Sección 1.1 Introducción al Álgebra Gráficamctutor.ing.puc.cl/textos/prof/cap_1_1.pdf · Usar el orden de las operaciones ... Los alumnos plantearán tanto diagramas como expresiones

Libro Tutor Cognitivo – Puente al Álgebra Texto guía para el

PROFESOR

Capítulo 1

Sentido de los números y pensamiento algebraico

Sección 1.1

Introducción al Álgebra

Gráfica

Actualizado en enero de 2015

Cognitive Tutor® Bridge To Algebra Teacher’s Implementation Guide

Carnegie Learning ™

Carnegie Learning ™

The Cognitive Tutor® Company

Pittsburgh, PA

Phone 888.851.7094

Fax 412.690.2444

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Agradecimientos

Agradecemos a quienes aparecen en la lista siguiente, por su colaboración en la preparación de: Cognitive Tutor® Bridge

To Algebra Teacher’s Implementation Guide.

William S. Hadley, Autor.

Mary Lynn Raith., Autor.

Kent Publishing, Inc.

Signature Design

Michele Covatto

The Carnegie Learning Development Team

Traducción y adaptación a cargo de ComCor-Dictuc S.A. filial de la Pontificia Universidad Católica de Chile.

Santiago de Chile, marzo de 2010.

Copyright © 2008 by Carnegie Learning, Inc. All rights reserved. Carnegie Learning, Cognitive Tutor, SchoolCare, and

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used for identification purposes only and may be trademarks of their respective owners. This product or portions thereof is

manufactured under license from Carnegie Mellon University. Permission is granted for photocopying rights within licensed

sites only. Any other usage or reproduction in any form is prohibited without the express consent of the publisher.

ISBN-13 978-1-934800-02-7 (de la versión original en inglés)

Teacher’s Implementation Guide

http://www.carnegielearning.com/

Tabla de contenido

Introducción al Álgebra Gráfica ................................................................................................................................1

Resumen de la lección ....................................................................................... ¡Error! Marcador no definido.

Preguntas esenciales ......................................................................................... ¡Error! Marcador no definido.

Orientación ...........................................................................................................................................................2

Ejercicios previos ..............................................................................................................................................2

Motivación ........................................................................................................................................................2

Exploración conjunta ............................................................................................................................................3

Problema 1 .......................................................................................................................................................3

Problema 2 .......................................................................................................................................................4

Problema 3 .......................................................................................................................................................5

Investigación del Problema 3 ...........................................................................................................................5

Problema 4 .......................................................................................................................................................6

Revisión del Problema 1 ...................................................................................................................................7

Conclusión ............................................................................................................................................................9

Seguimiento ..........................................................................................................................................................9

Tarea escrita de respuesta abierta ...................................................................................................................9

Reflexiones .......................................................................................................................................................9

- 1 -

Introducción al Álgebra Gráfica

Preparación

OBJETIVOS Usar el álgebra gráfica para representar un problema

Usar el orden de las operaciones

TÉRMINOS PRINCIPALES

Expresión

Expresión variable

Orden de operación

Variable

MATERIALES (En esta lección, no utilizaremos materiales concretos)

Resumen de la lección

En el contexto de esta lección, a los alumnos se les pedirá:

Representar situaciones de problemas específicos usando un dibujo, un diagrama u otra representación.

Escribir representaciones algebraicas basadas en el escenario de un problema.

Evaluarn un problema más simple para idear un método de solución de problemas más difíciles.

Usar el orden de las operaciones para resolver ecuaciones basadas en la situación de un problema.

Se presenta a los alumnos la conexión entre situaciones de problemas y representaciones múltiples.

Los alumnos plantearán tanto diagramas como expresiones algebraicas. Luego evaluarán la expresión

usando el orden estándar de operación.

Preguntas esenciales

En esta sección son formuladas las siguientes preguntas clave:

¿Cómo puedes usar un dibujo para representar la situación de un problema?

¿Cómo puedes plantear una expresión algebraica basada en la situación de un problema?

