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SINCRONIZACAO DE CIRCUITOS CAOTICOS DE CHUA COM ACOPLAMENTOSUNI E BIDIRECIONAL
Francisco de Assis Dias∗ Gleison Fransoares Vasconcelos Amaral∗ Samuel MaierKurcbart∗
∗Departamento de Engenharia Eletrica, Universidade Federal de Sao Joao del-Rei, Pca. Frei Orlando,170, Centro, 36307-352 - Sao Joao del-Rei, MG, Brasil
Email: [email protected], [email protected],
Abstract— This paper presents a methodology to synchronization of chaotic Chua’s circuits. Numerical andelectronic simulations of two chaotic Chua’s circuits has been done. Both of than was identical and coupled.Furthermore, we observed and detected the existence of complete synchronization between two Chua’s circuitswith unidirectional and diffusive couplings. Also checked the dependence on the variable coupling. We analyzedthe linear stability of the synchronous state and stability for additive white noise.
Keywords— synchronization, Chua’s circuit, chaotic systems, coupling
Resumo— O presente estudo apresenta uma metodologia para sincronizacao de circuitos caoticos de Chua.Relizou-se, neste projeto, simulacoes numericas e eletronicas de dois circuitos de Chua caoticos, identicos, acopla-dos. Alem disso, evidenciamos e detectamos a existencia de Sincronismo Completo entre dois circuitos de Chua,com acoplamentos unidirecional e difusivos. Verificamos tambem a dependencia com a variavel de acoplamento.Analisamos a estabilidade linear do estado sıncrono e a estabilidade para ruido branco aditivo.
Palavras-chave— sincronizacao, circuito de chua, sistemas catoticos, acoplamento
1 Introducao
A oscilacao e uma forma de movimento que semanifesta em diferentes areas, desde o movimentodos planetas no sistema Solar a abertura dos ca-nais ionicos nas membranas celulares. Desde oseculo passado, ampliou-se estudo das oscilacoespara sistemas determinısticos, caoticos e ritmosinduzidos por ruıdo. Nos ultimos vinte anos, tem-se investigado a sincronizacao de osciladores cao-ticos (Boccaletti, 2002).
Aproveitamos para expressar o que entende-mos por sistemas caoticos: sistemas dinamicosnao-lineares com comportamento assintotico naoperiodico que manifestam “sensibilidade as condi-coes iniciais”. Nestes sistemas, duas trajetoriasou curvas integrais “proximas” no Espaco de Fase,num instante, divergem exponencialmente com otempo. Estas trajetorias imersas em atratoresfractais no Espaco de Fase, sao limitadas global-mente e localmente instaveis (Fiedler-Ferrara andPrado, 1994).
A possibilidade de sincronizacao caotica es-timulou os estudos da potencialidade de enviarmensagens moduladas por um sinal caotico. Nessecaso de comunicacao, o emissor envia uma mensa-gem modulada por um sinal caotico e o receptor,cujo sistema caotico e identico ao do emissor egovernado pelo sinal modulador, pode decodificarcom seguranca a mensagem (Cuomo, 1993). Nesteprojeto realizamos simulacoes numericas e eletro-nicas de dois circuitos de Chua caoticos, identicos,acoplados. Alem disso, evidenciamos e detecta-mos a existencia de Sincronismo Completo entredois circuitos de Chua, com acoplamentos unidi-
recional e bidirecional. Verificamos tambem a de-pendencia com a variavel de acoplamento e anali-samos a estabilidade linear do estado sıncrono.
2 Revisao de Literatura
2.1 Sincronizacao de Sistemas Caoticos
A sincronizacao ocorre quando osciladores“ajustam” mutuamente suas dinamicas, por meiode interacoes, tal que o conjunto dos oscilado-res tenha uma dinamica coletiva e uma frequen-cia caracterıstica. No caso de sistemas periodicos,dois osciladores estao sincronizados quando elasmanifestam comportamento oscilatorio de mesmafrequencia. No caso de um oscilador sob acaode uma excitacao externa periodica, o regime sın-crono e aquele em que as oscilacoes tem a frequen-cia da excitacao externa. No Espaco de Fase, astrajetorias dos osciladores periodicos sao represen-tadas por orbitas estaveis. Ja a dinamica dos os-ciladores caoticos esta geralmente confinada a umconjunto fractal, um atrator caotico, no Espaco deFase. O espectro de frequencias da dinamica dososciladores caoticos e continuo e neste sentido, naoha uma frequencia caracterıstica na qual ocorre asincronizacao dos osciladores caoticos acoplados(Boccaletti, 2002).
