UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICAINGENIERIA AGROINDUSTRIAL- INGENIERIA INDUSTRIAL MATEMATICA IIISESION 3DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCION DE 2 VARIABLES DEFINICION DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIN Z = f(x,y) EN UN PUNTO ( D.

Sea R una funcin de dos variables con valores reales. Entonces las derivadas parciales de f en el punto P = ( U se definen del siguiente modo:

a) (P)= , h

b) (P)= , hh = = y - Siempre que exista el lmite

INTERPRETACIN GEOMETRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES Se ha definido la derivada tratando de que se entienda como la variacin de la funcin con respecto a una direccin. Entonces la derivada parcial , ser la pendiente de la recta tangente paralela al plano ZX, observe la figura:

Un vector director de esta recta ser de la forma: ) En cambio la derivada parcial ser la pendiente de la recta tangente paralela al plano ZY, observe la figura:

Un vector director de esta recta ser de la forma: ) REGLAS PARA HALLAR LAS DERIVADAS PARCIALESSi z = f(x, y) y deseamos calcular la y la , bastara aplicar las mismas reglas de derivacin que se ha estudiado en el curso de clculo diferencial en una variablea) Si se est calculando , la variable y es constante.b) Si se est calculando , la variable x es constante.En general si si z = f( y estamos derivando respecto a la variable x las dems variables permanecen constantes.Notacin: Derivada parcial de la funcin f : Si f = f(x,y) Derivada parcial de x = = Derivada parcial de y = = Si f= f(x,y,z) Derivada parcial de x = = Derivada parcial de y = = Derivada parcial de z = = Y as se puede generalizar para una funcin de n variables. En este curso se llegara hasta funciones de 3 variables.

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Sea R tal que z = f(x,y)Suponga que las derivadas parciales y existan. Entonces las derivadas parciales de segundo orden se pueden obtener as: = = = = = = = =

f(x,y) = . Hallar: ; ; ; 3 = 3 = = 0+3 = 3 = 6y . Hallar: ; = = = = = . Hallar: y = = ; = = z = . y = = = ) = = = = () f(x,y) = x+y . Hallar: y en el punto (3,4) = 1 = 1 = 1 = 1 = = 1 = 1 = 1 = 1 =

DERIVADA DIRECCIONALDefinicin: Sea f: R : ( z = f (Una funcin definida en el conjunto abierto D de y sea D un punto dado de D. Sea un vector unitario dado. Se define la derivada de la funcin f en , en la direccin del vector , denotado por f() o (, como el lmite:

f() = (1)

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA DIRECCIONAL1. Sea = ( un punto de D y = (a, b) un vector unitario de , entonces : { , t R } es una recta contenida en el plano XY.2. Si por dicha recta levantamos un plano T, perpendicular a XY, intersecta a la superficie S formndose la curva C. 3. Si por el punto : P = (, f( = ), trazamos una recta tangente a la curva C entonces la pendiente de dicha tangente es la f()

Observacin: la derivada direccional es una generalizacin de la derivada parcial.a) Si = (1,0) ()= (b) Si = (0,1) ()= (ProposicinDada la funcin f: D R y el vector unitario =(cos con 0: LA DERIVADA DIRECCIONAL de f en = ( en la direccin de , se define por: f() = f() = f()= ..(2)

Nota: Estos conceptos se extienden a varias variables.

Ejemplo 1:Calcular la derivada direccional del campo escalar f: , definido por: f(x,y) = 4( en el punto (1, 2) en la direccin del vector = -i + 2j f() = Solucin: = (1, 2) = = = = ( , ) Nota: el vector dado debe ser unitario si no lo es se obtiene su vector unitario

Clculos: + t = (1,2) + t( , )= (1- , 2+)2) f( + t) =4 [ +( ] f( + t) = 4[5+ t + ]3) f() = 4[ = 20Luego: f()=

f()= = = = = Rpta.