¿En qué orden se evalúa una expresión algebraica?

- 2 -

Orientación

Ejercicios previos

Escriba los siguientes ejercicios, o un subconjunto pertinente de ellos, en el pizarrón antes de que sus

alumnos entren a la sala de clases. Los alumnos deberían comenzar a trabajar en cuanto se sienten.

Mientras ellos trabajan en los ejercicios de preparación, Ud. puede realizar tareas administrativas, como

tomar la asistencia o devolver tareas.

1. Calcula cada expresión numérica:

(9 – 3) 3

2

9 – (3 3)

8

8 x (4 + 2)

48

(8 x 4) + 2

34

36 (4 – 2)

18

(36 4) – 2

7

2. Agrega paréntesis de modo que cada sentencia sea verdadera:

2 x 3 + 4 = 14

2 x (3 + 4) = 14

6 3 + 3 = 5

No se necesitan paréntesis, pero podría

ser: (6 3) + 3

Motivación

Comience la lección con una motivación para lograr que los alumnos reflexionen acerca del tema del próximo

problema.

Esta lección trata de un proyecto para ganar dinero durante el verano. Las preguntas motivacionales

interpelan a los alumnos acerca de sus experiencias en proyectos para ganar dinero. Los alumnos

brevemente comentan proyectos para ganar dinero, tales como el reparto de diarios a domicilio.

¿Has participado alguna vez en un proyecto para ganar dinero? ¿En qué trabajaste? Si trabajaste con alguien

más, ¿cómo repartieron el dinero? ¿Hubo costos para iniciar el proyecto, como la compra de materiales? (por

ejemplo, limones para un puesto de venta de limonada) ¿Quién puso el dinero del costo inicial? ¿Cómo le

devolvieron el dinero?

Al presentar la lección, discuta el tipo de materiales y los costos iniciales que se requieren para construir

casas para perros: madera, martillo, clavos, pintura, regla, planos, moldes, etc.

- 3 -

Exploración conjunta

Problema 1 Problema 1

Solicite a un voluntario que lea el

Problema 1 en voz alta. Use las

Preguntas Guía para asegurarse de

que los alumnos entienden el problema.

Haga que un alumno reformule el

problema con sus propias palabras.

Haga notar que la pregunta formulada al

final del enunciado se responderá más

adelante.

Trabajo en Grupo

Solicite a los alumnos que trabajen en grupo para resolver la Parte A, e individualmente para resolver la Parte B.

Preguntas Guía

¿Cómo determinar la cantidad de dinero que recibe cada persona?

¿Hay datos irrelevantes en el problema?

¿Cuáles son las palabras clave que sugieren operaciones que puedo usar para encontrar la respuesta?

Reúna a la clase para discutir en

conjunto el primer grupo de preguntas.

Observe que algunos alumnos pueden

malinterpretar el problema y sumar los

costos de inicio al monto total ganado

en el negocio. Asegúrese de que los

alumnos entiendan que los costos

iniciales son pérdidas y que, por lo

tanto, deben ser restados del total.

Solicite a la clase contestar la Parte B de

manera individual. En la última

pregunta, pídales que formulen tantas

representaciones como sea posible.

Haga que los alumnos compartan sus

diagramas o expresiones algebraicas.

Ejemplos de expresiones algebraicas:

x + (x + 25.55) + (x + 34.45) = 450 o

3x = 450 – (25.55 + 34.45).

Tú y tus amigos Juan y Carla deciden ganar dinero

durante las vacaciones de verano con la construcción y

venta de casas para perros. Para comenzar el negocio

Juan aporta US$25.55 y Carla aporta US$34.45. Entre

todos acuerdan que cada uno ganará la misma

cantidad de dinero, después de devolver a Juan y a

Carla lo invertido. Durante el verano las ganancias del

negocio fueron US$450. ¿Cuánto dinero recibe cada

uno al final del verano?

A. Trabajen en conjunto con la clase para realizar las siguientes tareas:

Leer el problema detenidamente.