Uma abordagem para o problema da sincro-nizacao de osciladores caoticos e inspirada na sin-cronizacao de sistemas periodicos sob excitacaoperiodica externa e sujeitos a ruıdo. A sincroniza-cao ocorre quando duas condicoes sao satisfeitas:(a) a frequencia associada ao maior “pico” no es-pectro de frequencias do oscilador coincide com a
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frequencia da excitacao externa e (b) o grafico dadiferenca de fase entre a forca externa e o osci-lador versus o tempo apresenta patamares. Paraos osciladores caoticos, que nao tem um perıodocaracterıstico, define-se a frequencia basica comoaquela central no pico principal do espectro. Noestado sıncrono, dois osciladores identicos e caoti-cos apresentam a mesma frequencia basica.
Dois osciladores caoticos, identicos e mutua-mente acoplados demonstram Sincronizacao paravalores do acoplamento“suficientemente grandes”,ate mesmo se suas condicoes iniciais no atratorforem distintas. Estes osciladores permanecemdesincronizados para valores “suficientemente pe-quenos” do acoplamento. No entanto, para valo-res intermediarios do acoplamento, os osciladorescaoticos podem manifestar dinamicas conhecidaspor: Interior Crisis (Grebogi, 1982) e Multiestabi-lidade (Grebogi, 1983). A pesquisa em sincroniza-cao de osciladores caoticos, identicos e acopladostem sido realizada com sistemas caoticos autono-mos. O circuito de Chua, investigado neste traba-lho, apresenta dinamica governada por um campovetorial ~F (~x) no Espaco de Configuracoes tridi-mensional. Este sistema e autonomo pois o campo~F (~x) nao depende explicitamente do tempo, t. Oacoplamento entre dois circuitos de Chua identi-cos, indexados por 1 e 2, foi da seguinte forma:
d~x1/dt = ~F ( ~x1) + ∆( ~x2 − ~x1) (1)
d~x2/dt = ~F ( ~x2) + ∆( ~x1 − ~x2) (2)
em que ∆ representa a matriz das interacoes. Estaforma de acoplamento dos sistemas e conhecidapor acoplamento difusivo ou acoplamento bidire-cional.
Quando as trajetorias de cada sistema ~x1(t) e~x2(t) satisfazem
~x = ~x1 = ~x2 (3)
a partir de certo instante t0 e esta igualdade semantem para os instantes t ≥ t0, diz-se que ocorreo sincronismo completo.
A dinamica de dois circuitos de Chua, que naointeragem entre si, ocorre no Espaco de Configura-coes com seis dimensoes. No entanto, se eles estaoacoplados e atingem o Sincronismo Completo, astrajetorias estao restritas a hipersuperfıcie de di-mensao tres, dada pela condicao: ~x1 = ~x2. Estahipersuperficie e denominada Superficie de Sincro-nizacao. Neste caso, o Espaco de Configuracaopode ser decomposto em Superficie de Sincroni-zacao e o subespaco ortogonal a ela, conhecidopor Subespaco Transversal. O problema da es-tabilidade do Sincronismo Completo a “pequena”perturbacao pode ser representado pela questaosobre o que acontece quando uma “pequena” per-turbacao leva o sistema da Superficie de Sincro-nizacao para pontos em que a projecao no Subes-paco Transversal e nao nula. Se a perturbacao
decai com o tempo e a dinamica retorna a Super-ficie de Sincronizacao, o estado sincronizado doscircuitos e estavel (Boccaletti, 2002). Este estadoe instavel quando a perturbacao cresce exponen-cialmente com o tempo. Se a trajetoria pertur-bada “flutua” numa vizinhanca da Superficie deSincronizacao, o estado sincronizado dos circuitose denominado marginalmente estavel.
Uma alternativa ao estudo da evolucao dasprojecoes da perturbacao na Superficie de Sin-cronizacao e no Subespaco Transversal pode sera analise da evolucao da diferenca entre as di-namicas dos circuitos acoplados 1 e 2. Defini-mos essa diferenca por meio das seguintes varia-veis: ex(t) = x1(t) − x2(t), ey(t) = y1(t) − y2(t),ez(t) = z1(t) − z2(t). No caso de dois circuitosde Chua, identicos e com acoplamento difusivo, aevolucao desta diferenca (ex, ey, ez) e descrita porum sistema linear de tres equacoes diferenciais. Acondicao de estabilidade linear do estado sincro-nizado, (ex = 0, ey = 0, ez = 0) corresponde aque a componente real de todos os autovalores damatriz associada a este sistema linear de equacoesseja negativa (Boccaletti, 2002).
