ANDRES EDUARDO COCA SALAZAR - · PDF fileCOMPOSICION AUTOM ATICA DE FRAGMENTOS MUSICALES CON SISTEMAS DINAMICOS CA OTICOS Y BIFURCACIONES Andr es Eduardo Coca Salazar Tesis para optar

COMPOSICION AUTOMATICA DE FRAGMENTOS

MUSICALES CON SISTEMAS DINAMICOS CAOTICOS Y

BIFURCACIONES

ANDRES EDUARDO COCA SALAZAR

Universidad Nacional de Colombia

Sede Manizales

Facultad de Ingenierıa y Arquitectura

Departamento de Electricidad, Electronica y Computacion

Manizales, Colombia

2009

COMPOSICION AUTOMATICA DE FRAGMENTOS

MUSICALES CON SISTEMAS DINAMICOS CAOTICOS Y

BIFURCACIONES

Andres Eduardo Coca Salazar

Tesis para optar al tıtulo de

Magister en Automatizacion Industrial

Director

Prof. Gerard Olivar Tost Ph.d

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingenierıa y Arquitectura

Departamento de Electricidad, Electronica y Computacion

Manizales, Colombia

2009

AUTOMATIC GENERATION OF MUSIC BY CHAOTIC

DYNAMICAL SYSTEMS AND BIFURCATIONS

by

Andres Eduardo Coca Salazar

A thesis submitted to the Posgraduate Program “Industrial Automation”

in partial fulfillment of the requirements for the Master Degree

Thesis Director

Ph.d Gerard Olivar Tost

National University of Colombia

Faculty of Engineering and Architecture

Department of Electrical, Electronic and Computing Engineering

Manizales, Colombia

2009

A la memoria de mi primera maestra de algebra, mi tıa ing. Dora Lilia Coca Gonzalez

Q.E.P.D (30.11.72-13.05.04)

Dedicado con mucho carino a:

Mi Padre por su gran apoyo y comprension.

Mi Madre por su interminable amor.

Mi hija Valentina por su ternura y alegrıa.

La musica por ser mi fuente de inspiracion.

Andres Eduardo Coca S.

AGRADECIMIENTOS

El autor expresa sus agradecimientos a:

Ph.D. Gerard Olivar Tost por aceptarme, apoyarme y acogerme con mi singular tema de

investigacion despues de haber buscado incansablemente en todo el planeta un director

incondicional para mi propuesta de maestrıa.

Ph.D. Zhao Liang del Instituto de Ciencias Matematicas y de Computacion (ICMC) de la

universidad de Sao Paulo (USP), por invitarme al grupo de investigacion de computacion

bioinspirada (Biocomp) y proporcionarme todas las herramientas necesarias para la profun-

dizacion, perfeccionamiento y divulgacion de los resultados del proyecto durante mi estadıa

en Brasil.

La Coordinacion de posgrados del departamento de ingenierıa electrica, electronica y com-

putacion de la Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales, por la adjudicacion de la

exencion de matrıcula y la beca de apoyo a tesis de maestrıa. Al programa de movilidad en

el posgrado de la Red de Macrouniversidades publicas de America Latina y el Caribe, por

financiar mi estadıa de investigacion en la Universidad de Sao Paulo (USP) sede Sao Carlos,

en el perıodo 01.07.09 - 01.10.09.

M.sc. Franklin Alexander Sepulveda por las noches de amistad, ciencia y bohemia compar-

tidas. Maryluz Henao Restrepo por su inagotable amor, profundidad e comprension. Angela

Marıa Maca R. por su carino y admiracion.

A mis amigos Alexander Taborba, Javier Revelo, Monica Valencia, Marcela Lancheros, Diana

Arias, Yannet, Sebastian Solıs y Estrellita Ibanez.

A los estudiantes de las asignatura control I (sem. I-II 2008 y I-2009) y Lp 1- procesamiento

digital de senales (sem. I-II 2008), por tolerar mis tertulias caotico-musicales dentro de clase.

Finalmente a toda la gente de los grupos ABC Dynamics, Control y procesamiento digital

de senales GC&PDS y Biocomp.

“Continuan marchando los dıas y el tiempo avanza dejando su nostalgia, recordando los

suenos del pasado y las esperanzas del nuevo amanecer...”

Nuevamente, gracias Universidad Nacional

Tabla de Contenido

Tabla de contenido V

Lista de Figuras X

Lista de Tablas XII

I Preliminares XIII

Resumen XIV

Abstract XV

Introduccion XVI

Estado del arte XVIII

II Marco teorico XXIV

1 Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 1

1.1 Sistemas caoticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Caracterıstica de los atractores caoticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Exponente de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Analisis del Rango Re-escalado de Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Dimension fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.4 Dimension de correlacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Metodos para el control del caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Metodo de OGY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2 Metodo de control de realimentacion por retardo de tiempo (TDAS) . 9

1.3.3 Metodo de induccion al punto fijo (FPIC) . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Clasificacion de las bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

i

TABLA DE CONTENIDO ii

2 Sistemas dinamicos caoticos 17

2.1 Sistemas dinamicos continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Modelo de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Modelo de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Mapas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Ecuacion logıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2 Mapa cuadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.3 Mapa de Chirikov-Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Sistemas dinamicos con ciclos lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1 Sistema depredador presa de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Relacion entre los sistemas caoticos y los sistemas estocasticos . . . . . . . . 27

2.4.1 Generacion de secuencias caoticas Gaussianas . . . . . . . . . . . . . 28

3 Definiciones musicales 29

3.1 Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 Definicion de escala musical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2 Generador de octava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.3 Mapeo a frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.4 Escala tonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Definicion de notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Melodıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Descriptores estadısticos de la melodıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.1 Caracterısticas tonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.2 Caracterısticas de tonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.3 Caracterısticas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.4 Histograma tonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5 Algoritmo para determinar la tonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.6 Indicadores melodicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6.1 Medida de originalidad melodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6.2 Modelo de complejidad melodica basada en la expectativa . . . . . . 35

3.6.3 Grado de melodiosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.7 Similitud melodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.8 Segmentacion melodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.8.1 Modelo de deteccion local de bordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.8.2 Algoritmo basado en la psicologıa de la Gestalt . . . . . . . . . . . . 38

3.8.3 Segmentacion basada en la probabilidad del tono . . . . . . . . . . . 39

TABLA DE CONTENIDO iii

III Marco experimental 40

4 Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 41

4.1 Algoritmo para la composicion de melodıas con tres dimensiones . . . . . . . 42

4.1.1 Especificaciones musicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1.2 Variable para las frecuencias y las notas musicales . . . . . . . . . . . 43

4.1.3 Variable para el ritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.4 Variable para las dinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Descripcion global del algoritmo principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Composicion automatica de melodıas mediante bifurcaciones . . . . . . . . . 51

4.3.1 Algoritmo para la composicion polifonica . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.2 Modulo para la concatenacion de matrices de notas . . . . . . . . . . 53

4.4 Composicion de melodıas con control del caos . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.5 Metodologıa para el control del contorno melodico . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.5.1 Relacion entre la respuesta transitoria y el contorno melodico . . . . . 55

4.5.2 Diseno de un controlador del contorno melodico . . . . . . . . . . . . 57

4.6 Analisis matematico de las escalas y los modos musicales . . . . . . . . . . . 58

4.6.1 Analisis combinatorio de escalas usando tonos y semitonos . . . . . . 58

4.6.2 Analisis combinatorio de escalas con tono y medio . . . . . . . . . . . 59

5 Experimentos y Resultados 62

5.1 Composicion automatica con sistemas caoticos continuos . . . . . . . . . . . 62

5.1.1 Generacion de melodıas con sistemas caoticos con de tres dimensiones 62

5.2 Composicion automatica con sistemas caoticos discretos . . . . . . . . . . . . 71

5.2.1 Generacion de melodıas con mapas no lineales con dos dimensiones . 71

5.3 Composicion de melodıas con ciclos lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4 Composicion de melodıas caoticas microtonales . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.5 Composicion automatica con bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.5.1 Melodıas con la bifurcacion de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.5.2 Melodıas con la bifurcacion tipo flip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.6 Fragmentos musicales obtenidos con sistemas caoticos controlados . . . . . . 88

5.6.1 Composicion de melodıas con sistemas continuos controlados con el

metodo Pyragas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.6.2 Composicion de melodıas con sistemas discretos controlados con FPIC 95

5.6.3 Composicion de melodıas con sistemas discretos controlados con OGY 98

5.7 Fragmentos musicales obtenidos con sistemas lineales controlados . . . . . . 103

5.7.1 Composicion de melodıas con SLIT en lazo abierto . . . . . . . . . . 103

5.7.2 Composicion de melodıas con SLIT con trayectoria de control . . . . 105

5.8 Relacion entre caracterısticas caoticas y melodicas . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.8.1 Analisis discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

TABLA DE CONTENIDO iv

5.8.2 Analisis de correlacion canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.8.3 Contraste estadıstico entre melodıas clasicas y melodıas caoticas . . . 113

5.9 Aproximacion estocastica de las secuencias caoticas . . . . . . . . . . . . . . 115

5.9.1 Aproximacion a la distribucion normal por medio de GSC . . . . . . 115

IV Conclusiones y trabajo futuro 119

Conclusiones 120

Trabajo futuro 121

V Apendices 122

A Pruebas y metodos estadısticos A–1

A.1 Pruebas para la aleatoriedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–1

A.1.1 Test de rachas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–1

A.2 Pruebas para la normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–2

A.2.1 Test de Shapiro-Wilks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–2

A.3 Comparacion entre poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–3

A.3.1 Test de Mann-Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–3

A.4 Metodos multivariados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–5

A.4.1 Analisis discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–5

A.4.2 Correlacion canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–7

B Experimento realizados con otros modelos A–1

B.1 Modelos continuos con tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–1

B.1.1 Modelo laberinto caotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–1

B.1.2 Modelo de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–2

B.1.3 Modelo de Rabinovich-Fabrikant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–3

B.1.4 Modelo de Rossler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–3

B.1.5 Modelo de Sprott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–4

B.2 Modelos continuos con dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–6

B.2.1 Modelo de Bernard-Shaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–6

B.2.2 Modelo de Fitzhugh-Nagumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–7

B.2.3 Modelo del giroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–8

B.3 Modelos discretos con dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–9

B.3.1 Mapa de Henon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–9

B.3.2 Mapa de Ikeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–10

B.3.3 Mapa de Zaslavskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–11

B.4 Modelos discretos con una dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–12

TABLA DE CONTENIDO v

B.4.1 Mapa de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–12

B.4.2 Mapa cubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–13

B.4.3 Mapa tent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–14

B.5 Modelos con ciclos lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–15

B.5.1 Modelo de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–15

B.5.2 Modelo de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–16

B.6 Modelos con estructura fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–17

B.6.1 Modelo de Gingerbreadman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–17

B.6.2 Modelo de Hopalong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–17

B.6.3 Modelo de Martin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–19

B.6.4 Modelo Mira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–19

B.6.5 Modelo de Tinkerbell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–20

C Base de datos de obras clasicas A–1

Bibliografıa 2

Lista de Figuras

1.1 Diagrama de bloques del metodo de control de Pyragas . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Diagramas de bifurcacion de las clase silla-node y transcrıtica . . . . . . . . 14

1.3 Diagrama de bifurcacion pitchfork subcrıtica y supercrıtica . . . . . . . . . . 15

1.4 Diagrama de bifurcacion de Hopf subcrıtica y supercrıtica . . . . . . . . . . . 15

2.1 Sımbolo del diodo de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Circuito de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Caracterıstica lineal a tramos del diodo de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Retrato de fase del modelo de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Exponente de Hurst de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6 Dimension de correlacion de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7 Retrato de fase del modelo de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.8 Exponentes de Lyapunov del modelo de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.9 Exponentes de Hurts del modelo de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.10 Diagrama de bifurcacion del mapa logıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.11 Diagrama de bifurcacion del mapa cuadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.12 Dinamica del sistema depredador-presa de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . 27

2.13 Retrato de fase del modelo depredador-presa de Lotka-Volterra . . . . . . . . 27

4.1 Vectores de pertenencia de algunas escalas conocidas . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Evolucion temporal y normalizacion de la primera variable del sistema de

Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Diagrama de flujo simplificado del algoritmo de composicion caotica . . . . . 52

4.4 Analogo al espacio musical de la respuesta temporal de un SLIT a la entrada

escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1 Mapeo a frecuencia y a notas MIDI de la variable x del atractor de Chen . . 63

5.2 Mapeo de la variable y del atractor de Chen a valores rıtmicos en segundos y

en beats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3 Mapeo de la variable z del atractor de Chen a valores de dinamicas musicales 64

5.4 Retratos de fase en 2D del atractor de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

vi

LISTA DE FIGURAS vii

5.5 Melodıa generada por el atractor de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.6 Retrato de fase en 3D del atractor de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.7 Retrato de fase modificado del atractor de Chen (X vs Y(Orden)) . . . . . . 67

5.8 Melodıa generada con el retrato de fase modificado del atractor de Chen . . . 67

5.9 Grafica de pianoroll de la melodıa generada con el atractor de Chen . . . . . 68

5.10 Distribucion y transicion de pitch class de la melodıa generada con el atractor

de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.11 Distribucion y transicion de los intervalos de la melodıa generada con el atrac-

tor de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.12 Distribucion y transicion de las duraciones de la melodıa generada con el

atractor de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.13 Mapeo a frecuencia y a notas MIDI de la variable x del mapa de Chirikov-Taylor 72

5.14 Ampliacion de la respuesta de la variable x del mapa de Chirikov-Taylor . . . 72

5.15 Regiones de la variable x del mapa de Chirikov-Taylor . . . . . . . . . . . . . 72

5.16 Mapeo de la variable y del mapa de Chirikov-Taylor a valores rıtmicos en

segundos y en beats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.17 Retrato de fase del Mapa de Chirikov-Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.18 Retrato de fase modificado del mapa de Chirikov-Taylor . . . . . . . . . . . . 74

5.19 Grafica de pianoroll de la melodıa generada con el mapa de Chirikov-Taylor . 75

5.20 Distribucion y transicion de pitch class de la melodıa generada con el mapa

de Chirikov-Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.21 Distribucion y transicion de los intervalos de la melodıa generada con el mapa


5.22 Distribucion y transicion de las duraciones de la melodıa generada con el mapa


5.23 Retrato de fase modificado del mapa de Chirikov-Taylor . . . . . . . . . . . . 77

5.24 Evolucion y transformacion de las variables del sistema de Lotka-Volterra . . 78

5.25 Retrato de fase del modelo de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.26 Retrato de fase modificado del modelo de Lotka-Volterra) . . . . . . . . . . . 79

5.27 Frases musicales de la melodıa del modelo de Lotka-Volterra . . . . . . . . . 81

5.28 Contorno melodico de las frases musicales del modelo de Lotka-Volterra . . . 82

5.29 Grafica de pianoroll de la melodıa generada con modelo de Lotka-Volterra . . 83

5.30 Segmentacion con el modelo de Lotka-Volterra por tres metodos diferentes . . 83

5.31 Distribucion y transicion de pitch class de la melodıa generada con el modelo

de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.32 Distribucion y transicion de los intervalos de la melodıa generada con el mo-

delo de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84


modelo de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.34 Senal de audio de la melodıa microtonal de Chua . . . . . . . . . . . . . . . 86

LISTA DE FIGURAS viii

5.35 Evolucion y transformacion de las variables del atractor de Chua microtonal 87

5.36 Retratos de fase en 2D del atractor de Chua microtonal . . . . . . . . . . . . 87

5.37 Retratos de fase en 3D del atractor de Chua microtonal . . . . . . . . . . . . 87

5.38 Retrato de fase originales y transformados de la bifurcacion de Hopf . . . . . 88

5.39 Melodıa generada con la bifurcacion de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.40 Melodıa generada con la bifurcacion tipo flip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.41 Tiempo promedio de perturbacion para diferentes periodos del sistema de Chen 90

5.42 Tiempo promedio de perturbacion para diferentes valores de K del sistema de

Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.43 Retrato en 2D del sistema de Chen controlado con Pyragas . . . . . . . . . . 91

5.44 Retrato en 3D del sistema de Chen controlado con Pyragas . . . . . . . . . . 92

5.45 Melodıa generada con el atractor de Chen controlado con Pyragas . . . . . . 92

5.46 Grafica de pianoroll de la melodıa generada con el modelo de Chen controlado 92

5.47 Segmentacion de la melodıa generada con el modelo de Chen controlado con

Pyragas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.48 Distribucion y transicion de pitch class de la melodıa generada con el modelo

de Chen controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.49 Distribucion y transicion de los intervalos de la melodıa generada con el mo-

delo de Chen controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94


modelo de Chen controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.51 Evolucion temporal de mapa no lineal cuadratico controlado con FPIC . . . . 96

5.52 Melodıa generada por el mapa no lineal cuadratico controlado con FPIC . . . 96

5.53 Grafica de pianoroll de la melodıa generada con el mapa cuadratico controlado

con FPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96


cuadratico controlado con FPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


cuadratico controlado con FPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.56 Iteraciones y transformacion del mapa Gaussiano controlado con OGY . . . 99

5.57 Melodıa generada con el mapa Gaussiano controlado con OGY . . . . . . . . 99

5.58 Grafica de pianoroll de la melodıa generada con el mapa Gaussiano controlado

con OGY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


Gaussiano controlado con OGY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100





LISTA DE FIGURAS ix

5.62 Iteraciones y transformacion del mapa gaussiano controlado con OGY en una

orbita de perıodo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.63 Melodıa generada con el mapa gaussiano controlado con OGY en una orbita

de perıodo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.64 Tipos de respuesta escalon de SLIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.65 Melodıa sobreamortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.66 Melodıa con amortiguamiento crıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.67 Melodıa subamortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.68 Melodıa oscilatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.69 Melodıa con amortiguamiento negativo polos diferentes . . . . . . . . . . . . 105

5.70 Melodıa con amortiguamiento negativo polos iguales . . . . . . . . . . . . . . 106

5.71 Melodıa generada por el sistema sin controlador . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.72 Diagrama en bloques del sistema controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.73 Respuesta escalon del sistema controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.74 Melodıa generada por el sistema con controlador PD . . . . . . . . . . . . . . 108

5.75 Grafico de funciones discriminantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.76 Grafico de variables de correlacion canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.77 Grafico de cajas y bigotes de las variables observadas de las melodıas clasicas

y caoticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.78 Grafico de medias de las melodıas clasicas y caoticas . . . . . . . . . . . . . . 115

5.79 Funcion de distribucion de probabilidad de la ecuacion logıstica . . . . . . . . 116

5.80 Evolucion temporal de la secuencia caotica Gaussiana . . . . . . . . . . . . . 117

5.81 Histograma de la secuencias caotica Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.82 Funcion de distribucion de la secuencias caotica gaussiana y normal . . . . . 117

B.1 Retrato de fase del modelo laberinto caotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–1

B.2 Melodıa generada por el modelo del laberinto caotico . . . . . . . . . . . . . . A–2

B.3 Retrato de fase del modelo de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–2

B.4 Melodıa generada por el modelo de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–2

B.5 Retrato de fase del modelo de Rabinovich-Fabrikant . . . . . . . . . . . . . . A–3

B.6 Melodıa generada por el de Rabinovich-Fabrikant . . . . . . . . . . . . . . . . A–3

B.7 Retrato de fase del modelo de Rossler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–4

B.8 Melodıa generada por el modelo de Rossler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–4

B.9 Retrato de fase del modelo de Sprott (caso M) . . . . . . . . . . . . . . . . . A–5

B.10 Melodıa generada por el modelo de Sprott (caso M) . . . . . . . . . . . . . . A–6

B.11 Retrato de fase del modelo de Bernard-Shaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–6

B.12 Melodıa generada por el modelo de Bernard-Shaw . . . . . . . . . . . . . . . A–7

B.13 Retrato de fase del modelo de Fitzhugh-Nagumo . . . . . . . . . . . . . . . . A–7

B.14 Melodıa generada por el modelo de Fitzhugh-Nagumo . . . . . . . . . . . . . A–8

B.15 Retrato de fase del modelo del giroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–8

LISTA DE FIGURAS x

B.16 Melodıa generada por el modelo del giroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . A–9

B.17 Retrato de fase del mapa de Henon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–10

B.18 Melodıa generada por el mapa de Henon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–10

B.19 Retrato de fase del mapa de Ikeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–11

B.20 Melodıa generada por el mapa de Ikeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–11

B.21 Retrato de fase del mapa de Zaslavskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–12

B.22 Melodıa generada por el mapa de Zaslavskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–12

B.23 Retrato de fase del mapa de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–13

B.24 Melodıa generada por el mapa de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–13

B.25 Diagrama de bifurcacion del mapa cubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–14

B.26 Melodıa generada por el mapa cubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–14

B.27 Melodıa generada por el mapa tent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–15

B.28 Retrato de fase del modelo de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–15

B.29 Melodıa generada por el modelo de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–16

B.30 Retrato de fase del modelo de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–16