¿Cuál es el contexto del problema? ¿Lo entiendes?

Un acuerdo de negocios entre tres personas.

¿Cuál es la pregunta que te formulan?

¿Cuánto dinero recibe cada persona?

B. Trabaja individualmente para responder las siguientes preguntas:

¿Necesito información extra para responder a la pregunta?

No.

¿Es este problema similar a algún otro problema que conozco?

Los alumnos podrían plantear una versión más simple del problema.

¿Cómo puedo representar el problema usando un dibujo, un diagrama, símbolos o alguna otra representación?

Usa un diagrama que represente a cada una de las 3 personas, o plantea una expresión algebraica o una ecuación para representar el problema.

Evaluación Formativa

¿Tu diagrama representa el problema de manera precisa?

¿Hay más por hacer o ya puedes resolver el problema?

Explique que, como el Problema 1 es complejo, primero revisarán otros problemas más sencillos, y que luego podrán volver para encontrar la solución al Problema 1 en conjunto y más fácilmente.

- 4 -



Problema 2 en voz alta. Seleccione a un

alumno para que reformule el problema

con sus propias palabras.

Preguntas Guía

¿Tienes información suficiente o demasiada información para resolver el problema?

¿Cómo puedes determinar el triple de una cantidad?

¿Cuáles palabras clave o pistas reconoces en la pregunta?

¿Conoces algún total? ¿Qué tipo de operaciones puedes usar cuando conoces los totales o cuando aún no los conoces?

¿Cómo podría ayudarte un diagrama a resolver el problema?

Solicite a los alumnos que lean en voz

alta las afirmaciones que escribieron

para indicar la cantidad de bolsas

compradas por cada persona.


¿Cómo puedes comprobar tus respuestas?

¿Qué otros métodos puedes usar para encontrar la respuesta?

Luis compró 2 bolsas de alimento para perros de 3kg cada una. Juan compró, para el mes, el triple de bolsas que compró Luis.

A. ¿Cuántas bolsas de alimento para perro compró Juan?

Usa una representación en barras que represente las cantidades de bolsas de alimento compradas por Luis y Juan.

Juan compró 6 bolsas de alimento para perros.

Los alumnos deberían poder dibujar una barra compuesta por tres partes iguales a la que usaron para representar la cantidad de bolsas que compró Juan.

Los alumnos podrían dibujar tantas partes como bolsas ha comprado cada persona, pero en problemas con cifras mucho mayores, esta idea es poco práctica.

B. ¿Es posible conocer la cantidad de kilos de comida para perros comprada por Juan? Escribe tu respuesta usando una oración completa.

No, no es posible conocer la cantidad de kilos de comida para perros que compró Juan, porque en el problema no se indica cuántos kilos de alimento contienen las bolsas.

- 5 -



Problema 3 en voz alta. Pida que un

alumno reformule el problema con sus

propias palabras.

Trabajo en Grupo

Los alumnos deberían trabajar con un

compañero para resolver el Problema 3 y

desarrollar su investigación.

NOTA

Averigüe si los alumnos comprenden el

significado de “a escala” (para

proporciones exactas).

Investigación del Problema 3

Preguntas Guía


¿Cómo puedes determinar el largo de las tablas?

¿Cuáles palabras clave o pistas reconoces en la pregunta?

¿Conoces algún total? ¿Qué tipo de operaciones puedes usar cuando conoces los totales o cuando aún no los conoces?


Solicite a los alumnos que lean en voz alta

las afirmaciones que escribieron para

indicar el largo de las dos tablas.

Para construir una casa para perros tus amigos y tú cortan en 2 una tabla de 12m. Una de las tablas es 4m. más larga que la otra. ¿Cuánto mide cada tabla?

En este caso una “representación” o dibujo puede ayudar a resolver el problema. En el espacio siguiente dibuja dos barras, una debajo de la otra. Ubica uno de los lados de cada barra pegado a la línea. No te preocupes por dibujar a escala precisa.

Largo total: 12m.