Ao introduzirmos ruıdo aditivo em oscilado-res caoticos, sincronizados, induzimos novas osci-lacoes no sistema e perturbacoes transversais noestado sıncrono. Para valores “suficientementegrandes”da intensidade do ruıdo, ocorre a desin-cronizacao pois os osciladores passam a respon-der predominantemente ao ruıdo. No entanto,quando ha acoplamento “suficientemente fraco”evalores intermediarios de intensidade do ruıdo,o “ajuste mutuo”dos osciladores pode ser favo-recido, propiciando a transicao para o estadosıncrono.(Khoury, 1998)
Em seus trabalhos, Pecora and Carroll (1990)e Chua (1993) evidenciaram que a possibilidadede sincronizar dois sistemas caoticos depende daescolha da variavel com a qual se realizara o aco-plamento entre os sistemas. Na sincronizacao dedois sistemas de Lorenz emprega-se a variavel xe na sincronizacao de dois sistemas de Rossler, oacoplamento ocorre entre as variaveis y. Chua ecolaboradores expressaram o insucesso ao tentarsincronizar circuitos de Chua, identicos e caoti-cos, acoplados pela variavel z. Desconhecemosna literatura um trabalho que estabeleca condi-coes para a escolha da variavel de acoplamentoque resulte numa forma de sincronizacao de doisou mais sistemas caoticos. Pareceu-nos que a sin-cronizacao depende da variavel escolhida para oacoplamento. Destacamos os estudos de Letelliere Aguirre (Letellier and Aguirre, 2010) da relacaoentre sincronizacao de osciladores caoticos, naoidenticos e o conceito de observabilidade.
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2.2 Circuito de Chua
Entre os sistemas caoticos, o circuito deChua e amplamente conhecido e estudado (Torres,2001). Ele e capaz de apresentar oscilacoes perio-dicas ou caoticas de acordo com a variacao de umparametro do circuito. O circuito e compostospor componentes lineares exceto o diodo de Chuaque e um componente que apresenta caracterısti-cas linear por partes. O diodo de Chua que possuiresistencia negativa e o elemento que permite queo circuito se mantenha oscilando de forma auto-noma. O diagrama do circuito de Chua e mos-trado na Figura 1.
A Eq. 4 descreve o comportamento do cir-cuito:
C1dvC1
dt =vC2−vC1
R − h(v1)
C2dvC2
dt =vC1−vC2
R + iLLdil
dt = −vC2
(4)
sendo vC1 , vC2 e iL a tensao no capacitor C1, atensao no capacitor C2 e a corrente no indutor L,respectivamente.
A funcao h(v1) fornece a tensao versus acorrente no elemento nao linear, e e dada por:
h(v1) = Gbv1 +1
2(Ga−Gb)(|v1 +BP |− |v1−BP |)
(5)A serie temporal e o atrator sao mostrados
nas Figuras 2 e 3, respectivamente.A figura 1 ilustra o circuito de Chua e a curva
v - i caracterıstica do elemento nao-linear. Odispositivo nao-linear pode ser obtido utilizando-se amplificadores operacionais, diodos comuns outransistores.
Figura 1: (a) Circuito de Chua (b) Curva caracterıs-tica do elemento nao-linear.
3 Metodologia
Neste projeto, foram consideradas duas for-mas de acoplamento entre os circuitos de Chua.Uma delas foi o acoplamento unidirecional, ba-seado no Metodo de Pecora-Carroll (Pecora andCarroll, 1990). O circuito denominado Mestre eautonomo e o circuito denominado Escravo nao eautonomo pois ele e perturbado pelo sinal trans-mitido pelo circuito Mestre. Este sinal, externo
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 104
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
x
Figura 2: Serie Temporal de x
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
x(t)
y(t)
Figura 3: Atrator de Chua
ao circuito Escravo, corresponde a variavel xm(t). O acoplamento unidirecional foi feito atraves desubstituicao completa das variaveis x e y, e doiscasos de substituicao parcial
A outra forma de acoplamento entre circuitosde Chua sera a linear bidirecional. Nessa forma, adinamica da variavel x1(t) de um circuıto influen-cia linearmente a variavel x2(t) do outro e reci-procamente. O mesmo acontece para as variaveisy(t) e z(t) dos dois circuitos.
Para cada um dos acoplamentos foram avali-ados os tempos de convergencia para a condicao:ex = 0; ey = 0; ez = 0. que corresponde ao sincro-nismo entre os circuitos. No caso do acoplamentobidirecional, determinamos um intervalo de valo-res da constante de acoplamento δx para os quaisocorre a sincronizacao entre os circuıtos.
