(t) = Ri(t) +Ldi(t)dt(2.4)parat 0.AplicandolatransformadadeLaplace:E(s) = (R+Ls)I(s) Li(0) (2.5)I(s) =Eis(R +sL)+Li(0)R+sL(2.6)J.RamrezyE.Rosero 61 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOR Li(t) e(t)+Figura2.20:Red RLAplicandolatransformadainversa deLaplace:i(t) =EiR (1 eRtL) +i(0)eRtL(2.7)Estaecuaci ondeneel comportamientodelaredparat 0, luegosepuedeusarcomovariabledeestadoi(t), estoesdebidoaqueLalmacenaenergayes lacapacidadde almacenar energalaque dalainformacionsobrelahistoriadelsistema, lomismo sucedecon elvoltaje paraelcasodelcondensador.El usodelas variables deestadoparael analisis ydise nodesistemaslinealesdecontrol, enparticulardesistemasmultivariablespermitioenladecada de los 60s, un mejor control, mediante el uso de poderosas herramien-tasdedise noporsntesis, comoelcontroloptimoyadaptativo.Enlaactualidadestastecnicasseaplicanasistemasmultivariablesconrepresentacionentrada-salida (matrices de transferencia) yse puede ar-mar que ambasrepresentaciones son complementarias. Paralossistemas no-lineales ocuandoserequiera observarestadosinternos,larepresentacion deestadoeslamasapropiada.2.2.2. DenicionesESTADO: Elestadodeunsistemaesunconjuntomnimoden umerostalesqueel conocimientodeestosn umeros ydelasfuncionesdeentrada,juntocon lasecuaciones que describen la dinamica, proporcionanla salidayelestadofuturodelsistema.J.RamrezyE.Rosero 62 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOVARIABLESDEESTADO: Las variablesdeestadodeunsistemadinamico son el conjuntomnimo de variables cuyo conocimiento en cualquierinstantet0(usualmentet0=0), maslainformacionsobrelaentradaapli-cadaposteriormente, seasuciente paradeterminar elestadodelsistemaencualquier instantet t0.VECTOR DE ESTADO: Si se requieren nvariables de estado para de-scribir el comportamiento de un sistema, se pueden considerar las nvariablesde estadocomo ncomponentes de un vector X(t), llamado vector de estado.X(t) determina unvocamente el estado del sistema, especicada la entra-da,paracualquier t t0.ESPACIODEESTADO: Esel espacion-dimensional cuyosejesdecoordenadasson x1, x2, x3, . . . , xn(Las variables de estado); el estado del sis-temaserepresentaracomounpuntoen elespaciodeestado.ECUACIONESDEESTADO: Paraunsistemaconpentradasyqsalidas (lineal o no lineal, variante o invariante), las ecuaciones de estado delsistemaseran escritasdelaforma:dXi(t)dt. .= fi[x1(t), x2(t), . . . , xn(t); r1(t), r2(t), . . . , rp(t)]i = 1, 2, 3, . . . , nx1(t), x2(t), . . . , xn(t) : V ariables de estador1(t), r2(t), . . . , rp(t) : Entradas. .Soloderivadasdelas Solovariablesdeestadoyentradas.variablesdeestadoECUACIONDESALIDA: Relacionalassalidasdel sistemaconlasvariablesdeestadoylasentradas:Ck(t) = gk[x1(t), x2(t), . . . , xn(t); r1(t), r2(t), . . . , rp(t)]k= 1, 2, 3, . . . , nCk(t) : Elementos delvectordesalidas = [c1(t), c2(t), . . . , cn(t)]ECUACIONESDINAMICAS:Esel conjuntode ecuaciones de esta-doydesalida.J.RamrezyE.Rosero 63 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOEjemplo:Ecuacionesdeestadoparaelcircuitodelagura2.21; Aplicandolaleydevoltajes deKircho:R Li(t)Ce(t)++ec(t)Figura2.21:CircuitoRLCe(t) = Ri(t) +Ldi(t)dt+1C_i(t)dtConsideramosdoscasosparalaselecci on delasvariablesdeestado.1. Apartirdeestaecuaci on integro-diferencial, sepueden escribir lasecuacionesdeestado,deniendolasvariablesdeestadocomo:x1(t) = i(t); x2(t) =_i(t)dte(t) = Rx1(t) +Ldx1(t)dt+1Cx2(t)dx2(t)dt= i(t) = x1(t)Reordenandoobtenemoslasecuaciones deestado:dx1dt= RLx1(t) 1LCx2(t) +1Le(t)dx2dt= x1(t)J.RamrezyE.Rosero 64 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOSonecuaciones diferenciales deprimerorden.Cuandosepartedeunaecuaci on diferencial ointegro-diferencial, elobjetivo conelcualsedenen lasvariablesdeestadoeseldeobtenerecuacionesdiferenciales deprimer orden.2. Denirlasvariablesdeestadodeacuerdocon loselementos delaredquealmacenan energa:V.E: iL= x1, VC= x2_Paralograrprimeras derivadasen elprimer miembro:Tension en L: Ldil(t)dt= Ri(t) eC(t) +e(t)Corriente en C: CdeC(t)dt= i(t)Despejandoyreemplazandolasvariablesdeestadoseobtienen lasecuacionesdeestado:dx1dt= RLx1(t) 1Lx2(t) +1Le(t)dx2dt=1Cx1(t)Ecuacion deestadode1.y2.distintas!.Por el caracter no unicode las V.Ese puedentener distintas ecuacionesdinamicaspararepresentarun sistema.Generalmente, parasistemaslineales e invariantes, lasecuaciones dinamicassepueden escribir delaforma:E.Edxidt= =