B.31 Melodıa generada por el modelo de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . A–16

B.32 Retrato de fase del modelo de Gingerbreadman . . . . . . . . . . . . . . . . . A–17

B.33 Melodıa generada por el modelo de Gingerbreadman . . . . . . . . . . . . . . A–17

B.34 Escala musical desconocida usada en la melodıa de Hapalong . . . . . . . . . A–18

B.35 Retrato de fase del modelo de Hopalong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–18

B.36 Melodıa generada con el fractal de Hapalong . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–18

B.37 Retrato de fase del modelo de Martin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–19

B.38 Melodıa generada por el modelo de Martin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–19

B.39 Retrato de fase del modelo mira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–20

B.40 Melodıa generada por el modelo mira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–20

B.41 Retrato de fase del modelo de Tinkerbell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–21

B.42 Melodıa generada por el modelo de Tinkerbell . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–21

Lista de Tablas

1.1 Valores posibles del coeficiente de Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1 Abreviaturas usadas para los descriptores estadısticos . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Abreviaturas usadas para los indicadores melodicos . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1 Valores de λ segun el sistema de afinacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Modos griegos y factor de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Valores de los ındices rıtmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4 Rangos numericos para las dinamicas musicales . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.5 Caracterısticas analogas entre el contorno melodico y la respuesta temporal . 56

4.6 Intervalos musicales y relacion con el sobrepaso maximo tonal . . . . . . . . 57

4.7 Cantidad total de modos para escalas con unidades intervalicas de t y s . . . 60

4.8 Expresiones para los maximos y mınimos de tm, t, s y n . . . . . . . . . . . 60

4.9 Cantidad total de modos para escalas con unidades intervalicas de tm, t y s . 61

4.10 Cantidad total de modos y escalas posibles en sistema temperado semitonal . 61

5.1 Descriptores estadısticos de la melodıa generada con el atractor de Chen . . . 70

5.2 Indicadores melodicos de la melodıa generada con el atractor de Chen . . . . 70

5.3 Descriptores estadısticos de la melodıa generada con el mapa de Chirikov-Taylor 75

5.4 Indicadores melodicos de la melodıa generada con el mapa de Chirikov-Taylor 76

5.5 Medidas de similitud melodica de contorno de las frases de la melodıa de

Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.6 Medidas de similitud melodica de distribucion de las frases de la melodıa de

Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.7 Descriptores estadısticos de la melodıa generada con el modelo de Lotka-Volterra 85

5.8 Indicadores melodicos de la melodıa generada con el modelo de Lotka-Volterra 85

5.9 Descriptores estadısticos de la melodıa generada con el modelo de Chen con-

trolado con Pyragas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.10 Indicadores melodicos de la melodıa generada con el modelo de Chen contro-

lado con Pyragas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

xi

LISTA DE TABLAS xii

5.11 Descriptores estadısticos de la melodıa generada con el mapa cuadratico con-

trolado con FPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.12 Indicadores melodicos de la melodıa generada con el mapa cuadratico contro-

lado con FPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.13 Descriptores estadısticos de la melodıa generada con el mapa gaussiano con-

trolado con OGY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.14 Indicadores melodicos de la melodıa generada con el mapa cuadratico contro-

lado con FPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.15 Funciones de transferencias con diferentes tipos de respuesta temporal . . . . 103

5.16 Autovalores de las funciones canonicas discriminantes . . . . . . . . . . . . . 109

5.17 Lambda de Wilks de las funciones canonicas discriminantes . . . . . . . . . . 110

5.18 Coeficientes estandarizados de la funciones canonicas discriminantes . . . . 110

5.19 Funciones discriminantes canonicas no tipificadas evaluadas en las centroides

de los grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.20 Matriz de estructura de las funciones discriminantes . . . . . . . . . . . . . . 111

5.21 Matriz de estructura de las funciones discriminantes . . . . . . . . . . . . . . 112

5.22 Coeficientes para las Variables Canonicas de la Primera serie . . . . . . . . . 113

5.23 Coeficientes para las Variables Canonicas de la Segunda serie . . . . . . . . . 113

5.24 Resultados del test de Mann-Whitney para contrastar las caracterısticas entre

melodıas clasicas y caoticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.25 Pruebas de aleatoriedad y de normalidad para las secuencias caoticas Gaussiana118

A.1 Tabla de coeficientes an−i+1 para la prueba de Shapiro-Wilks . . . . . . . . . A–3

A.2 Valores de W para la prueba de Shapiro-Wilks . . . . . . . . . . . . . . . . . A–4

B.1 Conjunto de sistemas de Sprott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–5

C.1 Melodıas contenidas en la base de datos de obras clasicas . . . . . . . . . . . A–1

Parte I

Preliminares

xiii

Resumen

En este trabajo se presenta el desarrollo de un algoritmo para la composicion automatica

de fragmentos musicales, usando como generadores sistemas dinamicos caoticos continuos,

discretos y sistemas con bifurcaciones. Se aplicaron los metodos para el control del caos

TDAS, FPIC y OGY con el fin de controlar las caracterısticas musicales de la melodıa

generada a partir del atractor caotico. Tambien se desarrollo una metodologıa para el control

del contorno melodico usando sistemas lineales invariante en el tiempo SLIT.

Los resultados obtenidos son caracterizados por medio de descriptores estadısticos y medi-

das musicales de complejidad. Se implemento un analisis discriminante para determinar las

diferencias significativas existentes entre las musica caotica, tanto continua como discreta,

y la musica clasica tomada como referencia. Ademas, se aplico el analisis de correlacion

canonica para relacionar las caracterısticas de los atractores caoticos (maximo exponente de

Lyapunov, coeficiente de Hurst y dimension de correlacion), con las caracterısticas melodicas

resultantes. Se planteo un contraste de hipotesis usando el test no parametrico de Mann-

Whitney para contrastar que las melodıas clasicas provienen de una poblacion diferente al de

las melodıas caoticas segun su complejidad, originalidad melodica y grado de melodiosidad.

Finalmente se utilizo un metodo para transformar la funcion de distribucion de probabilidad

de las secuencias caoticas a la funcion de distribucion normal, esto con el fin de proponer

una transicion de la musica estocastica de Iannis Xenakis a la musica caotica.

Palabras claves: Dinamica no lineal, composicion musical algorıtmica, tecnicas de control,

indicadores melodicos, metodos de estadıstica multivariada.

xiv

Abstract

Present work shows a method for the automatic composition of musical fragments. It is based

on the simulation of continuos as well as discrete chaotic dynamical systems and systems

with bifurcations. For the sake of controlling melodic characteristics, TDAS, FPIC and OGY

techniques were applied for controlling the chaotic attractor. In addition, a method for the

control of the melodic contour by means of linear time invariant systems were developed.

Outcomes are described by statistical and music complexity measures. In order to deter-

mine the differences between chaotic music (continuous as well as discrete) and classical

music (the reference), discriminant analysis procedures were carried out. Chaotic features

like maximum Lyapunov exponent, Hurst coefficient and correlation dimension were esti-

mated. Afterwards, canonical correlation analysis between the features just mentioned and

melodic characteristics were applied.

In addition, for the sake of contrasting chaotic and classical melodies from the perspective

of complexity, originality and melodic grade, the nonparametric Mann-Whitney statistical

test was applied. Finally, a transformation of the probability density function of chaotic

sequences was carried out. It leads us to propose a transition from Iannis Xenakis’ music

to chaotic music. Keywords: Nonlinear dynamical analysis, Automatic music composition,

Control strategies, Melodic scores, Multivariate statistical analysis.

Palabras claves: Chaotic dynamical analysis, Automatic music composition, Control strate-

gies, Melodic descriptors, Multivariate statistical analysis.

xv

Introduccion

Aunque el caos, en terminos generales, ha sido ampliamente estudiado en los ultimos anos,

aun no existe una definicion precisa sobre el comportamiento caotico en los sistemas dinami-

cos, por tal razon, y desde un punto de vista practico, se considera que un sistema dinamico

contiene comportamiento caotico cuando su comportamiento actual es una estado estable

acotado que no se puede describir dentro de los comportamientos dinamicos plenamente

definidos como un punto de equilibrio o una orbita periodica [19]. Este tipo de compor-

tamiento ha despertado gran interes debido a sus caracterısticas particulares, en especial a

la propiedad de comportarse como ruido determinista, esta caracterıstica ha sido explotada

en diferentes aplicaciones desde la encriptacion y desencriptacion de datos [32] hasta la gen-

eracion automatica de variaciones musicales sobre un tema dado [25], ya que permite generar

resultados complejos y siempre iguales para pequenas variaciones de las condiciones iniciales

o de algunos de los parametros [56].

Los sistemas caoticos han sido utilizados para la generacion de musica automatica desde

finales de la decada de los 80’s, debido a que es posible obtener resultados con gran interes

musical al facilitar la manipulacion de la monotonıa melodica y a que permite la creacion

de una gran cantidad de fragmentos musicales diferentes con tan solo variar un poco las

condiciones inciales del sistemas caotico [72]. Sin embargo, no todos los experimentos han

arrojado resultados musicales con valor artıstico y con caracterısticas musicales coherentes

independientes de mero interes experimental. Por otra parte, solo se han empleado algunos

de los muchos sistemas caoticos existentes [10] y por lo general algunos de estos han sido

utilizados de forma recurrente para esta tarea [71], dejando de lado otros sistemas caoticos

que pudiesen generar buenos resultados. Por tal razon, se propone estudiar algunos de los

sistemas caoticos que aun no han sido aplicados en la generacion automatica de musica

como el sistema de Chen y el modelo del giroscopio, dejando ademas la posibilidad de poder

introducir libremente el sistema de ecuaciones de cualquier sistema dinamico conocido o

desconocido.

Este documento se encuentra dividido en tres partes. La parte I esta conformada por las

secciones preliminares. La parte II contiene los fundamentos teoricos sobre la dinamica no

lineal y el caos y las definiciones y los conceptos musicales necesarios, los cuales se encuen-

tran distribuidos en tres capıtulos. El primero, describe la teorıa de los sistemas dinamicos

no lineales haciendo especial enfasis en los sistemas caoticos y en las bifurcaciones y tam-

xvi

bien se describen algunos de los metodos empleados para el control del caos, el segundo

capıtulo contiene la descripcion de los atractores caoticos empleados y analizados en los re-

sultados y el tercer capitulo trata sobre los fundamentos musicales y los indicadores melodi-

cos. La Parte III contiene la descripcion de la metodologıa propuesta para la composicion

automatica de musica caotica y los experimentos y los resultados obtenidos. Se describe de-

talladamente el algoritmo propuesto para la generacion de fragmentos musicales por medio

de atractores caoticos; seguidamente se presentan los experimentos realizados para probar

dicha metodologıa. Finalmente se encuentran las conclusiones, las observaciones, el trabajo

futuro y los apendices.

xvii

Antecedentes y Estado del arte

Antecedentes

La composicion de musica caotica comienza aproximadamente a finales de la decada de los

80’s, epoca en la cual empezaron a aparecer las primeras investigaciones relacionadas con

el analisis de las estructuras fractales contenidas en la musica clasica [48]. Esto se debe en

parte, a las investigaciones realizadas por Mandelbrot a finales de la decada de los 70’s,

algunas de las cuales se encuentran en su libro ”The Fractal Geometry of Nature”[57]. Estas

nuevas teorıas llevaron a despertar el interes por buscar y analizar estructuras fractales en

diferentes areas, dentro de estas la musica [49][27]. Posteriormente y en parte debido a la

relacion existente entre la geometrıa fractal y el comportamiento caotico, a finales de la

decada de los 80’s y principios de los 90’s, algunos investigadores entusiastas de la teorıa

del caos comenzaron a explotar el potencial musical de los sistemas dinamicos no lineales y

especialmente aquellos que presentan comportamiento caotico [72].

Los primeros acercamientos a la musica generada con funciones caoticas tiene sus orıgenes

en los experimentos realizados en musica autosimilar [12], que dio paso a las aplicaciones

de estructuras fractales para la generacion automatica de musica, creando un nuevo genero

musical dentro de la composicion asistida por computador, denominado ”musica fractal”[27].

Uno de los metodos para la generacion algorıtmica de objetos fractales, conocido como

sistemas de funciones iteradas (IFS, por sus siglas en ingles), y un caso particular de estos, los

sistemas-L (debido a su creador el biologo danes Lindenmayer), empezaron a ser explorados

en experimentos musicales [73]. Relacionando todo lo anterior, se empezaron a usar funciones

iteradas en la composicion algorıtmica [38] y junto a estos los mapas no lineales [72]. Los

pioneros en la aplicacion de sistemas dinamicos caoticos en la composicion algorıtmica son:

Jeff Pressing (1988), Michael Gogins (1991), Peter Beyls (1991), Rick Bidlack (1992) y Diana

Dabby (1995).

Uno de los primeros en aplicar y proponer el uso de sistemas dinamicos con comportamien-

to caotico y bifurcaciones en la composicion musical fue Jeff Pressing [72]. En su obra se

expone la implementacion de mapas discretos no lineales como generadores musicales inten-

tando explotar al maximo sus diferentes fenomenos como los puntos fijos, los ciclos lımite,

las bifurcaciones, el caos y los atractores extranos. Para tal fin, utiliza mapas no lineales

con diferentes dimensiones como la ecuacion logıstica, modificaciones del mapa de Metz, el

xviii

modelo depredador presa discreto, el conjunto de Julia discreto y dentro de los sistemas de

alto orden utilizo un mapa en cuatro dimensiones basado en los estudios hechos por Rossler

en hipercaos. Para este ultimo es necesario manejar la teorıa de cuaterniones desarrollada

por Sir William Hamilton. Los datos obtenidos con estos mapas fueron convertidos a un

espacio musical y aplicados a diferentes variables musicales como la altura, la duracion, el

ataque y la dinamica [72]. Los grandes aportes de Pressing, no solo le dan el merito de ser

el pionero de la musica caotica sino tambien, a criterio personal, un gran visionario de la

musica algorıtmica; resaltando ademas, que los ejemplos sonoros presentados son de gran

valor musical.

En el campo de los sistemas de funciones iteradas, Gogins se fundamenta en las teorıa de los

fractales expuestas por Barnsley. Afirma que, en algunos importantes aspectos, este metodo

parece ser mas general y mas poderoso que los metodos previos para generar partituras de

fractales, tales como curvas de Koch , distribuciones 1/f y sistemas dinamicos no lineales

como el conjunto Julia. Defiende el uso de los sistema de funciones iteradas enfatizando en

que estos pueden producir fractales continuos y discontinuos, autosimilares y no autosimi-

lares, y fractales en los cuales parecen contener elementos no fractales. Escribio un programa

denominado IFSMUSIC, en GFA BASIC 2.0 para la computadora Atari 520ST. El programa

genera secuencias de archivos estandar MIDI para ser usados como composicion autoconteni-

da o como material crudo para manipulacion y combinacion con secuenciadores comerciales.

Algunas de las funciones con las que trabajo son: el conjunto de Mandelbrot, el conjunto de

Julia, el triangulo de Sierspinsky y fractales de forma hexagonal [38].

Por su lado, Beyls propuso usar sistemas dinamicos complejos en contraposicion a los meto-

dos de inteligencia artificial (sistemas expertos y reconocimiento de patrones) que se estaban

llevando a cabo en aquella epoca en la computacion musical. Destaca las virtudes del com-

portamiento caotico, subraya el beneficio de experimentar con atractores en lugar de sistemas

basados en reglas. Por tal razon, para la generacion espontanea de patrones implemento y

evaluo varios modelos como los automatas unidimensionales, la simulacion directa de inesta-

bilidades quımicas como las dadas en el la reaccion-BZ y un modelo espacial para explorar

el equilibrio de comportamiento en una sociedad de interaccion de agentes moviendose en

un espacio 2D [9].

En su tesis doctoral de la Universidad de California, Bidlack describe el uso de sistemas

caoticos para generar eventos de notas musicales. El caos es empleado como un algoritmo para

hacer selecciones de los parametros de las notas tales como la altura, el nivel de dinamica,

el ritmo y la instrumentacion. En lugar de visualizar la salida de los sistemas caoticos como

musica concluida, considero mejor tal salida como un material de base potencialmente util,

musicalmente hablando. Hace una distincion clara entre los sistemas conservativos y los

disipativos, y haciendo uso de esta clasificacion, experimenta con sistemas dinamicos caoticos

en dos, tres y cuatro dimensiones. Para el caos en dos dimensiones usa el mapa de Henon y

el mapa estandar: caos en un torus; para el caos en tres dimensiones empleo el atractor de

Lorenz y para el caos en cuatro dimensiones el sistema de Henon-Heiles. Ademas, las secciones

xix

de Poincare de Henon-Heiles tambien fueron mapeadas dentro de un espacio musical [10].

Seguidamente al trabajo realizado por los pioneros, encontramos la polifacetica carrera mu-

sical de Gary Lee Nelson, el cual ha trabajado con algoritmos fractales [61], algoritmos

geneticos [63], sistemas de Lindenmayer [62], sıntesis granular, funciones iteradas y sistemas

caoticos entre otros [64]. Su inicio se remonta al uso de los algoritmos fractales y su fusion con

los algoritmos geneticos. En su obra ”The Voyage of the Golah Iota”de 1993, usa tecnicas de

sıntesis granular y el mapa logıstico de Verhulst, este ultimo es usado como funcion recursiva

para generar patrones musicales que varıan de un evento repetitivo simple a secuencias de

gran complejidad con la variacion de un simple parametro. Conjuntamente con esto, uso una

interpolacion con forma de arco que cubre la duracion total de la pieza para interpolar los

datos dados por la ecuacion logıstica, ademas uso la seccion de oro para determinar la pro-

porcion entre los gestos de subida y de bajada. Los valores de la ecuacion logıstica fueron

escalados y mapeados hacia 7 octavas, en un rango de pitch 1 microtonal de 192 notas por

octava [64].

En su articulo ”Processes in Algorithmic Composition: Chaos and Music”, James Harley

expone el uso de funciones no lineales generativas. Su trabajo se enfoca en el desarrollo de

funciones de proposito general las cuales pueden ser combinadas y aplicadas en varias formas

dependiendo de los parametros musicales requeridos. Escribio el programa CHAOTICS, el

cual consiste de una coleccion de modulos escritos en lenguaje C con una interface de usuario

rudimentaria. Hasta cierto punto, la incompletitud del sistema es intencional, evita imponer,

tanto como sea posible, cualquier restriccion estilıstica o tecnica al usuario [44].

Posteriormente y basandose en la idea de que un mapeo caotico puede proporcionar una

tecnica para generar variaciones musicales de un trabajo original, Diana Dabby en su tesis

doctoral propone el uso de sistemas dinamicos caoticos. Ya que una de las principales carac-

terısticas de los sistemas caoticos es la sensibilidad de la trayectorias caoticas a las condiciones

iniciales, entonces por medio de estas, utilizo los variados y complejos datos de salida del

atractor de Lorenz para producir cambios en las secuencias de las alturas de una pieza orig-

inal de Bach, creando virtualmente un numero ilimitado de posibles variaciones de un tema

dado [25] [50].

Paralelamente a las investigaciones realizadas durante esta epoca tambien se encuentran

aplicaciones de los sistemas caoticos en la creacion de sıntesis sonora [82] [60] y en la creacion

de nuevos instrumentos y senales musicales por medio del circuito de Chua [17] [77] [36].

En cuanto a Colombia las investigaciones que mas se aproximan al tema, son los trabajos

realizados por el compositor Juan Reyes, el cual genera senales musicales usando frecuencias

hapticas para variar senales de control y parametros estimulados por medio de sistemas

dinamicos como el mapa de Henon, el atractor de Lorenz y aplicaciones del filtro de Teager

[76].

Dentro del catalogo de investigaciones realizadas al interior de la Universidad Nacional de

Colombia, aun no se han encontrado tesis o publicaciones relacionadas con el tema. Y al

1Nombre tecnico para denominar un tono musical.

xx

interior de la sede Manizales, hasta la fecha no se ha investigado oficialmente sobre esto.

Inclusive en ninguna universidad de la ciudad se han encontrado hasta la fecha investigaciones

dentro del campo de la musica automatica o composicion algorıtmica, diferentes a las del

autor [22][24]. Todo lo anterior refleja la novedad y la importancia de esta propuesta, ya que

indica que la futura tesis asociada sera una de las primeras en abordar el tema en la region

de una forma estricta y metodologica como lo es el desarrollo de una tesis de maestrıa.

Estado del arte

Aunque se han hecho diversas investigaciones relacionadas con los sistemas caoticos aplicados

a la composicion musical, estas hacen parte de una minorıa dentro de las diferentes areas de

investigacion en ingenierıa, ademas hacen parte de los campos de investigacion mas reciente

y nuevos. Por tal razon, las investigaciones de este tipo son escasas con relacion a otro tipo

de investigaciones y su crecimiento es relativamente bajo. Debido a esto, el estado del arte

presentado a continuacion cubriran un perıodo de 7 anos desde 2001 hasta 2007.