Ejemplo 2: Calcular la derivada direccional del campo escalar f: , definido por: f(x,y) = = (1,2) en la direccin del vector unitario dado por = . Usaremos: f() = Clculos: + t(cos30, sen30)= (1,2)+t(cos30,sen30) = (1,2) +t() = (1+, 2+)2) f( + t(cos30, sen30)) = = 1+ + 4+t+ = 5+3) f( = f(1,2) = = 5 Reemplazamos en la frmula: f() = f() = = = = Rpta.GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

DefinicinSea f : Una funcin diferenciable definida en el conjunto abierto D de . Se define el vector GRADIENTE de la funcin f en el punto D, denotado por grad f( f(, como el vector de dado por:

f( = ((, (,, ()

Nota: es el operador nabla 2 variables: =( , ) 3 variables: =( , )

= = ()Si f: D R f(x,y) = , )Si f: D R f(x,y,z) = , , ) Propiedades del gradiente1) (f() = f()g()2) (f() = f().g()+g()f()3) (f()) = f() ,

FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA DIRECCIONAL (DERIVADA DIRECCIONAL Y EL GRADIENTE)

i) Si f es una funcin diferenciable en: x e y, la derivada direccional de f en la direccin del vector unitario es:

f(x,y) = f(x,y).

ii) Si f es una funcin diferenciable en: x, y, z, la derivada direccional de f en la direccin del vector unitario es:

f(x,y,z) = f(x,y,z).

Ejemplo : Calcular la derivada direccional del campo escalar f: definido por f(x,y)= 4( en el punto (1,2) en la direccin del vector = -i +2j.Solucin: 1: Expresar mi funcin lo ms explicita posible: f(x, y) = 42 Obtener el vector unitario del vector dado : = = = = 3 f(x,y) = ( , ) = (8x, 8y)f( = f(1,2) = (8(1), 8(2)) = (8, 16)f(x,y) = f(x,y). f(1,2) = (8, 16).= + = = Rpta.

PROBLEMAS DE DERIVADA DIRECCIONAL CON EL GRADIENTE

EL GRADIENTE COMO DIRECCIN DE MXIMA VARIACINOBSERVACIN: Sea el ngulo entre: f() y

Entonces f() = f(). = ..cos (Propiedad del producto escalar de dos vectores)Es decir: f() = .cosAdems sabemos que: -1cosmultipliquemos por a (I)-. cosPor lo tanto en cada punto el valor mximo de la derivada direccional es y el valor mnimo de la derivada direccional es -.Entre todas las direcciones a lo largo de las cuales la funcin crece, la direccin del gradiente es la del crecimiento ms rpido, mientras que el gradiente cambiado de signo seala la direccin de mxima disminucin.

Ejemplo 2: Para la funcin f(x,y) = , en el punto: (3, 2). Hallar la mnima y la mxima derivada direccional y el vector unitario en esa direccin.Solucin:Calculemos el gradiente de f : = ( , ) = (, ) =( , ) = ( La derivada direccional mnima se produce cuando el vector unitario y el vector gradiente tienen sentidos opuestos, es decir:

Luego aplicando la teora explicada lneas arriba f(3,2)mn = = =

Ejemplo 3: Suponga que la distribucin de temperatura dentro de una habitacin est dada por: T(x,y,z) = 200 , donde x, y, z se miden en metros y T en grados celsiusa) Encuentre la razn de cambio de la temperatura en el punto P = (2, -1, 2) en la direccin hacia el el punto Q (3, -3, 3) b) En qu direccin aumenta ms rpidamente la temperatura en P y cul es mxima razn de aumento de T en P?Sol:a) Debemos hallar la derivada direccional en el vector unitario: = = = (1, -2, 1) = .(1, -2, 1) =( , , ) = 200 = 200(-4, 6, -36) = 200(-4, 6, -36) = 400 = 200(-4, 6, -36).(1, -2, 1) =(-4-12-36)= - = - La temperatura aumenta ms rpidamente en la direccin de = 400 La mxima razn de aumento de T en P es el mdulo de la gradiente esto es: = 400 = 400 Resuelva en clase1. Dada la funcin f(x,y) = -3y+4x , (2, 1) y en la direccin = )2. Hallar la derivada direccional de f(x,y,z)= en el punto (1, 1, 2) en la direccin de = (, ) 3. La distribucin de temperatura de una placa metlica est dada por la funcin T(x,y) = x+i) En qu direccin aumenta la temperatura ms rpidamente en el punto (2.0)?Cul es el coeficiente de variacin?Rpta. (Direccin) Coeficiente = ii) En qu direccin decrece la temperatura ms rpidamente?Rpta. (Direccin) Coeficiente = -4. Un insecto se halla en un ambiente txico, el nivel de toxicidad esta dado por: T(x,y) = 2. El insecto est en (-1, 2)a) En que direccin debe moverse el insecto para que se aleje lo ms rpido posible? Rpta. Debe moverse en la direccin del vector: (-4, -16) para que se aleje lo ms rpido posibleb) Cul es la razn de cambio de la toxicidad del ambiente en el punto (-1,2) en la direccin (, )