ni=1_

nj=1aij xj(t) +

pk=1bik rk(t)_E.S Ck(t) = =

qi=1_

nj=1cijxj(t) +

pk=1dik rk(t)_i, j, k = 1, 2, 3, . . . ,J.RamrezyE.Rosero 65 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOSielsistemaeslinealeinvarianteen eltiempo,loscoecientes sonconstantes.Sielsistemaesvarianteloscoecientes en lasecuacionesdinamicasseran funci on deltiempo.Sielsistematiene nolinealidades suavesloscoecientes seran funcionesnolineales delosestadosylasentradas.2.2.3. RepresentacionmatricialSedenen lasmatrices columnaovectores:X(t) =__x1(t)x2(t)...xn(t)__. .V ector de estadoR(t) =__r1(t)r2(t)...rp(t)__. .V ector de entradaC(t) =__c1(t)c2(t)...cq(t)__. .V ector de salidaLasecuacionesdinamicasseexpresan como:dX(t)dt= F_X(t), R(t)_C(t) = G_X(t), R(t)_DondeF, Gsonmatrices columnade(nx1)y(qx1)respectivamente.Sielsistemaeslinealeinvariante, lasecuaciones dinamicasseran:Ecuaciondeestado :dX(t)dt= A(nxn)X(t) +B(nxp)R(t)Ecuaciondesalida : C(t) = E(qxn)X(t) +D(qxp)R(t)Donde:A =__a11a12. . . a1na21a22. . . a2n............an1an2. . . ann__B=__b11b12. . . b1pb21b22. . . b2p............bn1bn2. . . bnp__E=__c11c12. . . c1nc21c22. . . c2n............cq1cq2. . . cqn__D=__d11d12. . . d1pd21d22. . . d2p............dq1dq2. . . dqp__J.RamrezyE.Rosero 66 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOEjemplo:Expresando las ecuaciones de estado obtenidas para el circuito RLC se tiene:__dx1(t)dtdx2(t)dt__=_ RL1L1C0_. .A_x1(t)x2(t)_+_1L0_. .Be(t)2.2.4. Representaciondesistemasenelespaciodees-tadoLas ecuaciones dinamicas se pueden obtener directamente desde el sistemadinamico,utilizandovariablesdeestadofsicas;tambiensepuedenobtenerdesdelas ecuacionesdiferencialesolas funciones detransferencia, usandotecnicasdedescomposicion[Kuo, 1996]; lagura2.22ilustralasrelacionesentre estastresrepresentaciones.Sistema Dinamico (L, I)Ecuaciones diferencialesEcuaciones dinamicasE.E, E.SFunciones detransferenciaRepresentacionFigura2.22:Representacion desistemasen espaciodeestadosEcuacionesdinamicasapartirdelsistemaLasecuacionesdinamicasseobtienen directamente delsistema,seleccio-nando como variables de estado aquellas variables de los elementos dinamicosdel sistemaquepermitencalcularlaenergaalmacenadaenel elementoencualquier instante (asignacion unica).Latabla 2.5 muestra las energas y lasvariablesdeestadoparadiversoselementos fsicos.En general, no hay una unica va en la selecci on de las variables de estadofsicas para el metodo se naladoarriba. Solo se deben escoger variables fsicasJ.RamrezyE.Rosero 67 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOELEMENTO ENERGIA V.EFISICACondensadorCCV22TensionVInductanciaLLI22CorrienteIMasamm22Velocidad linealMomentodeInercia JJ22Velocidad rotacionalResorteKKx22DesplazamientoxComprensibilidad deluido2KsP2KsPresionPCapacitanciadeluidoA2Ah22Nivel hCapacitanciatermicaCC22TemperaturaTabla2.5:VariablesdeestadofsicasJ.RamrezyE.Rosero 68 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOindependientes.Lasvariablesdeestadoindependientessonaquellasquenopuedenserexpresadasenterminosdelasrestantesvariablesdeestadosele-ccionadas.Enalgunossistemassepodranrequerirmasdelasvariablesdeestadoaso-ciadasaloselementos almacenadoresdeenerga,dependiendodelassalidasrequeridas.Ejemplo: Modelo en varaibles de estado del motor de corriente continua(CC),ver gura2.23:RaLaiaeg ea+if= ctet+Jm mfFigura2.23:ModelomatematicodelmotorCCEcuacion 1:ea= Raia +Ladiadt+eg(2.8)Ecuacion 2:eg= Kbdmdt= Kbm(2.9)Ecuacion 3:t = KTia(2.10)Ecuacion 3:Jdmdt+fm= t (2.11)J.RamrezyE.Rosero 69 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOV.E:_En La: ia= x2En J : = x1_Entrada : eaSalida : = x1Reemplazandolasvariablesdeestado:ea= Rax2+ La x2+ Kbx1J x1+ fx1= KTx2Reordenando :_ x1= fJx1+KTJx2 x2= KbLax1RaLax2+eaLaEcuacion de estado_____ x1 x2__. .X=__fJKTJKbLaRaLa__. .A__x1x2__. .X+__01La__. .Bea..REcuacion de salida___..Y=_1 0. .E_x1x2_. .XSimtambien es unasalida requerida, debe considerarse otravariable deestadox3=m;considerandoselaecuaci ondiferencial:m=; x3=x1ym= x3.En talcaso,ladescripci on delsistema porvariablesdeestadosera:__ x1 x2 x3__=__fJKTJ0KbLaRaLa01 0 0____x1x2x3__+__01La0__ea__m__=__1 0 00 0 1____x1x2x3__J.RamrezyE.Rosero 70 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOEcuacionesdinamicasapartirdelasecuacionesdiferencialesUnsistemafsicotambienpuedeser representadopor ecuaciones dife-rencialesofuncionesdetransferencia;cuandoserepresentaporecuacionesdiferenciales es de interes obtener las ecuaciones dinamicas parauna entradasinderivadas,conderivadasyparam ultiplesentradasconosinderivadas.Otros casos es mejor tratarlos pasando las ecuaciones diferenciales a funcionesdetransferenciaydeahalasecuacionesdinamicas.1. Entrada unicasinterminosderivativosdnc(t)dt+a1dn1c(t)dt+a2dn2c(t)dt+. . . +an1dc(t)dt+anc(t) = r(t)Se deseapasar a necuaciones de estado yuna ecuaci onde salida,deniendo lasnvariables deestadoen funcion de c(t) ysusderivadas;comolasvariablesdeestadonoson unicas,esimportanteasignarlasvariablesdeestadodelamaneramasconveniente, en este casocomo:x1(t) = c(t); x2(t) =dc(t)dt; x3(t) =d2c(t)dt; . . . ; xn(t) =dn1c(t)dtAs, lasecuacionesdeestadoson:V.E de Fase___dx1(t)dt= x2(t)dx2(t)dt= x3(t)dx3(t)dt= x4(t)......dxn1(t)dt= xn(t)Despejandoladerivadadeordensuperiordelaecuaci ondinamicate-nemos:dxndt=anx1(t) an1x2(t) . . . a2xn1(t) a1xn(t) +r(t)Si laEcuaci ondeSalidaes: c(t)=x1(t),podemosexpresarlasecua-cionesdiferenciales como:dXdt= AX(t) +BR(t)J.RamrezyE.Rosero 71 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOC(t) = EX(t)Donde:A =__0 1 0 0 0 . . . 