Basandose en el hecho de que una pieza musical es usualmente formada por patrones similares

o frases ordenadas para dar a la composicion estructura, y ademas contiene cierto grado de

incertidumbre para conservar el interes del escucha, en [4] se relacionan estas caracterısticas

musicales con caracterısticas similares propias de los sistemas dinamicos caoticos, conjuntos

fractales y gramaticas, con el fin de modelar estos aspectos y desarrollar algoritmos para

la generacion automatica de musica, enfocandose principalmente en su estructura melodica

y rıtmica. Ademas, por medio del uso de gramaticas se aplican algunas restricciones para

conservar los principios mas basicos de la teorıa musical.

La primera intencion de unificar una teorıa sobre musica caotica se encuentra en [89], aquı se

desarrolla una interesante teorıa sobre melodıas caoticas a partir del resultado de iterar dos

funciones en variable real y compleja. La primera funcion utilizada es f(x) = 1 − rx2 y la

segunda es la conocida ecuacion de Verhulst. Estas funciones son usadas para generar un flujo

de numeros que son escalados y mapeados a numeros de notas MIDI. Ademas se clasifican los

resultados en melodıas simples si las ecuaciones manejan valores reales y complejas si utilizan

variable compleja y se compara ciertos aspectos de la teorıa musical occidental tradicional,

tambien desarrolla un conjunto de funciones en el lenguaje visual Opcode’s Max y por ultimo

se desarrolla un instrumento musical para controlar el caos. Se expresa claramente que solo

se controla la frecuencia, dejando de lado voluntariamente otros parametros como el timbre,

el ritmo y las dinamicas.

Dentro del campo de la composicion de musica electroacustica, Puig [74] utiliza los sistemas

dinamicos no lineales con el objetivo de organizar el material musical para posteriormente

implementar los modelos en software especializado en la composicion asistida por computador

(CAC) y crear tres tipos de patches en el lenguaje Max/MSP. Estos son difundidos a traves

de un sistema cuadrafonico, cuyos altos parlantes son colocados en las aristas de un cuadrado

en el espacio de difusion.

xxi

El primer patch denominado “mar” es utilizado en la composicion Revoada, aquı se imple-

menta una modificacion en la velocidad de reproduccion de pequenas grabaciones de las

ondas del mar a partir de los resultados numericos del sistema de ecuaciones no lineales de

Henon-Heiles. El segundo patch utiliza las mismas ecuaciones pero ahora con el fin de per-

turbar cuatro osciladores en relacion a su frecuencia central y su amplitud, con el cual logra

sintetizar los sonidos de los insectos nocturnos a partir de osciladores de baja frecuencias.

El tercero es utilizado en algoritmos de espacializacion.

El objetivo de utilizar las ecuaciones de Henon-Hailes es emular el movimiento del vuelo de

las palomas, las curvas que describan estas pueden tambien ser utilizadas para modelar este

tipo de trayectorias en un espacio tridimensional.

En los anos recientes la aplicacion de los sistemas dinamicos en la musica, no ha tenido unica-

mente objetivos meramente esteticos, musicales y artısticos, sino que tambien ha entrado en

el mundo de la multidisciplinariedad. Lo anterior se explica mejor describiendo brevemente

el trabajo realizado en [28], en el cual se muestra como la traslacion al espacio sonoro-musical

de algunas caracterısticas cuantitativas del oscilador de Chua ayuda a entender mas facil-

mente la complejidad. Para esto, crearon muchas composiciones acusticas y musicales, la

cuales presentan las caracterısticas del sistema dinamico desde un punto de vista percepti-

vo. Encontraron ademas, que las habilidades cognitivas humanas pueden ser analizadas de

extensos y complicados patrones producidos por el sistema de Chua traducidos a musica,

logrando la economıa cognoscitiva, la coordinacion y la sıntesis de los innumerables datos

que ocurre en la percepcion de eventos dinamicos del mundo real. Demostrando ası, que la

musica puede ser considerada como la semantica de los sistemas dinamicos y que proveen

un metodo poderoso para interpretar la complejidad.

Continuando con las recientes e innovadoras investigaciones interdisciplinarias Baier, Her-

mann y Muller proponen las bases para el analisis de series de tiempo complejas y multi-

variadas como el EEG humano. Estas bases se encuentran en los estudios de la organizacion

rıtmica de osciladores no lineales acoplados. Aquı, osciladores con diferente frecuencia inter-

na son acoplados entre si para generar una gran variedad de patrones rıtmicos periodicos

y caoticos. La sonificacion de estos, produce polirıtmias variadas y complejas que permiten

encontrar la interrelacion con los mismos. Para cada caso de dos osciladores acoplados, la

organizacion de esas polirıtmicas es ejemplificada como una funcion de la razon de frecuen-

cia interna de la fuerza de acoplamiento. El par de osciladores utilizados fue el modelo de

FitzHugh-Nagumo (FHN) [33].

En [20] se presenta una variacion de como la aproximacion dual de usar funciones no lineales

iteradas para generacion algorıtmica en musica y en parametros musicales (microsonido

y sıntesis de parametros), pueden ser usada conjuntamente en un posible modelo para la

generacion de sonido basada fundamentado en las redes dinamicas no lineales. Estas redes

son consideradas como grafos dirigidos de sistemas acoplados de ecuaciones diferenciales

ordinarias. El grupo simetrico de esos sistemas de ecuaciones juega un crucial rol en el

entendimiento de salidas de series de tiempo de nodos particulares de redes y el resultado de

xxii

formacion de patrones. Ellas implican un catalogo de diferentes formas de comportamiento

del cual el comportamiento actual es seleccionado.

El trabajo tradicional de utilizar metodos no lineales en composicion se han centrado en

ajustar un sistema dinamico cuyo parametros son variados y mapeados musicalmente en

tiempo real, una aproximacion bottom-up. El autor aquı considera una metodologıa difer-

ente, considerando un modelo top-down que toma como su punto de partida el catalogo de

soluciones de una red. Las propiedades del grupo de la red fuerzan ese comportamiento a

motivos acordes con las condiciones del parametro local. Ademas, se exploran las periodi-

cidades que surgen en redes acopladas y modelos a traves de los puntos de bifurcacion con

cadenas de Markov [20].

xxiii

Parte II

Marco teorico

xxiv

Capıtulo 1

Dinamica no lineal, bifurcacion y caos

Un sistema no lineal se definen como el sistema dinamico que presenta al menos un compo-

nente no lineal, proveniente de las ecuaciones o de otras caracterısticas. El comportamiento

dinamico de los sistemas no lineales es mucho mas complejo y rico que el de los sistemas

lineales, ya que debido a la carencia de la linealidad y por consiguiente del principio de su-

perposicion, los sistemas no lineales responden a las entradas externas de manera diferente a

los sistemas lineales y tambien poseen comportamientos que unicamente pueden encontrarse

en los sistemas no lineales [6].

Algunos de los diferentes comportamientos que pueden presentar los sistemas no lineales

son: la dependencia de la amplitud de la excitacion, multiples equilibrios aislados, escape de

tiempo finito, ciclos lımites u oscilaciones, dependencia critica de los parametros, existencia

subarmonicos o soluciones cuasi periodicas, caos o dependencia critica de las condiciones

iniciales y bifurcaciones[6].

1.1. Sistemas caoticos

En la literatura matematica se han presentado multiples y variadas definiciones de caos.

Una de las primeras definiciones, fue sugerida por en una conferencia sobre caos realizada en

1986 en Londres: “comportamiento estocastico que ocurre en un sistema determinista”. Esta

definicion provienen del hecho de que un sistema presente un comportamiento aparentemente

aleatorio e irregular, a pesar de provenir de un sistema determinista, lo cual dificulta la

prediccion exacta de valores futuros a partir de la acumulacion de datos pasados [41].

A continuacion se define de una forma matematica y rigurosa un sistema caotico. Una funcion

f es caotica si dado un conjunto V , la relacion f : V → V es:

1. Sensible a las condiciones iniciales: Se dice que una funcion f : V → V tiene

dependencia de las condiciones iniciales si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ V y

cualquier vecindad N de x, existe un y ∈ V y un n ≥ 0 tal que |fn (x)− fn (y)| > δ2.

Es decir, para puntos despues de algunas iteraciones, puntos inicialmente cercanos a x

se separaran como mınimo en un valor positivo δ.

2. Transitividad topologica: Una funcion f : V → V posee transitividad topologica

1

1. Dinamica no lineal, bifurcacion y caos 2

cuando para cualquier par de conjuntos abiertos (U ∧W ) ∈ V existe un k > 0 tal

que fk (U) ∩ W 6= ∅. Equivalente a decir que, es posible encontrar un conjunto de

condiciones iniciales de U despues de ser iteradas conducen a valores de W .

3. Los puntos periodicos son densos en V : Para cualquier condicion inicial x0, existe

otra condicion inicial y0 que es arbitrariamente cercana y periodica.

1.2. Caracterıstica de los atractores caoticos

Una manera de caracterizar un atractor caotico extrano es mediante su dimension y mediante

algunas medidas de cuantificacion de su comportamiento dinamico.

Existen distintas medidas de la dimension, algunas solo intentan estudiar la geometrıa del

objeto, mientras que otras observan la dinamica que tiene lugar en el. En esta seccion se

estudiaran dos tipos de cuantificadores del comportamiento dinamico, los exponentes de

Lyapunov y el coeficiente de Hurst, y tres medidas de la dimension fractal: la dimension de

contado de cajas, la dimension de informacion y la dimension de correlacion.

1.2.1. Exponente de Lyapunov

Una de las principales caracterısticas de los sistemas dinamicos con comportamiento caotico

es la sensibilidad a las condiciones iniciales que origina divergencia de las orbitas a lo largo

de su tiempo de evolucion. La divergencia entre orbitas cercanas produce expansion de

la distancia de separacion entre orbitas cercanas, la tasa de expansion es medida por los

exponentes de Lyapunov. Entonces, los exponentes de Lyapunov son una medida cuantitativa

de la sensibilidad a las condiciones iniciales. Por lo anterior, se deduce que un exponente de

Lyapunov positivo indica divergencia (expansion), uno negativo convergencia (contraccion)

y uno cercano a cero indica simultaneidad de ambas, es decir, divergencia y convergencia,

comportamiento que se presenta en un ciclo lımite o en un punto de equilibrio. Por lo

anterior, se deduce que un exponente de Lyapunov positivo caracteriza a un sistema caotico

y un sistema se considera caotico si tiene como mınimo un exponente de Lyapunov positivo

(la suma de todos los exponentes de Lyapunov debe ser negativa) [19].

El numero de exponentes de Lyapunov de un sistema es igual orden del mismo. Para un

atractor extrano de tercer orden las posibilidades son:

(+,0,-): un atractor extrano

(0,0,-): Torus-2

(0,-,-): ciclo lımite

(-,-,-): punto fijo


Por otro lado, una contraccion debe pesar mas que una expansion, una condicion adicional

sobre caos estable en 3D es λ3 < −λ1.

En sistemas de cuarto orden hay tres posibilidades:

(+,0,-,-): un atractor extrano caotico

(+,+,0,-): atractor extrano hipercaotico, donde el sistema mas conocido es el sistema

Hipercaos de Rossler)

(+,0,0,-): Caos 2-Torus. Este caso aun no ha sido observado.

Determinacion de los exponentes de Lyapunov

Si se tiene un sistema unidimensional de la forma xt+1 = f (xt), y se parte de dos puntos

cercanos x0 y x0 + ε, entonces en cada iteracion las orbitas divergiran una de la otra y al

cabo de varias iteraciones estos puntos, que inicialmente estaban proximos, se encontraran

ahora en fN (x0) y fN (x0 + ε) respectivamente. Suponiendo que la diferencia de separacion

tiene un crecimiento exponencial dependiente del punto de partida x0, se tiene∣∣fN (x0)− fN (x0 + ε)∣∣ = εeλiN (1.1)

Ademas, si se supone que la distancia de separacion inicial tiende a cero ε → 0, que el

numero de iteraciones tiende a infinito N →∞ y se despeja λi de la ecuacion (1.1),

λi = lımN→∞

1

Nlog

∣∣∣∣dfN (x0)

dx0

∣∣∣∣ (1.2)

Ya que fN (x0) es una funcion compuesta, se deriva segun la regla de la cadena, de la siguiente

forma

dfN (x)

d (x)=

N−1∏i=0

f ′ (xi) (1.3)

La cual se reemplaza en la ecuacion (1.2) queda

λi = lımN→∞

1

Nlog

∣∣∣∣∣N−1∏i=0

f ′ (xi)

∣∣∣∣∣ (1.4)

y debido a la propiedad de logaritmo de productos se llega a la expresion final para el calculo

de los exponentes de Lyapunov λi,

λi = lımN→∞

1

N

N−1∑i=0

log |f ′ (xi)| (1.5)

Es importante resaltar que los exponentes de Lyapunov son casi siempre iguales para todas

las condiciones iniciales [3].


Algoritmo de Wolf para el calculo de los exponentes de Lyapunov

El calculo directo de los exponentes de Lyapunov por medio de la ecuacion (1.5) requiere un

tiempo computacional. Por tal razon, desde hace varias decadas se ha desarrollado algoritmos

para facilitar el calculo de dichos exponentes. Dentro de los algoritmos existentes se encuentra

el algoritmo de Wolf [3] que basa en la factorizacion de matrices QR; factorizacion que

es posible lograr por varios metodos siendo el mas conocido la ortogonalizacion de Gram-

Schmidt (GS).

El algoritmo de Wolf es numericamente inestable debido a que la matriz Q se podrıa desviar

de la ortogonalidad debido a la acumulacion de errores de aproximacion. Por tal razon se

han propuesto varios metodos como el Gram-Schmidt modificado (GSM), reortogonalizacion

Gram-Schmidt (RGS) y variantes de los metodos de factorizacion QR como el HQR que

utiliza la transformacion de Householder, que lo hace mas eficiente [1].

Para hallar una aproximacion de todos los exponentes de Lyapunov, se halla la factorizacion

QR del producto de los Jacobianos J de cada iteracion. Se usa secuencialmente la factor-

izacion QR, donde qr [.] denota la factorizacion QR [42].

qr [JmJm−1 . . .J1] = qr [JmJm−1 . . .J2 (J1Q0)] = qr [JmJm−1 . . .J3 (J2Q1)] [R1]

= qr [JmJm−1 . . . (J3Q2)] [R2R1] = . . . =

= qr [JmJm−1 . . . (JiQi−1)] [Ri−1Ri−2 . . .R2R1] = . . . =

= Qm [Rm . . .R2R1] = QmR (1.6)

Comenzando con el Jacobiano inicial Jm−1, en cada iteracion i, se realiza la premultiplicacion

Vi = JiQi−1 = QiRi, donde V es la ecuacion variacional de sistema. La matriz R es el

producto de las matrices Rm . . .R2R1 obtenida de manera secuencial. Los elementos de la

diagonal principal de R, es el producto de los elementos de las diagonales de todos los Ri y

estos estan relacionados con los exponentes de Lyapunov de la siguiente forma

λk =1

m

m∑i=1

ln |Ri (k, k)|, k = 1, 2, . . . , n (1.7)

1.2.2. Analisis del Rango Re-escalado de Hurst

El analisis del rango re-escalado, o analisis R/S, fue propuesto en 1969 por Wallis y posterior-

mente revisado por Mandelbrot. Este tipo de analisis es usado para cuantificar la rugosidad

de un atractor o una serie de tiempo, entendiendose por rugosidad, la dependencia a largo

plazo. El estadıstico R/S, a partir de las sumas parciales de una serie de datos determina el

rango de las desviaciones existente a partir de su media, re-escala por la respectiva desviacion

estandar. La importancia del analisis R/S es que sirve para determinar el exponente de Hurst

[58].


Para estimar el exponente de Hurst a partir del analisis R/S se debe determinar R/S para

diferentes fracciones de la serie de tamano N, y posteriormente obtener mınimos cuadrados

ordinarios, obteniendo

logR

S= a+H log n (1.8)

donde H es el coeficiente de Hurst, el cual varia entre 0 y 1 (Mandelbrot, 1972).

Los posibles valores que puede tomar el coeficiente de Hurst, se interpretan segun la siguiente

tabla.

Hurst Significado0 < H < 0,5 No persistenciaH = 0,5 Independencia

0,5 < H < 1 Persistencia

Tabla 1.1: Valores posibles del coeficiente de Hurst

La persistencia indica que los datos contienen algun tipo de dependencia entre ellos, similar

a un movimiento browniano ordinario o una serie temporal con memoria. Para H = 0,5,

indica que los datos de la serie son independiente, similar al ruido blanco y para valores

entre 0 < H < 0,5, indica antipersistencia, similar al ruido rosa

Para el calculo del coeficiente de Hurst, se determina la distancia que el sistema recorre en

una unidad de tiempo n, que se denomina rango ajustado R (n), se normaliza con respecto

a la media y se expresa en terminos de la desviacion tıpica local (R/S) (este procedimiento

se conoce como re-escalado). Repitiendo este proceso para distintos valores de n, se puede

ajustar a la funcion (R

S

)n

= a · nH (1.9)

Donde a es una constante y H es el exponente de Hurts.

1.2.3. Dimension fractal

En la geometrıa euclidiana, un objeto continuo en el espacio (un punto, una linea, una

superficie o un volumen) posse una dimension euclidiana tal que De ∈ N. Sin embargo

existen objetos que no se satisfacen esta propiedad, ya que poseen una dimension irracional.

En este caso se dice que el objeto posee una dimension fractal Df . Como precedente a la

dimension fractal nos encontramos con la dimension definida por Felix Hausdorff en 1919,

perfeccionada mas tarde por Besicovitch [85].

Para determinar la dimension fractal se parte del siguiente concepto: El numero de objetos

elementales N (L), de longitud L, necesario para cubrir completamente un objeto que ocupa

un espacio de tamano 1, se relaciona con la dimension del objeto de la siguiente manera


N (L) · LD = 1 (1.10)

Donde D, es la dimension del objeto, que para una longitud es igual a 1, para una superficie

igual a 2, para un volumen igual a 3, es decir, para una objeto continuo Df = De. Despejando

de la ecuacion (1.10), se obtiene la dimension fractal Df , que es una generalizacion de la

dimension euclıdea, De.

Df =log (N (L))

log(

1L

) (1.11)

El calculo de la dimension fractal con la ecuacion (1.10) no siempre es facil. Mas aun, cuando

el objeto de estudio es una serie temporal o un atractor. Por tal razon, se han propuesto

algunos metodos para su calculo adaptables al tipo de objeto.

Dimension de conteo de cajas

Este metodo se basa en dividir una region que contenga todo el atractor en N (s) objetos

(lıneas, cajas, cırculos...etc) de tamano s, y contar el numero de veces que esta contenido es

una parte del atractor . Se repite el procedimiento para tamanos menores sj < s , llegando

a la siguiente relacion

N (s) =

(1

s

)Df· LDf (1.12)

Al despejar Df , se encuentra que la dimension fractal por el metodo de conteo de cajas co-

rresponde a la pendiente del grafico de log (N (s)) versus log(

1s

), segun la siguiente expresion

Df = lıms→0

log (N (s))

log(

1s

) (1.13)

El metodo por conteo de cajas trae consigo el problema de tener que adaptar el tamano de

s en cada iteracion, lo que incrementa el numero de iteracion y el tiempo de computo en el

conteo N (s). Ademas, no es posible conocer el numero mınimo de iteraciones requeridas en

el conteo, elevandose considerablemente el tiempo computacional para hallar la dimension

fractal en atractores multidimensionales [41].

Dimension de informacion

Para un atractor comprendido dentro del espacio X, es posible contar el numero de veces

que la orbitas x0, x1, x2, . . . ∈ X, que estan contenidas en el subconjunto B ∈ X. Debido a

que con el incremento de las iteraciones, el numero el numero de orbitas contenidas en B se

estabilizan, entonces se puede definir la siguiente funcion


µ (B) = lımn→∞

1

n+ 1

n∑k=0

ρ (xk) (1.14)

donde ρ (xk) se define como

ρ (xk) =

1, x ∈ B0, x /∈ B (1.15)

y la sumatoria indica el numero de orbitas contenidas en B.

En lugar de utilizar N(s) de la dimension de contado de cajas se utiliza la siguiente funcion:

I (s) =

N(s)∑k=1

µ (Bk) log2

1

µ (Bk)(1.16)

en la que I (s) indica la cantidad de informacion necesaria para especificar un punto del

atractor con una precision de s. Esta cantidad de informacion I (s), se relaciona con la

dimension de informacion Di de la siguiente forma

I (s) ≈ I0 +Di log2

1

s(1.17)

Entonces la dimension de informacion es la pendiente de la lınea del grafico de I (s) vs.

log2 (1/s).

1.2.4. Dimension de correlacion

La dimension de correlacion Dc mide la complejidad de un sistema dinamico, permitiendo

diferenciar el comportamiento determinista del comportamiento caotico.