PROBLEMAS CON EL GRADIENTE COMO DIRECCIN DE MXIMA VARIACIN

1. (a) Si f(x, y) , determine la razn de cambio de f en el punto P(2, 0) en la direccin de P a Q((b) En qu direccin f tiene la mxima razn de cambio? Cul es esta mxima razn de cambio?

2. Suponga que la temperatura en un punto (x, y, z) en el espacio est dado por T(x, y, z) = , donde T se mide en grados Celsius y x, y, z en metros.(a) En que direccin se incrementa ms rpido la temperatura en el punto (1, 1, -2) (b) Cul es la razn de incremento mxima?

2. Encuentre todos los puntos en los cuales la derivada direccional del cambio ms rpido de la funcin f(x, y) = es .

4. Suponga que en una cierta regin del espacio el potencial elctrico V est definido por V(x, y, z) = 5. (a) Determine la razn de cambio del potencial en P(3, 4, 5) en la direccin del vector = . (b) En qu direccin cambia V con mayor rapidez en P? (c ) Cul es la razn mxima de cambio?

5. La temperatura en el punto (x, y, z) en un trozo de metal viene dada por la frmula f(x, y, z) = grados Celsius. En qu direccin, en el punto (0, 0, 0) crece ms rpidamente la temperatura?

6. Hallar la mnima derivada direccional y el vector unitario en esa direccin para f(x, y) = en (1, 1). 7. La temperatura es T grados Celsius en cualquier punto (x, y, z) en el espacio y T = la distancia se mide en metros.(a) Encontrar la rapidez de cambio de la temperatura en el punto (3, -2, 2) en la direccin del vector -2(b) Encontrar la direccin y la magnitud de la mxima rapidez de cambio de T en (3, -2, 2) 8. La temperatura distribuida en el espacio est dada por la funcin f(x, y) = 10 + 6 cosx.cosy+3cos2x+4cos3y, en el punto ( , . Encontrar la direccin de mayor crecimiento dela temperatura y en la direccin decrecimiento en la temperatura.

9. El potencial elctrico es V voltios en cualquier punto (x, y) en el plano XY y V = , la distancia se mide en pies.a) Encontrar la rapidez de cambio de potencial en el punto (0, ) en la direccin del vector unitario: b) Encontrar la direccin y magnitud de la mxima rapidez de cambio de V en (0, )

10. El potencial elctrico V en el punto P(x, y, z) en un sistema coordenado rectangular, est dado por V = , calcular la razn de cambio de V en P(2, -1, 3) en la direccin de P al origen. a) Encuentre la direccin en la que la razn de cambio de crecimiento de V es mximab) Cul es la razn de crecimiento mnimo?11. Un insecto se encuentra en (3, 9, 4) empieza a caminar en lnea recta hacia (5, 7, 3). L a temperatura del insecto viene dada por T(x, y, z) = x, las unidades son metros y grados Celsius. Cul es la tasa de variacin de la temperatura?

12. La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metlica es: T(x, y) = 20 - 4, donde (x, y) se miden en centmetros. a) En qu direccin a partir de (2, -3) aumenta ms rpido la temperatura?b) Cul es la tasa o ritmo de crecimiento?