00 0 1 0 0 . . . 00 0 0 1 0 . . . 0.....................0 0 0 0 0 . . . 1anan1an2an3an4. . . a1__(nxn)B=__00...1__(nx1)E=_1 0 . . . 0(1xn). .Forma Canonica ControlableEsta forma tambien se conoce como forma can onica de variables de faseoformacanonicaasociada.Esta representacion tiene ciertas caractersticas que facilitan el an alisisydise no(porrealimentaciondeestadosepuedenasignar arbitraria-mente losmodosdel sistema)delsistemadinamico.Ejemplo:Sealaecuaci on diferencial:d3c(t)dt3+ 5d2c(t)dt2+dc(t)dt+ 2c(t) = r(t)Despejandoeltermino delamaxima derivada:d3c(t)dt3= 5d2c(t)dt2dc(t)dt 2c(t) + r(t)Deniendo:x1= c(t); x2=dc(t)dt; x3=d2c(t)dtEcuaciondeestado_____ x1 x2 x3__=__0 1 00 0 12 1 5____x1x2x3__+__001__r(t)J.RamrezyE.Rosero 72 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOEcuacion de salida___c(t) =_1 0 0__x1x2x3__2. Entrada unicaconterminosderivativosSealaecuaci on diferencial:cn+a1cn1+. . . +an1 c+anc = b0un+b1un1+. . . +bn1 u+bnuSisetoman como variablesde estadoac(t) y sus(n 1)derivadas,seobtiene: x1= x2 x2= x3 x3= x4...... xn= anx1an1x2. . . a1xn +b0un+b1un1+. . . +bn1 u +bnuc(t) = x1Debido alosterminos derivativos dela n-esima ecuaci on deestado, nosellegaalaformanormalizada.Tratandode mantener la matriz A de la forma can onica controlable, sedeneelsiguiente conjuntodevariablesdeestado: x1= x2 +1u x2= x3 +2u x3= x4 +3u...... xn= xn1 +n1uc(t) = x1 +0uLas constantes ise obtienen reemplazando c(t) en la ecuaci on diferen-cial; as1(Ogata[1993]):1Ver ejemplo A-3-3 del libro de OgataJ.RamrezyE.Rosero 73 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADO0= b01= b1a102= b2a11a203= b2a12a21a30......n= bna1n1. . . an11an0Conestaelecci on lasecuacionesdinamicasdelsistema seran:X= AX(t) +BuC(t) = EX(t) +DuDonde:X=__x1x2x3...xn1xn__; A =__0 1 0 0 0 . . . 00 0 1 0 0 . . . 00 0 0 1 0 . . . 0.....................0 0 0 0 0 . . . 1anan1an2an3an4. . . a1__B=__123...n1n__; E=_1 0 0 0 . . . 0; D = 0= b0Otraformadeasignar las variables deestadoparaobtener Aenlaformacanonicacontrolableeslasiguiente:Utilizando el operador D =ddt, c(t) a partir de la ecuaci on diferencial,sera:(D(p) = pn+a1pn1+. . . +an1p +an)c(t) =b0pnD(p)u +b1pn1D(p)u + . . . +bn1pD(p)u +bnD(p)uJ.RamrezyE.Rosero 74 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOSeleccionando comovariablesdeestado:x1=uD(p); x2=puD(p); . . . xn1=pn2uD(p) ; xn=pn1uD(p)seobtienen lasrelaciones: x1= x2 x2= x3 x3= x4. . . xn1= xn x1= x3...x1= x4. . . xn11= xndex1 =uD(p)tenemos:xn1+ a1xn11+ . . . + an1 x1+ anx1= u xn +a1xn +a2xn1 +. . . +an1x2 +anx1 = uAslasecuacionesdeestadoseran: x1= x2 x2= x3 x3= x4...... xn= a1xna2xn1. . . an1x2anx1 +uTambien, apartir de lasanteriores relaciones se obtiene la ecuaci on desalida:c(t) = (bnb0an)x1 + (bn1b0an1)x2 + + (b1b0a1)xn +b0A =__0 1 0 0 0 . . . 00 0 1 0 0 . . . 00 0 0 1 0 . . . 0.....................0 0 0 0 0 . . . 1anan1an2an3an4. . . a1__B=__000...01__D= b0E=_(bnb0an) (bn1b0an1) (bn2b0an2) . . . (b1b0a1)J.RamrezyE.Rosero 75 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADO3. Entradasysalidasm ultiplesEcuacion deestado:Xnx1 = AnxnXnx1 +BnxpRpx1Ecuacion desalida:Cqx1 = EqxnXnx1 +DqxpRpx1Ao Matriz del sistema: Determina la dinamica interna (movimientospropios)del sistema;estarelacionadaconeldenominadordelaFdT;esdedimension nxn.n: n umero de variables de estado =N umero de elementos almace-nadoresdeenerga=ordendelsistema.BoMatriz deentradaodedistibucion: Dimensionnxp. Indi-cac omoexcitan alsistemalaspentradas.Eo Matrizdesalida odeobservacion: Dimension qxn. Determinacomosetransmiteelestadointernoalasqsalidas;permiteobservaratravesdeellas elestadointernodelsistema.Do Matrizdeacoplamientoodeinterconexion: Dimension qxp.Indica el acoplamiento directo entre la salida y la entrada, en la mayoradelossistemasdecontrolDesnula;seradistintadeceroensistemascon igualn umerodepolosyceros.Las ecuaciones dinamicas se pueden representargracamente usando echasdoblesparalosvectores y losbloquesparalasmatrices, comosemuestra enlagura2.24.Deformasimilaralossistemasmonovariables, sepuedeninterconectardistintossistemas,bien seaen cascada,paralelooenrealimentacion.EcuacionesdinamicasapartirdelasfuncionesdetransferenciaSea:G(s) =C(s)R(s)=b0sn+b1sn1+...bn1s +bnsn+a1sn1+...an1s +an(2.12)J.RamrezyE.Rosero 76 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADO

+ABDEX XCR+++Figura2.24:Modelomatricialdeun sistemaen EspaciodeEstadosAunquehaymuchasformas deobtenerlarepresentacionpor variables deestadoa partirde lafuncion de transferencia en este puntosolo se trataraelmetododirecto.MetododirectoCon este metodo no se requiere que la funcion de transferencia se encuen-trefactorizada(esequivalente alpresentadocon eloperadorP):Se divide el numerador y el denominador por la maxima potencia en s:C(s)R(s)=b0 +b1s1+...bn1sn+1+bnsn1 +a1s1+...an1sn+1+ansn(2.13)DespejandoC(s):C(s) = b0R+(b1b0a1)s1+ (b2b0a2)s2+... + (bnb0an)sn]R1 +a1s1+...an1sn+1+ansn(2.14)DeniendolavariableauxiliarY (s) =R1 +a1s1+...an1sn+1+ansn(2.15)seobtiene:C(s) = b0R+(b1b0a1)s1+(b2b0a2)s2+... +(bnb0an)sn]Y (s)(2.16)J.RamrezyE.Rosero 77 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOY (s) = R a1s1Y (s) a2s2Y (s)... ansnY (s) (2.17)Escogiendocomovariablesdeestadoa:x1 = snY (s) (2.18)x2= sn+1Y (s) (2.19)x3= sn+2Y (s) (2.20)... (2.21)xn= s1Y (s) (2.22)seobtienen lassiguientesecuaciones dinamicas:Ecuacionesdeestado: x1 = x2(2.23) x2 = x3(2.24)... (2.25) xn= Y (s) = R a1xna2xn1...anx1(2.26)Ecuacionesdesalida:c(t) = b0R+(b1b0a1)xn+(b2b0a2)xn1+... +(bnb0an)x1(2.27)Esta representacion es la forma canonicacontrolabley utiliza variablesdeestadodefase.Ejemplo:Para el sistema de control de la gura 2.25, obtener la representacion porvariablesdeestadoconlamatriz Adelaformacanonicacontrolable.La representacion puede obtenerse aplicando a la funcion de transferenciadelsistema,elmetododirecto:C(s)R(s)=160(s + 4)s3+ 18s2+ 192s + 640(2.28)entonces:C(s)R(s)=160s2+ 640s31 + 18s1+ 192s2+ 640s3(2.29)J.RamrezyE.Rosero 78 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOC(s)+4(s+4)s+16R(s)40s(s+2)Figura2.25:Ejemploentonces:C(s) = (160s2+ 640s3)Y (s) (2.30)con:Y (s) =R(s)1 + 18s1+ 192s2+ 640s3(2.31)deesta ultimaexpresion:Y (s) = R(s) 18s1Y (s) 192s2Y (s) 640s3Y (s) (2.32)Deniendolasvariablesdeestado:x1 = s3Y (s) (2.33)x2 = s2Y (s) (2.34)x3 = s1Y (s) (2.35)seobtienen lasecuacionesdeestado: x1 = x2(2.36) x2 = x3(2.37) x3 = 1Y (s) (2.38)entonces: x3= r(t) 18x3192x2640x1(2.39)laecuaci on desalidaseobtiene apartirdeC(s):c(t) = 160x2 + 640x1(2.40)J.RamrezyE.Rosero 79 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOLasecuacionesdinamicasen representacion matricialson:__ x1 x2 x3__ =__0 1 00 0 1640 192 18____x1(t)x2(t)x3(t)__+__001__r(t)c(t) =_640 160 0__x1(t)x2(t)x3(t)__Otrosmetodosquellevan aformascan onicasson:Anidado:lleva alaformacan onicaobservableExpansionen fraccionesparciales:lleva alaformacanonicadeJordanKuo[1996].2.2.5. DiagramadeestadoEldiagramade estado es la representacion gracade un sistema descritomediante variablesde estado;usualmente se utilizan parasu representacion,losgrafosdeuenciaporlocual seconstruyesiguiendolasreglasdeestos.Lacaractersticamasimportantedeestosdiagramasesqueestablecenunaestrecha relacion entre:LasecuacionesdeestadoLasecuacionesdeferencialesLasolucion delasecuaciones deestadoLasimulaci on porcomputadorLasoperacioneslinealesbasicasqueaparecenenundiagramadeestadoson:Multiplicacion porunacostanteSumaalgebraicadevariablesIntegracionJ.RamrezyE.Rosero 80 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOEstasoperacionestienenlasiguienterepresentacionmediantegrafosdeuencia:MultiplicacionX2(s) X1(s)x1(t)x2(t) a1Figura2.26:Multiplicacionyseobtienen lasecuacionesalgebraicasen tiempoyfrecuencia:x2(t) = a1x1(t) (2.41)X2(t) = a1X1(t) (2.42)Sumaa1X2(s)X1(s)X3(s)x1(t)x2(t)x3(t)a2a3x4(t)X4(s)Figura2.27:Sumayseobtienen lasecuacionesalgebraicasen tiempoyfrecuencia:x4(t) = a1x1(t) +a2x2(t) +a3x3(t) (2.43)X4(s) = a1X1(s) +a2X2(s) +a3X3(s) (2.44)J.RamrezyE.Rosero 81 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOIntegracionx1(t) =_tt0ax2()d+x(t0) (2.45)x1(t0)X2(s)aX1(s)s11x1(t0)sX2(s)as11X1(s)Figura2.28:IntegracionRealizandolatransformadadeLaplace:X1(s) = aX2(s)s+x1(t0)s(2.46)para t0.Estaexpresion esunaecuaci on algebraicaen frecuencia.Estasgracasdelamultiplicacion, sumaeintegraci on seranloselemen-tos basicos delos diagramas deestado; comoseobserva, seincluyeenlarepresentacion, lascondicionesiniciales, caracterstica importantedelades-cripcion desistemasmediante variablesdeestado.DelaecuaciondiferencialaldiagramadeestadoAunqueeste enfoque directonosiemprees el mas conveniente, puedeconstruirseun diagramadeestadoapartirdeunaecuaci on diferencial.dndtnc(t) +a1dn1dtn1c(t) +a2dn2dtn2c(t) +.. +an1ddtc(t) +anc(t) = r(t) (2.47)Despejandoelterminoenesimo:dndtnc(t) = a1dn1dtn1c(t) a2dn2dtn2c(t).. an1ddtc(t) anc(t) +r(t) (2.48)J.RamrezyE.Rosero 82 