La dimension de capacidad practica para sistemas con dimension igual o menor a 2, debido

a que para sistemas con mayor dimension se requieren objetos de conteo con dimension igual

a la del sistema (hiperesfera). Para solucionar este inconveniente Grassberger y Procaccia

desarrollaron el concepto de dimension de correlacion Dc, el cual se basa en el uso de la

integral de correlacion Cm (r) [41]. La integral de correlacion determina la probabilidad de

que un par de puntos puntos del sistema se encuentren a una distancia menor que r en la

Dimension m, es decir, determina la probabilidad de que un par de puntos contenidos en

una hiperesfera de m dimensiones y de radio r (Funcion de Heaviside), esten contenidos en

dentro del numero de pares de puntos que conforman el sistema N2. de la siguiente forma,

Cm (r) =1

N2

N∑i,j=1

θ (r − ‖~xi − ~xj‖) (1.18)

donde N es el numero de observaciones del sistema, r es la distancia de umbral, xi y xj son

dos observaciones del sistema y θ (r − ‖~xi − ~xj‖) es la funcion de Heaviside que determina

el numero de puntos del sistema que se encuentran a una distancia menor de r, ası


θ (x) =

1, r − ‖~xi − ~xj‖ > 0

0, r − ‖~xi − ~xj‖ ≤ 0(1.19)

La integral de correlacion es una funcion de probabilidad, que determina la probabilidad

de que numeros par de puntos contenidos en una hiperesfera de m dimensiones y de radio

r (Funcion de Heaviside), esten contenidos en dentro del numero de pares de puntos que

conforman el sistema N2.

Debido a que la integral de correlacion es proporcional a la distancia de umbral r, de la

siguiente forma

Cm (r) = rDc (1.20)

entonces se puede despejar la dimension de correlacion Dc al tomar logaritmos a ambos lados

de la ecuacion (1.20)

Dc =logCm (r)

log r(1.21)

Para una dimension de insercion m podemos calcular la dimension fractal calculando la pen-

diente de logCm versus log r. Pudiendose clasificar un sistema estocastico no lineal de uno

determinista no lineal por medio de su dimension de correlacion, ya que para un sistema

estocastico no lineal la dimension de correlacion aumenta proporcionalmente conforme au-

menta su dimension de insercion, mientras que para un sistema determinista la dimension

de correlacion siempre sera inferior a su dimension de capacidad, independientemente del

numero de dimensiones en las que se inserte al sistema [80].

Se ha demostrado que la dimension de correlacionDc es inferior a la dimension de informacion

Di y a la dimension fractal Df .

Dc ≤ Di ≤ Df (1.22)

1.3. Metodos para el control del caos

1.3.1. Metodo de OGY

El primer metodo para controlar el caos fue propuesto por Ott,Grebogi y Yorke en 1990,

y debido a sus autores se conoce como el metodo OGY. Este metodo utiliza una orbita

periodica inestable (UPO, unstable period orbits) embebida dentro del atractor con el fin

de poder llevar las trayectorias suficientemente cercanas a esta por medio de la aplicacion

de pequenas perturbaciones en algun parametro de control [16]. Considere la familia de

sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden en tiempo continuo dadas

por la siguiente ecuacion


dx

dt= F (x, β) (1.23)

donde x ∈ R3 es el estado, f : Rn → Rn es un campo vectorial suave y β son los parametros

del sistema. El parametro del sistema puede ser variado dentro de un rango pequeno dado por

β∗−∆βmax < β < β∗+ ∆βmax, donde ∆βmax es lımite maximo de variacion de β permitido.

Entonces, es valido suponer que para β = β∗ el sistema presenta comportamiento caotico

[40].

El metodo OGY se fundamenta en determinar un conjunto de orbitas caoticas inestables a

partir de la seccion de Poincare P del atractor del sistema y posteriormente seleccionar una

de estas.

Sea Σ una superficie bidimensional de Poincare, la cual define un mapa de poincare P . Se

denota P (ξ) como el punto en el cual la trayectoria que comienza en ξ interseca Σ por primera

vez. Se selecciona una orbita periodica inestable embebida en el atractor, como objetivo de

control, ası que para un sistema tridimensional se tiene

P : R2 × R (ξ, β)→ P (ξ) ∈ R2 (1.24)

Por simplicidad, se asume que P es diferenciable y que ξF es un punto fijo del mapa P

(orbita de periodo 1) para p = p0 (P (ξF , p0) = ξF ). La aproximacion de primer orden de P

en la vecindad de (ξF , p0), es de la forma

P (ξ) ≈ P (ξF , p0) + A · (ξ − ξF ) + w · (p− p0) (1.25)

donde A es la matriz Jacobiana de P en el punto fijo y w = δPδp

(ξF , p0) es la derivada de P con

respecto a p. La estabilizacion del punto fijo se logra por medio de la siguiente realimentacion

p (ξ) = p0 + cT (ξ − ξF ) (1.26)

El vector c se calcula con la ecuacion (1.27), donde λu es el valor propio inestable y fu es el

vector propio contravariante e inestables de A [18].

c =− λufTu w

fTu (1.27)

1.3.2. Metodo de control de realimentacion por retardo de tiempo

(TDAS)

El metodo de realimentacion por retardo de tiempo TDAS (por sus siglas en ingles, Time-

Delayed Feedback), generalmente conocido como metodo de Pyragas. Fue propuesto en 1992

por el fısico lituano K. Pyragas [78]. En este metodo se considera el problema de estabilizar

una orbita inestable τ -periodica embebida en el sistema no lineal por medio de una simple

ley de control de la forma


u (t) = K (x (t)− x (t− τ)) (1.28)

donde K es el coeficiente de transmision y τ es el tiempo de retardo. Si τ es igual al periodo

de una solucion periodica embebida en la variable x(t) sin ley de control (u = 0), al aplicar

la ley de control la variable convergera hacia esa orbita periodica [59].

Para aplicar el metodo Pyragas se debe retardar la variable y realimentarla al sistema original

de tal forma que se estabilice en la orbita deseada, como se aprecia en el diagrama de bloques

de la figura 1.1.

Figura 1.1: Diagrama de bloques del metodo de control de Pyragas

Este metodo se diferencia del metodo OGY y del FPIC, en que no requiere el conocimiento

previo de la localizacion de los puntos fijos inestable o de las orbitas periodicas inestables

del sistema [46].

1.3.3. Metodo de induccion al punto fijo (FPIC)

El metodo para el control del caos denominado Controlador por Induccion al Punto Fijo

(FPIC, Fixed Point Induced Control), fue propuesto por primera vez en 2004 en [5]. Este

metodo fue especialmente desarrollado para el control en sistemas discretos, y esta basado en

el teorema de la continuidad de los valores propios. Esta tecnica de control posee la gran ven-

taja de que permite estabilizar orbitas de periodo uno y orbitas de periodo superior. Ademas,

es apropiado para sistemas caotico y sistemas inestables. No requiere el conocimiento previo

de alguna variable de estado pero si el conocimiento de los puntos fijos del sistema, siendo

estos, en sistemas caoticos, casi siempre los que corresponden a la orbita que se desea con-

trolar. De no ser posible el conocimiento del punto fijo analıticamente, se puede utilizar un

valor en estado estacionario de la senal de control. Con este valor, se disena una estrategia

de control que conduce al sistema a evolucionar al punto fijo especificado [31].

La tecnica de control FPIC se puede aplicar a sistemas autonomos, no autonomos y sistemas

con un perıodo de atraso. A continuacion se describe la aplicacion de la tecnica en sistemas

autonomos y no autonomos.


Sistemas autonomos

Dado un conjunto de ecuaciones en diferencias que describen un sistema discreto de la

siguiente forma

x (n+ 1) = f (x (n)) (1.29)

donde x ∈ Rn y f : Rn 7→ Rn. Se desea controlar el sistema en una orbita inestable, la cual

tiene un punto fijo x∗ que cumple con las condiciones

x∗ = f (x∗) (1.30)

|λi (J)| =∣∣λi ( δfδx∣∣x∗)∣∣ > 1 ∃i (1.31)

Entonces el sistema puede ser controlado adecuando la ecuacion del sistema,

x (n+ 1) =f (x (n)) +Nx∗

N + 1(1.32)

Con esto se garantiza la estabilizacion del punto fijo para algun N real positivo, que se

determina segun la restriccion

N > max |λi (J)| − 1 (1.33)

Sistemas no autonomos

Se denomina sistema no autonomo a aquel sistema que es excitado con una senal externa

u (x (n)). Sea el sistema no autonomo representado por el conjunto de ecuaciones en difer-

encias de la forma

x (n+ 1) = f (x (n) , u (x (n))) (1.34)

donde x ∈ Nn, u (x (n)) : Rn 7→ Rn y f : Rn+1 7→ Rn.

Si se tiene el punto fijo (x∗, u (x∗)) := (x∗, u∗) y se evalua en el Jacobiano del sistema para

este, se obtiene

J = Jx + Ju =δf

δx

∣∣∣∣(x∗,u∗)

+δf

δu

δu

δx

∣∣∣∣(x∗,u∗)

(1.35)

Ademas, si se cumple la siguiente condicion

|λi (Jx)| =∣∣∣λi ( δf

δx

∣∣(x∗,u∗)

)∣∣∣ < 1 ∀i (1.36)

existe una senal de control u, que garantiza estabilizacion del equilibrio para algun N real

positivo, ası


u =u (x (n)) +Nu∗

N + 1(1.37)

Metodos para el calculo de N en sistema no autonomos

Para calcular el valor de N en la ecuacion (1.37), se puede recurrir a dos metodos. El primer

metodo se basa en la utilizacion del teorema de continuidad de los valores propios y el

segundo en la teorıa de medida de matrices. Para la eleccion de uno de los dos metodos,

se debe considerar que el primer metodo establece un lımite para N muy superior al real,

mientras que el segundo tiene mayor precision pero solo es util en matrices con valores propios

reales.

1. Teorema de continuidad de los valores propios: Si la matriz J es singular, la

condicion para calcular el valor de N esta dada por

N >κ (x) ‖Ju‖

dλ− 1 (1.38)

donde κ (x) = ‖X‖ ‖X−1‖, es el numero de condicion de la matriz X con respecto a la

inversion. Y contienen el conjunto de vectores propios del sistema. La norma 2 de la

matriz Ju, representada por ‖Ju‖2, se calcula como sigue:

‖Ju‖2 =√λmax (J′uJu) := ‖Ju‖ (1.39)

La maxima distancia entre este valor propio mas cercano al circulo unitario y el cırculo

unitario, se denota por dλ.

Si la matriz es no singular la condicion para hallar N se adapta ası:

1

N + 1κ (x)

∥∥J−1x Ju

∥∥ < dλmax |λi|

(1.40)

2. Teorıa de medida de matrices:

Otro metodo para determinar el valor de N en el control de sistemas no autonomos

con FPIC, es el que se basa en el uso del concepto de la medida de una matriz µ. La

cual a su vez, usa el concepto de norma inducida ‖.‖. El calculo de N con este metodo

se logra con la siguiente condicion

N > max

λmax (J′u+Ju)

2− λmax (J′x+Jx)− 1,

λmax (−J′u − Ju)

2− λmax (−J′x − Jx)− 1

(1.41)

Para aplicar este metodo se debe satisfacer la siguiente condicion


−1 < µ (Jx) < 1 ∧ −1 < µ (−Jx) < 1 (1.42)

En esta condicion es necesario calcular la norma inducida µ (−Jx) de la siguiente man-

era

µi (A) = lımε→0+

‖I + εA‖i − 1

ε(1.43)

1.4. Bifurcaciones

Una bifurcacion es una dependencia critica a los parametros. Es decir, si se cambian los

parametros del sistema, cambia el comportamiento de los puntos de equilibrio. Los valores

de estos parametros donde se produce cambio son llamados valores de bifurcacion o valores

crıticos [90]. En otras palabras, el fenomeno de bifurcacion implica que un cambio cuanti-

tativo en los parametros lleva a un cambio cualitativo en el comportamiento. El cambio en

el comportamiento debido a la bifurcacion puede implicar un cambio en la cantidad o en la

estabilidad de puntos de equilibrio [6].

1.4.1. Clasificacion de las bifurcaciones

Las bifurcaciones se clasifican segun la region de operacion que ocupan dentro del plano de

fase en bifurcaciones locales y bifurcaciones globales. Algunos ejemplos para cada clase

son:

Bifurcaciones locales

Esta clase de bifurcaciones involucran regiones del plano de fase, cercanas a la vecindad de

un unico punto fijo. A continuacion se exponen las caracterısticas de las bifurcaciones locales

mas comunes [85].

Bifurcacion silla-nodo o de Fold: La bifurcacion silla-nodo puede identificarse como

el mecanismo basico de creacion-destruccion de puntos fijos conforme el parametro

del sistema varıa. Dos puntos fijos se mueven uno hacia el otro cuando r < 0 (ver

figura 1.2(a)) , colisionan (cuando el parametro toma el valor de bifurcacion r = 0) y

desaparecen para r > 0. El sistema prototipo con una dimensiones es:

x = r + x2 (1.44)

Bifurcacion transcrıtica: En la bifurcacion transcrıtica, los puntos fijos colisionan

igualmente pero no desaparecen sino que intercambian su estabilidad. El diagrama de

bifurcacion describe mejor este comportamiento, ver figura 1.2(b). La ecuac


x = rx∓ x2 (1.45)

(a) Silla-nodo (b) Transcrıtica

Figura 1.2: Diagramas de bifurcacion de las clase silla-node y transcrıtica

Bifurcacion Pitchfork: En la bifurcacion pitchfork, los puntos fijos tienden a aparecer

y desaparecer en pares simetricos. Existen dos clases de bifurcaicones pitchfork cualita-

tivamente diferentes, la pitchfork supercrıtica y la pitchfork subcrıtica. Las ecuaciones

tıpicas para estos casos son 1.46, con el signo menos se crea la supercrıtica y con el mas

la subcrıtica. Igualmente, en la figura 1.3 se muestran los diagramas de bifurcacion de

cada caso.

x = rx∓ x3 (1.46)

Bifurcacion de Andronov-Hopf : En este tipo de bifurcacion un foco estable se

convierte en un foco inestable al variar un parametro y el atractor se vuelve un ciclo

lımite. Hay dos clases de bifurcaciones Andronov-Hopf cualitativamente diferentes,

estas son:

• Bifurcation Hopf supercrıtica: En este caso, el ciclo lımite crece fuera del

punto de equilibrio. Es decir, a la derecha del parametro de bifurcacion de Hopf,

el ciclo lımite tiene amplitud igual a cero y esta amplitud crece conforme los

parametros se muevan mas alla del regimen del ciclo lımite. Una espiral estable

se convierte en una espiral inestable rodeada por un ciclo lımite.

• Bifurcation Hopf subcrıtica: Para este caso, un ciclo lımite inestable rodea el

punto de equilibrio y un ciclo lımite estable rodea a este. El ciclo lımite inestable

se contrae al punto de equilibrio, el cual se vuelve inestable en el proceso. Para


(a) Subcrıtica (b) Supercrıtica

Figura 1.3: Diagrama de bifurcacion pitchfork subcrıtica y supercrıtica

sistemas que comienzan cerca del punto de equilibrio, el resultado es un cambio

subito en el comportamiento de la proximidad a un foco estable.

(a) Hopf subcrıtica (b) Hopf supercrıtica

Figura 1.4: Diagrama de bifurcacion de Hopf subcrıtica y supercrıtica

Bifurcacion de doblamiento de perıodo o de flip

Bifurcaciones globales

Esta clase de bifurcaciones involucran zonas extensas del plano de fases, mas alla de solo la

vecindad de un unico punto fijo. Algunas de las bifurcacion globales mas comunes son:

Bifurcacion Homoclınica

Bifurcacion Heteroclınica


Bifurcacion de Perıodo infinito

Bifurcaciones silla-nodo de 2 ciclos

Las bifurcaciones tambien se clasifican en continuas y discretas dependiendo del tipo de

variables que utilice el sistema dinamico en cuestion. El caso discreto de la bifurcacion de

Hopf, se conoce como la bifurcacion de Neimark-Sacker [55][19].

Capıtulo 2

Sistemas dinamicos caoticos

En este capitulo se describen las caracterısticas principales de los modelos usados en los ex-

perimentos. Para la generacion de material musical, el algoritmo propuesto usa como fuente

generadora de datos transformable un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un

sistema de ecuaciones en diferencias. Aunque este sistema de ecuaciones puede ser elegido

libremente, pudiendo ser un sistema de ecuaciones conocido o desconocido; en la experi-

mentacion y validacion del algoritmo se usaron algunos sistemas conocidos y con nombre

propio.

En esta seccion se presentaran los sistemas usados en el marco experimental. Los resultados

obtenidos con otros atractores son mostrados en el apendice B, pero no se expone descripcion

detallada acerca de estos.

Al final del capitulo, se incluye la descripcion de un metodo utilizado para transformar la

funcion de distribucion de probabilidad de un sistema caotico en una funcion de distribucion

de probabilidad conocida, en este caso la distribucion normal.

2.1. Sistemas dinamicos continuos

2.1.1. Modelo de Chua

El modelo de Chua es una de las principales referencias en el estudio de las redes no lineales

con comportamiento caotico. Estas redes utilizan elementos basicos no lineales como resis-

tores, inductancias, condensadores y menristores. Este ultimo tipo de elemento no lineal fue

presentado por Leon Chua en 1971 y hoy en dıa aceptado como un estandar . El circuito de

Chua se basa en el uso del diodo de Chua, el cual es un resistor no lineal cuya curva car-

acterıstica es lineal a tramos y que puede puede ser controlado por tension o por corriente

[52].

El sımbolo y la curva de respuesta de corriente contra tension se muestran en las figuras

2.1.1 y 2.3, respectivamente.

El oscilador de Chua es una aplicacion del diodo de Chua para construir un circuito no

lineal que presenta gran variedad de comportamiento caotico y que por su gran variedad

17

2. Sistemas dinamicos caoticos 18

Figura 2.1: Sımbolo del diodo de Chua Figura 2.2: Circuito de Chua

Figura 2.3: Caracterıstica lineal a tramos del diodo de Chua

de comportamientos (ciclos lımites, doblamiento de periodo, variedad de atractores caoticos

que aparecen y desaparecen dependiendo del cambio en los parametros) que desembocan

en bifurcaciones, se ha convertido en un paradigma en la teorıa del caos y en el estudio de

sistemas electronicos no lineales .

Como se aprecia en la figura 2.1.1, el circuito de Chua esta compuesto por 1 inductor, 1

resistor lineal, dos capacitores y un diodo de Chua. Aplicando analisis de circuitos por varia-

bles de estado, se encuentran tres variables de estado asociadas al voltaje de los capacitores

vc1 y vc2 , y a la corriente entre las terminales del inductor iL [88], obteniendo las ecuaciones

de estado dada por

C1dvc1dt

=vc1−vc1

R− f (vc1)

C2dvc2dt

=vc1−vc2

R+ iL

LdiLdt

= −vc2(2.1)

En la 2.1, la funcion f (vc1) describe la corriente a traves del diodo de Chua (iNR) segun la

curva de respuesta 2.3.


Figura 2.4: Retrato de fase del modelo de Chua

iNR =

g2vC1 + (g2 − g1) BP1 vC1 < −BP1

g1vC1 BP1 ≤ vC1 ≤ −BP1

g2vC1 + (g1 − g2) BP1 vC1 > BP1

(2.2)

Una simplificacion de las ecuaciones de estado del circuito de Chua, se encuentra en [19] y

es representado con el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de la ecuacion (2.3).

x = a (y − f (x))

y = x− y + z

z = −byf (x) =

x ≥ 1 m1x+ (m0 −m1)

|x| ≤ 1 m0x

x ≤ −1 m1x− (m0 −m1)

(2.3)

Figura 2.5: Exponente de Hurst de ChuaFigura 2.6: Dimension de correlacion de

Chua


2.1.2. Modelo de Chen

El sistema de Chen, descubierto por Chen y Ueta en 1999, es un sistema dual al sistema de

Lorenz, ya que para la parte lineal del sistema, A = [aij]3×3, el sistema de Lorenz satisface

la condicion a12a21 > 0 mientras que el sistema de Chen cumple con la condicion a12a21 < 0.

Posteriormente, Lu y Chen encontraron un sistema que satisface la condicion a12a21 = 0

que representa la transicion entre el sistema de Lorenz y el sistema de Chen. Los cuales

pertenecen una clase de atractores denominados la familia generalizada de Lorenz [87].

El sistema de Chen esta descrito por

x = a (x− y)

y = (c− a)x− xz + cy

z = xy − bz(2.4)

donde a > 0, b > 0 y c son los parametros del sistema. Se tiene ademas que (2c > a). Valores

tıpicos de estos parametros son a = 35, b = 3 y c = 28.