Investigación del Problema 3

1. Las barras, ¿tienen igual longitud? Si no, ¿cuál barra es más larga y qué tanto más larga es?

Las barras tienen longitudes distintas. Una es 4m. más larga que la otra.

2. ¿Sabes de qué largo es cada parte de las barras? Si es así, escribe el largo en cada parte. Las partes cuyo largo es desconocido, márcalas con un signo de interrogación (?)

Mira el dibujo de arriba.

3. ¿Puedes “ver” alguna forma para resolver el problema? Si es así, escribe oraciones completas

para explicar lo que necesitas hacer para resolverlo. ¿De qué largo es cada barra?

Los alumnos deberían ver que pueden restar 12 menos 4 y luego dividir por 2 para encontrar la longitud de la barra más corta. La longitud de la barra más larga es 4 más la longitud de la barra más corta. Luego, la longitud de la barra más

corta es: (12-6) 2=4m. La longitud de la barra

más larga es 4+4=8m.


¿Cómo puedes comprobar tus respuestas?

¿Qué otros métodos puedes usar para encontrar la respuesta?

- 6 -


Solicite a un alumno que lea el Problema

4 y que lo reformule con sus propias

palabras.

Preguntas Guía


¿Es posible que alguno de los perros pese 10Kg. ó 46Kg.?

¿Cuáles palabras clave o pistas reconoces en la pregunta? ¿Qué operaciones puedes usar?


Haga notar que los alumnos pueden

comprobar sus respuestas sumando los

pesos para asegurarse de que el total es

46Kg. y que uno de los perros pesa 10Kg.

más que el otro:

18+28=46

18+10=28

Reúna a la clase nuevamente para

compartir sus representaciones y sus

soluciones.

Fido y Jet son dos perros. Fido pesa exactamente 10Kg. más que Jet. Juntos pesan 46Kg. ¿Cuánto pesa cada perro?

C. Usa una representación similar a la que usamos en el Problema 3 para dibujar y nombrar dos barras que representen los pesos de Fido y Jet.

Peso total: 46Kg.

D. Usa la imagen que dibujaste para ayudarte a resolver el problema. ¿Cuánto pesa cada perro? Escribe tu respuesta usando una oración completa.

Jet pesa 18Kg. y Fido pesa 28Kg.

- 7 -

Revisión del Problema 1 Revisión del Problema 1

Trabajo en Grupo

Reúna compañeros de un grupo con un

integrante de otro grupo para revisar el

Problema 1.

Explique que los Problemas 3 y 4 eran

similares, pero más simples, que el

Problema 1. Solicite a un voluntario que

lea de nuevo el Problema 1 en voz alta.

Preguntas Guía

¿Cómo determinar la cantidad de dinero

que recibe cada persona?


¿Qué tanto se parece este problema a los Problemas 3 y 4?

Permita resolver la Parte A en grupo. Los

alumnos deben leerla y formular

correctamente una expresión algebraica

que responda a la primera pregunta.

Mientras los alumnos trabajan en estas

preguntas, circule por la sala de clases

para observar sus progresos.

Errores comunes de los alumnos

Quizás los alumnos no sepan cómo

considerar los costos de puesta en

marcha: US$25.55 y US$34.45.

Recuérdeles que ese dinero se resta del

total, para ser devuelto a Juan y Carla.

quieran discutir cómo los inversionistas

fundan un negocio.

Tú y tus amigos Juan y Carla deciden ganar dinero durante las vacaciones de verano con la construcción y venta de casas para perros. Para comenzar el negocio

Juan aporta US$25.55 y carla aporta US$34.45. Entre todos acuerdan que cada uno ganará la misma cantidad de dinero, después de devolver a Juan y a Carla lo invertido. Durante el verano las ganancias del negocio fueron US$450. ¿Cuánto dinero recibe cada uno al final del verano?

A. Forma un grupo con otros compañeros. Usa una representación similar a la que usaste en el Problema 3 para dibujar y nombrar tres barras que representen las cantidades de dinero que Juan, Carla y tú obtendrán al final del verano. Luego comparte tu dibujo con los demás integrantes de tu grupo.