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOconsiderandocomonodosalasvariables:r, c,ddtc(t),d2dt2c(t)... dndtnc(t) (2.49)RealizandolatransformadadeLaplace,seobtiene:R(s), C(s), sC(s), s2C(s)...snC(s) (2.50)Interconectandolosmediantelos grafos delas operaciones basicas pararepresentar la ultima ecuaci on, se obtiene el diagrama de estado de la ecuaci ondiferencial:cn1(t0)scn2(t0)s c(t0)sc(t0)ss1s1s1snCsn1C sn2CsC Ca1a2an1anxnxn1x2x1R1 1CFigura2.29:Diagramadeestadodelaecuaci on diferencialSeasignacomovariablesdeestadocadaunodelosnodos desalidadelas integraciones; por tantoeste diagramade estado, representalaformacan onicacontrolable.SolucionAnalticaConlaecuaci on deestado:ddtX(t) = AX(t) +BR(t) (2.51)J.RamrezyE.Rosero 83 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOylaecuaci on desalida:C(t) = EX(t) +DR(t) (2.52)yaplicandolatransformadadeLaplaceala ecuaci on deestado,obtenemos:SX(s) X(0) = AX(s) +BR(s) (2.53)entoncesX(s) = (sI A)1X(0) + (sI A)1BR(s) (2.54)Aplicando la transformada de Laplace a la ecuaci on de salida y reemplazandoobtenemos:C(s) = E(sI A)1X(0) +E(sI A)1BR(s) +DR(s) (2.55)Los vectores deestadoydesalidaseran: 1X(s)y1C(s). Lasolucion delaecuacionesdinamicasseveraen detalle masadelante.Comoseobserva, serequiereparalasolucion,elcalculode(sI A)1;con el diagrama de estado esta operacion se puede realizar usando la formulade Ganancia de Mason con Xi(s), i = 1, 2, .., n como nodosde salida y Xi(0),i = 1, 2, .., nyRj(j),j= 1, 2, .., pcomonodosdeentrada.Ejemplo:Hallar la solucion analtica parael siguiente sistema, con condiciones ini-ciales igualesacero:R(s) =1s1s1s24x2x1C(s)1 1Figura2.30:EjemploAplicandolaformuladegananciaconR(s)comonododeentradayX1,X2comonodosdesalida:J.RamrezyE.Rosero 84 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOX1(s) =s2R(s)1 + 2s1+ 4s2=R(s)s2+ 2s + 4(2.56)X2(s) =s1R(s)1 + 2s1+ 4s2=sR(s)s2+ 2s + 4(2.57)entonces:_X1(s)X2(s)_ =1s2+ 2s1+ 4_1s_R(s)con R(s) =1s,yaplicandolaTransformadainversadeLaplace:_x1(t)x2(t)_ _14(1 + 1,15etsen(1,73t +43 ))12(1,15etsen(1,73t))_parat 0,ylasalidaseobtienecomo:c(t) =_1 0_x1x2_reemplazando:c(t) =14(1 + 1,15etsen(1,73t +43)) t 0 (2.58)DeldiagramadeEstadoalaFunciondeTransferenciaLafunciondetransferenciaentreunaentradayunasalidaseobtieneapartir deldiagramade estadoconsiderandoatodaslasdemas entradasy losestadosiniciales nulos.EjemploPara el sistemadel ejemploanterior, X1(0)=X2(0)=0ysolohayunaentrada,portanto:C(s)R(s)=1s2+ 2s + 4(2.59)J.RamrezyE.Rosero 85 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADODeldiagramadeestadoalasecuacionesdinamicasLasecuacionesdinamicaspuedenobtenerseapartirdeldiagramadees-tado,aplicandolaformulade ganancia;comoen lasecuacionesdiferencialesnoaparecencondicionesinicialesni el operadorsdeLaplace, nosedebenconsiderarlasentradasdecondicionesinicialesni lasramasdeintegracionS1;paraescribirlasecuacionesdeestadosedebenconsiderarlasprimerasderivadasdelasvariablesdeestadocomonodosdesalidaylasvariablesdeestadoy entradascomonodosdeentrada; paralaecuaci on desalidalosno-dos de salida son las salidas Cy los nodosde entrada, las variables de estadoylasentradasdelsistemar.EjemploObtenerlas ecuacionesdeestadodirectamentedel diagramadeestadoparaelsistemadelosejemplos anteriores.EliminandolasramasdegananciaS1eldiagramaqueda:r(t)24x2x11 1c(t) x2 x1Figura2.31:Ejemplo x1 = x2(2.60) x2 = 4x12x2 +r(t) (2.61)c(t) = x1(2.62)Porsupuesto, laformuladegananciayel procedimientoanteriorserandemayorutilidad parasistemasdemayorordenyconm ultiplesentradasysalidas(MIMO).J.RamrezyE.Rosero 86 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADO2.2.6. Ecuacioncaracterstica, valores propios yvec-torespropiosComo se sabe, la ecuacioncaracterstica juega un papel importante enel estudio de los sistemas lineales; de unafuncion de transferencia se obtieneigualandoaceroel denominador;delossistemasdescritosporvariablesdeestadotambienpuedeobtenerse. Delaecuaci on2.55sedene lafunciondetransferencia(si RyCsonescalares)comoC(s)/R(s)concondicionesiniciales igualesacero.LuegoG(s) =C(s)R(s)= E(sI A)1B +D (2.63)(sI A):NosingularG(s) = Eadj(sI A)[sI A[B +DG(s) =E[adj(sI A)]B +[sI A[D[sI A[Luego,laecuaci on caracterstica sera:[sI A[ = 0EjemploHallarlaecuaci on caracterstica paraelsistema: x1 = x2 x2= 2x13x2 +rc(t) = x2Delsistema:A =_0 1-2 -3_sI A = s_1 00 1__0 1-2 -3_ =_s 00 s__0 1-2 -3_J.RamrezyE.Rosero 87 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOsI A =_s -12 s + 3_E.C= [sI A[ = s(s + 3) + 2 = s2+ 3s + 2Lasraces de la ecuaci on caracterstica se denominan valorespropios de lamatriz A; observese que siel sistema se daen la forma can onicacontrolable,loscoecientesdelaecuaci oncaracteristica: sn+ a1sn1+ ... + anvienendadosen la ultimaladelamatriz