Analisis dinamico

El equilibrio del sistema puede ser hallado resolviendo las tres ecuaciones x = y = z = 0, lo

que conduce a

a (y − x) = 0, (c− a)x+ cy − xz = 0, −bz + xy = 0 (2.5)

despejando x de la primera igualdad y z de la ultima, se obtiene x = y y z = x2/b, re-

spectivamente [32]. Las cuales al se reemplazadas en la segunda igual se obtiene el siguiente

polinomio

(2bc− ab)x− x3 = 0 (2.6)

que al ser resuelto se determina que el sistema cuenta con los siguientes tres puntos de

equilibrio,

O1 (0, 0, 0)

O2

(√b (2c− a),

√b (2c− a), 2c− a

)O3

(−√b (2c− a),−

√b (2c− a), 2c− a

) (2.7)

En la figura , se aprecia el retrato de fase del atractor, en el cual las trayectorias externas

son atraıdas dentro de la vecindad del estado estable, y convergen y divergen entre los dos

puntos de equilibrio O2 y O3 [51].

Matriz Jacobiana

La matriz Jacobiana del sistema de Chen es


Figura 2.7: Retrato de fase del modelo de Chen

Figura 2.8: Exponentes de Lyapunov del mo-

delo de Chen

Figura 2.9: Exponentes de Hurts del modelo

de Chen

J =

−a a 0

c− a− z c −xy x −b

(2.8)

Valores propios

para hallar los valores propios se debe resolver la ecuacion cubica:

λ3 + λ2 (a+ b− c) + λ[a (a+ z + b− 2c) + x2 − cb

]+ [ab (z + a− 2c) + ax (x+ y)] = 0

(2.9)

con a=35,b=3 y c=28 se reduce a


λ3 + 10λ2 + λ(x2 + 35z − 714

)+ [35x (x+ y) + 105z − 2205] = 0 (2.10)

y los puntos de equilibrio

O1 (0, 0, 0) , O2 (7,93, 7,93, 21) , O3 (−7,93,−7,93, 21) (2.11)

finalmente resolviendo la ecuacion (2.10), evaluada en cada uno de los puntos de equilibrio

2.11 se obtienen los siguientes valores propios,

λO1 =

−3

23,83

−30,83

; λO2 =

−18,42

4,21 + j14,89

4,21− j14,89

; λO3 =

18,42

4,21 + j14,89

4,21− j14,89

(2.12)

la magnitud de un valor propio negativo caracteriza el nivel de atraccion y la magnitud de

uno negativo el nivel de repulsion a lo largo del correspondiente vector propio.

Vectores propios

los vectores propios correspondientes es esos valores propios son:

v1 =

0,7073

−0,07278− 0,7032i

0,0042− 0,0007i

v2 =

0,7073

0,07278 + 0,7032i

0,0042 + 0,0007i

v3 =

0,1682

−0,0286

0,9853

(2.13)

2.2. Mapas no lineales

2.2.1. Ecuacion logıstica

La ecuacion logıstica o mapa logıstico, es el mapa unidimensional mas famoso y mas simple

que se usa como ejemplo prototipo para la observacion del caos y bifurcaciones en mapas

no lineales. Fue introducido en 1845 por P.F. Verhulst para simular el crecimiento de una

poblacion confinada. Este mapa es un modelo idealizado de las variaciones anuales en la

poblacion de animales. Ha proporcionado una representacion clave en el estudio de la teorıa

de caos, y es considerado el ejemplo mas simple de mapa unidimensional que presenta un

gran espectro en el comportamiento dinamico incluyendo el movimiento caotico [69].

xn+1 = rxn (1− xn) (2.14)

El numero de especies xn+1 en el ano n+ 1 es proporcional a la cantidad de individuos que

habıa en el ano previo xn y a la poblacion remanente, la cual es disminuida proporcionalmente

a xn. El parametro r representa la tasa de fertilidad del momento.


Figura 2.10: Diagrama de bifurcacion del mapa logıstico

Analisis dinamico

Para hallar los puntos fijos del mapa, se iguala la ecuacion (2.14) a xn, con lo que se obtiene

la siguiente ecuacion de segundo grado rx2n + (1− r)xn = 0, y al resolverla se obtienen los

puntos fijos del sistemas

x∗ =

(0,r − 1

r

)(2.15)

Seguidamente, se halla el Jacobiano del sistema J derivando la respectiva ecuacion

J = r − 2rxn (2.16)

Los puntos fijos x∗, son evaluados dentro de la matriz Jacobiana J para calcular una expresion

de los valores propios que caracterizan el sistema

vp = (r, 2− r) (2.17)

El primer valor propio, unicamente es estable dentro del rango −1 < r < −1. El segundo

valor propio es estable unicamente en el intervalo 1 < r < 3. Este ultimo, se puede apreciar

en el diagrama de bifurcacion de la figura 2.10.

2.2.2. Mapa cuadratico

Un mapa cuadratico es una ecuacion cuadratica recurrente de la forma

xn+1 = a2x2n + a1xn + a0 (2.18)

Por lo tanto, se pueden encontrar diferentes formas de la ecuacion (2.18) que conforman la

familia de mapas cuadraticos. En este caso se utilizo la siguiente ecuacion


Figura 2.11: Diagrama de bifurcacion del mapa cuadratico

xn+1 = b− ax2n (2.19)

Analisis dinamico

Igualando la ecuacion (2.19) a xn se obtienen nuevamente una ecuacion de segundo grado

ax2n + xn − b = 0, que al ser resuelta proporciona los puntos fijos del sistema, ası

x∗ =−1±

√1 + 4ab

2a(2.20)

El Jacobiano del sistema esta dado por

J = −2aXn (2.21)

Con el Jacobiano J y los puntos fijos x∗, se hallan los valores propios que proporcionan

informacion sobre la dinamica del mapa.

vp = 1±√

1 + 4ab (2.22)

2.2.3. Mapa de Chirikov-Taylor

Este mapa fue descubierto por Bray Taylor, y posteriormente, y de manera independiente,

obtenido tambien por Boris Chirikov para modelar lıneas de campo magnetico. Es un mapa

conservativo bidimensional que ha facilitado el estudio de importantes hallazgos dentro de los

sistemas hamiltonianos no integrables que por otro lado serıan muy difıciles de analizar. El

importancia de este mapa radica en que su fundamento teorico dinamico puede ser aplicado

a muchas areas de estudio de la fısica [83].


El mapa de Chirikov-Taylor, tambien conocido como mapa estandar, es el ejemplo tıpico de

un mapa conservativo, lo que significa que el area del espacio de fase nunca se expande ni

se contrae. Esta propiedad se aprecia analıticamente hallando el determinate del Jacobiano,

que para un sistema de este tipo es igual a 1 [2].

xn+1 = xn + k sin θ

yn+1 = yn + xn+1(2.23)

donde x y y son evaluados usando mod2π y K ∈ R+ y representan la posicion y el momen-

tum de un pendulo con torque igual a k sin θ. K representa la amplitud del torque confiere

la existencia de no linealidad e influencia la mayor parte de caos en la dinamica del sistema.

Analisis dinamico

Igualando las ecuaciones del sistema a xn y yn respectivamente, se obtiene K sin yn = 0 y

xn + K sin yn = 0. Entonces los puntos fijos estan dados por los valores de las variables

yn = (0, π), xn = (0, 0). Concluyendo que el sistema tiene dos puntos fijos x∗1,2 ((0, π) , (0, 0)).

La estabilidad del sistema linealizado se encuentra partiendo de la matriz Jacobiana

J =

[δxn+1

δyn+1

]=

[1 K cos yn1 1 +K cos yn

] [δxnδyn

](2.24)

La ecuacion caracterıstica de la matriz Jacobiana esta determinada por

λ2 − λ (K cos yn) + 1 = 0 (2.25)

La solucion de la ecuacion caracterıstica determina los valores propios del sistema. El mapa

estandar tienen dos valores propios λ1,2

λ1,2 =1

2

[K cos yn + 2±

√(K cos yn + 2)2 − 4

](2.26)

Para determinar la estabilidad del sistema se evaluan los puntos fijos en los valores propios,

obteniendose para el primer puntos fijo x∗ (0, π) la siguiente expresion,

λ(0,π) =1

2

[2−K ±

√K2 − 4K

](2.27)

El sistema es estable si∣∣< (λ(0,π)

)∣∣ < 2, legandose a la inoculacion 12|2−K| < 1, la cual

se cumple para −4 < −K < 0, o equivalentemente el sistema es estable para para el rango

K ∈ [0, 4).

Para el segundo punto fijo x∗ (0, 0), la ecuacion caracterıstica queda dada por

λ(0,0) =1

2

[2 +K ±

√K2 + 4K

](2.28)

La estabilidad del sistema en este punto fijo queda determinada por la siguiente restriccion


1

2

∣∣∣2 +K ±√K2 + 4K

∣∣∣ < 1 (2.29)

− 4−K <√K2 + 4K < −K (2.30)

Debido a que K es un real positivo, entonces la restriccion 2.30 no es posible, de esta manera

el mapa es inestable para el punto fijo x∗ (0, 0).

2.3. Sistemas dinamicos con ciclos lımites

Un ciclo lımite es una trayectoria cerrada aislada; esto significa que las trayectorias vecinas

no son cerradas, pueden ser espirales o tambien ciclos lımite. Tambien se da el caso en el

que las trayectorias se desprenden de una orbita cerrada, en cuyo caso se dice que se existe

un ciclo lımite inestable. Si por el contrario las trayectorias se aproximan al ciclo lımite se

considera un ciclo lımite estable, y si por un lado repele trayectorias y por el otro atrae,

entonces es un ciclo lımite semi-estable. Un ciclo lımite solo puede ocurrir en sistemas no

lineales, en los sistemas lineales las oscilaciones de trayectorias cerradas son bordeadas por

otras trayectorias cerradas [85].

Si el sistema que presenta ciclos lımites es perturbado, siempre regresara al ciclo lımite. El

estudio de los ciclos lımite es importante porque simulan el comportamiento de oscilaciones

autosostenidas. Los sistemas con ciclos lımite mas conocidos

2.3.1. Sistema depredador presa de Lotka-Volterra

El sistema de Lotka-Volterra es un modelo tıpico de ciclo lımite. Este modelo fue desarrollado

por Alfred Lotka (1880-1949), fundamentandose en los estudio realizados por Vito Volterra

(1860-1940) en la teorıa determinista de la dinamica de poblaciones. El modelo hace parte

del pilar de la ley de crecimiento de poblaciones competitivas.

En la formulacion del modelo se considero que las especies son homogeneas y se encuentran

en un medio confinado y tambien homogeneo. Las unicas dos especies del habitat, inter-

actuan entre sı. Una de ellas (la especie depredadora) se alimenta de la otra, mientras la

segunda (la presa) solo se alimenta de los recursos que encuentra en el habitat. Con estas y

otras consideraciones, se encontro que solo son necesarias dos variables, representando cada

variable el tamano poblacional de la especie. Las ecuaciones que describen el modelo de

Volterra-Lotka son:

x = ax− bxyy = −cy + dxy

(2.31)

donde a es la tasa instantanea de aumento de presas en ausencia de depredadores, c es

la tasa instantanea de disminucion de depredadores en de ausencia de presas, b mide la


susceptibilidad de la especie presa a la depredacion y d mide la habilidad de depredacion de

esta especie.

La ecuacion (2.31) es un sistema de dos ecuaciones acopladas. En el acoplamiento una variable

interactua con la otra de manera proporcional, esto es, el beneficio de una se ve reflejado

en el perjuicio de la otra. La magnitud del beneficio/perjuicio, es dependiente de el numero

de encuentros por unidad de tiempo y se representa en la ecuacion de Lotka-volterra con el

termino xy, que es el producto algebraico de las densidades poblacionales.

En la figura 2.12 se muestra el como varia con el tiempo, y de manera periodica, el tamano

de la poblacion de la especie presa x y el tamano de la poblacion de los depredadores y.

Ademas se muestra en la figura 2.13 el retrato de fase, donde se aprecia mejor la interaccion

entre las variable acopladas.

Figura 2.12: Dinamica del sistema

depredador-presa de Lotka-Volterra

Figura 2.13: Retrato de fase del modelo

depredador-presa de Lotka-Volterra

2.4. Relacion entre los sistemas caoticos y los sistemas

estocasticos

En esta seccion se describe un metodo para aproximar los datos de un mapa no lineal caotico

a una funcion de distribucion de probabilidad conocida. Esto se hace con el fin de comen-

zar a estudiar la posibilidad de intercambiar las funciones de distribucion de probabilidad

empleadas por el compositor Iannis Xenakis 1 en su musica estocastica [91], por secuencias

1Compositor y arquitecto rumano con ascendencia griega, reconocido por incluir teorıa de probabilidadesy matematica en sus composiciones. Es considerado como unos de los mejores compositores de musicacontemporanea del siglo XX. En sus primeras obras uso la funcion de Poisson para distribuir los eventosmusicales en una matriz de composicion, la distribucion exponencial para calcular las duraciones y la funcion


caoticas que tenga una funcion de distribucion de probabilidad similar, con la finalidad de

hacer un enlace entre la musica estocastica y la musica caotica.

2.4.1. Generacion de secuencias caoticas Gaussianas

Metodo simple para la generacion aproximada de secuencias caoticas Gaussianas, el cual se

basa en el teorema central de lımite y en la sensibilidad a las condiciones iniciales de los

sistemas caoticos [65].

Segun el teorema central del lımite, bajo ciertas condiciones generales, las funcion de dis-

tribucion de probabilidad (FDP) de la suma de N variables independientes con la misma

distribucion; la media y la varianza convergen a la variable aleatoria Gaussiana cuando

N →∞.

La variable aleatoria Gaussiana tiene media NM y varianza Nσ2.

Si x1 (i)Li=1 , x2 (i)Li=1 , · · · , xN (i)Li=1 son N secuencias caoticas reales generadas con

diferentes condiciones iniciales; entonces estas son independientes y tienes las misma funcion

de distribucion de probabilidad f (x), la misma media Mx y la misma varianza σ2x.

Sea la secuencia caotica Gaussiana (SCG) Y (i)Li=1 dada por,

Y (i) = Bx1 (i) +Bx2 (i) + . . .+BxN (i) , i = 1, 2, · · · , L (2.32)

donde B es una constante para controlar la varianza de Y (i)Li=1. Segun el teorema cen-

tral de lımite, la secuencia Y (i)Li=1 convergera a la funcion de densidad de probabilidad

Gaussiana o Normal si N →∞, con media MY = NMx y varianza σ2Y = NB2σ2

x, esto es

lımN→∞

f Y (i) =1√2πe−(Y−MY )

σ2Y (2.33)

Con este metodo es posible construir una secuencia caotica Gaussiana a partir de cualquier

mapa no lineal.

normal para determinar la velocidad de los glissandos en la cuerdas.

Capıtulo 3

Definiciones musicales

En este capitulo se definiran algunos conceptos fundamentales de la teorıa musical desde

un enfoque puramente formal, siendo estos necesarios en el desarrollo del algoritmo de com-

posicion propuesto. Tambien se describiran algunas herramientas empleadas en el analisis

melodico, que seran usadas en la descripcion cuantitativa del material musical generado y

en las pruebas estadısticas multivariadas realizadas.

3.1. Escala

3.1.1. Definicion de escala musical

Para describir el objeto matematico denominado escala musical, se parte del conjunto de

todos los tonos musicales posibles Γ. Una coleccion de n tonos representada como ξ =

τ1, τ2, · · · , τn donde ξ ⊆ Γ, se denomina escala musical y tiene las siguientes propiedades

[4]:

1. ξ 6= ∅

2. 0 ∈ ξ

3. τ ∈ ξ ⇔ (τ + 12) ∈ ξ

El numero de notas de la escala n se denotara como el operador, n = ρ (ξ).

3.1.2. Generador de octava

El conjunto O = τ ∈ ξ|0 ≤ τ < es llamado generador de octava de ξ, de donde se puede

obtener la escala basica a partir de su generados de octava ası

ξ = τ ∈ | (τ mod 12) ∈ O (3.1)

lo cual permite reconstruir la escala completa para un numero de octavas k [4].

29

3. Definiciones musicales 30

3.1.3. Mapeo a frecuencia

Se define una aplicacion φ entre los elementos de Γ y el conjunto de los numeros reales

positivos R+, de manera que, la imagen fi = φ (τi) para cada uno de los τi es el valor de

la frecuencia correspondiente a cada nota musical de la escala. El conjunto de imagenes

obtenido F ∈ R+ se define como

φ : τ 7→ f ; τ ∈ Γ, f ∈ F (3.2)

El conjunto de todos los intervalos posible se define como

I :i; i ∈ R+, i ≥ 1

(3.3)

donde i es el intervalo existente entre dos frecuencias. Se define la aplicacion δ : Γ× Γ 7→ I,la cual asigna a un par de tonos (τi, τj) un intervalo de I denominado valor del intervalo de

la siguiente forma

δ (τi, τj) =max φ (τi) , φ (τj)mın φ (τi) , φ (τj)

(3.4)

que determina el cociente entre las frecuencias fundamentales de los intervalos considerados

[35].

3.1.4. Escala tonal

La escala ξ puede ser transportada adhiriendo un tono τ determinada a todos los elementos de

la escala basica. De esta forma se obtiene una escala equivalente pero mas aguda o mas grave

que la escala original. El numero constante que es adherido en la transposicion se denomina

raız o tono. Entre tanto, si dos raıces diferentes τ1 y τ2 son modulo 12 congruentes, la escala

transpuesta sera la misma. Por tal razon los valores de transposicion estaran acotados por

el intervalo [0,11] sin perdida de generalidad [4].

Una escala tonal se define como ξ (τ), donde ξ es una escala basica transportada por la raız

τ , tal que 0 < τ < 12.

3.2. Notas

3.2.1. Definicion de notas

Una nota se puede definir formalmente como un conjunto tridimensional η = (f, d, v). Donde

f ∈ R+ es la frecuencia o tono de la nota musical, d ∈ Q+ es la duracion y v ∈ [0, 1] es la

velocidad [4]..

En ocasiones es necesario el conocimiento solo una de las propiedades de la nota η. Si se

tiene una nota η = (f0, d0, v0) sus propiedades estan dadas por las siguientes funciones


f (η) = f0

d (η) = d0

v (η) = v0

(3.5)

3.3. Melodıa

Una secuencia de notas N esta conformada por un conjunto de notas sucesivas expresada en

la forma N = (η0, η1, . . . , ηk−1), esta es una secuencia ordenada de k elementos, donde k es

el numero de notas que conforman la secuencia [4].

La duracion total de la secuencia esta dado por

d (N) =k−1∑j=0

d (ηj) (3.6)

Se defina una melodıa M como el conjunto M = (ξ, τ,N, r, v) donde (ξ, τ) es una escala

tonal, N = (η0, η1, . . . , ηk−1) es una secuencia de notas, r ∈ Q+ es un conjunto de duraciones

rıtmicas en unidades de tiempo y v ∈ R+ es un conjunto de valores de velocidad.

3.4. Descriptores estadısticos de la melodıa

3.4.1. Caracterısticas tonales

Variedad tonal Vt

Es una medida de la diversidad del conjunto de clases tonales (pitch class set) utilizadas en

la melodıa [37].

Vt =ηdn

(3.7)

Donde ηd es el numero de notas diferentes que componen la melodıa y n es el numero total

de notas.

Rango tonal Rt

El rango tonal se refiere a la extension total usada por la melodıa dentro de su respectivo

registro sonoro y esta definida por la diferencia entre la maxima y la mınima nota de la

secuencia [37].

Rt = max (N)−mın (N) (3.8)


3.4.2. Caracterısticas de tonalidad

Centrado de tonalidad Ct

Es la proporcion de veces que la tonica o la dominante se ejecutan con la figura de menor

duracion q. Indica que tan fuerte es el sentido de la tonalidad.

Ct =ηprq

(3.9)

Donde ηp es el numero de veces que alguna de las notas primarias de la escala (tonica o

dominante) es ejecutada con la duracion mas corta q y rq es el numero de veces que se

encuentra dicha duracion [37].

Intervalos disonantes Id

Descriptor estadıstico que mide la fraccion de intervalos disonantes de la melodıa 1 [26].

Id =id

n− 1(3.10)

Donde id es el numero de intervalos disonantes que contiene la melodıa.

3.4.3. Caracterısticas de contorno

Perfil melodico

El perfil melodico puede estar caracterizado por un perfil ascendente, descendente o con-

stante. Los descriptores para cada uno de estos perfiles cuantifican el numero de intervalos

ascendentes (iasc), descendentes (idesc) y unısonos (iu) que caracterizan el perfil melodico

[37].

Dasc = iascn−1

; Ddesc = idescn−1

; Digu = iun−1

(3.11)

donde Dasc, Ddesc y Digu, son las densidades de intervalos ascendentes, descendentes y con-

stantes, respectivamente.

Estabilidad de contorno

Es una medida de la estabilidad de la direccion melodica y esta relacionada con la proporcion

de intervalos para los cuales el siguiente intervalo esta en la misma direccion.

Ec =iid

n− 1(3.12)

1En este trabajo se consideraran los intervalos disonantes de segunda menor, cuarta aumentada y septimamayor y menor.