Foram acrescidas uma variavel aleatoria nasequacoes de evolucao e uma fonte de ruıdo na si-mulacao tal que sera analisada a estabilidade doestado sincronizado a perturbacoes externas, ale-atorias.
Nesse trabalho consideramos os seguintes va-lores para os parametros do circuito de Chua(equacao 4): C1 = 10nF , C2 = 100nF ; L =18.75mH, G = 0.599mS; BP = 1V . Ga =−0.76mS, Gb = −0.41mS. R e o parametro con-trolado do modelo. Quando o parametro R muda,o circuito de Chua exibe um complexo e rico com-
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portamento. Neste trabalho, o valor de R foi de1, 67kΩ.
Antes de serem simuladas, as equacoes 4 fo-ram normalizadas da seguinte forma: x =
vC1
BP,
y =vC2
BP, z = iL
BPG , τ = tGC2
, a = Ga
G , b = Gb
G ,
α = C2
C1e β = C2
LG2 . A equacao 6 e o resuldado daadmensionalizacao.
x = α(y − x− f(x))y = x− y + zz = −βy
(6)
onde f(x) = bx + 12 (a − b)(|x + 1| − |x − 1|).
O ponto sobre as variaveis de estado indica deri-vada em relacao a τ . Os valores dos parametrosutilizados nesse trabalho sao: α = 10; β = 14.87;a = −1, 27; b = −0.68.
4 Analise dos Resultados
4.1 Acoplamento Unidirecional de dois circuitoscaoticos de Chua
Foi possıvel verificar o sincronismo entre doiscircuitos caoticos de Chua acoplados de forma uni-direcional, atraves de substituicoes completas eparciais das variaveis x e y.
4.1.1 Substituicao Completa - variavel x
As equacoes de estado para acoplamento dedois circuitos de chua caoticos por meio da subs-tituicao completa da variavel x sao descritas pelaequacao 7. O acoplamento apresenta sincroniza-cao a partir da amostra de numero 1854.
Alem da simulacao numerica feita atraves dosoftware Matlab, foi realizado tambem, para efeitode comparacao a simulacao eletronica do acopla-mento em questao, atraves do software Multissim(National Instruments). O acoplamento feito en-tre um circuito e outro e atraves de um Buffer,com um Amplificador Operacional de ganho uni-tario. Essa configuracao permite um acoplamentode alta impedancia no circuito mestre, nao ha-vendo perda ou injecao de energia nesse circuito,e injeta energia no circuito escravo. Dessa forma ofluxo de energia e apenas unidirecional, forcandoo circuito escravo a se comportar como o mestre,visto que a tensao nos pontos de acoplamento eexatamente a mesma.
A figura 5a representa o grafico da funcao errode acoplamento, que tende a zero, evidenciando asincronizacao dos dois circuitos. Atraves da figura5b pode-se obervar que os espectros de frequenciada variavel y nos dois circuitos e praticamente omesmo para o sistema acoplado.
x = α(y − x− f(x))y = x− y + zz = −βyy′ = x− y′ + z′
z′ = −βy′
(7)
Figura 4: Circuitos de Chua com acoplamento unidi-recional por substituicao completa da variavel x.
e(x
)e
(y)
e(z
)
(a)
Frequência
(b)
Figura 5: Substituicao completa da variavel x (a) Evo-lucao temporal do erro (b) Espectro de frequencia.
4.1.2 Substituicao Completa - variavel y
As equacoes de estado para acoplamento dedois circuitos de Chua caoticos por meio da subs-tituicao completa da variavel y sao descritas pela
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equacao 8. O acoplamento apresenta sincroniza-cao a partir da amostra de numero 402. A figura6a representa o grafico da funcao erro de acopla-mento, que tende a zero, evidenciando a sincro-nizacao dos dois circuitos. Atraves da figura 6bpode-se obervar que os espectros de frequenciada variavel x nos dois circuitos e praticamente omesmo para o sistema sincronizado.
x = α(y − x− f(x))y = x− y + zz = −βyy′ = x− y′ + z′
z′ = −βy′
(8)
e(x
)e
(y)
e(z
)
(a)
(b)
Figura 6: Substituicao completa da variavel y (a) Evo-lucao temporal do erro (b) Espectro de frequencia.
4.1.3 Substituicao parcial 1
As equacoes de estado para acoplamento porsubstituicao parcial 1 de dois circuitos de chuacaoticos sao descritas pela equacao 9. O acopla-mento apresenta sincronizacao a partir da amostrade numero 1045.
x = α(y − x− f(x))y = x− y + zz = −βyx′ = α(y − x′ − f(x′))
y′ = x′ − y′ + z′
z′ = −βy′
(9)
(a)
(b)
Figura 7: Substituicao parcial 1(a) Evolucao temporaldo erro (b) Espectro de frequencia.