AEjemploLa matriz A del ejemplo anterior esta en la forma can onica controlable; luegola ultimalasera a2, a1EC:s2+ 3s + 2 = 0(s + 1)(s + 2) = 0ValorespropiosdeA:1= 1;2= 2Se dene como vectorpropio de A al vector Pique satisface la ecuaci onmatricial:(iI A)Pi= 0i:i-esimovalorpropiodeAPi:VectorpropiodeAasociadocon elvalorpropioiEjemploLosvectorespropiosparaelsistemadelejemploanterior,P1asociado1=1: (I A)P1 = 0__-1 00 -1__0 1-2 -3__ _p11p12_ = 0_-1 -12 2_ _p11p12_ = 0_ p11p12 = 02p11 + 2p12= 0_p11= p12J.RamrezyE.Rosero 88 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOUnasolaecuaci onparadosinc ognitas innitassoluciones asumiendop11= 1 p12= 1P1=_11_p2asociadoa2= 2:(2I A)P2= 0 _ 2 12 1_ _p21p22_ = 02p21p22= 02p21 +p22 = 0_p22= 2p21; sip22 = 2 p21= 1P2=_ 12_2.2.7. MatricesdeTransferenciaSien laecuaci on 2.55C(s)es unvector de qsalidasyR(s)un vector depentradas:G(s) =C(s)R(s)= E(sI A)1B +DG(s)esunamatriz detransferenciasdedimensiones(qxp)__C1C2...Cq__ =__G11G12. . . G1pG21G22. . . G2p.........Gq1Gq2. . . Gqp____R1R2...Rp__Elelemento Gijrelacionaralaentradaj-esimacon lasalidai-esima.J.RamrezyE.Rosero 89 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOEjemploObtenerG(s)paraelsistemadescritopor:d2c1dt2+ 4dc1dt 3c2= r1dc2dt+dc1dt+c1 + 2c2= r2conx1= c1x2= c1x3= c2Larepresentaci on vectorial-matricial delsistema, sera:__dx1dtdx2dtdx3dt__ =__0 1 00 4 31 1 2____x1x2x3__+__0 01 00 1___r1r2__C1C2_ =_1 0 00 0 1___x1x2x3__Calculandoprimero (sI A)(sI A) =__s 1 00 s + 4 31 1 s + 2__[sI A[ = s3+ 6s2+ 11s + 3(sI A)1=1[sI A[__s2+ 6s + 11 s + 2 33 s(s + 2) 3s(s + 4) (s + 1) s(s + 4)__G(s) = E(sI A)1BG(s) =_1 0 00 0 1_1[sI A[__s2+ 6s + 11 s + 2 33 s(s + 2) 3s(s + 4) (s + 1) s(s + 4)____0 01 00 1__J.RamrezyE.Rosero 90 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOG(s) =1s3+ 6s2+ 11s + 3_s + 2 3(s + 1) s(s + 2)_Ejercicio:Resuelvaelejercicio 4propuestoen lasactividades deaprendizaje.ResumenEnestecaptulosehapresentadoel modeladomatematicodesistemaslineales utilizando funciones de transferencia, diagramas de bloques y gracasde ujo de se nal. La funcion de transferencia de un sistema lineal se deni o apartirdeaplicarlaTransformadadeLaplacealaecuaci ondiferencial,sinconsiderar lascondiciones iniciales. Un metodopoderosopararepresentar lainterrelacion entre se nalesde un sistema lineal es la gracade ujo de se nal,permiteobtenerlasfuncionesdetransferenciaentrevariablesdeentradaydesalidadeunsistemalinealutilizandolaformulaganancia.Estecaptulotambienestuvodedicadoal modeladomatematicodesis-temasfsicos, sedescribieron lasrelacionesmatematicasbasicasdesistemaselectricos, hidraulicos, termicos y mec anicos. Para sistemas lineales, las ecua-ciones diferenciales, las ecuaciones de estadoy lasfunciones de transferenciason las herramientas fundamentales para el modelado. Se realizo tambien unaintroducci on almodeladoporespaciodeestado.Actividadesdeaprendizaje1. Realice unalecturareexiva ycrtica delmaterialdelcurso.2. Paralasguras2.32y2.33.a) Hallarlasalidaparaelsiguiente diagramadebloques:b) Reducir elsiguiente diagramaalaformacanonica:J.RamrezyE.Rosero 91 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOR2H3CH1G2G3H1+++G1++R1Figura2.32:Figura1H1CH3G2G3H2+++G1R1Figura2.33:Figura23. Paralasguras2.34y2.35delosejerciciospropuestosdediagramasdebloques:a) ObtengaelGFS ycalcule C(s) utilizandolaformula degananciadeMason.b) CalculeY6/Y1paralossiguientesGFS.4. El siguientejuegodeecuacionesdiferenciales,representaladinamicadeun sistemamultivarible: c12c2 +c1= 0 (2.64) c2 + 3 c2 + 8c2 + 3c1= u1 + 3u1 + 3u2(2.65)Conc1(0) = 1,u1(0) = u2(0) = 0,c2(0) = 1, c2(0) = 0J.RamrezyE.Rosero 92 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOY1Y2 Y3 Y4Y5Y61 1 G1 Y4 G3G4-H4H1H3H2Figura2.34:Gracodeujodese nal1Y1Y2 Y3 Y4Y5Y61 1 G1 G2 G3H1H3H2H4G4G5Figura2.35:Gracodeujodese nal2a) Denaunconjuntoadecuadodevariablesdeestadoyconstruyaeldiagramadeestado.b) Calculelaevoluci on temporaldec1(t)yc2(t)debidoalascondi-cionesiniciales, u1 = u2= 0.c) Calculelaecuaci oncaracterstica, losvalorespropios yvectorespropiosasociadosalsistema.d) Obtengalamatrizdetransferencia delsistema.J.RamrezyE.Rosero 93 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADO5. Paralagura1.15delcapitulo1(examen 2003):a) Construyaun diagramadebloquesdelsistema,usandofuncionesde transferencia para representar los diferentes componentes yecuaciones.b) Aplicar la formula de Mason al diagrama de bloques anterior parahallarCRdelagura1.15.6. (Evaluacionfebrerode2004) Lagura2.36muestrael diagramadeinstrumentacion deunsistemadecalentamiento.CajaElectrica+Productofroi: Corriente en la bobinaProductocalienteTanque 1Tanque 