13. El cambio de temperaturas correspondiente a los diversos puntos (x, y) de una placa est dado por T(x, y) = . Hallar la direccin de mximo aumento de temperatura en el punto (3, 4)14. Dada la distribucin de temperatura T(x, y) = 48 - -. Hallar la razn de cambio de temperatura. a) En (1, -1) en la direccin del crecimiento mximo de temperaturab) En ( 1, 2) en la direccin de (1,0)c) En (2,2) en la direccin que se aleja del origen

15. Un objeto est situado en un sistema de coordenadas rectangulares de tal manera que la temperatura T en el punto P(x, y, z) est dado por T(x, y, z) = 4, a) Calcular la razn de cambio de T en el punto P(4, -2, 1) en la direccin del vector (2, 6, -3)

Tacna, 4 de diciembre del 2014 Docente: Ing. Luis Nina Ponce

3. 2x-2 = 2y-4 x-1 = y-2 x+1 = y4.

PROBLEMAS PARA EL TRABAJO ENCARGADO Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones: 1. z = . Hallar , , 2. z = arcsen . Hallar y

3. Si f(x, y) = 3x+4y - . Hallar: y en el punto (1, 2)4. Hallar de la siguiente funcin: f(x,y) 5. Dada la funcin: f(x,y) = arctgxy+ arcsen(). Hallar: y 6. Hallar y de la siguiente funcin: f(x, y) = (7. Hallar y de la siguiente funcin: f(x, y) = lnxy.sen(x+y)8. Hallar de la siguiente funcin: f(x, y) = 9. Hallar y de la siguiente funcin: f(x,y) = tg(10. Hallar , de la siguiente funcin: f(x,y,z) = 11. Hallar y de la siguiente funcin: f(x,y) = tg(12. Hallar de la funcin f(x,y) = ln(

13. Hallar y si: f(x, y) = arcsen()+14. Hallar y si: f(x, y) = f(x, y) = arctg(15. Hallar y si: f(x, y) = f(x,y) = +ln

Hallar las derivadas direccionales 1. Calcular la derivada direccional de la funcin : f(x,y) = en elPunto (1,2) en la direccin del vector = (2. Calcular la derivada direccional de la funcin : f(x,y) = en elPunto (1,1) en la direccin del vector = (3. f(x,y) = x + 2xy-3 , (1, 2), = +j 4. Dada la funcin f(x, y) = -3+4+ . Hallar la derivada direccional en el punto (2,1) en la direccin = 5. Calcular la derivada direccional de la funcin : f(x,y) =xen el punto (4,-1) y la direccin = (3/5, 4/5)6. Calcular la derivada direccional de la funcin: f(x,y) = x+2xy-3en elPunto (1,2) y la direccin = (3/5, 4/5)7. Calcular la derivada direccional de la funcin: f(x,y) = +en elPunto (1,2) y la direccin = (4, 3)8. Calcular la derivada direccional de la funcin: f(x,y) = en elPunto (-2,1) y la direccin = + 9. Calcular la derivada direccional de la funcin: f(x,y) = en elPunto () y la direccin = (1, 1)10. Calcular la derivada direccional de la funcin: f(x,y) = en elPunto (2,2) y la direccin = (12, -5)11. Calcular la derivada direccional de la funcin: f(x,y) = en elPunto (1,0) y la direccin = 12. Calcular la derivada direccional de la funcin: f(x,y) = xen elPunto (2,-1) y la direccin = 13. Calcular la derivada direccional de la funcin: f(x,y, z)= en el punto (2, 1, 3) y la direccin 14. Calcular la derivada direccional de la funcin f(x, y, z)= en el punto (1, 0, 0) en la direccin de = (, , 15. Calcular la derivada direccional de la funcin: f(x,y)= ln( en el punto (1, 1) en la direccin de 16. Calcular la derivada direccional de la funcin: f(x,y)= en el punto (2, -1) en la direccin de 17. Calcular la derivada direccional de la funcin: f(x,y)= en el punto ( 1, -2) en la direccin de 18. Calcular la derivada direccional de la funcin: f(x,y) = xen el punto (5, 0) en la direccin de 19. Calcular la derivada direccional de la funcin: f(x,y) =1+ 2x en el punto (3, 4), en la direccin de 20. Calcular la derivada direccional de la funcin: f(x,y, z) = en el punto (4, 1,1) en la direccin de Tacna, 26 de noviembre del 2014Docente: Ing Luis Nina Ponce