4.1.4 Substituicao parcial 2
As equacoes de estado para acoplamento porsubstituicao parcial 1 de dois circuitos de chuacaoticos sao descritas pela equacao 10. O acopla-mento apresenta sincronizacao a partir da amostrade numero 1045.
x = α(y − x− f(x))y = x− y + zz = −βyx′ = α(y′ − x′ − f(x′))
y′ = x− y′ + z′
z′ = −βy′
(10)
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(a)
(b)
Figura 8: Substituicao parcial 2(a) Evolucao temporaldo erro (b) Espectro de frequencia.
4.2 Acoplamento Bidirecional de dois circuitoscaoticos de Chua
Foi possıvel verificar o sincronismo entre doiscircuitos caoticos de Chua acoplados de forma bi-direcional, com acoplamentos das variaveis x e y.
4.2.1 Acoplamento bidirecional da varia-vel x
As equacoes de estado para acoplamento bi-direcional da variavel x de dois circuitos de Chuacaoticos sao descritas pela equacao 11. O acopla-mento apresenta sincronizacao a partir da amostrade numero 7617.
x = α(y − x− f(x)) + δx(x′ − x)y = x− y + zz = −βyx′ = α(y′ − x′ − f(x′)) + δx(x− x′)y′ = x′ − y′ + z′
z′ = −βy′
(11)
onde δx= Rα/Rx.
e(x
)e
(y)
e(z
)
(a)
(b)
Figura 9: Acoplamento Bidirecional da variavel x (a)Evolucao temporal do erro (b) Espectro de frequencia.
4.2.2 Acoplamento bidirecional da varia-vel y
As equacoes de estado para acoplamento bi-direcional da variavel y de dois circuitos de Chuacaoticos sao descritas pela equacao 12. O acopla-mento apresenta sincronizacao a partir da amostrade numero 1717.
x = α(y − x− f(x))y = x− y + z + δy(y′ − y)z = −βyx′ = α(y′ − x′ − f(x′))
y′ = x′ − y′ + z′ + δy(y − y′)z′ = −βy′
(12)
onde δx= R/Rx.
4.2.3 Verificacao de sincronismo bidirecio-nal com a variacao do coeficiente deacoplamento
Verificamos a sincronizacao bidirecional comacoplamento na variavel x e com variacao do co-
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Y
Y’
ttt (a)
Z
Z’
(b)
Figura 10: Acoplamento Bidirecional da variavel x (a)Grafico Y x Y’, (b) Grafico Z x Z’ . Condicoes iniciais:x = −2;y = 0.02; z = 4; x′ = 0; y′ = 0; z′ = 0; δ = 5.
eficiente de acoplamento δx. Variamos o coefici-ente de acoplamento de δx = 0.1 a δx = 20, compasso dt = 0.1. Verificamos que para os valoresde 3.5 ≤ δx ≤ 20 simulados houve sincronizacao.Para valores menores que 3.5 o sistema ficou ins-tavel.
5 Conclusoes
Verificamos para o acoplamento unidirecionale difusivo que ocorre a transicao para o estadosıncrono quando empregamos as variaveis x ou ypara o acoplamento entre os circuitos, o que estade acordo com o conceito de observabilidade.
Interpretamos, a partir dos resultados das si-mulacoes numericas que, no caso do acoplamentoda variavel y em ambos os casos, a sincroniza-cao entre os circuitos ocorre em um tempo menorcomparado ao acoplamento da variavel x.
Nao obtivemos sucesso na transicao para o es-tado sıncrono entre circuitos cujas condicoes ini-ciais estao fora da regiao do atrator caotico. Pormeio de analise linear da estabilidade do estadosıncrono, determinamos intervalos dos parame-tros, nos quais o sistema (dois osciladores) sincro-
e(x
)e
(y)
e(z
)
(a)
(b)
Figura 11: Acoplamento Bidirecional da variavel y (a)Evolucao temporal do erro (b) Espectro de frequencia.
nizam. O espectro de frequencia e a evolucao tem-poral do erro evidenciaram a sincronizacao para oscasos estudados.
Para um valor de ruıdo em torno de 0, 02, afuncao erro e limitada a 10−4. Para um valor de0.1 a funcao erro e menor que 10−4 apos 4000 pas-sos de integracao. O tempo computacional paraa convergencia quando o ruıdo e 0.02. O tempocomputacional gasto para a convergencia quandoo ruıdo e D = 0.1 foi muito superior comparadoao tempo gasto quando D = 0.02.
7 Referencias Bibliograficas
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