2ChaquetaBombaAgitador 1TT2C2 R2V2R3a3 b3TT3 C3C1LTV1R1qa: caudal aguaAguaV3Figura2.36:Sistema decontrola) (30 %)Identiqueyrelacioneslosdiferenteselementosyse nalesde la bucla de realimentacion tpica para el control de temperaturadelproducto.J.RamrezyE.Rosero 94 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOb) (70 %)Eneltanque2,TT3generaunase nalel`ectrica b3propor-cional alatemperaturadelaguaeneltanqueconfactork1;elcontroladorc3implementa laley decontrol:a3(t) = kp(R3(t) b3(t)) +kpTi_t0(R3b3)d (2.66)Lacaja electrica generaunatension V3que obedecea larelacion:k2v3=a3. LabobinasemodelaconinductanciaLyresistenciainternaR. Latransferenciadecalorenel tanque2obedecealaecuaci on diferencial:Tddt= k3i(t) kaqa (2.67)Obtenga un graco de ujo de se nal que represente el sistema de controldetemperaturaen eltanque2.7. El siguientejuegodeecuacionesdiferencialesrepresentaaunsistemadinamico: c1 +c1 +c2= u1(2.68)c1(0) = 0 c2 +c2c1 = u2(2.69)c2(0) = 1a) (20 %) Dena un conjunto adecuado de variables de estado yobtengalasmatrices A,B, CyDdelasecuacionesdinamicas.b) (15 %)Construyaeldiagramadeestado.c) (15 %) Calcule c1(s) debida a las condiciones iniciales; u1=u2 = 0.d) (10 %)Calcule laecuaci on caractersticadelsistema.e) (10 %)Calcule losvalorespropiosdelsistema.f ) (10 %)Calcule losvectores propiosasociadosalsistema.g) (20 %)Obtengalamatriz detransferenciadelsistemaJ.RamrezyE.Rosero 95 GICI2.2. SISTEMASANALOGOSENREPRESENTACIONDEESTADOLecturascomplementariasDominguezS.,CampoyP.,SebastianJ.,Jmenez.Control eneles-paciodeestado.Prentice Hall, 2002.ReferenciasKUOBENJAMIN, Sistemas de Control Automatico, Prentice Hall1997.OGATA KATSUSHITO, Ingeniera de ControlModerno, P.H.H. 3 edi-cion, 1998.OGATAKATSUSHITO, Sistemas de Control en Tiempo Discreto. P.H.H,Mex.1996.J.RamrezyE.Rosero 96 GICICaptulo3ModeladodigitalIntroduccionLa aplicaci on de control por computadora ha hecho posible el movimientointeligente de robots industriales, la optimizacion de economa de combustibleenlosautomoviles,etc..Lacapacidadenlatomadedecisionesylaexibi-lidadenlosprogramasdecontrol sonlasmayoresventajasdelossistemasde controldigital. Loscontroladoresdigitales se utilizan paraalcanzar elde-sempe nooptimo (productividad maxima, benecio maximo, costomnimo olautilizacion demnimadeenerga).Comovimosenlaprimeraunidad,unsistema de control digital, aparte de la planta analoga, incluye los conversoresanalogicoadigital, digital aanalogicoyel procesador ens mismo. Paracadaunodeestoselementosrequeriremosunarepresentacionmatematica.Laplantaanalogalarepresentaremosporsufunciondetransferenciaosurepresentacionde estado. El conversor A/Dmediante una representacionmatematicadelmuestreo; elconversorD/Amediante sufuncion detransfe-rencia.Paraelmodeladodelprocesadordigital,utilizaremos laherramientamatematica transformadaZ, con la cual, las soluciones a las ecuaciones endiferenciasseconvierten enunproblemadenaturalezaalgebraicasimilaralatransformadadeLaplace.Enestaunidad sepresentaraelmodeladodelossistemasdigitalestantoparalarepresetacion entrada-salidacomodeestado.973.1. MODELADODELPROCESADORDIGITALObjetivos1. Representar, simplicar, analizar y sintetizar un sistema de control pormedio de un diagramade bloques, diagrama de ujo de se naly diagra-madeestado.Aplicacion2. Deducirelmodelomatematicoenfunciondetransferenciayvariablesde estado para sistemas de control analogos y digitales. Conocimiento3. Analizar las diferentes interrelaciones entre las representaciones entrada-salidaydeestado.AnalisisContenido3.1. ModeladodelprocesadordigitalComosedijoenelestudiodelabuclatpicadecontroldigital,elproce-sador digital es unsistemadiscretoquerecibe, procesayentregase nalesdigitales.3.1.1. SecuenciasDelase naldigital,interesaconocersu valoreninstantesinnitesimales,separadosporelperododemuestreoT.Esteconjuntodevaloressede-nominasecuencia; porejemplo:_xk_ x(k)x_kT_= 1,0,0.51,-0.26,. . . x_kT_= ekT3cos(kT4) k= 0, 1, 2, . . . , nT= 1s.Las secuencias las podemos representar por laserie de datos oenformacerradasielloesposible.Algunassecuenciasimportantesson:J.RamrezyE.Rosero 98 GICI3.1. MODELADODELPROCESADORDIGITALNOMBRE MODELO GRAFICOPulsounitario: (k) =_0 k ,= 01 k= 01k(k)Escalonunitario: (k) =_0 k< 01 k 01k(k)Rampaunitaria: r(k) =_0 k< 0kT k 0kr(k)Polinomial: x(k) =_0 k< 0akTk 0kr(k)a > 00 < a < 1Exponencial: x(k) =_0 k< 0ebkTk 0b < 0b > 0Senoidal: x(k) =_0 k< 0sin kT k 0kx(k)J.RamrezyE.Rosero 99 GICI3.1. MODELADODELPROCESADORDIGITAL3.1.2. RepresentacionmatematicadesecuenciasUn pulsodeamplitud Aen elinstantem:mAsedescribemendiante A(k m).Unasecuenciaarbitrariaesunasumaponderadadepulsosunitariosdesplazados:x(k) =