La variable iid indica la cantidad de intervalos consecutivos moviendose en la misma direc-

cion. Esta conformada por el numero de intervalos ascendentes, descendentes y unısonos

consecutivos, denotados como ias, ids y iis, respectivamente. Se determina la cantidad total

de intervalos iguales consecutivos ası: iid = ias + ids + iis. Tambien es posible hallar tambien

la estabilidad del contorno parcial,

Ecp = iasn−1

; Ecn = idsn−1

; Ecc = iisn−1

(3.13)

Donde Ecp, Ecn y Ecc, significan la estabilidad del contorno positivo, negativo y constante.

Movimientos por paso

Mide la proporcion de intervalos diatonicos conjuntos. Altos valores del descriptor indican

curvas melodicas suaves. Un paso diatonico se entiende como el intervalo conformado por

uno o dos semitonos cromaticos o diatonicos [68].

Mp =ipdn− 1

(3.14)

Donde ipd, indica el numero de intervalos de paso diatonico.

Saltos de retorno

Mide la proporcion de intervalos disjuntos grandes que no son seguidos por un intervalo

de retorno. Se considera que un intervalo disjunto es grande cuando es mayor o igual a 8

semitonos, es decir, una sexta menor [37]. Los intervalos de retorno deben ser como mınimo

1 semitono menor que el intervalo disjuntos grande precedente [37].

Sr =idgridg

(3.15)

Donde idgr, es el numero de intervalos disjuntos grandes no seguidos por un intervalo de

retorno y idg el numero de intervalos disjuntos grandes.

Intensidad del climax

Mide la fuerza del climax Ic, esta definido como el inverso del numero de veces que la nota

climatica es repetida en la melodıa. Cuando la nota climatica (nota mas aguda) es ejecutada

solo una vez, la fuerza de climax es igual a 1 y se disminuye el impacto climatico cuanto mas

veces sea ejecutada la nota climatica [37][68].

Ic =1

ηc(3.16)


Donde ηc, es el numero de veces que se ejecuta la nota climatica dentro del fragmento musical

de analisis 2.

En la tabla 3.1 se muestran las abreviaturas de los descriptores estadısticos que se emplearan

en el marco experimental.

Nombre Abrv. Nombre Abrv.Densidad de intervalos ascendentes Dasc Variedad tonal Vt

Densidad de unısonos Digu Centrado de tonalidad Ct

Densidad de intervalos descendentes Ddes Densidad de intervalos disonantes IdEstabilidad del contorno Ec Intensidad del climax Ic

Estabilidad de contorno positivo Ecp Movimientos por paso Mp

Estabilidad del contorno negativo Ecn Rango tonal Rt

Estabilidad de contorno constante Ecc Saltos de retorno Sr

Tabla 3.1: Abreviaturas usadas para los descriptores estadısticos

3.4.4. Histograma tonal

Ademas de los descriptores estadısticos, tambien son utiles en el analisis melodico graficas

que representen las caracterısticas o variables musicales de las secuencias. Estas variables

pueden ser la distribucion de pitch class, las proporciones de intervalos o la distribucion

de duraciones, entre otros. Los histogramas de cada una de estas variables son, respectiva-

mente, distribucion de clases tonales (pitch class), distribucion de intervalos y distribucion

de duraciones [29].

Tambien es de gran utilidad la representacion grafica de la transicion de primer orden entre

los valores de las variables. Estos proporcionan informacion sobre la proporcion de cambios

consecutivos que puedan ocurrir en la evolucion melodica o rıtmica, esto son: distribucion de

transicion de clases tonales (pitch class), distribucion de transicion intervalos y la distribucion

de transicion de duraciones [29].

3.5. Algoritmo para determinar la tonalidad

Uno de los primeros algoritmos para determinar la tonalidad fue desarrollado por Krumhansl

y Schmuckler en 1990 [79]. Cada una de las 24 tonalidades mayores y menores tiene una perfil

de tonalidad. El algoritmo primero calcula la correlacion de Pearson entre el histograma del

conjunto de las doce tonalidad contenidas en una muestra musical y cada una de los 24

perfiles de tonalidad, que esta dada por la siguiente ecuacion

R (x, y) =

∑(xn − x) (yn − y)√∑

(xn − x)2∑ (yn − y)2(3.17)

2En este trabajo se tomara como nota climatica la maxima nota de la secuencia N , es decir ηc = max (N)


donde x es una histograma de conjuntos de pitch (pitch-class) extraıdos de la partitura, y es

una lista de valores ponderados para cada uno de los 12 grados de las escala de una tonalidad

particular, y x, y son las respectivas medias.

Los valores ponderados son predefinidos y fueron derivados experimentalmente por Krumhansl

y Kessler realizando puntuaciones con tonos de prueba. El algoritmo encuentra la tonalidad

de la pieza musical calculando la correlacion maxima entre cada uno de los perfiles de tonal-

idad y el vector de entrada [8],

keyk = arg maxk

R (x, yk) (3.18)

El algoritmo para determinar la tonalidad es necesario en el calculo de algunos descriptores

estadısticos de la melodıa como el Ct.

3.6. Indicadores melodicos

3.6.1. Medida de originalidad melodica

La originalidad melodica esta relacionada con la dificultad o la originalidad de la melodıa. En

los estudios realizados por Dean Keith Simonton entre 1984 y 1994, despues de analizar gran

cantidad de temas clasicos, se concluyo que la originalidad de los temas esta conectada con

su popularidad. La relacion entre popularidad y originalidad tienen forma de U invertida, es

decir, los temas mas populares tienen originalidad alta, mientras que los mas simples y los

mas complejos una originalidad menor. El modelo de Simonton para calcular la originalidad

melodica, esta basado en las probabilidades de transicion de tono. La salida de este modelo

es la inversa de la probabilidad promedio, escalada entre 0 y 10, donde un valor alto indica

mayor originalidad melodica [29].

3.6.2. Modelo de complejidad melodica basada en la expectativa

Otro camino para evaluar la complejidad melodica esta enfocado en la coherencia entre tono

y el acento, y la cantidad de intervalos disjuntos y autosimilaridad de contorno de la melodıa.

Este modelo ha sido denominado modelo basado en la expectativa de la complejidad melodica

porque los componentes del modelo son derivados de la teorıa de la expectativa melodica

[86]. Esta medida tiene como referencia la coleccion de Essen que tiene una complejidad

media de 5 con desviacion estandar de 1 3 [81].

La complejidad melodica puede ser tonal (cbmp), rıtmica (cbmr) o conjunta (cbmo) [29].

Una alternativa para medir la complejidad melodica esta fijada en la medida de continua de

la distribucion de eventos por nota (entropıa). Esta medida crea valores de predictibilidad

3La coleccion de Essen es una bsse de datos de 6.255 canciones folcloricas creada por Helmut Schaffrathen 1995 y editada despues por Ewa Dahlig y David Huron.


melodica para cada punto en la melodıa. Estos valores han sido encontrados para los corre-

spondientes escalas de predictibilidad dadas por oyentes en experimentos. Esta medida ofrece

una posibilidad para observar las fluctuaciones momento a momento en la predictibilidad

melodica [29].

3.6.3. Grado de melodiosidad

El grado de melodiosidad tambien conocido como grado de suavidad (gradus suavitatis), es

un indicador melodico propuesto por L. Euler (1707-1783) en su obra titulada “Tentamen

novae theoriae musicae” que data de 1739. Segun Euler la melodiosidad esta relacionada

con la complejidad de calculo mental realizado por el oyente. Si el oyente debe realizar pocos

calculos mentales cuando escucha una melodıa, la melodıa se considera mas melodiosa y la

experiencia sera mas placentera [30].

El algoritmo para determinar el grado de melodiosidad utiliza tecnicas numericas basadas

en la descomposicion de numeros naturales en productos de potencias de diferentes numeros

primos. Calcula el valor armonico de dos tonos simultaneos, siendo este valor dependiente

del tamano de los factores primos de la razon de los tonos. Si se asume un entero a ser un

factor primo de la forma

a = pk11 · pk2

2 · . . . · pknn (3.19)

donde pn representa el n-esimo primo y k la cantidad de apariciones. Entonces el valor

armonico de a es:

G (a) =m∑1

(knpn − kn) + 1 (3.20)

El grado de suavidad es bajo, si la descomposicion contiene primos de valor bajo y alto si se

usan primos de valor alto y/o gran cantidad de numero primos [7].

Nombre AbreviaturaComplejidad basada en la esperanza para el pitch cbmpComplejidad basada en la esperanza para el ritmo cbmr

Complejidad basada en la esperanza conjunta cbmoMedida de originalidad melodica mom

Grado de melodiosidad gm

Tabla 3.2: Abreviaturas usadas para los indicadores melodicos


3.7. Similitud melodica

La similitud melodica es una medida de la similaridad entre motivos, frases o segmentos

melodicos. La distancia puede ser calculada a partir de una representacion melodica como

una distribucion o el contorno melodico, y una medida de distancia (medidas de proximidad)

[47].

La medida de similitud se encuentra escalada en el rango de 0 y 1, donde 0 indica similitud

perfecta, aunque no necesariamente indica similitud absoluta. Esta medida puede realizarse

con respecto a una propiedad de la melodıa como el ritmo, la altura o la dinamica. Por tal

razon, una melodıa podrıa tener gran similitud rıtmica pero baja similitud en la altura.

Las medidas de similitud usadas y su significado se describen a continuacion [86]:

1. Similitud melodica segun el contorno melodico: Mide la similitud existente entre

cada punto de la grafica del contorno melodico.

2. Similitud melodica segun el contorno combinacional: Similar a la similitud de

contorno melodico, pero contrario a la a esta, conserva la relacion entre notas en lugar

de especificar su informacion de altura.

3. Similitud melodica segun la distribucion de pitch class : mide la similitud entre

la notas que conforman el conjunto de pitchclass, este el conjunto de las notas usadas en

la melodıa y la distribucion en el numero de veces que aparece cada nota del conjunto.

4. Similitud melodica segun la distribucion de intervalos: Mide la similitud entre

la frecuencia de aparicion de los intervalos que componen la frase musical.

5. Similitud melodica segun la distribucion de duraciones: Cuantifica la similitud

desde el punto de vista rıtmico sin tener en cuenta la altura; un nombre mas apropiado

serıa similitud rıtmica.

3.8. Segmentacion melodica

La segmentacion melodica para frases musicales es una herramienta fundamental usada co-

mo procesamiento previo en muchas tecnicas de recuperacion de informacion musical (MIR,

Music information retrieval). Algunas de las aplicaciones MIR son la computacion de car-

acterısticas melodicas y la extraccion melodica. El interes por la segmentacion radica en el

hecho de que la frase musical se considera uno de los mas importantes unidades basicas del

contenido musical. Esto es debido principalmente a que la mayor parte del repertorio musical

se encuentra organizado y estructurado en frases, periodos y motivos musicales, puesto que

estos son los pilares de las formas musicales [14].


Se han desarrollado varias aproximaciones computacionales para la segmentacion melodico,

distinguiendose dos grandes clases, los que se basan en metodos estadısticos y los metodos

basados en reglas [34].

3.8.1. Modelo de deteccion local de bordes

El modelo de deteccion local de bordes (LBDM, The Local Boundary Detection Model) es un

modelo basado en reglas que fue desarrollado por Cambouropoulos en 1997 [15]. Consiste en

asociar bordes a cambios locales segun la magnitud del un intervalo de analisis. La regla de

cambio usada consisten en asignar un borde proporcional al grado de cambio existente entre

dos intervalos consecutivos y una regla de proximidad, la cual determina la magnitud del

borde segun el tamano del intervalo en cuestion [13]. El LBDM opera sobre perfiles melodicos

parametricos independientes Pk = [x1, x2, . . . , xn] donde k ∈ p, r, yo (p representa el pitch,

r los silencio y yo el intervalo de tiempo entre ataque de notas, IOI), xi > 0, i ∈ 1, 2, . . . , ny la fuerza de los bordes en el intervalo xi esta dada por:

si = xi × (ri−1,i + ri+1,i) (3.21)

El grado de cambio entre dos intervalos sucesivos ri, se calcula con

ri+1,i =

|xi−xi+1|xi+xi+1

Sixi + xi+1 6= 0 ∧ xi, xi+1 ≥ 0

0 Sixi = xi+1 = 0(3.22)

Para cada parametro k, el perfil de la magnitud del borde Sk = [s1, s2, . . . , sn] es calculada

y normalizado en el rango [0, 1]. Finalmente, se calcula la suma ponderada de los perfiles

usando pesos derivado por tanteo y error (0.25 para p y r, y 0.5 para yo) y se estima el borde

cuando el perfil combinado excede un valor de umbral predefinido [70].

3.8.2. Algoritmo basado en la psicologıa de la Gestalt

Tambien conocido como TGU (Temporal Gestalt units), fue introducido por Tenney y Polan-

sky en 1980 y se fundamenta en la psicologıa de la Gestalt 4 [53].

Este algoritmo encuentra la localizacion donde ocurren los cambios de intervalos melodicos

amplios e intervalos de entre-ataque de amplitud extensa El algoritmo emplea las medidas de

cambio: intervalo absoluto de pitch en semitonos (API, absolute pitch interval) e intervalos

de entre-ataque (IOI, inter-onset interval) 5. La distancia entre dos eventos es la suma

ponderada de esas medidas. Se estima un borde, y se denominado “clang”, cuando ocurre

4La psicologıa de la Gestalt es una corriente de la psicologıa moderna, surgida en Alemania a principiosdel siglo XX, y cuyos exponentes mas reconocidos han sido los teoricos Max Wertheimer, Wolfgang Kohler,Kurt Koffka y Kurt Lewin. Tomado de wikipedia

5El intervalo IOI (inter-onset interval es el tiempo entre los comienzos o puntos de ataque entre de doseventos musicales sucesivos.


un maximo local para estas medidas. Entonces un “clang” es caracterizado por us tiempo de

ataque y el pitch promedio. Estos valores son sometidos nuevamente al mismo procedimiento

creando ası segmentos delimitados [66].

3.8.3. Segmentacion basada en la probabilidad del tono

Esta una tecnica de segmentacion que usa las probabilidades derivadas del analisis de colec-

ciones de melodıas . La probabilidad de un borde de cambio de frase es calculada del conjunto

de pitch class, distribucion de intervalos y de la distribucion de duraciones en la segmentacion

de bordes de la coleccion de canciones folcloricas de Essen [81].

Parte III

Marco experimental

40

Capıtulo 4

Algoritmo para la composicion

automatica de melodıas caoticas

En este capitulo se presenta el desarrollo del algoritmo para la composicion automatica

de melodıas a partir de sistemas dinamicos, tanto caoticos como no caoticos. El algoritmo

desarrollado parte primero de la solucion del sistema dinamico. Par el caso continuo, la

solucion es hallada con alguna de las funciones del conjunto de funciones ODE de Matlab,

las cuales tienes como entradas las condiciones iniciales, el intervalo de tiempo de integracion

y los parametros propios del modelo en particular. La respuesta obtenida son las variables

de solucion del sistema. Cada una de las variables devueltas son separadas y se usan para

representar un elemento particular de la melodıa como la altura, el ritmo y las dinamica

musical. Este algoritmo facilita la transformacion de las variables de solucion del sistema a

un espacio musical.

Dependiendo de la dimension del atractor se pueden obtener diferentes posibilidades para la

melodıas. Si el atractor tiene solo una dimension, esta es usada para obtener la frecuencia y

las respectivas notas musicales, si tiene dos dimensiones las segunda variable representa el

ritmo musical y si tiene tres dimensiones la tercera variable representa la dinamica musical.

En la primera seccion se describe el algoritmo para la composicion musical de una melodıa

a partir de un sistema caotico con tres dimensiones. Este es el algoritmo general y completo

usado en la composicion de melodıas caoticas con tres variables (altura, ritmo y dinamicas).

Para sistemas con menos dimensiones se usa el algoritmo general con valores constantes

en las variables musicales restantes. En las siguientes secciones se describe la adaptacion del

algoritmo para la composicion de melodıas a partir de bifurcaciones y tambien el desarrollo de

una metodologıa para el control del contorno melodico usando sistemas lineales e invariantes

en el tiempo SLIT. En la seccion final se describe un analisis matematico sobre las escalas y

los modos musicales, este analisis es usado para expandir los recursos musicales empleados

por el algoritmo.

41

4. Algoritmo para la composicion automatica de melodıas caoticas 42

4.1. Algoritmo para la composicion de melodıas con

tres dimensiones

La primera variable x, es asignada para la extraccion de las altura musicales (frecuencias y

notas MIDI), la segunda variable y es asignada a la duracion de cada nota musical (en segun-

dos y en unidades de tiempo) y la tercera variable z a la velocidad (intensidad y dinamica

musical). El orden en la asignacion de las variables puede ser cambiada incondicionalmente.

La transformacion de los datos de las variables se describiran individualmente.

4.1.1. Especificaciones musicales

El algoritmo tiene como entradas iniciales varias especificaciones musicales, las cuales son

seleccionadas segun los objetivos musicales o restricciones tecnicas.

Especificaciones para de la escala musical

1. Numero de octavas k: Indica el rango de la escala en octavas. Sera representado

como k ∈ N, y se limitara al intervalo 0 ≤ k < 7.

2. Tonica Υτ,o: Es el tono inicial donde se desea comenzar la escala. Se define como la

dupla Υτ,o = Υ (τ, o). Donde, τ : τ ∈ N |1 ≤ τ < 12 es el tono y o : o ∈ N |o < kel numero de la octava de la escala asociada.

3. Modo m0: Es el tono inicial donde va a empezar la escala. Es un valor comprendido

dentro del intervalo 0 < m0 ≤ m, donde m ∈ [0, 11] es el numero maximo de modos

posibles para una escala. Este valor indica el numero de desplazamientos necesarios

para que la escala empiece en la tonica dada por Υτ,o.

4. Nombre o estructura de la escala ψ: Conjunto de generadores intervalicos que

constituyen la arquitectura de la escala musical. Se representa como el conjunto ψ =

(s, t, tm), donde s ∈ [0, 12] es el numero de semitonos, t ∈ [0, 6] es el numero de tonos y

tm ∈ [0, 4] el numero de tonos y medio que conforman la estructura de la escala musical

deseada ξ, conformado por n notas.

5. Division del tono ∆: Esta especificacion es utilizada solo cuando se desea utilizar una

escala cromatica microtonal. Para este caso el numero de divisiones del tono ∆ ∈ N1

debe ser ∆ > 2. Se usa por defecto ∆ = 2 para el sistema temperado estandar.

Especificacion adicional:

1. Frecuencia de muestreo fs: Esta frecuencia sera usada para crear un archivo de

audio de salida con extension wav.


2. Tempo musical tp: El numero de unidades de tiempo por minuto (BPM) del frag-

mento musical.

4.1.2. Variable para las frecuencias y las notas musicales

La primera variable x, es usada para hallar las frecuencias musicales y a partir de estas las

respectivas notas MIDI. El metodo usado para realizar esto se divide en tres etapas. En la

primera etapa se genera el vector binario de pertenencia y la escala de intervalos de la escala

musical especificada ξ. En la segunda etapa se realiza una normalizacion a la variable x y en

la ultima se realiza el mapeo entre los datos normalizados y la escala de intervalos.

Parte 1: Generacion de la escala

El inverso del numero de divisiones del tono λ = 1/∆ se denomina factor de afinacion

de la escala, y se encuentra dentro del rango λ ∈ (0, 0,5]. Algunos valores tıpicos se pueden

apreciar en la figura 4.1 [21]. Con este factor de afinacion y con el numero de octavas, se

construye un vector S de dimension 1 × (p+ 1). La variable p es el numero de notas que

contiene una escala cromatica en k octavas segun el factor de afinacion dado,

p =6k

λ(4.1)

El vector S contiene una escala de intervalos igualmente temperada generada matematica-

mente con una serie geometrica de la siguiente manera

S(i+1) = 2iλ6 , 0 < i ≤ p (4.2)

Con la estructura ψ = (s, t, tm) se determina el vector de pertenecıa de la escala denominado

V, para el cual sus elementos cumplen con

Vi =

1, Si ξi ∈ S

0, Si ξi /∈ S(4.3)

El vector de pertenencia de la escala V actua como un sobre el vector S, conservando unica-

mente los generadores intervalicos que pertenecen a la escala ξ y eliminando los restantes.

El resultado de esta operacion es el vector E,

Ei = Vi · Si 1 ≤ i ≤ p (4.4)

Como el vector E tienen p elementos y algunos de estos son iguales a cero, entonces se debe

hacer un procedimiento para la eliminacion de estos valores.

E′ = Ei |Ei 6= 0,∀i (4.5)


Tercios Cuartos Sextos EneavosSistema Semitonos de tono de tono de tono de tono

λ 1/2 1/3 1/4 1/6 1/∆

Tabla 4.1: Valores de λ segun el sistema de afinacion

Figura 4.1: Vectores de pertenencia de algunas escalas conocidas

Obteniendose finalmente el vector E′ con dimension 1 × n, que contienen unicamente los

intervalos generadores propios dados por V.

Para la escala diatonica mayor, la cual tiene la estructura ψ = (2, 5, 0) y siete modos m = 7;

los modos se denominan modos griegos y tienen nombres estandarizados. El valor del modo

m0 puede obtenerse a partir de su nombre como se muestra en la tabla 4.2.