Ganancias

Totales:

US$450

Piensa en cómo resolverás el problema y en qué otra información puedes necesitar para resolverlo. Luego pide a cada integrante del grupo que describa lo que pensó del problema.

Usa tu representación para resolver el problema. Usando oraciones completas, describe cómo lo resolviste.

Pide a cada integrante del grupo que comparta su solución con el resto del grupo. Luego decidan si el razonamiento y respuesta de cada uno tiene sentido.

Como grupo, decidan cómo pueden explicar su solución a la clase. Escriban su solución usando oraciones completas.

Los grupos deberían llegar a la conclusión de que la respuesta debe ser la misma, sin importar su razonamiento o método de solución.

- 8 -

Luego de la presentación de resultados

para la Parte A del último grupo, extienda

la discusión a la clase completa. Compare

y contraste las soluciones gráficas y las

soluciones algebraicas con toda la clase.

Pregunte a los alumnos cuál fue la más

simple de encontrar y por qué. Las

opiniones pueden ser variadas. Si los

alumnos justifican sus puntos de vista,

acepte sus respuestas.

Indique a los alumnos que pueden

comprobar sus respuestas sumando las

tres imágenes, para asegurarse de

encontrar el resultado total de US$450:

130+155.55+164.45=US$450

B. Preparen una presentación corta, que describa cómo resolviste el problema, para ser compartida con el resto de la clase. Si tu grupo no pudo resolver el problema, entonces expliquen su solución parcial y pidan a la clase consejo sobre cómo podrían terminar de resolver el problema.

Sabemos que el total era US$450. Y que el dinero sería dividido en tres. Los totales no podrían ser iguales porque cada persona aportó una cantidad distinta para los costos de inicio. Primero restamos los costos de inicio y dividimos la diferencia en 3 lo que da como resultado US$130 para cada uno. Luego, devolvemos lo que cada persona aportó al comienzo, y así todo el negocio es justo. Luego, yo gané US$130, Juan ganó US$155.55 y Carla ganó US$164.45.

- 9 -

Conclusión Para concluir la lección solicite a los alumnos que respondan la pregunta que aparece más adelante.

Sus respuestas deberían ayudar a resumir la lección y lo aprendido en el día. Puede revisar las Preguntas

Esenciales de la sección Preparación y/o las Preguntas Guía y las Evaluaciones Formativas de la lección.

¿Cómo puedes usar una representación gráfica para encontrar las longitudes de tablas o para saber como

repartir dinero?

Otra forma de concluir la lección es mediante la solución a la Tarea escrita de respuesta abierta, que se

plantea en la siguiente sección.

Seguimiento

Tarea escrita de respuesta abierta

Tu amiga Carla y tú planifican abrir un negocio para ayudar a las personas a mantener actualizados sus

computadores. ¿Qué tipo de costos iniciales podrían tener? ¿De qué manera repartirían las ganancias que

obtuvieran?

Usa oraciones completas para explicar matemáticamente tu solución para repartir las ganancias.

Reflexiones

Escriba sus ideas y consideraciones sobre la lección a medida que se desarrolla la clase.

¿QUÉ RESULTÓ BIEN?

¿QUÉ NO RESULTÓ DE LA MANERA

QUE LE HUBIERA GUSTADO?

¿QUÉ CAMBIARÍA DE LA LECCIÓN

PARA MEJORAR LO QUE NO

RESULTÓ BIEN?

¿QUÉ CAMBIARÍA DE LA LECCIÓN

PARA AFIANZAR LO QUE RESULTÓ

BIEN?

¿DE QUÉ MANERA SIENTE QUE LA

LECCIÓN PODRÍA ENRIQUECERSE EN

FAVOR DE LOS ALUMNOS?

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Sección 1.1 Introducción al Álgebra Gráficamctutor.ing.puc.cl/textos/prof/cap_1_1.pdf · Usar el orden de las operaciones ... Los alumnos plantearán tanto diagramas como expresiones