m=x(m)(k m)Silasecuencia esnulaparak< 0,seobtiene:x(k) =

m=0x(m)(k m)x(k) = x(0)(k) +x(1)(k 1) +x(2)(k 2) +. . .3.1.3. Representacion matematica del proceso de muestreoEl muestreodeunase nal sepuederepresentarmatematicamentemulti-plicandolase nalporuntren deimpulsosunitarios,T(t).J.RamrezyE.Rosero 100 GICI3.1. MODELADODELPROCESADORDIGITALx*(t)x(t)T x(t) = T(t)x(t)3T3T2T2T T TT (t)tT(t) =

k= (t kT)As, lase nal muestreadasera:x(t) =

m=x(t)(t kT) =

m=x(kT)(t kT)Six = 0parat0obilateralcuandox(t) ,= 0parat < 0 x(k) ,= 0parak< 0.LatransformadaZsoloconsideravaloresdelase nal enlosinstantesdemuestreo Zx(t) = Zx(t),as,latransformadainversaZ(TIZ),nopermite obtenerax(t), solox(t).TZ x(t) F(Z)x(t)TIZExpandiendolasumatoriaanterior, tenemos:x(z) = x(0)z0+x(T)z1+x(2T)z2+... . . . +x(nT)zn+...dondeel coecientedeznesel valordelasecuenciax(kT)enk=n; esdecir, la transformada Z y la transformada Z inversa (Z1) se pueden obtenerporinspecci on.J.RamrezyE.Rosero 103 GICI3.1. MODELADODELPROCESADORDIGITALEjemplo:CalcularlatransformadaZdelpulsounitarioydelospulsosdelasguras3.1y3.2.1. Pulsounitario:Z(k) = (0)z0+(1)z1+(2)z2+. . . +(n)zn= 12. Pulsodesplazadom1(k m)Figura3.1:PulsodesplazadomperodosZ(km) = (0m)z0+(1m)z1+(2m)z2+. . .+(0)zm= zm3. Variospulsos312Figura3.2:Funcion compuestaporpulsosdesplazadosx(k) = 3(0) 1(k 1) + 2(k 2)X(z) = 3 z1+ 2z2J.RamrezyE.Rosero 104 GICI3.1. MODELADODELPROCESADORDIGITALDeloanteriorsededuce quez1esunretardodeun perodo;x(kT) z1x(kT T)x(k) x(k 1).ziseraunretardodeiperodosdemuestreo.ParaobtenerX(z)tambiensepuedenusarlastablasdetransformadasZdefuncioneselementales (verlatabla3.1)juntoconelusoapropiadodelaspropiedadesdelatransformadaZ(ver tabla3.2).X(s) x(t)ox(k) X(z)1 1 (t) 12 ekTs(t kT) zk31s1(t)zz141s2tTz(z1)251s+aeat zzeaT6as(s+a)1 eat(1eaT)z(z1)(zeaT)7ws2+w2sinwtz sin wTz22z cos wT+18ss2+w2cos wtz(zcos wT)z22z cos wT+191(s+a)2teat TzeaT(zeaT)210w(s+a)2+w2eatsinwtzeaTsinwTz22zeaTcos wT+e2aT11s+a(s+a)2+w2eatcos wtz2zeaTcos wTz22zeaTcos wT+e2aT122s3t2T2z(z+1)(z1)313 ak zza14 akcos kzz+aTabla3.1:TabladetransformadazJ.RamrezyE.Rosero 105 GICI3.1. MODELADODELPROCESADORDIGITALx(t)ox(k) Z(x(t)) oZ(x(k))1 ax(t) aX(z)2 x1(t) +x2(t) X1(z) +X2(z)3 x(t) +T)ox(k + 1) zX(z) zx(0)4 x(t + 2T) z2X(z) z2x(0) zx(T)5 x(k + 2) z2X(z) z2x(0) zx(1)6 x(t +kT) zkX(z) zkx(0) zk1x(T) ... zx(kT T)7 x(k +m) zmX(z) zmx(0) zm1x(1) ... zx(m1)8 tx(t) Tzddz [x(z)]9 kx(k) zddz [x(z)]10 eatx(t) X(zeaT)11 eakx(k) X(zea)12 akx(k) x(za)13 kakx(k) zddz_X(za)14 x(0) lmz X(z)siese lmite existe15 x() lmz1 [(z 1)X(z)]siz1zX(z)esanaltica16

x(k) X(1)17

x(kT)y(nT kT) X(z)Y (z)18 x(k m) zmX(z)TZunilateralTabla3.2:PropiedadesdelatransformadazEjemplo:Resuelva:x(k + 2) + 3x(k + 1) + 2x(k) = (k) con x(k) = 0 para k 0.AplicandolatransformadaZ:Z_x(k + 2) + 3x(k + 1) + 2x(k)_= Z_(k)_= 1=z2X(z) z2x(0) zx(1) + 3zX(z) 3zx(0) + 2X(z) = 1x(0) = 0;x(1)seobtienealevaluarlaecuaci on dediferencias en k= 1:x(1) + 3x(0) + 2x(1) = (1) x(1) = 0=z2X(z) + 3zX(z) + 2X(z) = 1J.RamrezyE.Rosero 106 GICI3.1. MODELADODELPROCESADORDIGITALX(z) =1z2+3z+2=..Frac.parciales=1z+1 1z+2zX(z) =zz+1zz+2; como Z_ak_=zzaZ_(a)k_=zz+aZ_x(k + 1)_= zX(z) zx(0) = zX(z)= x(k + 1) = (1)k(2)k; k 0k + 1 n x(n) = (1)n1(2)n1= (1)n(2)n2x(n) = 0,5(2)n(1)n; n 1NOTA: En muchos casos conviene expandir en fracciones parciales el terminoX(z)z, pues variastransformadasZde funciones elementales tienen aZen sunumerador.Ejemplo:Obtenerx(kT) siX(z) =10zz21,2z+0,2Solucion:X(z)z=10z21,2z+0,2=12,5z1 12,5z0,2X(z) = 12,5_zz1 zz0,2_X(z) = 12,5_(k) (0,2)k_; k= 0, 1, 2, . . .Ejercicio:Resuelvalosejercicios3,4y5propuestospropuestosenlasactividadesdeaprendizaje.3.1.5. Funci ondetransferenciadiscretaMuchas veces el controlador digital resuelve las ecuaciones de diferencias:a(k)+a1a(k1)+a2a(k2)+. . .+ana(kn) = b0e(k)+b1e(k1)+. . .+bme(km)aplicandolatransformadaZcon condicionesiniciales nulas:A(z)+a1z1A(z)+a2z2A(z)+. . .+anznA(z) = b0E(z)+b1z1E(z)+. . .+bmz1E(z)J.RamrezyE.Rosero 107 GICI3.1. MODELADODELPROCESADORDIGITALDespejando,obtenemos:A(z)E(z)= G(z) =b0 +b1z1+. . . +bmzm1 +a1z1+a2z2+. . . +anzn. .Funci on de Transferencia Discreta.Sin mtenemos:G(z) =A(z)E(z)=b0zn+b1zn1+. . . +bmznmzn+a1zn1+a2z2+. . . +an=N(z)D(z)Donde:G(z) : Funcion racionaldeunavariablecompleja.N(z) = 0 : CerosdeG(z).D(z) = 0 : PolosdeG(z);ecuaci on caractersticaDe manera similar al caso continuo, se puede usar el algebra de los diagra-masdebloquesolaformuladegananciadeMason,paracalcularfuncionesdetransferenciadiscretasequivalentes.J.RamrezyE.Rosero 108 GICI3.1. MODELADODELPROCESADORDIGITALEjemplo:Funcionde transferenciadiscreta(FdTD) para uncontrolador digitalactuandocomoun integradorporlareglatrapezoidal:Ae(k 1)e(t)Tttk 1 tke(k)A =_tktk1e(t)dtdondeA eselareabajolacurvae(t).Tambien sepuedecalcular como:A areadeltrapezoideformadoporlarectaentre e(k 1)ye(k)A Te(k) +_e(k 1) e(k)_12TA T2_e(k) +e(k 1)_Sia(k 1)eselareacalculadabajolacurvahastaelinstantetk1:a(k) = a(k 1) +T2_e(k) +e(k 1)_aplicandolatransformadaZ:A(z) = z1A(z) +T2 E(z) +T2z1E(z)seobtiene:G(z) =A(z)E(z)=T2_z + 1z 1_J.RamrezyE.Rosero 109 GICI3.1. MODELADODELPROCESADORDIGITALModeladodelosconversores;MuestreoyRetencionMuestreoyretencion en frecuencia:Paraelmuestreador: Lasalida muestreada es:e(t) =

k= e(t)(t kT);e(t) e(t)TyaplicandolatransformadadeLaplace:E(s) =

k=e(kT)eskT.Paraelretenedor:Aplicandoun impulsounitario