Modo griego Valor del modo m0

Jonico 0Dorico 1Frıgio 2Lıdio 3

Mıxolidio 4Eolico 5Locrio 6

Tabla 4.2: Modos griegos y factor de desplazamiento

Parte 2: Normalizacion de la variable

La variable seleccionada para representar las frecuencias de las notas musicales debe ser

normalizada con relacion al vector de intervalos temperados de la escala E′, ya que los datos


de la variable x estan dentro de un rango desconocido y diferente a los datos del vector E′.

Este proceso de normalizacion consiste en un escalamiento y una traslacion de los datos de la

variable x hacia los datos del vector E′, obteniendose como resultado la variable normalizada

x′.

El objetivo de esta normalizacion es igualar los valores maximos y los valores mınimos entre

los dos grupos de datos, esto es max (x) = max (E′) y mın (x) = mın (E′), pero conservando

la proporcion de los datos intermedios. Dicha normalizacion esta dada por,

x′ = αx+ β (4.6)

donde α se denomina factor de escalamiento y se calcula con

α =max (E′)−mın (E′)

max (x)−mın (x)(4.7)

Dado que max (E′) = 2k y mın (E′) = 1, el factor de escalamiento se reduce a

α =2k − 1

max (x)−mın (x)(4.8)

De manera similar, la variable β se denomina factor de traslacion y se determina con la

ecuacion

β = −αmın (x) + mın (E′) = −αmın (x) + 1 (4.9)

De esta forma se logra que la variable quede en el intervalo 1 ≤ x′ ≤ 2k sin perder significa-

tivamente 1 sus caracterısticas globales. Este proceso de normalizacion sera definido como

x′ = γ (x,E′) y se usara en otras etapas del algoritmo.

En la figura 4.2, se muestra la normalizacion de la variable x del sistema de Lotka-Volterra.

Parte 3: Mapeo al valor mas proximo VMP

Teniendo la variable normalizada, se procede ahora a determinar para cada valor x′ la asig-

nacion mas cercana con los valores del vector E′, obteniendo una correspondencia de los

datos de x′ con las notas de la escala musical especificada ξ.

Se construye una matriz D con dimensiones cx′ × n, tal que cx′ representa el numero de

columnas de x′.

Esta matriz se construye segun la ecuacion (4.10), para el recorrido de los ındices en el rango

0 < i ≤ cx′ , 0 < j ≤ n.

Dj,i =

0, si

∣∣x′j − E′i∣∣ ≤ µ

x′j si∣∣x′j − E′i

∣∣ > µ(4.10)

1La variable normalizada no siempre es similar a la variable original, el grado de diferencia depende delos valores maximo y minino de los datos de normalizacion, al numero de octavas k y al factor de afinacionλ.


(a) Variable original (b) Variable normalizada

Figura 4.2: Evolucion temporal y normalizacion de la primera variable del sistema de Lotka-

Volterra

El valor de umbral µ depende del tipo de afinacion de la escala λ y se calcula como

µ = 2λ6 − 1 (4.11)

Luego se crea un vector L de tamano cx′ × 1, en el cual se guarda la posicion de los valores

mınimos para cada fila de la matriz D, ası

Li= min (Di,j), 0 < i ≤ cx′ ; 0 < j ≤ n (4.12)

El conocimiento de Υτ,o es necesario para la conversion de la variable x′ al espacio musical.

Se define la aplicacion ϕ : Υτ,o → fτ,o; Υτ,o ∈ N2; fτ,o ∈ R1, para realizar la conversion a

frecuencia de una tono musical τ en la octava o,

fτ,o = ϕ (Υτ,o) = 55 · 2τ+12o−10

12 (4.13)

De aquı en adelante se representa el mapeo al valor mas proximo VMP con el operador

Φ (·), por ejemplo para el caso anterior se tiene Lx = Φ (x′,E,µ). Con los ındices de L y la

frecuencia de la tonica fτ,o, se calculan las frecuencias de las notas musicales correspondientes

a los datos de la variable x′, de la siguiente forma

Fi = fτ,o · E′Li 0 < i ≤ cx′ (4.14)

Con esto se obtienen las frecuencias de las notas referidas a cada valor de la variable x′ segun

los parametros musicales deseados. Estos valores de frecuencias se utilizan en un proceso de

sıntesis de audio posterior, requerido para la generacion del archivo wav.

Para poder visualizar la partitura de la melodıa, estas frecuencias deben ser convertidas a los

valores de las notas musicales del estandar MIDI (Musical Instrument Digital Interface).

La especificacion MIDI define un numero (en el rango 0–127) para cada nota musical (C,


C], D,...etc.). Para lograr esta conversion se usa la ecuacion (4.15), donde f ∈ R1 es una

frecuencia en Hz y θ ∈ N1 es el valor del numero MIDI.

θ (f) = 69+12

log 2log

(|f |440

)(4.15)

Haciendo la conversion al estandar MIDI, con los valores de frecuencias F hallados, se obtiene

un vector X de dimension 1× cx′ , que contiene los numeros de los tonos musicales generados

por x. Esta conversion se representa como X = θ (F). El vector X se usa para generar una

archivo mid que contiene la melodıa caotica resultante.

4.1.3. Variable para el ritmo

Esta etapa es similar a la anterior. Aquı se desea relacionar los datos de la variable y con

valores rıtmicos en unidades de tiempo 2 usando el proceso de normalizacion y′ = γ (y,R), el

cual se hace con respecto a un vector R de dimension 1×7 que contiene los valores numerico

apropiados que representan a los figuras rıtmicas musicales.

Antes de proceder con la normalizacion se debe hacer una adecuacion de los valores rıtmicos

en unidades de tiempo para facilitar las operaciones realizadas. Esta adecuacion consiste en

usar valores enteros en lugar de valores racionales, como se aprecia en la tabla 4.3.

Figura Unidades tiempo Potencia de 2 Conversion Indices rıtmicos

Redonda 4 22 26/

24 6Blanca 2 21 25

/24 5

Negra 1 20 24/

24 4Corchea 1/2 2−1 23

/24 3

Semicorchea 1/4 2−2 22/

24 2Fusa 1/8 2−3 21

/24 1

Semifusa 1/16 2−4 20/

24 0

Tabla 4.3: Valores de los ındices rıtmicos

De esta forma se crea el vector R de la siguiente manera,

Rj = j − 1, 0 < j ≤ 7 (4.16)

En esta etapa, la aplicacion del mapeo VMP es superflua, debido a que se logra relacionar la

variable normalizada y′ con los valores rıtmicos, aplicando la funcion de redondeo [39]. Con

el redondeo se obtiene el vector Y de tamano 1× cy′ , como lo muestra la ecuacion (4.17) 3.

2La figura que ocupa un tiempo del compas3La funcion <+∞ (x) = bx+ 1/2c, calcula el entero mas cercano a un numero. Donde bxc es la funcion

piso que devuelve el mayor entero menor o igual que x.


Y = <+∞ (y′) (4.17)

El vector Y es utilizado en la creacion del archivo mid. Para la creacion del archivo de audio

es preciso convertir los valores rıtmicos contenidos en Y a valores de tiempo en segundos,

puesto que la sıntesis de audio llevada a cabo para tal fin ası lo requiere.

La funcion χ (i) de la ecuacion (4.18) convierte un ındice rıtmico a su equivalente en unidades

de tiempo (beats).

χ (i) =2i

24(4.18)

Finalmente para hallar el valor en segundos de cada figura rıtmica, el cual depende del

tempo musical tp, se aplica la conversion con la ecuacion (4.19) y se obtiene el vector Y′ que

conserva las mismas dimensiones del vector de origen 4.

Y′ =60

tp· χ (Y) (4.19)

4.1.4. Variable para las dinamicas

Para la transformacion de la variable z a valores de velocidad, se sigue un procedimiento

similar al llevado a cabo para las transformaciones anteriores. La normalizacion de la variable

ahora se hace con relacion a ındices de velocidad predefinidos y contenidos en el vector

U, es decir z′ = γ (z,U). El vector U se encuentra inicializado con valores constantes,

que representan los intervalos de velocidad de cada una de las dinamicas musicales que se

muestran en la tabla 4.4.

Valor de dinamica Nombre Sımbolo

109-127 Triple forte fff93-108 Fortısimo fff76-92 Forte fff61-75 Mezzo forte mf46-60 Mezzo piano mp31-45 piano p11-30 Doble piano pp0-10 Pianısimo ppp

Tabla 4.4: Rangos numericos para las dinamicas musicales

U =[

10 30 45 60 75 92 108 127]

(4.20)

4En esta etapa tambien se le agrego al algoritmo una pequena rutina para adherir puntillo y doble puntilloa los valores ya encontrados. Ademas de poderse elegir los puntillos de forma manual o de forma aleatoriousando alguna funcion de distribucion de probabilidad.


Posterior a la normalizacion se lleva a cabo de nuevo el mapeo VMP entre la variable

normalizada z′ y el vector U, usando como valor de umbral µ = 10; esto se representa

con Lz = Φ (z′,U,µ). Se obtienen los ındices de los mınimos por fila Li y se crea el vector Z

de dimension 1× cz′ que contiene los valores de velocidad generados por la variable z. Este

vector sera usada para crear el archivo .m.

Zi = ULi 0 < i ≤ cz′ (4.21)

Para crear el archivo de audio se normaliza con respecto al maximo

Z′ =Z

max (Z)(4.22)

Para fines practicos se va a definir el operador Ω (·), de tal forma que al aplicar el operador

a las las matrices X, Y y Z, se obtiene una matriz de notas M 5, esto es 6

M = Ω (X,Y,Z) (4.23)

De manera similar se representa el proceso de sıntesis de audio con el operador Θ (·), que

devuelve la matriz adecuada para crear el archivo wav. Aplicando la sıntesis de audio se

obtiene

N = Θ (F,Y′,Z′) (4.24)

4.2. Descripcion global del algoritmo principal

A continuacion mostrara una descripcion global y completa del algoritmo general desarrol-

lado, haciendo uso de la descripcion detallada antes expuesta.

Dadas unas especificaciones musicales y un sistema de ecuaciones (continuas o discretas),

generar una melodıa como sigue:

1. Solucion del sistema

(a) Si el sistema es continuo x = F (x) entonces

(i.) Leer argumentos de entrada:

Parametros propios del sistema r ∈ Np

Condiciones iniciales x (0)

Tiempo de integracion [t0, t1]

5Para crear la matriz de notas se usa el toolboxmidi de Matlab creado por Petri Toiviainen y TuomasEerola pertenecientes al departamento de musica de la universidad de Jyvaskyla, Finlandia [29], junto conuna rutina complementaria desarrollada por el autor para crear matriz de notas no isocronicas.

6De forma abreviada tambien se usara Γ = Ω (H).


(ii.) Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales

Solucion del sistema y separacion variables x = x1 (t) , y = x2 (t) , z =

x3 (t).

(b) Si el sistema es discreto x (k + 1) = f (x (k)) entonces

(i.) Leer argumentos de entrada:

Parametros propios del sistema r ∈ Np

Condiciones iniciales x0

Numero de iteraciones K

(ii.) Iterar el sistema en el intervalo 0 < k ≤ K

Separar las variables x = x1 (k) , y = x2 (k) , z = x3 (k)

2. Generar el vector de frecuencias y valores MIDI

(a) Crear el vector de intervalos de la escala E′

i. Leer ∆ y calcular λ = 1/∆

ii. Si λ 6= 0,5 (Equivalente a ∆ = 2)

Crear el vector de intervalos de la escala cromatica S, de dimension 1×p,donde p = 6k/λ.

Leer la estructura de la escala ψ = (s, t, tm) para la escala deseada ξ y

hallar el vector binario V.

Obtener el modo m0 de ξ y desplazar el vector V, m0 veces hacia la

izquierda.

Calcular el vector de intervalos de la escala E, ası Ei = Vi, ·Si 1 ≤ i ≤ p .

iii. Sino

Crear el vector de intervalos de la escala cromatica S.

Calcular el vector de intervalos de la escala: E = S.

(b) Normalizar x con relacion a E: x′ = γ (x,E).

(c) Mapeo VMC: Lx = Φ (x′,E,µ), con el umbral µ = 2λ6 − 1.

(d) Transformacion de los datos

i. Calcular el vector de frecuencias: F.

Calcular la frecuencia de la tonica: fτ,o = ϕ (Υτ,o).

Calcular el vector de frecuencias: Fi = fτ,o · ELi 1 ≤ i ≤ p .

ii. Calcular el vector de valores MIDI: X = θ (F).

3. Generar un vector de duraciones y figuras rıtmicas

(a) Inicializar el vector de ındices rıtmicos R.


(b) Normalizar y con relacion a R: y′ = γ (y,R).

(c) Transformacion de los datos

i. Calcular el vector de figuras rıtmicas (beats): Y = <+∞ (y′).

ii. Calcular el vector de duraciones (seg): Y′i = 60tp· χ (Yi).

4. Generar el vector de velocidades

(a) Inicializar el vector de valores de velocidad U.

(b) Normalizar z con relacion a U: z′ = γ (z,U).

(c) Mapeo VMC con z′, U y umbral µ = 10: Lz = Φ (z′,U,µ).

i. Calcular el vector de velocidades (0-127): Zi = ULi 0 < i ≤ cz′ .

ii. Calcular el vector de amplitudes (0-1): Z′ =Z/max (Z)

5. Construir los archivos de salida

(a) Si λ = 0,5,

i. Crear archivo mid

Matriz de notas: M = Ω (X,Y,Z)

Crear archivo midi para (N, tp)

ii. Crear archivo de audio wav

Sıntesis de audio: N = Θ (F,Y′,Z′)

Crear archivo wav para (N, fs)

(b) Sino

i. Sıntesis de audio: N = Θ (F,Y′,Z′)

ii. Crear archivo wav para (N, fs)

El la figura 4.3 se observa el diagrama de flujo del algoritmo desarrollado. Donde se puede

apreciar, conjuntamente con la descripcion anterior, un mejor funcionamiento del mismo.

4.3. Composicion automatica de melodıas mediante bi-

furcaciones

Dentro de las bifurcaciones estudiadas en la seccion 1.4 las mas apropiadas para generar

material musical son: la bifurcacion de Hopf y la bifurcacion flip. No obstante, debido a la

versatilidad del algoritmo de poder manejar cualquier tipo de sistema dinamico continuo o

discreto, se puede usar cualquier tipo de bifurcacion de acuerdo a las pretensiones musicales

buscadas.

Para la bifurcacion de Hopf se opera directamente con el algoritmo propuesto. Para la bi-

furcacion tipo flip se debe unir el algoritmo con una rutina complementaria. Esta rutina

sera expuesta a continuacion.


Figura 4.3: Diagrama de flujo simplificado del algoritmo de composicion caotica


4.3.1. Algoritmo para la composicion polifonica

Para la generacion de material musical a partir del diagrama de bifurcacion de doblamiento

de periodo, se deben crear varias melodıas. Una melodıa por cada uno de los conjuntos

de datos obtenidos en la iteracion para diferentes valores del parametro de bifurcacion. En

consecuencia, se debe aplicar un algoritmo para unir todas las melodıas en una sola pieza

musical de caracter polifonico.

Primero se comienza creando una matriz de bifurcacion M, de dimension n× c, que contiene

n iteraciones del mapa no lineal para cada variacion del parametro r. El parametro r se

encuentra en el intervalo [r1, r2] con incrementos de r, ası que el numero de columnas de M

se calcula con

c =r1 − r0

r(4.25)

Despues de obtener la matriz de bifurcacion se procede a generar una melodıa para cada

una de las filas de la matriz. Como cada fila contiene los resultados del mapa para todos

los valores del parametro dentro del rango, la melodıa obtenida recorrera varios estadios

y variaciones melodicas. Para llevar a cabo esto, se crea una matriz de notas para cada

melodıa y se genera una matriz de notas total con la cual se crea el archivo mid que contiene

fragmento musical polifonico.

Se aplica el operador Ω (·) a la matriz de notas M,

Ni = Ω(Mi,j

)0 < i ≤ n ; 0 < j ≤ c (4.26)

obteniendo un conjunto de matrices de notas para cada valor del parametro r, representados

como N : N1,N2, . . . ,Nn. Se debe realizar un proceso para construir una unica matriz

de notas MT con el conjunto de matrices de notas N , conservando el orden existente entre

estas. Para lograr lo anterior se aplica el procedimiento de concatenacion de matrices de

notas descrito a continuacion.

4.3.2. Modulo para la concatenacion de matrices de notas

Este modulo tiene como entrada dos matrices de notas consecutivasNi yNi+1, i = 1, 2...n−1.

Sea ch (N ) una funcion que devuelve el canal de la matriz de notas N .

Para cada par de matrices de notas se hallan el maximo valor del canal y sigue el proced-

imiento descrito abajo.

1. Para i = 1, 2...n− 1

(a) Obtener el canal maximo de Ni y Ni+1

κi = max (ch (Ni))κi+1 = max (ch (Ni+1))

(4.27)


(i.) Si κi 6= κi+1 entonces

ch (Ni+1) = κi + 1 (4.28)

(ii.) Sino, entonces

ch (Ni) = 1

ch (Ni+1) = 2(4.29)

(b) Concatenar las matrices de notas

N ′ = cat (Ni,Ni+1) (4.30)

2. Ordenar la primera columna de N ′ y almacenar en el vector O.

O = ord(N ′i,1

)(4.31)

3. Crear la matriz de notas total MT

MTi,j = N ′O,j 1 < i < fN ′ ; 2 < j < fN ′ (4.32)

Donde fN ′ representa el numero de filas de la matriz N ′.

4.4. Composicion de melodıas con control del caos

Debido a la versatilidad del algoritmo, es posible generar melodıas con sistemas caoticos

controlados. El interes de este procedimiento radica en que teniendo la variable controla-

da, el material musical correspondiente obtenido con el algoritmo refleja las caracterısticas

dinamicas alcanzadas con la estrategia de control. Estas caracterısticas desde el punto de

vista musical tienen una gran importancia melodica, ya que se obliga a la que melodıa evolu-

cione de un comportamiento “caotico” a una nota sostenida, un intervalo o un arpegio. Esto

depende del periodo de la orbita especificada en el diseno.

El procedimiento consiste en aplicar alguna tecnica para el control del caos directamente al

sistema y despues operar con el algoritmo de composicion.

4.5. Metodologıa para el control del contorno melodico

En esta seccion se presenta la aplicacion de la teorıa clasica del control en la generacion

automatica de melodıas. Se comienza haciendo una relacion entre las caracterısticas de la

respuesta temporal de un sistema lineal invariante en el tiempo SLIT y el contorno melodico.

Posteriormente de describe su forma de aplicacion.


4.5.1. Relacion entre la respuesta transitoria y el contorno melodi-

co

El objetivo principal de la teorıa clasica de control es poder mantener la salida de un sistema

lo mas cerca posible de una senal de referencia y dentro de unas condiciones temporales o

frecuenciales deseadas [67]. La respuesta en el tiempo se compone de dos partes: la respuesta

en estado estacionario y la respuesta en estado transitorio. La respuesta transitoria con-

tiene algunas caracterısticas que a veces son necesarias mantenerlas dentro de unos rangos

definidos segun los objetivos de diseno. Por su parte, en el estado estacionario, que es parte

de la respuesta que se estabiliza en un valor despues de un tiempo de establecimiento ts, la

caracterıstica principal es la diferencia que tiene este valor de estabilizacion con el valor de

referencia. Esta diferencia se denomina error en estado estacionario ess o error en regimen

permanente. En la teorıa clasica de control se desea disminuir este error y lograr que per-

manezca en una rango pequeno, de tal forma que quede cerca del valor de referencia [54].

Para lograr estos objetivos de diseno se han desarrollado diferentes metodos que varıan segun

el dominio usado y las especificaciones de entrada. Dentro de los metodos mas usados estan

el calculo de controladores y el diseno de compensadores.

En la grafica 4.4 se muestran las caracterısticas de la respuesta temporal de un SLIT y la

relacion definida para el espacio musical.

Figura 4.4: Analogo al espacio musical de la respuesta temporal de un SLIT a la entrada

escalon

Cada una de las caracterısticas transitorias estan relacionada con el contorno melodico como

lo muestra la tabla 4.5.

A partir de la grafica anterior y de los conceptos de control, se expresan las ecuaciones

matematicas de la respuesta temporal de los SLIT en termino del espacio musical consider-


Variable Contorno melodico Respuesta temporalCr Compas levantamiento Tiempo de levantamiento trCd Compas de retardo Tiempo de retardo tdCp Compas maximo o pico Tiempo pico tpCs Compas de asentamiento Tiempo de establecimiento tsImp Intervalo de sobrepaso maximo Soreimpulso maximo Mp

Iss Intervalo de estado estacionario Error em estado estacionario ess

Tabla 4.5: Caracterısticas analogas entre el contorno melodico y la respuesta temporal

ado.

Tiempos del transitorio

Para relacionar tr, td, tp y ts con su respectivo sımil es necesaria solo la ecuacion (4.33). En la

cual Cx y tx es la pareja de variables relacionada. Por ejemplo, para hallar el ts se reemplaza

en la ecuacion el valor de Cs, teniendo en cuenta que todos los Cx estan en beats y los tx en

segundos.

tx =60 · Cx ·Nut

tp(4.33)

Donde Nut es el numero de unidades de tiempo por compas (en beats) y tp es el tempo.

Sobreimpulso maximo

El sobrepaso maximo Mp (en porcentaje) esta relacionado con el intervalo de sobrepaso

maximo Imp, segun la siguiente ecuacion:

Mp =(

12√

2Imp − 1)· 100 % (4.34)

Error en estado estacionario

El error en estado estacionario ess se relaciona con el intervalo de estado estacionario Iss de

la siguiente forma:

ess =(

12√

2±Iss)

(4.35)

El intervalo de sobrepaso maximo Imp y el intervalo de estado estacionario Iss, se especifican

en semitonos de acuerdo al intervalo requerido. Ademas, puesto que se esta usando el sistema

temperado, entonces sus relativos temporales Mp y ess son discretos.

En la tabla 4.6 se muestran dichos intervalos, el valor en semitonos y la correspondencia con

Mp y con ess.


Intervalo Notacion Semitonos Mp ( %) ess

Octava 8 12 100 0,5Septima mayor 7M 11 88,77 0,5297Septima menor 7m 10 78,18 0,5612

Sexta mayor 6M 9 68,18 0,5946Sexta menor 6m 8 58,74 0,6674Quinta justa 5J 7 49,83 0,63

Quinta disminuida 5dism 6 41,42 0,7071Cuarta justa 4J 5 33,48 0,7492

Tercera mayor 3M 4 25,99 0,7937Tercera menor 3m 3 18,92 0,8409Segunda mayor 2M 2 12,25 0,8909Segunda menor 2m 1 5,9463 0,9439

Unısono 1J 0 0 1

Tabla 4.6: Intervalos musicales y relacion con el sobrepaso maximo tonal

4.5.2. Diseno de un controlador del contorno melodico

La adaptacion de los conceptos y las ecuaciones de la teorıa de control lineal al espacio

musical, permiten controlar el contorno melodico mediante el diseno de tecnicas apropiadas.

Este diseno se realiza con las caracterısticas temporales obtenidas con la transformacion de

las correspondientes melodicas.

Por ejemplo, es posible disenar un controlador PID para una funcion de transferencias deter-

minada de tal forma que la melodıa obtenida a partir de esta tenga un intervalo de sobrepaso

maximo igual a una una sexta menor (Imp = 8), que se estabilice en el segundo beat del cuarto

compas (Cs = 18) o que el sobrepaso maximo ocurra en la mitad del primer compas (Cp = 2)7.

Sin embargo, los pretensiones de las especificaciones usadas en ingenierıa de control no son

siempre adecuadas a las deseadas para el control de una melodıa. Esto es debido a que en la

teorıa de control se desea disminuir el sobreimpulso maximo, el tiempo de establecimiento

y el error de estado estacionario. Pero disminuir las caracterısticas melodicas relacionadas,

causara que la melodıa sea llana y monotona. Concluyendose que las especificaciones en el

control melodico son conceptualmente contrarias a las del control clasico.

La metodologıa propuesta para el control del contorno melodico, queda a la espera de ser

extendida a otras variables musicales diferentes al aspecto tonal.

7Estos valores corresponde a una signatura de compas de cuatro cuartos


4.6. Analisis matematico de las escalas y los modos

musicales

En investigaciones anteriores realizadas por el autor [23], se desarrollo un estudio matematico

de las escalas y los modos musicales en el cual se dedujeron las ecuaciones necesarias para

determinar el numero total de escalas y modos posibles usando diferentes combinaciones de

las unidades intervalicas, y el desarrollo de los metodos necesario para construirlas de forma

sistematica.

Los resultados de estas investigaciones se adaptaron en el algoritmo de composicion caotica

para que pueda actuar sobre un espacio musical mayor. De esta forma puede disponer de

todos los modos y escalas posibles para cualquier tipo de sistemas temperado.

4.6.1. Analisis combinatorio de escalas usando tonos y semitonos

El numero de modos posibles para una escala de n notas formada por t tonos y s semitonos

se halla con la combinatoria 8, se usa nCs si se calcula con los semitonos o nCt si se calcula

con los tonos. Se denotara simplemente como m.

m = nCs = nCt (4.36)

Debido a que el numero de tonos o semitonos que conforma una escala esta relacionado con

del numero de notas n, entonces la ecuacion anterior se puede reescribir como,

m = nC2n−12 = nC12−n (4.37)

Esta ecuacion resulta bastante util cuando no se conoce la estructura de la escala ψ =

(s, t, tm), ya que solo depende del numero de notas n.

Se puede hallar el numero total de modos posibles m para diferentes valores de n, esto es

6 ≤ n ≤ 12, adaptando la ecuacion (4.36),

m =k=6∑k=0

6+kC2k =k=6∑k=0

6+kC6−k (4.38)

En esta ecuacion las variables quedaron en funcion del ındice k, de tal forma que n = 6 + k,

s = 2k y s = 6− k.

Puesto que cada modo m puede tener como tonica cada una de las 12 notas de la escala

cromatica entonces el numero total de modos con transposiciones T es

T = 12m (4.39)

8nCr, es la combinatoria de de n elementos tomados de r en r y se calcula con nCr = n!

r!(n−r)!


Hasta este punto unicamente se han descrito las ecuaciones relacionada con los modos y las

transposiciones, pero no se ha mencionado nada sobre las escalas que generan dichos modos.

El numero de escalas con n notas cada una con m modos, esta dado por

ε =m

n(4.40)

Sin embargo, existen escalas con igual numero de notas n que producen diferentes cantidades

de modos m, lo que conlleva a la realizacion de una generalizacion de la ecuacion (4.40).

Esta excepcion sucede cuando la estructura de la escala esta conformada por grupos simetri-

cos de unidades intervalicas como: tss, stt, sst, tsss, ttss, ttts, . . .. La cantidad de unidades

intervalicas de estos grupos simetricos son multiplos de 2 o de 3, entonces solo los n pares

e impares multiplos de 3 contienen grupos simetricos. Partiendo de este ultimo concepto,

se deduce la ecuacion (4.41) que determina el numero de escalas εj, y su respectivo modo

mj y que sumadas conforman el conjunto total de escalas ε y modos m para un valor de n

especifico.

εj =

(nCs −

i=j−1∑i=0

miεi

)divmj j = 1, 2 . . . (t− 1) (4.41)

Por definicion ε0 = 0. El valor de mj se calcula con

mj =n

((n mod 2) + 2)j−1 (4.42)

Haciendo la sumatoria de los modos discriminados mj, se llega a una ecuacion equivalente a

la ecuacion (4.38),

m =t−1∑j=1

mj (4.43)

De forma similar, se obtiene el total de escalas posibles para varios valores de n,

ε =t−1∑j=1

εj (4.44)

El numero de escalas y sus respectivos modos para cada valor de n con estructura intervalica

conformada por combinaciones de tonos t y semitonos s, se muestran en la tabla 4.7.

4.6.2. Analisis combinatorio de escalas con tono y medio

Cuando se considera el intervalo de tono y medio tm en la estructura de las escala, es necesario

modificar las ecuaciones vistas. Para hallar el numero total de modos sin transposiciones la

ecuacion necesita de dos combinatorias, de la forma

m = nC(tm+s) · (tm+s)Cs (4.45)


n t s Escala Modo Total modos

6 6 0 1 1 17 5 2 3 7 21

8 88 4 4 1 4 70

1 29 3 6 9 9 84

1 310 2 8 4 10 45

1 511 1 10 1 11 1112 0 12 1 1 1

Total 31 233

Tabla 4.7: Cantidad total de modos para escalas con unidades intervalicas de t y s

Haciendo una reorganizacion y una expansion de la anterior ecuacion se obtiene una ecuacion

para hallar la sumatoria de los modos totales para cada valor de tm.

m =

nmax∑i=nmın

(iC2(i−nmax

2 ) · 2(i−nmax2 )Ctm

)(4.46)

Las expresiones matematicas para hallar nmax y nmın, las cuales dependen de smın y smın

respectivamente, se muestran en la tabla 4.8.

Mınimo Maximotm 1 4t 0 Tmax

s Tm mod 2 1 + 2T

n Tm + T + Smın Tm + Smax

Tabla 4.8: Expresiones para los maximos y mınimos de tm, t, s y n

La tabla 4.47 contiene los valores maximos y mininos posibles para cada una de las unidades

intervalicas y para el numero de notas por escala, a excepcion del tmax que se muestra en la

siguiente ecuacion

tmax =12− (3tm + tm mod 2)

2(4.47)

Aplicando las ecuaciones anteriores se obtiene la tabla 4.9, que reune la cantidad total de

escalas y modos usando combinaciones de t y s y tm.

La tabla 4.10 resumen el numero total de escalas y modos posible en el sistema temperado.


n tm t s Escalas Modos Total modos

6 1 4 1 5 6 307 1 3 3 20 7 1408 1 2 5 21 8 1689 1 1 7 8 9 7210 1 0 9 1 10 10

5 2 3 0 2 5 106 2 2 2 14 6 90

2 37 2 1 4 15 7 1058 2 0 6 3 8 28

1 4

5 3 1 1 4 5 206 3 0 3 3 6 20

1 2

4 4 0 0 1 1 1

Total 101 694

Tabla 4.9: Cantidad total de modos para escalas con unidades intervalicas de tm, t y s

tm Escalas Modos Esc. transposiciones Modos transposiciones

0 233 31 2796 3721 420 55 5040 6602 233 37 2796 4443 40 8 480 964 1 1 12 12

Total 927 132 11124 1584

Tabla 4.10: Cantidad total de modos y escalas posibles en sistema temperado semitonal

Capıtulo 5

Experimentos y Resultados

En este capitulo se muestran y se describen los experimentos y las pruebas realizadas con

el algoritmo de composicion musical caotico desarrollado y los resultados obtenidos con la

aplicacion de las respectivas pruebas estadısticas planteadas.

En la primera seccion se analizan los fragmentos melodicos generados. Se realiza el analisis

con la evolucion temporal y luego para variables de solucion conjuntamente, es decir con el

retrato de fase. Posteriormente se implementan las tecnicas de control del caos y se anal-

izan los resultados musicales obtenidos, tambien se aplican tecnicas de control clasico para

gobernar las caracterısticas del contorno melodico. En la ultima parte se realizan analisis

y pruebas estadısticas univariadas y multivariadas que permiten caracterizar y contrastar

mejor las melodıas caoticas con relacion a una base de datos de melodıas clasicas tomadas

como referencia.

Se usan escalas, modos y estructuras diversas para mostrar la capacidad del algoritmo y el

potencial del analisis matematico sobre escalas y modos.

5.1. Composicion automatica con sistemas caoticos con-

tinuos

En esta seccion se muestran las melodıas generadas por medio de sistemas caoticos continuos

con tres dimensiones a partir del retrato de fase.

5.1.1. Generacion de melodıas con sistemas caoticos con de tres

dimensiones

Para usar el atractor de Chen como generador musical en el algoritmo de composicion,

primero se deben definir las especificaciones musicales necesarias como argumentos de en-

trada, estas son:

Numero de octavas: 3

Octava principal: 3

62

5. Experimentos y Resultados 63

Escala: escala Do mayor

En la grafica 5.1 se aprecia la evolucion temporal de las variables de solucion del atractor de

Chen, la variable x es mapeada a los valores de las notas musicales, primero se convierten

los valores de la variable a los respectivos valores de las frecuencias estandarizadas de las

notas musicales como se aprecia en la figura de la segunda fila y por ultimo los valores de

las frecuencias se transforman a los valores MIDI asociados con las frecuencias como se ve

en la ultima grafica de la figura 5.1.

Figura 5.1: Mapeo a frecuencia y a notas MIDI de la variable x del atractor de Chen

La variable de solucion x del atractor es continua pero las frecuencias y los valores de las notas

MIDI no; por tal razon cuando se hace el mapeo a la frecuencia se crean discontinuidades.

Ademas de las discontinuidades, la frecuencias se encuentran acotadas dentro de un rango

amplio y posiblemente mayor al de la variable, esto hace que la grafica de trasformacion a

frecuencia tenga una forma similar a la de la variable original y que la curva de transformacion

a notas MIDI sea mas suave y estrecha, ya que se encuentra acotada en un rango menor,

exactamente entre 0-127.

La variable de solucion y aporta las informacion musical rıtmica de la melodıa resultante.

Esto se muestra en la figura 5.2, la primera grafica corresponde a la evolucion temporal de la

variable y del atractor, la segunda a su respectiva transformacion a duraciones rıtmicas en

segundos y la ultima grafica son los valores rıtmicos en beats asociados con las duraciones.

Los valores de estas figuras rıtmicas son relativos segun el tempo musical asignado.

La ultima variable del atractor z es usada para obtener las dinamicas musicales de la melodıa,

estas dinamicas determinan la intensidad sonora de las notas musicales y son tambien valores

discretos como se mostro en la tabla 4.4. Al ser estos valores mas espaciados la variable

transformada queda con mayores discontinuidades como se ve en la figura 5.3.


Figura 5.2: Mapeo de la variable y del atractor de Chen a valores rıtmicos en segundos y en

beats

Figura 5.3: Mapeo de la variable z del atractor de Chen a valores de dinamicas musicales

En las figura 5.4 se muestran los retratos de fase en dos dimensiones del atractor para los

tres pares de combinaciones de variables posibles, x− y,x− z y y − z. En las figuras de las

filas siguientes, los retratos de fase de las variables transformadas. Los retratos de fase de las

variables transformadas revelan la distorsion sufrida por las variables originales en el mapeo,

sin embargo esta distorsion no es relevante en el resultado musical final ya que es producto

de los objetivos musicales.


Figura 5.4: Retratos de fase en 2D del atractor de Chen

El retrato de fase en dos dimensiones muestra el aporte conjunto de dos variables del atractor

e indica el valor que tiene una variable en funcion de la otra. Para el caso de las variables

transformadas que componen la melodıa se puede interpretar en la primera grafica de la

segunda fila de la figura 5.4, que la melodıa empieza con valores rıtmicos cortos y a medida

que va ascendiendo los valores rıtmicos van aumentando lentamente hasta que llega un

punto en el cual estos cambian nuevamente a valores rıtmicos muy cortos en un periodo

de tiempo pequeno mientras los intervalos musicales de la melodıa se hacen mas grandes

hasta alcanzar un registro grave; interpretacion que concuerda con el resultados musical

final obtenido mostrado en la figura 5.5.

Aunque el retrato de fase en tres dimensiones mostrado en la figura 5.6 aporta la misma

informacion que los retratos de fase en dos dimensiones, la interpretacion del retrato de fase

en dos dimensiones es mas rapida y facil de comprender.

Como se menciono antes la variable x es asignada a la frecuencia de las notas musicales y la

variable y a la duracion de las figuras rıtmicas y la grafica que relaciona estas dos variables

es el retrato de fase en dos dimensiones. En este retrato se nota que la curva resultante se

mueve en todos los sentidos, ascendente y descendentemente y hacia adelante y hacia atras,

esto se debe a que una variable queda en funcion de la otra. De lo anterior se puede inferir


Figura 5.5: Melodıa generada por el atractor de Chen

Figura 5.6: Retrato de fase en 3D del atractor de Chen

que la grafica es atemporal, quiere decir que ninguna de las variables relacionadas puede ser

la variable de tiempo. Sin embargo, es posible modificar el retrato de fase en dos dimensiones

de tal forma que se obtenga una grafica que relacione las dos variables y en la cual una de

estas haga de variable temporal relativa. Esto se logra haciendo que la variable y gobierne

el orden en el que deben ocurrir las notas musicales, al hacer esto se obtiene un retrato de


fase modificado como se muestra en la figura 5.7. El resultado musical obtenido a partir de

esta modificacion tiene mayor interes melodico ya que obliga a que la melodıa tenga mayores

picos y valles musicales, evitando ası la monotonıa como se observa en la figura 5.8.

La variable z muestra que la melodıa comienza con una dinamica de pp y va aumentando

gradualmente hasta alcanzar el doble forte ff en el compas 9, luego se desciende al forte

antes de proseguir al triple forte fff en el compas 14 para terminar en doble forte ff desde el

compas 16. Como se ve la dinamicas otorgadas por la variable z del atractor a la melodıa,

aunque son variadas, tiende a predominar en un nivel sonoro alto.

Figura 5.7: Retrato de fase modificado del atractor de Chen (X vs Y(Orden))

Figura 5.8: Melodıa generada con el retrato de fase modificado del atractor de Chen

Las siguientes graficas ayudan a describir mejor, desde diversas perspectivas, la melodıa

obtenida con el atractor. En la parte superior de la figura 5.9 se encuentra la grafica de-


nominada piano roll, donde se muestra la evolucion de las notas musicales en el tiempo y

su duracion. El descenso subito en la grafica corresponde al descenso melodico con figuras

cortas que ocurre en el compas 13. En la parte inferior se encuentra la notacion de piano

roll para de las dinamicas; esta grafica se asemeja a las grafica de transformacion de dicha

variable mostrada en la figura 5.3.

Figura 5.9: Grafica de pianoroll de la melodıa generada con el atractor de Chen

En la figura 5.10 se observa el porcentaje de veces que cada nota musical aparece en la

melodıa, como en este caso se utilizo la escala de Do mayor, entonces las notas de esta escala

son las que contiene una barra de proporcion en la grafica. La tonica de la escala C es la que

contiene la mayor proporcion de apariciones dentro de la melodıa. La grafica inferior indica

la proporcion de transicion entre notas sucesivas, esta proporcion se indica con una escala

de grises. La transicion mas usada en la melodıa es C a C, que corresponde a los primeros

compases de la melodıa.

La grafica superior de la figura 5.11 muestra el histograma de los intervalos de la melodıa de

Chen, aquı se aprecia como el unısono y la segunda mayor predominan. En la grafica inferior

se ve como la transicion entre estos mismos dos intervalos tambien es predominante.

En la figura 5.12 se muestra la distribucion de duraciones y su respectiva transicion. La

barra con mayor altura en la grafica superior indica la predominancia de la corchea y el

cuadro negro en la figura inferior tambien demuestra dicha persistencia en la proporcion de

transiciones.

Ademas, se complementa la descripcion de la melodıa por medio de los descriptores es-

tadısticos y las medidas melodicas. Los valores de los descriptores estadısticos obtenidos se

observan en la tabla 5.1. Se encuentra nuevamente como predominan los unısonos al notar

que la proporcion de intervalos iguales (Digu) es de 0.5 y que la proporcion de intervalos en


Figura 5.10: Distribucion y transicion de pitch class de la melodıa generada con el atractor

de Chen

Figura 5.11: Distribucion y transicion de los intervalos de la melodıa generada con el atractor

de Chen

igual direccion (EC) es relativamente alta 0.641. Tambien que la densidad de intervalos dis-

onantes (Id) es muy baja 0.0781, esto se debe a que unicamente se estan usando las notas de

la escala de Do mayor. El rango tonal (Rt) es de 36 semitonos ya que en la especificaciones

se asignaron 3 octavas. El valor de los saltos de retorno (Sr) es igual a 1 porque no hay

intervalos grandes (mayores a 8 semitonos) que esten seguidos por intervalos de retorno, es

decir intervalos en direccion opuesta con mınimo un semitono menor que el precedente, esto


Figura 5.12: Distribucion y transicion de las duraciones de la melodıa generada con el atractor

de Chen

demuestra la suavidad y la tendencia de la melodıa.

Descriptor Dasc Digu Ddesc Ec Ecp Ecn Ecc

Valor 0.281 0.5 0.219 0.641 0.1429 0.191 0.318

Descriptor Ct Id Ic Mp Rt Sr Vt

Valor 0.33 0.0781 0.25 0.3438 36 1 0.1077

Tabla 5.1: Descriptores estadısticos de la melodıa generada con el atractor de Chen

Finalmente, se muestran los indicadores melodicos de la melodıa en la tabla 5.2. La comple-

jidad basada en la esperanza para el pitch es baja (-0.838σ), para el ritmo es alta (0.921σ)

pero conjuntamente se aproxima mas a la media de referencia (0.492σ). La originalidad

melodica de la melodıa de Chen es muy baja de 0.643. Por ultimo se observa que el grado

de melodiosidad de la melodıa de Chen es bajo.

Abreviatura medida cbmp cbmr cbmo mom gmValor 4.162 5.921 4.508 4.643 4.563

Tabla 5.2: Indicadores melodicos de la melodıa generada con el atractor de Chen

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ANDRES EDUARDO COCA SALAZAR - · PDF fileCOMPOSICION AUTOM ATICA DE FRAGMENTOS MUSICALES CON SISTEMAS DINAMICOS CA OTICOS Y BIFURCACIONES Andr es Eduardo Coca Salazar Tesis para optar